数学建模综合实验

于是我们得到递推关系式：

x1(k )

4x2(k 1)

3x3(k 1)
x2(k ) x3(k )

1
2 1
4
x1(k 1) x2(k 1)
(k 1,2,3)
即：
x(k) Lx(k1) (k 1,2,3)
其中
L


0 1
2
0
4 0 1 4
四、问题分析与模型建立
1、求最佳订货量及订货次数
由于日需求量R 为已知常数，则可假定为确定性不允许缺货模型，货
物订购量：
Q RT
（1）
均匀下降，当降到零时订货即可到达，目标函数为每天的平均费用。
记任意时刻t 的库存量为q ，则q 的变化规律如图所示：
q Q
O
T
2T
由于0 t T 间无订货，对于足够小的t 有： q(t t) q(t) Rt,0 t T
三、符号假设
C1-----订购费（元/次）；
C2 -----储存费（元/件.天）；
C3-----缺货费（元/次.件）； U -----单价（元/件）； D -----年需求量； R-----日平均需求量； T-----订货周期；
Q-----订购量；N-----订货次数；S-----订货点；L-----平均送货期； B-----保险储备量
0.10x1 0.05x2 0.02x3 0.20x4 0.05x5 3 0.05x1 0.10x2 0.02x3 0.20x4 0.08x5 10
混合饲料成本的目标函数为：
f 0.2x1 0.7x2 0.4x3 0.3x4 0.5x5 决策变量x j 非负
使
min N C3E(Y ) C2(S LR)
再由B S LR 确定B
六、结果分析
由结果看出： （1）不采用储存策略，缺货费用较多； （2）保存较多的库存量，储备费用较多； （3）建立合理的保险储备量，则企业的年度平均费用最少。 这无疑给企业的领导者提供了科学可行的决策依据。
生物种群数量问题
一、问题
种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群 的数量，最重要的是当前种群的数量，今后一段时间内种群的增长状况和 环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空 间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少。而且在有限 的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能是达到某一固定的数
即q(t) R ，又q(0) Q，故q(t) Q Rt，即
q(t) RT Rt
由（1）式得一周期内的储存量为：
0T
q (t )dt

1RT 2
2
于是每天的储存费为
C2 1
2RT 2 T

1 2
C2
RT
每天的订货费为
C1 URT C1 RU
T
T
每天的平均费用
C(T )
以s r 。则r(x) r r x代入（1）得：
xm
xm
x(t t) x(t) (r rx )x(t)t xm
由此得到任意时刻t 种群数量所满足的数学模型为：
dx

dt

r (1
x xm
)x
x(0) x0
2、由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群的增长状况，则令
二、实验目的： 巩固线性代数的有关知识，培养学生用矩阵知识解决实际问 题的能力。
三、问题分析与模型建立
因年龄组为 5 岁一段，故将时间周期也取为 5。15 年后就
经过了 3 个周期。设xi(k) 表示第k 个时间周期i第 组年龄阶 段的动物数量（k 1,2,3;i 1,2,3）
因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上
间段来研究其增长状况，请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模
型；
3、设t

n（n 为整数）， xn

(r
r 1) xm
x(t), r

3, 先对上述离散模型进行
变形，然后在x0 分别取 0.1,0.1000001,0.10000001 时利用计算机进行迭代 60 次。
要求在计算机上输出结果和作图，并观察结果和得出结论。
试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量。
二、实验目的： 学会应用线性代数中线性方程组的有关知识建立交通流量问 题的数学模型，并百度文库数学软件求其问题的全部解。
三、建模及使用MATLAB软件求解
动物繁殖问题
一、问题
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成 三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组， 11~15岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计， 第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组 的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄 组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。 假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个 年龄段的动物各有多少头？
0.20
A5
1.80
0.05
0.08
二、问题分析与模型建立
设 x j ( j 1,2,3,4,5) 表示混合饲料中所含的第j 种饲料的数量。由于提
供的蛋白质总数必须满足每天的最低需求量 70g，故应有：
0.30x1 2.00x2 1.00x3 0.60x4 1.80x5 70
同理，考虑矿物质和维生素的需要，有：
四、问题分析与模型建立
1、由于r( x)为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以 t 到t t 时间内种群数量的增量为：
x(t t) x(t) r(x)x(t)t （1）
又由于r(x) r sx ，而当x xm 时增长率为零，即r(xm ) 0，所
0.05x5 0.08x5
3 10
x j 0, j 1,2,3,4,5
三、MATLAB软件实现
四、实验作业 某工厂生产四种不同型号的产品，而每件产品的生产要经过三 个车间的加工，根据该厂现有设备和劳动力等生产条件，可以 确定各车间每日的生产能力（我们把它们折合成有效工时数来 表示）。各车间每日可利用的有效工时数、每个产品在各车间 加工时所花费的工时数以及每件产品可获得的利润见下表。问 每种产品每季度各应该生产多少，才能使这个工厂每季度生产 总值最大？
令
Yi

X 0,
i

S,
Xi S Xi S
则送货期内需求量增加引起的平均缺货量为
（3）
11
E(Y ) YiPi
（4）
i1
因此得年度缺货费为N C3E(Y ) ，保险储备费为C2B 。与保险储备费有
关的总费用
T N C3E(Y ) C2 (S LR) （5）
欲求 T 最小，即由 min N C3E(Y ) C2 (S LB) 确定S, B。
里种群数量如何呢？
二、实验目的 1、进一步理解极限的概念，了解常微分方程理论的应用； 2、通过一个简单的差分方程的迭代结果了解混沌现象。
三、实验内容及要求
1、设 x(t)是连续、可微函数，请给出未来时间里种群的数量满足的数学模型；
2、由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖,所以可用种群繁殖周期作为时
3

0
,
x(0)

1000 1000
0
1000
四、模型求解(MATLAB)
五、结果分析
15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0~5岁的 有14375头，占86.47%；6~10岁的有1375头，占8.27%； 11~15岁的有875头，占5.226%。15年间动物总增长为13625头， 总增长率为454.16%。
一时间周期上一年龄组存活的动物的数量，所以有：
x2(k )

1 2
x1(k 1), x3(k)

1 4
x2(k 1)
(k
1,2,3)
有因为某一时间周期第一年龄组动物的数量是由上一时间
周期各年龄组出生的动物的数量，所以有：
x1(k) 4x2(k 1) 3x3(k 1) (k 1,2,3)
t 1，t 视为整数及r(x) r r x代入（1）得： xm
x(t 1) x(t) (r rx )x(t) xm
所以任意时刻t 种群数量所满足的离散数学模型为：
x(t 1) (r 1 rx )x(t)

xm
x(0) x0
食谱问题
一、问题 某公司饲养实验用的动物以供出售。已知这些动物的生长对饲 料中的三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每 个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生素100mg，该 公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg的成本如表1所示， 每种饲料1kg所含营养成分如表2所示，。 求既能满足动物生长需要又使总成本最低的饲料配方。
五、问题求解
定义：C1=25 元/次；C2 2 元/年=2/365 元/天；C3 4 元/件.次
U=10 元/件；D=3650 件/年；R=10 件/天；L=10 天。
dC
利用微分法求极值，令

0得
T
2C1 再有（1）式得
dT
RC2
Q
2C1R , C2
N

D Q
，再用枚举法求S
车间
每件产品所需的加工工时
1#
2#
3#
4#
有效工时 （h/d）
I
0.8 0.8 1.1 1.2
160
II
0.6 0.8 0.7 0.8
120
III
0.4 0.5 0.7 0.7
100
利润（元/件）
6
8
9 10
保险储备策略问题
一、问题
某企业每年耗用某种材料 3650 件，每日平均耗用 10 件，材料单价 10 元，一次订购费 25 元，每件年储存费 2 元，每件缺货一次 4 元，平均 交货期 10 天，交货期内不同耗用量 x 的概率分布如下： Xi 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 Pi 0.01 0.02 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.04 0.02 0.01 求使平均费用达到最小的订货量、订购次数及含有保险存量的最佳存 货点。

C1 T

RU

1 2
C2
RT
欲求最佳订货量Q 及订货次数，归结为求订货周期T 使C(T ) 最小。
2、求最佳订货点和保险储备量
考虑送货期需求量的随机性，订货点S 除满足送货期L 的平均需求外，还需
维持保险储备量 B，则 S=LR+B
（2）
当库存量降到 S 时应订货，订货期内发生缺货则采取缺货不供应处理方式，
由于希望调配出来的混合饲料成本最低，所以该饲料配比问题 是一个线性规划模型：
min f 0.2x1 0.7x2 0.4x3 0.3x4 0.5x5
0.3x1 2.00x2 1.00x3 0.60x4 1.80x5 70
s.t.
0.10x1 0.05x2 1.00x3 0.02x4 0.05x1 0.10x2 0.02x3 0.20x4
交通流量问题
一、问题
如图给出了某城市单行街道的交通流量（每小时过车数）
x3
100
x6
300
x4
400
200
0
x2
x5 x1
300
x7 600
x8
0
500
200
400
300 x9
x10
500
0
600
700
假设：1、全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量； 2、全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的 流量。
量值记为 xm ，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量 与当时种群数量x 的比记为：r(x) r sx, r, s 0 ，其r中 相当于 x 0时的增长率，称为固有增长率。记当前（即t 0 时）种群数量为x0 ， 时刻t 种群数量为 x(t)。若利用统计数据可知xm , r, x0 ，那么未来时间
二、实验内容与要求
1、求最佳订货量及订货次数 不考虑缺货，看作确定性不允许缺货模型。日需求量为已知常 数，周期初始储存为订货量，当储存量耗尽时，所订货物即可 到达，建立目标函数使单位时间的平均费用最小。
2、求最佳订货点和保险储备量 考虑订货期内需求增加引起缺货，建立保险储备。订货期内缺 货，采取缺货不处理方式，寻求目标函数使年度总费用最小。
表1 五种饲料单位质量（1kg）成本
饲料 A1 A2
A3
A4
A5
成本（元）0.2 0.7
0.4
0.3
0.5
表2 五种饲料单位质量（1kg）所含营养成分
饲 料 蛋白质(g) 矿物质(g) 维生素(g)
A1
0.30
0.10
0.05
A2
2.00
0.05
0.10
A3
1.00
0.02
0.02
A4
0.60
0.20