高中数学：圆锥曲线的垂径定理
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
方法技巧专题10 圆锥曲线中的垂径定理(原卷版)
专题技巧10 圆锥曲线中的垂径定理一、知识框架二、概念及相关典型例题 (一) 圆中的垂径定理（问题背景：直线斜率存在）图1 图2 图3 （1）如图1，在圆O 中，E 为弦AB 中点，则OE ⊥AB ，即1-=⋅AB OE k k （2）如图2，在圆O 中，l 与圆O 相切于E 点，则OE ⊥l ，即1-=⋅AB OE k k .（若切点坐标为),(00y x E ，可得切线l 方程：200r y y x x =+）（3）如图3，AB 为圆O 直径，E 圆上异于A 、B 两点的动点，则BE ⊥AE ，即1-=⋅BE AE k k .（二）圆锥曲线中的垂径定理（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）1.椭圆中的垂径定理（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例）图1 图2 图3 （1）如图1，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE -=⋅;（证明：用点差法）（2）如图2，在椭圆C 中，l 与椭圆相切于E 点，则22ab k k l OE -=⋅;（证明：法一：极限思想，当A 无穷接近B 点；法二：换元法变换为122='+'y x 证明即可；法三：导数）（3）如图3,l 过中心O,交椭圆于A,B 两点,E 是椭圆上异于A 、B 点的动点则22ab k k AEBE -=⋅.（证明：取AE 重点M ，连接OM ，即可用（1）证明）2.双曲线中的垂径定理（以焦点在x 轴的双曲线方程)00(12222>>=-b a by a x ，为例）图1 图2 图3 图4 图5 （1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅;（2）如图3，l 与双曲线相切于E 点，则22ab k k l OE =⋅;（3）如图4，过O 点的l 交双曲线于A,B 两点，E 是双曲线上异于A 、B 点的动点,则22ab k k AEBE =⋅. （4）如图5，l 交上双曲线两渐近线于A,B 两点，E 为线段AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅. 【注意：若焦点在y 轴上的双曲线方程)00(12222>>=-b a b x a y ，，则上面斜率乘积结论变为：22ba ，即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k 22ba k k AEBE =⋅】1.例题初探【例1】过点M(1,1)作斜率为21-的直线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：相交于A,B 两点，若M 是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为 .【例2】已知A 、B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，P 为椭圆上异于A 、B 的点，PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，且4321-=k k ，则该椭圆的离心率为圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）：（1）若方程，且00(122>>=+n m ny m x 或0<mn ）存在以上关系，则上述结论可表述为：m n -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k mn k k AE BE -=⋅，其中n m ，分别是22,y x 系数的倒数. （2）若方程)0,00(122<>>=+AB B A By Ax 或且存在以上关系，则上述结论可表述为：BA -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k BA k k AE BE -=⋅，其中B A ，分别是22,y x 系数.【例3】设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的顶点为21,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C的一条渐近线于M 点，直线M A 2和P A 2的斜率分别为21,k k ，若12PA M A ⊥且0421=+k k ，则双曲线C 离心率为（ ） A 、2 B 、25C 、5D 、4【例4】已知A 、B 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两个顶点，P 是双曲线上异于A 、B 的另一点，P 关于y 轴的对称点为Q ，记直线AP 、BQ 的斜率分别为21,k k ，且5421-=k k ，则双曲线的离心率为【例5】过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A 、B 两点，记线段AB 的中点为M ，且FM 等于半焦距，则双曲线的离心率=e【例6】已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______.2.提高与巩固例题【例1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程为【例2】已知椭圆1422=+y x ，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ， （1）求△PAB 面积的最大值（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围【例3】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 两条渐近线分别交于A ，B ，若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是【例4】已知某椭圆的焦点是)0,4(),0,4(21F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且10||||21=+B F B F ．椭圆上不同的两点),(),,(2211y x C y x A 满足条件：||||||222C F B F A F 、、成等差数列．(1) 求该椭圆的方程； (2) 求弦AC 中点的横坐标；(3) 设弦AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m ，求m 的取值范围．三、自我素养养成练习与思考1.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过原点的直线交椭圆于点P 、A 两点（其中点P 在第一象限），过点P 作x 轴的垂线，垂线为C ，连AC 并延长交椭圆于B ，若PB PA ⊥，则椭圆的离心率为2.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，右顶点为A ，P 为双曲线右支上一点，1PF 交双曲线的左支于点Q ，与渐近线x aby =交于点R ，线段PQ 的中点为M ，若12PF RF ⊥，1PF AM ⊥，则双曲线的离心率为3.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为A 、B ，P 为第一象限内一点，且AB PB ⊥，连接PA 交椭圆于点C ，连BC 、OP ，若BC OP ⊥，则椭圆的离心率为4.如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线MN 与x 轴交于点M ，若212F F MF =，则C 的离心率是 。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
垂径定理及其10个推论
垂径定理是指，在一个曲线上，任意一点到曲线的切线的距离都是一样的。
它的10个推论是：1）曲线的切线方程是垂径定理的特例；2）曲线的切线方程可以由垂径定理推导出来；3）曲线的切线方程的斜率是曲线的切线的斜率；4）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；5）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；6）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；7）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；8）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；9）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；10）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根。
圆锥曲线中的垂直问题解法
圆锥曲线中的垂直问题解法圆锥曲线是常见的数学曲线之一，在几何学和代数学中具有重要的地位。
垂直问题是学习圆锥曲线时经常会遇到的一个问题，它涉及到如何找到曲线上两点之间的垂线。
下面将详细介绍圆锥曲线中垂直问题的解法。
首先，我们需要了解什么是圆锥曲线。
圆锥曲线是在平面上的一个曲线，它可以通过一根固定在一个点上的线段和一个固定的点（焦点）来定义。
根据这个定义，圆锥曲线分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。
1.椭圆：椭圆是一种闭合的曲线，它的定义是到两个焦点（F1和F2）的距离之和等于常数2a。
椭圆的中心在坐标原点上，a是椭圆的半长轴，且a>0。
对于椭圆上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。
2.双曲线：双曲线是一种开口的曲线，它的定义是到两个焦点（F1和F2）的距离之差等于常数2a。
双曲线的中心在坐标原点上，a是双曲线的半长轴，且a>0。
对于双曲线上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。
3.抛物线：抛物线是一种开口的曲线，它的定义是到焦点（F）的距离等于直线的距离。
抛物线的焦点位于抛物线的上方，a是抛物线的焦距，且a>0。
对于抛物线上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。
下面我们将分别介绍解决圆锥曲线中垂直问题的方法：1.椭圆：对于椭圆上的点P(x,y)，我们可以通过求解曲线的切线方程来得到曲线的垂线。
首先，我们需要求解椭圆的切线方程。
椭圆上任意一点(x0,y0)，它的切线方程为：(x-x0)/a^2 + (y-y0)/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
然后，我们得到的切线方程的斜率为k，所以垂线的斜率为-1/k。
最后，我们可以使用点斜式或一般式等方法求解曲线的垂直于切线的直线方程。
2.双曲线：对于双曲线上的点P(x,y)，我们也可以通过求解曲线的切线方程来得到曲线的垂线。
与椭圆类似，双曲线上任意一点(x0,y0)的切线方程为：(x-x0)/a^2 - (y-y0)/b^2 = 1。
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
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垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
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垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
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引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
垂径定理的结论
垂径定理的那些事儿嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊数学中一个特别实用、也特别有趣的定理——垂径定理。
如果你正在学习平面几何，特别是和圆有关的部分，那么这个定理肯定是你的好朋友。
它不仅能帮你解决很多头疼的问题，还能让你的解题思路更加清晰明了。
一、什么是垂径定理？首先，咱们得知道垂径定理长啥样。
简单来说，垂径定理就是：垂直于弦的直径会平分这条弦，并且还会平分这条弦所对的两条弧。
听起来有点绕，不过别急，咱们慢慢分解。
想象一下，你手里有一个圆规画出来的圆，然后你在圆上随便找一条弦（就是圆上两点之间的线段），再画一条经过圆心、并且垂直于这条弦的直径。
根据垂径定理，这条直径会把弦分成两段相等的部分，同时还会把弦所对的两条弧（不管是优弧还是劣弧）也分成相等的两部分。
数学表达就是：如果直径DC垂直于弦AB于点E，那么AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧和劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。
二、垂径定理的推论垂径定理可不是个“独行侠”，它还有几个特别实用的推论，咱们一一来看。
推论一：如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必定垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧。
这个推论就像是垂径定理的“小跟班”，它告诉我们，如果直径和弦有了“平分”的关系，那么它们之间就一定有“垂直”的关系。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论就像是弦的“守护者”，它告诉我们，弦的垂直平分线一定会经过圆心，就像守护圆心一样，同时还会平分弦所对的弧。
推论三：如果一条直径平分了一条弦所对的一条弧，那么这条直径必定垂直平分这条弦，并且也平分弦所对的另一条弧。
这个推论就像是垂径定理的“双胞胎兄弟”，它们之间有很多相似之处，只是条件和结论稍微变了个位置。
推论四：在同一个圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论就像是平行线的“好伙伴”，它告诉我们，在同一个圆或者等圆中，如果两条弦平行，那么它们所夹的弧（无论是优弧还是劣弧）都是相等的。
垂径定理—知识讲解
垂径定理—知识讲解〔提高〕【学习目标】1．明白得圆的对称性；2．把握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)那个地址的直径也能够是半径，也能够是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展依照圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦〔该弦不是直径〕的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，明白任意两个，就能够推出其他三个结论.〔注意：“过圆心、平分弦〞作为题设时，平分的弦不能是直径〕【典型例题】类型一、应用垂径定理进展计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD相互垂直，垂足为E，且AB=CD，CE=1，ED=3，那么⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】关于垂径定理的利用，一样多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 触类旁通：【变式1】如以下图，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如以下图，过点O别离作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，那么四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，2255 2OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，假设AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】2.：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离确实是它们的公垂线段的长度，假设别离作弦AB、CD的弦心距，那么可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.别离连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这种问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，万万别丢解.触类旁通：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，那么MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采纳间接的测量方式．若是用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如以下图)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d确实是⊙O中的弦AB．依照垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ， 那么1105mm 2OA =⨯=，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ． 在Rt △ACO 中，AC ＝22534mm -=，∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ．答：此小孔的直径d 为8mm ．【点评】应用垂径定明白得题，一样转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 只是圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．(1)在下面三个圆中别离画出知足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观看(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(再也不标注其他字母，找结论的进程中所连辅助线不能出此刻结论中，不写推理进程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如以下图，在图①中AB 、CD 延长线交于⊙O 外一点；在图②中AB 、CD 交于⊙O 内一点；在图③中AB ∥CD ．。
方法技巧专题10圆锥曲线中的垂径定理
方法技巧专题10圆锥曲线中的垂径定理圆锥曲线是一类特殊的曲线，包括椭圆、双曲线、抛物线等。
在圆锥曲线中，存在许多重要的性质和定理，其中之一就是垂径定理。
垂径定理描述了圆锥曲线上任意一点的垂直线与曲线的关系，是解题中常用的方法技巧之一垂径定理的表述如下：圆锥曲线上任意一点的垂直线恰好与该点所在的切线相切。
为了更好地理解垂径定理，我们以椭圆为例进行分析。
首先，我们需要明确椭圆的定义及其性质。
椭圆是指平面上所有离定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，常数2a称为椭圆的长轴。
通过椭圆的定义可以得知，椭圆的形状是一个“拉长”的圆。
根据椭圆的性质，我们可以知道椭圆的焦点在长轴上，且定点F1和F2与椭圆的中心O的连线被称为短轴。
椭圆的两个焦点与中心的连线称为主轴。
现在，我们来探讨椭圆上的任意一点P与曲线上的垂直线的关系。
首先，我们任取椭圆上一点P，并且过该点作曲线的切线，设切线与椭圆的交点为T。
我们可以发现，由于切线与椭圆的交点在椭圆上，所以它满足椭圆的定义。
从而，点T到定点F1和F2的距离之和等于常数2a。
同时，点P到定点F1和F2的距离之和也等于常数2a。
这说明了垂直线与切线同时满足椭圆的定义，即垂直线与切线相切。
由此可见，垂径定理可以应用于椭圆上的任意一点，也可以推广到其他圆锥曲线中。
除了椭圆，垂径定理同样适用于双曲线和抛物线。
对于双曲线，其定义为平面上满足两个常数F1和F2到一点的距离之差等于常数2a的点的集合。
对于抛物线，其定义为平面上满足一点到一个定直线和另一点的距离相等的点的集合。
通过类似的推理，我们可以得到垂径定理在双曲线和抛物线上的适用结果。
垂径定理可以方便地用于解决各种与圆锥曲线有关的问题。
例如，通过垂径定理，我们可以确定椭圆上其中一点的切线方程，从而求曲线的切线方程。
此外，我们还可以通过垂径定理来证明一些有关圆锥曲线的重要性质，如：切线垂直于主轴。
总而言之，垂径定理是探讨圆锥曲线中垂直线与曲线的关系的重要方法技巧。
垂径定理—知识讲解
垂径定理一知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.理解圆的对称性：2.掌握垂径定理及其推论：3.学会运用垂径泄理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：（1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即直径 | ［平分弦垂直于弦平分弦所对的弧（2）这里的直径也町以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径泄理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：任垂径宦理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知逍任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明C1.如图，00的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E,且AB=CD、已知C民1, ED=3,贝900的半径是________________ ・【答案】迈・【解析】作0M丄AB于M、ON丄CD于N,连结OA,VAB=CD, CE=\. ED=3,AOM=EN=h AM=2,AOA=V22+12二頁.【点评】对于垂径左理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算（配合勾股泄理）问题.举一反三:【变式1】如图所示，00两5玄AB、CD垂直相交于H, AH = 4, BH = 6,【答案】如图所示，过点0分别作0H丄AB于M, ON丄CD于N,则四边形MONH为矩形.连结0B,••• MO = HN = CN-CH =、CD-CH2= l(CH + DH)-CH=l(3 + 8)-3 = 2.5.2 2BM =-AB = -(BH +AH) = -(4 + 6) = 5,2 2 2•在RtABOM 中，OB = y)BM2+OM2 =-yf5 ・2ID 356965 关联的位汽名称（播放点名称）：例2-例3]【变式21（2015春•安岳县月考）如图，OO直径AB和弦CD相交于点E, AE=2, EB=6, z DEB=30% 求弦CD 长.【答案与解析】解：过O作OF丄CD,交CD于点F,连接OD,・・・F为CD的中点，即CF=DF,T AE=2, EB=6,AB=AE+EB=2+6=8»・•・OA=4,/. OE=OA ■ AE=4 ■ 2=2,在RtA OEF 中，z DEB=30\・・・OF=1OE=1,2在R^ODF 中，OF=L OD=4, 根拯勾股左理得：DF=^2T^j2=V15.则CD=2DF=2A/15・【高淸ID号:356965 关联的位置名称(播放点名称)：例2-例3】Wr 2.已知：00 的半径为10cm,弦AB〃CD, AB二12cm, CD二16cm,求AB、CD 间的距离. 【思路点拨】在O0中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距, 则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1,当＜90的圆心0位于AB、CD之间时，作0M丄AB于点M, 并延长H0,交CD于N点•分别连结AO、C0.VAB/7CD•••ON丄CD,即ON为弦CD的弦心距.TAB二12cm, CD二16cm, AO—OC— 1 Ocm* :.AM二丄AB=6cm,ChT=l CD=8cm2 2 _____________________________MN=MO+NO=7102 -62 + J1L-F二8+6 =14 (cm)B U /厂q、D/\~T M \图1 图2⑵如图2所示，当00的圆心0不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心0的同侧）时,同理可得：MN二0H-0N二8-6二2 （cm）•••00中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm・【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在。
圆锥曲线——垂径定理
有心圆锥曲线的垂径定理（秒杀技）（文末有WORD 版下载方式）定义：圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中，比如垂径定理。
一、椭圆和双曲线的垂径定理（又称第三定义）1.椭圆在椭圆()2222C 10+=>>：x y a b a b中，A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2=1⋅-PA PB k k e 证明：设11A(x ,y )，00P(x ,y )，则11B(x ,y )--，则22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a b x y a b 两式作差得到010*******(x x )(x x )(y y )(y y )a b+-+-+=∴22220101220101(y y )(y y )b c a e 1(x x )(x x )a a+--=-==-+-∴201010101=1+-+⋅⋅=--PA PB y y y yk k e x x x x特别说明，①取PB 中点M 时，OM∥PA，于是2=1⋅-OM PB k k e ②若A，B 为长轴上两顶点时，即为人教A 版数学选修1-1第36页练习题4的问题了。
③若焦点在y 轴上椭圆()2222C 10+=>>：y x a b a b，则21=1⋅-PA PB k k e ④椭圆变为圆时，=1⋅-PA PB k k ，此时可以认为e 0=，即为圆的垂径定理。
2.双曲线在双曲线2222C 1x y a b-=：中，A、B 是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2=1⋅-PA PB k k e 证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
特别说明，①取PB 中点M 时，OM∥PA，于是2=1⋅-OM PB k k e ②若焦点在y 轴上双曲线()2222C 10-=>>：y x a b a b，则21=1⋅-PA PB k k e 应用一．直接秒杀离心率的问题例题1.设A 1,A 2分别为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得12PA PA 1k k 2⋅>-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：122PA PA 1k k =e 12⋅->-，故e 2∈变式：过点M(1,1)且斜率为12-的直线与椭圆C:2222x y 1(a b 0)a b+=>>相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为________.解析：21==1()=12⋅-- OM AB k k e所以e 2=二．直接秒杀中点弦的问题例题2：过点M (1,1)的直线l 与椭圆22x y 143+=交于A ,B 两点,且点M 平分弦AB ,则直线l 的方程为()A .4x+3y-7=0B .3x+4y-7=0C .3x-4y+1=0D .4x-3y-1=0解析：23==1=4⋅--OM AB AB k k k e ，故选B变式：已知双曲线22y x 13-=上存在两点M ,N 关于直线y=x+m 对称,且线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=9x 上,则实数m 的值为()A .4B .-4C .0或4D .0或-4解析：设中点Q 00（x ,y ），则20000200y 9x y x m y(1)e 13x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅-=-=⎪⎩解得m=0或者-4三．与角度有关的问题例题3：已知椭圆()2222C 10+=>>：x y a b a b 的离心率2e =，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22178x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2βαβ+.解答：令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21tan tan =1=4e αγ∙--()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3===cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5γαβγαγααγαβγαγαγααγ-++∙=+++-∙点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。
垂径定理圆锥曲线妙用
垂径定理圆锥曲线妙用
垂径定理是解析几何中常用的一条定理，它指出：对于一个圆，任意一条直线与其相交，过交点作该直线的垂线，则垂足在圆上。
这个定理的应用十分广泛，下面介绍一下它在圆锥曲线中的妙用。
首先，我们看一下圆锥曲线的定义：对于一个定点 F 和定直线 D，所有到 F 距离与到 D 距离之比等于一个常数 e（0<e<1），则称满足此条件的点轨迹为椭圆、双曲线或抛物线。
当 e=1 时，轨迹为一个
圆锥曲线的第一支（即顶点角度小于π/2的支）。
根据圆锥曲线的定义，我们可以得到一个重要结论：圆锥曲线上的任意一点到定点 F 的距离与到定直线 D 的距离之比等于常数 e。
这个结论可以被看作是垂径定理在圆锥曲线中的推广。
接着，我们来看一些具体的例子。
以椭圆为例，设其两个焦点为
F1 和 F2，长轴长度为 2a，短轴长度为 2b，点 P 在椭圆上。
那么，根据定义，有：
PF1/PA + PF2/PB = 2a/2a = 1
其中，A 和 B 分别为椭圆两个端点。
这里的 P 是任意一点，所以我们可以将其看作一个参数，得到类似于坐标方程的表达式：
(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1
这是椭圆的标准方程。
同样地，对于双曲线和抛物线也可以得到类似的标准方程。
通过垂径定理在圆锥曲线中的应用，我们可以快速地推导出其标准方程，进而方便地进行相关计算和分析。
解析几何中的圆锥曲线与相关定理
解析几何中的圆锥曲线与相关定理圆锥曲线是解析几何中重要的研究对象，它们具有广泛的应用。
本文将着重讨论圆锥曲线的基本概念与相关定理。
一、圆锥曲线的基本概念在解析几何中，圆锥曲线是由一个平面截割一个双曲面、椭球或抛物面所得到的曲线。
根据截割方式的不同，可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
它们的定义如下：1. 椭圆：椭圆是一个平面内到两个焦点距离之和等于常数的点的轨迹。
用数学表达式表示为：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心，a和b分别为椭圆的长短半轴。
2. 双曲线：双曲线是一个平面内到两个焦点距离之差等于常数的点的轨迹。
用数学表达式表示为：(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)为双曲线的中心，a和b分别为双曲线的长短半轴。
3. 抛物线：抛物线是一个平面内到焦点距离等于相应点到准线距离的点的轨迹。
用数学表达式表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、圆锥曲线的性质与定理除了上述基本概念外，圆锥曲线还有一些重要的性质与定理，如下所述：1. 离心率与半通径的关系：对于椭圆和双曲线来说，离心率e与半通径r的关系可以表示为e^2 = 1 - (b^2 / a^2)，其中a和b分别为椭圆或双曲线的长短半轴。
2. 焦点和准线的关系：对于椭圆和双曲线来说，焦点到准线的距离称为焦距，其值等于半通径的一半。
这个关系可以用公式表示为f = r / 2，其中f为焦距，r为半通径。
3. 孤焦点定理：椭圆和双曲线上的每个点，其到两个焦点的距离之和等于常数。
对于椭圆来说，这个常数是2a；对于双曲线来说，这个常数是2a'，其中a和a'分别为椭圆和双曲线的长半轴。
4. 直径定理：椭圆和双曲线上的每条直径都通过中心点，并且与准线垂直。
三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中有广泛的应用。
圆锥曲线中的垂直问题解法
圆锥曲线中的垂直问题解法
圆锥曲线是由一个动点P和一个定点F共同确定的曲线。
在圆锥曲线中，对于任意一点P在曲线上，求其到定点F所在直线的垂线。
解法如下：
1. 先确定定点F和曲线上的任意一点P。
2. 连接FP线段，记为d。
3. 在d上取一个点Q，使得FQ段的长度等于FP段的长度。
4. 连接Q和P，得到线段PQ。
5. QC段垂直于曲线的切线，记为t1。
6. 以P为圆心，FP段为半径作圆，与FP相交于点E。
7. 连接E和P，得到线段EP。
8. PE段垂直于曲线的切线，记为t2。
9. PQ和EP的交点即为所求的垂线的垂足。
这样，我们就得到了从曲线上任意一点P到定点F所在直线的垂线。
需要注意的是，在圆锥曲线中，垂线的斜率是不存在的，因为曲线上的点与定点F的连线是在不断变化的。
所以我们使用构造图形的方法来求解垂线。
高三培优讲义9---弦中点与第三定义(点差法)
专题2-1 圆锥曲线——弦中点与第三定义（点差法）中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理）∣椭圆垂径定理：已知A,B 是椭圆()2222=10x y a b a b+>>上任意2点，且弦AB 不平行x 轴，M 为线段AB 中点，则有222=1ABOMb k k e a⋅=−−证明（点差法）：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， OxyABMOxyABM1AB OM k k ⋅=−AB OM k k ⋅=？1212OMy y k x x +=+，1212AB y y k x x −=−，22122212AB OMy y k k x x −⋅=− ∵A ，B 在椭圆上，代入A ，B 坐标得221122=1x y a b+ ①222222=1x y a b+ ② 两式相减得：2222121222=0x x y y a b −−+，整理得2221222212=y y b x x a −−− ∴222=1AB OM b k k e a⋅=−−【思考】 ①椭圆焦点在y 轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 仍有 1212OMy y k x x +=+，1212AB y y k x x −=−，22122212AB OM y y k k x x −⋅=−∵A ，B 在椭圆2222=1x y b a +上，代入A ，B 坐标得 221122=1x y b a+ ①222222=1x y b a+ ②两式相减得：2222121222=0x x y y b a−−+，整理得2221222212=y y a x x b −−− ∴22AB OMa k k b⋅=−可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．OxyABM∵A ，B 在双曲线2222=1x y a b−上，代入A ，B 坐标得 221122=1x y a b− ①222222=1x y a b− ②两式相减得：2222121222=x x y y a b −−， 整理得2221222212=y y b x x a−−∴2221AB OMb k k e a⋅==− 注：抛物线中同样存在类似性质：AB M k y p ⋅=第三定义∣那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点1(,0)A a −，2(,0)A a 的斜率乘积等于常数21e −的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221b e a −=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221b e a−=．OxyABPOxyABPOxyABM1PA PB k k ⋅=−PA PB k k ⋅=？【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点()A m n ，，()B m n −−，的斜率乘积等于常数21e −的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221b e a−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221b e a−=．【证明】,A B 是椭圆()2222=10x y a b a b +>>上的一组对称点，P 为椭圆上任意点，则有222=1PA PBb k k e a⋅=−−证明（点差法）：设()11,P x y ，22(,)A x y ，22(,)B x y −−，1212PAy y k x x −=−，1212PB y y k x x +=+，22122212PA PB y y k k x x −⋅=− ∵P ，A 在椭圆上，代入坐标得221122=1x y a b + ① 222222=1x y a b+ ② 两式相减得：2222121222=0x x y y a b −−+，整理得2221222212=y y b x x a−−− ∴22221222212=1PA PB y y b k k e x x a−⋅==−−−法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的OxyABPOxyABP222=1PA PB OMPB b k k k k e a⋅=⋅=−−【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？ 设()11,P x y ，22(,)A x y ，22(,)B x y −−，1212PA y y k x x −=−，1212PB y y k x x +=+，22122212PA PB y y k k x x −⋅=−OxyABP MOxyABP221122=1x y a b− ①222222=1x y a b− ②两式相减得：2222121222=0x x y y a b −−−，整理得2221222212=y y b x x a −− ∴22221222212=1PA PBy y b k k e x x a −⋅==−−221122=1x y a b − ① 222222=1x y a b− ② 两式相减得：2222121222=x x y y a b −−，整理得2221222212=y y b x x a−− ∴2221PA PB PB OMb k k k k e a⋅=⋅==−2022年全国甲卷（理）T10——第三定义1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．132023全国乙卷·理11·文122．设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A ．()1,1B ．1,2C ．()1,3D ．()1,4−−2022·新高考II 卷T16——弦中点3．已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==，则l 的方程为 ．题型一 中点弦人教A 版（2019）选择性必修第一册 习题3.1 P14重点题型·归类精讲1．已知椭圆22149x y+=,一组平行直线的斜率是32.(1)这组直线何时与椭圆相交?(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.2．给定双曲线2214yx−=，过点1(1)P，能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点．这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。
专题22 圆锥曲线中的垂径定理(解析版)
专题22： 圆锥曲线中的垂径定理一、知识框架二、概念及相关典型例题 (一) 圆中的垂径定理（问题背景：直线斜率存在）图1 图2 图3 （1）如图1，在圆O 中，E 为弦AB 中点，则OE ⊥AB ，即1-=⋅AB OE k k （2）如图2，在圆O 中，l 与圆O 相切于E 点，则OE ⊥l ，即1-=⋅AB OE k k .（若切点坐标为),(00y x E ，可得切线l 方程：200r y y x x =+）（3）如图3，AB 为圆O 直径，E 圆上异于A 、B 两点的动点，则BE ⊥AE ，即1-=⋅BE AE k k .（二）圆锥曲线中的垂径定理（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）1.椭圆中的垂径定理（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例）图1 图2 图3 （1）如图1，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE -=⋅;（证明：用点差法）（2）如图2，在椭圆C 中，l 与椭圆相切于E 点，则22ab k k l OE -=⋅;（证明：法一：极限思想，当A 无穷接近B 点；法二：换元法变换为122='+'y x 证明即可；法三：导数）（3）如图3,l 过中心O,交椭圆于A,B 两点,E 是椭圆上异于A 、B 点的动点则22ab k k AEBE -=⋅.（证明：取AE 重点M ，连接OM ，即可用（1）证明）2.双曲线中的垂径定理（以焦点在x 轴的双曲线方程)00(12222>>=-b a by a x ，为例）图1 图2 图3 图4 图5（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）如图3，l 与双曲线相切于E 点，则22ab k k l OE =⋅;（3）如图4，过O 点的l 交双曲线于A,B 两点，E 是双曲线上异于A 、B 点的动点,则22abk k AEBE =⋅. （4）如图5，l 交上双曲线两渐近线于A,B 两点，E 为线段AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅. 【注意：若焦点在y 轴上的双曲线方程)00(12222>>=-b a b x a y ，，则上面斜率乘积结论变为：22ba ，即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k 22ba k k AEBE =⋅】（三）例题点评1.例题初探【例1】过点M(1,1)作斜率为21-的直线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：相交于A,B 两点，若M 是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】方法一：点差法 方法二：由垂径定理，22)21(11a b k k ABOM -=-⨯=⋅，2122222=-=a c a a b ，即2112=-e ，因为0<e<1,所以圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）：（1）若方程，且00(122>>=+n m ny m x 或0<mn ）存在以上关系，则上述结论可表述为：m n -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k mn k k AE BE -=⋅，其中n m ，分别是22,y x 系数的倒数. （2）若方程)0,00(122<>>=+AB B A By Ax 或且存在以上关系，则上述结论可表述为：BA -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k BA k k AE BE -=⋅，其中B A ，分别是22,y x 系数.解的22=e 【例2】已知A 、B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，P 为椭圆上异于A 、B 的点，PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，且4321-=k k ，则该椭圆的离心率为 【解析】答案为21=e【例3】设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的顶点为21,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C 的一条渐近线于M 点，直线M A 2和P A 2的斜率分别为21,k k ，若12PA M A ⊥且0421=+k k ，则双曲线C 离心率为（ ） A 、2 B 、25C 、5D 、4【解析】利用双曲线过中心弦结论2221a b k k PA PA =，即22114141ab k k ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 答案：B 【例4】已知A 、B 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两个顶点，P 是双曲线上异于A 、B 的另一点，P 关于y 轴的对称点为Q ，记直线AP 、BQ 的斜率分别为21,k k ，且5421-=k k ，则双曲线的离心率为【解析】1k k AQ -=，由垂径定理得235411221=⇒=-=-e e k k 答案：23【例5】过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A 、B 两点，记线段AB 的中点为M ，且FM 等于半焦距，则双曲线的离心率=e【解析】 0>>b a ，∴双曲线的开口较小，渐近线斜率的绝对值比1小，故直线与双曲线的交点都位于y 轴左侧，当直线竖起来时中点即F ，而直线斜率为1，故中点M 位于第三象限，由 135=∠MFO ，FO FM =（O 为坐标原点），∴125.22tan -== OM k由垂径定理得21122=⇒-=⋅e e k OM 答案：42【例6】已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______.来源学科网ZXXK]【解析】法一：因为直线l 的斜率为1，所以设:l y x m =+代入双曲线2212x y -=得224220x mx m +++=因为直线与双曲线相切，所以0∆=，即()22164220m m -+=，解得1m =±当1m =时，22112y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，当1m =-时，22112y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩ 因为切点A 在第一象限，所以点()2,1A .故答案为：()2,1. 法二：设切点坐标为()00,y x A ，由垂径定理得：212200===⋅a b x y K K l OA ，又因为点()00,y x A 在双曲线上，可得：122020=-y x ，解得10=y ，所以20=x ， 所以点()2,1A .故答案为：()2,1.2.提高与巩固例题【例1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程为【解析】设),(11y x M ，),(22y x N ，)4,0(B ，由重心公式得6021=++x x ，0421=++y y【三角形ABC 重心的坐标公式为)3,3(321321y y y x x x ++++，其中),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 】 ∴线段MN 的中点为)2,3(-D ，由垂径定理得5412-=-=⋅e k k MN OD （O 为坐标原点）∴56=MN k ，∴直线l 的方程为02856=--y x【例2】已知椭圆1422=+y x ，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ， （1）求△PAB 面积的最大值（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围【解析】（1）B PAB x x x S =-=∆2121，∴面积最大为2 （2）方法一（与椭圆联立）：4122-=-=a b k k BP AP ，∴k k kk BP 441=⇒-=中垂线，N 刚到下顶点)1,0(-时，中垂线14-=kx y ，PB ：141+-=x k y 与椭圆联立可求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1414,148222k k k k B ∴PB 中点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++144,144222k k k k M 在中垂线上，代入得42±=k 方法二（与直线联立）：由垂径定理得4112-=-=e kk BP ，∴PB ：141+-=x ky 与边AP 平行的中位线kx y =联立得PB 中点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++144,144222k k k k M ，由M 与)1,0(-构成的中垂线斜率k k k k k 41441144222=+++，解得42±=k 【例3】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 两条渐近线分别交于A ，B ，若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是【解析】方法一（垂径定理）：记M 为PM 的中点，则PM ：033=-+m y x 与直线AB 联立，容易得)53,54(m m M由垂径定理得141122-=⇒-=e e k k PM AB 答案：25方法二（暴力计算）直线分别与两条渐近线联立得)3,3(a b bm a b am A --，)3,3(ba bmb a am B ++-∴AB 的中点为)93,9(222222a b m b a b m a --，所以线段AB 的中垂线斜率为3923222-=-=ba b k 方法三（渐近线点差法）：设AB 中点为),(00y x ，则由点差法知310202==y a x b k又中点在直线上，故0300=+-m y x ①，由PB PA =得300-=-mx y ②由①②得34333000000=⇒+=-=x y x y x y m ，∴4122=a b 【例4】已知某椭圆的焦点是)0,4(),0,4(21F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且三、自我素养养成练习与思考1.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过原点的直线交椭圆于点P 、A 两点（其中点P 在第一象限），过点P 作x 轴的垂线，垂线为C ，连AC 并延长交椭圆于B ，若PB PA ⊥，则椭圆的离心率为【解析】记1k k PB =，2k k AB =，延长PC 交椭圆于D ，连AD ，由初中几何知识得22k k AP =，由PBPA ⊥得1221-=k k ，由垂径定理得1221-=e k k 答案：222.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，右顶点为A ，P 为双曲线右支上一点，1PF 交双曲线的左支于点Q ，与渐近线x aby =交于点R ，线段PQ 的中点为M ，若12PF RF ⊥，1PF AM ⊥，则双曲线的离心率为【解析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得c OR =，故),(b a R ∴ca b k PQ += 由垂径定理得2222)(1a c a b k a b e k k OM PQOM +=⇒=-=⋅联立直线PQ ：)(c x c a b y ++=与直线OM ：x ac a b y 2)(+=得)2)(,2(2c a c a b c a a M +++，)0,(a A 由2)(ac a b b c a k AM +=+-=得0202222=--⇒=+-e e ac c a ，解得2=e 答案：23.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为A 、B ，P 为第一象限内一点，且AB PB ⊥，连接PA 交椭圆于点C ，连BC 、OP ，若BC OP ⊥，则椭圆的离心率为【解析】1k k PA =，2k k BC =，由初中几何知识得12k k OP =， 1221-=k k ，∴由垂径定理得211221-=-=e k k22=⇒e 答案：22 4.如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线MN 与x 轴交于点M ，若212F F MF =，则C 的离心率是 。
高中数学解析几何——有心圆锥曲线的垂径定...
高中数学解析几何——有心圆锥曲线的垂径...
高中数学解析几何——有心圆锥曲线的垂径定理（基础比较好的需要掌握结论和推导过程[玫瑰]）
圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中，比如垂径定理
一．直接秒杀离心率的问题
二．直接秒杀中点弦的问题
三．与角度有关的问题
四．与均值定理有关的问题
五．与轨迹有关的问题
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y A
B
o Cx
y
y
A
B
A
Bo
Cx
o
x
C
自主探究
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)上任一条
经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任
一点（除这两个端点）连线斜率乘积为
定值-
b2 a2
.
是否成立？请进行探究.
设点
目标
已知
推理
y
B o
A
x C
结论
自主探究
椭圆 x2 a2
y
A(x, y)
Bo (a, 0)
Cx (a, 0)
自主探究
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)上长轴的两顶点
与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线
斜率乘积为
定值-
b2 a2
.
B
y
A
o
Cx
想一想：能否把上述结论推广？
自主探究
圆的任一条直径所对的圆周角是直角.
【问题4】把结论2中的长轴换成经过原点的
y2 b2
1(a
b
0)上任一条
经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任
一点（除这两个端点）连线斜率乘积为
定值-
b2 a2
.
y
Hale Waihona Puke B oAx C
结论4
自主探究
圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。 椭圆: 过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的 斜率之积是否是定值？
圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线 椭圆: 椭圆上一点与原点连线的斜率与该点处切 线的斜率之积是否是定值？
自主探究
与两个定点 B(a,0),C(a,0) 连线的斜率乘积等于定值
b2 a2
(a, b
0)
的动 点
A
的轨迹方程是
x 2 y 2 1(x a) a2 b2
（双除曲这线两ax个22 顶by点22 ） 1连实线轴斜的率两乘个积顶为点定与值双曲ba线22上任一点
双曲线 x2 a2
y2 b2
1上任意一条经过原点的弦的两个端
y A
斜率乘积为
定值-
b2 a2
.
Bo
Cx
上述命题是否成立？
自主探究
探究流程：
设点 B(a,0),C(a,0), A(x, y)
目标 已知 推理 结论
kAB kAC
yy xa xa
y2 x2 a2
x2 a2
y2 b2
1
y2
b2
1
x2 a2
b2 a2
x2 a2
kAB kAC
b2 a2
a2
双曲线 x2 y2 1上任意一条经过原点的弦的两个端点 a2 b2
与双曲线上任一点（除这两个端点）连线斜率乘积为定 值 b2
a2
应用所探究的结论，能够解决椭圆(双曲线)中与 过原点弦有关的问题
探究：椭圆中的一组性质 及其应用
自主探究
与两个定点B(a, 0),C(a, 0)连线
的斜率乘积为定值- b2 (a b 0)
a2
的动点A的轨迹方程是
x2 a2
y2 b2
1(x
a)
B
y A
o
Cx
自主探究
【问题2】
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)上长轴的两顶点
与椭圆上的任一点（除这两个顶点）连线
点与双曲线上任一点（除这两个端点）连线斜率乘积
为定值 b 2
a2
回顾反思
数学知识 数学方法 数学结论
数学应用
直线的斜率公式、 椭圆(双曲线)的标准方程及几 何性质
数形结合、归纳类比、 设而不求
椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上任一条经过原点的弦
的两个端点与椭圆上的任一点（除这两个端点） 连线斜率乘积为定值- b2