湖南省师大附中2010届高三第二次月考----文科数学试题
湖南师大附中高三月考试卷(二)数学文试题 Word版含答
湖南师大附中2015届高三月考试卷（二）数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，0）C．[1，3）D．（0，1）2．设复数Z满足（2+i）•Z=1﹣2i3，则复数Z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：“∀x∈R，2x＜3”；命题q：“∃x0∈R，sinx0+cosx0=2”，则（）A．p假，q真B．“p∧q”真C．“p∨q”真D．“p∧q”假4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3C．4D．55．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．92．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为（）A．1064 B．1065 C．1067 D．10688．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．+1 D．210．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1）二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是_________．12．在区间[﹣π，π]内随即取一个数记为x，则使得sinx≥的概率为_________．13．若点P（x，y）满足则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为_________．14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60°，=3，则•的值是_________．15．已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）则（1）f（5，6）=_________，（2）f（m，n）=_________．三、解答题（本题共6小题，75分）16．（12分）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．17．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？K2=．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A C 1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．（1）求证：BC1∥面A1DC；（2）若AA1=，求二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．19．（13分）已知数列．（1）若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；（2）在（1）的条件下，求出数列{a n}的前n项和S n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．21．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．17．解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40合计30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．18．（1）证明：连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，BC1不包含于面A1DC，∴BC1∥面A1DC．（2）解：∵二面角A1﹣CD﹣B的平面角与二面角A1﹣CD﹣A的平面角互补，又∵CD⊥AB，CD⊥AA1，∴CD⊥面ADA1，∴CD⊥A1D，∴∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，在Rt△A1AD中，∵AA1==AD，∴∠A1DA=45°，∴二面角A1﹣CD﹣A的平面角的大小为45°，∴二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小为135°．19．解：（1）假设存在实数λ符合题意．则必为与n无关的常数，∵=，要使是与n无关的常数，则．故存在实数λ=﹣1．使得数列为等差数列．（2）由（1）可得，∴，∴，∴a n=（n+1）2n+1令b n=（n+1）2n且前n项和为T n，∴…①…②①﹣②得=2n﹣1﹣（n+2）2n+1=﹣n•2n﹣1，∴．∴20．解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0⇔a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0⇔a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴⇒a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．21．解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．。
湖南省师大附中高三数学文科第一次月考试卷
湖南省师大附中2007—2008学年高三第一次月考数学试题（文科）时量：120分钟 满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的体积公式334R V π=球，球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．使函数13)(23+-=x x x f 为减函数的区间是（ ）A ．（2，+∞）B ．（－∞，2）C ．（－∞，0）D ．（0，2）2．已知函数xx f --=11)(的定义域M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则N M ⋂=（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{<x xC ．}11|{<<-x xD ．φ3．给出如下三个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad=bc ； ②设11 .0,><≠∈abb a ab R b a ，则若，则； ③若|)(|2log )(2x f x x f x，则==是偶函数. 其中不正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③ 4．函数)20(3)(≤<=x x f x 的反函数的定义域为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，1）C ．]9,1(D ．),9[+∞ 5．曲线)35,1(2313---=在点x y 处切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°6．设)1(l o g )()(21+=-x x f x f是函数的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．0B ．1C ．3log 2D ．2 7．命题“若1112<<-<x x ，则”的逆否命题是（ ）A ．若1112-≤≥≥x x x 或，则 B ．若1112<<<-x x ，则C ．若1112>-<>x x x ，则或D ．若1112≥-≤≥x x x ，则或8．已知)(x f 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期为2，且当||)()1,1[x x f x =-∈时，，则函数)(x f y =的图象与函数y=x 4log 的图象的交点个数为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．已知对任意实数x ，有0)(0)(0)()(),()(>'>'>=--=-x g x f x x g x g x f x f ，时，，且，则0<x 时（ ）A ．0)(0)(>'>'x g x f ，B ．0)(0)(<'>'x g x f ，C ．0)(0)(>'<'x g x f ，D ．0)(0)(<'<'x g x f ，10．已知定义域为R 的函数),8()(+∞在x f 上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．)7()6(f f >B ．)9()6(f f >C ．)9()7(f f >D ．)10()7(f f >二、填空题：本大题共5小题，每小题5人，共25分，把答案填写在题中的横线上. 11．若关于),4()1,(01+∞⋃--∞>+-的解集为的不等式x ax x ，则实数a = . 12．已知函数=-⎩⎨⎧>≤-=))2((0,log 0,2)(2f f x x x x x f ，则13．函数x x x f 62)(3+=在区间[－1，2]上的最小值是 14．将函数ax y +=3的图象向左平移一个单位得曲线C ，若曲线C 关于原点对称，则a = 15．已知)(x f 是定义在R 上的函数，给出下列两个命题：p ：若4))(()(212121=+≠=x x x x x f x f ，则；q ：若0)()()](2,(,21212121>--≠-∞∈x x x f x f x x x x ，则，则使命题“p 且q ”为真命题的函数)(x f 可以是 三、解题答题：本大题共6个小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于x =2对称，且当时，)2,2(-∈x1)(2+-=x x f ，求)()2,6(x f x 时，--∈的表达式.17．（本题满分12分）设函数.|4||12|)(--+=x x x f （Ⅰ）解不等式2)(>x f （Ⅱ）求函数y=)(x f 的最小值. 18．（本小题满分12分）已知三个集合，，}01|{}023|{22=-+-==+-=a ax x x B x x x A }02|{2=+-=bx x x C ，问同时满足A C A A B =⋃⊂≠，的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）设定义在R 上的函数1)(0)(>>x f x x f 时，，满足当，且对任意的R y x ∈,，有0)(>x f ，2)1()()()(=⋅=+f y f x f y x f ，.（Ⅰ）求)0(f ；（Ⅱ）求证：函数)(x f 为R 上的单调增函数； （Ⅲ）解不等式：4)3(2>-x x f .20．（本小题满分题13分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（53≤≤a ）的管理费，预计当每件产品的售价为)119(≤≤x x 元时，一年的销售量为2)12(x -万件.（Ⅰ）求分公司一年利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q（a ）.21．（本小题满分14分） 已知函数0)1()0(023)(2>⋅=++++=f f c b a c bx ax x f ，，若. 求证： （Ⅰ）方程0)0(=f 有实数根； （Ⅱ）12-<<-ab； （Ⅲ）设21,x x 是方程0)(=x f 的两个实根，则.32||3321<-≤x x参考答案一、选择题1—5 DCBCB 6—10 DDABD 二、填空题11．4 12．2 13．－8 14．－115．只须满足2)(=x x f 的图象关于直线对称，且在]2,(-∞上为增函数即可. 如m x x f m x x f +--=+--=|2|)()2()(2或等.16．（本题满分12分）解：∵)(x f 是定义在R 上的偶函数，∴)()(x f x f =-， 又图象关于x=2对称，∴)()4(x f x f -=+∴)()4(x f x f =+，∴y=)(x f 是以4为周期的周期函数， 当，时，)2,2(4)2,6(-∈+--∈x x ∴1)4()4(2++-=+x x f ∴).2,6(1)4()4()(2--∈++-=++x x x f x f ， 17．（本题满分12分）解：令|4||12|--+=x x y ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<---≤--=4 5421 33215x x x x x x y ，，，作出函数|4||12|--+=x x y 的图象，它与直线y=2的交点为（－7，2）和（35，2）. 所以),35()7,(2|4||12|+∞⋃--∞>--+的解集为x x . （Ⅱ）由函数|4||12|--+=x x y 的图象可知，当21-=x 时，取得最小值29-. 另外，本题（Ⅰ）也可以直接解分段不等式得到其解集；（Ⅱ）由函数的单调性得每一区间上的最小值，其中最小的为函数的最小值. 18．（本小题满分12分）解：∵}0)1)(1(|{},2,1{}023|{2=+--===+-=a x x x B x x x A ， 又∵A B ≠⊂ ∴211==-a a 即∵A C A C A ⊆∴=⋃, 则C 中的元素有以下三种情况：（1）若C=φ时，即方程022=+-bx x 无实根.∴.2222082<<-∴<-=∆b b ，（2）若C={1}或C={2}，即方程022=+-bx x 有两个相等的实根. ∴.22082±=∴=-=∆b b ，此时C={2}或C={－2}，不合题意，舍去.（3）若C={1，2}时，则b=1+2=3，而两根之积恰好等于2.综上所述，存在实数a=2，－22<b<22或a=2，b=3满足题中条件. 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）令)1()0()10(10f f f y x ⋅=+==时，，∵1)0(2)1(=∴=f f ，（Ⅱ）任取.0)(1)(0,112122121>>-∴>-<∈x f x x f x x x x R x x ，，，则，且 ∴)(])[()()(111212x f x x x f x f x f -+-=-0)(]1)([)()()(1121112>⋅--=-⋅-=x f x x f x f x f x x f∴)()(21x f x f <∴)(x f 为R 上的单调增函数.（Ⅲ）∵4)1()1()2(2)1(=⋅=∴=f f f f ，∴21,23)2(4)3(22<<∴>-∴=>-x x x f x x f ，∴不等式的解集为（1，2）. 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：]11,9[,)12)(3(2∈---=x x a x L（Ⅱ）化简得：).3218)(12(x a x L -+-='令123260=+=='x a x L 或得（不合题意，舍去）. ∵.328326853≤+≤∴≤≤a a ，在a x 326+=两侧L ′的值由正变负， 所以（1）当]11,9[29393268在时，即L a a <≤<+≤上是减函数.∴).6(9)912)(39()9(2max a a L L -=---== （2）当a x L a a 326]11,9[,5293283269+=≤≤≤+≤上于在时即处取最大值. 即：32max)313(4)]326(12)[3326()326(a a a a a L L -=+---+=+=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=529 ,)313(4293 ),6(9)(3a a a a a Q答：若293≤≤a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值 Q （a ）=9（6－a ）（万元）；若529≤≤a ，则当每件售价为)326(a +元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=4（3－a 31）3（万元）.21．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）若a=0，则b=－c0)23()1()0(2≤-=++=c c b a c f f 与已知矛盾，所以0≠a∵方程0232=++c bx ax 的判别式0]43)21[(4)3(4222>+-=-=∆c c a ac b故方程0)(=x f 有实根.（Ⅱ）由0)23(0)1()0(>++>c b a c f f ，得 由条件0=++c b a ，消去c ，得0)2)((<++b a b a∵0)2)(1(,02<++∴>aba b a ∴12-<<-ab（Ⅲ）由条件知ab a ac x x a b x x 33,322121+-==-=+ ∴31)23(944)()(221221221++=-+=-a b x x x x x x∵12-<<-a b∴.32||3394)(3121221<-≤⇒<-≤x x x x。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南师大附中2010届高三第二次月考试卷
湖南师大附中2010届高三第二次月考试卷命题人：李勇审题人：韩湘萍、袁建光命题范围：必修1、选修1、选修3时量：90分钟总分：100分一、单项选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 据《礼记·玉藻》记载和考古发现得知，簋是重要的礼器，主要用于祭祀时放置煮熟的饭食，一般与鼎相配合使用。
周礼规定，天子用九鼎八簋，诸侯用七鼎六簋，卿大夫用五鼎四簋，士用三鼎二簋。
这种现象反映的本质问题是A．西周社会奢侈腐败现象严重B．西周社会呈现等级森严的特征C．西周手工业中冶铜业落后西周利簋D．西周各地经济发展不平衡解析：根据“天子用九鼎八簋，诸侯用七鼎六簋，卿大夫用五鼎四簋，士用三鼎二簋”说明西周是按照级别规定祭祀用品数量，充分体现了西周社会呈现等级森严的特征。
故选B项。
2. 柳宗元被贬谪湖南永州时所创作《封建论》中说：“周之兵，在于制；秦之失，在于政，不在制。
”文中的两个“制”分别是指A．分封制和郡县制 B．宗法制和郡县制C．分封制和专制主义中央集权制 D．宗法制和专制主义中央集权制解析：柳宗元《封建论》是对分封与郡县两种政治体制的优劣利弊进行深刻的分析与评述的哲学论文。
故选A项。
3. 《水经注? 湘水》云：“秦灭楚，立长沙郡。
” 长沙郡下设湘、罗、益阳、阴山、零陵、衡山、宋、桂阳等9县。
从此，长沙开始纳入全国统一的政治体制，并第一次明确地以一个行政区域载入史册。
根据所学知识判断下列说法错误的是A．郡守是长沙郡最高的行政长官 B．长沙郡守需要定期向皇帝汇报工作C．郡守职位由皇帝直接任命 D．县令、县长也由皇帝直接任命解析：秦朝郡县制下，郡守和县令、县长都由皇帝直接任命，郡守需定期向丞相汇报工作，而非皇帝，因此B项错误。
4．范仲淹公元1015年中进士，曾先后做过河中府通判、饶州知州、延州知州等地方官，于1043年回朝任枢密副使、参知政事，继而推行新政。
湖南省师大附中2010届高三数学第二次月考(文)
ABC A 1 B 1C 1 M 某某省师大附中2010届高三第二次月考试卷数 学（文科）本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数22(1)iz i +=+，则复数z 的虚部是 （ B ） A.21 B .－1C.i -D. 1【解】因为22(1)i z i +=+=i i i i i i i -=⋅+=+212)2(22，所以复数z 的虚部是－1，故选B. 2.在等比数列{a n }中，已知a 3＝21，a 9＝8，则a 5·a 6·a 7的值为 （ A ） A ．±8 B ．－8 C ． 8 D ．64【解】因为{a n }为等比数列，则a 62＝a 5·a 7＝a 3·a 9＝4，所以a 6=±2，a 5·a 6·a 7＝±8，故选A. 3.“函数()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ D ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【解】1()f x x=为奇函数，但(0)f 不存在；对函数2()f x x =，有(0)0f =，但()f x 为偶函数，故选D.4.某单因素单峰试验的因素X 围是[10，110]，用黄金分割法来确定试点，则第一个试点的值是 （ C ） A. 16.18 B. 55.62 C. 71.8 D.61.8【解】据黄金分割法原理，8.71)10110(618.0101=-⨯+=x ，故选C.5.函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是 （ D ）A.5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈B. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈ C.3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ D.3[,]()88k k k Z ππππ-+∈【解】22sin 22cos 1cos sin sin )cos (sin sin )(2x x x x x x x x x f --=⋅-=-= )42sin(2221π+-=x .由πππππk x k 224222+≤+≤+-，得)(883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，故选D.6.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上 一动点，已知△BCM面积的最大值是M ―BC ―A的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于 （ A ） A.33 B. 23 C. 3 D. 32【解】当点M 与点A 1重合时，△BCM 的面积为最大值，此时二面角M ―BC ―A 也为最大. 由已知可得，ABC S ∆=2333cos =π，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为3，从而正三棱柱的高AA 1＝33tan3=π.所以正三棱柱的体积33V =，故选A.7.已知曲线C 的参数方程是5cos 26sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，则曲线C 上的点P 到定点M (－2，0)的最大距离是 （ C ）A.9B. 8C. 7D. 6 【解】解法一：因为28cos 20cos )sin 62()2cos 5(||222++=++=ϕϕϕϕPM72)10(cos 2-+=ϕ，所以当1cos =ϕ时，7||max =PM ，故选C.解法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程，得2212524x y +=，它表示焦点在x 轴上的椭圆.由椭圆的几何性质可知，当点P 位于椭圆的右顶点时，|PM |为最大，且最大值为5＋2＝7，故选C.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()(2)f x f x =-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是 （ B ） A. a b c << B. c a b << C. c b a << D. b c a <<【解】由()(2)f x f x =-可得，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(1)f f =-． 又当(),1x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<，即'()0f x >，则()f x 在(),1-∞上单调递增． 所以1(1)(0)()2f f f -<<．即c a b <<，故选B.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，a }，B ＝{3，4}，若(){3}U A B，则a 的值为 4 . 【解】显然0,3a a ，检验知，只有当a ＝4时才符合条件.10.博才实验中学共有学生1600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是 760 人． 【解】设该校女生人数为x ，则男生人数为(1600)x -．由已知，200200(1600)1016001600x x ⨯--⋅=，解得760x =．故该校的女生人数是760人． 11.不等式43220x x-⋅+<的解集是{01}x x <<.【解】由243220(2)3220xxx x-⋅+<⇒-⋅+<(21)(22)0xx⇒--<122x⇒<<.所以01x <<，故不等式的解集是{01}x x <<.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角是60°. 【解】由已知，(a ＋b )2＝3(a －b )2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2).因为|a |＝|b |＝1，则a 2＝b 2＝1，所以2＋2a ·b ＝3(2－2a ·b )，即a ·b ＝12. 设向量a 与b 的夹角为θ，则|a |·|b |cosθ＝12，即cosθ＝12，故θ＝60°. 13.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性作回归分析，分别求得相关系数r 与残差平方和2σ如下表：甲 乙 丙 丁 r0.82 0.78 0.69 0.85 2σ106115124103则这四位同学中，其中 丁 同学的分析结果体现出A ，B 两变量具有更强的线性相关性． 【解】因为2σ越小表明回归方程预报精度越高，|r |越大表明线性相关性越强．由表可知，应填丁同学．14.已知圆C 经过点A(2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y ＝1相切，则圆C 的标准方程是2)2()1(22=++-y x .【解】因为圆心C 在直线2x ＋y ＝0上，可设圆心为C （a ，－2a ）. 则点C 到直线x ＋y ＝1的距离21122a a a d --+==.据题意，d AC =，则()()2212122a a a +=-+-+，解得1a =.所以圆心为C （1，－2），半径2r d ==，故所求圆的方程是2)2()1(22=++-y x ． 15.某计算装置有一个数据入口A 和一个运算出口B ，从入口A 输入一个正整数n 时，计算机通过循环运算，在出口B 输出一个运算结果，记为f (n ).计算机的工作原理如下：31)1(=f 为默认值，f (n ＋1)的值通过执行循环体“f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-”后计算得出.则f (2)＝115； 当从入口A 输入的正整数n ＝__12__时，从出口B 输出的运算结果是5751. 【解】由题设，f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-，所以f (2)＝1513151)1(3212=⨯=⋅+-f .设从A 口输入的最后一个正整数为n ，因为3212)()1(+-=+n n n f n f ，则()(1)(2)232527311()(1)(1)(2)(1)212123753f n f n f n n n f n f f n f n f n n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--211(2n 1)(2n 1)41n ==+--. 令4n 2－1＝575，则n 2＝144，即n ＝12.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知552)2sin(=+A π.(Ⅰ) 求A 2tan 的值； (Ⅱ) 若10,10103cos ==c B ，求ABC ∆的面积. 【解】（Ⅰ）因为sin （A A cos )2=+π，由已知，552cos =A . （2分） 因为角A 是△ABC 内角，且cosA ＞0，则角A 是锐角. 所以21tan ,55cos 1sin 2==-=A A A . （4分） 故54tan 1tan 22tan 2=-=A A A . （6分）(Ⅱ)因为10103cos =B ，B 为三角形的内角，所以10sin 10B =. （7分） 于是221015210351cosAsinB sinAcosB )B A (sin sinC =+=+=+=. （9分）因为c ＝10，由正弦定理，得sin 210sin c Aa C⋅==. （11分） 故1110sin 21010102210ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. （12分）17.(本小题满分12分)某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kw /h )，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1︰2︰3，试估计：（Ⅰ）该乡镇月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是多少？（Ⅱ）该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？（精确到0.01）【解】（Ⅰ）设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P ，2P ，3P .由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.0875＋0.0375)×2＝0.25. （2分）因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P ＋2P ＋3P ＝0.75，即P ＝0.125. （4分）所以3P ＋0.0875×2＝0.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是55%. （6分）35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 月均用电量频率组距0.0375 0.0875（Ⅱ）显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5－P －2P ＝0.5－0.375＝0.125， （8分）设样本数据的中位数为39.5＋x .因为正中间一个矩形的面积为3P ＝0.375，所以x ︰2=0.125︰0.375，即x ＝23≈0.67.（10分）从而39.5＋x ≈40.17，由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kw /h ).（12分）18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BCD ，E 分别是AC 1和BB 1的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面ABC ；（Ⅱ）求直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角. 【解】（Ⅰ）取AC 的中点F ，连结DF ，BF. 则FD ∥CC 1，且112FD CC =.（2分） 因为BB 1∥CC 1，E 是BB 1的中点,所以BE ∥CC 1，且112BE CC =. （4分）于是FD ∥BE ，且FD ＝BE ，所以四边形BEDF 是平行四边形，从而DE ∥FB. （5分）又FB ABC ⊂面，故DE ∥平面ABC. （6分） （Ⅱ）连结BC 1，取BC 1的中点M ，连结DM ，EM.因为D 为AC 1的中点，所以DM ∥AB. （7分）由AB ＝1，AC ＝2，BC ，可知AB ⊥BC.又AB ⊥BB 1，所以AB ⊥面BB 1C 1C. （9分） 从而DM ⊥面B 1C 1CB ，故∠DEM 为直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角. （10分） 在Rt △DME 中，1122DM AB ==，EM ＝112B C =12，所以DM tan DEM=EM 3∠=. 故∠DEM ＝30º，即直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为30º. （12分） 19.(本小题满分13分)某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x 公里的相邻两AC 1A 1B 1E CB DA C 1 A 1B 1 EC B DF M增压站之间的输油管道费用为2x x +万元.设余下工程的总费用为y 万元. （Ⅰ）试将y 表示成关于x 的函数；（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少万元？ 【解】（I ）设需要修建k 个增压站，则(1)240k x +=，即2401k x=-. （2分）所以2224024096000400(1)()400(1)()240160y k k x x x x x x x x=+++=⨯-++=+-.（5分）因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤240. （6分）故y 与x 的函数关系是96000240160(0240)y x x x=+-<≤. （7分）（II ）96000240160160248001609440y x x =+-≥=⨯-=. （10分） 当且仅当96000240x x = 即 20x =时取等号.此时，240240111120k x =-=-=. （12分）故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元. （13分）20.(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P (2，0)为定点． （Ⅰ）若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB |为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由． 【解】(Ⅰ) 设抛物线方程为22(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(,0)2p. （2分） 由已知，22p=，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =． （4分）(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . （5分）因为圆M 过点P (2，0)，则可设圆M 的方程为2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. （6分）令0x =，得22440y by a -+-=. （7分）则122y y b +=，1244y y a ⋅=-. （8分）所以||AB ===. （9分）设抛物线C 的方程为2(0)y mx m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则2b ma =. （10分）所以||AB == （11分）由此可得，当4m =时，||4AB =为定值． （12分）故存在一条抛物线24y x =，使|AB |为定值4. （13分）21.(本小题满分13分)设数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，已知对任意*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（Ⅰ）证明数列{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明211121<+++nS S S ； （Ⅲ）设集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k ，若存在m ∈M ，使对满足m n >的一切正整数n ，不等式210052nn a S >-恒成立，求这样的正整数m 共有多少个？【解】（Ⅰ）由已知，n n n a a S +=22，且0n a >. （1分）当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a . （2分）当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S .于是1212122----+-=-n n n n n n a a a a S S ，即12122---+-=n n n n n a a a a a . 于是1212--+=-n n n n a a a a ，即111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a .因为01>+-n n a a ，所以)2(11≥=--n a a n n . （4分） 故数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，且n a n =. （5分） （Ⅱ）因为n a n =，则)111(2)1(2+-=+=n n n n S n . （7分） 所以=+++n S S S 11121 2(2)111(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n . （9分）（Ⅲ）由210052n n a S >-，得210052)1(2n n n >-+，即10052>n，所以2010>n . （10分）由题设，2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，因为m ∈M ， 所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列. （12分）设这个等差数列共有k 项，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．故集合M 中满足条件的正整数m 共有495个. （13分）。
2010届湖南师大附中高三月考语文试题
2010届湖南师大附中高三月考试题(六)语文命题人：湖南师大附中杨晓春纪爱萍王静审题人：湖南师大附中刘爱国刘芳王斌一、语言知识及运用（15分，每小题3分）1.下列各组词语中加点的字，读音全都正确的一组是（）A. 噱头xuã膻味shàn 一暴十寒pù危如累卵lěiB. 梵文fàn 趿拉tā潜移默化qiǎn 趑趄不前zīC. 倔强juã洞穴xuã管窥蠡测lí蒙头转向mēnɡD. 鸡肫zhūn 罡风gāng 拾级而上shí卖官鬻爵yù2.下列词语中没有错别字的一项是（）A.一叶障目箴口不言鹬蚌相争暴戾恣睢B.悬梁刺骨泾渭分明破釜沉舟秉笔疾书C.寡廉鲜耻真知卓见鳞次栉比莫衷一是D.名门望族变本加厉推心置腹鞠躬尽瘁3.下列各句中加点的熟语使用不恰当的一项是（）A.《狼图腾》里作者笔下的草原狼，既是生物的狼，也是人文的狼；既是现实的狼，也是历史的狼。
这部书堪称为一部力透纸背的大书。
B. 超级大国妄图称霸世界的野心，他们一刻也没放弃，我们从世界的各个角落都能看到。
要他们放弃这种野心一如俟河之清，不过是一场梦！C. 搞经济开发区占一点地，也在情理之中，可是这个镇的领导借开发之名行卖地营私之实，这种换汤不换药的做法，使农民难以忍受。
D. 随着经济政策的调整，现在这个行业越来越规范了，要空手套白狼不再容易了，房地产的门槛也渐渐高了，手头没几个亿是进不来的。
4.下列各句中没有语病的一句是（）A. 日前，网易、新浪等网站联合向全国互联网界发出文明办网倡议书，倡议互联网界文明办网，把互联网站建设成为传播先进文化的阵地。
B. 我们要对那些常年在城里打工，有固定工作和固定住所而又没有户籍的人们，让他们尽快地融入城市，享受和城里人同样的权利和待遇。
C. 北京奥运会期间，北京的具有悠久历史的长城、十三陵、故宫、颐和园等，无不以其厚重的文化积淀和迷人的风姿，为中外游客所倾倒。
届湖南师大附中高三第二次月考(文)
2010届湖南师大附中高三第二次月考数学（文科）试卷本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数22(1)iz i +=+，则复数z 的虚部是（ ）A ．21B ．－1C ．i -D ． 12．在等比数列{a n }中，已知a 3＝21，a 9＝8，则a 5·a 6·a 7的值为 （ ） A ．±8B ．－8C ． 8D ．643．“函数()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．某单因素单峰试验的因素范围是[10，110]，用黄金分割法来确定试点，则第一个试点的值是（ ）A ． 16．18B ． 55．62C ． 71．8D ． 61．8 5．函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是（ ）A ．5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈B ． 5[,]()88k k k Z ππππ++∈ C ．3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,]()88k k k Z ππππ-+∈6．如下图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上一动点，已知△BCM 面积的最大值是M ―BC ―A 的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于 （ ）A ．B ．C ．D ．7．已知曲线C的参数方程是5cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则曲线C 上的点P 到定点M（－2，0）的最大距离是（ ）A ．9B ． 8C ． 7D ． 68．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()(2)f x f x =-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<（其中()f x '为()f x 的导数）。
湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考(二)生物试题(原卷版)
苹果根系置于含有13C标记的葡萄糖培养液中
苹果根系置于葡萄糖培养液中，用13C标记的CO2处理苹果叶片
根系13C含量（mg）
地上13C含量（mg）
根系13C含量占比（%）
A.转运蛋白1和2运输H+的方式不同，前者为协助扩散，后者为主动运输
B.Na+经转运蛋白1和2发生的运输过程都不需要消耗能量
C.转运蛋白在运输H2O时，一定会发生构象的改变
D.将H+运出根细胞的过程是主动运输，其载体蛋白还具有催化ATP水解的功能
8.真核生物的mRNA3'末端都有由100~200个A组成的Poly(A)尾。Poly(A)尾不是由DNA编码的，而是转录后的前mRNA以ATP为前体，由RNA末端腺苷酸转移酶，即Poly(A)聚合酶催化聚合到3'末端，如果不能及时合成Poly(A)尾巴，mRNA则不能在细胞质中被检测到。下图为酵母细胞中某种酶分子的作用过程模式图。下列相关叙述错误的是（ ）
实验共分6组，其中4组的实验处理和结果如下表。
组别
实验处理
实验结果
①
葡萄糖溶液＋无菌水
－
②
葡萄糖溶液＋酵母菌
＋③Leabharlann 葡萄糖溶液＋A溶液－
④
葡萄糖溶液＋B溶液
－
注：“＋”表示有乙醇生成，“－”表示无乙醇生成
回答下列问题：
（1）除表中4组外，其它2组的实验处理分别是：___________；__________。本实验中，这些起辅助作用的小分子和离子存在于酵母菌、___________。
湖南省师大附中2010届高三第一次月考(数学理)
湖南师大附中2010届高三月考试题（一）数学试题（理科）第I 卷 （选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，U=A ∪B ，则集合)(B C A U ⋂中所有元素之和等于 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．对任意实数x ，不等式a x x >+-|||2|恒成立的一个充分不必要条件是 （ ）A ．2<aB ．1<aC ．2>aD ．1>a3．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL 到110mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是（ ）A ．35mLB ．40.9mLC ．33.6mLD ．86.4mL4．在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos 4:)3cos(:21-∈==+m C m C 若和θρπθρ，则曲线C 1与C 2的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定5．某3上男同学和3个女同学站成一排照相，要求任何相邻的两位同学性别不同，且男生甲和女生乙相邻，但甲和乙都不站两端，则不同的站法种数是 （ ）A ．8B ．16C ．20D ．246．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图所对应的三角形是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，则这个几何体的体积 等于 （ ）A ．324 B ．24mC ．334D ．34正视图侧视图俯视图7．已知实数x 、y 满足,033042022⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+y x y x y x 所表示的平面区域为M 。
若函数1)1(++=x k y 的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．[3，5]B ．[—1，1]C ．[—1，3]D ．]1,21[-8．有一种数字游戏规则如下：将正整数1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向每隔一个数就删除一个数，且第一个删除的数是1，直至剩下最后一个数而终止，这个最后剩下的数称为约瑟夫数。
湖南省师大附中高三数学第二次模拟考试试题(文科)
湖南省师大附中2009届高三第二次模拟考试数学试题（文科）本试题卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分.时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U ={1，3，5，7}，集合M ={1，a －5}，U M ⊆，U M ={5，7}， 则a 的值为（ ）A ．2B ．8C ．－2D ．－82．命题p ：不等式}10|{1|1|<<->-x x x x x x 的解集为； 命题q ：“A=B ”是“sin A =sin B ”成立的必要非充分条件，则 （ ）A ．p 真q 假B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．p 假q 真3．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则32--x y 的最大值为（ ）A ．2B ．32 C ．0 D ．21 4．奥运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A ．481121214C C CB ．484121214AC CC ．33484121214A C C C D ．33481121214A C C C 5．等比数列76593,8,21,}{a a a a a a n ⋅⋅==则中的值为 （ ）A ．64B ．－8C ．8D ．±8 6．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β；④若点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 在该三角形内部的射影是该三角形的内心. 其中正确命题的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．抛物线y=4x 2按照向量a =（1，2）平移后，其顶点在一次函数b x y 2121+=的图象上，则b 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．关于x 的方程02cos 2cos 22=-+BA x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 （ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形9．不论m 取任何实数值，方程)23(|23|2-=+-x m x x 的实根个数都是（ ）A ．1个B ．3个C ．2个D ．不确定10．如果椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．]12,0(-B ．)1,12[-C ．]13,0(-D ．)1,13[-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在横线上.11．a =（－2，1），b =（x ，－3），a ∥b ，则x = . 12．与直线034=+-y x 平行的抛物线y=2x 2的切线方程是 . 13．设二项式nxx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P+S =272，则n 等于 .14．设函数)7(,)81()4)(1(log )4(2)(134+=⎩⎨⎧>+-≤=--a f a f x x x x f x 则且= .15．已知函数),(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=给出下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时)(x f 的图象必关于直线x =1对称；③若≤-b a 20，则)(x f 在区间[a ，+∞]上是增函数；④)(x f 有最大值a 2－b ，其中正确命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，a R a R x a x x ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（1）求y 关于x 的函数解析式)(x f ； （2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.17．（本小题满分12分）对某种赌博游戏调查后，发现其规则如下：摊主在口袋中装入8枚黑色和8枚白色的围棋子，参加者从中随意一次摸出5枚，摸一次交手续费2元，而中彩情况如下：现在我们试计算如下问题：（1）求一次获得20元彩金的概率；（结果用最简分数表示） （2）分别求一次获3元和纪念奖的概率；（结果用最简分数表示）（3）如果某天有1000次摸奖，估计摊主是赔钱还是挣钱？大概是多少元？ 18．（本小题满分12分）已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD=CD=DE=2a ，AB =a ，F 为CD的中点.（1）求证：AF ⊥平面CDE ；（2）求异面直线AC ，BE 所成角的余弦值； （3）求多面体ABCDE 的体积. 19．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }与等比数列{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，若a 2=b 1=2，A 4=10，B 2=6. （1）求{a n }，{b n }的通项；（2）若数列{c n }满足c n =a n b n ，+∈N n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 20．（本小题满分13分）曲线31,)(,31,)(23+=-=++==x x f x cx bx ax x f y 当有极小值时当处有极大值，且在x =1处切线的斜率为.23 （1）求)(x f 的表达式；（2）曲线上是否存在一点P ，使得y=)(x f 的图象关于点P 成中心对称？若存在，请求出点P的坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知直线x y l x y l 21:,21:21-==，一动点P 到这两直线的距离的平方和为.58（1）求此动点P 的轨迹E ；（2）O 为坐标原点，是否存在与l 1平行的直线l 3，使l 3与E 交于不同的两点A 、B ，且对于E上任意一点M 都存在θθπθsin cos ],2,0[+=∈使得成立？如果存在，求出l 3的方程；如果不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1—5BAAAD 6—10BBACB 二、填空题11．6 12． 024=--y x 13．4 14．－2 15．③ 三、解答题16．解：（1）,2sin 3cos 22a x x y ++=⋅=.12sin 32cos )(a x x x f +++=∴（2）.1)62sin(2)(a x x f +++=π)(,]2,0[6,262x f x x 时解得ππππ∈==+∴取最大值3+a .由3+a =2，解得a =－1.可解得函数)(x f 的单调增区间是：).](6,3[Z k k k ∈+-ππππ单调减区间是：).](32,6[Z k k k ∈++ππππ 17．解：（1）一次摸奖中20元彩金的概率,7815165820==C C P（2）一次中奖3元彩金的概率,39551618483==C C C P而中纪念奖概率,39145162838==C C C P 纪 （3）摊主赔钱还是挣钱由其支付完奖金后的余额决定，1000次收手续费2000元. 预计支付20元奖需20100078120⨯⨯=m 元； 支付3元奖需310003953⨯⨯=m 元 支付纪念奖需10002000,110003914320=---=⨯⨯=纪纪则余额元m m m m m 元.答：一次获得20元彩金的概率为781；一次获3元的概率为395，一次获纪念奖的概率为3914；摊主大概挣钱1000元.18．解：（1）∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF.又∵AC=AD ，F 为CD 中点， ∴AF ⊥CD ，∴AF ⊥平面CDE.（2）∵⇒⎭⎬⎫⊥⊥ACD AB ACD DE 平面平面DE ∥AB ，取DE 中点M ，连结AM 、CM ，则四边形AMEB 为平行四边形. AM ∥BE ，则∠CAM 为AC 与BE 所成的角， 在△ACM 中，AC=2a ，,55522)5()5()2(cos :,54,5422222222222=⨯⨯-+=∠=+=+==+=+=aa a a a CAM a a a DM CD CM a a a DM AD AM 由余弦定理得∴异面直线AC 、BE 所成的角的余弦值为55. （3）取CE 的中点N ，连结BN 、FN ，则FN 21DE ， 又取AB21DE ，则四边形AFNB 为平行四边形. ∴AF ∥BN ，又由（1）知，AF ⊥面CDE ，∴BN ⊥面CDE..32233233222131243312=⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--BN AB V V V CDE B ACD B ABCDE19．解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d ；{b n }的首项为b 1，公比为q ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=+221162106421111111q b d a q b b b d a d a 则所以a n =n ，b n =2n，+∈N n .（2）c n =n 2n.2)1(222222)1(232221222)1(23222111114321321+-=--=-∴+-++⨯+⨯+⨯=+-++⨯+⨯+⨯=++++-n S n S n n S n n S n n n n n n n n nn n 所以20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(2)(,31x f x 时当±= 有极小值及极大值= ∥ = ∥.2161)(.1,21,61,2323,23)(2313132023310)31(232x x x x f c b a c b a x f abc bx ax f ++-=∴==-=∴=++∴='∴=-++=-∴=++±=±'∴两根为即 （2）假设存在点)(),,(00x f y x P 使得的图象关于P 点对称，则0002)()(y x x f x x f =-++30020200020*********12)1(2)(21)(61)(21)(61231)(.6,32)31)(31(3y x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x f a c a b ac=-++-=-+-+--+++++-=-=-=∴-=-+=化简得即处切线的斜率为在又.)()34,1(.)()34,1(,34,1312201:003002000中心对称的图象关于点使得曲线上存在点上在比曲易知等式都成立对于任意P x f P x f y P y x x x x y x R x ∴===∴⎪⎩⎪⎨⎧-+==-∈21．解：（1）设.14:,58]25|21|[]25|21|[),,(2222=+=++-y x y x y x y x P 化简得由题意∴动点P 的轨迹为焦点在x 轴的椭圆.（2）),(),,(),,(2211v u M y x B y x A 设，由题意得,1)sin cos (4)sin cos (14sin cos sin cos 221221222121=+++⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=θθθθθθθθy y x x v u y y v x x u又∵点A ，B 也在椭圆上，其坐标也满足椭圆方程，上式化简为0)4(sin cos 22121=+y y x x θθ，由θ的任意性，故恒有21214y y x x +=0.设l 3的直线方程为：b x y +=21；则A 、B 两点的坐标是方程组,0121:,14212222=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=b vx x y x b x y 消元得的解).1(2,222121-=-=+∴b x x b x x121121,.01)1(214,1010)2(21)1(221)(21214322222221212121-=+=>=-⨯-=∆±=⇒=-⇒=+-+-⨯=+++=+∴x y x y l b b b b b b b b b x x b x x y y x x 或为存在故满足要求的直线成立检验。
湖南师大附中2017-2018学年高三上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析
湖南师大附中2017-2018学年高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于( )A． B．（﹣1，0）C．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知p：“∀x∈R，2x＜3”；q：“∂x0∈R，sinx0+cosx0=2”，则( )A．p假，q真B．“p∧q”真C．“p∨q”真D．“p∧q”假考点：复合的真假．专题：推理和证明．分析：举例说明两个都是吧正确的即可．解答：解：p：“∀x∈R，2x＜3”是假，当x=2时就不成立．q：“∂x0∈R，sinx0+cosx0=2是假，对任意的x∈R，sinx+cosx=sin（x+），∴“p∧q”为假．故选：D点评：本题考查了的判断属于基础题．4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求．解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．6．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A． B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为( )A．1064 B．1065 C．1067 D．1068考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当k=9时满足条件k≤n，S=1067，k=10时不满足条件k≤n，输出S的值为1067．解答：解：执行程序框图，有n=9k=1，S=0满足条件k≤n，S=3，k=2满足条件k≤n，S=9，k=3满足条件k≤n，S=20，k=4满足条件k≤n，S=40，k=5满足条件k≤n，S=77，k=6满足条件k≤n，S=147，k=7满足条件k≤n，S=282，k=8满足条件k≤n，S=546，k=9满足条件k≤n，S=1067，k=10不满足条件k≤n，输出S的值为1067．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．8．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为( )A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为( )A．﹣1 B．C．+1 D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意M的坐标为M（），代入椭圆方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意M的坐标为M（），代入椭圆方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．点评：本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．D．（﹣∞，1）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx 有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x 相切的切点为p（m，n），运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围．解答：解：函数f（x）=，画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），由于（log2x）′=，即切线的斜率为=k，又n=km，n=log2m，解得m=e，k=，则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k，综上，可得实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，考查运用导数求切线的斜率，属于中档题．二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为，即．直线ρcos（x﹣）=0化为，化为+y=0．∴点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离d==．故答案为：．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．12．在区间内随即取一个数记为x，则使得sinx≥的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由于在区间内随机取一个数，故基本事件是无限的，而且是等可能的，属于几何概型，求出满足sinx≥的区间长度，即可求得概率．解答：解：本题考查几何概型，其测度为长度∵sinx≥，x∈，∴x∈∴在区间上随机取一个数x，满足sinx≥的概率P=；故答案为：．点评：本题考查了几何概型的运用；关键是找到sinx≥，x∈，的x的范围，利用区间长度的比，得到所求概率．13．若点P（x，y）满足则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由图可知，P（x，y）与B重合时，取得最大值．解答：解：由题意作出其平面区域，则P（x，y）与B重合时，取得最大值，则P（2，1），则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为=，故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60°，=3，则•的值是3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由，可得=+，=，进而由AB=8，AD=5，∠DAB=60°，利用向量数量积运算进而可得答案．解答：解：∵，∴=+，=，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（）=﹣﹣=25﹣×8×5cos60°﹣=25﹣10﹣12=3．故答案为3．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据，可得=+，=，是解答的关键，属于中档题．15．已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）则（1）f（5，6）=26，（2）f（m，n）=2m﹣1+2（n﹣1）．考点：进行简单的合情推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而求出所求．解答：解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n）=2m﹣1+2（n﹣1），但m=5，n=6时，f（5，6）=24+2×（6﹣1）=26，故答案为：26，2m﹣1+2（n﹣1）点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键，属中档题．三、解答题（本题共6小题，75分）16．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（I）先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC•AC的值，进而求得AC2+BC2，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．解答：解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，得：AB=1．（Ⅱ）由△ABC的面积=BC•ACsinC=sinC，得BC•AC=，∴AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC•BC=2﹣=，由余弦定理，得，所以C=60°．点评：本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年2015届高考的一个重点，但难度一般不大，是2015届高考的一个重要的得分点．17．某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？附表及公示P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40合计30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．18．如图，直三棱柱ABC﹣A C 1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．（1）求证：BC1∥面A1DC；（2）若AA1=，求二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，由已知得DE∥BC1，由此能证明BC1∥面A1DC．（2）由已知得∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，由此能求出二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．解答：（1）证明：连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，BC1不包含于面A1DC，∴BC1∥面A1DC．（2）解：∵二面角A1﹣CD﹣B的平面角与二面角A1﹣CD﹣A的平面角互补，又∵CD⊥AB，CD⊥AA1，∴CD⊥面ADA1，∴CD⊥A1D，∴∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，在Rt△A1AD中，∵AA1==AD，∴∠A1DA=45°，∴二面角A1﹣CD﹣A的平面角的大小为45°，∴二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小为135°．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．已知数列．（1）若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；（2）在（1）的条件下，求出数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的定义建立条件关系即可求出λ的值；（2）根据等差数列的前n项和S n．即可求解．解答：解：（1）假设存在实数λ符合题意．则必为与n无关的常数，∵=，要使是与n无关的常数，则．故存在实数λ=﹣1．使得数列为等差数列．（2）由（1）可得，∴，∴，∴a n=（n+1）2n+1令b n=（n+1）2n且前n项和为T n，∴…①2T n=2×23+3×23+…+（n+1）×2n+1…②，①﹣②得﹣T n=4+22+23+…﹣（n+1）×2n+1=4+﹣2n+1（n+1）=4×2n﹣1﹣2n+1（n+1）=2n+1﹣（n+1）2n+1=﹣n•2n+1，∴T n=n2n+1．∴S n=n2n+1+n．点评：本题主要考查数列的递推公式，以及等差数列数，要求熟练掌握相应的通项公式和前n 项和公式，以及利用错位相减法求熟练的和，考查学生的计算能力．20．已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）≤．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0⇔a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0⇔a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴⇒a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+aln x0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论．21．已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．解答：解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．。
2019届湖南师大附中高三第二次月考试题 文科数学(解析版)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(二)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。
时量120分钟。
满分150分。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，N ＝{x|2x ＜2}，则M ∩N ＝( C ) A ．[－1，3] B ．(－∞，1) C ．[－1，1) D ．(1，3] 【解析】M ＝[－1，3]，N ＝(－∞，1)，，故M ∩N ＝[－1，1)．故选C. 2．若2i 2＋ai ＝b ＋4i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝( D )A. －2 B ．－1 C ．0 D ．2【解析】由复数相等得：a ＝4，b ＝－2，a ＋b ＝2，故选D. 3．已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0” ②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题其中真命题个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由题可知，①正确，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确. 故选C.4．设正项等比数列{}a n 的前n 项的和为S n ，且a n ＋1a n<1，若a 3＋a 5＝10，a 1·a 7＝16，则S 4＝( B )A ．60或152B ．60 C.152D ．120【解析】由等比数列{}a n 是单调递减数列，得⎩⎨⎧a 3＝8，a 5＝2，q ＝12，所以a 1＝32，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝60 ，故选B.5．如图所示，在三棱锥D －ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( D )A.6B ．2 C.3D. 2【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一条直角边是CD ，另一条直角边为△ABC 的边AB 上的中线，所以其侧视图面积为S ＝12×2×2＝2，故选答案D.6．已知平面上不重合的四点P 、A 、B 、C 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，且AB →＋AC →＋xAP →＝0，那么实数x 的值为( B )A ．2B ．－3C ．4D ．5【解析】由题可知，根据向量的减法有，AB →＝PB →－PA →，AC →＝PC →－PA →，于是有(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)＝xPA →，故(－x －2)PA →＋PB →＋PC →＝0，又因为PA →＋PB →＋PC →＝0，所以－x －2＝1，即x ＝－3.故选B.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( A )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】根据定理：c b ＝sin Csin B <cos A ，那么sin C ＝sin Bcos A ，根据A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B)，所以sin(A ＋B)<sin Bcos A ，整理为：sin Acos B<0 ，三角形中sin A>0，所以cos B<0，那么π2<B<π.故选A.8．某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S 的值是2，则判断框内可填写( B ) A ．i ≤2015 B ．i ≤2016 C ．i ≤2017 D ．i ≤2018【解析】由程序框图，初始值S ＝2，i ＝1. 循环一次后，S ＝－3，i ＝2； 循环两次后，S ＝－12，i ＝3；循环三次后，S ＝13，i ＝4；循环四次后，S ＝2，i ＝5； 循环五次后，S ＝－3，i ＝6；…依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.如果i ≤2 015，则循环结束S ＝13；如果i ≤2 016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2 016”. 故选B. 9．函数f ()x ＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( B )【解析】由题意得，f ()x ＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x 1＋e x ·cos x ，所以f ()－x ＝1－e－x1＋e －x·cos(－x)＝e x －11＋e x ·cos x ＝－f(x)，所以函数f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1，则f ()1＝⎝⎛⎭⎫21＋e 1－1cos 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 1＋e cos 1<0，故选B.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，直线x ＝a 2c 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( D )A.(0，22] B. (0，12) C. [2－1，1) D. [12，1) 【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等．而|FA|＝a 2c －c ＝b 2c ，因为|PF|∈[a －c ，a ＋c]，所以b 2c∈[a －c ，a ＋c]．即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ac －c 2≤a 2－c 2，a 2－c 2≥ac ＋c 2 ⎩⎨⎧ca≤1，c a ≤－1或c a ≥12，又e ∈(0，1)，故e ∈[12，1)，故答案选D.11．在体积为43的三棱锥S －ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，SA ＝SC ，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( B )A.823πB.92πC.272π D ．12π【解析】△ABC 外接圆圆心为AC 中点D ，连接SD ，则由平面SAC ⊥平面ABC 及SA ＝SC ，知SD ⊥平面ABC ，且球心O 在SD 上，则13S △ABC ×SD ＝43，解得SD ＝2.设三棱锥S－ABC 外接球半径为R ，则R ＝OS ＝OB ，所以在Rt △ODB 中，OB 2＝BD 2＋OD 2，即R 2＝(2)2＋(2－R)2，解得R ＝32，故所求球的体积为V ＝43πR 3＝92π，故选B.12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e ，y ＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，*由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为( A ) A. 35(e －1) B. 45(e －1) C. 12(e －1) D. 23(e －1) 【解析】由表可知，向矩形区域⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤e ，0≤y ≤1内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为610＝35. 因为矩形区域的面积为e －1，所以曲边三角形面积的近似值为35(e－1)，选A.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知cos (α－π2)＝45且α∈(π2，π)，则tan(α－π4)＝__7__．【解析】由已知得，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，tan (α－π4)＝tan α－11＋tan α＝（－43）－11＋（－43）＝7. 14．对于实数a 和b ，定义运算a*b ＝⎩⎨⎧a （b ＋1），（a ＞b ），b （a ＋1），（a ＜b ），则式子ln e 2*⎝⎛⎭⎫19－12的值为__9__．【解析】因为a*b ＝⎩⎨⎧a （b ＋1），（a ＞b ），b （a ＋1），（a ＜b ），而ln e 2＝2<⎝⎛⎭⎫19－12＝3，所以ln e 2*⎝⎛⎭⎫19－12＝3×(2＋1)＝9.15．已知函数f(x)＝x α的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2019＝．【解析】由函数f(x)＝x α的图象过点(4，2)得：4α＝2，α＝12，从而f(x)＝x ；∴a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，从而S 2019＝(2－1)＋(3－2)＋…＋2020－2019＝2020－1.16．设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是__[32e，1)__．【解析】f(x)<0 e x (2x －1)<ax －a ，记g(x)＝e x (2x －1)，则题意说明存在唯一的整数x 0，使g(x)的图象在直线y ＝ax －a 下方，g ′(x)＝e x (2x ＋1)，当x<－12时，g ′(x)<0，当x>－12时，g ′(x)>0，因此当x ＝－12时，g(x)取得极小值也是最小值g(－12)＝－2e －12，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0，直线y ＝ax －a 过点(1，0)且斜率为a ，故⎩⎨⎧－a>g （0）＝－1，g （－1）＝－3e －1≥－a －a ， 解得32e≤a<1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)为增强市民的环保意识，某市政府向社会征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中挑选了100名，按年龄(单位：岁)分为5组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计这100名志愿者的平均年龄；(Ⅱ)现指定第3组中某3人，第4组中某2人，第5组中某1人，共6名志愿者参加某项宣传活动．活动结束后，从这6人中随机抽取2人介绍经验，求第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率．【解析】(Ⅰ)在频率分布直方图中，从左至右各小矩形的面积分别是0.05，0.35，0.3，0.2，0.1.(2分)下底边中点值分别是22.5，27.5，32.5，37.5，42.5.(4分) 因为22.5×0.05＋27.5×0.35＋32.5×0.3＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝32.25. 由此估计，这100名志愿者的平均年龄为32.25岁．(6分) (Ⅱ)设“第4组中至少有一名志愿者被抽中”为事件A ， 记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1.(7分)则从6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)共有15种．(9分)其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名被抽中的取法有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)共有9种．(11分)所以P(A)＝915＝35，故第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率为35.(12分)18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ)求三棱锥F －DEC 的体积； (Ⅱ)在线段CD 上是否存在一点G ，使得平面EFG ⊥平面PDC ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)过点P 作AD 的垂线PH ，垂足为H. 又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PH 平面PAD ， 侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PH ⊥平面ABCD.连接HC ，(2分)∵E 为PC 中点，∴三棱锥E －FDC 的高h ＝12PH ，又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝2，∴PH ＝1，∴h ＝24＝12，(4分) ∴三棱锥F －DCE 的体积是V F －DCE ＝V E －FDC ＝13S △DFC ·h ＝13×2×2×12×12＝16.(6分)(Ⅱ)在线段CD 上存在一点G 为CD 的中点时，使得平面EFG ⊥平面PDC ，理由如下：(7分)∵底面ABCD 是边长为2的正方形，∴CD ⊥AD, 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， 侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面PAD ，(9分) 又EF ∥PA ，∴CD ⊥EF ， 取CD 中点G ，连接FG ，∵F 为AC 中点，∴FG ∥AD ， 又CD ⊥AD ，∴FG ⊥CD ，又FG ∩EF ＝F ，∴CD ⊥平面EFG ，(11分) 又CD 平面PCD ，∴平面EFG ⊥平面PCD.(12分) 19．(本小题满分12分) 已知数列{}b n 满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{}b n 的前n 项和． (Ⅰ)求证数列{b n －12}是等比数例，并求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)如果对任意n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n ≥2n －5恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：当n ＝1时，2b 1＝7，b 1＝72.(1分)当n ≥2时，S n ＋b n ＝n ＋132，① S n －1＋b n －1＝（n －1）＋132，②由①－②得2b n －b n －1＝12，所以⎝⎛⎭⎫b n －12＝12⎝⎛⎭⎫b n －1－12，(4分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列，所以b n －12＝⎝⎛⎭⎫b 1－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n －1， 即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫12n －1＋12.(6分) (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得：S n ＝n ＋132－b n ＝n ＋132－3⎝⎛⎭⎫12n －1－12＝n ＋122－3⎝⎛⎭⎫12n －1.(7分)不等式12k 12＋n －2S n≥2n －5，化简得k ≥(2n －52n )max ，对任意n ∈N *恒成立．(8分)设c n ＝2n －52n ，则c n ＋1－c n ＝2n －32n ＋1－2n －52n ＝－2n ＋72n ＋1. 当n ≥3.5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，当1≤n ＜3.5时，c n ＋1＞c n ，c n 为单调递增数列，(10分) 所以n ＝4时，c n 取得最大值316，(11分) 所以，要使k ≥2n －52n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥316.(12分)20．(本小题满分12分)设A 、B 分别为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0) 的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为1.(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)已知椭圆C 2：x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m>n>0)的焦点与双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左右顶点重合，且离心率为12.直线l ：y ＝kx －4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由题意知a ＝2，焦点坐标为(±4＋b 2，0)一条渐近线为y ＝b2x ，即bx －2y＝0，焦点到渐近线的距离为1. 即4＋b 2·bb 2＋4＝1，∴b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得双曲线C 1的顶点F(±2，0) ， ∵椭圆C 2的焦点与双曲线C 1的顶点重合， ∴椭圆C 2半焦距c ＝2, m 2－n 2＝c 2＝4.∵椭圆C 2的离心率为12，∴2m ＝12m ＝4，n ＝23， ∴椭圆C 2的方程为：x 216＋y 212＝1.(6分)设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1 ，得(4k 2＋3)x 2－32kx ＋16＝0.由Δ>0 (－32k)2－4×16(4k 2＋3)>0 k>12或k<－12. ①(7分)由韦达定理得：x 1＋x 2＝32k 4k 2＋3，x 1x 2＝164k 2＋3.(8分)∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA →·OB →>0，(9分) OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝y 1y 2＋x 1x 2＝(kx 1－4)·(kx 2－4)＋x 1x 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝(k 2＋1)×164k 2＋3－4k ×32k4k 2＋3＋16 ＝16（4－3k 2）4k 2＋3>0－233<k<233②(11分)由①、②得实数k 的范围是－233<k<－12或12<k<233.(12分)21．(本小题满分12分) 已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝aln x.(Ⅰ)若曲线y ＝f ()x －g ()x 在x ＝1处的切线的方程为6x －2y －5＝0，求实数a 的值；(Ⅱ)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1、x 2，都有h ()x 1－h ()x 2x 1－x 2>2恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0成立，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由y ＝f ()x －g ()x ＝12x 2－aln x ，得y′＝x －ax ，由题意，1－a ＝3，所以a ＝－2.(2分) (Ⅱ)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋aln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h ()x 1－h ()x 2x 1－x 2>2，设x 1>x 2，则h ()x 1－h ()x 2>2()x 1－x 2，即h ()x 1－2x 1>h ()x 2－2x 2恒成立，问题等价于函数F ()x ＝h ()x －2x ，即F ()x ＝12x 2＋aln x －2x 在()0，＋∞为增函数．(4分)所以F′()x ＝x ＋ax －2≥0在()0，＋∞上恒成立，即a ≥2x －x 2在()0，＋∞上恒成立，所以a ≥()2x －x2max＝1，即实数a 的取值范围是[)1，＋∞.(6分)(Ⅲ)不等式f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0等价于x 0＋1x 0<aln x 0－a x 0，整理得x 0－aln x 0＋1＋ax 0<0.设m ()x ＝x －aln x ＋1＋ax，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(8分)由m′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2.因为x>0，所以x ＋1>0，即令m′()x ＝0，得x ＝1＋a. ①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增，只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a ≤e ，即0<a ≤e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －aln(1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<aln(a ＋1)，可得a ＋1＋1a <ln(a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t ≤e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(10分) ③当1＋a>e ，即a>e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减， 只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1.综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(12分)请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中高三月考试题文科数学word
正视图 侧视图 俯视图湖南师大附中2010届高三月考试题（一）数学试题（文科）第I 卷 （选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1，2}，则满足A ∪B={1，2}的集合B 的个数共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．命题“01,2>+-∈∀x x x R ”的否定是 （ ）A ．不存在01,0200>+-∈x x x 使R B ．01,0200≤+-∈∃x x x RC ．01,0200<+-∈∃x x x RD ．01,2≤+-∈∀x x x R 3．函数)34(log 5.0-=x y 的定义域是（ ）A ．[)+∞,1B ．),43(+∞C ．⎥⎦⎤⎝⎛1,43 D ．(]1,∞-4．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 4=，则曲线C 的直角坐标方程是 （ ）A ．4)2(22=-+y x B ．4)2(22=++y xC ．4)2(22=+-y xD ．4)2(22=++y x5．从集合x y x y x ,1|),{(22≤+、)R ∈y 中任选一个元素1),,(≥+y x y x 即的概率为（ ）A ．21B ．ππ42- C ．ππ423+ D ．π41 6．有一条输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没有电，要检查故障所在位置，宜采用的优选法是 （ ） A ．0.618法 B ．分数法 C ．对分法 D ．盲人爬山法7．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图所对应的三角形是边长为2的正三角形，俯视图 对应的四边形为正方形，则这个几何体的表面积 等于 （ ） A ．12 B ．8C ．344+D ．348．已知实数x 、y 满足22)1()1(,033042022-++⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+y x y x y x y x 则的最小值是（ ）A ．2B ．5C ．51D ．59 二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。
湖南师大附中高三数学文科月考试卷(二)
湖南师大附中2007—2008学年高三月考（二）数学试题（文科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集N M C N M U U )(},5,4,3{},5,3,1{},5,4,3,2,1{则集合集合集合===等于（ ）A ．{4}B ．{2，3，4，5}C ．{1，3，4，5}D ．φ 2．在等差数列10915812,1203,}{a a a a a a n -=++则中= （ ）A ．24B ．22C ．20D ．－83．已知)34()34(,01)1(0cos )(-+⎩⎨⎧≤++>-=f f x x f x x x f 则的值等于（ ） A ．－2 B ．1 C ．2 D ．34．设m 、n 、p 、q 是满足条件q p n m +=+的任意正整数，则对各项不为0的数列 }{},{n q p n m n a a a a a a 是数列⋅=⋅为等比数列的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．若指数函数)10()(≠>=a a a x f x且则不等式0|)(|1<-x f 的解集为（ ）A ．}11|{<<-x xB ．}11|{>-<x x x 或C ．}10|{<<x xD ．}1001|{<<<<-x x x 或6．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为（ ）A ．41 B ．21 C ．1D ．27．将数列}2{1-n 按“第n 组有n 个数)(*N n ∈”的规则分组如下：（1）,（2,4），（8,16,32），…，则第100组中的第一个数是（ ）A ．24951B ．24950C ．25051D ．25050 8．设函数)(),(|)3sin(|)(x f x x x f 则R ∈+=π（ ）A ．在区间[67,32ππ]上是增函数 B ．在区间]2,[ππ--上是减函数C ．在区间]4,8[ππ上是增函数 D ．在区间]65,3[ππ上是减函数9．若数列172121),3(,2,1}{a n a a a a a a n n n n 则满足≥===--等于 （ ）A ．1B ．2C ．21 D ．2－98710．已知函数]4,3[sin 2)(ππω-=在区间x x f 上的最小值为－2，则ω的取值范围是（ ） A ．[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,629,B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2329,C ．(][)+∞-∞-,62,D ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,232, 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在题中的横线上. 11．函数xy )21(1-=的定义域是 .12．已知α、αβαβαβtan ),sin()cos(,则且均为锐角-=+= .13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且10411log ),,2,1(,3,1S n S a a n n 则 ===+= . 14．将函数x y 2log =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m > 0)倍，得到图象C ，若将x y 2log =的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m = .15．设)4()3()1()3()1(,2)(,2)(g f g g f e e x g e e x f xx x x -+-=+=--计算= ，)5()2()3()2()3(g f g g f -+= ，并由此概括出关于函数)()(x g x f 和的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是 .三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在.,,,,,,222bc a c b C B A c b a ABC +=+∆已知对应的三边分别是三内角中 （I ）求角A 大小； （II ）若12sin 22sin 222=+CB ，判断△ABC 的形状.17．（本小题满分12分） 已知函数.,12cos 3)4(sin 2)(2R ∈--+=x x x x f π（I ）若函数.),,0(,)0,6()()(的值求且对称的图象关于点t t t x f x h ππ∈-+=（II ）设q p m x f q x p 是若.3|)(:|],2,4[:<-∈ππ的充分条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）在数列.2,2,8,}{*1241N ∈-===++n a a a a a a n n n n 且满足中（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设n n n S a a a S 求|,|||||21+++= ； （III ）设)(),()12(1*21*N N ∈+++=∈-=n b b b T n a n b n n n n ，是否存在整数m ，使得对任意32,*mT n n >∈均有N 成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分13分）设.211lg )(),(,2,,是奇函数内的函数定义在区间且xaxx f b b a b a ++=-≠∈R （I ）求b 的取值范围；（II ）讨论函数f (x )的单调性.20．（本小题满分13分）已知首项不为零的数列r S n a n n 若对任意的项和为的前,}{、.)(,2*tr S S t t r =∈都有N （I ）判断}{n a 是否为等差数列，并证明你的结论.（II ）若.),2(}{}{,3,1111n n n n n b n b a b n b b a 求项的第是数列项的第数列≥==- 21．（本小题满分13分）已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意的1x 、2x 都满足)()()(2121x f x f x x f +=+，当.0)(,0>>x f x 时（I ）试判断并证明)(x f 的奇偶性； （II ）试判断并证明)(x f 的单调性；（III ）若]2,0[0)cos 24()32(cos πθθθ∈>-+-对所有的m m f f 均成立，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．D 二、填空题11．[)+∞,0 12．1 13．9 14．4115．0 0 0)()()()()(=+-+y x g y f x g y g x f 三、解答题2222223,21cos π==∴A A ………………（5分） （II ）1cos 1cos 1,12sin 22sin222=-+-∴=+C B C B ………………（7分） ,1s i n 32s i n c o s 32c o s c o s ,1)32c o s (c o s ,1c o s c o s =++=-+=+∴B B B B B C B πππ3,3,0.1)6sin(,1cos 21sin 23ππππ==∴<<=+∴=+C B B B B B………………（11分）∴△ABC 为等边三角形………………（12分）17．解：（I ）)32sin(22cos 32sin 12cos 3)22cos(112cos 3)4(sin 2)(2πππ-=-=--+-=--+=x x x x x x x x f)(),322sin(2)()(x h t x t x f x h ∴-+=+=∴π的图像的对称中心为Z k t k ∈-+),0,62(ππ 又已知)()0,6(x h 为π-的图像的一个对称中心，)(23Z k k t ∈+=∴ππ而653),,0(πππ或=∴∈t t ， （II ）若p 成立，即]32,6[32,]2,4[πππππ∈-∈x x 时， )4,1(,41,2313,,3)(33|)(|].2,1[)(-<<-⎩⎨⎧>+<-∴+<<-<-∈的取值范围为即解得的充分条件是得由m m m m q p m x f m m x f x f18．解：（I ）由题意，}{,112n n n n n a a a a a ∴-=-+++为等差数列，设公差为d ，由题意得.210)1(28,2382n n a d d n -=--=∴-=⇒+= （II ）若50210≤≥-n n 则，22121922108||||||,5n n n na a a a a a S n n n n -=⨯-+=+++=+++=≤∴ 时当， ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=+-=-=--=---+++=≥)6(409)5(94092)(,622255576521n n n n nn S n n S S S S S a a a a a a S n n n n n n 故时当 （III ）)11(111-===b n.7,2116,21)(1,161,32.)1(2)]111()111()4131()3121()211[(21***的最大整数值是的最小值是成立对任意即成立对任意若m m n n n n mn n n m T n nn n n n T n n ∴<∴∈+∈>+∈>+=+-+--++-+-+-=∴N N N即存在最大整数.32,,7*mT n m n >∈=均有使对任意N 19．解：（I ）函数),(211lg)(b b xaxx f -++=在区间内是奇函数等价于： 对任意⎪⎩⎪⎨⎧>++-=--∈0211)()(),(xax x f x f b b x 都有 ，①式即为2224,121211,121lg 211lg x x a axxx ax ax x x ax =++=--++=--也即由此可得，此式对任意2,2,4),(2-=≠=-∈a a a b b x 所以因为都成立相当于，代入②式，得02121>+-xx，即),(,2121b b x x -∈<<-此式对任意都成立相当于2121≤<-≤-b b ，所以b 的取值范围是.21,0⎥⎦⎤ ⎝⎛（II ）设任意的2121,21,0,),,(,212121≤<<<-≤-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈<-∈b x x b b x x b b x x 得由且，所以211221210,21210x x x x +<+<-<-<从而),()(,01lg )21)(21()21)(21(lg 2121lg 2121lg )()(1212112212b b x f x x x x x x x x x f x f -=<-++-=+--+-=-在因此内是减函数，具有单调性.20．解：（I ）}{n a 是等差数列，证明如下：.2,}{),(21),12(,2.,,)(,,1,011*11112121211为公差的等差数列为首项是以即时此式也成立且时即得由令a a a n a a a 。
湖南省师大附中高三文科数学月考试卷(一)
湖南省师大附中高三文科数学月考试卷(一)时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A=｛x x x 92-＜0｝，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧*∈N y y4则A ∩B 中元素个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ． 3个2．nxx )1(+的各项系数之和为16，则展开式中系数最大的项是A ．6B ．6xC ．x 4 D ． x4或4x 3．过点P(一1，0)作圆C ：(x 一1)2+(y 一2)2=1的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 三点的圆方程是A ．4)12=-+y x （２ B ．2)12=-+y x （２ C ．2)122=+-y x （ D ．4)122=+-y x （ 4．函)(x f y =的图象过原点且它的导函数)(x f y '=)的图象是如图所示的一条直 线，则)(x f y =的图象的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若︱4)(-x f ︱＜a 的充分条件是1-x ＜b(a,b ＞0)，则a ，b 之间的关系是 A ． 3b a ≤B ．3a b ≤C ．b ＞3aD ．a ＞3b 6．已知函数)(1x f y -=的图象过点(1，0)，则函数)2(-=x f y 的图象一定过点A ．(0，3)B ．(0，一1)C ．(2，1)D ．(一2，1)7．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用 (１x ，２x ，３x ，４x ，…，n x )表示．设=a (1a ，2a ，3a ，4a ，…，n a )，设=b (1b ，2b ，3b ，4b ，…，n b )，a 与b 夹角θ的余弦值为22221222212211cos nnnn bb b a a a b a b a b a +⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=θ．当两个n 维向量，=a （1，1，1，…，1），=b (1-，1-，1，1，…，1)时，=θcosA ．n n 1-B ．n n 3-C ．n n 2-D ． nn 4-8．若二面角M 一l 一N 的平面角大小为32π，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是 A ．A[6π，2π] B ．[4π，2π] C ．[3π，2π] D ． [0，2π] 9．设椭圆12222=+n y m x ，双曲线12222=-ny m x ，抛物线x n m y )(2+=２，(其中m>n>0)的离心率分别为 e 1，e 2，e 3，则A ．e 1 e 2> e 3B ．e 1 e 2< e 3C ．e 1 e 2=e 3D ．e 1 e 2与e 3大小不确定 10．某中学生为了能观看20XX 年奥运会，从20XX 年起，每年8月8日到银行将自己积攒的零用钱存人a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到20XX 年奥运会开幕时(此时不再存钱)将所有的存款及利息全部取回，则可取回钱的总数(元)为 A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．[])1()1(7p p p a +-+D ．[])1()1(8p p pa +-+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．一次奥运会比赛中，有男运动员560人，女运动员420人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为280的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽 人． 12．在△ABC 中，若a=7，b=8，cosC=1413，则最小角的余弦值为 ． 13．以抛物线x y 42=的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A(一1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是 ．14．在20XX 年北京奥运火炬传递活动中，某地的奥运火炬接力传递路线共分8段，传递活动分别由8名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒 火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．(用数字作答) 15．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：(1)斜边的中线长等于斜边边长的一半；(2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：。
湖南师大附中高三上学期第二次月考——数学文数学(文)
湖南师大附中2017届高三上学期第二次月考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)函数f (x )＝18－2x －x 2的定义域是(A)(A)()－4，2 (B)()－∞，－4∪()2，＋∞ (C)[]－4，2 (D)(]－∞，－4∪[)2，＋∞ 【解析】解不等式8－2x －x 2>0得(x －2)(x ＋4)<0⇒x ∈()－4，2.选A.(2)已知复数z ＝21－i，给出下列四个结论：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数z －＝－1＋i ；④z的虚部为i. 其中正确结论的个数是(B)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，z －＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，选B.(3)已知命题p ：若a >||b ，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是(A) (A)“p ∨q ”为真命题 (B)“p ∧q ”为真命题(C)“綈p ”为真命题 (D)“綈q ”为假命题【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选择A.(4)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，CA →＝3CE →，则DE →＝(D) (A)34b －13a (B)512a －34b (C)34a －13b (D)512b －34a 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋13CA →＝34(AC →－AB →)－13AC →＝512b －34a .选D.(5)若cos 2θ＝13，则sin 4θ＋cos 4θ的值为(C)(A)1318 (B)1118 (C)59(D)1 【解析】因为sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＝59，故选C.(6)已知三条不重合的直线m ，n ，l ，两个不重合的平面α，β，有下列四个命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β； ③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α.其中正确命题的个数为(B) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】对①，m 可在α内，故不正确；对③，m 与n 要相交，②④正确，故选B. (7)已知log 12b <－log 2a <－2log 4c ，则(A)(A)b >a >c (B)c >b >a (C)c >a >b (D)a >b >c【解析】因为－log 2a ＝log 12a ，－2log 4c ＝log 12c ，log 12b <－log 2a <－2log 4c ，又对数函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，从而b >a >c ，故选A.(8)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是(B)【解析】f (x )是偶函数，其定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f (x )在(1，＋∞)上是增函数，选B.(9)已知平面直角坐标系xOy 中的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为(C)(A)4 2 (B)3 2 (C)4 (D)3【解析】z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，结合目标函数的可行域知：z 取最大值的最优解为(2，2)， 所以z max ＝2×2＋2＝4，故选C.(10)设a 1，a 2，…，a 2 017是数列1，2，…，2 017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为(D)(A)2 015 (B)2 016 (C)2 017 (D)2 018【解析】此题的程序框图的功能就是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F ＝b ＋sin b π2.因为b ＝max{1，2，…，2 017}＝2 017，所以F ＝2 017＋sin 2 017π2＝2 018.故选D.(11)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8－1)3＋2 017(a 8－1)＝1，(a 2 010－1)3＋2 017(a 2 010－1)＝－1，则下列结论正确的是(A)(A)S 2 017＝2 017，a 2 010<a 8 (B)S 2 017＝2 017，a 2 010>a 8 (C)S 2 017＝－2 017，a 2 010≤a 8 (D)S 2 017＝－2 017，a 2 010≥a 8【解析】设f (x )＝x 3＋2 017x ，则由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )是奇函数．由f ′(x )＝3x 2＋2 017>0知函数f (x )＝x 3＋2 017x 在R 上单调递增．因为(a 8－1)3＋2 017(a 8－1)＝1，(a 2 010－1)3＋2 017(a 2 010－1)＝－1，所以f (a 8－1)＝1，f (a 2 010－1)＝－1，得a 8－1＝－(a 2 010－1)，即a 8＋a 2 010＝2，且a 2 010<a 8，所以在等差数列{a n }中，S 2 017＝2 017·a 1＋a 2 0172＝2 017·a 8＋a 2 0102＝2 017.故选A.(12)定义在[t ，＋∞)上的函数f (x )，g (x )单调递增，f (t )＝g (t )＝M ，若对任意k >M ，存在x 1<x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝k 成立，则称g (x )是f (x )在[t ，＋∞)上的“追逐函数”．已知f (x )＝x 2，下列四个函数：①g (x )＝x ；②g (x )＝ln x ＋1；③g (x )＝2x －1；④g (x )＝2－1x.其中是f (x )在[1，＋∞)上的“追逐函数”的有(B)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】由题意得若函数f (x )，g (x )为[t ，＋∞)上的“追逐函数”， 则f (x )，g (x )在[t ，＋∞)上的值域相同且f (t )＝g (t )， 对任意x 0∈(t ，＋∞)，f (x 0)>g (x 0)．因为f (x )＝x 2在[1，＋∞)的值域为[1，＋∞)，且f (1)＝1， 对于①，g (1)＝1，当x ∈[1，＋∞)时，g (x )∈[1，＋∞)， 设h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－x ，则h ′(x )＝2x －1>0，x ∈[1，＋∞)， 所以对任意x 0∈(1，＋∞)，h (x 0)>h (1)＝0，f (x 0)>g (x 0)， 所以g (x )＝x 是f (x )＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”； 对于②，g (1)＝1，当x ∈[1，＋∞)时，g (x )∈[1，＋∞)， 设u (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x －1，则u ′(x )＝2x －1x>0，x ∈[1，＋∞)，所以对任意的x 0∈(1，＋∞)，u (x 0)>u (1)＝0，f (x 0)>g (x 0)， 所以g (x )＝ln x ＋1是f (x )＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”； 对于③，当x ＝5时，g (5)＝25－1＝31>25＝f (5)，所以g (x )＝2x －1不是f (x )＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；对于④，g (x )＝2－1x 在[1，＋∞)的值域为[1，2)，所以g (x )＝2－1x不是f (x )＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”．综上所述，其中是f (x )＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”的个数为2，故选B.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若sin A ＝2sin B ，且a ＋b ＝3c ，则角C 的大小为__60°__．【解析】由sin A ＝2sin B ，得a ＝2b . 又a ＋b ＝3c ，则3b ＝3c ，即c ＝3b .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4b 2＋b 2－3b 24b 2＝12，故C ＝60°.(14)过直线y ＝x ＋1上一点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，则切线长的最小值是． 【解析】设圆心为C ，切点为A ，则圆心C (3，0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝2 2.所以|P A |＝|PC |2－1≥d 2－1＝7. (15)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的曲线是一段半圆弧，则这个几何体的表面积是__12＋π__．【解析】由三视图可知，这个几何体的直观图如图所示．其左边矩形的面积为4，前、后两矩形的面积都为2，右边曲面的面积为2π，上、下底面的面积都为2－π2.所以这个几何体的表面积S ＝4＋2×2＋2π＋⎝⎛⎭⎫2－π2×2＝12＋π.(16)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数b 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫178，＋∞__．【解析】f ′(x )＝－（x －1）（x －3）4x 2，令f ′(x )＝0得x 1＝1，x 2＝3∉(0，2)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，所以f (x )在(0，2)上的最小值为f (1)＝－12.由于“对任意x 1∈(0, 2)，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“g (x )在[1，2]上的最小值不大于f (x )在(0，2)上的最小值－12”． (*)又g (x )＝(x －b )2＋4－b 2，x ∈[1，2]，所以①当b ＜1时，因为[g (x )]min ＝g (1)＝5－2b ＞0，此时与(*)矛盾；②当b ∈[1，2]时，因为[g (x )]min ＝4－b 2≥0，此时与(*)矛盾； ③当b ∈(2，＋∞)时，因为[g (x )]min ＝g (2)＝8－4b .解不等式8－4b ≤－12，可得b ≥178.综上，b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫178，＋∞. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}a n 满足：a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)若S n 表示数列{}a n 的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)设数列{}a n 的公差为d ()d ≠0， 由题意可知a 1·a 13＝a 24，有3()3＋12d ＝()3＋3d 2(2分)⇒d ＝2，(3分)则a n ＝3＋()n －1×2＝2n ＋1.(5分)(Ⅱ)由上述推理知S n ＝n ()n ＋2，则1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2(7分)T n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n ()n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12()n ＋1－12()n ＋2＝34－2n ＋32()n ＋1()n ＋2.(12分) (18)(本题满分12分)已知向量u ＝(sin x ，cos x )，v ＝(6sin x ＋cos x ，7sin x －2cos x )，设函数f (x )＝u·v . (Ⅰ)求函数f (x )的最大值及此时x 的取值集合；(Ⅱ)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知BA →·AC →<0，f (A )＝6，且△ABC 的面积为3，b ＝32，求△ABC 的外接圆半径R 的大小．【解析】(Ⅰ)由题意f (x )＝u·v ＝sin x (6sin x ＋cos x )＋cos x (7sin x －2cos x )＝6sin 2x －2cos 2x ＋8sin x cos x＝4sin 2x －4cos 2x ＋2＝42sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋2.(3分) 令2x －π4＝π2＋2k π(k ∈Z )得x ＝3π8＋k π(k ∈Z )，(4分)∴f (x )max ＝42＋2，此时x 的集合为{x |x ＝3π8＋k π，k ∈Z }．(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f (A )＝42sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋2＝6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＝22，(7分) ∵BA →·AC →<0，∴||BA →||AC →cos ()π－A <0⇒cos A >0⇒0<A <π2， ∴－π4<2A －π4<3π4⇒2A －π4＝π4，∴A ＝π4.(9分)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32c ×22＝3，∴c ＝2.(10分)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝18＋4－2×32×2×22＝10 ⇒a ＝10(11分)由正弦定理得2R ＝a sin A ＝1022＝25⇒R ＝5，∴f (x )的外接圆半径R ＝ 5.(12分)(19)(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，PD ⊥底面ABCD ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点．(Ⅰ)证明：P A ∥平面BMQ ；(Ⅱ)已知PD ＝DC ＝AD ＝2，求点P 到平面BMQ 的距离．【解析】(Ⅰ)证明：如图，连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，∵ AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，∴AQ ∥BC 且AQ ＝BC ； ∴四边形AQCB 为平行四边形．∴N 为AC 的中点．(3分) 又M 为PC 的中点，∴MN ∥P A .(5分) 又MN ⊂平面BMQ, ∴P A ∥平面BMQ .(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，P A ∥平面BMQ ，∴点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离， 则有V P －BMQ ＝V A －BMQ .(7分)取CD 的中点K ，连接MK ，∴MK ∥PD ，MK ＝12PD ＝1.又PD ⊥底面ABCD ，∴MK ⊥底面ABCD .又BC ＝12AD ＝1，PD ＝DC ＝2.∴AQ ＝1，BQ ＝2，MQ ＝3，NQ ＝1, MB ＝MK 2＋KB 2＝12＋12＋12＝3，∴S △ABQ ＝12×1×2＝1，S △BMQ ＝ 2.(9分)而由V A －BMQ ＝V M －BAQ ⇒13·S △BMQ ·d ＝13×S △ABQ ×MK ⇒d ＝22.(11分)即点P 到平面BMQ 的距离d ＝22.(12分)法2：由于M 为棱PC 的中点，点P 到平面BMQ 的距离等于点C 到平面BMQ 的距离，则有V P －BMQ ＝V C －BMQ ＝V M －BCQ ⇒13·S △BMQ ·d ＝13×S △BCQ×MK同解法一，可求出S △BMQ ＝2，S △BCQ ＝1，MK ＝1⇒d ＝22.即点P 到平面BMQ 的距离d ＝22.(20)(本题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝－34的上方，求实数m 的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：由题意可得1≤f (1)≤14×(1＋1)2＝1，则f (1)＝1；(3分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知：f (1)＝1，即a ＋b ＋c ＝1，(4分)又f (－1)＝0，即a －b ＋c ＝0，(5分)两式相减可得， b ＝12，a ＋c ＝12即c ＝12－a ，所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a ，对任意实数x ，都有f (x )≥x ，即为ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝⎝⎛⎭⎫－122－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >0⎝⎛⎭⎫2a －122≤0，所以a ＝14，c ＝12－a ＝14，所以f (x )＝14x 2＋12x ＋14.经检验，符合题意．(9分)(Ⅲ)由题意知g (x )＝f (x )－m 2x ＝14x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋14>－34在[0，＋∞) 上恒成立． 即x 2＋2(1－m )x ＋4>0在[0，＋∞)上恒成立. 记h (x )＝x 2＋2(1－m )x ＋4.(i)由Δ<0，即[2(1－m )]2－4×4<0，解得－1<m <3；(ii)由⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－2（1－m ）2h （0）＝4>0≤0，解得m ≤－1 综上可知，m ∈(－∞，3)．(12分)法2：由题意知g (x )＝f (x )－m 2x ＝14x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋14>－34在[0，＋∞) 上恒成立． (i)当x ＝0时，g (0)＝14>－34成立；(ii)当x >0时，2(m －1)<x 2＋4x ＝x ＋4x在x ∈(0，＋∞)上恒成立，又当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝2时取得最小值)所以2(m －1)<4，解得m ∈(－∞，3)． (21)(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m . (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)若f (x )≤0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，对任意的0<a <b ，求证：f （b ）－f （a ）b －a <1a （a ＋1）.【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x(x ∈(0，＋∞))，当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当m >0时，由f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x >0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m ，由f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x<0， 得x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞，此时f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞.(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知：当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上递增，f (1)＝0，显然不成立；当m >0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1m ＝ln 1m －1＋m ＝m －ln m －1，只需m －ln m －1≤0即可， 令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x ∈(0，＋∞)，∴g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )min ＝g (1)＝0.∴g (x )≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，也就是m －ln m －1≥0对m ∈(0，＋∞)恒成立， ∴m －ln m －1＝0，解得m ＝1，∴若f (x )≤0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则m ＝1.(8分)(Ⅲ)证明：f （b ）－f （a ）b －a ＝ln b －ln a ＋a －b b －a ＝ln b －ln a b －a －1＝ln b a b a －1·1a －1，由(Ⅱ)得f (x )≤0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号，又由0<a <b 得b a >1，所以有0<ln b a <ba －1，即lnb a ba－1<1.则ln b a b a －1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a （1＋a ）<1a （a ＋1）， 则原不等式f （b ）－f （a ）b －a <1a （a ＋1）成立．(12分)请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．(22)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径． (Ⅰ)求证：AC ·BC ＝AD ·AE ；(Ⅱ)过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若AF ＝4，CF ＝6，求AC 的长． 【解析】(Ⅰ)连接BE .则有△ABE 为直角三角形，∴ ∠ABE ＝∠ADC ＝90°，又∠AEB ＝∠ACB ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝AEAC .AB ·AC ＝AD ·AE ，又AB ＝BC ， 故AC ·BC ＝AD ·AE .(5分)(Ⅱ)∵FC 为圆的切线，∴FC 2＝F A ·FB .又AF ＝4，CF ＝6，从而解得BF ＝9，AB ＝BF －AF ＝5 ∵∠ACF ＝∠CBF ，∠CFB ＝∠AFC ，∴△AFC ∽△CFB ，∴AF CF ＝AC CB ，即AC ＝AF ·CB CF ＝103.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程自极点O 任意作一条射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得OM ·OP ＝12，求动点P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．【解析】设P (ρ，θ)，M (ρ′，θ)， ∵OM ·OP ＝12，∴ρρ′＝12.又ρ′cos θ＝3，∴12ρ·cos θ＝3.则动点P 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(5分)∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ. ∴x 2＋y 2－4x ＝0.(10分)(24)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x 2－1|. (Ⅰ)解不等式f (x )≤2＋2x ；(Ⅱ)设a >0，若关于x 的不等式f (x )＋5≤ax 解集非空，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)f (x )≤2＋2x ，即|x 2－1|≤2＋2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤2＋2x ，x 2－1≥－（2＋2x ），由x 2－1≤2＋2x ，解得－1≤x ≤3；而x 2－1≥－(2＋2x )的解集为R . 所以原不等式的解集为 {x |－1≤x ≤3}．(5分) (Ⅱ)f (x )＋5 ≤ax 解集非空，即|x 2－1|＋5≤ax 有解．注意到：当 x ≤0 时，f (x )＋5 ≤ax 左边大于0，右边小于或等于0，式子不成立，即不等式有解只能在区间(0，＋∞)上．①当x ≥1时，a ≥ |x 2－1|＋5x ＝x ＋4x，由x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(x ＝2时，等号成立)，即x ＋4x 的最小值为4.所以a ≥4；②当0<x ≤1时，不等式化为a ≥ |x 2－1|＋5x ＝6x－x .因为6x －x 的最小值为5，所以a ≥5.综上所述，a 的取值范围是[4，＋∞)．(10分)。
湖南师大附中高三下学期月考数学试卷(文科)(七) Word版含解析
2015-2016学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（七）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A．B．C．1 D．2．“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．124．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．5．已知，且sinθ﹣cosθ＞1，则sin（2θ﹣2π）=（）A．B．C． D．6．设，则有（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知平面向量、、满足：||=||=||=1，•=0．若=x+y，（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．B．1 C．D．210．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）11．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）12．已知函数，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．已知集合，则N∩∁R M=．14．已知关于x的不等式上恒成立，则实数a的最小值为．15．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=e，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个在区间[0，1]上的*由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为．16．我们把形如的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”．则当a=b=1时，“莫言点”的坐标是；且“莫言圆”的面积的最小值是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、c的时边长分别为a、b、c，已知sinB﹣cosB=l，且b=1．（Ⅰ）若A=，求c的值；（Ⅱ）设AC边上的高为h，求h的最大值．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．19．对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有＜x n成立，则称数列{x n}为“减差数+1列”．设数列{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且a1=1，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}是否为“减差数列”；（2）设b n=（2﹣na n）t+a n，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．20．已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若，若存在求k的值，若不存在则说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f （x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．[选做题]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选做题]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（七）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A．B．C．1 D．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，，故选：B．2．“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】A解：当两直线平行时得，a（a+2）=3a（a﹣2），解得a=0或a=4，故“a=4”是“直线（2+a）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+ay﹣3=0相互平行”的充分不必要条件，故选：A．3．执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次执行，直到不满足循环条件为止即可．【解答】解：x=1，n=1，满足条件x＜4，执行循环，x=，n=2，满足条件x＜4，执行循环，依此类推，x=，n=9，满足条件x＜4，执行循环，x=4，n=10，不满足条件x＜4，退出循环，此时n=10故选B．4．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为．故选B．5．已知，且sinθ﹣cosθ＞1，则sin（2θ﹣2π）=（）A．B．C． D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由，sinθ﹣cosθ＞1，求出sinθ、cosθ的值，化简sin（2θ﹣2π）即可得到答案．【解答】解：由题意：，∴sinθ=，又∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，由sin2θ+cos2θ=1，解得：cosθ=，那么：sin（2θ﹣2π）=﹣sin2θ=﹣2sinθcosθ=﹣2×=，故选：A．6．设，则有（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的性质及对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，又0=lg1＜lge＜lg=，∴a＞c＞b．故选：C．7．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．9．已知平面向量、、满足：||=||=||=1，•=0．若=x+y，（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．B．1 C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由||2=（x+y）2=1，整理可得：x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，由辅助角公式可知，根据正弦函数图象及性质，即可求得x+y的最大值．【解答】解：由||=1，可知||2=（x+y）2=1，∴x2||2+y2||2+2xy•=1，∴x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，则：，∴由正弦函数及性质可知：x+y的最大值是，故答案选：C．10．设双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，可得，两式消去y0可得ab的不等式，由双曲线的离心率可得．【解答】解：不妨设渐近线为y=x，与抛物线的交点为（x0，y0），x0＞1，则，两式消去y0可得=x0＞1，∴a2＞b2，∴a2＞c2﹣a2，∴2a2＞c2，∴＜2，∴e=＜，又∵双曲线的离心率大于1，∴双曲线C的离心率e的取值范围是（1，）故选：C11．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．12．已知函数，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，+∞）D．（0，1）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，从而问题转化为最大值不在区间[1，2]，故可求实数a的取值范围．【解答】解：求导函数，当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）max=f（a）．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]，都有f（x1）＜f（x0），则最大值不在区间[1，2]，∴a∉[1，2]，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．已知集合，则N∩∁R M=[0，2] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出N∩∁R M．【解答】解：集合，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），N=[0，+∞），∴N∩C R M=[0，2]．故答案为：[0，2]．14．已知关于x的不等式上恒成立，则实数a的最小值为5．【考点】基本不等式．【分析】构造函数g（x）=x+﹣7，（x＞a），利用g（x）在（a，a+1]上单调递减，在[a+1，+∞）上单调递增即可求得答案．【解答】解：令g（x）=x+﹣7，则g（x）=（x﹣a）++a﹣7，由双钩函数的性质得：g（x）在（a，a+1]上单调递减，在[a+1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（a+1）=1+a+1﹣7=a﹣5≥0．∴a≥5．∴实数a的最小值为5．故答案为：515．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=e，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个在区间[0，1]上的*由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（e﹣1）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故答案为：．16．我们把形如的函数称为“莫言函数”，其图象与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图象有公共点的圆称为“莫言圆”．则当a=b=1时，“莫言点”的坐标是（0，1）；且“莫言圆”的面积的最小值是3π．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中关于“莫言函数”，“莫言点”，“莫言圆”的定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点”坐标，并设出“莫言圆”的方程，根据两点的距离公式求出圆心到“莫言函数”图象上点的最小距离，即可得到结论．【解答】解：当a=b=1时，“莫言函数”为，其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），所以“莫言点”的坐标是（0，1）．显然f（x）为偶函数，且当x≥0时，，则f（x）的大致图象如图所示．由图知，当“莫言圆”与函数f（x）（x＞1）的图象相切时，圆面积最小．设“莫言圆”圆心为C，在函数图象上任取一点P（x，y），则，即，所以“莫言圆”半径的最小值为，面积的最小值是3π．故答案为：（0，1），3π．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、c的时边长分别为a、b、c，已知sinB﹣cosB=l，且b=1．（Ⅰ）若A=，求c的值；（Ⅱ）设AC边上的高为h，求h的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由sinB﹣cosB=l求得sin（B﹣）=．根据A=，求得B的值，可得C=π﹣A﹣B的值值，再根据b=1，利用正弦定理求得c的值．（Ⅱ）根据•bh=ac•sinB，求得h=ac．由余弦定理可得ac≤1，从而求得h的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinB﹣cosB=l=2sin（B﹣），∴sin（B﹣）=．∵A=，∴0＜B＜，∴B=，∴C=π﹣A﹣B=．再根据b=1，利用正弦定理可得，即，解得c=．（Ⅱ）设AC边上的高为h，∵•bh=ac•sinB，∴h=ac．由余弦定理可得b2=1=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，∴ac≤1，h≤，即h的最大值为．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）先证明AC⊥面SBD，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥SD；（Ⅱ）利用线面平行的性质定理确定E的位置，然后求出SE：EC的值．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD•SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．19．对于数列{x n}，若对任意n∈N*，都有＜x n成立，则称数列{x n}为“减差数+1列”．设数列{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且a1=1，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}是否为“减差数列”；（2）设b n=（2﹣na n）t+a n，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，则1+q+q2=，由此能求出数列{a n}的通项公式，并判断数列{S n}为“减差数列”．（2）由题设知，b n=2﹣t+=2t﹣．由此能求出t的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，则1+q+q2=，因为q＞0，所以q=，所以a n=，S n==2﹣，所以=2﹣﹣＜2﹣=S n，+1所以数列{S n}是“减差数列”．（2）由题设知，b n=2﹣t+=2t﹣．，得t﹣+t﹣＜2t﹣，由＜b n+1即+＞，化简得t（n﹣2）＞1．又当n≥3时，t（n﹣2）＞1恒成立，即t＞恒成立，所以t＞（）max=1．故t的取值范围是（1，+∞）．20．已知F是椭圆的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若，若存在求k的值，若不存在则说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆的切线方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先确定出F，A的坐标，进而确定点B的坐标，从而可确定A，B，F三点确定的圆的圆心坐标与半径，利用圆与直线相切，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，根据P为线段MN的中点，确定P的坐标，进而可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可判断k不存在．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴，∴∴，∵AB⊥AF，∴∴AB的方程为：令y=0，∴，∴∴A，B，F三点确定的圆的圆心坐标为，半径为r=a∴圆心到直线的距离为，∵A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．∴∴a=2，∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y可得（3+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣12）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则，∵P为线段MN的中点，∴∴∵，∴∴∵射线OP交椭圆于点Q∴∴∴64k4+48k2=4（16k4+24k2+9）∴48k2=96k2+36∴﹣48k2=36此方程无解，∴k不存在．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f （x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（Ⅲ）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①），，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，即②对任意恒成立．由③式解得：．④综合①④可知，当时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．[选做题]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选做题]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…2016年10月24日。
湖南省师大附中高三数学上学期第二次月考 文
湖南师大附中2012届高三月考试卷（二）数 学 试 题（文） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，若复数(,)1i a bi a b R i =+∈+，则b 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 2．已知集合22{(,)|2},{(,)|2}A x y x y B x y x y =+==+≤，设:,:p x A q x B ∈∈，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件3．若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，则下列图形一定不是该几何体的俯视图的是（ ）4．若等差数列{}n a 的前5项之和52725,S =且a =3,则a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 5根据上表可得回归方程ˆˆy bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ ） A ．72.0万元B ．67.7万元C ．65.5万元D ．63.6万元 6．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()),()sin(2),()cos()436f x xg x xh x x πππ=+=+=-的部分图象（如图），则（ ）A ．a 为(),f x b 为g(x),c 为h(x)B ．a 为h(x),b 为f(x),c 为g(x)C ．(),(),()a g x b f x c h x 为为为D ．(),(),()a h x b x c f x 为为g 为7．已知函数2()43f x x x =-+，若存在12,[,]x x a b ∈使得12x x <，且12()()f x f x >，则以下对实数a 、b 的描述正确的是（ ）A ．2a <B ．2a ≥C ．2b ≤D ．2b ≥ 8．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=相切于点M ，则|PM|的最小值为（ ）A B ．2 C ．D ．4二、填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分。
湖南省师大附中高三数学第三次月考(文)
湖南师大附中2010届高三第三次月考试卷数学（文科）本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“函数()1f x mx =+ 在R 上是增函数”是“340m -≥”的 （ B ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】若340m -≥，即43m ≥，则()1f x mx =+ 在R 上是增函数；反之不然，故选B. 2.已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212t a n ()a a +的值为 （ A ）A ．B ．C ．D ．3-【解析】因为a 1＋a 7＋a 13＝4π，则a 7＝4π3，所以tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 8π3＝－3，故选A.3.已知12()f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是 （ C ）A. 11()()()()f a f b f f a b <<<B. 11()()()()f f f b f a a b <<<C. 11()()()()f a f b f f b a <<<D. 11()()()()f f a f f b a b<<<【解析】因为函数12()f x x =在(0,)+∞上是增函数，又110a b b a<<<<，故选C.4.若321log 01a a a +<+，则a 的取值范围是 （ B ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．),21(+∞ D ．),1(+∞【解析】当1a >时，3111a a +>+，从而321log 01a a a+>+，不合要求.当01a <<时，3111a a +<+，要使321log 01aa a+<+，则21a >，即12a >，所以112a <<，故选B. 5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线13x =对称，则2()3f -=（ A ）A. 0B.1C.1-D. 2【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =.又()y f x =的图象关于直线13x =对称，所以2()03f =.于是22()()033f f -=-=，故选A.6.如果圆柱的底面直径和高相等，且圆柱的侧面积是4π，则圆柱的体积等于 （ D ）A. B.4π C. D. 2π【解析】设圆柱的底面半径为r ，则高为2r ，侧面积为24r π.由已知24r π＝4π，从而1r =.所以圆柱的体积222V r r ππ=⋅=，故选D.7.12sin 45cos152︒︒-的值等于 （ C ） A.12B. 2C. 2D. 1【解析】原式＝2sin 45cos15sin 30︒︒-︒=2sin 45cos15sin(4515)︒︒-︒-︒ ＝2sin 45cos15︒︒－（sin 45cos15︒︒－cos 45sin15︒︒）＝sin 45cos15︒︒＋cos 45sin15︒︒＝cos60︒＝2.故选C. 8.对于向量a ，b ，定义a ×b 为向量a ，b 的向量积，其运算 结果为一个向量，且规定a ×b 的模|a ×b |＝|a ||b |sinθ(其中 θ为向量a 与b 的夹角)，a ×b 的方向与向量a ，b 的方向都 垂直，且使得a ，b ，a ×b 依次构成右手系.如图，在直四棱柱 ABCD －EFGH 中，∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝AE ＝2，则()AB AD AE ⨯⋅＝ （ D ） A. 4 B. 8C.D. 【解析】据向量积定义知，向量AB AD ⨯垂直平面ABCD ，且方向向上.因为四棱柱ABCD －EFGH 为直棱柱，则AE ⊥平面ABCD ，所以向量AB AD ⨯与AE 同向. 又||AB AD ⨯＝2×2×sin60°＝，所以()||||cos0AB AD AE AB AD AE ⨯⋅=⨯⋅=，故选D.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9.若复数2(23)(1)z m m m i =+-+-是纯虚数，则实数m 的值为 －3 .【解析】由纯虚数概念有2230310m m m m ⎧+-=⇔=-⎨-≠⎩.10.设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P (2，1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝ 8 .【解析】过点A ，B ，P 分别作抛物线准线3y =-的垂线，垂足为C ，D ，Q ，据抛物线定义，得|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|PQ |＝8.11. CD 是锐角△ABC 的边AB 上的高，且22221CD CD AC BC +=，则∠A ＋∠B ＝ 90° . 【解析】由22221CD CD AC BC+=，得22sin sin 1A B +=，即222sin 1sin cos A B B =-=. 又三角形为锐角三角形，则sin cos A B =，故A ＋B ＝90°.12.已知直线l 的参数方程为4412x ty t =-+⎧⎨=--⎩(t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+，则圆心C 到直线l【解析】直线l 的普通方程为260x y ++=，圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x .所以圆心C (1，－1)到直线l的距离d == AB C D E F GH13.已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=-=+)10(1)01(1)(),()1()(x x x f x f x f x f 且满足，则f (3)＝ －1 .【解析】由(1)()f x f x +=-，得(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以(3)(1)1f f ==-. 14.设a ＞0为常数，若对任意正实数x ，y 不等式1()()9ax y x y++≥恒成立，则a 的最小值为 4 .【解析】)21()()111a y axx y a a x y x y++=+++≥++，当y =时取等号.所以1()()ax y x y++的最小值为)21，于是)219≥，所以a ≥4，故a 的最小值为4.15.已知集合M ＝{1，2，3，4}，A M ⊆，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0. 设集合A 的累积值为n.（1）若n ＝3，则这样的集合A 共有 2 个；（2）若n 为偶数，则这样的集合A 共有 13 个. 【解析】若n ＝3，据“累积值”的定义，得A ＝{3}或A ＝{1，3}，这样的集合A 共有2个. 因为集合M 的子集共有24＝16个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上两点，O 是坐标原点，且6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .（Ⅰ）若点Q 的坐标是34(,)55，求)6cos(πα-的值；（Ⅱ）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域．【解】（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα.（2分） 所以6sin sin 6cos cos )6cos(παπαπα+=-3414525210=⨯+⨯=. （6分） （Ⅱ）()f OP OQ α=⋅(cos ,sin )(cos ,sin )66ππαα=⋅ααsin 21cos 23+=sin()3πα=+.（9分）因为[0,)απ∈，则4[,)333πππα+∈，所以sin()13πα<+≤. 故()αf 的值域是(. （12分）17.(本小题满分12分)某中学高三文科共有四个班，第二次月考后，随机在各班抽取了部分学生的数学成绩进行统计分析.已知各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，且人数最少的班被抽取了22人. 从四个班抽取出来的所有学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中共有5人的成绩在120～130分(含120分但不含130分).（Ⅰ）求各班被抽取的学生人数各为多少人？（Ⅱ）在被抽取的所有学生中任选一人，求该生的数学成绩不小于90分的概率.【解】（Ⅰ）由频率分布直方图知，成绩在120～130分的频率是0.005×10＝0.05. （2分） 又成绩在该分数段的人数为5，所以抽取的学生 总人数为51000.05=人. （4分） 因为各班被抽取的学生人数成等差数列， 且首项为22，设其公差为d ，则 4226d ⨯+＝100，所以2=d .故各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. （8分） （Ⅱ）由直方图知，分数不小于90分的频率为(0.035＋0.025＋0.01＋0.005)×10＝0.75.故在被抽取的所有学生中任选一人，该生的数学成绩不小于90分的概率是0.75. （12分）18.(本小题满分12分)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A —BC —D 的余弦值.【解】（Ⅰ）因为△ABC 是等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，所以AD ⊥CD. （2分） 又∠BDC ＝90°，所以BD ⊥CD. 因为AD 与BD 交于点D ，所以CD ⊥面ABD. （5分） (Ⅱ) 如图，取BC 的中点E ，连DE 、AE 因为AB ＝AC ，则AE ⊥BC. 因为BD ＝CD ，则DE ⊥BC.所以∠AED 为二面角A —BC —D 的平面角. （7分） 因为AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥面BCD.设AD ＝1，则BD ＝DC ＝1，AB ＝AC ＝BC 从而△ABC 是正三角形，所以AE 6602=. （10分）在Rt △ADE 中，sin ∠AED ＝AD AE =3. （11分） 所以cos ∠AED ＝3，故二面角A —BC —D 的余弦值为3. （12分）19.(本小题满分13分)A B C D A B C D A B CD E 频率/组距 分数90 100 110 120 13080 70 0 0.010.005 0.015 0.030 0.020.0200.03某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%.估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%. （Ⅰ）设第n 年(2010年为第一年)的投入资金为n a 万元，投资回报收入为n b 万元，求n a 和n b 的表达式；（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？ 【解】（Ⅰ）据题意，每年投入的资金依次成首项为800万元，公比为45的等比数列，每年的投资回报收入依次成首项为400万元，公比为54的等比数列. （2分） 所以14800()5n n a -=⋅，15400()4n n b -=⋅. （4分）（Ⅱ）设经过n 年的总投入为S n 万元，总收入为T n 万元，则4800[1()]454000[1()]4515n n n S -==--，5400[1()]541600[()1]5414n n n T -==--. （6分） 由0n n T S ->，得51600(()1)4n -44000(1())5n --0>，即455()2()7054n n ⋅+⋅->. （7分） 设4()5n x =，代入上式整理得，25720x x -+>，解得25x <或1x >（舍去）. （9分）当4n =时，4()5n 256625=25>；当5n =时，4()5n ＝1024231255<. （11分）因为4()5n y =是减函数，所以当5n ≥时，有42()55n <成立，从而0n n T S ->成立. （12分）答：从2014年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入. （13分）20.(本小题满分13分)设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点A 、B 分别为双曲线C 实轴的左端点和虚轴的上端点，点1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点M 、N 是双曲线C 的右支上不同两点，点Q 为线段MN 的中点．已知在双曲线C 上存在一点P ，使得2(33)PA PB PF OP ++=-． （Ⅰ）求双曲线C 的离心率；（Ⅱ）设a 为正常数，若点Q 在直线2y x =上，求直线MN 在y 轴上的截距的取值范围. 【解】（Ⅰ）由题设，点(,0)A a -，(0,)B b ，1(,0)F c-，2(,0)F c ，其中c =（1分）因为2(33)PA PB PF OP ++=-，则23OA OB OF OP ++=. 设点P 00(,)x y ，则00(,),)a c bx y -+=，所以0)x c a =-，0y =. （3分） 因为点P 在双曲线22221x y a b -=上，所以2222()133c a b a b--=，即22()4c a a -=. （4分） 因为c a >，所以2c a a -=，即3c a =，故离心率3ce a==． （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知3c a =，则22228b c a a =-=. （7分）若MN x ⊥轴，则Q 在x 轴上，不合题意.设直线MN 的方程为y kx m =+，代入222218x y a a-=，得2228()8x kx m a -+=，即2222(8)280k x kmx m a ----=. （*） （9分）若28k =，则MN 与双曲线C 的渐近线平行，不合题意. 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)Q x y ，则12228km x x k +=-，120228x x km x k +==-，00288my kx m k =+=-. （10分） 若点Q 在直线2y x =上，则228288m kmk k=--. 因为点M 、N 在双曲线的右支上，所以m ≠0，从而k ＝4. （11分） 此时，方程(*)可化为2228880x mx m a +++=.由2222848(8)0m m a ∆=-⨯+>，得228m a >. （12分）又M 、N 在双曲线C 的右支上，则120x x m +=->，所以m <-.故直线MN 在y 轴上的截距的取值范围是(,)-∞-． （13分）21.(本小题满分13分)已知函数3211()32f x ax bx cx =++. （Ⅰ）若函数f (x )有三个零点123,,x x x ，且12392x x x ++=，236x x =5(1)6f -=，求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）若1(1)2f a '=-，322a c b >>，求证：导函数()f x '在区间(0，2)内至少有一个零点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数()f x 'ba的取值范围.【解析】（I ）因为211()()32f x x ax bx c =++，又123239,62x x x x x ++==，则 1232390,,62x x x x x =+==. （1分） 因为x 2，x 3是方程211032ax bx c ++=的两根，则3922b a -=，36c a=.即3,2b a c a =-=. （2分） 又5(1)6f =，即115326a b c ++=，所以1352326a a a -+=，即1a =，从而3,2b c =-=.所以3213()232f x x x x =-+. （3分）因为2()32f x x x '=-+，由2320x x -+<，得12x <<. 故()f x 的单调递减区间是(1,2)，单调递增区间是(,1),(2)-∞+∞. （4分）（Ⅱ）因为2()f x ax bx c '=++，1(1)2f a '=-，所以12a b c a ++=-，即3220a b c ++=.因为322a c b >>，所以30,20a b ><，即0,0a b ><. （5分）于是(1)02af '=-<，(0)f c '=，(2)424(32)f a b c a a c c a c '=++=-++=-. （6分） （1）当0c >时，因为(0)0,(1)02af c f ''=>=-<，则()f x '在区间(0,1)内至少有一个零点. （7分） （2）当0c ≤时，因为(1)0,(2)02af f a c ''=-<=->，则()f x '在区间（1，2）内至少有一零点.故导函数()f x '在区间(0，2)内至少有一个零点. （8分） （Ⅲ）设m ，n 是导函数2()f x ax bx c '=++的两个零点，则b m n a +=-，32c bmn a a==--.所以||m n -==. （10分）≥2(2)23b a ++≥，即2(2)1b a +≥.所以2121b a +≥+≤-b 或a ，即1b a ≥-或3b a≤-. （11分）又232c a b =--，322a c b >>，所以3322a a b b >-->，即334a b a -<<-.因为0a >，所以334b a -<<-. （12分）综上分析，b a 的取值范围是3[1,)4--. （13分）。
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A 1B 1C 1M 湖南省师大附中2010届高三第二次月考数学文试题本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数22(1)iz i +=+，则复数z 的虚部是 （ B ） A.21 B.－1C.i -D. 1【解】因为22(1)i z i +=+=i ii i i ii -=⋅+=+212)2(22，所以复数z 的虚部是－1，故选B.2.在等比数列{a n }中，已知a 3＝21，a 9＝8，则a 5²a 6²a 7的值为 （ A ）A ．±8B ．－8C ． 8D ．64【解】因为{a n }为等比数列，则a 62＝a 5²a 7＝a 3²a 9＝4，所以a 6=±2，a 5²a 6²a 7＝±8，故选A.3.“函数()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ D ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【解】1()f x x=为奇函数，但(0)f 不存在；对函数2()f x x =，有(0)0f =，但()f x 为偶函数，故选D.4.某单因素单峰试验的因素范围是[10，110]，用黄金分割法来确定试点，则第一个试点的值是 （ C ） A. 16.18 B. 55.62 C. 71.8 D. 61.8 【解】据黄金分割法原理，8.71)10110(618.0101=-⨯+=x ，故选C.5.函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是 （ D ） A.5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈ B. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈C.3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ D.3[,)88k k k Z ππππ-+∈ 【解】22sin 22cos 1cos sin sin)cos (sin sin )(2x xx x x x x x x f --=⋅-=-=42sin(2221π+-=x .由πππππk x k 224222+≤+≤+-，得)(883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，故选D.6.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上一动点，已知△BCM面积的最大值是M ―BC ―A的最大值是3π，则该三棱柱的体积等于 （ A ）A.B.D. 【解】当点M 与点A 1重合时，△BCM 的面积为最大值，此时二面角M ―BC ―A 也为最大.由已知可得，ABC S ∆=33cos =π，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为3，从而正三棱柱的高AA 1＝33tan3=π.所以正三棱柱的体积V =，故选A.7.已知曲线C的参数方程是5cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数)，则曲线C 上的点P 到定点M(－2，0)的最大距离是 （ C ） A.9 B. 8 C. 7 D. 6 【解】解法一：因为28cos 20cos )sin 62()2cos 5(||222++=++=ϕϕϕϕPM72)10(cos 2-+=ϕ，所以当1cos =ϕ时，7||max =PM ，故选C.解法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程，得2212524xy+=，它表示焦点在x 轴上的椭圆.由椭圆的几何性质可知，当点P 位于椭圆的右顶点时，|PM|为最大，且最大值为5＋2＝7，故选C.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有()(2)f x f x =-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b，c 三者的大小关系是 （ B ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b c a <<【解】由()(2)f x f x =-可得，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(1)f f =-． 又当(),1x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<，即'()0f x >，则()f x 在(),1-∞上单调递增． 所以1(1)(0)()2f f f -<<．即c a b <<，故选B.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9.设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，a }，B ＝{3，4}，若(){3}UA B =I ð，则a 的值为 4 . 【解】显然0,3a a 构，检验知，只有当a ＝4时才符合条件. 10.博才实验中学共有学生1600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是 760 人． 【解】设该校女生人数为，则男生人数为(1600)x -． 由已知，200200(1600)1016001600x x ⨯--⋅=，解得760x =．故该校的女生人数是760人．11.不等式43220x x -⋅+<的解集是{01}x x <<.【解】由243220(2)3220x x x x -⋅+<⇒-⋅+<(21)(22)0x x ⇒--<122x ⇒<<. 所以01x <<，故不等式的解集是{01}x x <<.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a ＋b |a －b |，则向量a 与b 的夹角是 60° . 【解】由已知，(a ＋b )2＝3(a －b )2，即a 2＋2a ²b ＋b 2＝3(a 2－2a ²b ＋b 2). 因为|a |＝|b |＝1，则a 2＝b 2＝1，所以2＋2a ²b ＝3(2－2a ²b )，即a ²b ＝12.设向量a 与b 的夹角为θ，则|a |²|b |cos θ＝12，即cos θ＝12，故θ＝60°.13. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性作回归分析，分别求得相关系数r 与残差平方和µ2σ如下表： 甲 乙 丙 丁 r0.82 0.78 0.69 0.85 µ2σ106115124103则这四位同学中，其中 丁 同学的分析结果体现出A ，B 两变量具有更强的线性相关性．【解】因为µ2σ越小表明回归方程预报精度越高，|r|越大表明线性相关性越强．由表可知，应填丁同学．14.已知圆C 经过点A(2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y ＝1相切，则圆C 的标准方程是2)2()1(22=++-y x .【解】因为圆心C 在直线2x ＋y ＝0上，可设圆心为C （a ，－2a ）.则点C 到直线x ＋y ＝1的距离d ==.据题意，d A C ==得1a =.所以圆心为C （1，－2），半径r d ==，故所求圆的方程是2)2()1(22=++-y x ．15.某计算装置有一个数据入口A 和一个运算出口B ，从入口A 输入一个正整数n 时，计算机通过循环运算，在出口B 输出一个运算结果，记为f (n).计算机的工作原理如下：31)1(=f 为默认值，f (n ＋1)的值通过执行循环体“f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-”后计算得出.则f (2)＝115；当从入口A 输入的正整数n ＝__12__时，从出口B 输出的运算结果是5751.【解】由题设，f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-，所以f (2)＝1513151)1(3212=⨯=⋅+-f .设从A 口输入的最后一个正整数为n ，因为3212)()1(+-=+n n n f n f ，则()(1)(2)232527311()(1)(1)(2)(1)212123753f n f n f n n n f n f f n f n f n n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--L L 211(2n 1)(2n 1)41n ==+--.令4n 2－1＝575，则n 2＝144，即n ＝12.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知552)2sin(=+A π.(Ⅰ) 求A 2tan 的值； (Ⅱ) 若10,10103cos ==c B ，求ABC ∆的面积.【解】（Ⅰ）因为sin （A A cos )2=+π，由已知，552cos =A . （2分）因为角A 是△ABC 内角，且cosA ＞0，则角A 是锐角. 所以21tan ,55cos 1sin 2==-=A A A . （4分） 故54tan1tan 22tan 2=-=AA A . （6分）(Ⅱ)因为10103cos =B ，B 为三角形的内角，所以sin 10B =. （7分）于是221015210351cosAsinB sinAcosB )B A (sin sinC =+=+=+=. （9分）因为c ＝10，由正弦定理，得sin sin c A a C⋅==（11分）故11sin10102210ABCS ac B∆==⨯⨯=. （12分）17.(本小题满分12分)某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位：kw/h)，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1︰2︰3，试估计：（Ⅰ）该乡镇月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是多少？（Ⅱ）该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？（精确到0.01）【解】（Ⅰ）设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P，2P，3P.由直方图可知，最后两个小矩形的面积之和为(0.0875＋0.0375)³2＝0.25. （2分）因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P＋2P＋3P＝0.75，即P＝0.125. （4分）所以3P＋0.0875³2＝0.55.由此估计，该乡镇居民月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是55%. （6分）（Ⅱ）显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5－P－2P＝0.5－0.375＝0.125，（8分）设样本数据的中位数为39.5＋x.因为正中间一个矩形的面积为3P＝0.375，所以x︰2=0.125︰0.375，即x＝23≈0.67.（10分）从而39.5＋x≈40.17，由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17(kw/h).（12分）月均用电量18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点.（Ⅰ）证明：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求直线DE与平面BB1C1C所成的角.【解】（Ⅰ）取AC的中点F，连结DF，BF.则FD∥CC1，且112F D C C=. （2分）因为BB1∥CC1，E是BB1的中点,所以BE∥CC1，且112B EC C=. （4分）于是FD∥BE，且FD＝BE，所以四边形BEDF是平行四边形，从而DE∥FB. （5分）又FB ABC⊂面，故DE∥平面ABC. （6分）（Ⅱ）连结BC1，取BC1的中点M，连结DM，EM.因为D为AC1的中点，所以DM∥AB.（7分）由AB＝1，AC＝2，BC AB⊥BC.又AB⊥BB1，所以AB⊥面BB1C1C. （9分）从而DM⊥面B1C1CB，故∠DEM为直线DE与平面BB1C1C所成的角. （10分）在Rt△DME中，1122D M A B==，EM＝112B C=12，所以D Mtan D EM=EM3∠=.故∠DEM＝30º，即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30º. （12分）19.(本小题满分13分)某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为2x x+万元.设余下工程的总费用为万元.（Ⅰ）试将表示成关于的函数；（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少万元？【解】（I）设需要修建k个增压站，则(1)240k x+=，即2401kx=-. （2分）AC1A1B1EC BDAC1A1B1EC BDFM所以2224024096000400(1)()400(1)()240160y k k x x x x x x xx=+++=⨯-++=+-.（5分）因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤240. （6分）故y 与x 的函数关系是96000240160(0240)y x x x=+-<≤. （7分）（II ）96000240160160248001609440y x x=+-≥=⨯-=. （10分） 当且仅当96000240x x= 即 20x =时取等号.此时，240240111120k x =-=-=. （12分）故需要修建11个增压站才能使最小，其最小值为9440万元. （13分）20.(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．（Ⅰ）若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由． 【解】(Ⅰ) 设抛物线方程为22(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(,0)2p . （2分） 由已知，22p =，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =． （4分）(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . （5分）因为圆M 过点P(2，0)，则可设圆M 的方程为2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. （6分）令0x =，得22440y by a -+-=. （7分）则122y y b +=，1244y y a ⋅=-. （8分）所以||AB ===（9分）设抛物线C 的方程为2(0)y m x m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则2b ma =. （10分）所以||AB ==（11分）由此可得，当4m =时，||4AB =为定值． （12分）故存在一条抛物线24y x =，使|AB|为定值4. （13分）21.(本小题满分13分)设数列{}n a 的各项都为正数，其前项和为n S ，已知对任意*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（Ⅰ）证明数列{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明211121<+++nS S S ；（Ⅲ）设集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k ，若存在∈M ，使对满足m n >的一切正整数，不等式210052n n a S >-恒成立，求这样的正整数共有多少个？【解】（Ⅰ）由已知，n n n a a S +=22，且0n a >. （1分）当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a . （2分）当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S .于是1212122----+-=-n n n n n n a a a a S S ，即12122---+-=n n n n n a a a a a . 于是1212--+=-n n n n a a a a ，即111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a .因为01>+-n n a a ，所以)2(11≥=--n a a n n . （4分） 故数列{}n a 是首项为，公差为的等差数列，且n a n =. （5分） （Ⅱ）因为n a n =，则)111(2)1(2+-=+=n nn n S n . （7分） 所以=+++nS S S 111212(2)111(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n . （9分）（Ⅲ）由210052n n a S >-，得210052)1(2nn n >-+，即10052>n ，所以2010>n . （10分）由题设，2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，因为∈M ， 所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为的等差数列. （12分）设这个等差数列共有k 项，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．故集合M 中满足条件的正整数共有495个. （13分）。