(遵义专版)届中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第四节存

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中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题二应用题的基本类型与解题策略第一节方程(组)与不等式(组)综合

中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题二应用题的基本类型与解题策略第一节方程(组)与不等式(组)综合
2017年中考数学命题研究(遵义专版)
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Jie Shu Yu 挥洒斗志,成就梦想。
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(遵义专版)中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题1规律探索猜想类课件PPT共32页

(遵义专版)中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题1规律探索猜想类课件PPT共32页
要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人,常是愿意 去做,并愿意去冒险的人。“稳妥”之船,从未能从岸边走远。-戴尔.卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡,喝起来是苦涩的,回味起来却有 久久不会退去的余香。
(遵义专版)中考数学总复习第三编综合专 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美,我宁愿选择无悔,不管来生多么美丽,我不愿失 去今生对你的记忆,我不求天长地久的美景,我只要生生世世的轮 回里有你。 题闯关篇专题1规律探索猜想类课件
16、业余生活要有意义,不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰,也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人,而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着,就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书,莫被书掌握;要为生而读,莫为读而生。——布尔沃
END

中考命题研究数学(遵义):第三编综合专题闯关篇

中考命题研究数学(遵义):第三编综合专题闯关篇

第三编综合专题闯关篇专题一规律探索猜想类类型与策略规律探索与猜想是中考中常见题型之一,它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力,既可以命基础题,也可命中高档题,题型不限,方法灵活,主要有数式规律、图形规律、坐标规律等,解这类问题要善于发现其过程中的特点抓住其周期是解决此类问题的关键.规律与预测纵观遵义近5年中考,每年都会涉及一题规律探索问题,一般难度不大,预计2016年遵义中考也有可能命一道中基础(选择或填空)规律探索题.中考重难点突破数字规律【经典导例】【例1】(2016中考预测)正整数按如图所示的规律排列,请写出第20行第21列的数字.【解析】首先应发现第1列中的数与所在行数的关系,再关注第n行的第1个数与第(n+1)列的第1个数的关系,那么第n行第n+1列这个数应该不难确定.【学生解答】【方法指导】1.对于数阵类的规律问题,题目中的数据与有序数对是对应的,设问方式有求有序数对数值和表示某个数值的有序数对.解题步骤为:(1)分析数阵中的数字排列方式,从以下方面寻找规律:①每行的个数,②每列的个数,③相邻数据的变化特点,并且观察是否某一行或者某一列的数具有某些特别的性质(如完全平方数、正整数)等;(2)找出该行或列上的数字与其所在的行数和列数的关系;(3)使用(1)中找出的具有特殊性质的数字根据(2)中的性质定位,求得答案.2.对于数字不循环变换类规律题,需要掌握如下方法:(1)当所给的一组数是整数时,先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列,然后再看这组数字的符号,判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一个符号,如果是交替出现的用(-1)n表示数字的符号,最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果;(2)当数字规律题的数字是分数和整数结合的时候,把这组数据的所有整数写成分数,然后分别推断出分子和分母的数字规律,(其他方法同(1)),从而得出分子和分母的规律,最后得到该组第n项的规律.3.对于数字循环变换类规律题,求经过N次变换后对应的数字的解题步骤为:(1)通过观察这组数字,得到该组数字经过一个循环变换需要的次数,记为n;(2)用N除以n,当商b余m(0≤m<n)时,第N次变换后对应的数字就是一个循环变换中第m次变换后对应的数字;(3)根据题意,找出第m次变换后对应的数字,推断出第N次变换后对应的数字.4.对于数式的规律探究题,求第n个等式(式子的结果)的解题步骤为:(1)先观察给出的等式式子(计算出给出式子的计算结果);(2)分析对比所得的结果,从结果与序数或结果与所给数式中数字的构成个数两方面进行对比,寻找不变的量和变化的量之间的变化关系,从而得到结果与各自等式或式子之间满足的关系式,求第n个数式直接套用关系式即可.(一)模拟题区1.(2015遵义二中二模)计算下列各式的值:92+19;992+199;9992+1999;99992+19999.观察所得结果,总结存在的规律,应用得到的规律可得99…922015个9+199…9,2015个9) )=________.2.(2015遵义六中三模)将自然数按以下规律排列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 4 5 16 17…第二行 2 3 6 15 …第三行9 8 7 14 …第四行10 11 12 13 …第五行……表中数2在第二行,第一列,与序数对(2,1)对应;数5与(1,3)对应;数14与(3,4)对应;根据这一规律,数2014对应的有序数对为________.3.(2015遵义十一中三模)已知:2-122-12=13;4-3+2-142-32+22-12=15;计算:6-5+4-3+2-162-52+42-32+22-12=______;猜想:[(2n +2)-(2n +1)]+…+(6-5)+(4-3)+(2-1)[(2n +2)2-(2n +1)2]+…+(62-52)+(402-32)+(22-12)=________. 中考真题区4.(2015安徽中考)按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,…,若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数,猜测x 、y 、z 满足的关系式是________.5.(2015广东中考)观察下列一组数:13,25,37,49,511,…,根据该组数的排列规律,可推出第10个数是________.6.(2015乌鲁木齐中考)如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数,且两端的数均为1n,每个数是它下一行左右相邻两数的和,则第8行第3个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14A .160B .1168C .1252D .12807.(2015武威中考)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2个三角形数,6是第3个三角形数,…依此类推,那么第9个三角形数是________,2016是第________个三角形数.8.(2015临沂中考)观察下列关于x 的单项式,探究其规律: x ,3x 2,5x 3,7x 4,9x 5,11x 6,…. 按照上述规律,第2015个单项式是( ) A .2015x 2015 B .4029x 2014 C .4029x 2015 D .4031x 2015 图形规律 【经典导例】【例2】(2015娄底中考)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…则第n(n 为正整数)个图案由________个▲组成.【解析】观察发现:第1个图案有3×2-3+1=4个三角形;第2个图案有3×3-3+1=7个三角形; 第3个图案有3×4-3+1=10个三角形; …第n 个图案有3(n +1)-3+1=(3n +1)个三角形. 【学生解答】【方法指导】图形规律探索有以下几种类型:1.求个数,方法为:(1)标序数:按图号标序;(2)找关系:找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系;(3)算结果:计算每个给出图中所求量的个数;(4)找规律:对求出的结果进行一定的变形,使其呈现一定的规律;(5)归纳:归纳结果与序数之间的关系,即可得到第n 个图中所求量的个数;(6)验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确.2.求面积,方法为:(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积为S ;(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积,第二次变换后图形的面积,第三次变换后图形的面积,第四次变换后图形的面积,……归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍数关系n ;(3)第M 次变换后,求得图形的面积为n M S.(二) 模拟题区1.(2015遵义二中三模)如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成,第(1)个图案有4个三角形,第(2)个图案有7个三角形,第(3)个图案有10个三角形,……依此规律,第n 个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示).2.(2015遵义航中三模)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点,……按此规律,第5个图中共有点的个数是( )A .31B .46C .51D .663.(2015毕节三模)如图,在第1个△A 1BC 中,∠B =30°,A 1B =CB ;在边A 1B 上任取一点D ,延长CA 1到A 2,使A 1A 2=A 1D ,得到第2个△A 1A 2D ;在边A 2D 上任取一点E ,延长A 1A 2到A 3,使A 2A 3=A 2E ,得到第3个△A 2A 3E ,…按此做法继续下去,则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( )A .(12)n ·75°B .(12)n -1·65°C .(12)n -1·75°D .(12)n ·85°中考真题区4.(2015内江中考)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2014个图形是________5.(2015衡阳中考)如图,△A 1B 1A 2,△A 2B 2A 3,△A 3B 3A 4,…△A n B n A n +1都是等腰直角三角形,其中点A 1,A 2,…A n 在x 轴上,点B 1,B 2,…B n 在直线y =x 上,已知OA 1=1,则OA 2015的长为________.6.(2014深圳中考)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数为________.7.(2014珠海中考)如图,在等腰Rt △OAA 1中,∠OAA 1=90°,OA =1,以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2,以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3,…则OA 6的长度为________.点的坐标规律 【经典导例】【例3】(2015威海中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,Rt △OA 1C 1,Rt △OA 2C 2,Rt △OA 3C 3,Rt △OA 4C 4…的斜边都在坐标轴上,∠A 1OC 1=∠A 2OC 2=∠A 3OC 3=∠A 4OC 4=…30°,若点A 1的坐标为(3,0),OA 1=OC 2,OA 2=OC 3,OA 3=OC 4…,则依此规律,点A 2015的横坐标为( )A .0B .-3×(233)2014C .(23)2015D .3×(233)2014【学生解答】【方法指导】求点坐标,根据图形点坐标的变换特点可知这类题有两种考查形式:一类是点坐标变换是在同一象限递推变化;另一类是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化;解决这类题的方法如下:(1)若第一个点的坐标未给出,可先由所给信息求出坐标(a ,b);(2)根据题目中给出的线段的数量关系及角度,通过勾股定理或直角三角形的边角关系得到第二个,第三个,第四个…的坐标,观察它们之间存在的比例关系,比值记为n ;(3)当点坐标在同一象限变换时,通过第M 次变换后,图形的点坐标为(n M a ,n M b);(4)当点坐标在整个平面直角坐标系里变换,先观察点的变换规律为顺时针循环还是逆时针循环,通过第M 次变换后,用M÷4=w +q(0≤q <4),当q =0时,点坐标所在象限与起点相同,依此类推,当确定出点坐标落在x 轴正半轴时,点坐标为(n M c ,0),点坐标落在y轴正半轴时,点坐标为(0,n M c),点坐标落在x轴负半轴时,点坐标为(-n M c,0),点坐标落在y轴负半轴时,点坐标为(0,-n M c).(三)模拟题区1.(2015遵义十一中一模)如图,以O(0,0)、A(2,0)为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作正△P2CP3,…如此继续下去.则第六个正三角形中,不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是________.2.(2015遵义红花岗三模)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动,每次移动一个单位,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么点A4n+1(n是自然数)的坐标为________.中考真题区3.(2015齐齐哈尔中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2,且A2O=2A1O,…依此规律,得到等腰直角三角形A2015OB2015,则点A2015的坐标为________.4.(2015河北中考)如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图:以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3;…这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=________.。

(遵义专版)中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题二应用题的基本类型与解题策略第三节一次、二次函数的

(遵义专版)中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题二应用题的基本类型与解题策略第三节一次、二次函数的

(遵义专版)中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题二应用题的基本类型与解题策略第三节一次、二次函数的应用题试题,中考重难点突破)建立一(二)次函数模型或分段函数,解决生活中的实际问题,涉及两个方面,一如何建模,二如何根据自变量的实际意义和函数的性质作出正确决策.【例1】(2016龙岩中考)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,经过统计得到此商品的单价在第x 天(x 为正整数)销售的相关信息,如表所示: 销售量n(件) n =50-x销售单价 m(元/件)当1≤x≤20时,m =20+12x 当21≤x≤30时,m =10+420x(1)第几天该商品的单价为25元/件?(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?【学生解答】解:(1)分两种情况:①当1≤x≤20时,将m =25代入m =20+12x ,解得x =10;②当21≤x ≤30时,25=10+420x,解得x =28,经检验,x =28是方程的解,∴x =28.答:第10天或第28天时该商品为25元/件;(2)分两种情况:①当1≤x≤20时,y =(m -10)n =⎝ ⎛⎭⎪⎫20+12x -10(50-x)=-12x 2+15x +500;②当21≤x≤30时,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫10+420x -10(50-x)=21 000x -420,综上所述:y =⎩⎪⎨⎪⎧-12x 2+15x +500(1≤x≤20),21 000x-420(21≤x≤30);(3)①当1≤x≤20时,由y =-12x 2+15x +500=-12(x -15)2+1 2252,∵a =-12<0,∴当x =15时,y 最大值=1 2252;②当21≤x≤30时,由y =21 000x -420,可知y 随x 的增大而减小,∴当x =21时,y 最大值=21 00021-420=580(元),∵580<1 2252,∴第15天时获得利润最大,最大利润为612.5元. 【例2】(2016邯郸模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃,这种食品是补脑的佳品,它的成本价为20元/kg ,经市场调查发现,该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg )有如下关系:w =ax 2+bx -1 600,当销售价为22元/kg 时,每天的销售利润为72元;当销售价为26元/kg 元时,每天的销售利润为168元.(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式;(2)当销售价定为24元/kg 时,该产品每天的销售利润为多少元?(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润,求销售价应定为每千克多少元?(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ,此店铺每天获得的最大利润为多少元?【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式;(2)将x =24代入w =-2x 2+120x -1 600中计算所得利润;(3)将w =150带入w =-2x 2+120x -1 600中计算出定价;(4)由二次函数解析式可知w =-2x 2+120x -1 600=-2(x -30)2+200,所以当x =29时利润最大.【学生解答】解:(1)已知w =ax 2+bx -1 600,且有当销售价为22元时,每天的销售利润为72元;当销售价为26元时,每天的销售利润为168元.所以有:72=a×222+b×22-1 600,168=a×262+b×26-1 600.解得a =-2,b =120.∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式为w =-2x 2+120x -1 600;(2)当x =24时,有w =-2×242+120×24-1 600=128.∴当销售价定为24元/kg 时,该产品每天的销售利润为128元;(3)当w =150时,有w =-2x 2+120x -1 600=150.解得x 1=25,x 2=35.∵x≤32,∴x =25.∴定价为25元/kg ;(4)w =-2x 2+120x -1 600=-2(x -30)2+200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ,∴当x =29元时,利润最大,为w =-2(29-30)2+200=198. 【规律总结】正确建立二次函数模型,利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围,求出最佳答案.模拟题区1.(2016遵义红花岗三模)四川省第十二届运动会将于2015年8月18日在我市隆重开幕,根据大会组委会安排,某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此,学校需要采购一批演出服装,A 、B 两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即男装每套120元,女装每套100元.经洽谈协商:A 公司给出的优惠条件是,全部服装按单价打七折,但校方需承担2 200元的运费;B 公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人,如果设参加演出的男生有x 人.(1)分别写出学校购买A 、B 两公司服装所付的总费用y 1(元)和y 2(元)与参演男生人数x 之间的函数关系式;(2)该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算?请说明理由.解:(1)总费用y 1(元)和y 2(元)与参演男生人数x 之间的函数关系式分别是:y 1=0.7[120x +100(2x -100)]+2 200=224x -4 800,y 2=0.8[100(3x -100)]=240x -8 000;(2)当y 1>y 2时,即224x -4 800>240x -8 000,解得x <200;当y 1=y 2时,即224x -4 800=240x -8 000,解得x =200;当y 1<y 2时,即224x -4 800<240x -8 000,解得x >200.即当参演男生少于200人时,购买B 公司的服装比较合算;当参演男生等于200人时,购买两家公司的服装总费用相同,可在任一家公司购买;当参演男生多于200人时,购买A 公司的服装比较合算.2.(2016遵义六中三模)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90售价(元/件) x +40 90每天销量(件) 200-2x已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y 元.(1)求y 与x 的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,每天销售利润最大,最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4 800元?请直接写出结果.解:(1)y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x 2+180x +2 000(1≤x<50),-120x +12 000(50≤x≤90);(2)当1≤x<50时,y =-2x 2+180x +2 000=-2(x -45)2+6 050,∵-2<0,∴当x =45时,y 有最大值,最大值为6 050元;当50≤x≤90时,y =-120x +12 000,∵-120<0,∴y 随x 的增大而减小.∴当x =50时,y 有最大值,最大值为6 000元.∴销售该商品第45天时,每天销售利润最大,最大利润为6 050元;(3)41天.中考真题区3.(2016长春中考)甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,甲车匀速前往B 地,到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地;乙车匀速前往A 地,设甲、乙两车距A 地的路程为y(km ),甲车行驶的时间为x(h ),y 与x 之间的函数图象如图所示.(1)求甲车从A 地到达B 地的行驶时间;(2)求甲车返回时y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)求乙车到达A 地时甲车距A 地的路程.解:(1)300÷(180÷1.5)=2.5(h ).答:甲车从A 地到达B 地的行驶时间是2.5 h ;(2)设甲车返回时y 与x之间的函数关系式为y =kx +b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧300=2.5k +b ,0=5.5k +b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-100,b =550,∴甲车返回时y 与x 之间的函数关系式是y =-100x +550(2.5≤x≤5.5);(3)300÷[(300-180)÷1.5]=3.75 h ,当x =3.75时,y =175 km ,答:乙车到达A 地时甲车距A 地的路程是175 km .4.(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部售完,该公司的年产量为6千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为:y 1=⎩⎪⎨⎪⎧15x +90(0<x≤2),-5x +130(2≤x<6). 若在国外销售,平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为:y 2=⎩⎪⎨⎪⎧100(0<t ≤2),-5t +110(2≤t<6). (1)用x 的代数式表示t 为t =________;当0<x≤4时,y 2与x 的函数关系式为y 2=________;当4≤x<________时,y 2=100;(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式,并指出x 的取值范围.解:(1)6-x ;5x +80;6;(2)当0<x≤2时,w =(15x +90)x +(5x +80)(6-x)=10x 2+40x +480;当2<x≤4时,w =(-5x +130)x +(5x +80)(6-x)=-10x 2+80x +480;当4<x <6时,w =(-5x +130)x +100(6-x)=-5x 2+30x +600.∴w=⎩⎪⎨⎪⎧10x 2+40x +480(0<x≤2),-10x 2+80x +480(2<x≤4),-5x 2+30x +600(4<x <6).。

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第四节 存在性问题中考重难点突破)这类问题是近几年来各地中考的“热点”.解决存在性问题就是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断.尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点.这类题型对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对知识、能力的一次全面的考查.【例】(2016汇川中考模拟)抛物线y =14x 2-32x +2与x 轴交于A ,B 两点(OA<OB),与y 轴交于点C.(1)求点A ,B ,C 的坐标;(2)点P 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度向点B 运动,同时点E 也从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度向点C 运动,设点P 的运动时间为t 秒(0<t<2).①过点E 作x 轴的平行线,与BC 相交于点D(如图所示),当t 为何值时,1OP +1ED的值最小,求出这个最小值并写出此时点E ,P 的坐标;②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F ,使△EFP 为直角三角形?若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.【学生解答】解:(1)在抛物线的解析式中,令y =0,即14x 2-32x +2=0,解得:x 1=2,x 2=4,∵OA<OB ,∴A(2,0),B(4,0),在抛物线的解析式中,令x =0,得y =2,∴C(0,2);(2)①由题意得:OP =2t ,OE =t ,∵DE ∥OB ,∴△CDE ∽△CBO ,∴CE CO =ED OB ,即2-t 2=DE 4,∴DE =4-2t ,∴1OP +1ED =12t +14-2t =1-t 2+2t=11-(t -1)2,∵0<t<2,1-(t -1)2始终为正数,且t =1时,1-(t -1)2有最大值1,∴t =1时,11-(t -1)2有最小值1,即t =1时,1OP +1ED 有最小值1,此时OP =2,OE =1,∴E(0,1),P(2,0);②存在,∵抛物线y =14x 2-32x +2的对称轴为直线x =3,设F(3,m),∴EP 2=5,PF 2=(3-2)2+m 2,EF 2=(m -1)2+32,当△EFP 为直角三角形时,当∠EPF=90°时,EP 2+PF 2=EF 2,即5+1+m 2=(m -1)2+32,解得m =2;当∠EFP=90°时,EF 2+FP 2=EP 2,即(m -1)2+32+(3-2)2+m 2=5,解得m 2-m +3=0,方程无解,∴EP 不可能为斜边.∴当∠EFP =90°时,这种情况不存在;当∠PEF=90°时,EF 2+PE 2=PF 2,即(m -1)2+32+5=(3-2)2+m 2,解得m =7.综上所述存在F 1(3,2)和F 2(3,7)两点使△EFP 为直角三角形.【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设,然后由肯定的假设出发,结合已知条件建立方程,解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”.解题的方法主要是建立方程模型,由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题.模拟题区1.(2016汇川升学模二)在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2+(k -1)x -k 与直线y =kx +1交于A ,B 两点,点A 在点B 的左侧.(1)如图(1),当k =1时,写出A ,B 两点的坐标;(2)在(1)的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)如图(2),抛物线y =x 2+(k -1)x -k(k>0)与x 轴交于点C ,D 两点(点C 在点D 的左侧),在直线y =kx +1上是否存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)当k =1时,抛物线的解析式为y =x 2-1,直线的解析式为y =x +1.联立两个解析式,得x 2-1=x +1,解得:x =-1或x =2,当x =-1时,y =x +1=0;当x =2时,y =x +1=3,∴A(-1,0),B(2,3);(2)设P(x ,x 2-1).如图(1)所示, 过点P 作PF∥y 轴,交直线AB 于点F ,则F(x ,x +1).∴PF=(x +1)-(x 2-1)=-x 2+x +2.S △ABP =S △PFA +S △PFB =12PF ·(AN +BM)=32PF(注:AN 、BM 是两个三角形的高),∴S △ABP =32(-x 2+x +2)=-32⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+278,当x =12时,y =x 2-1=-34.∴△ABP 面积最大值为278,此时点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-34;(3)设直线AB :y =kx +1与x 轴、y 轴分别交于点E ,F ,则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1k ,0,F(0,1),OE =1k ,OF =1.在Rt △EOF 中,由勾股定理得:EF =⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2+1=1+k 2k .令y =x 2+(k -1)x -k =0,即(x +k)(x -1)=0,解得x =-k 或x =1.∴C(-k ,0),OC =k.设以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.设点N 为OC 中点,连接NQ ,如图(2)所示,则NQ⊥EF,NQ =CN =ON =k 2.∴EN =OE -ON =1k -k2.∵∠NEQ =∠FEO,∠EQN =∠EOF=90°,∴△EQN ∽△EOF ,∴NQ OF =EN EF ,即k 21=1k -k21+k2k,解得k =±255,∵k>0,∴k =255.∴当k =255时,存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°.2.(2016遵义十一中三模)如图所示,抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点O ,与x 轴交于另一点N ,直线y =kx +4与两坐标轴分别交于A ,D 两点,与抛物线交于B(1,m),C(2,2)两点.(1)求直线与抛物线的解析式;(2)若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P(x ,y),设∠PON=α,求当△PON 的面积最大时tan α的值.(3)若动点P 保持(2)中的运动路线,问是否存在点P ,使得△POA 的面积等于△PON 面积的815?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)直线解析式为y =-x +4,抛物线解析式为y =-2x 2+5x ;(2)tan α=52;(3)存在.P(1,3).中考真题区3.(2015黔东南中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =-16x 2+bx +c 过点A(0,4)和C(8,0),P(t ,0)是x 轴正半轴上的一个动点,M 是线段AP 的中点,将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB.过点B 作x 轴的垂线,过点A 作y 轴的垂线,两直线相交于点D.(1)求b ,c 的值;(2)当t 为何值时,点D 落在抛物线上;(3)是否存在t ,使得以A ,B ,D 为顶点的三角形与△AOP 相似?若存在,求此时t 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)c =4,b =56;(2)∵∠AOP=∠PEB=90°,∠OAP =90°-∠APO=∠EPB,∴△AOP ∽△PEB ,且相似比为AO PE =APPB=2,∵AO =4,∴PE =2,OE =OP +PE =t +2,又∵DE=OA =4,∴点D 的坐标为(t +2,4),∴点D 落在抛物线上时,有-16(t +2)2+56(t +2)+4=4,解得t =3或t =-2,∵t >0,∴t =3,故当t 为3时,点D 落在抛物线上;(3)存在t ,能够使得以A ,B ,D 为顶点的三角形与△AOP 相似.理由如下:①当0<t <8时,若△POA∽△ADB,则PO AD =AO BD ,即t t +2=44-12t 整理,得t 2+16=0,∴t 无解,若△POA∽△BDA,同理,解得t =-2±25(负值舍去);②当t >8时,若△POA∽△ADB ,则PO AD =AO BD ,即t t +2=412t -4,解得t =8±45(负值舍去);若△POA∽△BDA,同理,解得t 无解.综上所述,当t =-2+25或t =8+45时,以A ,B ,D 为顶点的三角形与△AOP 相似.4.(2016山西中考)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经过坐标原点O ,与抛物线的一个交点为D ,与抛物线的对称轴交于点E ,连接CE ,已知点A ,D 的坐标分别为(-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数解析式,并分别求出点B 和点E 的坐标;(2)试探究抛物线上是否存在点F ,使△FOE≌△FCE? 若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB 与直线l 交于点Q ,试探究:当m 为何值时,△OPQ 是等腰三角形.解:(1)抛物线解析式为y =12x 2-3x -8,∵y =12x 2-3x -8=12(x -3)2-252,∴抛物线的对称轴为直线x =3,又∵抛物线与x 轴交于点A ,B 两点,点A 坐标(-2,0),∴点B 的坐标为(8,0).设直线l 的解析式为y =kx ,∵经过点D(6,-8),∴6k =-8,∴k =-43,∴直线l 的解析式为y =-43x ,∵点E 为直线l 与抛物线对称轴的交点,∴点E 的横坐标为3,纵坐标为-43×3=-4,∴点E 的坐标(3,-4);(2)抛物线上存在点F 使得△FOE≌△FCE,此时点F 纵坐标为-4,∴12x 2-3x -8=-4,∴x 2-6x -8=0,x =3±17,∴点F 坐标(3+17,-4)或(3-17,-4);图1(3)①如图1中,当OP =OQ 时,△OPQ 是等腰三角形.∵点E 坐标(3,-4),∴OE =32+42=5,过点E 作直线ME∥PB,交y 轴于点M ,交x 轴于点H.则OM OP =OEOQ,∴OM =OE =5,∴点M 坐标(0,-5).设直线ME 的解析式为y =k 1x -5,∴3k 1-5=-4,k 1=13,∴直线ME 的解析式为y =13x -5,令y =0,得13x -5=0,解得x =15,∴点H 的坐标(15,0),∵MH ∥PB ,∴OP OM =OB OH ,即-m 5=815,∴m =-83;图2②如图2中,当QO =QP 时,△POQ 是等腰三角形.∵当x =0时,y =12x 2-3x -8=-8,∴点C 坐标(0,-8),∴CE =32+(8-4)2=5,∴OE =CE ,∴∠1=∠2,∵QO =QP ,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴CE ∥PB ,设直线CE 交x 轴于N ,解析式为y =k 2x -8,将点E 坐标代入,∴3k 2-8=-4,k 2=43,∴直线CE 的解析式为y =43x -8,令y =0,得43x -8=0,x =6,∴点N 坐标(6,0),∵CN ∥PB ,∴OP OC =OB ON ,∴-m 8=86,∴m =-323.综上所述,当m =-83或-323时,△OPQ 是等腰三角形.。

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