钢丝绳碰撞动力学模型

第26卷第10期 V ol.26 No.10 工 程 力 学 2009年 10 月 Oct. 2009 ENGINEERING MECHANICS

197

———————————————

收稿日期：2008-06-16；修改日期：2008-12-09

作者简介：*方子帆(1963―)，男，湖北黄冈人，教授，博士，博导，副院长，从事车辆系统动力学与控制研究(E-mail: fzf@)； 吴建华(1983―)，男，湖北大冶人，硕士，从事机械振动与控制研究(E-mail: wujianhua83@)；

何孔德(1973―)，男，湖北宜昌人，副教授，硕士，从事机械振动与控制研究(E-mail: hekongde@)； 张明松(1965―)，男，湖北荆州人，副教授，学士，从事结构设计与机械振动研究(E-mail: zms@).

文章编号：1000-4750(2009)10-0197-06

钢丝绳碰撞动力学模型

*

方子帆，吴建华，何孔德，张明松

(三峡大学机械与材料学院，湖北，宜昌 443002)

摘 要：以钢丝绳及其连接结构为对象，对其碰撞动力学模型进行研究。将钢丝绳离散为单元模型，利用相对坐标关系建立其动力学模型，并将其连接结构以集中质量模型作为钢丝绳端部约束条件引入到钢丝绳动力学模型中，建立钢丝绳及其连接结构的动力学模型。将钢丝绳的碰撞接触力引入到钢丝绳及其连接结构的动力学模型中，建立这类结构的碰撞动力学模型。在RecurDyn 环境中建立了具有横向和垂挂空间姿态的钢丝绳及其连接结构的动力学仿真模型，并进行仿真研究。研究结果表明这些模型可以用作刚柔混合结构的动力学分析，同时能够实现这类结构的可视化动态仿真。

关键词：钢丝绳；碰撞；动力学模型；相对坐标法；RecurDyn 中图分类号：O313; TH113.2 文献标识码：A

THE IMPACT DYNAMIC MODEL OF STEEL CABLES

*

FANG Zi-fan , WU Jian-hua , HE Kong-de , ZHANG Ming-song

(College of Mechanical and Material Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)

Abstract: A dynamic model of steel cable is established by a discrete elements method considering relative coordinate relationship. Its connective structures are modeled as lumped mass and incorporated into the steel cable dynamic model as end constraints. Introducing the steel cables contact-impact force into the established dynamic model of steel cable with their connective structure, the impact dynamic model of steel cables with their connective structure is established finally. An example is presented, which is steel cables consisting of a transversely placed and a vertically placed steel cable with their connective structures. The impact dynamic simulation model is established in RecurDyn. The results show that the proposed impact dynamic model can be applied in the dynamic analysis of structural systems consisting flexible bodies and rigid bodies. Key words: steel cable; impact; dynamic model; relative coordinate method; RecurDyn

由于钢丝绳的材料非线性和几何非线性问题，通常采用基于Lagrange 相对坐标系模型和基于Cartesian 坐标的绝对坐标系模型建立这类结构的动力学模型。以Song J O [1]、Simo J C [2]、Avello A [3]等为代表的学者将柔性体的大位移及弹性变形用相对惯性坐标系的单元结点坐标描述，推导出变形体的应变、位移关系。Wu 与Haug 等[4]使用向量变

分方法并结合虚功原理，采用相对坐标再叠加弹性体的模态坐标，建立了柔性多体系统的相对坐标动力学建模方法。Chen 与Shabana [5]用绝对坐标法建立了柔性多体系统的动力学模型。于清与洪嘉振[6]对上述两种建模方法进行了评述，认为相对坐标方法具有动力学方程广义坐标和约束方程少、计算效率高的优点，但程式化较绝对坐标方法差。本文以

198 工 程 力 学

钢丝绳及其连接结构为研究对象，试图利用相对坐标法建立其碰撞动力学模型，并进行应用研究。

1 钢丝绳及其连接结构动力学模型

1.1 钢丝绳动力学模型

将钢丝绳离散成一系列梁单元，钢丝绳的绝对结点变形是沿着钢丝绳拓扑图的一条排序链的相对变形的累加，所以用相对位移作为广义坐标向量来描述钢丝绳的运动，建立钢丝绳的动力学模型。

图1是由两个梁单元组成的系统，在图1(b)中，结点1i −和i 分别被假定为结点i 和1i +的内侧结点。--X Y Z 是惯性坐标系，--k k k x y z (,k i j =)是固联在结点k 上的结点参考坐标系，k r 是结点k 的位移矢量。(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−是固联在结点i 上的结点参考坐标系，第一个下脚标1i −表示第二个小脚标

i 的内侧结点号。在未变形状态时，坐标系

(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−和(1)(1)(1)--i i i x y z −−−的方向一致。

在惯性坐标系--X Y Z 上测量绝对结点位移，而在结点的内侧结点参考坐标系上测量相对结点位移。

(a) 两个梁单元

(b) 梁单元的图形描述

图1 梁单元的结点位置关系

Fig.1 The relation of node position for the beam elements

用(1)i i −′u 和(1)i i −′Θ分别描述一个结点的相对结点位置和方向的广义坐标。结点i 在--X Y Z 的结点位置和方向由结点1i −和相对结点位移表示为：

0(1)(1)(1)(1)()i i i i i i i r r −−−−′′=++A s u (1)

1(1)(1)(1)()i i i i i i i i −−−−′=A A D ΘC (2)

其中：

T (1)(1)1(1)2(1)3[]i i i i i i i i θθθ−−−−′′′′=Θ (3)

式(1)和式(2)中：k A (1,k i i =−)表示结点k 的参考坐标系相对惯性坐标系的转换矩阵；(1)i i −C 表示坐标系--i i i x y z 相对于(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−的转换矩阵；

0(1)i i −′s 表示梁未变形时相对坐标系(1)(1)(1)

--i i i x y z −−−的位置矢量；(1)i i −′u 表示结点i 相对结点1i −坐标系

的变形矢量；

(1)i i −D 是由于坐标系(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−相对结点1i −坐标系的转动转换矩阵，通过欧拉角描述：

(1)1(1)12(1)23(1)3()()()i i i i i i i i θθθ−−−−′′′=D D D D (4) 式(1)的变分为：

0T T

T (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()i i i i i i i i i i i i i r r δδδ−−−−−−−′′′′′=−++A A s u A u (5)

式(5)中符号“~”表示由自身的矢量元素组成的斜对称矩阵，且(1)i i −A 满足：

T (1)(1)i i i i −−=A A A (6)

结点i 和1i −的虚转动关系为： T T (1)(1)(1)(1)(

1)i i i i i i i i δπδπδ−−−−−′′′=+A A H Θ (7) (1)2(1)(1)1(1)1(1)2(1)1(1)1(1)210sin()

0cos()sin()cos()0sin()cos()cos()i i i i i i i i i i i i i i i i θθθθθθθ−−−−−−−−′⎡⎤⎢⎥

′′′=−⎢⎥

⎢⎥′′′⎣⎦

H (8) 合并式(5)和式(7)得到以下一对相邻单元的递归虚位移方程：

(1)1(1)(1)2(1)i i i i i i i i Z B Z B q δδδ−−−−=+ (9)

0T T T T T T (1)(1)(1)T (1)(1)(1)(1)1T

(1)T (1)(1)2T (1)(1)[]()000

00k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i Z r q I B I I B H δδδπδδδ−−−−−−−−−−−−⎧′′=⎪⎪⎡⎤′′=⎣⎦⎪⎪⎡⎤′′−+⎡⎤⎪=⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪

⎡⎤⎪⎡⎤=⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎣⎦⎩

u Θs u A A A A (10) 式(10)中(1)1i i B −和(1)2i i B −仅是结点1i −和i 的相对

位移(1)i i q −的函数。

整个系统在绝对结点坐标系和相对结点坐标系下的虚位移关系可以沿着系统拓扑图的一条排序链通过反复运用式(9)获得：

Z B q δδ= (11)

由虚功原理得到结点1i −和i 组成的梁单元i 的动力学方程为：

y

z x

z i z i −1

y i −1 x i −1

r i −1

r i

i

z (i −1)i

x (i −1)i

y (i −1)i

y i

i −1

x i

i − 1 i −1

i +1 i …

…

向后排序

向前排序