初中数学小班综合集训讲义(三.2)

【训练版块三：一次方程（组）和一次不等式 （组）】2、基础知识一：二元一次方程组（一）知识结构与基本功训练 1、知识结构(1)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c(2)如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，(0)a bc c c =≠(3)如果a ＝b ，那么b ＝a(4)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c(元)，未知数的次数都是1， 且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程 1概念——由两个一次方程组成，并含有两个未知数的 方程组叫做二元一次方程组思想——消元方法——代入消元法和加减消元法 概念——由三个一次方程组成的含三个未知数的方 程组，叫做三元一次方程组 解法——代入消元法和加减消元法 关键——找出题中的相等关系，根据相等关系列出方程（组）路程＝平均速度×时间本金×利率×期数＝利息，本金+利息＝本息和实际售价－成本(或进价)＝利润，利润率＝100%⨯利润成本 工作效率＝工作总量工作时间现在的量＝原来的量×（1＋增长率） 2、基本功训练题型一：化简整理后适当选择代入消元法/加减消元法解二元一次方程组等式的性质一元一次方程 消元 消 元解法 二元一次方程三元一次方程 常见的相等关系应用一 次方程 与方程 组（1）12,43231y xx y++⎧=⎪⎨⎪-=⎩（2）110.3(2),51491.420xyy x+⎧--=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪⎩【练一练】解方程组：（1）1129,357310;35x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（2）0.50.7350.440;x yx y+=⎧⎨+=⎩（3）6234()5() 2. x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩题型二：整体消元法【例2】解方程组35()36,34()36.x x yy x y++=⎧⎨++=⎩①②①②①②2222()()2(),()()2().a b x a b y a b a b x a b y a b ⎧-++=-⎪⎨++-=+⎪⎩ （ab ≠0）【练一练】解下列关于x 、y 的方程组：（1）5,(2)2(2);(3)x y x a y x a +=⎧⎨-+-=≠⎩ （2）,.ax by a bx ay b -=⎧⎨-=⎩（a 2≠b 2）（3）7,238.32x yx yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩题型三：根据几个方程的公共解，确定未知系数【例4】已知方程组352,23x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩的解适合方程x ＋y ＝8，求m 的值.①②①已知满足352,23x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩ 的x 、y 值的和等于2，求m 2－2m －1的值.②若关于x 、y 的方程组,25ax by c ax by c +=⎧⎨-=⎩的解是12.x y =⎧⎨=-⎩求a: b: c 的值。

【点拨】常数项为含有字母m 的式子的方程组，其解为二元一次方程的解，有三种思路：①求关于m 的解，代入二元一次方程中；②消去m 再与已知的二元一次方程组成方程组；③适当变形，把已知方程整体代入。

题型四：二元一次方程组的综合应用【例5】若522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，则m ＝ ，n ＝ .【例6】已知有理数x 、y 满足|3x －6y －7|＋（3y ＋x －4）2＝0，则xy ＝ .【例7】已知4330,30.x y z x y z --=⎧⎨--=⎩求2222xy yzx y z ++-的值.①②①甲乙两名同学一起解方程组3,315.ax y x by +=⎧⎨-=⎩ 由于甲看错了①中的a ，解得1,6.x x =⎧⎨=⎩由于乙看错了②中的b.解得2,1.x y =⎧⎨=⎩那么原方程组的正确解是什么？②已知|a +2b －9|＋（3a －b ＋1）2＝0，求a 、b 的值。

③已知23,238,a b c a b c +=⎧⎨-=-⎩求34432a b c a b c ++-+的值。

（二）实际问题与二元一次方程组 1、列方程组解决实际问题的一般步骤训练【例1】某船的载重量为300t ，容积为1 200m 3，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨的体积为6m 3，乙种货物每吨的体积为2m 3，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？知识解读：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题后标关键句——概括出两个与未知量相关的相等关系。

（2）设、列、解方程组。

（4）检验作答：检验所求的解是否符合题目的实际意义，然后作答。

①②【例2】2011年7月1日是中国共产党建党90周年纪念日，某校组织一部分学生前去参加市举办的“唱响红歌”庆祝联欢活动，分别给每位男、女生佩戴了白、红颜色的太阳帽，当大家坐在一起时，发现了一个有趣的现象：每名男生看到白色的帽子比红色的帽子多5个，每名女生看到红色的帽子是白色帽子数量的34，根据以上信息，你能推算一下这群学生中男、女生各有多少名吗？【练一练】①有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57名，绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（）人。

A．129 B. 120 C.108 D.96②某组同学发放练习本，若每人分得6本，则少6本；若每人分得5本，则多5本。

这批练习本共有多少本？学生共有多少人？2、直接设未知数和间接设未知数【例1】某厂去年的总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元。

已知今年计划总产值比去年增加15%，而今年计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值和总支出各为多少？知识解读：（1）在一个实际问题中，一般涉及到几个未知量，可直接设要求的未知量，也可间接设其他未知量，再求出要求的未知量。

（2）注意：一般来说，列方程组解应用题的优势在于更直接，因此一般是求什么就设什么，但有时直接设元无论是列还是解方程组都比较麻烦，这时便可采用间接设元的方法来使问题简化，因此，如何设元应从实际出发，遵循“直难则间”的原则。

【练一练】A，B两地相距20km，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2h后两人在途中相遇，相遇后，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2km，分别求甲、乙两人的平均速度。

3、列方程组解决常见类型的实际问题类型一：数字问题【例1】一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。

【练一练】有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数。

类型二：古代算术问题【例2】《四元玉鉴》中记载：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果各几个？各该几个钱？【练一练】一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几人？类型三：利润问题【例3】一件商品如果按定价打九折出售，可以盈利20%；如果打八折出售，可以盈利10元，问此商品的定价是多少？【练一练】在“十一”黄金周期间，某超市进行打折促销，已知甲商品打7.5折销售，乙商品打折7.5折销售，乙商品打8折销售. 买20件甲商品与10件乙商品，打折后比打折前少花460元，打折后买10件甲商品与10件乙商品共用1 090元，求甲、乙两种商品打折前的价格各是多少元？类型四：配套问题【例4】某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使用每天生产出来的产品配成的套数最多？【练一练】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房，若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名，问：应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件全部运进库房/【例5】张明沿公路匀速前进,每隔4 min就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他，假定公共汽车速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1200m，求张明前进的速度和公共汽车的速度。

【例6】一列客车和一列货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150m，货车长250m，若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需10s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需100s，试求两车速度。

【练一练】①某要骑自行车从A地出发去B地，先以每小时12km的速度下坡，再以每小时9km的速度在平路上行驶至B地，共有55min；回来时他以每小时8km的速度通过平路后，再以每小时4km的速度上坡至A地，共用1.5h，求A、B两地之间的路程。

②某环行跑道一圈长400m，若甲、乙两名运动员从起点同时出发，相背而行，25s后相遇；若甲从起点先跑2s，乙从该点同向出发追甲，3s后乙追上甲，求甲、乙两人的速度。

【例7】李红用甲、乙两种储蓄形式共储蓄了1万元人民币，其中甲种储蓄的年利率为7%，乙种储蓄的年利率为6%，一年后，李红得到本息和共10 680元，那么李红用两种形式各储蓄了多少钱？【练一练】小刚以两种方式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，可得利息43.92元，已知这两种储蓄年利率之和为3.24%，则这两种储蓄的年利率分别是多少？类型七：工效问题【例8】某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度，在客户要求的期限内只能完成订货量的45；现在工厂改进了人员结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求要订做的工作服是多少套？要求的期限是多少天？【练一练】某城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，把200km以外的一条大河的水引到城市中来，这个工程被交给了甲、乙两个施工队，工期50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6km。

10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天也比原来多修0.4km，结果如期完成任务，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？题型八：增长率与下降率问题【例9 】某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校学生将增加10%，则该学校现有在校初中生多少人？在校高中生多少人？【例10】某商店出售A、B、C三种商品，一月份C商品的销售金额占商店总销售金额的60%；预计二月份A、B两种商品的销售金额之和减少5%，要使二月份商店总销售金额比一月份的总销售金额增长10%，那么必须使C商品的销售金额比一月份增长多少？【练一练】为解决农民工子女入学难的问题，某市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”，据统计，2012年秋季有5 000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2013年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2012年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样2013年秋季将增加1 160名农民工子女在主城区中小学学习。