钢丝绳碰撞动力学模型

第26卷第10期 V ol.26 No.10 工 程 力 学 2009年 10 月 Oct. 2009 ENGINEERING MECHANICS
197
———————————————
收稿日期：2008-06-16；修改日期：2008-12-09
作者简介：*方子帆(1963―)，男，湖北黄冈人，教授，博士，博导，副院长，从事车辆系统动力学与控制研究(E-mail: fzf@)； 吴建华(1983―)，男，湖北大冶人，硕士，从事机械振动与控制研究(E-mail: wujianhua83@)；
何孔德(1973―)，男，湖北宜昌人，副教授，硕士，从事机械振动与控制研究(E-mail: hekongde@)； 张明松(1965―)，男，湖北荆州人，副教授，学士，从事结构设计与机械振动研究(E-mail: zms@).
文章编号：1000-4750(2009)10-0197-06
钢丝绳碰撞动力学模型
*
方子帆，吴建华，何孔德，张明松
(三峡大学机械与材料学院，湖北，宜昌 443002)
摘 要：以钢丝绳及其连接结构为对象，对其碰撞动力学模型进行研究。

将钢丝绳离散为单元模型，利用相对坐标关系建立其动力学模型，并将其连接结构以集中质量模型作为钢丝绳端部约束条件引入到钢丝绳动力学模型中，建立钢丝绳及其连接结构的动力学模型。

将钢丝绳的碰撞接触力引入到钢丝绳及其连接结构的动力学模型中，建立这类结构的碰撞动力学模型。

在RecurDyn 环境中建立了具有横向和垂挂空间姿态的钢丝绳及其连接结构的动力学仿真模型，并进行仿真研究。

研究结果表明这些模型可以用作刚柔混合结构的动力学分析，同时能够实现这类结构的可视化动态仿真。

关键词：钢丝绳；碰撞；动力学模型；相对坐标法；RecurDyn 中图分类号：O313; TH113.2 文献标识码：A
THE IMPACT DYNAMIC MODEL OF STEEL CABLES
*
FANG Zi-fan , WU Jian-hua , HE Kong-de , ZHANG Ming-song
(College of Mechanical and Material Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)
Abstract: A dynamic model of steel cable is established by a discrete elements method considering relative coordinate relationship. Its connective structures are modeled as lumped mass and incorporated into the steel cable dynamic model as end constraints. Introducing the steel cables contact-impact force into the established dynamic model of steel cable with their connective structure, the impact dynamic model of steel cables with their connective structure is established finally. An example is presented, which is steel cables consisting of a transversely placed and a vertically placed steel cable with their connective structures. The impact dynamic simulation model is established in RecurDyn. The results show that the proposed impact dynamic model can be applied in the dynamic analysis of structural systems consisting flexible bodies and rigid bodies. Key words: steel cable; impact; dynamic model; relative coordinate method; RecurDyn
由于钢丝绳的材料非线性和几何非线性问题，通常采用基于Lagrange 相对坐标系模型和基于Cartesian 坐标的绝对坐标系模型建立这类结构的动力学模型。

以Song J O [1]、Simo J C [2]、Avello A [3]等为代表的学者将柔性体的大位移及弹性变形用相对惯性坐标系的单元结点坐标描述，推导出变形体的应变、位移关系。

Wu 与Haug 等[4]使用向量变
分方法并结合虚功原理，采用相对坐标再叠加弹性体的模态坐标，建立了柔性多体系统的相对坐标动力学建模方法。

Chen 与Shabana [5]用绝对坐标法建立了柔性多体系统的动力学模型。

于清与洪嘉振[6]对上述两种建模方法进行了评述，认为相对坐标方法具有动力学方程广义坐标和约束方程少、计算效率高的优点，但程式化较绝对坐标方法差。

本文以
198 工 程 力 学
钢丝绳及其连接结构为研究对象，试图利用相对坐标法建立其碰撞动力学模型，并进行应用研究。

1 钢丝绳及其连接结构动力学模型
1.1 钢丝绳动力学模型
将钢丝绳离散成一系列梁单元，钢丝绳的绝对结点变形是沿着钢丝绳拓扑图的一条排序链的相对变形的累加，所以用相对位移作为广义坐标向量来描述钢丝绳的运动，建立钢丝绳的动力学模型。

图1是由两个梁单元组成的系统，在图1(b)中，结点1i −和i 分别被假定为结点i 和1i +的内侧结点。

--X Y Z 是惯性坐标系，--k k k x y z (,k i j =)是固联在结点k 上的结点参考坐标系，k r 是结点k 的位移矢量。

(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−是固联在结点i 上的结点参考坐标系，第一个下脚标1i −表示第二个小脚标
i 的内侧结点号。

在未变形状态时，坐标系
(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−和(1)(1)(1)--i i i x y z −−−的方向一致。

在惯性坐标系--X Y Z 上测量绝对结点位移，而在结点的内侧结点参考坐标系上测量相对结点位移。

(a) 两个梁单元
(b) 梁单元的图形描述
图1 梁单元的结点位置关系
Fig.1 The relation of node position for the beam elements
用(1)i i −′u 和(1)i i −′Θ分别描述一个结点的相对结点位置和方向的广义坐标。

结点i 在--X Y Z 的结点位置和方向由结点1i −和相对结点位移表示为：
0(1)(1)(1)(1)()i i i i i i i r r −−−−′′=++A s u (1)
1(1)(1)(1)()i i i i i i i i −−−−′=A A D ΘC (2)
其中：
T (1)(1)1(1)2(1)3[]i i i i i i i i θθθ−−−−′′′′=Θ (3)
式(1)和式(2)中：k A (1,k i i =−)表示结点k 的参考坐标系相对惯性坐标系的转换矩阵；(1)i i −C 表示坐标系--i i i x y z 相对于(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−的转换矩阵；
0(1)i i −′s 表示梁未变形时相对坐标系(1)(1)(1)
--i i i x y z −−−的位置矢量；(1)i i −′u 表示结点i 相对结点1i −坐标系
的变形矢量；
(1)i i −D 是由于坐标系(1)(1)(1)--i i i i i i x y z −−−相对结点1i −坐标系的转动转换矩阵，通过欧拉角描述：
(1)1(1)12(1)23(1)3()()()i i i i i i i i θθθ−−−−′′′=D D D D (4) 式(1)的变分为：
0T T
T (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()i i i i i i i i i i i i i r r δδδ−−−−−−−′′′′′=−++A A s u A u (5)
式(5)中符号“~”表示由自身的矢量元素组成的斜对称矩阵，且(1)i i −A 满足：
T (1)(1)i i i i −−=A A A (6)
结点i 和1i −的虚转动关系为： T T (1)(1)(1)(1)(
1)i i i i i i i i δπδπδ−−−−−′′′=+A A H Θ (7) (1)2(1)(1)1(1)1(1)2(1)1(1)1(1)210sin()
0cos()sin()cos()0sin()cos()cos()i i i i i i i i i i i i i i i i θθθθθθθ−−−−−−−−′⎡⎤⎢⎥
′′′=−⎢⎥
⎢⎥′′′⎣⎦
H (8) 合并式(5)和式(7)得到以下一对相邻单元的递归虚位移方程：
(1)1(1)(1)2(1)i i i i i i i i Z B Z B q δδδ−−−−=+ (9)
0T T T T T T (1)(1)(1)T (1)(1)(1)(1)1T
(1)T (1)(1)2T (1)(1)[]()000
00k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i i i i i i Z r q I B I I B H δδδπδδδ−−−−−−−−−−−−⎧′′=⎪⎪⎡⎤′′=⎣⎦⎪⎪⎡⎤′′−+⎡⎤⎪=⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪
⎡⎤⎪⎡⎤=⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪⎣⎦⎩
u Θs u A A A A (10) 式(10)中(1)1i i B −和(1)2i i B −仅是结点1i −和i 的相对
位移(1)i i q −的函数。

整个系统在绝对结点坐标系和相对结点坐标系下的虚位移关系可以沿着系统拓扑图的一条排序链通过反复运用式(9)获得：
Z B q δδ= (11)
由虚功原理得到结点1i −和i 组成的梁单元i 的动力学方程为：
y
z x
z i z i −1
y i −1 x i −1
r i −1
r i
i
z (i −1)i
x (i −1)i
y (i −1)i
y i
i −1
x i
i − 1 i −1
i +1 i …
…
向后排序
向前排序
工 程 力 学 199
i i i i i q
q +=M K Q (12) 式(12)中：i M 为单元i 的质量；i K 为单元i 的刚度；
i Q 为单元i 上的广义力。

1.2 连接结构动力学模型
钢丝绳的连接结构为刚体，用集中质量模型描述。

假设该结构是一个在导轨上运行的小车，运用牛顿第二定律列出其动力学方程：
m a F F F =−−反车牵摩 (13) 式(13)中：m 车为运行小车的质量，
包括小车的集中质量和车上钢丝绳的质量；a 为小车的加速度；F 牵为小车的牵引力；F 摩为小车受到的反向摩擦阻力；
F 反为小车的约束反力。

假设该结构是一个卷筒，则运用刚体绕定轴转动的微分方程可列出其动力学方程：
()z J F F F R α=−−拉反摩 (14) 式(14)中：z J 为卷筒对转动轴z 轴的转动惯量；R 为其半径；α为角加速度；F 拉为使卷筒转动的力；
F 摩为钢丝绳与卷筒之间的摩擦阻力；F 反为反向
拉力。

1.3 钢丝绳及其连接结构动力学模型
将每一个梁单元的动力学方程的对应矩阵组装起来，考虑连接结构的边界约束条件并加以相应的约束方程，可用拉格朗日乘子法释放约束。

对于约束系统，由虚功原理得到钢丝绳及其连接结构的动力学方程及约束方程为[7]：
T
*(,)0q q
t ⎧++=⎪⎨
=⎪⎩
M Kq C λQ C q (15) 式(15)中：M 和K 分别为质量矩阵和刚度矩阵；C 为约束方程；q C 为约束的雅可比矩阵；*Q 为广义
力矩阵，包括广义主动力和速度二次项广义力向量等；λ为拉格朗日乘子向量，其维数等于约束
方程式的个数；q 为系统的广义坐标向量。

且它们为：
1
11212**T *T *T *T T 123T T T T T
123T T T T T 123T T T T T 123diag(,,,)diag(,,,)
[,,,,]
[,,,,][,,,,][,,,,]nbd nbd nbd nbd m q q q q m q M M M K K K Q Q Q Q q q q q C C C C λλλλ=⎧⎪=⎪
⎪=⎪
⎨=⎪
⎪=⎪
⎪=⎩
M K Q q λC """""" (16) 式(16)中：nbd 表示单元数量；1m 为约束方程数。

2 钢丝绳碰撞动力学模型
2.1 碰撞接触力计算 2.1.1 法向接触力
利用罚函数法计算法向接触力，它将接触非线性问题转化为材料非线性问题。

根据Hertz 理论，法向接触力的大小为：
3
1
2||||
m m m n F k c δδ
δδδ=+ (17) 1
24
3
k ER = (18)
式(17)和式(18)中：k 和c 分别为接触碰撞的刚度和阻尼系数，与接触碰撞物体的几何形状和材料有关，1212/()R R R R R =+为接触物体表面在接触点
的综合曲率半径；21212/(()(1))E E E E E μ=+−为
接触物体材料的综合弹性模量；μ为泊松比；δ 是穿透量δ对时间的一阶导数。

1m 和2m 分别为刚度和阻尼指数，根据Hertz 理论，1m 一般取1.5。

3m 为接触碰撞的穿透指数，引入穿透指数是为了考虑
穿透的阻尼效应，3m 取为2。

接触阻尼采用Lankarani 和Nikravesh [8―9]
根据
能量损耗给出的基于法向变形量的非线性滞后阻
尼模型得：
23(1)4a
k e c v
δ−=
(19) 式(19)中：k 为接触刚度；e 为恢复系数；v 为钢丝绳碰撞速度；δ为接触面的法向变形量；a 为非线性阻尼力幂指数，通过量纲分析表明，该幂指数与上述非线性弹性力指数1m 相等。

2.1.2 切向接触力
接触碰撞的两物体之间的摩擦力随着两物体的相对运动方式改变而不断变化，具有非线性的迟滞特征，由于接触面之间是相互滑动的，因此，把切向接触力定义为库仑摩擦模型。

根据Coulomb 摩擦定律，切向摩擦力与法向接触力成正比，表示为：
()||t t n F v F μ=⋅ (20)
摩擦系数()t v μ与两物体的切向相对速度t v 成非线性关系，且可用一个3次多项式逼近海维赛阶梯函数step 表示为：
step(,0,0,,)sign(),||()step(,,,,)sign(),||t s s t s
t t s s d d t s v v v v v v v v v v v v μμμμ⋅−<⎧=⎨
⋅−⎩. (21)
式(21)中：s μ和d μ分别为粘滞摩擦系数和滑动摩擦
200 工 程 力 学
系数；s v 和d v 分别为最大粘滞摩擦力和滑动摩擦力的临界切向速度。

2.2 钢丝绳碰撞动力学模型
碰撞过程中，法向接触力状况用库恩-塔克条件(Kuhn-Tucker Conditions)来描述[10]。

其表示为：
0000n
n n g F F g F g ⎧⎪>⎪⎨
⋅=⎪⎪⋅=⎩ . (22) 其中：g 表示接触点处两个物体的法向渗透深度；
g 为接触点处的法向相对运动速度；n F 为接触点处的法向力。

第一式表明两物体未发生渗透，第二式表明物体受压后存在着接触力，第三式描述连续接触和间隙接触的切换状况，第四式表达连续接触的状况。

其切向接触力状况可用下列方程组表示：
11
11
11
11:||||00||||
00
t c n t c t c t c F t F F t v t F t ΩμξξΩξ⎧=−⎪⎪−=⎪⎨⎪⎪⎪⋅=⎩-. (23) 其中：μ为摩擦系数；1t F 为主动接触体1在接触点c 处受到的切向力，
1c t 为主动接触体1在接触点c 处的切线方向，1t v 为该点的切向速度；ξ
为比例因
子，是任意非负实数值。

Ω代表第一式描述的情形，它表明物体处于相对滑动状态。

第二式表明滑动速度与受到的切向力反向共线，第三式说明比例因子的取值范围，第四式表明相对滑动速度只发生在同一平面内。

在钢丝绳及其连接结构的动力学方程中引入接触约束条件，得到钢丝绳结构碰撞动力学方程：
T
*(, )0q I q
t ⎧++=+⎪⎨
=⎪⎩
M Kq C λQ Q C q (24) 式(24)中I Q 为碰撞力()F t 相对于广义坐标q 的广
义力列阵。

3 钢丝绳及其连接结构碰撞仿真研究
在多体动力学分析软件RecurDyn 环境下建立钢丝绳及其连接结构仿真模型。

同时确定了仿真参数，进行了钢丝绳碰撞仿真研究。

3.1 仿真模型建立
钢丝绳碰撞仿真模型由一根横向钢丝绳及其连接结构和一根垂挂钢丝绳及其连接结构两部分
组成；横向钢丝绳的两端与小车的支撑结构相连；垂挂钢丝绳的上端固定，下端缠绕在一个放绳卷 筒上。

3.1.1 运行小车模型
在Pro/E 软件中建立小车和导轨的三维装配模型，然后将整个装配模型导出为STEP 格式文件，再将这个STEP 格式文件导入RecurDyn 软件中，定义模型中的车轮与导轨的面-面接触关系以及导轨的固定约束，建立了运行小车的动力学仿真 模型。

3.1.2 钢丝绳模型
在RecurDyn 中采用有限元方法建立钢丝绳这类柔性结构模型。

利用RecurDyn 的Belt 子模块建立钢丝绳以及钢丝绳和卷扬筒模型。

由于垂挂钢丝绳与卷扬筒相连，所以直接在RecurDyn 的Belt 子模块下选用Beam Belt 梁单元组成的带模型建立垂挂钢丝绳模型，RecurDyn 自动定义垂挂钢丝绳与卷扬筒的接触。

所有的模型导入RecurDyn 后，设置小车和导轨的材料属性为钢材，横向钢丝绳和垂挂钢丝绳为定义的材料类型，RecurDyn 自动计算其质量、转动惯量、惯性矩、惯性积以及质心位置。

同时，定义横向钢丝绳与垂挂钢丝绳的柔性曲线-柔性曲线接触关系。

3.2 仿真参数确定
根据《起重机设计手册》，对于双绕钢丝绳，钢丝绳弹性模量r E 与钢的弹性模量E 的关系为： 0.40.6r E E E =− (25)
选取50.5 1.0510MPa r E E ==×，泊松比为0.25。

选取各钢丝绳的参数如表1所示。

表1 钢丝绳主要参数
Table 1 Main parameters for steel cables
参数名称 横向钢丝绳
垂挂钢丝绳
直径/mm 16 8 等效密度/(10−3
g/mm 3
)
4.69 4.84 弹性模量/MPa
105000 105000 泊松比
0.25 0.25
不考虑润滑时静摩擦系数为0.3，动摩擦系数为0.25，最大粘滞摩擦力的临界切向速度为0.1mm/s ，最大滑动摩擦力的临界切向速度为1mm/s 。

根据式(18)和式(19)分别计算小车导轨接触以及钢丝绳接触关系的接触刚度和阻尼，根据RecurDyn 提供的指数参考值，确定它们的接触参数，如表2所示。

工 程 力 学 201
表2 接触参数 Table 2 Contact parameters
小车导轨接触 横向和垂挂钢丝绳接触
接触刚度/(105
N/mm) 1.0 0.75 接触阻尼/(N·s/mm) 50.6 74.7
刚度指数m 1 1.5 1.5
阻尼指数m 2 1 1 穿透指数m 3
2 2
3.3 仿真条件
在小车两侧施加相等的牵引力作为驱动，施加在小车两侧的牵引力表示为：
15.3kN,
8.005kN,10.752kN,F =⎧⎪
⎨⎪⎩
左牵 0s 5.65s 5.65s 6.35s 6.35s 8.35s t t t <<---- 14m 4m 10m s s s === (26)
小车内的张紧机构使横向钢丝绳产生55kN 的预张力且具有一定的空间姿态。

垂挂钢丝绳施加
2kN 的预张力。

同时，使用函数来控制卷筒的转矩，使横向和垂挂钢丝绳碰撞后，垂挂钢丝绳被放出时受到6.5kN 的恒定张力。

选择混合求解积分器HYBRID 作为动力学模型的积分器，计算误差为0.005，最小积分时间步长为0.0001s ，仿真时间为8.35s ，仿真输出100步。

3.4 仿真结果
对钢丝绳碰撞动力学模型进行仿真，提取小车的速度和加速度曲线，分别如图2和图3所示。

图 2 小车速度曲线 Fig.2 Velocity curve for trolley
图3 小车加速度曲线 Fig.3 Acceleration curve for trolley
由图2和图3可知，仿真完成了给定的运动形式。

小车在 5.65s 内以恒定的加速度加速到
5000mm/s ，并以此速度匀速运行0.75s 后，小车速度在5.85s 增大到5400mm/s 后减小到4800mm/s 。

由于钢丝绳碰撞接触力为一个时变力，与设计的恒定力不等，所以碰撞发生后小车在加速运行很短时间后急速发生减速运动。

提取钢丝绳碰撞的接触力曲线，如图4所示。

垂挂钢丝绳下端受力变化曲线，如图5所示。

图4
和图5给出了钢丝绳在碰撞过程中的动态载荷谱。

图4 钢丝绳接触力曲线
Fig.4 Contact force curve between two steel cables
图5 垂挂钢丝绳放绳段受力曲线
Fig.5 Force curve for moving part of a vertically
placed steel cable
由图4可知，接触力在两钢丝绳碰撞后迅速增大，由于横向和垂挂钢丝绳的弹性作用会出现碰撞分离现象，接触力曲线呈现增大-减小-增大的整体增大的趋势。

由图5可知，碰撞时，垂挂钢丝绳放绳段受力迅速增大到12.37kN ，随后由于横向和垂
挂钢丝绳连续碰撞以及卷扬筒的放绳控制使垂挂钢丝绳放绳段的受力在6.5kN 左右波动，实现垂挂钢丝绳恒定受力放绳。

4 结论
采用有限元离散方法，利用相对坐标关系，建立了钢丝绳碰撞动力学模型并进行了仿真实例研
时间/s
速度/(m m /s )
加速度/(m m /s 2)
时间/s
时间/s
接触力/N
时间/s
垂挂钢丝绳放绳段受力/N
202 工程力学
究，结论如下：
(1) 采用相对结点坐标法，通过确定结点的相
对位移以及结点的绝对坐标，建立了钢丝绳的动力
学模型。

并将钢丝绳模型与其连接结构模型组合，建立了钢丝绳及其连接结构的动力学模型。

(2) 将钢丝绳碰撞接触力引入到建立的钢丝绳
及其连接结构动力学模型中，建立了钢丝绳碰撞动
力学模型。

(3) 在RecurDyn环境下建立了钢丝绳碰撞仿
真模型，并进行了仿真研究，提取了结构动态载荷谱，实现了给定的运动形式。

研究结果表明所建立的这些模型可以用作含
柔性件的结构的动力学分析，同时能够实现这类结
构的可视化动态仿真。

参考文献：
[1]Song J O, Haug E J. Dynamic analysis of planar flexible
mechanisms [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1980, 24(2): 359―381.
[2]Simo J C, Quoc V L. The role of nonlinear theories in
transient dynamics analysis of flexible structures [J].
Journal of Sound and Vibration, 1987, 119(3): 487―508. [3]Avello A, Jalon J G D. Dynamic of flexible multi-body
system using cartesian coordinates and large displacement theory [J]. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 1991, 32(6):
1543―1563.
[4]Wu S C, Haug E J. Kim S S. A variational approach to
dynamics of flexible multibody systems [J]. Mechanics of
Structures and Mechanics, 1989, 17(1): 3―32.
[5]Chen C, Shabana A A, Rismantab-Sany J. Generalized
constraint and joint reaction forces in the inverse dynamics of spatial flexible mechanical systems [J].
ASME Journal of Mechanical Design, 1994, 116(3):
777―784.
[6]于清, 洪嘉振. 柔性多体系统动力学的若干热点问题
[J]. 力学发展, 1999, 29(2): 145―154.
Yu Qing, Hong Jiazhen. Some topics on flexible multibody systems dynamics [J]. Advances in Mechanics,
1999, 29(2): 145―154. (in Chinese)
[7]陆佑方. 柔性多体系统动力学[M]. 北京: 高等教育出
版社, 1996.
Lu Youfang. Dynamics of flexible multibody systems [M].
Beijing: Higher Education Press, 1996. (in Chinese)
[8]Hunt K H, Crossley F R E. Coefficient of restitution
interpreted as damping in vibroimpact [J]. ASME Journal
of Applied Mechanics (S0021-8936), 1975, 42: 440―445.
[9]Lankarani H M, Nikravesh P E. A contact force model
with hysteresis damping for impact analysis of multibody
systems [J]. Journal of Mechanical Design (S1050-0472),
1990, 112: 369―376.
[10]陈萌. 基于虚拟样机的接触碰撞动力学仿真研究[D].
武汉: 华中科技大学, 2003.
Chen Meng. Dynamic simulation study of contact impact
based on virtual prototyping technology [D]. Wuhan:
Huazhong University of Science and Technology, 2003.
(in Chinese)。