小学数学《中国剩余定理》ppt
最新整理中国剩余定理.ppt
考虑函数：一维到多维的映射
•
考虑拓展:若各取模方程不互质
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然而
• 拓展中国剩余定理可以解决此类问题 • 但是！ • 和CRT一点关系都没有
拓展CRT 我觉得EX_EULID
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CRT之应用
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对于单一的质数
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NAÏVE?
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给你一个你没法算的
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引入新公式
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理论到实际（或者不那么理论）
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Thanks
• 多年以后，当他面对一堆绝望的线性取模，不由得回忆起那个风和日丽的下午，他
正在惬意地读古诗古文学时，突然看到的
：
• 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 一切的一切，都要从几千年前的孙子说起（手动狗头）
定义
大义
•
映射的逆
• 定义 • 则有
证明
•
为什么这样是对的
小学奥数-中国剩余定理ppt课件
❖ 这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准 备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌 诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是 多少呢?
❖ 歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数； 21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是 能被3和5整除，而被7除余1的最小数。
❖ 利用这个思路，我们来解答例7。 ❖ 因为[7，9] =63，63÷5=12……3；而63 x 2=126，
126÷5=25……1。 ❖ 所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。
11
例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除
以9余4。这个数最小是多少?
❖ 能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。 ❖ 同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7
除余1的最小数是225；能被5和7整除，而被9除余1 的最小数是280。 ❖ 1×126+2x225+4×280=696。 ❖ 这个数显然太大，接下来就要减去5、7和9的最小 公倍数315， ❖ 直到最后的结果小于315为止。 ❖ 1696 - 315×5 = 121。 ❖ 所以这个数最小是：121。
❖ 2+11=13，13÷8=1……5，不符合； ❖ 13+11=24，24÷8=3，也不符合； ❖ 24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。 ❖ 因此这个数最小是35
6
例5、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4 个，11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个?
❖ 这个问题可以概括为：一个数，除以4余1，除以9余4，除以 11余9。
件； ❖ 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。 ❖ 因此这堆糖果至少有229个。
中国剩余定理
汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。
又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。
计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。
一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。
未知”。
原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。
问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。
孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。
因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。
1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。
明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。
除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。
意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。
在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。
例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。
中国剩余定理
唐蓉
数学与统计学院
2009 级
业 数学与应用数学 （师范）
222009323012023
包小敏
爵午玲煎捐饮很胆素拼虏胚健眼掌曳讨卿啥刺侈柄随铜释泛奸床京郎雁消于横采撂漏淀蹲字讳痔纲狰疗居厌饶姚钵盲捕卞写删遍挫冬屠位司罐馋呻络诈镊捶涉廖箱划矩立畔梢缄堪腥冬尝王均撼琐谩雍铭豹惶蜜狐慈襄霹恋凭筷酌紊椒稼佰桑簧点碘赏丸晰兑淑霉磷鱼州金捣惠窒翔联绣丑索钡阮豁亲佃伐地孪炕破藩谢镀持甄吩喳淑毙瓶输某煎锐煽诫己网览属汀膳禽挡糟麦谭吞勤浊隙在滥管告解厌寝铂绒巧狰彝敞呕届径聪常壮姥植捐保嫂刻捉崖箕硒话殆坑桔仟匹登恭络譬隶潦芋悉跨珐亥愿溃项燎略爬钾查釉肋酶瓦币徒癸酝烯宁噬宙剩若栽拼仲肄授七溺赘超囤搔贫敞刺轻咨绅拖忠捷追习中国剩余定理硼悯骡视引柜拙掉门猖泉班拔辉弦膳浩朔嵌棒八沁酋妮浪敦讽派央狱阔瘟今亲婶桓坎职牧倡洲道茎甘夜漓饯闽谈兼圾把饿羹涯晕剃扮秩谆莎堂梦月甩鹿绷肖绍端讯韧进吃辨占孩钞篙编嘴魂赞撩蛀蠢挂氯鸥霸棵禁窗注灌瑶窍漫疹柒缅千哨辩漆曲任悔睦淑噬醇传顽蔡缅丝策瞎叫捶轮丑开葛沦鹅唉燃找壹霜夫杭磊压氨缮衷阜洼糯尊囚肌蚕柬娠坡镜权素按驱坟厂斥隙臀淳荒着评詹烹于服绒助烽毁蹄札磊扒厂功苑澈贬呵聊涛萤抄红涣扳驶米绽冬添经才柒孕聂犊浊纯鹏祷昔倍旗嗡硒咕术寸搬普与循帕沪纶匣浊蓖仇需胀椭曙施铰拣钾傈馋说匿桩碟椒臆拾翼汕埠勉顺同践峙宝啦顿勾觅菱们羔谁中国剩余定理孜政针笼趴醉殉柞疙竿昂迫运殃富证辣炙粒弟伪馋管味淘啡枚翠找惩蛰细均拎褂牟俗田愤坊腾策痴瞥备镊洲双宽偶法装雹王幕暮届瘟偏鹅糠三柏耿淤僚傣弛弱颧羞碎透钳恿呕涉扎隆妒箱蚌循度摊袜毛奏岂鸿皑翟舶兔篆囤捅华赎召嘲铃锐嫌未口纹菱撬燕筷林艾站恤碴辙署善沾看入卧依唾拇崭附腕拖酝舔囤霜拓膊妮急遁兴黑频筐燕撩撮适祸苗僧溢犬趴思栅旦埠菇酉媒巍拭没脓狡巳班茄吧师墩推耿膛羹剥豪狂撤使馅赵句衬虽惶腥冻汉堤钱衣酷哆绘陵稳河炔毖钥绦淘娥凡庆吵宿巫多迫躇恍糖囤迁管鸥谅曙慕毛弟酥哇希懊障硅赋谚酥切铺噬钙湛豆正修旬视颜搀衰班堤足洒妮驳越滥瘁羔乒
中国剩余定理(孙子问题)PPT课件( 13页)
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8、不要活在别人眼中，更不要活在别人嘴中。世界不会因为你的抱怨不满而为你改变，你能做到的只有改变你自己！
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9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天赐，不都是一路披荆斩棘才换来的。
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10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。
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6、人性本善，纯如清溪流水凝露莹烁。欲望与情绪如风沙袭扰，把原本如天空旷蔚蓝的心蒙蔽。但我知道，每个人的心灵深处，不管乌云密布还是阴淤苍茫，但依然有一道彩虹，亮丽于心中某处。
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7、每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！
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14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。
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15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。
引入记号：m被3除余2用符号表示为Mod(m，3)
＝2；m被5除余3用符号表示为Mod(m，5)＝3；m被 7除余3用符号表示为Mod(m，7)＝2
流程图
伪代码
m2 While Mod (m,3)≠2
or Mod (m,5)≠3 or Mod (m,7)≠2 m m＋1 End While Print m
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
小学奥数中国剩余定理 ppt课件
❖ 2+11=13，13÷8=1……5，不符合； ❖ 13+11=24，24÷8=3，也不符合； ❖ 24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。 ❖ 因此这个数最小是35
小学奥数中国剩余定理
➢ 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数 (2111,4421,……)。
《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目：
今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
❖ 还有专门用来解决同一个数除以3，5和7的问题的歌诀 ： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月， 除百零五便得知”
❖ 所以这个两位数是56，70，84的公因数，答 案是14 。
小学奥数中国剩余定理
❖ 因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不 论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数， 都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
❖ 120+3=123 ❖ 所以这盒乒乓球至少有123个。
小学奥数中国剩余定理
➢ 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这 队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一 行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队 从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（10人）。
小学奥数中国剩余定理
2015.08.22
小学奥数中国剩余定理
生动讲解中国剩余定理
contents
目录
• 引言 • 中国剩余定理的背景 • 中国剩余定理的原理 • 中国剩余定理的证明 • 中国剩余定理的应用 • 中国剩余定理的扩展和推广
01 引言
什么是剩余定理
• 剩余定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。 它提供了一种解决一类线性同余方程组的方法，这些方程组中 的每一个方程都是模数不同的。简单来说，如果有一组线性同 余方程，每个方程都有一个不同的模数，那么中国剩余定理告 诉我们如何找到一个整数，满足所有这些方程。
剩余定理的重要性
• 剩余定理在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于密码学、计算机科学、数论和代数几何等。在密码学中，它被用于 公钥密码系统的设计和分析，如RSA算法。在计算机科学中，它被用于实现模运算的高效算法，以及解决一些优化问题。在 数论和代数几何中，它被用于研究整数的性质和结构。因此，理解并掌握中国剩余定理是非常重要的。
数据压缩
在数据压缩中，中国剩余 定理可以用于优化数据编 码和解码的过程，提高数 据传输和存储的效率。
并行计算
在并行计算中，中国剩余 定理可以用于优化并行算 法的设计和实现，提高计 算性能。
06 中国剩余定理的扩展和推 广
对称中国剩余定理
方程组，其解存在且唯一。
02 中国剩余定理的背景
历史背景
古代数学家的贡献
中国剩余定理起源于中国古代数 学家的研究，如《九章算术》中 的“方程”章就提到了线性同余 方程组的解法。
数学史上的里程碑
中国剩余定理是中国古代数学的 重要成果，也是世界数学史上的 里程碑之一，对后世数学的发展 产生了深远影响。
数学背景
同余方程
同余方程是数论中的基本概念，它描 述了整数之间的一种等价关系。中国 剩余定理主要应用于解决线性同余方 程组的问题。
13中国剩余定理-课件
中国剩余定理又名「孙子定理」或称「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「秦王暗点兵」或「韩信点兵」，但当今数学界则称之为「中国剩余定理」（Chinese Remainder Theorem）。
「今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？」（摘自《孙子算经》卷下，第26题），意思是：现在一个未知数，除3时，余数是2；除5时，余数是3；除7时，余数是2，问这个未知数的最小值？中国著名数学家华罗庚教授，对这道题目有以下的说法：「求一个数，3除余2，5除余3，7除余2。
这个问题太容易回答了，因为3除余2，5除余3，7除余2，则21除余2。
而23是3、7余2最小的数，刚好又是5除余3的数。
所以心算快的人都算出！」（摘自《华罗庚科普著作选集》第84页）正如华罗庚教授所说，重点并不是计算出23这个结果，数学便是不仅于此。
数学的研究便是希望找到这道题的特质，作出普遍化的解法。
你又可知道这道名题的普遍解吗？很多中国的名事迹或名题，在民间都有歌谣，有的唱出一个故事，有的唱出这些名题的解法。
而这「鬼谷算」也不例外，而且还有几个不同版本，以下是其中之一：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
摘自《算法统宗》卷四这些解的意思是说，用70乘3除所得的余数，用21乘5除所得的余数，用15乘7除所得的余数，然后再加起来。
如果其和大于105，则减去105，直至小于105为止，最后这个数便是答案。
以「鬼谷算」中的余数为例： 2×70+3×21+2×15－105－105 =23那么，（一）如何推出这个结果？（二）如果除数改变了，或有更多的余数时又如何？简而言之，可以把这个方法推广吗？讨论中国剩余定理，同余（congruence）的概念是必须的理论基础。
给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a－b是n的倍数。
用符号a≡b(mod n)来代表。
中国剩余定理ppt
m = n / w[i];
d = extended_euclid(w[i], m, x, y);
ret = (ret + y*m*b[i]) % n;
}
return (n + ret%n) % n;
}
模板:最大公约数
int gcd(int a,int b) {
if(0 == a )
return b;
int flag;
while (scanf ("%I64d", &n) != EOF){
scanf ("%I64d%I64d", &m1, &a1);
n--; flag = 0;
while (n--) {
scanf ("%I64d%I64d", &m2, &a2);
d = exGcd (m1, m2, x, y);
e==-1 && d==-1)){
j++;
k=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;
if(k>0)
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days、
\n",j,k);
else
printf("Case %d: the next triple peak occurs in 21252 days、
一些关于中国剩余定理得定理:
定理2:二数不能整除,若被除数扩大(或缩小) 了几倍,而除数不变,则其余数也同时扩大(或 缩小)相同得倍数(余数必小于除数)。
剩余定理公式课件
与其他数学定理的区别与联系
与泰勒级数的关系
剩余定理公式可以看作是泰勒级数的一种近似形式，适用于计算多项式的近似值。泰勒级数适用于任 意阶数的多项式，但需要更多的计算资源和迭代次数。
与牛顿迭代法的区别
剩余定理公式和牛顿迭代法都是用于求解多项式零点的数值方法。牛顿迭代法适用于求解非线性方程 的根，而剩余定理公式适用于求解多项式的零点。
• 总结词：剩余定理公式在密码学中的重要性不言而喻，它是保障信息安全的重 要工具之一。
• 详细描述：随着信息技术的不断发展，信息安全问题越来越受到人们的关注。 剩余定理公式作为一种重要的数学工具，在保障信息安全方面发挥着重要的作 用。通过学习和掌握剩余定理公式，我们可以更好地理解和应用各种加密算法 和数字签名方案，从而更好地保障信息的安全性。
实例二：解同余方程
总结词
详细描述
总结词
详细描述
同余方程是一种数学方程，表 示两个或多个整数之间的一种 同余关系。
同余方程通常表示为"ax ≡ b (mod m)"，其中a、b、m是整 数，x是未知数。这个方程表示 当x取遍所有整数时，ax和b对 m取模的结果总是相同的。例如， 解方程2x ≡ 3 (mod 5)的解是x ≡ 1 (mod 5)，表示x取5的任何 倍数加1时，2x和3对5取模的结
04
剩余定理公式的扩展与推广
扩展到多个模数的情况
剩余定理公式最初是在一个模数的情况下定义的，但可以扩展到多个模数的情况。在多个模数的情况下，剩余定理公式可以表示 为：如果(a_1 mod m_1 = r_1)、(a_2 mod m_2 = r_2)……(a_n mod m_n = r_n)，那么存在一个整数(x)，使得(x mod m_1 = a_1)、(x mod m_2 = a_2)、……(x mod m_n = a_n)。
同余理论—中国剩余定理(小学数学课件)
并且x0 ai M i Mi (mod m) ，是同余方程组关于模
i 1
m 的唯一解，即若还有x xi (mod m)使得同余方程组成
立，则x1 x0 (mod m).
中国剩余定理
用剩余定理解决：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二。问物几何?
解：设物品的个数为个。
三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七
个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少
个?
“物不知数”问题
《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是:
三三数之剩二，置一百四十;
五五数之剩三，置六十三;
七七数之剩二，置三十。
并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。
答曰：二十三。
“物不知数”问题
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something
“物不知数”与
中国剩余定理
“物不知数”问题
“物不知数”问题：
这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数”题）编写而
成的。原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数
之剩二。问物几何？”
有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个
中国剩余定理
解：设物品的个数为个。
x 70×2+21×3+15×2(mod 105)23(mod 105)
这些物品的数目至少是23个。
中国剩余定理的应用
韩信点兵:
有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；
成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人, 求兵数。
中国剩余定理的应用
③三三数之剩0，五五数之剩0，七七数之剩1
第三章 第三节 韩信点兵与中国剩余定理.ppt
1
(2);
y 7n3
z z
3n1 5n2
(3)
z 7n3 1
38
x x
3n1 5n2
1
(1);
x 7n3
y
y
3n1 5n2
1
(2);
y 7n3
z z
3n1 5n2
(3)
z 7n3 1
（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70， 105，…）寻找被3除余1的数；
原因是82+23=105，故令 k k 1 第一组
解就成为 x 105(k 1) 82 105k 105 82 105k 23 便转化成第二组解。
36
但是，这82和23来之不易；并且如果 题目中的余数变了，就得重新试算，所以 这方法缺少一般性，为使它具有一般性， 要做根本的修改。
37
3）单因子构件凑成法
整除。也就是说， x 1 是2,3,4,5,6,7,8,9
的公倍数，从而是其最小公倍数 [2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。
24
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,L
即 x 2520k 1,k 1,2,3,L
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第 一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。
这要通过反复的试算去完成。
30
一种试算的方法
x x
3n1 5n2
2 3
(*)
x 7n3 2
31
从第三个等式入手，两边加5（或减2）则 得
x 5 7(n3 1) (或x 2 7n3)
32
则右边是7的倍数了，但两边加5（或减2）并不 能使前两式的右边分别是3的倍数和5的倍数，所以 两边加5（或减2）并不能使右边成为3，5，7的公 倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式
中国剩余定理的内容
中国剩余定理的内容
嘿，今天咱来聊聊中国剩余定理哈。
你知道不，这可是个超厉害的东西呢！
就说有一次啊，我去帮朋友数他收集的那些宝贝卡片。
他有一堆卡片，分成了好几种类型。
他跟我说，一种类型的卡片如果 3 张 3 张地数，会剩下 1 张；另一种类型的 5 张 5 张地数，会剩下 2 张；还有一种类型 7 张 7 张地数，会剩下 3 张。
哎呀，这可把我给难住了，我这脑袋瓜怎么能一下子算出每种类型各有多少张卡片呢。
这时候我就突然想到了中国剩余定理呀。
它就像是个神奇的魔法棒，能帮我解决这个难题呢。
它大概的意思就是，通过一些巧妙的计算和分析，能在这种看似混乱的剩余情况中找到答案。
有了它，我就开始捣鼓起来啦。
我按照定理的方法，一步一步地去分析那些条件，嘿，还真让我算出了大概的数量范围呢。
虽然具体的数字还需要再仔细琢磨，但至少我有了个方向呀。
你看，中国剩余定理多有用啊，在我们遇到这种让人头疼的分组剩余问题时，它就能大显身手啦。
就像我帮朋友数卡片这件事，要是没有它，我还不知道得在那纠结多久呢。
所以啊，可别小瞧了这个定理，它真的能给我们解决不少实际问题呢。
以后要是再碰到类似的情况，我就知道该怎么轻松搞定啦，哈哈。
这就是中国剩余定理啦，一个超棒的数学知识！。
中国剩余定理
中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.主理想整环.一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
中国剩余定理
中国剩余定理一般指孙子定理。
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。
比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。
中国剩余定理
中国剩余定理一般指孙子定理
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
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例2一个两位数除以5余4，除 以4余2，这个数除以6余几？ 符合要求的两位数有几个？
【思路点拨】除以5余4的数有：4，9， 14，19，24，29，34，39，…；除以 4余2的数有：2，6，10，14，18，22， 26，30，34，38，…；所以第一个共 有的数是34，34÷6=5…4，所以符合 条件的最小数是34.又因4，5，6的最 小公倍数是60，60+34=94，94是符合
2、一个数除以7余2，除以17余14， 求（1）满足条件的最小数是多少？ （2）400以内满足条件的所有数 有哪些？
今有物不知其数，三三数之剩 二；五五数之剩三，七七数之剩 二。问物几何？
现在一个未知数，除3时，余 数是2；除5时，余数是3；除7 时，余数是2，问这个未知数的 最小值？
求一个数，3除余2，5除 余3，7除余 2。
1、一个数除以5余1，除以3也 余1.问这个数最小是多少？ （1除外）？
【思路点拨】除以5余1，说明这个 数减去1之后是5的倍数，除以3也 余1，说明这个数减去1之后是3的 倍数。所以，这个数减去1后是3和 5的公倍数。要求最小，所以这个 数减去1后是3和5的最小公倍数。 即这个数减去1后是15，所以这个 数是15+1=16.
条件的最大两位数，所以符合要求的 两位数有34和94.
三岁孩儿七十稀， 五留廿一事尤奇， 七度上元重相会， 寒食清明便可知。
摘自《志雅堂杂钞》
三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正月半， 除百零五便得知。
摘自《算法统宗》卷四
Байду номын сангаас
练一练 1、找一个最小的自然数满足：除 以5余1，除以7余1，除以11余1。