专题03 三次函数型-2021年高考数学复习压轴题解法分析与强化训练附真题及解析
2023年高考数学填选压轴题专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性
专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称. 3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D.24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()2211235(1)2k f f f f f f k =⎡⎤++++++⎣⎦=∑()()()4622f f f ⎡⎤+++⎣⎦13101024=----=-.故选：D例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=， 令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =， 令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-， 所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--， 故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. ()10f -=C. ()20f =D.()40f =【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 94-B. 32-C.74 D.52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．例5 已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4【分析】由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12＝＝，由函数 f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心＝＝，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )＝＝＝＝2，＝＝＝＝f (x )＝＝＝即可.【解析】＝＝＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝＝＝＝f (＝x ＝1)＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝ f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝＝＝f (1＝x )＝f (x )＝＝＝f (x ＝1)＝＝f (x )＝＝f (x ＝2)＝＝f (x ＝1)＝f (x )＝ ＝＝ ＝＝f (x )＝＝＝＝2＝＝＝＝＝＝＝＝x ＝12＝＝＝＝＝＝＝f (x )＝＝＝＝＝＝＝＝由图象可得 f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例6 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f （2）的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数， 当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数； 据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=，f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确； 对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D正确； 故选：ABD ． 例7 已知函数()111123f x x x x =++---，()2g x x =-，则关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和为______；定义区间(),a b ，[),a b ，(],a b ，[],a b 长度均为b a -，则()1111123f x x x x =++≥---解集全部区间长度之和为______． 【答案】①8 ②3【分析】根据题意得以函数()f x 关于点()2,0对称，进而利用导数研究函数()f x 性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和；令()1111123f x x x x =++=---整理得方程的实数根123,,x x x 满足1239x x x ++=，再数形结合得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x ，最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为()()1114321f x f x x x x-=++=----， 所以函数()f x 关于点()2,0对称， 由于()()()()222111'0123f x x x x =---<---，所以函数()f x 在()()()(),1,1,2,2,3,3,-∞+∞上单调递减，由于1x <时，()0f x <，(),0x f x →-∞→，()1,x f x -→→-∞，()1,x f x +→→+∞，()2,x f x -→→-∞，()2,x f x +→→+∞，()3,x f x -→→-∞，()3,x f x +→→+∞，(),0x f x →+∞→，且3x >时，()0f x >.故作出函数简图如图： 根据图像可知，函数()111123f x x x x =++---与函数()2g x x =-图像共有4个交点，且关于点()2,0对称，所以()()f x g x =的实数根之和为8；令()1111123f x x x x =++=---，整理得32923170x x x -+-=， 由图像知方程有三个实数解，不妨设为123,,x x x ， 所以由三次方程的韦达定理得1239x x x ++=， 由函数图像得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x所以全部区间长度之和为12312312363x x x x x x -+-+-=++-=. 故答案为：8；3.【巩固训练】1．已知函数()1()2x af x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1 C．2) D．2)4. 已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的周期为4B.函数f (x )图象关于直线x ＝2对称C.当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D.当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－125.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则6．(多选题)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________.8. (多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2) 9. (2022·江苏常州·模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )等于( ) A.0B.mC.2mD.4m)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=10.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5011.已知函数y kx b =+与函数11x x y e e --=-的图象交于A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝2211e e+-，则实数k ＝ ．【答案与提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8【解析】()lg 4x g x x =-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3. 【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(25)f f ∴==+ .4. 【答案】ABC【解析】 由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，所以函数f (x )的周期为4，A 正确.由f (1＋x )＝f (3－x )，得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确.当0≤x ≤2时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，2上单调递增.所以当x ＝12时，函数f (x )在[0，2]上取得极小值－14，且f (0)＝0，f (2)＝2.作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14，D 错误.故选ABC.5. 【答案】－8【提示】四个根分别关于直线2x =，6x =-对称.【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．6．【答案】ABC【解析】法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 yx f(x)=m (m>0)所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.8. 【答案】ABC【解析】根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，则2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C 正确；因为f (x )＝f (－x )，x ∈[－2，－1]时，－x ∈[1，2]，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋1，x ∈[－2，－1]，因为f (x )的周期为4，f (x )＝f (x －4)，x ∈[2，3]时，x －4∈[－2，－1]，所以f (x )＝f (x －4)＝ln(4－x )＋1，x ∈[2，3]，D 错误.综上，正确的是ABC.9.【答案】 B【解析】 ∵f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x. ∴函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0，1)对称， ∴∑m i ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m 2×2＝m . 10.【答案】C【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.11.【答案】1e e- 【解析】设()x x f x e e -=-，则()f x 为定义在R 上的单增的奇函数而11(1)x x y e e f x --=-=-，故其图象关于点（1,0）中心对称又因为|AB |＝|BC |，所以B 的坐标为（1,0）为使运算更简单，问题可转化为过坐标原点的直线y kx =与()x x f x e e -=-交于一点D ，且k 的值 不妨设()000,x x D x e e --（00x >），== 解之得01x =，()11,D e e --，所以1k e e -=-.。
三次函数专题.doc
三次函数专题一全解全析一、定义：定义1、形如y = a^^bx2^cx^d（a^0）的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数/ = 3a? + 2Z＞x+c（a^0）,把△ = 42?-12ac叫做三次函数导函数的判別式由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性般地，当沪-纭SO时,三次函数y = ax3 ^bx2 ^cx^d（a^0）在R上是单调函数；当沪一如＞0时，三次函数尹=ax3 +cx + N（a工0）在R上有三个单调区间（根据。
＞ 0，。
＜ 0两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数/（x） = ax3# 0）是关于点对称，且对称屮心为点（-$,»/（-纟■）），3a 3a此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数/（X）= +0戏+cx + d（aM0）的对称中心为（ni, n）。
按向量了・（-加，-刃）将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以/（x+w） +/（-x +w）- 2n = 0化简得：+ +cm十d -n = 0_ b上式对x € A ffi成立，故3wa + b = 0,得w=,3aam+cM+d = /（一一）。
3a所以，函数y = ax3 +Z＞x2 +cx+rf（a^O）的对称中心是（一£，，（-冷）。
可见，y=f（x）图象的对称中心在导函数y =广（力的对称轴上，且又是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当厶=4b2-12ac＜0时，由于不等式/^）＞0恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当厶=4沪-12ac ＞0时，由于方程/W=0有两个不同的实根心,乃，不妨设心＜乃，可知，（兀/（心））为函数的极大值点，（乃,/（乃））为极小值点，且函数y = /（z）在（一8/J和（X2，-KO）上单调递增，在［x p X2］上单调递减。
【2021新高考-填空题压轴题】专题3三角函数(原卷版)-备战2021高考之数学压轴题含解析
14．（2021·甘肃高三一模（文））函数 f (x) = cos 2x − 3 sin 2x ， x R ，有下列命题：
①
y
=
f
(x) 的表达式可改写为 y
=
2
cos
2x
+
3
；
②直线 x = 是函数 f (x) 图象的一条对称轴； 12
③函数 f (x) 的图象可以由函数 y = 2sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得到； 6
4．（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知在锐角三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 sin2 A − sin B sin C = 0 ，则 sin B − sin C 的取值范围为_________
2sin A
( ) 5．（2021·河南信阳期末（理））在 ABC 中， AB = 3 cos x, cos x , AC = (cos x,sin x) ，则 ABC 面
④满足 f (x)
3的
x
的取值范围是
x
− 12
+
k
x
3 4
+ k , k Z ．
其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）
15．（2021·内蒙古呼和浩特一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线 称为圆锥曲线．某同学用过母线 PB 的中点且与底面圆的直径 AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一
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25．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知函数
以三次函数为背景下的高考文科数学压轴题的解法探究
以三次函数为背景下的高考文科数学压轴题的解法探究高中数学教师欧阳文丰近年来不少高考文科数学压轴题都是以三次函数为载体来考察导数知识的应用。
从这些试题来看， 考查的切入点大多是以导数的几何意义、最值、单调性，通过不等式恒成立等问题的形式，进一步考查数形结合、分类讨论等数学思想。
三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围。
破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数根的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。
解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。
对三次函数而言，重点掌握三次函数的4种图象。
1、函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠单调性、极值点个数情况。
'()f x =232ax bx c ++，记∆=224124(3)b ac b ac -=-，（其中x 1,x 2是方程'()f x =0的根，且x 1<x 2）2 函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；。
下面以近年高考文科数学压轴题几个试题为例， 具体解析运用导数工具来研究函数的高考数学命题意图。
例题1（2011全国卷1高考文数21）已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈(Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围. 【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程. (II)第（II ）问是含参问题，关键是抓住方程()0f x '=的判别式进行分类讨论. 解：（I ）2()3636f x x ax a '=++-由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在x=0处的切线方程为(36)124y a x a =-+-由此知曲线()y f x =在x=0处的切线过点（2，2）（II ）由()0f x '=得22120x ax a +--=.（i ）当11a ≤≤时，()f x 没有极小值；(ii)当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-故02x x =.由题设知13a <-，当1a >时，不等式13a <-<无解；当1a <时，解不等式13a <-得512a -<<综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,1)2-例题2（2014全国卷2高考文数21）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0,2）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当k<1时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。
狂刷03 函数的概念及其表示-2021年高考数学(解析版)
专题二 函数狂刷03 函数的概念及其表示1．函数0(1)y x =+-的定义域是A ．{|31}x x -<<B ．{|32x x -<<且1}x ≠C ．{|02}x x <<D ．{|12}x x <<【答案】B【解析】由题意得：22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪-≠⎩2341x x x <⎧⎪⇒-<<⎨⎪≠⎩32x ⇒-<<且1x ≠，∴函数的定义域为：{32x x -<<且}1x ≠.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，属于基础题.根据定义域的基本要求得到不等式组，解不等式组求得结果.2．若函数()y f x =的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，值域为{|120}y y y -≤≤≠，，则()y f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确；对于B 中，函数的定义域和值域都满足条件，所以是正确的；对于C 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确； 对于D 中，当5x =时，函数有意义，不满足函数的定义域为{|385}x x x -≤≤≠，，所以不正确. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，其中解答中熟记函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，逐项进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．下列函数中，值域为[)0,+∞的是 A ．2xy = B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x =【答案】B【解析】A 选项：2xy =的值域为()0,+∞，不符合题意；B 选项：12y x =的值域为[)0,+∞，符合题意； C 选项：tan y x =的值域为R ，不符合题意； D 选项：cos y x =的值域为[]1,1-，不符合题意. 本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.求解时，依次判断各个函数的值域，从而得到结果.4．设函数()()2log 1,04,0xx x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()23log 3f f -+=A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解析】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ．【名师点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 5．下列函数中，不满足()()22f x f x ＝的是 A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()1f x x =+D ．()f x x =-【答案】C【解析】本题考查代入法求函数的解析式．选项C 中因为()1f x x =+，所以()221f x x =+，而()()22122f x x x =+=+．所以()()22f x f x ≠．故选C ．6．已知函数f (x )＝10xx x a x -≤⎧⎨>⎩,,，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选B ． 7．已知函数()22xaf x -=，14f=，则(f = A ．1 B ．18-C ．12D ．18【答案】D【解析】依题意321224a f --===，故32a -=-，解得5a =.故()252x f x -=，所以(2531228f --===.故选D.【名师点睛】本小题主要考查函数解析式的求法——待定系数法，考查函数求值，属于基础题.求解时，利用14f=求得a 的值，即求得函数()f x的解析式，由此来求(f 的值. 8．若函数f (x )＝()()lg 2212x x f x x -<⎧⎪⎨--≥⎪⎩,,，则f (f (8))＝A．lg 2B．0C．lg 3D．lg 4【答案】A【解析】由题意知f(8)＝f(－8)－1＝lg[2－(－8)]－1＝0，故f(f(8))＝f(0)＝lg 2．故选A．【名师点睛】本题综合考查了分段函数、对数函数及复合函数的知识，以分段函数为载体进行考查是高考命题者的惯用手段，望引起重视．对于复合函数的计算问题，一般遵循从内算到外的原则．9．已知集合M＝{x|y}，N＝{x|y＝ln x}，则M∩N＝A．{x|x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}【答案】B【解析】集合M＝{x|x≤2}，集合N＝{x|x＞0}，故M∩N＝{x|0＜x≤2}．故选B．【名师点睛】本题考查函数的定义域、交集的运算等知识．解决本题的关键是求出两个函数的定义域．10．函数f(x)={2x,x≤0x−lnx,x>0，若f(0)+f(a)=2，则a的值为__________．【答案】0或1【解析】∵f(x)={2x,x≤0x−lnx,x>0，∴f(0)=20=1，当a>0时，f(a)=a−lna；当a≤0时，f(a)=2a，∴1+2a=2或1+a−lna=2，解得a=0或a=1，故答案为0或1.【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求参数，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.11．函数2221xyx+=+的值域为_______________．【答案】(1，2]【解析】因为22221111xyx x+==+++，x2＋1≥1，所以21011x<≤+，所以211+121x<≤+，所以函数2221x y x +=+的值域为(1，2]．故填(1，2]．12．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]【答案】B【解析】由题意，函数()f x 的定义域为[1,1]-，即11x -≤≤， 令1211x -≤-≤，解得01x ≤≤，又由()f x 满足10x ->且11x -≠，解得1x <且0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(0,1)， 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解问题，其中熟记抽象函数的定义域的求解方法和对数函数的性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．13．函数()e 1e 1x x f x -=+的值域为A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()3,3-D ．()4,4-【答案】A【解析】()e 121e 1e 1x x xf x -==-++， 因为e 11x +>，所以101e 1x <<+，所以202e 1x <<+， 所以2111e 1x-<-<+， 所以()f x 的值域为()1,1-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，涉及的知识点有指数函数的值域，不等式的性质，属于简单题目.求解时，首先将函数解析式进行化简，得到()21e 1x f x =-+，之后结合指数函数的值域以及不等式的性质，得到结果.14．已知函数f (x )＝23123,25x x x x ⎧--≤≤⎨-<≤⎩,，则方程f (x )＝1的解是A或2 B或3 C或4 D ．或4【答案】C【解析】当x ∈[－1，2]时，由3－x 2＝1，解得x；当x ∈(2，5]时，由x －3＝1，解得x ＝4．所以方程f (x )＝14．故选C ．15．已知()f x 满足()12()3f x f x x+=，则()f x 等于A ．12x x-- B ．12x x-+ C ．12x x +D ．12x x-【答案】D【解析】本题主要考查求函数的解析式，根据方程求函数的解析式，把()12()3f x f x x+= ①中的x 换成1x ，得()132()f f x x x += ②，2⨯-①②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-．故选D ． 16．已知函数()223,0,0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩．若0a >，0b <，且()()f a f b =，则()f a b +的最小值为A ．3-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】设()()f a f b t ==，则2230a b t -==>，32t a +∴=，b =)2123022t a b ++∴+===>，。
高考数学专题《三次函数的对称性、穿根法作图象》填选压轴题及答案
专题09 三次函数的对称性、穿根法作图象【方法点拨】对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （其中a ≠0），给出以下常用结论：(1)当a ＞0，b 2－3ac ＞0时，三次函数的图象为N 字型；当a ＜0，b 2－3ac ＞0时，三次函数的图象为反N 字型；当a ＞0，b 2－3ac ≤0时，单调递增，当a ＜0，b 2－3ac ≤0时，单调递减．(2)三次函数有对称中心(x 0，f (x 0))，f ″(x 0)＝0.【典型题示例】例1 (2021·全国乙卷·理10)设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A. a b <B. a b >C. 2ab a <D.2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【解析】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ≠.()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：故2ab a >.由图可知b a <，0a <，()0f x >，画出()f x 的图象如当0a >时，由x b >时，下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D例2 若函数2()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,0][3,)-∞+∞【解析】 222(),()(),x x a x af x x x a x x a x a⎧-≥⎪=-=⎨--<⎪⎩.函数()f x 的一个极值点是0x =，所以以0为界与a 比较，进行分类讨论.①当0a >时，如图一，由2()320f x x ax '=-+=得，0x =或23ax =，欲使函数2()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，只需223ax =≥，即3a ≥. ②当0a ≤时，如图二，2()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，满足题意. 综上知，实数a 的取值范围是(,0][3,)-∞+∞．点评:作三次函数f (x )＝a (x －x 1) 2(x －x 2)（其中a ≠0，x 1≠x 2）示意图的方法要点有二：aOxy（图一）xyOa（图二)（1）当a ＞0时，三次函数的图象为N 字型（最右区间增）；当a ＜0时，三次函数的图象为反N 字型（最右区间减）.公众号拾穗者的杂货铺x 思维方糖研究所（2）x 1既是函数的零点，又是函数的极值点，从形上看，函数图象此时与x 轴相切（或称“奇穿偶回”，即x 1、x 2都是函数的零点，x 1是二重根，图象到此不穿过x 轴，即“回”，这种作函数图象的方法称为“穿根法”）.例3 已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ） A. a <0 B. a >0 C. b <0 D. b >0【答案】C【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，欲满足题意，从形上看则必须在x ≥0 时有两个重合的零点才可以，对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C例4 已知a 3－3a 2＋5a ＝1，b 3－3b 2＋5b ＝5，那么a ＋b 的值是 . 【答案】2【分析】本题的难点在于发现函数的对称性、变形为“结构相同”后逆用函数的单调性. 【解析】由题意知a 3－3a 2＋5a －3＝－2，b 3－3b 2＋5b －3＝2，设f (x )＝x 3－3x 2＋5x －3，则f (a )＝－2，f (b )＝2. 因为f (x )图象的对称中心为(1,0)，所以a ＋b ＝2.【巩固训练】1.函数()32351f x x x x =-+-图象的对称中心为_____.2.已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则()31iii x y =+=∑__________.3.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．32()21()f x x ax a =-+∈R (0,)+∞()f x [1,1]-4.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是 ．5.若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 6. 设a R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________． 7. 已知函数3)(2-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m ，如果函数)(x f 的值域是[]2,0，则实数m 的取值范围为________.8.已知,a R ∈函数2()f x x x a =-，则函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值是 . 9.已知函数2()12f x x x =-的定义域是[0,]m ，值域是2[0,]am ，则实数a 的取值范围是 .【答案或提示】1.【答案】()1,2【解析一】由题意设对称中心的坐标为(),a b ，则有()()2b f a x f a x =++-对任意x ∈R 均成立，代入函数解析式得，()()()()()()32322351351b a x a x a x a x a x a x =+-+++-+---+--整理得到：()()()()()()32322351351b a x a x a x a x a x a x =+-+++-+---+--，整理得到()232266261020b a x a a a =-+-+-= 对任意x ∈R 均成立，所以32660261022a a a a b -=⎧⎨-+-=⎩，所以1a =，2b =. 即对称中心()1,2．【解析二】∵f ″(x )＝6x －6 令f ″(x )＝6x －6＝0 解得x ＝1 将x ＝1代入得f (x )得f (1)＝2 ∴对称中心()1,2． 2.【答案】3【解析】由题意，函数3y x x =-是奇函数，则函数3y x x =-的图象关于原点对称， 所以函数31y x x =-+的函数图象关于点(0,1)对称，因为直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且||||AB AC =，()f x ()(2)()(0)f x ax x x a a '=+-≠()f x 2x =-a ∈所以点A 为函数的对称点，即(0,1)A ，且,B C 两点关于点(0,1)A 对称， 所以1231230,3x x x y y y ++=++=，于是()313iii x y =+=∑.3.【答案】3-【解析】因为(0)1f =,且由21()62=6()03f x x ax x x a '=--=得: 0x =或13x a =所以函数的图象是增-减-增型，且在0x =或13x a =处取得极值欲使函数在内有且只有一个零点，当且仅当32()2()()1033303aa a f a a ⎧=⋅-⋅+=⎪⎪⎨⎪>⎪⎩解之得3a =.当[]1,0x ∈-时，增；[]0,1x ∈时，减， 故max ()(0)1f x f ==，{}min ()min (1),(1)4f x f f =-=-， 所以在上的最大值与最小值的和为3-． 4.【答案】 ()(),20,-∞-⋃+∞ 5.【答案】(,2][5,)-∞+∞6.【答案】7.【答案】12m ≤≤8. 【答案】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=;37,1;372),2(4;21,0;1,1时当时当时当时当a a a a a a a m【解析】设此最小值为m.①当.)(]21[123ax x x ，f ，，a -=≤上在区间时因为:),2,1(,0)32(3223)(/∈>-=-=x a x x ax x x f ()f x (0,)+∞()f x ()f x ()f x [1,1]-23=a则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..②当1<a 0)(:0)(,0)(]21[22===≥-=≤a f m a f a x x x ，f ，，知由上在区间时.③当a>2时，在区间[1，2]上，.)(32x ax x f -=).32(332)(2/x a x x ax x f -=-=若,3≥a 在区间(1，2)内f /(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，由此得：m=f(1)=a-1.若2<a<3,则2321<<a 当；，x f x f a x 上的增函数为区间从而时]321[)(,0)(,321/><< 当.]2,32[)(232/上的减函数为区间从而时a x f ，x << 因此，当2<a<3时，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).当)2(4,1)2(4372-=-≤-≤<a m a a ，a 故时; 当.1),2(41337-=-<-<<a m a ，a a 故时 综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=;37,1;372),2(4;21,0;1,1时当时当时当时当a a a a a a a m9.【答案】1a ≥【解析一】易知：当02x ≤≤，()f x增；当2x ≤≤()f x减；当x ≥，()f x 增，且(2)(4)16f f ==.① 当02m <≤时，()f x [0,]m 增∴22(12)m m am --=，[)124,a m m=-+∈+∞； ② 当24m <≤时， 216am =，[)2161,4a m=∈； ③ 当4m ≥时，22(12)m m am -=，()121,a m m=-∈+∞； 综上，1a ≥.【解析二】仅考虑函数()f x 在0x >时的情况，可知331223()1223x x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩．，，，≥函数()f x 在2x =时，取得极大值16．令31216x x -=，解得，4x =． 作出函数的图象（如右图所示）．函数()f x 的定义域为[0,]m ，值域为2[0]am ，，分为以下情况考虑：（1）当02m <<时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m=-，因为02m <<，所以4a >；（2）当24m ≤≤时，函数的值域为[016]，，有216am =，所以216a m =，因为24m ≤≤，所以14a ≤≤；（3）当4m >时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m=-，因为4m >，所以1a >；综上所述，实数a 的取值范围是1a ≥．16O2 4xy。
2021年高考数学三轮冲刺训练导数及其应用含解析
导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数X 围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.1、基本初等函数的导数公式 (1)(x α)＝αx α－1 (α为常数)； (2)(a x )′＝a x ln_a (a >0且a ≠1)；(3)(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；(4)(e x )′＝e x ； (5)(ln x )′＝1x；(6)(sin x )′＝cos_x ； (7)(cos x )′＝－sin_x . 2、导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0). 3、复合函数的导数若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . （1）函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.（2）函数的极值判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.求可导函数的极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.（3）函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在区间(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. （4）方法技巧1、利用导数的符号来判断函数的单调性；2、已知函数的单调性求函数X围可以转化为不等式恒成立问题；3、f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．(2)指数形式：e x≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：e x>x ＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．2、一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值X围．1、分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．提示：求解参数X围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．[判断、证明或讨论函数零点个数的方法] 利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.2、数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．3、 常见的函数模型①一次函数；②二次函数；③指(对)数函数、幂函数．函数性质y ＝a x (a>1) y ＝log a x(a>1) y ＝x n (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同 值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n <a x4、 解函数应用题的步骤第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．1、函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =--B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+ 【答案】B【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B ．2、若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D ．3、已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =- 【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．4、已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值X 围为 A ．[]0,1B ．[]0,2 C ．[]0,e D ．[]1,e 【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值X 围是[0,e]. 故选C.5、已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0 【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0.故选C ．6、曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=7、在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是▲. 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于004(,)x x x +， 由20411x -=-得02x =02x =-，∴曲线4(0)y x xx=+>上，点P到直线0x y+=的距离最小，最小值为4=.故答案为4．8、设函数()e ex xf x a-=+（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值X围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用()0f x'≥可得a的取值X围.若函数()e ex xf x a-=+为奇函数，则()(),f x f x-=-即()e e e ex x x xa a--+=-+，即()()1e e0x xa-++=对任意的x恒成立，则10a+=，得1a=-.若函数()e ex xf x a-=+是R上的增函数，则() e e0x xf x a-'=-≥在R上恒成立，即2e xa≤在R上恒成立，又2e0x>，则0a≤，即实数a的取值X围是(],0-∞.9、已知函数2()e xf x ax x=+-.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值X围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=e x+x2–x，则()f x'=e x+2x–1．故当x∈（–∞，0）时，()f x'<0；当x∈（0，+∞）时，()f x'>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）31()12f x x ≥+等价于321(1)e 12x x ax x --++≤. 设函数321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥，则32213()(121)e 22x g x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2x x x a x a -=--+++1(21)(2)e 2x x x a x -=----.（i ）若2a +1≤0，即12a ≤-，则当x ∈（0，2）时，()g x '>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a +1<2，即1122a -<<，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0.所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增.由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥27e 4-. 所以当27e 142a -≤<时，g (x )≤1. （iii ）若2a +1≥2，即12a ≥，则g (x )≤31(1)e 2xx x -++.由于27e 10[,)42-∈，故由（ii ）可得31(1)e 2x x x -++≤1. 故当12a ≥时，g (x )≤1.综上，a 的取值X 围是27e [,)4-+∞. 10、已知函数2() sin sin2f x x x =．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()8f x ≤； （3）设*n ∈N ，证明：2222sin sin 2sin 4sin 234nn nx x xx ≤．【解析】（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+ 22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为33()38f π=，最小值为33()38f 2π=-．而()f x 是周期为π的周期函数，故33|()|8f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x x x =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()84n nnn x xx ≤=．11、设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求B ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【解析】（1）2()3f x x b '=+．依题意得1()02f '=，即304b +=.故34b =-．（2）由（1）知3(3)4f x x x c -=+，2()334f x x '=-. 令)0(f x '=，解得12x =-或12x =.()f x '与()f x 的情况为：x1()2-∞-，12- 11()22-， 12 1()2∞，+ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x14c +14c -因为11(1)()24f f c =-=+，所以当14c <-时，()f x 只有大于1的零点.因为11(1)()24f f c -==-，所以当14c >时，f （x ）只有小于–1的零点．由题设可知1144c -≤≤，当1=4c -时，()f x 只有两个零点12-和1. 当1=4c 时，()f x 只有两个零点–1和12.当1144c -<<时，()f x 有三个等点x 1，x 2，x 3，且11(1,)2x ∈--，211(,)22x ∈-，31(,1)2x ∈．综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1.12、已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 【解析】（Ⅰ）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x-+'=．令()0g x '=，解得1x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 13、已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 14、已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．【解析】（Ⅰ）因为(0)10f a =-<，22(2)e 2e 40f a =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点．因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以函数以()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点．（Ⅱ）（ⅰ）令21()e 1(0)2x g x x x x =---≥，()e 1()1xg'x x f x a =--=+-，由（Ⅰ）知函数()g'x 在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g'x g'>=， 所以函数()g x 在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥=．由0g ≥得00()f a f x =-≥=，因为()f x 在[0,)+∞0x ．令2()e 1(01)x h x x x x =---≤≤，()e 21xh'x x =--，令1()e 21(01)x h x x x =--≤≤，1()e 2xh'x =-，所以故当01x <<时，1()0h x <，即()0h'x <，所以()h x 在[0,1]单调递减，因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=． 由0h ≤得00()f a f x =≤=，因为()f x 在[0,)+∞0x ．0x ≤≤．（ⅱ）令()e (e 1)1x u x x =---，()e (e 1)xu'x =--，所以当1x >时，()0u'x >，故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=．由00e x x a =+可得022000000(e )()(e 1)(e 2)(e 1)x a a x f x f x a x a x ax =+=-+-≥-，由0x ≥得00(e )(e 1)(1)xx f a a ≥--．15、已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当e a =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值X 围．【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，11()e x f x a x-'=-． （1）当e a =时，()e ln 1xf x x =-+，(1)e 1f '=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． 直线(e 1)2y x =-+在x 轴，y 轴上的截距分别为2e 1--，2． 因此所求三角形的面积为2e 1-． （2）当01a <<时，(1)ln 1f a a =+<．当1a =时，1()e ln x f x x -=-，11()e x f x x-'=-． 当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．所以当1x =时，()f x 取得最小值，最小值为(1)1f =，从而()1f x ≥．当1a >时，11()e ln ln e ln 1x x f x a x a x --=-+≥-≥．综上，a 的取值X 围是[1,)+∞．16、已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.一、单选题1、已知函数()21xf x e x =--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()21x f x e x =--，该函数的定义域为R ，且()2x f x e '=-，令()0f x '<，可得ln 2x <，此时，函数()y f x =单调递减； 令()0f x '>，可得ln 2x >，此时，函数()y f x =单调递增. 所以，函数()y f x =的极小值为()ln2ln 22ln 2112ln 20f e=--=-<.因此，函数()y f x =的图象为C 选项中的图象.故选：C. 2、已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值X 围是（ ） A ．()0,2B ．()()2,00,2-C ．()0,4D ．()()4,00,4-【答案】C 【解析】2()a x a f x x x x -'=-=,由于函数()f x 在(0,2)上有极值点，所以()f x '在(0,2)上有零点.所以02a >⎧⎪<，解得(0,4)a ∈. 故选：D.3、已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．【答案】C 【解析】()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C4、若幂函数()f x的图象过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（） A ．()0,2B ．()(),02,-∞+∞C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-+∞【答案】A 【解析】设()f x x α=，代入点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则122α⎛= ⎝⎭，解得2α=， ()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==， 令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.5、设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y ＝x ，则函数()y f x =的增区间为A ．(0，1)B ．(0) C ．，+∞) D ．，1) 【答案】C【解析】2()ln f x a x bx =+的定义域为()0+∞，，()2af x bx x'=+ ∵函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，∴()()11121f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩解得：11b a =⎧⎨=-⎩∴1()2f x x x'=-+欲求()y f x =的增区间 只需()120f x x x +'=->，解得：2x > 即函数()y f x =的增区间为(22，+∞) 故选：C6、已知函数2()ln f x ax x x =--有两个零点，则实数a 的取值X 围是（）A ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点由题意得方程2ln x xa x +=有两个根. 设()2ln x x g x x+=，则()2431(1)(ln (2)12ln ）x x x x x x x g x x x +-+--'== 设()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<所以()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0h = 当()()(0,1),0,0x h x g x '∈>>，所以()g x 在(0,1)上单调递增, 当()()(1,),0,0x h x g x '∈+∞<<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减,又(1)1g =，22111()01e g e e ee -==-<⎛⎫ ⎪⎝⎭，当(1,)x ∈+∞时，ln 0x x +>，则()0g x > 所以存在0(0,1)x ∈，0()0g x =，即在()00,x 上()0g x <，又当x →+∞时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知x →+∞时，()0g x → 作出函数()g x 的大致图象如下.所以方程2ln x xa x+=有两个根，即()g x 的图象与y a =有两个交点， 所以实数a 的取值X 围是()0,1， 故选：B7、已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ）A ．22B ．2C ．2D ．1 【答案】B 【解析】 如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -=， 由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0， 此时，10122d -+==，12max 222x x ∴-=⨯=，故选B.二、多选题8、函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（ ）A ．2B ．2-C ．0D ．1 【答案】ABC 【解析】∵()()g x f x x a =-+只有一个零点，∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点；当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数在2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =. 综合得：0a ≤或2a =.故选：ABC.9、设函数()()ln ,01,0xx x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是（） A ．0B ．13C ．12D ．1【答案】BCD 【解析】函数()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =有三个不同的交点 当0x ≤时，()()1xf x x e =+，则()()()12xxxf x e x e x e '=++=+所以()f x 在(),2-∞-上单调递减，在(]2,0-上单调递增 且()212f e-=-，()01f =，()lim 0x f x →-∞= 从而可得()f x 图象如下图所示：通过图象可知，若()y f x =与y b =有三个不同的交点，则(]0,1b ∈ 故选：BCD10、（2020·鱼台县第一中学高三月考）对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（） A ．3x =是函数()f x 的一个极值点 B ．()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞ C ．()f x 在区间(1,2)上单调递减D ．直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD【解析】由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-， 又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >> 得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-，所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确. 故选：ACD.11、已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x 且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（ ） A ．1B ．e C ．2e D ．3e 【答案】CD 【解析】 因为()()()F x f x f x ，可得()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，由题意可得0x >时，()F x 有两个零点， 当0x >时，0x -<，()2xf x e mx m -=-+即0x >时，()22xxxxF x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+，由()0F x =，可得20x xe mx m -+=，由(),21xy xe y m x ==-相切，设切点为(),tt te ，x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +，可得切线的方程为(1)()tty te t e x t -=+-，由切线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1)2t tte t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 解得：1t =或12-（舍去），即有切线的斜率为2e ， 故22,m e m e >∴>， 故选：CD.12、已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A ．010x e <<B ．01x e>C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +> 【答案】AC 【解析】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=，120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭,0,()x f x '→→-∞,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确;()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<,即C 正确,D 不正确.故答案为:AC.13、设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()xg x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B C ．2e D 【答案】BCD 【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫⎪⎝⎭， 解得e a，a ∴的取值X 围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 14、关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】BD 【解析】A .函数的 的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）22212x x x x-=-+=，∴（0，2）上，f ′（x ）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f ′（x ）＞0，函数单调递增，∴x ＝2是f （x ）的极小值点，即A 错误；B .y ＝f （x ）﹣x 2x =+lnx ﹣x ，∴y ′221x x =-+-1222x x x -+-=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，且f （1）﹣12=+ln 1﹣1=1>0，f （2）﹣21=+ln 2﹣2= ln 2﹣1<0，∴函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确；C .若f （x ）＞kx ，可得k 22lnx x x +＜，令g （x ）22lnx x x =+，则g ′（x ）34x xlnx x-+-=， 令h （x ）＝﹣4+x ﹣xlnx ，则h ′（x ）＝﹣lnx ，∴在x ∈（0，1）上，函数h （x ）单调递增，x ∈（1，+∞）上函数h （x ）单调递减， ∴h （x ）⩽h （1）＜0，∴g ′（x ）＜0， ∴g （x ）22lnxx x=+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，即C 不正确；D .令t ∈（0，2），则2﹣t ∈（0，2），2+t ＞2，令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ）22t =++ln （2+t ）22t ---ln （2﹣t ）244t t =+-ln 22tt+-， 则g ′（t ）()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)t t t t t t t t t t t t t ----++---=+⋅=+=-+----＜0， ∴g （t ）在（0，2）上单调递减， 则g （t ）＜g （0）＝0， 令x 1＝2﹣t ，由f （x 1）＝f （x 2），得x 2＞2+t ， 则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4， 当x 2≥4时，x 1+x 2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞4，故D 正确 故正确的是BD ， 故选：BD ．15、设函数()ln f x x =，且0x 、1x 、()20,x ∈+∞，下列命题正确的是（ ） A ．若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->- B ．存在()012,x x x ∈，()12x x <使得()()120121f x f x x x x -=-C ．若121x x >>，则()()12121f x f x x x -<-D ．对任意12x x <，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-【答案】BC 【解析】利用函数()ln 1g x x x =--在()0,1上的单调性可判断A 选项的正误；证明出()()121211f x f x x x x -<-，可判断B 选项的正误；利用函数()ln 1g x x x =--在()1,+∞上的单调性可判断C 选项的正误；取13x =，24x =，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，构造函数()ln 1g x x x =--，其中()0,1x ∈，则()1110x g x x x-'=-=<， 所以，函数()g x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()10g x g >=， 因为210x x >>，则1201x x <<，则111222ln 10x x xg x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，即12122ln ln x x x x x ->-， 所以，()()121221212ln ln 1f x f x x x x x x x x --<=--，A 选项错误；对于B 选项，当()1,x ∈+∞时，()ln 1g x x x =--，()1110x g x x x-'=-=>， 所以，函数()g x 在()1,+∞上单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()10g x g >=， 因为210x x >>，则211x x >，则222111ln 10x x xg x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，即21211ln ln x x x x x ->-，所以，211212112ln ln ln ln 1x x x x x x x x x -->=--，结合A 选项可知，()()12212111f x f x x x x x -<<-， 若()()120121f x f x x x x -=-，则201111x x x <<，所以，102x x x <<，B 选项正确； 对于C 选项，由B 选项可知，函数()ln 1g x x x =--在()1,+∞上单调递增，121x x >>，则()()12g x g x >，即1122ln 1ln 1x x x x -->--，则1212ln ln x x x x ->-，所以，1212ln ln 1x x x x -<-，即()()12121f x f x x x -<-，C 选项正确； 对于D 选项，取13x =，24x =，由AB 选项可知，()()12212111f x f x x x x x -<<-， 则()()1212411ln ,343f x f x x x -⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，若存在()03,4x ∈，则()()0ln3,ln 4f x ∈，此时，()()()12012f x f x f x x x ->-，D 选项错误.故选：BC. 三、填空题16、设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．【解析】由题,过点P 作曲线2x y e x =+的切线,则2xy e x '=+,设点()00,P x y ,则002xk e x =+,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,则0021xe x +=,即00x =,所以点P 为()0,1,则点P 到直线10x y --==17、曲线(1)xy x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+18、直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________. 【答案】22ln 2-【解析】函数()2ln y x m =+的导函数2y x m'=+， 设切点坐标00(,)x y ，则()0002ln 21x x m x m=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，解得：02ln 2,22ln 2x m ==-. 故答案为：22ln 2-19、若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞内不单调，则k 的取值X 围是__________． 【答案】()0,1 【解析】 因为()1f x k x '=-，且()10,1x∈， 当1k时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，不符合；当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，不符合； 当01k <<时，若11,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，若1+x k ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，则()0f x '>，所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+k ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，符合题意，综上可知：()0,1k ∈. 故答案为：()0,1.20、已知直线2y x b =+是曲线ln 3y x =+的一条切线，则b =_________． 【答案】2ln 2-． 【解析】对ln 3y x =+，1y x '=，由12y x '==，得12x =时， 1ln 33ln 22y =+=-， 所以13ln 222b -=⨯+，2ln 2b =-． 故答案为：2ln 2-．21、已知n 是正整数，221()1tan 500cos nnf x x x=+-有零点，则n 的最小值为__________. 【答案】10 【解析】由()0f x =得221sin cos 0500n nx x +-=，令2sin x t =，则2cos 1,01x t t =-<<，令1()(1)(01)500n n g t t t t =+--<<，由11()(1)0n n g t n t t '--⎡⎤=--=⎣⎦，得12t =， 当102t <<时，()0,()'<g t g t 单调递减，当112t <<时，()0,()'>g t g t 单调递增， 故()g t 在12t =处取得最小值12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知：102g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 10111111120,225002100021024nng ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-≤⇒≤=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10n ∴≥.故n 的最小值为10. 故答案为：1022、已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(2f x '>，则)(24f x x >+的解集为______． 【答案】)(1,-+∞ 【解析】设)(()24g x f x x =--，则)(()2g x f x ='-'， 因为对任意x ∈R ，)(2f x '>，所以()0g x '>， 所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，因为)(12f -=，所以)((1)124440g f -=-+-=-=， 由()()10g x g >-=，可得1x >-， 则)(24f x x >+的解集()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞.23、设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值X 围是__________． 【答案】()0,1 【解析】 由()()1xf x ex =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，在点()01，处的切线斜率为()0022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，所以方程xa b m -=即21xm -=有两个不等实根，等价于21xy =-与y m =图象有两个不同的交点，作21xy =-的图象如图所示：由图知：若21xy =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，故答案为：()0,124、函数()()ln f x x x ax =-（a R ∈，0x >）在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上存在极大值，则实数a 的取值X 围是______．【答案】11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1ln 1ln 22x f x x ax x a x +⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭设()()1ln 0x g x x x+=>，()2ln xg x x '=-，令()0g x '>，解得1x <，即()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0g x '<，解得1x >，即()g x 在()1,e 上单调递减； 且()()max 11g x g ==，又()2g e e=， 则当22,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即11,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 先增后减，即函数存在极大值 故答案为：11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题25、已知函数()1xf x e ax =--.（1）当2a =时，求曲线在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()2g x f x x =-，且()g x 在[)0,+∞上的最小值为0，求a 的取值X 围.【答案】（1）()210e x y ---=；（2）2a e ≤-. 【解析】解：（1）当2a =时，()21xf x e x =--，()13f e =-∴()2xf x e '=-，()12f e '=-，∴切线方程为()()()321y e e x --=--， 即()210e x y ---= （2）∵()()0000g f =-=，∴原条件等价于：在()0,∞+上，()210xg x e x ax =---≥恒成立.。
2025年高考数学一轮复习-三次函数的图象与性质-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-三次函数的图象与性质-专项训练基础巩固练1.在同一坐标系中作出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图象,下列一定不正确的序号是()①②③④A.①②B.①③C.③④D.①④2.三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则实数m的取值范围是()A.m<0B.m<1C.m≤0D.m≤13.三次函数f(x)=ax3-32x2+2x+1的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,则f(x)在区间(1,3)上的最小值是()A.83B.116C.113D.534.某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路(如图中虚线处),要求该道路与两条直线道路平滑连接(注:两直线道路:y1=-2x,y2=3x-6分别与该曲线相切于点(0,0),(2,0)),已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分,则该函数解析式为()A.f(x)=19x3-13x2-2xB.f(x)=14x3+12x2-2xC.f(x)=19x3+13x2-2xD.f(x)=-14x3+12x2-2x5.(多选题)已知函数f(x)=2x3-ax2+b,若f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1,且最大值为1,则a的值可以是()A.0B.4C.332D.336.(多选题)已知函数f(x)=x3-x+1,则()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线7.已知函数y=x3+3x2+x的图象C上存在一定点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1),N(x2,y2),就恒有y1+y2的定值为y0,则y0的值为.8.已知函数f(x)=ax3-3x2+1-3 (a≠0).(1)若f(x)的图象在x=-1处的切线与直线y=-13x+1垂直,求实数a的值;(2)讨论函数y=f(x)的单调性;(3)若a=1时,过点M(2,m)(m≠-6)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.综合提升练9.已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g'(x0)=0(其中函数g(x)=f'(x)).若实数m,n满足 3+6 2+13 =10,3+6 2+13 =-30,则m+n=()A.-4B.-3C.-2D.-110.(多选题)定义:设f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导数.若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=ax3+bx2+53(ab≠0)图象的对称中心为(1,1),则下列说法正确的有()A.a=13,b=-1B.函数f(x)有三个零点C.过点3y=f(x)的图象相切D.若函数f(x)在区间(t-6,t)上有最大值,则0<t≤311.已知函数f(x)=13x3-|2ax+4|在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为.12.设y=f″(x)是y=f'(x)的导函数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0.(1)函数g(x)=13x3-x2+3x+1的图象的对称中心为;(2)现已知当直线kx-y-k+1=0(k∈R)和h(x)=ax3+bx2+53的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)三点时,h(x)的图象在点A,C处的切线总平行,则过点(b,a)可作条直线与函数h(x)的图象相切.创新应用练13.已知函数f(x)=-13x3+12ax2+2a2x+3(a∈R),f'(x)为函数f(x)的导函数.(1)若x=-1为函数f(x)的极值点,求实数a的值;(2)当f(x)的增区间内有且只有两个整数时,求实数a的取值范围;(3)当0<a≤12时,任意实数x1,x2∈[-1,2],都有f(x1)+f'(x2)-3≥M+7a-203恒成立,求实数M的最大值.参考答案1.C2.A3.D4.B5.AB6.AC7.28.解(1)易得f'(x)=3ax2-6x=3ax f'(-1)=3a+6=3,解得a=-1.(2)当a>0时,2 >0,由f'(x)>0解得x<0或x>2 ,由f'(x)<0解得0<x<2 ,所以f(x)在区间(-∞+∞上单调递增,在区间0.当a<0时,2 <0,由f'(x)>0解得2 <x<0,由f'(x)<0解得x<2 或x>0,所以f(x)0上单调递增,在区间+∞)上单调递减.(3)因为点M(2,m)(m≠-6)不在曲线y=f(x)上,所以设切点坐标为(x0,y0),则y0=03-3 02-2.因为f'(x0)=302-6x0,所以切线的斜率为3 02-6x0,所以3 02-6x0= 03-3 02-2-0-2,即203-9 02+12x0+2+m=0.因为过点M(2,m)(m≠-6)可作曲线y=f(x)的三条切线,所以方程203-9 02+12x0+2+m=0有三个不同的实数解,即函数g(x)=2x3-9x2+12x+2+m有三个不同的零点.g'(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-2)·(x-1).令g'(x)=0,解得x=1或x=2.x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞)g'(x)+0-0+g (x )↗极大值↘极小值↗所以(1)>0, (0,即7+ >0,6<0,解得-7<m<-6.故实数m 的取值范围为(-7,-6).9.A 10.ACD11 -32,12.(1)1(2)213.解(1)因为f (x )=-13x 3+12ax 2+2a 2x+3,所以f'(x )=-x 2+ax+2a 2,因为x=-1为函数f (x )的极值点,所以f'(-1)=-1-a+2a 2=0,解得a=-12或a=1.当a=1时,f (x )=-13x 3+12x 2+2x+3,则f'(x )=-x 2+x+2=(-x+2)(x+1),所以当-1<x<2时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;当x<-1或x>2时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,故函数在x=-1处取得极小值,符合题意.当a=-12时,f (x )=-13x 3-14x 2+12x+3,则f'(x )=-x 2-12x+12=(x+1)-x +所以当-1<x<12时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;当x<-1或x>12时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,故函数在x=-1处取得极小值,符合题意.综上,a=-12或a=1.(2)f'(x )=-x 2+ax+2a 2=-(x+a )·(x-2a ),因为f (x )的增区间内有且只有两个整数,所以有且只有两个整数满足不等式f'(x )>0,即有且只有两个整数满足不等式(x+a )(x-2a )<0,显然a ≠0.当a>0时,解得-a<x<2a ,即不等式的解集为x |-a < <2 ,所以1<2 2,-a ≥-1,解得12<a ≤1.当a<0时,解得2a<x<-a ,即不等式的解集为x |2a < <-a ,所以-2 2a <-1,-a 1,解得-1≤a<-12 综上,可得a ∈-1∪1(3)因为f (x 1)-3=-13x 13+12 x 12+2a 2x 1,令g (x )=-13x 3+12ax 2+2a 2x ,则g'(x )=-x 2+ax+2a 2=-(x+a )(x-2a ).令g'(x )=0,则x=-a 或x=2a ,因为0<a 12,所以-a ∈-12,0,2a ∈(0,1],所以当x ∈[-1,-a ]和x ∈(2a ,2]时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减.当x ∈(-a ,2a )时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增,所以函数g (x )的极小值为g (-a )=13a 3+12a 3-2a 3=-76a 3.又g (2)=-83+2a+4a 2,令h (a )=g (2)-g (-a )=76a 3+4a 2+2a-83,h'(a )=72a 2+8a+2>0在0<a 12上成立,所以当0<a 12时,函数h (a )单调递增,故h (a )max =h=-2548<0,所以g (2)<g (-a ),即当x ∈[-1,2]时,g (x )min =g (2)=-83+2a+4a 2.又f'(x 2)=-x 22+ax 2+2a 2=-x 2+9a 24,其对应函数图象的对称轴为直线x=a2<12,所以当x2=2时,f'(x2)min=f'(2)=-4+2a+2a2,所以f(x1)-3+f'(x2)≥6a2+4a-203,故有6a2+4a-2037a-203,所以6a2-3a≥M,0<a 12 因为6a2-3a=6a 38,0<a 12,所以6a2-3a=6a 38≥-38,所以M≤-38,即实数M的最大值为-38。
陕西省榆林市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析
陕西省榆林市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.2．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =， 又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得3,6a b ==，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 3．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
陕西省西安市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析
陕西省西安市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.【详解】当时，又，，由在上的值域为解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.2．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A51B．2C3D5【答案】A 【解析】 【分析】设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(,)22a c b+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出ca的值，即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴22()544a c a +=，∴2240e e +-=，∴1e =（负值舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.3．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A．2B． C ．12 D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()f x 为R 上的奇函数可得ϕ，由函数()f x 的对称轴及单调性即可确定ω的值，进而确定函数()f x 的解析式，即可求得12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，则ϕπ=，所以()sin f x x ω=-.又()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42k πωππ=+，k Z ∈，即24k ω=+，k Z ∈，由函数的单调区间知，12114ππω≤⋅， 即 5.5ω≤，综上2ω=，则()sin 2f x x =-，1122f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题. 4．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．已知圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．5C D ．54【答案】C 【解析】 【分析】将圆224210x y x y +-++=，化为标准方程为，求得圆心为()21-，.根据圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12b a =.再根据c e a ==.【详解】已知圆224210x y x y +-++=，所以其标准方程为：()()22214x y -++=，所以圆心为()21-，. 因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以其渐近线方程为by x a=±， 又因为圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上， 所以12b a =.所以c e a ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A 【解析】 【分析】计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意01231.54x +++==，3 5.5715.544m m y ++++==，∴15.52.1 1.50.854m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ．8．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量a b +r r ,a b -r r的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.【详解】由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r，则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r||a b +r r ||a b -=r r又||||a b a b +=-r r r r 12m =.故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.9．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．B ．18C ．1-D ．19-【答案】D 【解析】 【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为d ==()2119=-故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题. 10．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．0D ．【答案】B 【解析】 【分析】())2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值.【详解】由已知，2()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++)2,4x π=++又44x ππ-≤≤，32444x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4πx =-时，min ()1f x =.故选：B. 【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题. 11．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 12．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A B ．C D 【答案】B 【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos 5α=，而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省莱芜市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析
山东省莱芜市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy +的最小值为（ ） A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+【答案】B【解析】 23x y xy +2(2)22112122x x y y x y x y xy y x y x++==++≥+⋅=+ ,选B 2．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．340【答案】C【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：310120C =种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种， 所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.3．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立.故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.4．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-【答案】B【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围.【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -剟. 故选：B【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.5．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-【答案】C【解析】【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合. 此时24q =，所以2q =或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q---==⨯=，()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】 一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有n n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .6．已知双曲线2222:1(0,0)x y Ca b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，且16||||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．3y x =± C ．y x =± D ．2y x =± 【答案】D 【解析】【分析】根据2F G OG ⊥，先确定出2,GF GO 的长度，然后利用双曲线定义将16||||OG GF =转化为,,a b c 的关系式，化简后可得到b a的值，即可求渐近线方程. 【详解】如图所示：因为2F G OG ⊥，所以22222,1bc aGF b OG c b a b a===-=+， 16GF =16OG GF =u u r u u u r 2216GF F F =+u u r u u u r u u u u r ， 所以222216OG GF F F =+u u u r u u u r u u u u r ，所以()222216422cos 180a b c b c GF F =++⨯⨯︒-∠，所以2226422b a b c b c c ⎛⎫=++⨯⨯-⎪⎝⎭，所以222,2b b a a == 所以渐近线方程为2y x =±.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.7．函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
山东省菏泽市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析
山东省菏泽市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定【答案】B 【解析】 【分析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：()40cos sin 1x x dx π-=⎰，于是此点取自阴影部分的概率为)()114141.41122 3.22P ππ-=⨯=>=． 又21112P P =-<，故12P P >． 故选B ． 【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 3．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|5==， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A．y x = B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A 【解析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴33b a =，可得3232a =, 双曲线的渐近线方程为：2233x y xa ±=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．252【答案】C 【解析】 【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+-=-，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251-． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的； 在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%3%⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%⨯=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<.本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.8．函数3222x xxy-=+在[]6,6-的图像大致为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x xxy f x-==+，则332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，所以()f x是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又34424(4)0,22f-⨯=>+排除选项D；36626(6)722f-⨯=≈+，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．在平行四边形ABCD中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A====u u u v u u u v u u u v u u u v若CP C12,Q⋅=u u u v u u u v则ADC∠=( )A．56πB．34πC．23πD．2π【答案】C由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 10．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】先将31iz i-=-，化简转化为2z i =+，再得到2z i =-下结论. 【详解】 已知复数()()()()3132111i i i z i i i i -+-===+--+， 所以2z i =-， 所以z 的虚部为-1. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ）A ．66f sin fcos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可. 【详解】由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移， 并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，选项A ，130sincos 16226ππ<=<=<， 所以66f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 错误；选项B ，因为334ππ＜＜，所以20331sin cos -＜＜＜，所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确； 选项C ，434144sin,,1033233cos sin cos ππππ=-=->->->， 所以4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 错误；选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.12．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22【答案】A 【解析】试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或112d =-（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省佛山市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析
广东省佛山市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且①直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．2．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 【答案】B 【解析】 【分析】分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=，然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，在Rt OMN ∆中计算出OM ，再利用勾股定理计算出OA ，即可得出球O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形，M 为BD 的中点，AM BD ∴⊥，2CBD π∠=Q ，且M 、N 分别为BD 、CD 的中点，所以，//MN BC ，所以，MN BD ⊥，所以二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=， 2AB AD ==Q ，则222BD AB AD =+=，且2BC =，所以，112AM BD ==，112MN BC ==， ABD ∆Q 是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形，所以，ABD ∆的外心为点M ，同理可知，BCD ∆的外心为点N ，分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 在平面AMN 内，如下图所示，由图形可知，2326OMN AMN AMO πππ∠=∠-∠=-=， 在Rt OMN ∆中，3cos 2MN OMN OM =∠=，233OM ∴==所以，22213OA OM AM =+=， 所以，球O 的半径为213R =，因此，球O 的表面积为222128443R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题． 3．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．【详解】解：，即，，时，，，两式相除可得，则，，由，，，，，可得，且，正整数时，要使得成立，则，则，故选：．【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.4．tan570°=（）A ．3B ．-3C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【详解】tan570°=tan （360°+210°）=tan210°=tan （180°+30°）=tan30°=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5；∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则||OP θ==23cos 212sin 5θθ∴=-=-.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题. 7．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+o，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+o所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-=()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==o故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+= 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.8．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件.9．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．10．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.【详解】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，因为2()34g x x x '=-，所以()0g x '=，0x ∴=或43x =， 因为403x << 时，()0g x '<，43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a „时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩„，3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩„， 所以9322ln 2ln 5a <„. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.11．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2 B ．2C 10D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|z i i =-⋅+==，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.12．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()U UA B I 痧＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}【答案】B 【解析】 【分析】按补集、交集定义，即可求解. 【详解】U A ð＝{1，3，5，6}，U B ð＝{1，2，5，6}，所以()()U UA B I 痧＝{1，5，6}.故选：B. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学三轮冲刺考点分类解析练习卷函数理
2021年高考数学三轮冲刺考点分类解析练习卷函数理1．记函数，若曲线上存在点使得，则a 的取值范畴是（ ）A. B.C.D.2．已知函数()2,(0)f x e x =+<与()()ln 2g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范畴是( )A. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (),e -∞C. 1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知函数()()()222f x x xxmx n =+++，且对任意实数x ,均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范畴（ ）A. ()16,9-B. (]16,9-C. (]16,0-D. (]16,5-- 4．已知函数()()2f ,,,dx a b c d R ax bx e=∈++的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. 0,0,0,0a b c d >>B. 0,0,0,0a b c dC. 0,0,0,0a b c d >>D. 0,0,0,0a b c d >> 5．若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c << B. b a c << C. a c b << D. c a b <<6．已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范畴为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦ C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时， ()21xf x =-，设1ln a π=， 2ln5b e-=，0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 8．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时， ()()[)[)2log 1,0,1{ 31,1,x x f x x x +∈=--∈+∞，则函数()()F x f x a=-（10a -<<）的所有零点之和为（ ）A. 12a -B. 21a -C. 12a --D. 21a --9．已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()2f x f x -=，若在区间(]0,1上， ()1f x x=，则111128128f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A.316 B. 3112 C. 356 D. 351210．已知且，函数在区间上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）A. B.C.D. 11．已知A 、B 是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（ ） A.B.C.D.12．已知定义域为I 的偶函数()f x 在()0,+∞上单调递增，且0x I ∃∈，()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（ ）A. ()2f x x x =+ B. ()22xxf x -=- C. ()2log f x x = D. ()43f x x-=13．定义在R 上的偶函数在单调递增，且，则的x 取值范畴是 （ ）A. B. C. D.14．若，则a 的值不可能为（ ）A. B. C. D.15．已知函数，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D.16．设函数在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ）A. 在R 上为减函数B. 在R 上为增函数C.在R 上为减函数 D.在R 上为增函数17．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A. 0B. 2018C. 4036D. 403718．已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则()()12f x f x -≤的解集为（ ） A. 21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. []1,1- D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件20．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x R =∈,()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范畴是](40 -，； ④()f x 和()g x 之间存在唯独的“隔离直线”2y ex e =-. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个21．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()f x 在[]1,2上的解析式是________22．已知函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x +=+，则()2f log 5=__________．23．在直线0x =， 1x =， 0y =， 1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =， 1y e =+， 1xy e =+围成的区域内的概率为__________．24．已知函数()2ln f x x =和直线:260l x y +=－，若点P 是函数f x （）图象上的一点，则点 P 到直线l 的距离的最小值为__________． 25．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，给出以下命题：①当时，；②函数有5个零点；③若关于x 的方程有解，则实数的取值范畴是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．26．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间](26 -，内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范畴是__________．。
[精品]2021年高考数学压轴题命题区间三三角函数增分点 3“三法”
![[精品]2021年高考数学压轴题命题区间三三角函数增分点 3“三法”](https://img.taocdn.com/s3/m/38c3cbdeac51f01dc281e53a580216fc700a53fd.png)
[精品]2021年高考数学压轴题命题区间三三角函数增分点3“三法”[精品]2021年高考数学压轴题命题区间三三角函数增分点3“三法”2022高考数学最终轴命题区间3★ 三角函数、解三角形和平面向量★★增分点“三法”解决平面向量数量积问题平面向量的量积不仅是向量的重要运算，也是高中数学的一个重要概念。
它广泛应用于数学、物理等学科。
它在高考试卷中很受欢迎。
命题方法灵活多样，试题内容生动新颖。
这是一个稳定的高频试验场。
解决这类问题的基本方法有三种：投影法、基准法和坐标法。
“三法”的准确定位要同步进行！也就是说，我们不应该人为地和主观地划分它们的优缺点，而应该分析具体的问题d→d→【典型示例】众所周知△ ABC，ab=4，AC=6，BC=7，其外接圆的中心为O，则aobc=___[思路点拨]如果直接用矢量量积的定义来解决这个问题，计算复杂，过程长。
我们可以从以下三个想法开始：(1)利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题；D→ D→ D→ D→ （2）以Ba和BC为基，利用向量的基本定理将aobc变换为两个基之间的运算，可以顺利地解决问题(3)设d是边bc的中点，根据题意可知od⊥bc，因此方便建立平面直角坐标系，利用坐标运算解答问题．【方法论证】方法1：投影法如图，作od⊥bc，垂足为d，则d是线段bc的中点．作ae⊥bc，垂足为e.d→d→那么Ao在BC方向上的投影是d→ D→ D→| Ao | cos＜Ao，BC＞=EDD→|,d→d→d→d→d→d→d→所以aobc＝|ao||bc|cos〈ao，bc〉＝|edd→||bc|.在△abc 中，ab＝4，ac＝6，bc＝7，AB2+bc2-ac213 cos∠ ABC==-。
2abbc87由余弦定理得出13所以∠ Abe=cos（π-∠ ABC）=，8713所以be=abcos∠ 安倍晋三=。
27137所以|edd→|＝be＋bd＝＋.272d→因为| BC |=7，d→d→d→所以aobc＝|edd→||bc|＝10.法二：基底法如图所示，进行外径测量⊥ BC，垂直的脚是D，D→ D→ 那么D是线段BC的中点，ODBC=0 D→ D→ 所以aobcd→d→d→d→＝(ab＋bd＋do)bcd→d→d→d→d→d→＝abbc＋bdbc＋dobcd→d→d→d→＝abbc＋bdbcd→d→1d→d→＝－babc＋bcbc，二在△abc中，ab＝4，ac＝6，bc＝7，ab2＋bc2－ac213由余弦定理，得cos∠abc＝＝－.2abbc87d→d→d→d→1d→d→所以aobc=-babc+bcbc21dd→d→→＝－ba | bc | cos∠abc＋| bc | 22?＝－四×七×－法三：坐标法13? 一＋×(7)2＝10.? 87? 二如图，作od⊥bc，垂足为d，则d是线段bc的中点．以D为坐标原点，BC和do分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系。
(全国卷Ⅲ)2021年高考数学压轴卷 理(含解析)
（全国卷Ⅲ）2021年高考数学压轴卷 理（含解析）● 注意事项：● 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
● 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A. []4,2-B. [)1,+∞C. (]0,4D.[)2,-+∞2.若复数z 满足2(1)z i i -=（i 是虚数单位），则z 为（ ）A.13 B. 12C. 14D. 15 3.已知123a =，2log 3b =，9log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.c b a >>4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（ ）A.B.C.D.5．已知x •log 32＝1，则4x ＝（ ） A ．4B ．6C ．4D ．96．在△ABC 中，若sinB ＝2sinAcosC ，那么△ABC 一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为3，1，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.9.设函数2()ln f x a x bx =+(0,0)a b >>，若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x y e --=平行，则11a b+的最小值为（ ）A. 1B.12C. 322-D. 322+10．已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）A ．f （1）＜f （0）＜f （2）B ．f （0）＜f （2）＜f （1）C ．f （2）＜f （0）＜f （1）D ．f （2）＜f （1）＜f （0）11.函数()()2sin 4cos 1f x x x =⋅-的最小正周期是（ ）A.3πB. 23π C. π D. 2π 12. 定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22f x f x x -=-+，记()f x 的导函数为()f x '，当1x ≤时恒有()1f x '<．若()(12)31f m f m m ---≥，则m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1(,1]3-C ．[1,)-+∞D ．1[1,]3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
备战2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题04 三次函数的图象和性质
专题04三次函数的图象和性质【考点预测】 知识点一.基本性质设三次函数为：32()f x ax bx cx d =+++(a 、b 、c 、R d ∈且0a ≠)，其基本性质有：性质1：①定义域为R ．②值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： 图性质2：三次方程()0f x =的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠其导函数为二次函数:2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，判别式为：△=224124(3)b ac b ac -=-，设()0f x '=的两根为1x 、2x ，结合函数草图易得： (1) 若230b ac -≤，则()0f x =恰有一个实根；(2) 若230b ac ->,且12()()0f x f x ⋅>，则()0f x =恰有一个实根； (3) 若230b ac ->,且12()()0f x f x ⋅=，则()0f x =有两个不相等的实根； (4) 若230b ac ->,且12()()0f x f x ⋅<，则()0f x =有三个不相等的实根.说明:(1)(2)()0f x =含有一个实根的充要条件是曲线()y f x =与x 轴只相交一次，即()f x 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以230b ac -≤（或230b ac ->，且12()()0f x f x ⋅>）;(3)()0f x =有两个相异实根的充要条件是曲线()y f x =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以230b ac ->，且12()()0f x f x ⋅=;(4)()0f x =有三个不相等的实根的充要条件是曲线()y f x =与x 轴有三个公共点，即()f x 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以230b ac ->且12()()0f x f x ⋅<.性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(())33b bf a a--，； （2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．【方法技巧与总结】1.其导函数为2()320f x ax bx c '=++= 对称轴为3b x a =-，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，()y f x =图象的对称中心在导函数()y f x '=的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；2.()y f x =是可导函数，若()y f x =的图象关于点(,)m n 对称，则()y f x '=图象关于直线x m = 对称.3.若()y f x =图象关于直线x m =对称，则()y f x '=图象关于点(,0)m 对称.4.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++的对称中心横坐标为0x ，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则有()()()()21212012223f x f x a x x f x x x -'=--=-. 【题型归纳目录】题型一：三次函数的零点问题 题型二：三次函数的最值、极值问题 题型三：三次函数的单调性问题 题型四：三次函数的切线问题 题型五：三次函数的对称问题 题型六：三次函数的综合问题 题型七：三次函数恒成立问题 【典例例题】题型一：三次函数的零点问题例1．若2a >，则函数321()13f x x ax =-+在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点【解析】解：由已知得：()(2)f x x x a '=-，由于2a >， 故当02x <<时()0f x '<，即函数为区间(0,2)上的单调递减函数， 又当2a >时 (0)f f （2）11403a =-<， 故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点．故选：B ．例2．设a 为实数，函数3()3f x x x a =-++． （1）求()f x 的极值；（2）若()y f x =恰好有两个零点，求a 的值． 【解析】解：（1）令2()330f x x '=-+=得1x =±，当1x <-时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 故()()12f x f a =-=-极小值，()f x f =极大值（1）2a =+． （2）当极大值或极小值为零时，()y f x =恰有两个零点， 20a ∴-=或20a +=，解得2a =或2a =-．例3．已知函数321()1()3f x x ax a R =-+∈．（Ⅰ）若0a >，函数()y f x =在区间2(,3)a a -上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅰ）若2a >，求证：函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点． 【解析】（Ⅰ）解：由已知2()2(2)f x x ax x x a '=-=- 令()0f x '=，解得0x =或2x a =， 0a >，0x ∴=不在2(,3)a a -内要使函数()y f x =在区间2(,3)a a -上存在极值，只需223a a a <<- 解得3a >⋯（6分）（Ⅰ）证明：2a >，24a ∴>，()0f x '∴<在(0,2)上恒成立， 即函数()y f x =在(0,2)内单调递减， 又1112(0)10,(2)03af f -=>=<， ∴函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点⋯（12分）例4．已知函数31()3f x x ax =+，2()()g x x a a R =--∈．（Ⅰ）若函数()()()F x f x g x =-在[1x ∈，)+∞上单调递增，求a 的最小值； （Ⅰ）若函数()()()G x f x g x =+的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）321()()()3F x f x g x x ax x a =-=+++，2()2F x x x a '=++因函数()()()F x f x g x =-在[1x ∈，)+∞上单调递增， 所以2()20F x x x a '=++在[1x ∈，)+∞恒成立，即3a -，a ∴的最小值为3-．----------（5分）（Ⅰ）321()()()3G x f x g x x x ax a =+=-+-2()2G x x x a '=-+，∴△444(1)a a =-=-．①若1a ，则△0，()0G x '∴在R 上恒成立，()G x ∴在R 上单调递增．(0)0G a =-<，G （3）20a =>，∴当1a 时，函数()G x 的图象与x 轴有且只有一个交点．----------（9分）②若1a <，则△0>，()0G x '∴=有两个不相等的实数根，不妨设为1x ，2x ，12()x x <． 122x x ∴+=，12x x a =．当x 变化时，()G x '，()G x 的取值情况如下表：1120x x a -+=，----------（12分）∴2112a x x =-+． ∴3211111()3G x x x ax a=-+-32211111123x x ax x x =-++-3111(2)3x a x =+-2111[3(2)]3x x a =+-同理22221()[3(2)]3G x x x a =+-．∴221212121()()[3(2)][3(2)]9G x G x x x x a x a ⋅=+-⋅+-22221212121()[()3(2)()9(2)]9x x x x a x x a =+-++-{}222121213(2)[()2]9(2)9a a a x x x x a =+-+-+-24(33)9a a a =-+．令12()()0G x G x >，解得0a >． 而当01a <<时，(0)0G a =-<，G （3）20a =>， 故当01a <<时，函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点．综上所述，a 的取值范围是(0,)+∞．------------------（15分） 例5．已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[3-，3]上有且仅有一个零点，求b 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=- 由题意知：(2)440f a '-=+=，得1a =-，2()2f x x x ∴'=+，令()0f x '>，得2x <-或0x >，令()0f x '<，得20x -<<，()f x ∴的单调递增区间是(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间是(2,0)-．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，321()3f x x x b =++，4(2)3f b -=+为函数()f x 极大值，(0)f b =为极小值． 函数()f x 在区间[3-，3]上有且仅有一个零点，∴(3)0(0)0f f -⎧⎨>⎩或(3)0(2)0f f ⎧⎨-<⎩或(3)0(3)0f f ->⎧⎨<⎩或(2)0(3)0f f -=⎧⎨<⎩或(3)0(0)0f f ->⎧⎨=⎩，即180403b b +⎧⎪⎨+<⎪⎩，∴4183b -<-，即b 的取值范围是4[18,)3--．题型二：三次函数的最值、极值问题例6．已知函数32()3f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，且()0f x =的一个根为b -（Ⅰ）求c 的值；（Ⅰ）求证：()0f x =还有不同于b -的实根1x 、2x ，且1x 、b -、2x 成等差数列； （Ⅰ）若函数()f x 的极大值小于16，求f （1）的取值范围． 【解析】（Ⅰ）解：求导函数，可得2()36f xx bx c '=++函数32()3f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，0x ∴=是极大值点，(0)0f '∴=，0c ∴=⋯（2分）（Ⅰ）证明：令()0f x '=，得0x =或2b - 由()f x 的单调性知22b -，1b ∴-b -是方程()0f x =的一个根，则323()3()02b b b d d b -+-+=⇒=-32322()32()(22)f x x bx b x b x bx b ∴=+-=++-⋯（4分） 方程22220x bx b +-=的根的判别式△22244(2)120b b b =--=> 又222()2()230b b b b b -+--=-≠，即b -不是方程22220x bx b +-=的根，()0f x ∴=有不同于b -的根1x 、2x ． 122x x b +=-，1x ∴、b -、2x 成等差数列⋯（8分）（Ⅰ）解：根据函数的单调性可知0x =是极大值点3(0)16216f b ∴<⇒-<，2b ∴>-，于是21b -<- 令g （b ）f =（1）3231b b =-++求导g '（b ）26321b b =-+-<-时，g '（b ）0<， g ∴（b ）在(2-，1]-上单调递减(1)g g ∴-（b ）(2)g <-即0f （1）11<⋯（14分） 例7．已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅰ）求()f x 在区间[2，3]上的最小值．【解析】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，且2()242f x x x a '=-+-． 当2a =时，21(1)2133f =-+=-，f '（1）242=-=-， 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为12(1)3y x +=--， 即6350x y +-=．（Ⅰ）解：方程()0f x '=的判别式△80a =>，令()0f x '=，得11x =，或21x =+．()f x 和()f x '的情况如下：． ①当02a <时，22x ，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2，3]上的最小值是3227(2)222(2)21233f a a =⨯-⨯+-⨯+=-．②当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(x ，3)上单调递增， 所以()f x 在区间[2，3]上的最小值是32225()(12(1(2)(1133f x a a =⨯-⨯+-+=-． ③当8a 时，1223x x <<，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2，3]上的最小值是f （3）322323(2)31733a a =⨯-⨯+-⨯+=-．综上，当02a <时，()f x 在区间[2，3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在区间[2，3]上的最小值是53a -；当8a 时，()f x 在区间[2，3]上的最小值是73a -．例8．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间； （2）若[1x ∈-，2]，求()f x 的最大值．【解析】解：（1）32()f x x ax bx c =+++，2()32f x x ax b '=++（1分） 由2124()0393f a b '-=-+=，f '（1）320a b =++=得（3分）解得：12a =-，2b =-（4分），2(,)3x ∈-∞-与(1,)+∞时，()0f x '>，2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞递减区间是2(,1)3-（6分）（2）321()22f x x x x c =--+，(1,2)x ∈-，由（1）可知：当23x =-时，22()27f x c =+为极大值（8分）， 而f （2）2c =+（10分），则f （2）2c =+是函数的最大值（12分）． 例9．已知函数321()()3f x x x ax a a R =-+-∈．（1）当3a =-时，求函数()f x 的极值；（2）设2()()()g x f x f x ax =+'+，若函数()g x 在区间(1,1)-有极值，求a 的取值范围； （3）若函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）当3a =-时，321()333f x x x x =--+，2()23(3)(1)f x x x x x '∴=--=-+．令()0f x '=，得11x =-，23x =． 当1x <-时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增；当13x -<<时，()0f x '<，则()f x 在(1,3)-上单调递减； 当3x >时，()0f x '>，()f x 在(3,)+∞上单调递增；∴当1x =-时，()f x 取得极大值为：114(1)13333f -=--++=； 当3x =时，()f x 取得极小值为：1(3)2799363f =⨯--+=-．（2）3221()(2),()223g x x ax a x g x x ax a '=++-=++-问题转化为方程()0g x '=在区间(1,1)-内有解， (1)g g ∴'-⋅'（1）0<或244(2)011(1)310(1)10a a a g a g a ⎧=-->⎪-<-<⎪⎨'=->⎪⎪'-=-->⎩， 解得1a <-或13a >，故a 的取值范围为：(-∞，11)(3-⋃，)+∞．（3）2()2f x x x a '=-+，∴△444(1)a a =-=-．①若1a ，则△0，()0f x '∴在R 上恒成立， ()f x ∴在R 上单调递增．(0)0f a =-<，f （3）20a =>，∴当1a 时，函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点．②若1a <，则△0>，()0f x '∴=有两个不相等的实数根，不妨设为1x ，2x ，12()x x <． 122x x ∴+=，12x x a =．当x 变化时，()f x '，()f x 的取值情况如下表：1120x x a -+=，∴2112a x x =-+．∴323223211111111111111111()2(2)[3(2)]3333f x x x ax a x x ax x x x a x x x a =-+-=-++-=+-=+-，同理22221()[3(2)]3f x x x a =+-．∴22222212121212121211()()[3(2)][3(2)]()[()3(2)()9(2)]99f x f x x x x a x a x x x x a x x a ⋅=+-⋅+-=+-++-{}22221212143(2)[()2]9(2)(33)99a a a x x x x a a a a =+-+-+-=-+． 令12()()0f x f x ⋅>，解得0a >．而当01a <<时，(0)0f a =-<，f （3）20a =>，故当01a <<时，函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点． 综上所述，a 的取值范围是(0,)+∞． 题型三：三次函数的单调性问题例10．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在(,)x ∈-∞+∞上是增函数，则m 的取值范围为 ．【解析】解：22()2(41)(1527)f x x m x m m '=--+--，函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在(,)x ∈-∞+∞上是增函数，22()2(41)(1527)0f x x m x m m ∴'=--+--恒成立．∴判别式△224(41)4(1527)0m m m =----，整理得，2680m m -+，解得，24m ，故答案为：[2，4]例11．三次函数3()f x mx x =-在(,)-∞+∞上是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．0m <B ．1m <C ．0mD ．1m【解析】解：对函数3()f x mx x =-求导，得2()31f x mx '=- 函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数， ()0f x ∴'在R 上恒成立即2310mx -恒成立， ∴30120m m <⎧⎨=⎩，解得0m ，又当0m =时，()f x x =-不是三次函数，不满足题意， 0m ∴<故选：A ．例12．已知函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间[1，2]上是增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．45mB ．24mC ．2mD ．4m【解析】解：函数3211()4332f x x mx x =-+-，可得2()4f x x mx '=-+，函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间[1，2]上是增函数，可得240x mx -+，在区间[1，2]上恒成立， 可得4m x x+，4424x x x x +=，当且仅当2x =，时取等号、可得4m ． 故选：D ．例13．已知函数32()f x x x ax a =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，1]3-B ．2(,]3-∞C ．1(,)3-∞D ．2(,)3-∞【解析】解：依题意，2()320f x x x a '=+-在R 上恒成立，∴△4120a =+，解得13a -，即实数a 的取值范围为1(,]3-∞-．故选：A ．题型四：三次函数的切线问题 例14．已知函数3()f x x x =-．()I 求曲线()y f x =在点(M t ，())f t 处的切线方程；()II 设常数0a >，如果过点(,)P a m 可作曲线()y f x =的三条切线，求m 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）函数3()f x x x =-，2()31f x x '∴=-．切线方程为()()()y f t f t x t '-=-， 即23(31)2y t x t =--．（Ⅰ）已知⇔关于t 的方程23(31)2m t a t =-- 即3223(0)m t at a a =-+->有三个不等实根． 令32()23g t t at a =-+-，则()6()g t t t a '=--． 可知()g t 在(,0)-∞递减， 在(0,)a 递增，在(,)a +∞递减，()g t 的极小值为：(0)g a =-，极大值为g （a ）3a a =-．结合图象知3(,)m a a a ∈--．例15．已知函数323()31(0)f x ax x a a=-+-≠．（Ⅰ）若()f x 的图象在1x =-处的切线与直线113y x =-+垂直，求实数a 的取值；（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅰ）若1a =时，过点(2M ，)(6)m m ≠-，可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）22()363()f x ax x ax x a'=-=-，(1)363f a '-=+=，得1a =-．（Ⅰ）当0a >时，20a>， 由()0f x '>解得0x <，或2x a >，由()0f x '<解得20x a<<， 所以()f x 在区间(,0)-∞，2(a，)+∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减．当0a <时，20a<， 由()0f x '>解得20x a<< 由()0f x '<解得2x a<，或0x >． 所以()f x 在区间2(,0)a 上单调递增，在区间2(,)a-∞，(0,)+∞上单调递减．（Ⅰ）点(2M ，)(6)m m ≠-不在曲线()y f x =上，∴设切点为0(x ，0)y ．则3200032y x x =--． 2000()36f x x x '=-，∴切线的斜率为20036x x -．则3220000032362x x m x x x ----=-，即3200291220x x x m -+++=． 因为过点(2M ，)(6)m m ≠-，可作曲线()y f x =的三条切线，所以方程32000291220x x x m -+++=有三个不同的实数解． 即函数32()29122g x x x x m =-+++有三个不同的零点． 则22()618126(32)6(2)(1)g x x x x x x x '=-+=-+=--． 令()0g x '=，解得1x =或2x =．∴(2)0g ⎧⎨<⎩即60m ⎧⎨+<⎩解得76m -<<-． 例16．已知定义在R 上的函数3()3f x ax x =-，a 为常数，且1x =是函数()f x 的一个极值点． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）若函数()()()6g x f x f x '=+-，x R ∈，求()g x 的单调区间；（Ⅰ）过点(1A ，)(2)m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求m 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）2()3(1)f x ax '=-，1x =是函数()f x 的一个极值点，则f '（1）0=，10a ∴-=，1a ∴=． 又()3(1)(1)f x x x '=+-，函数()f x 在1x =两侧的导数异号， 1a ∴=．⋯（2分）（Ⅰ）由（Ⅰ）知，32()()()6339g x f x f x x x x =+'-=+--．则2()3(21)g x x x '=+-，令()0g x '=，得2210x x +-=，∴1211x x =--=- 随x 的变化，()g x '与()g x 的变化如下：1-．⋯（8分）（Ⅰ）2()3(1)f x x '=-，设切点为0(T x ，0)y ，则切线的斜率为320000033311y m x x mk x x x ---=-==--，⋯（9分）整理得322330x x m -++=，依题意，方程有3个根．⋯（10分）设32()233h x x x m =-++，则2()666(1)h x x x x x '=-=-．令()0h x '=，得10x =，21x =，则()h x 在区间(,0)-∞，[1，)+∞上单调递增， 在区间(0,1)上单调递减．⋯（11分）因此，(0)30(1)20h m h m =+>⎧⎨=+<⎩，解得32m -<<-．所以m 的取值范围为(3,2)--．⋯（14分）例17．设函数321()32af x x x bx c =-++，其中0a >．曲线()y f x =在点(0P ，(0))f 处的切线方程为1y =．（1）确定b ，c 的值；（2）若过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线，求实数a 的取值范围． 【解析】解：（1）因为函数321()32af x x x bx c =-++，所以导数2()f x x ax b '=-+，又因为曲线()y f x =在点(0P ，(0))f 处的切线方程为1y =， 所以(0)1f =，(0)0f '=，即0b =，1c =．（2）由（1）知321()132af x x x =-+，2()f x x ax '=-，设切点为0(x ，0)y ，则3200001()132ay f x x x ==-+，切线的斜率为2000()k f x x ax '==- 所以切线方程为00()y y k x x -=-， 因为切线经过点(0,2)，所以002y kx -=-， 即3220000012(1)()32ax x x ax x --+=--化简得：32004360x ax -+=①，因为过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线， 所以①有三个不同的实根．即函数32()436g x x ax =-+有三个不同的零点． 导数2()1260g x x ax '=-=得0x =，或(0)2ax a =>可知只要极小值()02ag <即32436084a a a ⨯-+<，所以a >故实数a 的取值范围是)+∞例18．已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值 （1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：对于区间[1-，1]上任意两个自变量的值1x ，2x ，都有12|()()|4f x f x -； （3）若过点(1A ，)(2)m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的范围．【解析】解：（1）2()323f x ax bx '=+-，依题意，f '（1）(1)0f ='-=，解得1a =，0b =．3()3f x x x ∴=-（2）3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴'=-=+-，当11x -<<时，()0f x '<，故()f x 在区间[1-，1]上为减函数， ()(1)2max f x f =-=，()min f x f =（1）2=-对于区间[1-，1]上任意两个自变量的值1x ，2x ， 都有12|()()||()()|max min f x f x f x f x --12|()()||()()|2(2)4max min f x f x f x f x --=--=（3）2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，曲线方程为33y x x =-，∴点(1,)A m 不在曲线上．设切点为0(M x ，0)y ，切线的斜率为32000033(1)1x x mx x ---=-（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得32002330x x m -++=． 过点(1,)A m 可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件设32000()233g x x x m =-++，则2000()66g x x x '=-， 由0()0g x '=，得00x =或01x =．0()g x ∴在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减．∴函数32000()233g x x x m =-++的极值点为00x =，01x = ∴关于0x 方程32002330x x m -++=有三个实根的充要条件是(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，解得32m -<<-．故所求的实数m 的取值范围是32m -<<-． 例19．已知函数3()f x x x =-（1）求曲线()y f x =在点(M t ，())f t 处的切线方程（2）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：a b f -<<（a ） 【解析】解：（1）求函数()f x 的导函数；2()31f x x '=-．曲线()y f x =在点(M t ，())f t 处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--； （2）如果有一条切线过点(,)a b ，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()666()g t t at t t a '=-=-． 当t 变化时，()g t ，()g t '变化情况如下表： )t0最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得30,2at t ==，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当b f -（a ）0=时，解方程()0g t =得,2at t a =-=，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过(,)a b 可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩即a b f -<<（a ）．题型五：三次函数的对称问题例20．已知函数3213y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为 ．【解析】解：2221(1)0y x x x '=++=+， 函数3213y x x x =++单调递增，(1)0f '-=则原函数关于P 对称，1(1)3f -=-，所以定点1(1,)3P --，1223y y +=-于是023y =-．故答案为：23-．例21．已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，就恒有12y y +的定值为0y ，则0y 的值为 ．【解析】解：P 为定点，12y y +为定值， MN ∴两点关于P 点对称2361y x x '=++，66y x ''=+ 三次函数的对称中心的二阶导数为0 660y x ''=+=1x ∴=-故P 点为(1,1)- 122y y ∴+=故答案为：2例22．已知函数32()92930f x x x x =-+-，实数m ，n 满足()12f m =-，()18f n =，则(m n += ) A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】解：函数32()92930f x x x x =-+-，3()(3)2(3)3f x x x ∴=-+-+，∴函数()f x 关于(3,3)对称实数m ，n 满足()12f m =-，()18f n =，∴1[()()]32f n f m +=， 根据对称性，得1()32m n +=，解得6m n +=． 故选：A ．例23．已知实数a ，b 分别满足32351a a a -+=，32355b b b -+=，则a b +的值为 ． 【解析】解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数． 将已知等式变形为3(1)2(1)2a a -+-=-，3(1)2(1)2b b -+-=， 构造函数3()2f x x x =+， ()()f x f x -=-， ()f x ∴是奇函数2()320f x x '=+>()f x ∴单调递增 ()f x ∴是一个单调递增的奇函数，因为(1)2f a -=-，(1)2f b -= 所以(1)(1)(1)f a f b f b -=--=-，从而有11a b -=-，2a b += 故答案为2例24．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称0(x ，0())f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为 ；（2）计算1232012()()()()2013201320132013f f f f +++⋯+= ． 【解析】解：（1）32115()33212f x x x x =-+-，2()3f x x x ∴'=-+，()21f x x ''=-， 令()210f x x ''=-=，得12x =， 321111151()()()3123222122f =⨯-⨯-+⨯=， 32115()33212f x x x x ∴=-+-的对称中心为1(2，1)，（2）32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为1(2，1)，()(1)2f x f x ∴+-=，∴1232012()()()()2100620122013201320132013f f f f +++⋯+=⨯=． 故答案为：1(2，1)，2012．例25．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，()f x ''是函数()f x 的导数，此时，称()f x ''为原函数()f x 的二阶导数．若二阶导数所对应的方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点0(x ，0())f x 为函数()f x 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设三次函数32()232412f x x x x =--+请你根据上面探究结果，解答以下问题： ①函数32()232412f x x x x =--+的对称中心坐标为 ； ②计算12320122013()()()()()20132013201320132013f f f f f +++⋯++= ． 【解析】解：①由32()232412f x x x x =--+，得26624f x x '=--，()126f x x ''=-．由()1260f x x ''=-=，得32111111.()2()3()2412222222x f ==⨯-⨯-⨯+=-．所以函数32()232412f x x x x =--+的对称中心坐标为11(,)22-．故答案为11(,)22-．②因为函数32()232412f x x x x =--+的对称中心坐标为11(,)22-．所以120122201111()()()()2()2()1201320132013201322f f f f f +=+=⋯==⨯-=-． 由2013()(1)132013f f ==-． 所以12320122013()()()()()100613101920132013201320132013f f f f f +++⋯++=--=-． 故答案为1019-．题型六：三次函数的综合问题例26．已知函数32()f x x bx cx d =+++在(-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程()0f x =有3个实数根，它们分别是α，β，2，则22αβ+的最小值是( )A ．5B ．6C ．1D ．8【解析】解：2()32f x x bx c '=++，因为32()f x x bx cx d =+++在(-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数， 所以(0)0f c '==，此时()0f x '=的另一个根223bx =-， 所以3b -，因为方程()0f x =有3个实数根，分别是α，β，2， 所以f （2）840b d =++=，即4(2)d b =-+，又32()(2)()()(2)(22)2f x x x x x x x αβαβαβαβαβ=---=-+++++-， 所以22b d αβαβ=---⎧⎨=-⎩，则224b b αβαβ+=--⎧⎨=+⎩，则22222()2(2)2(24)45b b b αβαβαβ+=+-=---+=-，即最小值为5． 故选：A ．例27．已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<，且f （a ）f =（b ）f =（c ）0=，现给出如下结论； ①()1f x ；②()3f x ；③(0)f f （1）0<；④(0)f f （3）0>；⑤4abc <其中正确结论的序号是 ．【解析】解：求导函数可得2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--，∴当13x <<时，()0f x '<；当1x <，或3x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞和(3,)+∞，单调递减区间为(1,3)，所以()f x 极大值f =（1）1694abc abc =-+-=-，()f x 极小值f =（3）275427abc abc =-+-=- 要使()0f x =有三个解a 、b 、c ，那么结合函数()f x 草图可知：13a b c <<<< 及函数有个零点x b =在1~3之间，所以f （1）40abc =->，且f （3）0abc =-< 所以04abc <<(0)f abc =-(0)0f ∴<(0)f f ∴（1）0<，(0)f f （3）0>故答案为：③④⑤．例28．已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<，且f （a ）f =（b ）f =（c ）0=．现给出如下结论： ①(0)f f （1）0>； ②(0)f f （1）0<； ③(0)f f （3）0>； ④(0)f f （3）0<； ⑤4abc <； ⑥4abc >．其中正确结论的序号是( ) A ．①③⑤B ．①④⑥C ．②③⑤D ．②④⑥【解析】解：求导函数可得2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--∴当13x <<时，()0f x '<；当1x <，或3x >时，()0f x '>所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞和(3,)+∞ 单调递减区间为(1,3)所以()f x 极大值f =（1）1694abc abc =-+-=-， ()f x 极小值f =（3）275427abc abc =-+-=-要使()0f x =有三个解a 、b 、c ，那么结合函数()f x 草图可知：13a b c <<<<及函数有个零点x b =在1~3之间，所以f （1）40abc =->，且f （3）0abc =-<所以04abc <<(0)f abc =-(0)0f ∴<(0)f f ∴（1）0<，(0)f f （3）0>故选：C ．例29．已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<，且f （a ）f =（b ）=（c ）0=，现给出如下结论：①(0)f f =（3）；②(0)f f （1）0<； ③f （1）f （3）0<； ④22218a b c ++=． 其中正确结论个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：求导函数可得2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--∴当13x <<时，()0f x '<；当1x <，或3x >时，()0f x '>所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞和(3,)+∞单调递减区间为(1,3) 所以()f x 极大值f =（1）1694abc abc =-+-=-， ()f x 极小值f =（3）275427abc abc =-+-=-要使()0f x =有三个解a 、b 、c ，那么结合函数()f x 草图可知： 13a b c <<<<及函数有个零点x b =在1~3之间，所以f （1）40abc =->，且f （3）0abc =-< 所以04abc << (0)f abc =-， (0)f f ∴=（3）(0)0f ∴<(0)f f ∴（1）0<，f （1）f （3）0<， f （a ）f =（b ）=（c ）0=，3269x x x abc ∴-+-()()()x a x b x c =---32()()x a b c x ab ac bc x abc =-+++++-， 6a b c ∴++=①，9ab ac bc ++=②，把②代入①2得：22218a b c ++=； 故选：D ．题型七：三次函数恒成立问题例30．已知三次函数()f x 的导函数2()33f x x '=-+且(0)1f =-，()(1)ag x xlnx a x=+．（1）求()f x 的极值；（2）求证：对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，都有12()()f x g x ．【解析】解：(1)依题意得3()31f x x x =-+-，2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-知()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上是减函数，在(1,1)-上是增函数()()13f x f ∴=-=-极小值，()f x f =极大值（1）1= （2）法1：易得0x >时，()1f x =最大值，依题意知，只要1()(0)1(1)(0)ag x x xlnx a x x>⇔+>由1a 知，只要221(0)10(0)x x lnx x x lnx x x +>⇔+-> 令2()1(0)h x x lnx x x =+->，则()21h x xlnx x '=+-注意到h '（1）0=，当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<， 即()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数，()h x h =最小值（1）0= 即()0h x ，综上知对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，都有12()()f x g x 法2：易得0x >时，()1f x =最大值，由1a 知，1()(0)g x xlnx x x +>，令1()(0)h x xlnx x x=+>则22211()1x h x lnx lnx x x-'=+-=+注意到h '（1）0=，当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<， 即()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数，()h x h =最小值（1）1=，所以()1h x =最小值， 即()1g x =最小值．综上知对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，都有12()()f x g x ． 法3：易得0x >时，()1f x =最大值，由1a 知，1()(0)g x xlnx x x +>，令1()(0)h x xlnx x x =+>，则21()1(0)h x lnx x x'=+->令21()1(0)x lnx x x ϕ=+->，则311()0x x x ϕ'=+>，知()x ϕ在(0,)+∞递增，注意到ϕ（1）0=， 所以，()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数， 有()1h x =最小值，即()1g x =最小值综上知对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，都有12()()f x g x ．例31．已知函数3221()(1)3f x x ax a x b =-+-+，其图象在点(1，())f x 处的切线方程为30x y +-=．（1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[2x ∈-，4]，不等式2()f x c c <-恒成立，求c 的取值范围．【解析】解：（1）3221()(1)3f x x ax a x b =-+-+，22()2(1)f x x ax a ∴'=-+-，函数()f x 的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为30x y +-=． f ∴（1）21213a ab ==-+-+，f '（1）21211a a =-+-=-，解得1a =，83b =． 2()2(2)f x x x x x ∴'=-=-，令()0f x '>，解得2x >或0x <；令()0f x '<，解得02x <<．∴函数()f x 的单调递增为(,0)-∞，(2,)+∞；单调递减区间为(0,2)．（2）由（1）可得：3218()33f x x x =-+，2()2(2)f x x x x x '=-=-．由表格可知：当0x =时，函数()f x 取得极大值，(0)3f =，又f （4）8=．∴函数()f x 在[2x ∈-，4]上的最大值为8．由[2x ∈-，4]，不等式2()f x c c <-恒成立2[()]max f x c c ⇔<-，[2x ∈-，4]． 28c c ∴->，解得c >c <． c ∴的取值范围是133((,)2+-∞+∞．例32．已知函数32()()f x x ax bx c x R =+++∈在23x =-处取得极值，其图象在点(1，f （1）)处的切线与直线20y +=平行．（1）求a ，b 的值；（2）若对[1x ∈-，2]都有1()f x c<恒成立，求c 的取值范围． 【解析】解：（1）求导函数，可得2()32f x x ax b '=++，由题意2223()2()033a b -+-+=---①又231210a b ⨯+⨯+=---②联立得1,22a b =-=-⋯（5分）（2）依题意得321122x x x c c --+<，即321122x x x c c --<-，对[1x ∈-，2]恒成立，设32122y x x x =--，则232(1)(32)y x x x x '=--=-+解(1)(32)0x x -+=得2,13x x =-=当2(1,)3x ∈--时，0y '>；当2(,1)3x ∈-时，0y '<；当(1,2)x ∈时，0y '>⋯（10分）则223(),()272f x f x ==-极大值极小值 又1(1),(2)22f f -==，所以()2f x =最大值；故只须12c c->⋯（12分）解得1c <或01c <<即c 的取值范围是(,1)(0,21)-∞-⋯（14分）例33．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间； （2）若对[x c ∈，1]，不等式()2cf x <恒成立，求c 的取值范围． 【解析】解：（1）32()f x x ax bx c =+++，2()32f x x ax b '=++，23∴-，1时2320x ax b ++=两个根，22133a ∴-+=-，2133b-⨯=， 解得12a =-，2b =-；2()32(32)(1)f x x x x x '∴=--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：∴函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-和(1,)+∞，递减区间是(3-，1)．（2）由（1）可得321()22f x x x x c =--+，当23c -时，由（1）知()f x 在[c ，1]上的最大值为222()327f c -=+，所以只需要222()3272cf c -=+<，得4427c <-；当213c -<<时，由（1）知()f x 在[c ，1]上的最大值为f （c ）3212c c c =--，∴只需要f （c ）32122c c c c =--<，解得1c <-或302c << 01c ∴<<，综上所述，c 的取值范围为(-∞，44)(027-⋃，1) 例34．已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-． （1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意1x ，2(1,1)x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立． 【解析】解：（1）由奇函数的定义，应有()()f x f x -=-，x R ∈ 即330ax cx d ax cx d d --+=---∴= 因此，32()()3f x ax cxf x ax c '=+=+由条件f （1）2=-为()f x 的极值，必有f '（1）0=，故230a c a c +=-⎧⎨+=⎩解得1a =，3c =-因此，3()3f x x x =-，2()333(1)(1)(1)f x x x x f f '''=-=+--=（1）0= 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数 当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1)2f -= （2）由（1）知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且()f x 在[1-，1]上的最大值(1)2M f =-=，()f x 在[1-，1]上的最小值m f =（1）2=- 所以，对任意的1x ，2(1,1)x ∈-，恒有12|()()|2(2)4f x f x M m -<-=--=例35．已知函数2()2f x x x k =+-，32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠是R 上的奇函数，当1x =时，()g x 取得极值2-．（1）求函数()g x 的单调区间和极大值；（2）若对任意[1x ∈-，3]，都有()()f x g x 成立，求实数k 的取值范围；（3）若对任意1[1x ∈-，3]，2[1x ∈-，3]，都有12()()f x g x 成立，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（1）32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠是R 上的奇函数，()()g x g x ∴-=，可得0b d ==，即3()(0)g x ax cx a =+≠， 又当1x =时，()g x 取得极值2-，∴(1)0(1)2g g '=⎧⎨=-⎩，即302a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩，故函数3()3g x x x =-，导函数2()33g x x '=-，令2330x -=解得1x =±，当(,1)x ∈-∞-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当(1,1)x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 故当1x =-时，()g x 取到极大值(1)2g -=（2）23()()24f x g x x x k x -=+--，对任意[1x ∈-，3]，都有()()f x g x 成立，只需2324k x x x +-，构造函数23()24F x x x x =+-，[1x ∈-，3]，2()344F x x x '=-++， 令]，()0F x '=可得2x =或23x =-，当2(1,)3x ∈--时，()0F x '<，()F x 单调递减当2(3x ∈-，2)时，()0F x '>，()F x 单调递增，当(2,3)x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当2x =时，()F x 取到极大值F （2）8=，(1)1F -=-，故()F x 的最大值为8， 故实数k 的取值范围为：8k ；（3）若对任意1[1x ∈-，3]，2[1x ∈-，3]，都有12()()f x g x 成立， 即()f x 在区间[1-，3]上的最大值都小于或等于()g x 的最小值， 由（1）可知：当[1x ∈-，1)时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1x ∈，3]时，()0g x '>，()g x 单调递增，故当1x =时，函数()g x 取到极小值， 也是该区间的最小值g （1）2=-，而2()2f x x x k =+-为开口向上的抛物线，对称轴为14x =-，故当3x =时取最大值f （3）21k =-，由212k --，解得23k 例36．设函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数． （Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅰ）已知不等式2()21f x x x a '>--+对[0x ∈，1]都成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）2()3(1)f x ax x a '=-++， 由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以f '（1）0=，即310a a -++=， 1a ∴=．（Ⅰ）由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+，对任意[0x ∈，1]都成立， 即2(1)220a x x a --+>对任意[0x ∈，1]都成立， 令2()(1)22g x a x x a =--+，①当1a =时，由()0g x >解得1x <，显然1x =时不成立，故1a ≠；②当10a -<，即1a <时，2()(1)22g x a x x a =--+开口向下，()g x 的对称轴为2102(1)1x a a -=-=<--，2()(1)22g x a x x a ∴=--+在[0，1]上单调递减，()0g x g ∴>⇔（1）(1)220a a =--+>，解得1a >，与1a <矛盾，故1a <不符合题意；③当10a ->，即1a >时，2()(1)22g x a x x a =--+开口向上，()g x 的对称轴为2102(1)1x a a -=-=>--，若1011a <-，即2a 时，11()()2011min g x g a a a a ==->⇒--a <， 2a ∴；若111a >-，即20121a a a ->⇒<<-时，2()(1)22g x a x x a =--+开口向上， ()0g x g ∴>⇔（1）(1)220a a =--+>，解得1a >，又12a <<， 12a ∴<<．综上所述，1a >． 例37．设函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数． （1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式2()1f x x x a '>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围． 【解析】解：（1）2()3(1)f x ax x a '=-++ 由于函数()f x 在1x =时取得极值， 所以f '（1）0=即310a a -++=，1a ∴=（2）由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+ 对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +--> 对任意(0,)a ∈+∞都成立于是2222x xa x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，。
三次函数图像与性质【10类题型】(解析版)-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突(新高考专用)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
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专题03 三次函数型
[高考真题]
（2020·浙江·9）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ）
A. a <0
B. a >0
C. b <0
D. b >0
[强化训练]
1.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ．
2.已知函数()f x 的导函数为()(2)()(0)f x ax x x a a '=+-≠，若函数()f x 在2x =-处取到极小值，则实数a 的取值范围是 ．
3.若函数2
()f x x x a =-在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 4.若函数2
()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
5.设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ．
6.已知,a R ∈函数2
()f x x x a =-，求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值. 7.已知函数2()12f x x x =-的定义域是[0,]m ，值域是2
[0,]am ，则实数a 的取值范围是 .
解析：
专题03 三次函数型
[高考真题]
【答案】C
【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，欲满足题意，从形上看则必须在x ≥0 时有两个重合的零点才可以，对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+
当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；
当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.
综上一定有0b <.
故选：C
点评：①本题使用了作三次函数示意图的方法——序轴标根法，它是高次不等式的常用解法. “序轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”， 所谓序轴就是省去原点和单位，只表示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向（自右往左，蛇形穿根，奇（次幂）过偶（次幂）不过），这种画法俗称“穿针引线法”.用数轴标根法解不等式的步骤：移项、求根、标根、画线、选解.
②本题要求学生功底扎实,思维层次要高, 尤其对于处理函数、不等式等题型数形结合思想数轴标根法的优势就体现出来,所谓胸有蓝“图”，一路坦途.
[强化训练]
1.【答案】3-
【解析】因为(0)1f =,且由21()62=6()03f x x ax x x a '=--=得: 0x =或13
x a = 所以函数的图象是增-减-增型，且在0x =或13
x a =处取得极值 ()f x。