2018年春中考数学总复习专题复习二规律与猜想试
2018中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
规律探索一、选择题1. 如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4 个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一 个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到7 个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形， 共得到 10 个小三角形， 称为第三次操作； , 根据以上操作， 若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是（ ）A ．25B ．33C ．34D ． 50 【考点】 规律型：图形的变化类．【分析】 由第一次操作后三角形共有 4 个、第二次操作后三角形共有（ 4+3）个、第三次操作后三角 形共有（ 4+3+3）个，可得第n 次操作后三角形共有4+3（ n ﹣ 1）=3n+1 个，根据题意得 3n+1=100， 求得 n 的值即可．【解答】 解：∵第一次操作后，三角形共有 4 个； 第二次操作后，三角形共有 4+3=7 个； 第三次操作后，三角形共有 4+3+3=10 个；,∴第 n 次操作后，三角形共有 4+3（ n ﹣ 1） =3n+1 个； 当 3n+1=100 时，解得： n=33， 故选： B ．2. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数 2016 应标在（ ）A ．第 C ．第504 个正方形的左下角 505 个正方形的左上角B．第D．第504 个正方形的右下角505 个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数 2016 在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵ 2016÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0 在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第 504 个正方形中最大的数是2015，∴数 2016 在第 505 个正方形的右下角，故选 D．3 ．（ 2016. 山东省临沂市， 3 分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第 n 个图形中小正方形的个数是（）22A． 2n+1 B ． n ﹣ 1 C ． n +2n D ． 5n ﹣ 2【分析】由第 1 个图形中小正方形的个数是 2 2﹣ 1、第 2 个图形中小正方形的个数是 3 2﹣ 1 、第 3 个图形中小正方形的个数是 4 2﹣ 1，可知第 n 个图形中小正方形的个数是（ n+1 ）2﹣ 1 ，化简可得答案．【解答】解：∵第 1 个图形中，小正方形的个数是： 22﹣ 1=3 ；第2 个图形中，小正方形的个数是： 3 2﹣ 1=8 ；第3 个图形中，小正方形的个数是： 4 2﹣ 1=15 ；,∴第 n 个图形中，小正方形的个数是：（ n+1 ）2﹣ 1=n 2+2n+1 ﹣ 1=n 2 +2n ；故选： C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为4n﹣ 3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的 4 倍少 3 个三角形，即可得出结果．【解答】解：第①是 1 个三角形， 1=4×1﹣ 3；第②是 5 个三角形， 5=4×2﹣ 3；第③是 9 个三角形， 9=4×3﹣ 3；∴第 n 个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为： 4n﹣ 3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l ： y=－43 x，点 A1 坐标为（－ 3，0） . 过点 A1 作 x 轴的垂线交直线l 于点 B1，以原点 O为圆心， OB1 长为半径画弧交x 轴负半轴于点A2，再过点A2 作 x 轴的垂线交直线l 于点 B2，以原点 O为圆心， OB2 长为半径画弧交x 轴负半轴于点A3，, ，按此做法进行下去，点A2016 的坐标为.【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】 由直线 l ： y=－ 4 x 的解析式求出 A1B1 的长，再根据勾股定理，求出 OB1 的长，从而得出 A23的坐标；再把 A 的横坐标代入 y= － 4 x 的解析式求出 A B 的长，再根据勾股定理，求出 OB 的长，从3 2 2 2 2 而得出 A3 的坐标； , ，由此得出一般规律．【解答】 解：∵点 A 1 坐标为（－ 3，0），知 O A1=3，把 x=－ 3 代入直线 y=－ 4 x 中，得y=4 ，即A1B1=4. 3根据勾股定理，OB= 2 1 22 21 1 = 3 4 =5， 1 OA A B∴ A 坐标为（－ 5， 0）， O A=5；2 24 x 中，得 y=20 ，即 A B = 2把 x=－ 5 代入直线 y=－ 3 3 3 .2 22 2 2 2 2 根据勾股定理， OB2= A 2 B = ( 20 ) = 253 = 51，2 2 5 OA3 3 2 2∴A3 坐标为（－51 ， 0），O A3= 51 ； 3 32把 x=－ 51 代入直线 y=－ 4x 中，得 y= 100 ，即 A3B3= 100.3 3 9 92 2 25 2 100 23 ( ) ( ) 125 5根据勾股定理， OB = OA A B = = ，3 9 9 = 233 3 3 3 3∴ A4 坐标为（－52， 0）， OA4= 52；3 3,,n 1n 1同理可得 An 坐标为（－52， 0）， OAn=52 ；n n3 32015∴ A2016 坐标为（－52014， 0）32015故答案为：（ - 52014 ， 0）3【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征 . 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键 . 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
中考总复习数学02- 第二部分 专题二 规律性问题
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专题二 规律性问题—点坐标变换规律 类型三 点坐标变换规律
题型讲解
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点坐标变换型的题目主要考查了点的坐标规律,这类题目一般是点的坐 标在平面直角坐标系中递推变化或周期性变化.通过观察和归纳,从所给 的数据和图形中寻求规律是解答本类问题的关键.
例题 3
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专题二 规律性问题—点坐标变换规律
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（2）若第n个图案共有基础图形2 023个,则n的值是多少? 解：当1+3n=2 023时, 解得n=674, ∴n的值为674.
例题 2
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专题二 规律性问题—图形规律
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4.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三 角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形 地砖为连续排列. 当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块（如图2 ）; 当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块（如图3 ）,以此 类推.
排列,探究图形所反映的规律;另外一种是图形的变换规律,即根据一组
相关图案的变化,从中归纳图形的变换所反映的规律.在中考中以图形为
载体的数字规律最为常见.
例题 2
3
4
专题二 规律性问题—图形规律
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方法点拨 数形规律题的解题关键是通过观察图形发现数量关系,并用代数式归纳 出规律,再进行验证,进而解决问题;图形变换规律题的解题关键是抓住 图形的变化特征,找出规律,进而解决问题.
例题 1
1
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专题二 规律性问题—竖式规律 例题1
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（ 2022·河北模拟）观察 1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25= 625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,28×2=96,49×1=49.
2018年 中考数学总复习 规律探究问题 专题综合训练题 含答案和解析
2018年中考数学总复习规律探究问题专题综合训练题含答案和解析依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列等式：第1层1＋2＝3第2层4＋5＋6＝7＋8第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第____层．8. 观察下列等式：第1个等式： a1＝11＋2＝2－1，第2个等式：a2＝12＋3＝3－2，第3个等式：a3＝13＋2＝2－3，第4个等式：a4＝12＋5＝5－2，按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n个等式：a n＝；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝．9. 观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是．10. 如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，……按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是____．11. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，……依次进行下去，则点A2019的坐标为．12. 在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．13. 甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，……依次循环反复下去，当报出的数为2019时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是____分．14. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．15. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，试求第2019秒时点P 的坐标． 参考答案: 1. B2. B 【解析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n 个图案中白色纸片数，从而可得关于n 的方程，解方程可得．∵第1个图案中白色纸片有4＝1＋1×3张；第2个图案中白色纸片有7＝1＋2×3张；第3个图案中白色纸片有10＝1＋3×3张；……∴第n 个图案中白色纸片有1＋n ×3＝3n ＋1(张)，根据题意得3n ＋1＝2019，解得n ＝672，故选B.3. D 【解析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，总结出其规律为（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2，根据规律求解．通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：（1＋2）×22 ＋12＝4，第二个图形为：（1＋3）×32 ＋22＝6，第三个图形为：（1＋4）×42＋32＝10，第四个图形为：（1＋5）×52＋42＝15，…，所以第n 个图形为：（n ＋2）（n ＋1）2 ＋n 2，当n ＝7时，（7＋2）（7＋1）2＋72＝85，故选D.4. C 【解析】设图形n 中星星的颗数是a n (n 为自然数)，观察，发现规律：a 1＝1＋1，a 2＝(1＋2)＋3，a 3＝(1＋2＋3)＋5，a 4＝(1＋2＋3＋4)＋7，…，∴a n ＝(1＋2＋…＋n )＋(2n －1)＝n （n ＋1）2＋2n －1，当n ＝8时，a 8＝8（8＋1）2＋2×8－1＝51，故选C.5. C6. －12211 【解析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．∵－2＝－21，52，－103，174，－265，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.7. 44 【解析】第一层：第一个数为12＝1，最后一个数为22－1＝3，第二层：第一个数为22＝4，最后一个数为32－1＝8，第三层：第一个数为32＝9，最后一个数为42－1＝15，∵442＝1936，452＝2025，又∵1936＜2019＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第44层． 8. (1)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n(2) n ＋1－1【解析】(1)根据题意可知，a 1＝11＋2＝2－1，a 2＝12＋3＝3－2，a 3＝13＋2＝2－3，a 4＝12＋5＝5－2，……由此得出第n 个等式：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(2) 将每一个等式化简即可求得答案．解：(1)∵第1个等式：a 1＝11＋2＝2－1，第2个等式：a 2＝12＋3＝3－2，第3个等式：a 3＝13＋2＝2－3，第4个等式a 4＝12＋5＝5－2，∴第n 个等式：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n (2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－19. n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋210. 13【解析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为－17－3＝－20，A12表示的数为16＋3＝19，则可判断点A n与原点的距离不小于20时，n的最小值是13.11. (21008，21009)【解析】写出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n＋1((－2)n，2(－2)n)(n为自然数)”，依此规律即可得出结论．观察，发现规律：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)(n为自然数)．∵2019＝1008×2＋1，∴A2019的坐标为((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)．12. (2n－1，2n－1)【解析】∵y＝x－1与x轴交于点A1，∴A1点坐标(1，0)，∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标(1，1)，∵C1A2∥x轴，∴A2坐标(2，1)，∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标(2，3)，∵C2A3∥x轴，∴A3坐标(4，3)，∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3(4，7)，∵B1(20，21－1)，B2(13. 33614. (63，32)15. 解：∵半圆的半径r＝1，∴半圆长度＝π，∴第2019秒点P运动的路径长为π2×2019，∵π2×2019÷π＝1007…1，∴点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方，∴此时点P的横坐标为1008×2－1＝2019，纵坐标为－1，∴点P(2019，－1)。
2018年中考数学专题冲刺复习七讲：2018年中考数学专题冲刺复习第二讲规律与猜想
规律与猜想学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来.规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.类型之一 数式的变化规律例1 （2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6== ﹣ ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n == ﹣；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）；（4）计算：a 1+a 2+…+a n ．【考点】37：规律型：数字的变化类． 【分析】（1）根据已知4个等式可得； （2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．==﹣，【解答】解：（1）由题意知，a6故答案为：，﹣；==﹣，（2）an故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律.1.（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n 为整数），其结果为．类型之二图形的变化规律例2（2017重庆B）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（）A．116 B．144 C．145 D．150【分析】根据题意图形得出小星星的个数变化规律，即可的得出答案．【解答】解：∵4=1×2+2，11=2×3+2+321=3×4+2+3+4第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．故选：B．【点评】此题主要考查了图形变化规律，正确得出每个图形中小星星的变化情况是解题关键．方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.1. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株2. （2017山东烟台）用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+33.（2017•黑龙江）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065个三角形．4. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 135 个点．类型之三 点的坐标的变化规律例3 （2017黑龙江佳木斯）如图，四条直线l 1：y 1=x ，l 2：y 2=x ，l 3：y 3=﹣x ，l 4：y 4=﹣x ，OA 1=1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，交l 1于点A 2，再过点A 1作A 1A 2⊥l 1交l 2于点A 2，再过点A 2作A 2A 3⊥l 3交y 轴于点A 3…，则点A 2017坐标为[（）2015，（）2016] ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先利用各直线的解析式得到x 轴、l 1、l 2、y 轴、l 3、l 4依次相交为30的角，各点的位置是每12个一循环，由于2017=168×12+1，则可判定点A 2016在x 轴的正半轴上，再规律得到OA 2016=（）2015，然后表示出点A 2017坐标．【解答】解：∵y 1=x ，l 2：y 2=x ，l 3：y 3=﹣x ，l 4：y 4=﹣x ，∴x 轴、l 1、l 2、y 轴、l 3、l 4依次相交为30的角， ∵2017=168×12+1， ∴点A 2016在x 轴的正半轴上，∵OA 2==，OA 3=（）2，OA 4=（）3，…OA 2016=（）2015，∴点A 2017坐标为[（）2015，（）2016]．故答案为[（）2015，（）2016]．方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.1. （2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P 1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为（﹣2，0）．2.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．3. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为2n+1﹣2 ．类型之四几何图形变换规律【例题4】（2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】RA：几何变换的类型；KQ：勾股定理．【分析】根据从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后点M的位置，再根据点N的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN=20，∴20÷3=，（不是整数）∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．方法归纳：1.（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为（2，0）．2. (2017湖北咸宁)如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为（2，2）．参考答案类型之一数式的变化规律1.（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+++…+的值．【解答】解：∵ =﹣，=﹣，=﹣，…∴=（﹣），∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案是：．2.（2017毕节）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．类型之二图形的变化规律1. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时的芍药的数量．【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，故选B．2. （2017山东烟台）用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；第二个图需棋子3×2+3=9；第三个图需棋子3×3+3=12；…∴第n个图需棋子3n+3枚．故选：D．3.（2017•黑龙江）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065个三角形．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4．【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3，当n=2017时，4n﹣3=8065，故答案为：8065．【点评】此题考查图形的变化规律，由特殊到一般的归纳方法，找出规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4解决问题．4. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有135 个点．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点，第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；…第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；当n=9时， =135个点，故答案为：135．类型之三点的坐标的变化规律1.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P 1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为（﹣2，0）．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标．【分析】画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．【解答】解：如图所示，P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），发现6次一个循环，∵2017÷6=336…1，∴点P2017的坐标与P1的坐标相同，即P2017（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．2.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A 3A 2B 3，…，则点A 2017的横坐标是 ．【分析】先根据直线l ：y=x ﹣与x 轴交于点B 1，可得B 1（1，0），OB 1=1，∠OB 1D=30°，再，过A 1作A 1A ⊥OB 1于A ，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A 1的横坐标为，A 2的横坐标为，A 3的横坐标为，进而得到A n 的横坐标为，据此可得点A 2017的横坐标．【解答】解：由直线l ：y=x ﹣与x 轴交于点B 1，可得B 1（1，0），D （﹣，0），∴OB 1=1，∠OB 1D=30°，如图所示，过A 1作A 1A ⊥OB 1于A ，则OA=OB 1=，即A 1的横坐标为=，由题可得∠A 1B 2B 1=∠OB 1D=30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O=60°， ∴∠A 1B 1B 2=90°， ∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ，则A 1B=A 1B 2=1，即A 2的横坐标为+1==，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3=2A 2B 2=4，A 2C=A 2B 3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An的横坐标为．3. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为2n+1﹣2 ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B 1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…∴Bn的横坐标为2n+1﹣2．故答案为 2n+1﹣2．类型之四几何图形变换规律1.（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为（2，0）．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．【解答】解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P 4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P2017坐标与P1点重合，故答案为（2，0）．2. (2017湖北咸宁)如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为（2，2）．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标．【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置．【解答】解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的．当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．连接OF，过点F作FH⊥x轴，垂足为H；由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），∴△OEF是等边三角形，∴OF=EF=4，∴F（2，2），即旋转2017后点A的坐标是（2，2），故答案是：（2，2）．。
中考数学专题复习 规律与猜想
规律与猜想学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来.规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.类型之一数式的变化规律例1 (2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：32-4×12=552-4×22=972-4×32=13……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92-4×( )2=( )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式；(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.【解答】(1)4，17.(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1.验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，∴等式成立.方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律.1.(2014·东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为 .2.(2014·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n≥3)从左至右数第n-2个数是 (用含n的代数式表示). 3.(2014·滨州)计算下列各式的值：2919+；299199+；2999 1 999+；29 99919 999+.观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得22 01492 01499991999⋯+⋯123123个个= .4.(2014·巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n (n 为非负整数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为 .5.(2014·黄石)观察下列等式：第一个等式：a 1=23122⨯⨯=112⨯-2122⨯第二个等式：a 2=34232⨯⨯=2122⨯-3132⨯ 第三个等式：a 3=45342⨯⨯=3132⨯-4142⨯ 第四个等式：a 4=56452⨯⨯=14142⨯-5152⨯按上述规律，回答以下问题： 用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ；式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= .6.(2014·烟台)将一组数3，6，3,23,15,…，310，按下面的方法进行排列：若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( ) A.(5，2) B.(5，3) C.(6，2) D.(6，5)类型之二 图形的变化规律例2 (2014·金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接. (1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ (2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).所以，拼4张可以坐4×4+2=18(人)，拼8张可以坐4×8+2=34(人).(2)由题意可知4x+2=90.解得x=22.答：这样的餐桌需要拼接22张.方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.1.(2014·重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )A.20B.27C.35D.402.（2014·武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是( )A.31B.46C.51D.663.(2014·重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.284.(2014·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A.nB.n-1C.(14)n-1 D.14n5.(2014·鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n.下列结论正确的是( )①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形；③四边形A 7B 7C 7D 7周长为8a b +；④四边形A n B n C n D n 面积为·2n a b. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④6.(2014·内江)如图，已知A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝……＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1、B 2、……、B n 、B n ＋1，连接A 1B 2、B 1A 2、A 2B 3、B 2A 3、……、A n B n ＋1、B n A n ＋1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、……、P n ，△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、……、△A n B n P n 的面积依次为S 1、S 2、……、S n ，则S n 为( )A.121n n ++ B.231n n - C.221n n - D.22+1n n7.(2014·内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 2 014个图形是 .△△□□□△○○□□□△○○□□□△○○□……8.（2014·娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n （n 为正整数）个图案由 个▲组成.9.(2014·盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 的值为 .(用含n 的代数式表示，n 为正整数)类型之三 点的坐标的变化规律例3 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(53,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为 .【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.【解答】由题意可得：∵AO=53，BO=4，∴AB=133，∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=6+4=10，∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20，∴点B2 014的横坐标为：20142×10=10 070.故答案为：10 070.方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为 .2.(2013·湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A22的坐标是 .3.(2014·孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 .4.(2014·德州)如图，抛物线y ＝x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，…A n ，….将抛物线y ＝x 2沿直线l ：y ＝x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，…M n ，…都在直线l ：y ＝x 上； ②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…. 则顶点M 2 014的坐标为 .参考答案类型之一 数式的变化规律1.(45，12) 22n - 3.102 0142919+1299199+=100=10229 99 1 999+3，29 99919 999+4，{{2201492014999...9199...9+个个=102 014.故答案为102 014.4.a 4-4a 3b+6a 2b 2-4ab 3+b 45.()1212n n n n +++；1·2n n -()1112n n ++；12-211212⨯ 6.C类型之二 图形的变化规律1.B2.B3.C提示：每一次操作三角形个数增加6个. 4.B提示：每两个之间重叠部分的面积都等于正方形面积的14，正方形的面积为4，所以重叠部分的面积为1，n 个正方形有(n-1)个重叠部分，故重叠部分的面积之和为(n-1). 5.A 6.D提示：A n B n当底，利用函数y＝2x即可求得，利用黑白三角形相似如△A1B1P1∽△B2A2P1等求得P n到A n B n的距离，从而得△A n B n P n的面积.7.正方形8.3n+19.24n-5提示：根据A点的坐标为(8,4)即可得出正方形的边长依次为20、21、22、23、…，第n个正方形的边长为2n-1计算,第n个阴影部分是在第2n-1和2n个正方形中，与求S2的方法一样，第n个阴影部分的面积是第2n-1个正方形面积的一半，∴S n=12×（22n-1-1）2=24n-5.类型之三点的坐标的变化规律1.(1,-1 007)2.(0，3-1) (-8，-8)提示：由于22÷3=7……1，而A1的坐标为(-1，-1)；A4的坐标为(-2，-2)；A7的坐标为(-3，-3)；……；A22的坐标为(-8，-8).3.(63，32)提示：A1(0,1)，B1(1，1);A2(1，2)B2(3，2),A3(3，4),B3(7，4);依次类推A n(2n-1,2n-1),所以B6(63，32).4.(4 027，4 027)提示：M1(a1，a1)是抛物线y1=(x-a1)2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=(x-a1)2+a1相交于A1，得x2=(x-a1)2+a1，即2a1x=a21+a1，x=12(a1+1).∵x为整数点，∴a1=1，M1(1，1)；同理M2(3，3)，M3(5，5)，……，∴M2 014(2 014×2-1，2014×2-1)，即M2014(4 027，4 027).。
2018年中考数学规律探索题(中考找规律题目_有答案解析)(最新整理)
中考规律探索1以下为全部整理类型.规律探索共两套试题.供参考学习使用一．选择题1．观察下列等式：31＝3.32＝9.33＝27.34＝81.35＝243.36＝729.37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（ ）A．0 B．1 C．3 D．72.把所有正奇数从小到大排列.并按如下规律分组：（1）.（3.5.7）.（9.11.13.15.17）.（19.21.23.25.27.29.31）.….现用等式A M=（i.j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数）.如A7=（2.3）.则A2013=（）A．（45.77） B．（45.39） C．（32.46） D．（32.23）3.下表中的数字是按一定规律填写的.表中a的值应是．1235813a…2358132134…4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成.其中第（1）个图形的面积为2cm2.第（2）个图形的面积为8 cm2.第（3）个图形的面积为18 cm2.…….第（10）个图形的面积为（）A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D． 256 cm25．如图.动点P从（0.3）出发.沿所示的方向运动.每当碰到矩形的边时反弹.反弹时反射角等于入射角.当点P第2013次碰到矩形的边时.点P 的坐标为（）A、（1.4）B、（5.0）C、（6.4）D、（8.3）6．如图.下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是A． M=mn B． M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1)7．我们知道.一元二次方程12-=x 没有实数根.即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“”.使其满足12-=i (即方程12-=x 有一个根为).并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算.且原有的运算律和运算法则仍然成立.于是有,1i i =12-=i .,).1(23i i i i i -=-=⋅=.1)1()(2224=-==i i 从而对任意正整数n.我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么.20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为A ．0B ．1C ．-1D ．8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成.其中第①个图形有1颗棋子.第②个图形一共有6颗棋子.第③个图形一共有16颗棋子.….则第⑥个图形中棋子的颗数为（）图①图②图③··（第8题图）A ．51B ．70C ．76D ．81二．填空题1．观察下列图形中点的个数.若按其规律再画下去.可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．2．如图.在直角坐标系中.已知点A （﹣3.0）、B （0.4）.对△OAB 连续作旋转变换.依次得到△1、△2、△3、△4….则△2013的直角顶点的坐标为．3．如图.正方形ABCD 的边长为1.顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形A 1B 1C 1D 1.由顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第二个正方形A 2B 2C 2D 2….以此类推.则第六个正方形A 6B 6C 6D 6周长是 ．4．直线上有2013个点.我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点.经过3次这样的操作后.直线上共有个点．5．如图.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1.5.12.22…为五边形数.则第6个五边形数是 ．6 ．如图.是用火柴棒拼成的图形.则第n个图形需 根火柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；….则1+3+5+…+2013的值是 ．8．如图12.一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3）.记为C1.它与x轴交于点O.A1；将C1绕点A1旋转180°得C2.交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3.交x 轴于点A3；……如此进行下去.直至得C13．若P（37.m）在第13段抛物线C13上.则m =_________．9.直线上有2013个点.我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点.经过3次这样的操作后.直线上共有个点. 10．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25.15×15=1×2×100+25.25×25=2×3×100+25.35×35=3×4×100+25.…… ……请猜测.第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列.则位于第7行、第7列的数x是__ __．12、如下图.每一幅图中均含有若干个正方形.第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去.则第（6）幅图中含有个正方形；••••••①②③13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆. 第2个图形有10个小圆. 第3个图形有16个小圆. 第4个图形有24个小圆. …….依次规律.第6个图形有 个小圆．14.已知一组数2.4.8.16.32.….按此规律.则第n个数是 ．15、我们知道.经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1.1）时.a＝__________；当顶点坐标为（m.m）.m≠0时.a与m之间的关系式是__________；（2）继续探究.如果b≠0.且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上.请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线.顶点A1.A2.….A n在直线y＝x上.横坐标依次为1.2.….n（为正整数.且n≤12）.分别过每个顶点作x轴的垂线.垂足记为B1.B2.….B n.以线段A n B n为边向右作正方形A n B n C n D n.若这组抛物线中有一条经过D n.求所有满足条件的正方形边长．16．如图.所有正三角形的一边平行于x轴.一顶点在y轴上.从内到外.它们的边长依次为2.4.6.8.….顶点依次用1A、2A、3A、4A、…表示.其中12A A与x轴、底边12A A与45A A、45A A与78A A、…均相距一个单位.则顶点3A的坐标是 .22A的坐标是．第16题图17．如图.已知直线l ：y=33x .过点A （0.1）作y 轴的垂线交直线l 于点B .过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1.过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去.则点A 2013的坐标为 ．18、如图.在平面直角坐标系中.一动点从原点O 出发.按向上.向右.向下.向右的方向不断地移动.每移动一个单位.得到点A 1（0.1）.A 2（1.1）.A 3（1.0）.A 4（2.0）.…那么点A 4n ＋1（n 为自然数）的坐标为 （用n 表示）19．当白色小正方形个数n 等于1.2.3…时.由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．（用n 表示.n 是正整数）20. （2013•衢州4分）如图.在菱形ABCD 中.边长为10.∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点.可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点.可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点.可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 ．21.一组按规律排列的式子：ａ２.43a .65a ,87a,….则第n 个式子是________22.观察下面的单项式：a.﹣2a 2.4a 3.﹣8a 4.…根据你发现的规律.第8个式子是 ．23.如图.已知直线l：y=x.过点M（2.0）作x轴的垂线交直线l于点N.过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1.过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2.…；按此作法继续下去.则点M10的坐标为 ．24.为庆祝“六•一”儿童节.某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律.摆第（n）图.需用火柴棒的根数为 ．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、（n+1）2 2、（8052,0） 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、 2 9、16097 10、[10(n-1)+5]2=100n(n-1)+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、（1）－1；a ＝－1m（或am ＋1＝0）；（2）解：∵a ≠0∴y ＝ax 2＋bx ＝a (x ＋2b a)2－24b a ∴顶点坐标为（－2ba .－24b a ）∵顶点在直线y ＝kx 上∴k (－2ba )＝－24b a ∵b ≠0∴b ＝2k（3）解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上∴可设A n 的坐标为（n .n ）.点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t .t ）由（1）（2）可得.点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正方形∴点D n 的坐标为（2n .n ）∴－1t(2n )2＋2×2n ＝n∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数.且t ≤12.n ≤12∴n ＝3.6或9∴满足条件的正方形边长为3.6或916、（1）.（－8.－8）. 17、()()201340260,40,2或（注：以上两答案任选一个都对）18、（2n.1） 19、n 2+4n 20、20；21、221na n -（n 为正整数）22、-128a 8 23、（884736,0） 24、6n+2规律探索21、 我们平常用的数是十进制数.如2639=2×103+6×102+3×101+9×100.表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0.1.2.3.4.5.6.7.8.9。
2018中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
2018中考数学《规律探索》专题复习试题含解析D故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－34x，点A1坐标为（－3，0）.过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－34x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－34x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解答】解：∵点A1坐标为（－3，0），知O A1=3，把x=－3代入直线y=－34x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1=BAOA11122+=4322+=5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－34x中，得y=320，即A2B2=320.根据勾股定理，OB2=BAOA22222+=)(532022+=325=3512，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－34x中，得y=9100，即A3B3=9100.根据勾股定理，OB3=BAOA33322+=)()(910032522+=9125=3523，∴A4坐标为（－3523，0），O A4=3523；……同理可得An坐标为（－3521--nn，0），O A n=3521--nn；∴A2016坐标为（－3520142015，0）故答案为：（−3520142015，0）【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
全国2018年中考数学真题分类汇编专题复习规律与猜想(不全)
专题复习（一）规律与猜想类型1 数式的变化规律 类型2 图形的变化规律 类型3 坐标的变化规律类型1 数式的变化规律（2018张家界）8.观察下列算式: 221=, 422=, 823=, 1624=,3225=, 6426=,12827=, 25628=…,则+++++543222222…20182+的未位数字是( B )A 8B 6C 4D 0 （2018云南）（2018广安）（2018铜仁）（2018十堰）8.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）A ．21041．5251（2018宜昌）8.1261年，我国南宋数学家杨辉用下图中的三角形解释二项和的惩罚规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律，则,a b ，c 的值分别为( )A ．1,6,15a b c ===B ．6,15,20a b c === C.15,20,15a b c === D ．20,15,6a b c === （2018黔东南、黔南、黔西南）19.根据下列各式的规律，在横线处填空：1111122+-=，111134212+-=，111156330+-=，111178456+-=…… 1120172018+- 120172018=⨯． （2018广西六市同城）（2018荆门）17. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n（n 为正整数）顺次排成一列： 11111111,,,,,,,,,22333n n L L ，记11a =，212a =，312a =，…，11S a =，212S a a =+， 3123S a a a =++，…，12n n S a a a =+++L ，则2018S =．（2018桂林）18.将从1开始的连续自然数按右图规律排列：规定位于第m 行，第n 列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）......按此规律，自然数2018记为 （505，2） . （2018怀化）答案：（2018毕节）20.观察下列运算过程:()()()()()()()⋯⋯-=--=-+-=+=+-=--=-+-=+=+2323232323232323211212121212121212112222请运用上面的运算方法计算: ._____201920171201720151751532311=++++⋯++++++（2018淄博）17.将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、底列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 .（2018孝感）15.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记11a =，23a =，36a =，410a =，…，那么11110210a a a +-+的值是 11 ．（2018咸宁）15.按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列:，，，，，Λ2011216121则这个数列的前2018个数列的和为________.（2018荆州）13.如图所示，是一个运算程序示意图，若第一次输入k 的值为125，则第2018次输出的结果是 ．（2018聊城）17.若x 为实数，则[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[1.6]1=，[]3π=，[ 2.82]3-=-等. []1x +是大于x 的最小整数，对任意的实数x 都满足不等式[][]1x x x ≤<+. ①，利用这个不等式①，求出满足[]21x x =-的所有解，其所有解为 ．（2018白银）18.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2018次输出的结果为 1 ．（2018娄底）18.设123,,a a a K K 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n个数(n 是正整数)已知11a =，2214(1)(1)n n n a a a +=---.则2018a = 4035 .（2018成都）（2018泰安）答案：270（2018河北）22. 如图12，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和.发现试用k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数.（2018安徽）18.观察以下等式:第1个等式:120112011=⨯++， 第2个等式:131213121=⨯++，第3个等式:142314231=⨯++，第4个等式:153415341=⨯++，第5个等式:164516451=⨯++，……按照以上规律,解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明.解：（1）175617561=⨯++ （2）11n 1-n n 11n 1-n n 1=+⨯+++（3）证明：左边=1n 1-n n 11n 1-n n 1+⨯+++=）（）（1n n 1-n 1-n n 1n ++++=）（）（1n n 1n n ++=1，右边=1，∴左边=右边. ∴原等式成立. （2018曲靖）（2018滨州）20.观察下列各式：221111++=1+1212⨯， 221111++2323⨯，221111++=1+3434⨯， ... ...请利用你所发现的规律，计算22222222111111111+++1+++1+++ (1122334910)+++，其结果为_9__.（2018德州）11.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式()na b +的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”请计算()na b +的展开式中从左起第四项的系数为（ B ） A ．84 B ．56 C.35 D ．28（2018绵阳）12.将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ A ） A.639 B.637 C.635 D.633（2018枣庄）18.将从1开始的连续自然数按如下规律排列：则2018在第 45 行.类型2 图形的变化规律（2018重庆A卷）4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】∵第1个图案中的三角形个数为:2+2=2×2=4;第2个图案中的三角形个数为:2+2+2=2×3=6;第3个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2×4=8;……∴第7个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2×8=16;【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果。
2018年中考数学压轴题专题复习——规律探究题
2018年中考数学专题复习第一讲——规律探究题【专题分析】在课改以后的中考数学命题中,各地都十分重视规律探究的考查,各省市数学中考试题中基本上每年都有这样的题目,这类试题通常有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究等,它的选材不只限于教材上的代数知识或几何知识(材料涉及的知识点并不是考查的重点,而只是考查考生分析归纳能力的载体),所以解答此类问题,相关的知识和技能只是基础,重要的是具备对问题观察、分析、归纳、解决的能力.【知识归纳】新课标核心要求用代数式表示数量关系及所反映的规律,考查考生的抽象思维能力,根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究,一般有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究.数字变化类规律探究,即是通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查考生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.数字变化类规律探究既是规律探究问题中的基础,也是规律探究的重点.图形变化类规律探究,即是给定一些结构类似、数量和位置不同的几何图案,这些图案之间有一定的规律,并且还可以由一个通用的代数式来表示.这种探索图形构成元素规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题.数形结合变化类规律探究,其实质是数字规律探究和图形规律探究的结合,其特点就是二者兼而有之.【题型解析】题型1:数字变化类规律探究例题：（2017年江苏扬州）在一列数：a1，a2，a3，,，a n中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A．1 B．3 C．7 D．9【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】本题可分别求出n=3、4、5,时的情况，观察它是否具有周期性，再把2017代入求解即可．【解答】解：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；周期为6；2017÷6=336,1，所以a2017=a1=3．故选B．方法指导：数字类规律问题一般先观察一列数字的规律,观察分析、归纳猜想得出一般性的结论,再验证,从而得到问题的答案.题型2:图形变化类规律探究例题: （2017甘肃张掖）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为8 ，第2017个图形的周长为．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据已知图形得出每增加一个四边形其周长就增加3，据此可得答案．【解答】解：∵第1个图形的周长为2+3=5，第2个图形的周长为2+3×2=8，第3个图形的周长为2+3×3=11，,∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053，故答案为：8，6053．方法指导：考查探究图形的变化规律,找出图形的变化规律是解题的关键题型3数形结合变化类规律探究例题：（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，,在直线l上，点B1，B2，B3，,在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，,，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2 ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先求出B1、B2、B3,的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）,，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，，∴B n的横坐标为2n+1﹣2．故答案为 2n+1﹣2．方法指导：考查此类问题重点是结合图形进行分析研究后得到数字与图形之间的关系，利用相关知识解答即可。
2018年中考数学安徽专版复习专题突破课件专题二 规律性探索题
4．解： 【规律探究】
ZT2－2
n（n＋1）（2n＋1） n（n＋1）（2n＋1） 2n＋1； ； . 2 6
专题二┃ 规律性探索题
【解决问题】 1 ＋2 ＋3 ＋„＋2017 根据以上发现，计算 的结果为 1＋2＋3＋„＋2017 ________ 1345. ．
2 2 2 2
专题二┃ 规律性探索题
[解析] 找规律，21末尾数字为2，21＋22末尾数字为6，21＋ 22＋23末尾数字为4，21＋22＋23＋24末尾数字为0，21＋22＋23 ＋24＋25末尾数字为2，发现周期为4，2017÷4的余数是1，因 此21＋22＋23＋24＋…22017的末尾数字与21末尾数字相同，为2.
专题二┃ 规律性探索题
专题二┃ 规律性探索题 【例题分层分析】 (1)认真观察、比较每个等式左右两边，你发现什么数字不 变，哪些数字变化？ (2)你能发现变化的数字有什么变化规律吗？ (3)仔细比对，变化的数字与序号有怎样的对应关系？ 【例题方法归纳】
专题二┃ 规律性探索题
【针对训练】
1．【2017·岳阳】观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24 ＝16，25＝32，26＝64，„，根据这个规律，则21＋22＋23＋24 ＋„22017的末尾数字是( B ) A．0 B ．2 C．4 D ．6
3. 【 2017· 云南】观察下列各个等式的规律：第一个等式： 22－12－1 32－22－1 4 2 － 32 － 1 ＝1，第二个等式： ＝2，第三个等式： 2 2 2 ＝3，„，请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)直接写出第四个等式； (2)猜想第 n 个等式(用 n 的代数式表示)，并证明你猜想的等 式是正确的．
专题二┃ 规律性探索题
【中考数学】2018题型专项(十) 规律与猜想
题型专项(十) 规律与猜想规律与猜想问题指的是给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，通过认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，进而得出结论，并加以验证的数学探索题，规律与猜想题型几乎是云南省学业水平考试中的必考题型，2016年前均以选择题或填空题的形式出现，但2016年和2017年这两年云南省卷改变过去的考查方式，以解答题形式考查，且在2016年以压轴题呈现，分值较大，其解题步骤大致可归纳为：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论→拓展应用，复习时应加强练习.类型1 数式的变化规律【例1】 (2017·云南T 16·6分)观察下列各个等式的规律：第一个等式：22－12－12＝1，第二个等式：32－22－12＝2，第三个等式：42－32－12＝3，…请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n 个等式(用n 的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．解：(1)第四个等式：52－42－12＝4.……2分(2)第n 个等式：（n ＋1）2－n 2－12＝n.……4分证明：∵（n ＋1）2－n 2－12＝（n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）－12＝n ，∴（n ＋1）2－n 2－12＝n.…………6分方法指导1.探究数式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律——即变的数与等式的序数之间存在的规律．2．规律探究的基本原则：(1)遵循类推原则，项找项的规律，和找和的规律，差找差的规律，积找积的规律；(2)遵循有序原则，从特殊开始，从简单开始，先找3个，发现规律，再验证运用规律．3．数与式的变化规律一般有两种：一是变化规律符合某个通项；二是变化规律围绕某部分循环．Ｋ1．(2017·曲靖模拟1)观察下列等式：12＝1－12＝12，12＋14＝1－14＝34，12＋14＋18＝1－18＝78，…，则12＋14＋18＋…＋12n ＝2n －12n ．(直接填结果，用含n 的代数式表示，n 是正整数，且n ≥1) 2．(2014·云南)观察规律并填空：(1－122)＝12×32＝34；(1－122)(1－132)＝12×32×23×43＝12×43＝23；(1－122)(1－132)(1－142)＝12×32×23×43×34×54＝12×54＝58；(1－122)(1－132)(1－142)(1－152)＝12×32×23×43×34×54×45×65＝12×65＝35；…(1－122)(1－132)(1－142)(1－152)…(1－1n 2)＝n ＋12n．(用含n 的代数式表示，n 是正整数，且n ≥2)3．(2017·曲靖二模)为了求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值，可令M ＝1＋3＋32＋33＋…＋3100，则3M ＝3＋32＋33＋34＋…＋3101，因此，3M －M ＝3101－1，所以M ＝3101－12，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝3101－12，仿照以上推理计算：1＋5＋52＋53＋…＋52 017的值是52 018－14．类型2 图形的变化规律 【例2】 (2015·云南)如图，在△ABC 中，BC ＝1，点P 1，M 1分别是AB ，AC 边的中点，…，点P 2，M 2分别是AP 1，AM 1的中点，点P 3，M 3分别是AP 2，AM 2的中点，按这样的规律下去，P n M n 的长为12n ．(n 为正整数)【思路点拨】 解此题的关键是要知道中位线的性质，即三角形的中位线等于第三边的一半，从而归纳得出其中的规律．【解析】 根据中位线的性质可知，在图1中，P 1M 1＝12BC ＝12；在图2中，P 2M 2＝12P 1M 1＝122；在图3中，P 3M 3＝12P 2M 2＝123；…在图n 中，P n M n ＝12n .故答案为12n .方法指导图形规律问题主要是观察图形的组成特点，分析每个图形之间的联系与区别，用相应的算式描述其中的规律，并注意数形结合．Ｋ4．(2015·曲靖)用火柴棒按下图所示的方式摆大小不同的“H ”：依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒29根．5．(2017·昆明市官渡区二模)如图有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，第4幅图中有7个菱形，第n(n是正整数)幅图中共有(2n－1)个菱形．类型3坐标的变化规律【例3】(2016·曲靖)等腰△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A(－6，0)，点B在原点，CA＝CB＝5，把等腰△ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针连续翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是77．【思路点拨】根据题意可知△ABC每翻转3次就等同于向右平移了1个△ABC的周长个单位长度，而△ABC 的周长为16，故第15次翻转后点C的位置就是原点C向右移动了16×5＝80个单位长度．【解析】∵点A(－6，0)，点B在原点，CA＝CB＝5，∴C的坐标为(－3，4)．根据题意可知，△ABC每翻转3次就等同于向右平移了1个△ABC的周长个单位长度，15÷3＝5，且△ABC的周长为5＋5＋6＝16，16×5＝80，－3＋80＝77.∴当第15次翻转后，点C的坐标为(77，4)，即横坐标为77.方法指导坐标的变化规律的探究是数与图形综合的探究．因为点附在图形上，图形在做有规律的变换导致图形的点在做有规律的变换，所以在探究时，先分析图形的变换规律，根据图形的变换规律求出前面几个点的坐标，然后利用分析数的变换规律的方法分析出一般的规律，再按照一般的规律写出任何一个要求的点的坐标．Ｋ6．(2017·红河州个旧市一模)在平面直角坐标系中，小明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是(100，33)．7．(2017·曲靖一模)如图，已知菱形OABC的两个顶点O(0，0)，B(2，2)．若将菱形绕点O以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2 017秒时，菱形两对角线交点D1．(2017·内江)如图，过点A 0(2，0)作直线l ：y ＝33x 的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：A 0A 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2 016A 2 017的长为(B )A ．(32)2 015B ．(32)2 016C ．(32)2 017D ．(32)2 018 2．(2017·黔东南)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a ＋b)n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a ＋b)20的展开式中第三项的系数为(D )A ．2 017B ．2 016C ．191D ．190 3．(2017·红河州个旧市二模)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，…，解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32 017的末位数字是3． 4．(2017·普洱市思茅三中一模)如图所示是一组有规律的图案，第(1)个图案由4个基础图形组成，第(2)个图案由7个基础图形组成，…，第(n)(n 是正整数)个图案中的基础图形个数为(3n ＋1)．(用含n 的式子表示)(1) (2) (3)5．(2017·昆明市官渡区交际合作学校模拟)一列数：0，－1，3，－6，10，－15，21，…，按此规律第21个数为210． 6．(2017·曲靖市罗平县二模)按一定规律排列的一列数：1，3，6，10，…，则第n 个数是n （n ＋1）2．7．(2017·楚雄州双柏县二模)一列数a 1，a 2，a 3，…满足条件：a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，且n 为整数)，则a 2 017＝12．8．(2017·绥化)如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为12－．9．(2017·曲靖模拟2)若x 是不等于1的实数，我们把11－x 称为x 的差倒数，如2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.现已知x 1＝－13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2 017＝－13．10．(2014·曲靖)如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是1，2，A 1，A 2关于点O 对称，A 2，A 3关于点P 对称，A 3，A 4关于点O 对称，A 4，A 5关于点P 对称…依此规律，则点A 14表示的数是－25．11．(2017·红河州蒙自市一模)阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017.首先设S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017，① 则2S ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018，② ②－①，得S ＝22 018－1.即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017＝22 018－1.以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”． 根据错位相减法计算：1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 017＝32 018－12．12．(2017·衡阳)正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按如图的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点B 2 018的纵坐标是22_017．13．(2017·曲靖市罗平县一模)如图，一条抛物线y ＝－x(x －2)(0≤x ≤2)的一部分，记为C 1，它与x 轴交于O ，A 1两点，将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于点A 2，将C 2绕点A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3，…，如此进行下去，直至得到C n .若点P(2 017，y)在抛物线C n 上，则y ＝1．14．(2017·济宁)如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，…，如此继续下去，则正六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 41815．(2017·楚雄州双柏县一模)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 顶点B n 的横坐标为2n ＋1－2．16．(2017·天门、仙桃、潜江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2 017的坐标为(－2，0)．17．观察下列等式：①11×2×3＝23－12；②12×3×4＝38－13；③13×4×5＝415－14；…按照此规律，解决下列问题：(1)完成第④个等式；(2)写出你猜想的第m 个等式(用含m 的式子表示)，并证明其正确性． 解：(1)14×5×6＝524－15.(2)1m （m ＋1）（m ＋2）＝m ＋1（m ＋1）2－1－1m ＋1. 证明：右边＝（m ＋1）2－[（m ＋1）2－1]（m ＋1）[（m ＋1）2－1]＝1（m ＋1）（m 2＋2m ）＝1m （m ＋1）（m ＋2）＝左边． ∴1m （m ＋1）（m ＋2）＝m ＋1（m ＋1）2－1－1m ＋1.18．(2017·内江)观察下列等式：第一个等式：a 1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1； 第二个等式：a 2＝221＋3×22＋2×（22）2＝122＋1－123＋1； 第三个等式：a 3＝231＋3×23＋2×（23）2＝123＋1－124＋1； 第四个等式：a 4＝241＋3×24＋2×（24）2＝124＋1－125＋1.按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a 6＝ 261＋3×26＋2×（26）2＝126＋1－127＋1； (2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n＝ 2n 1＋3×2n ＋2×（2n ）2＝12n＋1－12n ＋1＋1； (3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝1443； (得出最简结果)(4)计算：a 1＋a 2＋…＋a n .解：原式＝(12＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n ＋1－12n ＋1＋1)＝12＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1.19．(2017·昆明市五华区一模)观察下表：我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x ＋y ，回答下列问题：(1)16x ＋9y ，25x ＋16y ，格的“特征多项式”为(n ＋1)2x ＋n 2y ；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16. ①求x ，y 的值；②在①的条件下，第n 格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值；若没有，请说明理由．解：①∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴根据题意，得⎩⎨⎧4x ＋y ＝－10，9x ＋4y ＝－16，解得⎩⎨⎧x ＝－247，y ＝267.②有最小值．理由：将x ＝－247，y ＝267代入(n ＋1)2x ＋n 2y ，得(－247)(n ＋1)2＋267n 2＝27(n －12)2－3127， 当n ＝12时，最小值为－3127.20．(2016·云南)有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是11×2；第二个数是12×3； 第三个数是13×4； …对任何正整数n ，第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2n ×（n ＋2）.(1)经过探究，我们发现： 11×2＝11－12； 12×3＝12－13； 13×4＝13－14； 设这列数的第5个数为a ，那么a>15－16，a ＝15－16，a<15－16，哪个正确？请你直接写出正确的结论；(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n 个数(即用正整数n 表示第n 个数)，并且证明你的猜想满足“第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2n ×（n ＋2）”；(3)设M 表示112，122，132，…，12 0162这2 016个数的和，即M ＝112＋122＋132＋…＋12 0162，求证：2 0162 017<M<4 0312 016. 解：(1)a ＝15－16.(2)这列数的第n 个数为1n （n ＋1）.证明：∵这列数的第n 个数为1n （n ＋1），∴第(n ＋1)个数为1（n ＋1）（n ＋2）.∵1n （n ＋1）＋1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1(1n ＋1n ＋2)＝1n ＋1·n ＋2＋n n （n ＋2）＝2n （n ＋2）， ∴第n 个数与第(n ＋1)个数的和等于2n （n ＋2）.(3)证明：∵1－12＝11×2<112＝1；12－13＝12×3<122<11×2＝1－12； 13－14＝13×4<132<12×3＝12－13； …12 015－12 016＝12 015×2 016<12 0152<12 014×2 015＝12 014－12 015； 12 016－12 017＝12 016×2 017<12 0162<12 015×2 016＝12 015－12 016， ∴1－12 017<112＋122＋132＋…＋12 0152＋12 0162<2－12 016，即2 0162 017<112＋122＋132＋…＋12 0152＋12 0162<4 0312 016.∴2 0162 017<M<4 0312 016.。
2018年中考数学压轴题专题复习——规律探究题
2018年中考数学专题复习第一讲——规律探究题【专题分析】在课改以后的中考数学命题中,各地都十分重视规律探究的考查,各省市数学中考试题中基本上每年都有这样的题目,这类试题通常有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究等,它的选材不只限于教材上的代数知识或几何知识(材料涉及的知识点并不是考查的重点,而只是考查考生分析归纳能力的载体),所以解答此类问题,相关的知识和技能只是基础,重要的是具备对问题观察、分析、归纳、解决的能力.【知识归纳】新课标核心要求用代数式表示数量关系及所反映的规律,考查考生的抽象思维能力,根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究,一般有数字变化类规律探究、图形变化类规律探究、数形结合变化类规律探究.数字变化类规律探究,即是通常给定一些数字、代数式、等式或不等式,然后猜想其中蕴含的规律,反映了由特殊到一般的数学方法,考查考生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.数字变化类规律探究既是规律探究问题中的基础,也是规律探究的重点.图形变化类规律探究,即是给定一些结构类似、数量和位置不同的几何图案,这些图案之间有一定的规律,并且还可以由一个通用的代数式来表示.这种探索图形构成元素规律的试题,解决思路有两种:一种是数图形,将图形转化为数字规律,再用函数法、观察法解决问题;另一种是通过图形的直观性,从图形中直接寻找规律,常用“拆图法”解决问题.数形结合变化类规律探究,其实质是数字规律探究和图形规律探究的结合,其特点就是二者兼而有之.【题型解析】题型1:数字变化类规律探究例题：（2017年江苏扬州）在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A．1 B．3 C．7 D．9【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】本题可分别求出n=3、4、5…时的情况，观察它是否具有周期性，再把2017代入求解即可．【解答】解：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；周期为6；2017÷6=336…1，所以a2017=a1=3．故选B．方法指导：数字类规律问题一般先观察一列数字的规律,观察分析、归纳猜想得出一般性的结论,再验证,从而得到问题的答案.题型2:图形变化类规律探究例题: （2017甘肃张掖）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为8 ，第2017个图形的周长为．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据已知图形得出每增加一个四边形其周长就增加3，据此可得答案．【解答】解：∵第1个图形的周长为2+3=5，第2个图形的周长为2+3×2=8，第3个图形的周长为2+3×3=11，…∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053，故答案为：8，6053．方法指导：考查探究图形的变化规律,找出图形的变化规律是解题的关键题型3数形结合变化类规律探究例题：（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为2n+1﹣2 ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B 1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…∴Bn的横坐标为2n+1﹣2．故答案为 2n+1﹣2．方法指导：考查此类问题重点是结合图形进行分析研究后得到数字与图形之间的关系，利用相关知识解答即可。
31_专题二 规律与猜想
(二)图形循环型 图形按一定的规律循环,需要探索给出的一部分图形的循环规律,然后找到循 环周期,再用规律解答问题.
典例5有一串彩色的珠子,按白黄蓝的顺序重复排列,其中有一部分珠子放在 盒子里,如图所示,则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是 ( B )
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月下午11时42分21.9.623:42September 6, 2021
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16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月6日星期一11时42分9秒23:42:096 September 2021
思路点拨 本题考查了等式的规律探索,体现了归纳猜想能力.观察容易得到
规律,但证明过程需要考虑到乘法公式.
解 (1)第四个等式为 52 42 1=4.
2
(2)第n个等式为 (n 1)2 n2 1=n.
2
证明:左边= n2 2n 1 n2 1= 2n =n,
2
2
左边=右边,所以等式成立.
当堂巩固
第五行
25 24 23 22 21 20 19 18 17
……
则2 018在第 45行.
5.(2018山东淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4 列的数是12,则位于第45行、第8列的数是 2 018 .
类型二 等式规律及计算、证明
题型特点 给出几个有规律的等式,通过观察、探索、猜想、验证得出一般规律,有时还 需要用一般规律计算. 方法规律 注意分步看,先从左右两边分别看,再从一边的各个小项分别看.
6
2018年中考数学总复习第二部分重点专题提升专题一规律探索型问题课件
课件
★热点问题分析
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类型2
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人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
2018中考数学第二轮专题复习 规律探索问题
专题一：规律探索问题1. （11·漳州）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，nn 的代数式表示）2. .如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 .3．(2018·湛江)观察下列算式：31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35＝243,36＝729,37＝2 187,38＝6 561，…通过观察，用你所发现的规律确定32 000的个位数字是( ) A ．3 B ．9 C ．7 D ．14．(2018·盐城)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是( )A ．38B ．52C ．66D ．745．(2018·武汉)如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是( )A ．(13,13)B ．(－13，－13)C ．(14,14)D ．(－14，－14) 6．(2018·广东)阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，3×4＝13(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20.读完以上材料，请你计算下列各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)； (2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.7．(2018·眉山)如图，将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图(图②)；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图(图③)；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，…则得到的第五个图中，共有________个正三角形．第1个图形第2个图形 第3个图形…53A 1A C A 1AC8．(2018·龙岩)如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S 1、S 2、S 3、…，则S 50＝________.(结果保留π)解答题例1．(15分)(2018·杭州)给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点；……(1)请观察上面的命题，猜想出命题n(n 是正整数)； (2)证明你猜想的命题n 是正确的．例2．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）现把小棒依次摆放在两射线AB ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒． 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：___________ ．（填“能“或“不能”） （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1． ①θ=_______ 度；②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1，A 3A 4=a 2，…），求出此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）．活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1． 数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1=______ ，θ2=______ ，θ3=_________ （用含θ的式子表示）； （4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围．专题一：规律探索作业： 姓名________________ 1．(2018·福州)如图，直线y ＝3x ，点A 1坐标为(1,0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此作法进行下去，点A 5的坐标为________．2．(2018·十堰)如图，n ＋1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P 1M 1N 1N 2的面积为S 1，四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2，…，四边形 P n M n N n N n ＋1的面积为S n ，通过逐一计算S 1，S 2，…，可得S n ＝________.3．(2018·连云港)如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去，……利用这一图形，能直观地计算出34＋342＋343＋ (3)4n ＝________.4．（2018•江津区）如图，四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ） ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是 ④四边形A n B n C n D n 的面积是．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④5. 我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如=+；=+；=+；…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数（n 是不小于2的正整数）=+， 那么a+b=．（用含n 的式子表示）6. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠A ＝30º，BC ＝1．过点C 作CC 1⊥AB 于C 1，过点C 1作C 1C 2⊥AC 于C 2，过点C 2作C 2C 3⊥AB 于C 3，…， 按此作发进行下去，则AC n ＝ ．7．2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点1B 、2B 、3B 、…、n B 和1C 、2C 、3C 、…、n C 分别在直线=y -12x和x 轴上，则第n 个阴影正方形的面积为 ．8．(2018·江西)课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．【实验与论证】 设旋转角∠A 1A 0B 1＝α(α<∠A 1A 0A 2)，θ3、θ4、θ5、θ6所示的角如图所示．(1)用含α的式子表示角的度数：θ3＝________，θ4＝________，θ5＝________.(2)图①～图④中，连结A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；【归纳与猜想】 设正n 边形A 0A 1A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1B 2…B n －1重合(其中，A 1与B 1重合)，现将正n 边形A 0B 1B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α(0°<α<180°n)．(3)设θn 与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn 的度数． (4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由．。
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专题复习(二) 规律与猜想
1．(2016·娄底)“数学是将科学现象升华到本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化
学式是CH
4，乙烷的化学式是C
2
H
6
，丙烷的化学式是C
3
H
8
，……，设碳原子的数目为n(n为正整数)，
则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示(A)
A．C
n H
2n＋2
B．C
n
H
2n
C．C
n H
2n－n
D．C
n
H
n＋3
2．(2016·邵阳)如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)
A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n
C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1
3．(2016·凉山)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2 016应标在(D)
第1个正方形第2个正方形第3个正方形第4个正方形
A．第504个正方形的左下角
B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的左上角
D．第505个正方形的右下角
4．(2016·宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需50根火柴棒．
①②③
5．(2016·南宁)观察下列等式：
第一层1＋2＝3
第二层4＋5＋6＝7＋8
第三层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15
第四层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24
……
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2 016在第44层．
6．(2016·菏泽)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x ≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P(11，m)在第6段抛物线C 6上，则m ＝－1．
7．(2016·泰安)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 顶点B n 的横坐标为2n ＋1－2．
8．(2016·威海)如图，点A 1的坐标为(1，0)，A 2在y 轴的正半轴上，且∠A 1A 2O ＝30°，过点A 2
作A 2A 3⊥A 1A 2，垂足为A 2，交x 轴于点A 3；过点A 3作A 3A 4⊥A 2A 3，垂足为A 3，交y 轴于点A 4；过点A 4作A 4A 5⊥A 3A 4，垂足为A 4，交x 轴于点A 5；过点A 5作A 5A 6⊥A 4A 5，垂足为A 5，交y 轴于点A 6；…按此规律进行下去，则点A 2 016－
9．(2016·安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：
(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含n 的代数式填空： 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝2n 2＋2n ＋1．。