北师大版八年级下册数学[直角三角形----重点题型巩固练习](基础)

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1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册

【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′，则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程．在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)．由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520，则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.

北师大版八年级数学下册《三角形的证明》全章复习与巩固--巩固练习(基础) 含答案解析

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【巩固练习】一、选择题1.△ABC中，AB=AC，BD 平分∠ABC交AC 边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（）A．35°B．40°C．70°D．110°2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）A． 1 个B． 2 个C． 3个D．不确定3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④4．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD的是（）A． AD=AE B．∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC5．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+26．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm 或14cm D．以上都不对7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（）A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对8．面积相等的两个三角形（）A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对二、填空题9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是_________ 度．10.△ABC中，∠A是∠B的2 倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B=_________ 度．11．（2015 秋•洛阳校级月考）如果a，b，c 为三角形的三边，且（a﹣b）+（a﹣c）+|b2 2﹣c|=0，则这个三角形是．12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，请你添加一个适当的条件：_________ ，使△AEH≌△CEB．13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ ．14．在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_________ ．15．在△ABC中，边AB、BC、AC 的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC 的大小关系是_________ ．16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF 交于点O，则∠BOC=_________ ．三、解答题17.（2015 秋•定州市期中）如图，四边形ABCD 中，∠B=90°，AB∥CD，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M 为BC 的中点．18.（2016 秋•太和县期中）如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F 点，过F 点作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．求证：（1）BD=DF．（2）△ADE的周长等于AB+AC．19. 如图，D，E 是△ABC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数．20.（2015春•建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．；；【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=∵BD平分∠ABC交AC边于点D，∴∠DBC=，∴++75=180°，∴x=40°.∴∠A的度数是40°.故选B．2．【答案】B；【解析】解：由三角形内角和为180度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2个．故选B．3.【答案】D；【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．4.【答案】B；【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD正确，故本选项错误；B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；5.【答案】C；【解析】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE=1，又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3．故选 C ．6.【答案】C ；【解析】解：当 4cm 为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是 4cm ，4cm ，5cm 符合三角形的三边关系， ∴周长为 13cm ；当 5cm 为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm ，5cm ，4cm ，符合三角形的三边关系， ∴周长为 14cm ，故选 C.7.【答案】A ；【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等，符合“角角边”判定方法，所以，两个三角形必定全等． 8.【答案】C ；【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．二、填空题9．【答案】 20；【解析】解：∵三角形是等腰三角形， ∴两个底角相等，∵等腰三角形的一个底角是 80°， ∴另一个底角也是 80°， ∴顶角的度数为 180°﹣80°﹣80°=20°． 10．【答案】28；【解析】解：设∠B=x ，则∠A=2x ，∠C=3x+12°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x+12°=180°，解得 x=28°．故答案为：28．11.【答案】等边三角形；【解析】解：∵（a ﹣b ） +（a ﹣c ） +|b ﹣c|=0，22 ∴a ﹣b=0，a ﹣c=0，b ﹣c=0， ∴a=b ，a=c ，b=c ， ∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故答案为：等边三角形．12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．13.【答案】cm或cm；【解析】解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．【解析】解：把①②作为条件③作为结论，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴BC=BD．故答案为：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．15.【答案】PA=PB=PC;【解析】∵边AB的垂直平分线相交于P，∴PA=PB，∵边BC的垂直平分线相交于P，∴PB=PC，∴PA=PB=PC．16.【答案】135°;【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．三、解答题17.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．∵DE∥BC，∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF；（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．∵DE=DF+EF，∴DE=BD+CE，∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC+AC=AD，222即x+8=（6+x），222解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。

2021-2022学年基础强化北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题练习试卷(名师精选)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD则BD的长为（）A．2 B．C．D．2、△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2- c2=a2B．a:b:c= 5:12:13C．∠A:∠B:∠C =3:4:5 D．∠C =∠A -∠B3、已知等腰三角形的两条边长分别为4和9，则它的周长为（）A．17 B．22 C．23 D．17或224、如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A ．38°B ．42°C ．48°D ．52°5、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（）．A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°6、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，且12cm AB =，则DEB ∆的周长是（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，CE ＝4cm ，P 是AD 上的一个动点，则BP +EP 的最小值是（）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．10cm8、如图点,,A B C 在同一条直线上，△CCC ,△CCC 都是等边三角形，,AE BD 相交于点O ，且分别与,CD CE 交于点,M N ，连接,M N ，有如下结论：①△CCC ≅△CCC ；②AM DN =；③△CCC 为等边三角形；④60EOB ∠=︒.其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．610、如图，在三角形ABC，222AB AC BC+=，AB AC且，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E=是AB上一点，连接EF，EC，BF FE=，点G在AC上，连接BG，2∠=∠，AE=ECG GBCAG=CF的长为（）A．B．C．D．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=6、AC=8、AB=10，则点D到AB的距离为_______．2、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，则AC长是_____．3、如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．4、在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足为E，则∠C=______．=，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果5、已知：如图，在△CCC中，AB AC∠=︒，那么A42EBC∠=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得√C−4+√4−C有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．（1）求点B的坐标；（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形△ACD，连接BD，OD．①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；②当OD最小时，求△ACD的边长．2、下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程．已知：如图1，射线OA．求作：∠AOB，使∠AOB＝30°．作法：如图2，①在射线OA上任取一点C；②分别以O，C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在射线OA的上方交于点D，作射线OD，并连接CD；③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于12EF的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；∴ ∠AOB就是所求的角．根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：连接BE，BF．∵ OC＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝°．又∵ OE＝OF，BE＝BF，OB＝OB，∴ △OEB≌△OFB（）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（）（填推理依据）．∴ ∠AOB＝12COD＝30°．∴∠AOB就是所求的角．3、如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；（3）若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形OACB的面积相等时，求点P的坐标．4、如图，等边△ABC中，点D在BC上，CE=CD，∠BCE=60°，连接AD、BE．（1）如图1，求证：AD=BE；（2）如图2，延长AD交BE于点F，连接DE、CF，在不添加任何辅助线和其它字母的情况下，请直接写出等于120°的角．5、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．（1）计算线段AB的长度；（2）判断△ABC的形状；（3）写出△ABC的面积；（4）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．-参考答案-一、单选题1、B【分析】过点C作CN⊥AB于点N，连接ED，EN，利用SAS证明△DCE≌△BEN，可得ED＝NB，∠CED＝∠ENB＝135°，得△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝DN＝BN，进而可得结果．【详解】解：如图，过点C作CN⊥AB于点N，连接EN，∴∠CNA＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠NCA＝∠A＝45°，∴AN＝CN，∵点E是AC的中点，∴∠ANE＝∠CNE＝45°，∠CEN＝∠AEN＝90°，∴∠CEF+∠FEN＝90°，∵CD⊥BE，∴∠CFE＝90°，∴∠CEF+∠FCE＝90°，∴∠DCE＝∠BEN，在△DCE和△BEN中，CE EN DCE BEN CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BEN （SAS ），∴ED ＝NB ，∠CED ＝∠ENB ＝135°，∴∠AED ＝45°＝∠A ＝∠ACN ，∴AD ＝DE ，∵AE ＝CE ，∴AE =EN ，∴AD ＝DN ，∴AD ＝DN ＝BN ，∴BD ＝2AD ＝故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解．2、C【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】A. b 2- c 2=a 2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC 是直角三角形，故不符合题意；B. a :b :c= 5:12:13，设5,12,13a k b k c k ===，则2222222169,25144169c k a b k k k =+=+=，则222c a b =+，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC 是直角三角形，故不符合题意；C. ∠A :∠B :∠C = 3:4:5，设∠A 、∠B 、∠C 分别是3,4,5x x x ，则12180x =︒，15x =︒，则45,60,75A B C ∠=︒∠=︒∠=︒，所以△ABC 是不直角三角形，故符合题意；D. ∠C =∠A -∠B ，又∠A +∠B +∠C =180°，则∠A =90°，是直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3、B【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：（1）如果腰长为4，则三边是：4，4，9；不满足三角形两边之和大于第三边的性质，不成立；（2）如果腰长为9，则三边是：4，9，9；满足三角形两边之和大于第三边的性质，成立；周长=9+9+4=22．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4、A【分析】利用直角三角形的性质先求出∠B，再利用平行线的性质求出∠2．【详解】解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，∴∠B＝90°﹣∠1＝90°﹣52°＝38°∵a∥b，∴∠2＝∠B＝38°．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质、两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余等知识，在基础考点，掌握相关知识是解题关键．5、B【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角为50°．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．6、D【分析】根据角平分线的性质可得DC DE =，再证Rt ACD Rt AED ∆≅∆，可得AE AC =，最后根据三角形的中周长公式计算即可．【详解】解：AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，DC DE ∴=，在Rt ACD ∆和Rt AED ∆中，DC DE AD AD =⎧⎨=⎩， Rt ACD Rt AED(HL)∴∆≅∆，AE AC ∴=，AC BC =，BC AE ∴=，DEB ∴∆的周长()12cm DE BD BE CD BD BE BC BE AE BE AB =++=++=+=+==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定等知识点，掌握角平分线的性质成为解答本题的关键．7、B【分析】连接CE 交AD 于点P ，则BP +EP 的最小值为CE 的长．【详解】如图，连接CE 交AD 于点P ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 的中线，∴AD ⊥BC ，∴BP ＝CP ，∴BP +EP ＝CP +EP ≥CE ，∴BP +EP 的最小值为CE 的长，∵CE ＝4cm ，∴BP +EP 的最小值为4cm ，故选：B ．【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP +EP 的最小值转化为CP +EP 的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题．8、D【分析】由SAS 即可证明DCB ACE ∆≅∆，则①正确；有∠CAE =∠CDB ，然后证明△ACM ≌△DCN ，则②正确；由CM =CN ，∠MCN =60°，即可得到∆CMN 为等边三角形，则③正确；由AD∥CE ，则∠DAO =∠NEO =∠CBN ，由外角的性质60EOB OAC CBN ∠=∠+∠=︒，即可得到答案．【详解】解：∵△DAC 和△EBC 均是等边三角形，∴AC =CD ，BC =CE ，∠ACD =∠BCE =60°，∴∠ACD +∠DCE =∠BCE +∠DCE ，即∠ACE =∠BCD ，∠MCN =180°-∠ACD -∠BCE =60°，在△ACE 和△DCB 中，AC CD ACE BCD BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），则①正确；∴AE =BD ，∠CAE =∠CDB ，在ACM 和△DCN 中，ACM DCN AC CD CAM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM =CN ，AM DN =；则②正确；∵∠MCN =60°，∴∆CMN 为等边三角形；则③正确；∵∠DAC =∠ECB =60°，∴AD∥CE ，∴∠DAO =∠NEO =∠CBN ，∴60EOB OAC CBN OAC DAO ∠=∠+∠=∠+∠=︒；则④正确；∴正确的结论由4个；故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．9、A【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的格点C 点有0个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有3个点，故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．10、D【分析】延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∠ACB =∠ABC =45°，由BF =FE ，得到∠FBE =∠FEB ，设∠BFE =x ，则()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∠，然后证明CB =FC =FE ，得到∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC 则1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠即可证明==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，推出CF =；设22ECG GBC y ==∠∠，证明△ABG ≌△ACK ，得到==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，即可推出∠ECK =∠K ，得到EK =EC ，则EK AE AK AE AG =+=+=【详解】解：延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，∵在三角形ABC ，222AB AC BC +=，AB AC =且，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∵BF =FE ，∴∠FBE =∠FEB ，设∠BFE =x ，则()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∠， ∵H 是BC 上中点，F 是射线AH 上一点，∴AH ⊥BC ，∴AH 是线段BC 的垂直平分线，∠FAC =45°，∴CB =FC =FE ，∴∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC ∴1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∴1180452AFB AFC FAC FCA x ∠=∠=︒-∠-∠=︒+， ∴1==452AFE AFB BFE x -︒-∠∠∠， ∴==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，∴222EF CF CE +=，∴2CF =，设22ECG GBC y ==∠∠，∵AG =AK ，AB =AC ，∠KAC =∠GAB =90°，∴△ABG ≌△ACK （SAS ），==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，∴==45ECK ACE ACK a +︒+∠∠∠，∴∠ECK =∠K ，∴EK =EC ，∵EK AE AK AE AG =+=+=∴EF EK ==∴9CF =，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．二、填空题1、83##【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用面积法得到10x=6（8-x），然后解方程即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，设DE=DC=x，S△ABD=12DE•AB=12AC•BD，即10x=8（6-x），解得x=83，即点D到AB边的距离为83．故答案为：83．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由已知能够注意到D到AB 的距离即为DE长是解决的关键．2、5【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=12×9×3+12AC•3 =21，解得AC=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3、6【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．4、72°72度【分析】由角平分线的定义可知∠ABC=2∠1，由等腰三角形的性质得∠C=∠ABC，由垂直平分线的性质得∠A=∠1，然后根据三角形内角和求解即可．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠1．∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠1．∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠1．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠1+2∠1+2∠1=180°，∴∠1=36°，∴∠C=2∠1=72°．故答案为：72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．5、32°32度【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质求出∠A与∠ABE的关系，根据三角形内角和定理列方程解答即可．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABE，设∠A＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°，∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°，解得，x＝32°．故∠A＝32°．故答案为：32°．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答．三、解答题1、（1）B的坐标为2)；（2）①见解析，120ABD︒∠=；②△ACD的边长为【详解】（1）利用非负数的性质求解即可．（2）①根据要求作出图形即可．证明△AOC≌△ABD（SAS），可得结论．②由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，推出当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上．【解答】解：（1有意义∴40 40nn-≥⎧⎨-≥⎩，∴n＝4，∴等边△OAB的边长为4，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，∵∠BOC＝30°，∴122BC OB==，∴CC=√CC2−CC2=2√3，点B的坐标为2)．（2）①△ACD如图所画：∵△AOB与△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠OAB＝∠AOB＝60°，AC＝AD，AB＝AO，∴∠CAO＝60°﹣∠OAD＝∠DAB，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝180°﹣∠AOB＝120°．②∵∠ABD＝120°，∴由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，∴当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上，∴点B的坐标为2)，∴OD=在Rt△AOD中，根据勾股定理AD=∴等边△ACD的边长为【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2、（1）见解析；（2）60°，SSS，全等三角形对应角相等【分析】（1）根据题意，③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于12EF的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；则∠AOB就是所求的角．（2）根据等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定推理即可【详解】（1）补全作图如下，（2）证明：连接BE，BF．∵ OC＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝60°．又∵ OE＝OF，BE＝BF，OB＝OB，∴ △OEB≌△OFB（SSS）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）．∴ ∠AOB＝12COD∠＝30°．∴∠AOB就是所求的角．故答案为：60°，SSS，全等三角形对应角相等【点睛】本题考查了基本作图-作角平分线，三角形全等的性质与判定，掌握基本作图是解题的关键．3、（1）142y x=-+；（2）5；（3）点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）【分析】（1）由坐标系中点的意义结合图形可得出A、B点的坐标，设出对角线AB所在直线的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；（2）由勾股定理求出AB的长，再结合线段垂直平分线的性质，可得AM＝BM，OM＝OB−BM，再次利用勾股定理得出AM的长；（3）（方法一）先求出直线AM的解析式，设出P点坐标，由点到直线的距离求出AM边上的高h，再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标；（方法二）由△PAM的面积与长方形OACB的面积相等可得出S△PAM的值，设点P的坐标为（x，−12x＋4），分点P在AM的右侧及左侧两种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标，此题得解．【详解】解：（1）∵四边形AOBC为长方形，且点C的坐标是（8，4），∴AO＝CB＝4，OB＝AC＝8，∴A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，0）．设对角线AB所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，则有408bk b=⎧⎨=+⎩，解得：124kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴对角线AB所在直线的函数关系式为y＝－12x＋4．（2）∵∠AOB＝90°，∴勾股定理得：AB＝∵MN垂直平分AB，∴BN＝AN＝12AB＝∵MN为线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM设AM＝a，则BM＝a，OM＝8－a，由勾股定理得，a2＝42＋（8－a）2，解得a＝5，即AM＝5．（3）（方法一）∵OM＝3，∴点M坐标为（3，0）．又∵点A坐标为（0，4），∴直线AM的解析式为y＝－43x＋4．∵点P在直线AB：y＝－12x＋4上，∴设P点坐标为（m，－12m＋4），点P到直线AM：43x＋y－4＝0的距离h2m．△PAM的面积S△PAM＝12AM•h＝54|m|＝S OABC＝AO•OB＝32，解得m＝±1285，故点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）．（方法二）∵S长方形OACB＝8×4＝32，∴S△PAM＝32．设点P的坐标为（x，－12x＋4）．当点P在AM右侧时，S△PAM＝12MB•（y A－y P）＝12×5×（4＋12x－4）＝32，解得：x＝1285，∴点P的坐标为（1285，－445）；当点P在AM左侧时，S△PAM＝S△PMB－S△ABM＝12MB•y P－10＝12×5（－12x＋4）－10＝32，解得：x＝－1285，∴点P的坐标为（－1285，845）．综上所述，点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）．【点睛】本题考查了坐标系中点的意、勾股定理、点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式，解题的关键：（1）根据坐标系中点的意义，找到A、B点的坐标；（2）由线段垂直平分线的性质和勾股定理找出BM的长度；（3）（方法一）结合点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式找到关于m的一元一次方程；（方法二）利用分割图形求面积法找出关于x的一元一次方程．本题属于中等题，难度不大，运算量不小，这里尤其要注意点P有两个．4、（1）见解析；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．【分析】（1）利用SAS证明△ADC≌△BEC，即可证明AD=BE；（2）证明△CDE为等边三角形，可求得∠BDE=120°；利用全等三角形的性质可求得∠BFD=∠BCA=60°，推出∠DFE=120°；同理可推出∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°．【详解】（1）证明：等边△ABC中，CA=CB，∠ACB=60°，∵CE=CD，∠BCE=60°，∴△ADC≌△BEC(SAS)，∴AD=BE；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．∵CE=CD，∠BCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE=60°，∴∠BDE=120°；∵△ADC≌△BEC，∴∠DAC=∠EBC，又∠BDF=∠ADC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∴∠DFE=120°；同理可求得∠AFC=∠ABC=60°，∴∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°；综上，等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．5、（1（2）直角三角形（3）5（4）图形见解析【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状；（3）由（2）可知△ABC 是直角三角形，直接利用公式求面积；（4）分别画出A 、B 、C 关于直线l 的轴对称点111A B C 、、，再依次链接111A B C 、、即可．（1）AB （2）AC BC =∴22220AB AC BC +==∴△ABC 的形状是一个直角三角形（3）由（2）可知△ABC 是直角三角形∴11==22ABC S AB AC ∆⋅ （4）图形如图所示：【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形．。

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4(含答案)

北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4（含答案）1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD＝CA，D在BC上，∠ADE＝45°，E 在AB上，则∠BED的度数是（）A．60°B．75°C．80°D．85°2．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD，则△ACD与△ADB的面积比为（）A．1B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若AD＝4，则DC的值为（）A．1B．1.5C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4B．6C．8D．106．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°7．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．98．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）A．B．C．2D．9．如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点P在△ABC内，连结P A，PB，PC，若∠1＝∠2＝∠3，且P A＝1，则PB的长是．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以△ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为．12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为°．14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠2＝70°，∠1＝．15．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝．16．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．18．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝．19．如图，点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，则△CMN是三角形．20．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是11，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝．21．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC＝10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC．22．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，求AB的值．24．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．25．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．26．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．27．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．（1）求证：EF⊥DA．（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．28．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．29．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．30．（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．参考答案1．解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，又∵CD＝CA，∴△ACD中，∠DAC＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，又∵∠ADE＝45°，∴∠BED＝∠ADE+∠DAE＝45°+30°＝75°，故选：B．2．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝4cm，AB＝2BC＝8cm，故选：C．3．解：∵D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD＝30°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴Rt△ACD中，CD＝AD＝BD，∴△ACD与△ADB的面积比为，故选：B．4．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝4，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD＝2，故选：C．5．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．6．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．7．解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．8．解：取AB的中点F，连接CF、OF．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵∠AOB＝90°，AF＝FB，∴OF＝FC＝AB＝1，∵OC≤OF+CF，∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．故选：C．9．解：∵BD、CE是高，点G是BC的中点，∴GE＝BC，GD＝BC，∴GE＝GD，A正确，不符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF⊥DE，B正确，不符合题意；∠DGE的度数不确定，C错误，符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF平分∠DGE，D正确，不符合题意；故选：C．10．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PBC＝∠ACP，∴△APC∽△CPB，∴＝＝，在等腰△ABC中，＝，∵AP＝1，∴PC＝，∴PB＝3，故答案为3．11．解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，当MA＝MC时，作MT⊥AC，∵MT∥BC，AT＝TC，∴AM＝MB＝2，∴等腰三角形AMC的腰长为2，当AC＝AM′＝2时，等腰三角形ACM的腰长为2，故答案为2或2．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．故答案为：20．14．解：∵a∥b，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠1＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．15．解：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，∴∠B＝∠C＝50°，∵EF⊥AB，∴∠EFC＝90°，∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案为：50°．16．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．故答案为：．17．解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．18．解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．故答案为：2cm．19．解：∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，∴CM＝AB，CN＝AB，∴CM＝CN，∴△CMN是等腰三角形；故答案为：等腰．20．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝BC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF＝＝＝＝．故答案为：．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，如图1，过F作FD∥AB，交BC于D，过F作FN∥BC，交AC于N，∴∠FDC＝∠ABC＝60°，∴∠FDC＝∠ACB＝∠CFD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF，∵AC＝BC，∴AF＝BD，∵BG＝AF，∴BD＝BG，∵BI∥DF，∴GI＝FI，∵FN∥BG，∴∠FNI＝∠GBI，在△FNI和△GBI中，∵，∴△FNI≌△GBI（AAS），∴NI＝BI，FN＝BG，∴FN＝AF，∵FH⊥AB，∴AH＝HN，∴HI＝HN+NI＝AB＝×10＝5；（2）证明：解法一：如图2，延长CD至P，使BC＝DP，连接AP、EP，∴BD＝CP，∵AE＝BD，∴AE＝CP，在△ACP和△CAE中，∵，∴△ACP≌△CAE（SAS），∴AP＝CE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△ABP和△DPE中，∵，∴△ABP≌△DPE（SAS），∴AP＝ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．解法二：如图3，延长CD至P，使BC＝DP，连接EP，∴BD＝PC＝AE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴EB＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△EBC和△EPD中，∵，∴△EBC≌△EPD（SAS）∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．23．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，又CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1，可得BC＝2BD＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4．24．解：（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，∴DM⊥BE，∴M是BE的中点；（2）由题意可知，BD＝DE＝，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝1，AB＝AC＝2CD＝2，则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE＝BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE＝×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．26．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．27．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，∵DF＝DE，∴EF⊥DA；（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，在Rt△DEO中，EO＝＝1，∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．28．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．29．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴EF垂直平分AD．30．解：（1）如图所示，连接EG，FG，∵E是BD的中点，G是AD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位线，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中点，∴GH⊥EF；（2）如图所示，当∠ABC＝90°时，∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位线，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中点，∴GH＝EF，即的值为。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明之直角三角形综合练(一)

北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练（一）1．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE ∥DF．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠DEC＝25°，求∠B的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．5．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．（1）请你写出这个定理的逆命题是；（2）下面我们来证明这个逆命题：已知：如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程：6．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．7．在△AOB中，∠AOB＝90°，点C为直线AO上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E．（1）若点C在线段AO上，如图1．①依题意补全图1；②求∠BEC的度数；（2）当点C在直线AO上运动时，∠BEC的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的度数．8．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．9．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．10．锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上．①如果DE∥BC，那么DE＝BC②如果DE＝BC，那么DE∥BC．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．11．如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取点F，过A作AB的垂线，使得AD＝BF，连接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分线，交BD于点M，交AB于点E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的长：（2）求证：2CM＝AF12．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．（1）直接写出∠ADB的度数是；（2）求证：BD＝AB；（3）若AB＝2，求BC的长．13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？参考答案1．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．2．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE3．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝75°，∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝75°﹣45°＝30°．（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝n°．（3）如图，∵FH⊥CG，∴∠FHC＝90°，∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCB＝n°，∵CQ平分∠DCB，∴∠QCH＝n°，∴∠CQH＝90°﹣n°．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，又∵DE⊥AB，∴Rt△BDE中，∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵DE＝DC，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．5．解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．6．解：①成立，②不成立；理由如下：①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图1所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∴∠OGQ+∠OQG＝90°，∵EF⊥GH，∴∠PFQ+∠PQF＝90°，∵∠OQG＝∠PQF，∴∠OGQ＝∠PFQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在△EFN和△HGM中，，∴△EFN≌△HGM（ASA），∴EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图2所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在Rt△EFN和Rt△HGM中，，∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），∴∠OGQ＝∠PFQ，∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，∴∠PQF+∠PFQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴EF⊥GH；作GH关于GM的对称线段GH'，则GH'＝GH＝EF，显然EF与GH'不垂直；综上所述，若EF＝GH，则必有EF⊥GH．不成立．7．解：（1）①图形如图所示．②设∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y．则有：，可得∠E＝×90°＝45°．（2）如图，当点C在OA的延长线上时，结论∠BEC＝135°．理由：∵∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．如图当点C在AO的延长线上时，同法可证：∠BEC＝135°．8．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，设∠ABG＝x，∠CDF＝y，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，∴y＝，同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，∴∠A＝2∠G；（3）如图3，∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF，由（2）得：∠CFD＝∠CDF，△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠G+∠FBG，∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．9．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．10．解：①∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE∥BC，∴AE＝EB，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC故①正确；②令E为AB中点，可以在AB上取到一点F，使DF＝DE，但DF与BC不平行．故②错误．11．解：（1）∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝12∵AF＝4，∴BF＝AB﹣AF＝12﹣4＝8，∴AD＝BF＝8，在Rt△ADB中，BD＝＝4；（2）∵AC＝CB，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴AE＝BE＝CE＝AB，CE⊥AB，∵∠DAB＝∠MEB＝90°，∠DBA＝∠MBE，∴△MBE∽△DBA，∴＝＝，∴ME＝AD，∴ME＝BF，∵CE＝AB，∴CM+ME＝（BF+AF），∴CM+BF＝BF+AF，∴CM＝AF，即AF＝2CM．12．解：（1）∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°故答案为75°．（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵∠ADB＝75°，∴∠A＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴AB＝DB．（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝∠DFC＝90°，∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD，∵BD＝AB＝2，∴DF＝1，∴FB＝，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠DBC＝30°，∴∠ECB＝60°，∵∠ECD＝15°，∴∠DCB＝45°，∴∠DCF＝∠FDC＝45°，∴FD＝FC＝1，∴BC＝．13．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．。

北师大版八年级数学下册1.2直角三角形直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)

到△AOB≌△COD，理由是（ A ）
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.

北师大版八年级下册数学[直角三角形----知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直角三角形----知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-. （4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. ③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、（2016春•卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．【答案】5或．【解析】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或，故答案为5或．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．2、（2015春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE ．从而设BE 即可表示AE ．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm ，则BE=DE=x ，AE=AB ﹣BE=10﹣x ，△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2，即x 2=（10﹣x ）2+16． ∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm. 【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝23，CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】（2015春•厦门校级期末）在四边形ABCD 中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC 的度数．【答案】解：连接BD ，∵AB=AD=2，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=2，∠ADB=60°， ∵BC=2，CD=4，则BD 2+CD 2=22+42=20，BC 2=（2）2=20， ∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15cm ．5、（2015春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，因为AB=20海里，所以AB 2=OB 2+OA 2，即202=162+122，所以△OAB 是直角三角形，又因为∠1=45°，所以∠2=45°，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C．【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C．等腰三角形两底角相等D．两个全等三角形的对应角相等【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB=AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ．求证：AD=AE ．【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB ≌△AEB 即可．【答案与解析】证明：∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴∠ADB=90°，∵AE ⊥EB ，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB 平分∠DAE ，∴∠EAB=∠DAB ；在△ADB 与△AEB 中，90EAB DAB E ADB AB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB （AAS ），∴AD=AE ．【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，分别过B 、C 向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图①过A 的直线与斜边BC 不相交时，求证：EF=BE+CF ；（2）如图②过A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案与解析】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EA+AF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF-CF=10-3=7．【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．。

北师大版八年级下册2 直角三角形

判定其全等.
2 直角三角形
题型五识别互逆命题的真假
例题5 综写出下列命题的逆命题, 并判断逆命题的真假. (1)如果x=y,那么x2 =y2； (2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角； (3)如果a=b, 那么a-b =0； (4)如果a>b, 那么ac2>bc2； (5) 如果 ∠ α 与 ∠ β 是邻补角 , 那么 ∠ α +∠β=180°； (6)如果一个三角形的两个内角相等, 那么这两个内角所对的边相等．
2 直角三角形
锦囊妙计
判定两直角三角形全等的方法
(1)当有一条直角边和斜边对应相等时, 用“HL”判定其全等；
(2)当有两条直角边对应相等时, 用“SAS”判定其全等；
(3)当有一个锐角和斜边对应相等时, 用“AAS”判定其全等；
(4)当有一条直角边和一个锐角对应相等时, 用“AAS”或“ASA”
2 直角三角形
题型四直角三角形全等的判定
例题4 木工师傅常用两个三角尺来平分一个任意的锐角, 如图1-2-9, 在已知∠AOB的两边上分别取OM=ON, 再分别过点M, N作 OA, OB的垂线, 交点为P, 画射线OP, 则OP 就是∠AOB的平分线, 说明其中的道理．
2 直角三角形
解在Rt△OMP与Rt△ONP中, ∵OM=ON, OP=OP, ∴Rt△OMP≌Rt△ONP, ∴∠MOP=∠NOP, 即OP是∠AOB的平分线．
答案 15
2 直角三角形
锦囊妙计
巧用勾股定理求最短路程解决此类问题, 通常“化曲面为平面”, 根据“两点之间线段最短”确定最短路径；然后构造直角三角形, 利用勾股定理求解. 这是解决最短路径问题重要而常见的思路.

北师大版八年级下册数学练习课件-第1章-三角形的证明复习与巩固1

▪ 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC于点E， ∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B＋∠EDB＝∠C ＋∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB.∵∠EDB＝ ∠ADF，∴∠EFC＝∠ADF，∴△ADF是等腰三角形．
12
▪ ★考点2 等边三角形 ▪ 1．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，
的关键．
5
▪ 考点4 线段的垂直平分线
▪ 【典例4】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周
长为( )
▪ A．13
B．14
▪ C．15
D．16
6
▪ 分析：∵DE是AB的垂直平分线， ▪ ∴AE＝BE， ▪ ∴△BEC的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC. ▪ ∵AC＝8，BC＝5， ▪ ∴△BEC的周长＝8＋5＝13. ▪ 答案：A
20
▪ ★考点5 角平分线
▪ 1．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N 是OB上的任意一点，C则线段PN的取值范围为( )
▪ A．PN＜3
B．PN＞3
▪ C．PN≥3
D．PN≤3
21
2．【2018·山西中考】如图，直线 MN∥PQ，直线 AB 分别与 MN、PQ 相交于点 A、B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；②分别以 C、D 为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两弧在∠NAB 内交于点 E；③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB＝2，∠ABP＝60°，则线段 AF 的长为__2__3____.
C．22 cm
D．25 cm

北师大版八年级下册数学直角三角形专项训练(原创)

【点睛】
本题考查的知识点是三角形的内角和以及勾股定理，通过三角形三角之间的比例关系确定三角形为等腰直角三角形是解此题的关键．
2．B
【来源】2014-2015学年广东省揭西县张武帮中学八年级上学期期中数学试卷（带解析)
【解析】
在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，推断出62+82=102，由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，故选B．
AD BC，BC=2BD.
∠ADB=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= = =4
BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
7．A
【来源】江苏省丰县欢口镇欢口初级中学2019-2020学年九年级下学期阶段检测数学试题
【解析】
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式；证明△ABC是直角三角形是解题的关键．
15．
【来源】上海市静安区实验中学九年级下学期沪教版五四制第一轮复习直角三角形
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式可知．
【详解】
∵一个三角形的三边的长分别是 =1，，
又∵12+（）2=（）2，
【解析】
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余可得到∠AED的度数，再根据平行线的性质即可得到∠C的度数．
【详解】
解：∵∠A=90°，∠ADE=30°，
∴∠AED=90°-30°=60°，
又∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了基本几何图形中的角度计算，解题的关键是熟知直角三角形的两个锐角互余以及平行线的性质．

北师大版八年级数学下册《直角三角形》复习课件

∠EDB = 60°，则∠EBF = 60 °，B
BE = BF .
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平
分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，
则点 D 到 AB 的距离是 3
等角对等边
相等 (简写成“____________”).
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相
交于点 E.
D
A
求证：△AED 是等腰三角形.
B
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
E
C
二、等边三角形的性质及判定
1. 等边三角形的性质
(1) 等边三角形的三边都相等；
(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于______；
60°
(3) 是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线；
(4) 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高
典例精析例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，
求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C 与∠D 都是直角.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，
AC = BD.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
D
A
C
B
例2.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的
长为 ( C )
A．5 cm
D．17.5 cm
A

北师大版八年级数学下册直角三角形----巩固练习(基础) 含答案解析

1．如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若 AB ＝15cm ，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为( )A.150cm 2.（2016 春•庆云县期末）下列各组数中，以 a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）B.200cmC.225cmD.无法计算2 2 2A ．a=1.5，b=2，c=3 C ．a=6，b=8，c=10B ．a=7，b=24，c=25 D ．a=3，b=4，c=5b 2ab aba 、b2、、 22 （都是正整数），则这个三角形是3．三角形的三边长分别为 a2 C ．锐角三角形B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是 45°，那么这两个角相等二.填空题 7．（2015 春•东台市期末）命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是． 8. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB ＝2cm ，点 E 在 BC 上，且 AE ＝EC.若将纸片沿 AE 折叠，Bcm.cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．10.如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．11.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.14.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．1.【答案】C ；【解析】面积和等于 AC 2 2 22.【答案】A ；222 22 22 2(ab ) 2ab(a b ) 2 2 ，满足勾股定理的逆定理.2 【解析】 2 24.【答案】B；∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，=10（m），5.【答案】C；6.【答案】C；【解析】AB E ABE 90BE为△AEC的垂直平分线，AC，又因为AE＝CE，所以9.【答案】61或；【解析】60cm10.【答案】6；长的边可能是斜边，也可能是直角边.【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.三.解答题13.【解析】解：过 D 点作 DE⊥AB 于 E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°， ∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD≌△AED ， ∴AE ＝AC ，在 Rt△ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在 Rt△ACB 中，∠C ＝90°4 x 设 AE ＝AC ＝，则 AB ＝x22 22∴226解得x，∴AC ＝6.14．【解析】解：设 BE ＝x ，则 DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．22x 52 ．解得．2∴ 2解：BM=8×2=16 海里，BP=15×2=30 海里，222 2证明：∵AE⊥EC ，AF⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在 Rt△AEC 与 Rt△AFB 中∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.4.【答案】B；∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，=10（m），5.【答案】C；6.【答案】C；【解析】AB E ABE 90BE为△AEC的垂直平分线，AC，又因为AE＝CE，所以9.【答案】61或；【解析】60cm10.【答案】6；长的边可能是斜边，也可能是直角边.【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.三.解答题13.【解析】解：过 D 点作 DE⊥AB 于 E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°， ∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD≌△AED ， ∴AE ＝AC ，在 Rt△ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在 Rt△ACB 中，∠C ＝90°4 x 设 AE ＝AC ＝，则 AB ＝x22 22∴226解得x，∴AC ＝6.14．【解析】解：设 BE ＝x ，则 DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．22x 52 ．解得．2∴ 2解：BM=8×2=16 海里，BP=15×2=30 海里，222 2证明：∵AE⊥EC ，AF⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在 Rt△AEC 与 Rt△AFB 中∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.4.【答案】B；∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，=10（m），5.【答案】C；6.【答案】C；【解析】AB E ABE 90BE为△AEC的垂直平分线，AC，又因为AE＝CE，所以9.【答案】61或；【解析】60cm10.【答案】6；长的边可能是斜边，也可能是直角边.【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.三.解答题13.【解析】解：过 D 点作 DE⊥AB 于 E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°， ∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD≌△AED ， ∴AE ＝AC ，在 Rt△ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在 Rt△ACB 中，∠C ＝90°4 x 设 AE ＝AC ＝，则 AB ＝x22 22∴226解得x，∴AC ＝6.14．【解析】解：设 BE ＝x ，则 DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．22x 52 ．解得．2∴ 2解：BM=8×2=16 海里，BP=15×2=30 海里，222 2证明：∵AE⊥EC ，AF⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在 Rt△AEC 与 Rt△AFB 中∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.4.【答案】B；∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，=10（m），5.【答案】C；6.【答案】C；【解析】AB E ABE 90BE为△AEC的垂直平分线，AC，又因为AE＝CE，所以9.【答案】61或；【解析】60cm10.【答案】6；长的边可能是斜边，也可能是直角边.【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.三.解答题13.【解析】解：过 D 点作 DE⊥AB 于 E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD≌△AED ，∴AE ＝AC ，在 Rt△ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在 Rt△ACB 中，∠C ＝90° 4 x设 AE ＝AC ＝，则 AB ＝ x 2 2 2 2 ∴ 2 26 解得x ，∴AC ＝6.14．【解析】解：设 BE ＝x ，则 DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．2 2 x 52 ．解得．2 ∴ 2 解：BM=8×2=16 海里，BP=15×2=30 海里，2 22 2证明：∵AE⊥EC ，AF⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在 Rt△AEC 与 Rt△AFB 中∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.5。

北师大版八年级数学下册重难点练习1.2直角三角形(解析版)

第一章三角形的证明角三角形1．（2019 ·河北初二期末）如图，△ ABC 的角均分线 CD、BE订交于 F，∠A=90°，EG∥ BC，且CG⊥ EG 于 G，以下结论：1① ∠ CEG=2∠ DCB；② ∠ DFB=∠ CGE；③ ∠ ADC=∠ GCD；④ CA均分∠BCG;此中正确的个数2是（）A．1B．2C．3D．4°2.（2019·吉林初二期末）在????????????中，∠??????= 90 ， ????⊥????于 ??， ????均分∠??????交????于 ??，则以下结论必定建立的是（）A． ????= ???? B．????= ????C． ????=????D． ????= ????3. （2019·H是△ABC的高AD BE的交点，且DH=DC 福建初二期中）如下图，，，则以下结论：① BD=AD；② BC=AC；③ BH=AC；④ CE=CD中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4. （2019·江西初二期中）三角形的三边长a，b ，c 知足关系式（ a+2b﹣ 60）2+|b ﹣18|+ c 30 =0，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形5.（ 2019·湖南初一期末）已知两个分别含有30°，45°角的一幅直角三角板．（1）如图 1 叠放在一同，若∠ CAD=4∠ BAD，请计算∠ CAE的度数；（2）如图 2 叠放在一同，使∠ ACE=2∠BCD，请计算∠ ACD的度数．6.（2019·全国初二课时练习）如图是一块地的平面图， AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．7.（ 2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC的地点如下图．（ 1）分别写出△ ABC各个极点的坐标；（ 2）判断△ ABC的形状；（ 3）请在图中画出△ ABC对于 y 轴对称的图形△ A' B'C'．8.（ 2019·广东初二期中）如图，在四边形 ABCD中， AB＝BC＝ 2， CD＝ 3，AD＝ 1，且∠ ABC＝ 90°，连结 AC．（1）求 AC的长度．（2）求证△ ACD是直角三角形．（3）求四边形 ABCD的面积？第一章三角形的证明第 2课时直角三角形第 2课时直1．（ 2019 ·河北初二期末）如图，△ABC 的角均分线 CD、BE 订交于 F，∠ A=90°，EG∥ BC，且CG⊥ EG 于 G，以下结论：1① ∠ CEG=2∠ DCB；② ∠ DFB=∠ CGE；③ ∠ ADC=∠ GCD；④ CA均分∠BCG;此中正确的个数2是（）A．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】① ∵EG∥ BC，∴ ∠ CEG=∠ ACB．又∵ CD 是△ ABC的角均分线，∴ ∠ CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④没法证明CA 均分∠ BCG，故错误；③ ∵ ∠ A=90 °，∴ ∠ ADC+∠ACD=90 °．∵ CD 均分∠ ACB，∴ ∠ ACD=∠ BCD，∴ ∠ ADC+∠ BCD=90 ．°∵EG∥ BC，且 CG⊥ EG，∴∠ GCB=90 °，即∠ GCD+∠ BCD=90 °，∴ ∠ ADC=∠GCD，故正确；② ∵ ∠ EBC+∠ ACB=∠AEB，∠ DCB+∠ ABC=∠ADC，∴∠ AEB+∠ ADC=90 °+ 1（∠ABC+∠ ACB）21=135 °，∴∠ DFE=360 °﹣ 135 °﹣ 90°=135 °，∴ ∠ DFB=45 °=∠ CGE，∴∠ CGE=2∠DFB，∴ ∠ DFB=21∠ CGE，故正确．2应选 C．°2.（2019·吉林初二期末）在????????????中，∠??????= 90 ， ????⊥????于 ??， ????均分∠??????交????于 ??，则以下结论必定建立的是（）A． ????= ???? B．????= ????C． ????= ????D． ????= ????【答案】 C【分析】∵ ∠ACB=90°， CD⊥ AB，∴ ∠ACD+∠ BCD=90 ，°∠ ACD+∠ A=90 ，°∴ ∠BCD=∠ A．∵CE均分∠ ACD，∴ ∠ACE=∠ DCE．又∵∠ BEC=∠ A+∠ ACE，∠BCE=∠ BCD+∠ DCE，∴ ∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．应选 C．3.（2019·福建初二期中）如下图，H 是△ABC的高 AD， BE的交点，且DH=DC，则以下结论：① BD=AD；② BC=AC；③ BH=AC；④ CE=CD中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】① ∵BE⊥AC， AD⊥ BC，∴∠ AEH=∠ ADB=90°．∵ ∠HBD+∠ BHD=90 ，°∠ EAH+∠ AHE=90 ，°∠ BHD=∠ AHE，∴ ∠ HBD=∠EAH．∵DH=DC，∴△ BDH≌ △ ADC（ AAS），∴BD=AD， BH=AC；② ∵BC=AC，∴ ∠BAC=∠ ABC．由①知，在 Rt△ ABD 中，∵ BD=AD，∴∠ ABC=45°，∴ ∠BAC=45°，∴∠ ACB=90°．∵ ∠ACB+∠DAC=90 ，°∠ACB＜ 90 °，∴结论②为错误结论．③由① 证明知，△ BDH≌ △ ADC，∴BH=AC；④ ∵CE=CD，∠ ACB=∠ ACB；∠ ADC=∠ BEC=90 °，∴△ BEC≌△ ADC，因为缺少条件，没法证得△ BEC≌ △ADC，∴结论④为错误结论．综上所述，结论① ，③ 为正确结论，结论②，④ 为错误结论，依据题意应选B．应选 B．4. （2019·江西初二期中）三角形的三边长a，b ，c 知足关系式（ a+2b﹣ 60）2+|b ﹣18|+ c 30 =0，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】 D【分析】∵ (a+2b-60) 2+|b-18|+ c 30 =0，∴a+2b-60=0 ， b-18=0 ，c-30=0 ，∴a=24， b=18， c=30，∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形，应选： D.5.（ 2019·湖南初一期末）已知两个分别含有30°，45°角的一幅直角三角板．（1）如图 1 叠放在一同，若∠ CAD=4∠ BAD，请计算∠ CAE的度数；（2）如图 2 叠放在一同，使∠ ACE=2∠BCD，请计算∠ ACD的度数．【分析】解：（1）由∠CAD+∠BAD=90°，∠ CAD=4∠ BAD，∴5∠ BAD=90 ，°∴∠BAD=18 ，°∴∠CAE=18 ；°（ 2）设∠ BCE=α，∵ ∠ACE=2∠ BCD，∴90 -α =2（60-α），∴α°，即∠ BCE=30°，=30∴ ∠BCD=30 ，°∴ ∠ACD=120 ．°6.（2019·全国初二课时练习）如图是一块地的平面图， AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．【分析】连结AC ，∵ ∠ADC=90 °∴在 Rt△ ADC中， AC2= AD2 +CD2=42+32=25，∵AC2+BC2=25+122=169, AB2=132 =169，∴ AC2+BC2= AB2，∴ ∠ ACB=90°，112∴S=S －S=× 12×5－× 4× 3=24m△ACB△ADC22答：这块地的面积是24 平方米7.（ 2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC的地点如下图．（ 1）分别写出△ ABC各个极点的坐标；（ 2）判断△ ABC的形状；（ 3）请在图中画出△ ABC对于y轴对称的图形△ A' B'C'．【分析】解：（1）由题意可知：A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3);(2)依据勾股定理可得：AB2125226BC 2322213AC 2322213∴BC=AC，且BC2AC2AB2∴△ABC 是等腰直角三角形；(3)△ A'B'C'如下图：8.（ 2019·广东初二期中）如图，在四边形 ABCD中， AB＝BC＝ 2， CD＝ 3，AD＝ 1，且∠ ABC＝ 90°，连结 AC．（1）求 AC的长度．（2）求证△ ACD是直角三角形．（3）求四边形 ABCD的面积？【分析】解：（ 1）在直角△ ABC中， AC 为斜边，且AB＝ BC＝ 2，则 AC＝AB 2BC2＝2222＝2 2．（2）∵ AD＝ 1，CD＝ 3， AC＝ 2 2∴AC2+AD2＝ CD2，即△ACD 为直角三角形，且∠ DAC＝90°，1111（ 3）四边形 ABCD的面积＝ S△ABC+S△ACD＝AB× BC+ AD× AC＝× 2× 2+× 1×2＝ 2+2．22222答：四边形ABCD的面积为2+ 2 ．。

北师大八级下《直角三角形》课时练习含答案解析

北师大版数学八年级下册第一章第二节直角三角形课时练习一、选择题（共15小题）1．下列说法中不正确的是（）A．平行四边形是中心对称图形B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等答案：D解析：解答：A．平行四边形是中心对称图形，说法正确；B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等，说法正确；C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等，说法错误；D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等，说法正确；故选：C．分析：根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据AAS定理可得B正确；根据全等三角形的判定定理可得要证明两个三角形全等，必须有边对应相等可得C正确；根据HL定理可得D正确．2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°答案：B解析：解答：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．分析：利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A．44°B．34°C．54°D．64°答案：A解析：解答：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．4．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°答案：C解析：解答：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故选：C．分析：根据直角三角形两锐角互余解答．5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确答案：B解析：解答：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．依据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选：B．分析：根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．6．下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A．一条边对应相等B．两条直角边对应相等C．一个锐角对应相等D．两个锐角对应相等答案：B解析：解答：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；而D构成了AAA，不能判定全等；B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．故选：B．分析：判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答．7．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA答案：A解析：解答：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．分析：利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．8．如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（）A．65°B．35°C．55°D．45°答案：B解析：解答：∵AB⊥BD，AC⊥CD，∴∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，又∵∠AEB=∠CED，∴∠A=∠D=35°．故选B．分析：先由AB⊥BD，AC⊥CD可得∠B=∠C=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，由对顶角相等有∠AEB=∠CED，然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°．9．在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）A．15°B．30°C．60°D．90°答案：B解析：解答：设较小的锐角是x°，则另一个锐角是2x°，由题意得，x+2x=90，解得x=30，即此三角形中最小的角是30°．故选：B．分析：设较小的锐角是x，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）A．100度B．120度C．135度D．140度答案：C解析：解答：如图，∵∠C=90°，∴∠BAC +∠ABC =180°﹣90°=90°，∵AD 、BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线，∴∠OAB +∠OBA =21×90°=45°， ∴∠AOB =180°﹣（∠OAB +∠OBA ）=180°﹣45°=135°．故选：C ．分析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC +∠ABC =90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB +∠OBA =45°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．11．如图所示，H 是△ABC 的高AD ，BE 的交点，且DH =DC ，则下列结论：①BD =AD ；②BC =AC ；③BH =AC ；④CE =CD 中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：解答：①∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC∴∠AEH =∠ADB =90°∵∠HBD +∠BHD =90°，∠EAH +∠AHE =90°，∠BHD =∠AHE∴∠HBD =∠EAH∵DH =DC∴△BDH ≌△ADC （AAS ）∴BD =AD ，BH =AC②：∵BC =AC∴∠BAC =∠ABC∵由①知，在Rt △ABD 中，BD =AD∴∠ABC =45°∴∠BAC=45°∴∠ACB=90°∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°∴结论②为错误结论．③：由①证明知，△BDH≌△ADC∴BH=AC解④：∵CE=CD∵∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC∴结论④为错误结论综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选：B．分析：可以采用排除法对各个选项进行验证，从而得出最后的答案．12．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL答案：C解析：解答：两边及夹角对应相等的两个三角形全等，这为“边角边”定理，简写成“SAS”．故选：C．分析：根据三角形全等的判定定理，两条直角边对应相等，还有一个直角，则利用了SAS．13．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°答案：C解析：解答：如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选：C．分析：由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．14．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（）A．4对B．3对C．2对D．1对答案：C解析：解答：相等的锐角有：∠B=∠CAD，∠C=∠BAD共2对．故选：C．分析：根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可．15．下列说法错误的是（）A．直角三角板的两个锐角互余B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角D．平行于同一条直线的两条直线平行答案：C解析：解答：A．直角三角形中的两个锐角互余，所以直角三角板的两个锐角互余，故本选项说法正确；B．根据平行公理可知：过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，故本选项说法正确；C．如果两个角互补，那么，这两个角和一定是180°，但是它们不一定都是直角，故本选项说法错误；D．根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行．故本选项说法正确；故选：C．分析：①根据直角三角形的性质判断；②过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条；③根据补角的定义进行判断；④根据平行线的性质进行判断．二、填空题（共5小题）16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：（答案不唯一），使△ADB≌△CEB．答案：AB=BC解析：解答：AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，∠B=∠B∴△ADB≌△CEB（AAS）．答案：AB=BC．分析：要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．17．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．答案：AC=DE解析：解答：AC=DE，理由是：∵AB ⊥DC ，∴∠ABC =∠DBE =90°，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，⎩⎨⎧==BC BE DE AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）．故答案为：AC =DE ．分析：先求出∠ABC =∠DBE =90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．18．如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∠1=∠2，有下列结论：①AC ∥DE ；②∠A =∠3；③∠B =∠1；④∠B 与∠2互余；⑤∠A =∠2．其中正确的有（填写所有正确的序号）．答案：①②③解析：解答：∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴△ACD 与△ACB 都为直角三角形，∴∠A +∠1=90°，∠A +∠B =90°，∴∠1=∠B ，选项③正确；∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，选项①正确；∴∠A =∠3，选项②正确；∵∠1=∠B ，∠1=∠2，∴∠2=∠B ，即∠2与∠B 不互余，选项④错误；∠2不一定等于∠A ，选项⑤错误；则正确的选项有①②③，故答案为：①②③．分析：由同角的余角相等得到∠1=∠B ，由已知内错角相等得到AC 与DE 平行，由两直线平行同位角相等得到∠A =∠3，再利用等量代换得到∠2与∠B 相等，∠2不一定等于∠A ．19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为度．答案：60解析：解答：∵三角形是直角三角形，一个锐角等于30°，∴另一个锐角为90°﹣30°=60°，故答案为：60．分析：根据直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角的度数即可．20．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=．答案：45°或135°解析：解答：有2种情况，如图（1），（2），∵∠BHD=∠AHE，又∠AEH=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠C，∴∠C=∠BHD，∵BH=AC，∠HBD=∠DAC，∠C=∠BHD，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD．如图（1）时∠ABC=45°；如图（2）时∠ABC=135°．∵AD=BD，AD⊥BD，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°﹣45°=135°，故答案为：45°或135°．分析：根据高的可能位置，有2种情况，如图（1），（2），通过证明△HBD≌△CAD得AD=BD 后求解．三、解答题（共5小题）21．如图，已知∠A =∠D =90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB =CD ，BE =CF ．求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．答案：证明：∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，∵∠A =∠D =90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，⎩⎨⎧==CDAB CE BF ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）．解析：分析：由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．22．已知：AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1=∠2，问：△ABC ≌△ADC 吗？说明理由．答案：解：△ABC ≌△ADC ．理由如下：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B =∠D =90°．在△ABC 与△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC AC D B 21，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．解析：分析：根据全等三角形的判定定理AAS进行证明．23．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．答案：证明：∵∠1=∠2，∴DE=CE．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°．∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD=BE．∴△ADE≌△BEC．解析：分析：此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．24．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．答案：证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．解析：分析：25．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF．（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC；答案：证明：∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；∴∠B=∠C，∴AB=AC．（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB=OC，试说明AB与AC的关系；答案：AB=AC．证明：同（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；∴∠OBE=∠OCF；∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB；∴∠ABC=∠ACB；∴AB=AC．（3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）答案：解：当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB=AC成立，如图①；当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立，如图②．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）解析：分析：（1）证△BOE≌△COF，可得∠B=∠C，通过等角对等边，得出AB=AC；（2）与（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE=∠OCF，OB=OC；则∠OBC=∠OCB，可证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AB=AC；（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB=AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）．。

北师大版八年级数学下册等腰三角形(基础)巩固练习含答案解析

【巩固练习】一.选择题1.（2016•曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．80°，20°C．50°，50°D．50°，50°或80°，20°2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A. 假设CD∥EF ;B. 假设AB∥EFC. 假设CD和EF不平行D. 假设AB和EF不平行3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（A. 4个B. 3个C. 2个）D. 1个4. 已知实数 x，y 满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对5. 如图，D是AB 边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若AB CB 50，则BD F度数是（）A．60°B．70°C．80°D．不确定6.（2015•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8.（2015•嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是．9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是.11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△AB C是等腰三角形的是_________ ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．12. 如图，△ABC 的周长为32，且AB=AC ，AD⊥BC 于D，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为.三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14.（2016春•安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．15.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：∵外角等于100°，∴这个内角为80°，=50°，此时另两个内角的度当这个80°角为顶角时，则底角为数分别为50°，50°；当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；故选D．2.【答案】C；【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】根据题意得4＝0x,y 8＝0解得4x.y 8（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．5.【答案】C；BDF【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，＝180°－50°－50°＝80°.6.【答案】D；【解析】解：如图，∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），∴以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D．二.填空题7.【答案】20；【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.8.【答案】12；【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，∵2+2=4＜5，∴不能组成三角形，②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，能组成三角形，周长=2+5+5=12，综上所述，它的周长是12．故答案为：12．9.【答案】两直线平行；【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案.10.【答案】70°或40°；【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°．故答案为：70°或40°.11.【答案】②③④；【解析】：②当∠B A D=∠C A D时，∵A D是∠B A C的平分线，且A D是BC边上的高；则△A B D≌△A C D，∴△B A C是等腰三角形；③延长D B至E，使BE=A B；延长D C至F，使CF=A C；连接AE、A F；∵A B+B D=C D+A C，∴DE=DF，又AD⊥B C；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵A B=BE，∴∠A B C=2∠E；同理，得∠A C B=2∠F；∴∠A B C=∠A C B，即A B=A C，△A B C是等腰三角形；④△A B C中，A D⊥BC，根据勾股定理，得：2222A B﹣B D=A C﹣C D，即（A B+B D）（A B﹣B D）=（A C+C D）（A C﹣C D）；∵A B﹣B D=A C﹣C D，∴A B+B D=A C+C D；∴两式相加得，2A B=2A C；∴A B=A C，∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．∴△A B C是等腰三角形故填②③④．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，1802x∴∠ADE＝90x2即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．15.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角．。

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1.2直角三角形一、选择题1．下列命题中，是真命题的是 ( ）A．相等的角是对顶角B．两直线平行,同位角互补C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形中两锐角互补2．若三角形三边长之比为1∶3∶2，则这个三角形中的最大角的度数是 ( ）A．60°B．90°C.120° D．150°3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于（ ) A．3∶1∶2 B．1∶2∶3C．1∶3∶2 D．2∶1∶3 4．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 ( ）A．相等B．互补C．相等或互补 D．相等或互余5．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是 ( ）A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等 D．两个直角三角形中的斜边对应相等二、填空题6．在等腰三角形中，腰长是a,一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是．7．已知△ABC中,边长a，b，c满足a2＝13b2＝14c2，那么∠B＝ .8．如图1－46所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶的路程AB 为海里（结果保留根号)．三、解答题9．已知等腰三角形ABC中,AB＝AC＝103c m，底边BC＝163c m，求底边上的高A D的长．10．如图1－47所示，把矩形ABC D沿对角线B D折叠,点C落在点F处,若AB＝12 c m,BC＝16 c m．（1)求A E的长；（2)求重合部分的面积．11．如图1－48所示，把矩形纸片ABC D沿EF折叠,使点B落在边A D上的点B′处，点A 落在点A′处．（1）求证B′E＝B F；（2）设A E＝a，AB＝b，B F＝c，试猜想a，b,c之间的一种关系，并给出证明．12．三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内,各选定一个看守点，并保证在有情况时,他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1－49（1)所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点),看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图1－49（2）所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图1－49（3）所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等．（1）牧童B的划分方案中，牧童（填“A”“B"或“C”）在有情况时所需走的最大距离较远．（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示:在计算时可取正方形边长为2）参考答案1．C [提示:可以举出例子说明A，B，D为假命题．]2．B [提示:设三边长分别为a，a，2a，则a2+3）2＝（2a）2，为直角三角形．3．D ［提示：∠A＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°．]4．C ［提示：如图1－50（1）所示,已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，A D⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且A D＝A′D′，根据HL可判定Rt△AB D≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图1－50（2）所示，可知此时两角互补．］5．B [提示：利用HL可证明．]6．12a 或32 a [提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况．]7．60°［提示:b 2=3a 2，c 2=4a 2 c 2=a 2+b 2,b =3a ，c =2a ．8．40+403 [提示：在Rt △AC P 中,A P C =45°，A P=402 ,∴AC =P C =40．在Rt △P CB 中，∠P BC =30°，BC =403 , ∴AB =AC +BC =40+403. ]9．解:∵A D 为底边上的高∴B D=C D=12BC =12×163=83 (c m)．在Rt △AB D 中由勾股定理，得A D=2222108()()33AB BD -=+=369=2c m 10．解：（1） ∵∠CB D= ∠ F B D(轴对称图形的性质)，又∠CB D=∠A D B (两直线平行,内错角相等),∴∠F B D=∠A D B (等量代换)．∴E B =ED （等角对等边）．设A E=xc m ，则DE=(16一x ）c m ，即E B =（16一x )c m,在Rt △AB E 中，AB 2=B E 2一A E 2即l22=（16一x )2一x 2,解得x =3．5．即A E的长为3．5 c m ． (2)BA ⊥A D,∴S △B DE =12DE •BA =12×（1 6—3.5）×12=75（c m 2)． 11．（1)证明：由题意得B ′F=B F ，∠B ′FE=∠B FE ．在矩形ABC D 中，A D ∥BC ，∴∠B ′EF=∠B FE,∴∠B ′FE=∠B ′EF ，∴B ′F=B ′E ．∴B ′E=B F ． (2）解：a ，b ，f 三者关系有两种情况．①a ，b ,c 三者存在的关系是a 2十b 2=c 2.证明如下：连接B E ，则B E= B ′E ．由（1）知B ′E=B F=c ∴B E=c ．在△AB E 中,∠A =90°∴A E 2+AB 2=B E 2∵A E=aAB =b ,∴a 2+b 2=c 2．②a ．b ，c 三者存在的关系是a +b 〉c 证明如下：连接B E,则B E=B ′E ．由(1)知B′E=B F=c,B E=f．在△AB E中，A E+AB〉B E∴a+b〉c.12．解：(1)C [提示：认真观察,用圆规或直尺进行比较，此方法适用于标准作图．］（2）牧童C的划分方案不符合他们商量的．划分原则．理山如下：如图1－52所示,在正方形DEFG中，四边形HENM，MNFP，DHPG都是矩形，且HN=NP=HG，则EN=NF, S矩形HENM=S矩形MNFP，取正方形边长为2．设HD=x,则HE=2一x，在 Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG,得EH2+EN2=DH2+DG2，即（2一x）2+l2=x2+22，解得x =14,∴HE=2－ x =74，∴S矩形HENM=S矩形MNFP=1×74=74,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则．。

北师大八年级数学下册1.2专题资料：直角三角形.doc

初中数学试卷桑水出品1.2专题资料：直角三角形知识要点：(看课本14-21)1.勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理逆定理: 如果一个三角形较小两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4.在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半5.直角三角形全等的一种判定方法: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.“斜边、直角边”“HL”例题分析例1 （将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．例2.如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。

求证：CE = DE。

桑水桑水21EF A BC分析：这里要证明两次三角形全等。

巩固练习1.如图1，在ABC △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形ACD 的斜边AD 在AB边上，求BC 的长．2. 如上图2 在ABC △中，120AB AC A =∠=︒，，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ．如果1DE =，求BC 的长．3.如图，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BD = CD 。

求证EB = FC图2CBADE4．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2 B．23C．33+1D．3 +15、如图,在△ABC中,AB = AC , 点D在BC上 , ∠DAC = 90°, AD =21CD.求：∠BAC的度数6、已知：∠ABC=∠ADC=90度，E是AC中点。

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北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
直角三角形-----巩固练习（基础）
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )
A.1502cm
B.2002cm
C.2252cm
D.无法计算
2.（2016春•庆云县期末）下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）
A ．a=1.5，b=2，c=3
B ．a=7，b=24，c=25
C ．a=6，b=8，c=10
D ．a=3，b=4，c=5
3．三角形的三边长分别为 22a b +、2ab 、22
a b -（a b 、都是正整数），则这个三角形是（）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
4．（2015•岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）
A ．8米
B ．10米
C ．12米
D ．14米
5．（2015春•天河区期末）下列各命题的逆命题成立的是（）
A ．全等三角形的对应角相等
B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C ．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）
A.一定全等
B.一定不全等
C.可能全等
D.以上都不是
二.填空题
7．（2015春•东台市期末）命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是．8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，
点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.
9. 已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为cm时，这3条
线段能组成一个直角三角形．
10. 如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．
11. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.
12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.
三.解答题
13. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的
长．
14.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．
15.（2016春•和县校级月考）如图，在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
16. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.
求证：∠1＝∠2.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C ；
【解析】面积和等于222
225AC BC AB +==.
2.【答案】A ；
【解析】解：A 、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A 选项符合题意；
B 、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B 选项不符合题意；
C 、∵62+82=102
，∴该三角形是直角三角形，故C 选项不符合题意；
D 、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D 选项不符合题意．
故选：A ．
3.【答案】A ；
【解析】()2222222()2()a b ab a b -+=+，满足勾股定理的逆定理. 4. 【答案】B ；
【解析】解：如图，设大树高为AB=10m ，
小树高为CD=4m ，
过C 点作CE⊥AB 于E ，则EBDC 是矩形，
连接AC ，
∴EB=4m，EC=8m ，AE=AB ﹣EB=10﹣4=6m ，
在Rt△AEC 中，AC=
=10（m ），
故小鸟至少飞行10m ．
故选：B ．
5. 【答案】C ；
【解析】解：A 、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B 、绝对值相等的两个数相等，错误；
C 、同位角相等，两条直线平行，正确；
D 、相等的两个角都是45°，错误．
故选C ．
6.【答案】C ；
【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.
二.填空题
7.【答案】如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角；
8.【答案】4；
【解析】90AB E ABE '∠=∠=︒，又因为AE ＝CE ，所以BE '为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .
9.【答案】61
【解析】60cm 长的边可能是斜边，也可能是直角边.
10.【答案】6；
【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt△．
11.【答案】6；
【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；
12.【答案】45°；
【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.
三.解答题
13.【解析】
解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，
∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，
∴DE ＝CD ＝3，
易证△ACD ≌△AED ，
∴AE ＝AC ，
在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4
在Rt △ACB 中，∠C ＝90°
设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x +
∵222
AB AC BC =+
∴()22248x x +=+ 解得6x =，∴AC ＝6.
14．【解析】
解：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．
在Rt △ABE 中，222
AB AE BE ＋＝，
∴()22239x x +-=．解得5x =． 15．【解析】
解：BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
在△BMP 中，BM 2+BP 2=256+900=1156，PM 2
=1156，
BM 2+BP 2=PM 2，
∴∠MBP=90°，
180°﹣90°﹣60°=30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行．
16.【解析】
证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，
∴△AEC 、△AFB 为直角三角形
在Rt △AEC 与Rt △AFB 中
AB AC AE AF ⎧⎨
⎩＝＝
∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）
∴∠EAC ＝∠FAB
∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.。