四川省古蔺县中学高中数学 2.2.1函数课件 新人教A版必修1
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高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1
提示：①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(－12)x＝2成
立，所以log(－
1 2
)2不存在，所以a不能小于0.②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N
＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无 数个值，不能确定．
1
30
思考 1 对数恒等式 a logaN＝N 成立的条件是什么？ 提示：成立的条件是a>0，a≠1且N>0.
思考 2 用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是什么？
提示：用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数 要一致，为此要灵活应用幂的运算性质．
思考 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？
提示： ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1， ∴化成对数式为loga1＝0； ∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.
1
24
[典例示法] 例3 求下列各式中x的值． (1)logx27＝32；(2)log2x＝－23； (3)x＝log2719；(4)log3(lgx)＝1.
题目(1)(2)中的对数式化为指数式是怎样的？题目(3)(4)呢？
3
提示：(1)化为指数式x2
＝27，(2)化为指数式2－23
＝x，(3)化为指数式27x＝19，(4)化为指数式31＝lgx.
1
25
[解]
(1)由logx27＝32可得x32 ＝27，
2
学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.1第2课时对数运算课件新人教A版必修.ppt
3．logaMn＝ nlogaM
(n∈R)．
二、对数换底公式 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)； 特别地：logab·logba＝ 1 (a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)．
[双基自测]
1．lg 8＋3lg 5 的值为( )
A．－3
B．－1
第 2 课时 对数运算
考纲定位
重难突破
1.掌握对数的运算性质． 重点：对数的运算性质．
2．能熟练运用对数的运算性质进行化 难点：换底公式的应用.
简求值.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么： 1．loga(M·N)＝ logaM＋logaN . 2．logaMN＝logaM－logaN .
b＝log510＝lg15，
∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：1
4．计算下列各式的值．
(1)12lg3429－lg 4＋lg 245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解析：(1)原式＝lg472－lg 4＋lg7
5＝lg4
2×7 7×4
5＝lg(
2×
忽略对数的限制条件导致错误
[典例] 若 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求xy的值． [错解] 因为 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)， 所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即 x2－xy－2y2＝0，
高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1
A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.
四川省古蔺县中学高中数学 1.2.2.1函数的表示法导学案 新人教A版必修1
一、教学目标1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优缺点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；2. 通过具体实例，了解简单的分段函数及分段函数概念的理解.3. 了解映射的概念及表示方法；会判断给定的对应关系是否是映射.二、教学重难点教学重点：解析法、图像法、列表法表示函数. 教学难点：分段函数的概念及应用；映射与函数的关系.三、课时学法指导 本节课以学生自学为主，在预习过程找到解析法、图像法、列表法的优点和不足之处，能够根据不同的实际情景选择恰当的方法表示函数，掌握分段函数的概念，了解映射与函数的关系.四、预习案 完成任务情况自评： 学科组长评价： . 1.任务布置：（1）自学课本19-22页，找出函数的三种表示方法的优缺点.（2）思考：是不是所有函数都可以用三种表示法表示？ （3）理解分段函数的概念及特征.（4）完成大聚焦p13 p15 2.2、2.3知识再现.2.存在问题:五、探究案1. 复习：（1）函数的三要素是 、 、 .（2）已知函数21()1f x x =-，则(0)f = ，1()f x= ，()f x 的定义域为 . 2. 探究：函数的三种表示方法函数的表示方法 优点 缺点解析法图示法列表法※ 典型例题例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数()y f x =.反思：例1的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？3.探究例5、例6概括出分段函数的概念分段函数是指：试一试：(1)已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，求(0)f 、[(1)]f f -的值(2)某水果批发店，100 kg 内单价为1元／kg ， 100 kg 及以上至500 kg 内单价为0.8元／kg ，500 kg 及以上0.6元／kg ，试写出批发x 千克应付的钱数y （元）的函数解析式.4.探究：映射的概念观察下面的例子，归纳其特点：探究看下面几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.①{1,4,9}B=---，对应法则：开平方；A=, {3,2,1,1,2,3}②{3,2,1,1,2,3}A=---，{1,4,9}B=，对应法则：平方；③欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首都构成集合B,对应关系f：国家a对应于它的首都b共同特点：映射的概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”关键词：非空的集合，A中任意，B中唯一；对应法则f.试试：分析①～③是否映射？①对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；②对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的坐标和它对应；③某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.探究p22例7及思考。
四川省古蔺县中学高中数学 1.2.1函数的概念课件 新人教A版必修1
(1)A, B 都是非空数集； (2)f : A →B确定了集合A到集合B上的函数; (3)函数的定义域为 A；值域{f(x)|x∈A} B,而 值域{f(x)|x∈A}由定义域,对应关系确定; (4)符号y=f(x)的理解 ①x是自变量,它是对应关系所施加的对象； ②f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式, 可以是图象,表格, 也可以是文字描述; ③y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f 与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式. (5)常用函数符号: ƒ(x) ,g(x), h(x), F(x), G(x)等.
【1】下列图象具有函数关系的是__ A 和__. D
y o x y o x y o 1 x
A
y o 1 x
B
y o x
C
y 1 o
-1
x
D
E
F
函数三要素：定义域，对应法则，值域。
集合有相等，我们思考函数是不是也可以相等， 若可以，怎么判断函数相等？ 定义域，对应法则确定后，值域就确定了，因此我 们只须判断 两个函数的定义域和对应法则是否相 等就可以了。
3.什么是函数（初中定义） 一般地 , 设在一个变化过程中有两个 变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯 一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是 x的函数. 从今天开始,我们将进一步学习函数 及其构成要素.下面先看几个实例.
(1)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中 目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的 高度(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律 2 是h=130t-5t .
5.设 A { x | 0 ≤ x ≤ 2}, B { x | 1 ≤ y ≤ 2}. 下图表示从A到B的函数是( D)
人教A版高中数学必修1第一章1.2.1函数的概念课件
实例分析3
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低， 恩格尔系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间 （年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民 的生活质量发生了显著变化．
时间（年）
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
人教A版 高中数学必修一 第一章《集合与函数的概念》
课题：1.2.1 函数的概念 难点名称：函数概念的理解
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
导入
初中时函数是如何定义的呢
一般地,设在一个变化过程中有两
个变量x、y,如果对于x的每一个值,y都 有唯一的值与它对应,那么就说x是自变 量,y是x的函数.
B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
以上三个实例的共同特点是: 对于数 集A中的每一个x，按照某种对应关系f, 在数集B中都有唯一的y和它对应.
知识讲解难点突破
函数定义
一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某 种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在 集合B中都有唯一确定的元素与它对应,这样的 对应叫做从A到B的一个函数
高中数学 1.2.1函数的概念课件1 新人教A版必修1
4
讨论研究，深化理解
1 . 【例1】已知函数 f ( x) x 3 x2
（1）求函数的定义域；
2 （2）求 f ( 3), f ( ) 的值； 3
（3）当 a 0 时，求 f ( a ), f (a 1) 的值．
5
即时训练，巩固新知
练习1
求函数 f ( x) 1 x x 3 1 的定义域. 练习2
2
创设情境，形成概念
炮弹飞行时间t的变化范围是数集
A {t 0 t 26}
炮弹距地面的高度h的变化范围是数集
B {h 0 h ，按照对 应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的 高度h和它对应.
2
创设情境，形成概念
相同的特点：
①都有两个非空数集A，B； ②两个数集之间都有一种确定的对应关系; ③对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 值和它对应.
《函数的概念》
1
回忆旧知，引出困惑
在一个变化过程中，有两个变 量x与y,如果对于x的每一个值，都有 唯一确定的y值和它对应，那么就说 y是x的函数,x叫自变量．
y 0( x R )是函数吗？
2
创设情境，形成概念
实例一：一枚炮弹发射后，经过26s落到地 面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距 地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s） 变化的规律是：h=130t-5t2.(﹡)
2
创设情境，形成概念
函数的概念:
一般地，设A，B是非空的数集，如果 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应，那么就称 f : A B 为从 集合A到集合B的一个函数，记作为从集合 A到集合B的一个函数，记作 y f ( x ), x A.
高中数学 2.1.2.1指数函数的定义与简单性质课件 新人教A版必修1
1
32
[走出误区] 易错点⊳忽略分类讨论致求指数型函数值域出错 [典例] [2013·赤壁高一检测]若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
a0－1＝0， [错解档案] 由题意可知a2－1＝2， 解得a＝ 3.
[误区警示] 虽然结果正确，但解题过程缺少步骤，没有分类讨论的意识．实际上在不知底数a的取 值的情况下，要对a的取值分a>1和0<a<1两种情况讨论．
由指数函数的性质知，y＝(13) x－2≤(13)0＝1， 且y>0，故此函数的值域为(0,1]．
1
31
[规律小结] 1.指数函数的定义 理解指数函数的定义，需注意的几个问题：
(1)因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R；且ax>0，所 以函数的值域是(0，＋∞)．
1．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”；当a>1时，指数函数的图象“上升”；当 0<a<1时，指数函数的图象“下降”．
2．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数 图象越靠近y轴．
当a>b>1时， (1)若x>0，则ax>bx>1； (2)若x<0，则1>bx>ax>0. 当1>a>b>0时， (1)若x>0，则1>ax>bx>0； (2)若x<0，则bx>ax>1.
1
16
【跟踪训练1】 函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2
四川省古蔺县中学高中数学 1.2.1.1函数的概念导学案 新人教A版必修1
四川省古蔺县中学高中数学必修一 1.2.1.1函数的概念导学案一、教学目标：1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.二、教学重难点：1.教学重点：理解函数的概念.2.教学难点：函数的概念及符号)(x f y =的理解。
三、课时学法指导学生自学和教师引导相结合，通过实际例子概括出函数的概念，了解函数的三要素，会求常见函数的定义域和值域，学会用区间表示集合。
四、预习案: 完成任务情况自评： 学科组长评价： .1.任务布置：思考1：（阅读课本P 15）给出三个实例：1）讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为： ，记作：:f A B →总结出函数的概念？关键词是哪些？函数的三要素是什么？2）思考:2：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域分别是什么？3）思考3：如何用区间表示集合？4)完成大聚焦p9 2.1知识再现.2.存在问题:五、探究案探究：15页引例：1.函数定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
值域是集合B 的子集。
关键词是哪些？ 符号)(x f y =的意义是辨析：下列对应关系是否表示A 到B 的函数？并说明原因。
人教A版高中数学必修一课件2.2.1函数
(3)已知f (x)满足2 f (x) f (1) 3x,求f (2), 求f (x) ? x
赋值法
构造方程法
解 : 2 f (2) f (1) 3 2 6, 2
2 f (1) f (2) 3 1 3 ,
2
22
消元得 f (2) 7 . 2
解 : 2 f (x) f (1) 3x, x
小结：若已知函数的构造模式，可用待定系数法.
练习：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平 方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.
f(x)=x2-4x+3.
(2)已知f (x 1) x2 2x 1, 求f (x)的解析式.
法一（配凑法）：
法三（换元法）：
⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数，是一种比较常用的方法
⒌ 根据实际问题求函数的表达式，是应用函数知识解决实际 问题的 基础，在设定或选定自变量后去寻找等量关系，以求 得表达式， 要注意函数定义域应由实际问题确定.
t 2 4t 4,
(x 11)(x 1 3) 1 f (x) x2 4x 4.
(x 1)2 4(x 1) 4,
f (x) x2 4x 4.
若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法； 当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.
2 f (1) f (x) 3 1 .
x
x
消元得 f (x) 2x 1 . x
例2 高为h，底面半径为r的圆柱形容器内，以单位时间内体积 为a的速度充水，试求出水面高y与时间t的函数关系式，并求 其定义域.(提示：圆柱的体积=底面积×高 ）
人教A版高中数学必修一课件2.2.2函数.pptx
定义
名称
{x | a x b 闭区间
{x | a x b 开区间
{x | a x b
左闭右开区 间
左开右闭区
{x | a x b 间
符号 [a，b] (a，b) [a，b)
(a，b]
数轴表示
这样实数集R可用区间表示为(,) 读作"无穷大"读作"正无穷大"读作"负无穷大"
x a可表示为 [a,) x a可表示为 (a,)
解：这个函数的定义域是{1，2，3，4}，
它的图象由4个孤立点组成， 坐标分别是(1,5),(2,10),(3,15), (4,20),
如图1所示.
⒊判断两个函数是否相同的依据
判定两个函数是否相同的依据，就是看定义域和对应法则是否 完全一致，完全一致时，这两个函数就是相同的.
例2下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？ (3)
⑵若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
⑶若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或 等于0的实数集合；
⑷若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是 使各部分式子都有意义的实数集合；
⑸若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合 实际问题.
320, x (60,80], 400, x (80,100].
例5画出函数y=|x|=
x, x 0, x, x 0.
的图象.
解：这个函数的图象是两条射线，分别是 第一象限和第二象限的角平分线，如图3所 示.
说明： ①再次说明函数图象的多样性； ②从例4和例5看到，有些函数在它的定
义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同， 这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数， 而不是几个函数. ③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，
人教A版高中数学必修一课件2.1.2函数.pptx
(3)函数的三要素
函数由定义域、值域和对应法则三部分组成， 这三部分就叫做函数的三要素.
当定义域和对应法则确定之后，函数的值域也就随着确定了.
至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的，
故f (x) 3x 5与f (t) 3t 5是同一个函数.
另外，在同时研究两个或多个函数时，要用不同的符号来表示 它们.除了f(x)外还常用g(x),F(x),G(x)等符号.
4a
4a
它使得R中的任意一个数x与B中的数y ax2 bx c(a 0)对应.
⒉ 函数的三要素
(1)函数符号f (x)的含义
它表示y是x的函数，而不是f和x的乘积.其中f表示对应法则， 小括号表示把对应法则f施加于x这个变量之上， 而等号表示施加之后对应于y.
1) f (x) 3x 5 把自变量x先三倍再加5”即得x对应的函数值; 2) f (x) 2x2 3 把自变量x先平方再二倍再加3”即得x对应的函数值; 3) f (t) 3t 5 把自变量t先三倍再加5”即得t对应的函数值.
1) 3) 表达的对应关系一样吗？
(2)符号f (a)的含义
根据函数f (x) 3x 5,回答下列四个问题:
1) f (1)表达什么含义? f (1) ?
f (1) 31 5 8,
2) 求f (3), f ( 2 ),
3) f (1)与f (x)分别表达什么含义?
要注意f(a)与f(x)的联系与区别： f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量； 而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量， f(a)是f(x)的一个特殊值.
⒊f(x)与f(a)既有区别也有联系：f(a)表示f(x)在x=a时的函数 值，是常量；而f(x)是x的函数，通常是变量.
新人教A版必修1课件：2.2.1函数概念
第一页，编辑于星期日：十二点 四十四分。
?
设在一个变化过程中有两个变量
x与y, 如果对于x的每一个值, y都有
唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x
的函数. x叫做自变量. 思考: (1) y=1(x∈R)是函数吗？
(2) y=x与y= x2是同一函数吗？
x
第二页，编辑于星期日：十二点 四十四分。
1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是
R. 值域是 R.
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的
定义域是 R. 值域是
当a＞0时,为:
{y
y
4 ac b 2 4a
}
当a＜0时,为: {y
y
} 4acb2 4a
第八页，编辑于星期日：十二点 四十四分。
2. 某山海拔7500m, 海平面温 度为250C,气温是高度的函数, 而
记作: f:A→B 或 y= f (x) x∈A.
其中,x叫做自变量, 集合A叫做定义域, y 叫做函数值, y的集合叫做值域.
第四页，编辑于星期日：十二点 四十四分。
⑴ 定义域,值域,对应关系f 称为函
数的三要素.B不一定是函数的值域,
值域由定义域和对应关系f 确定. ⑵ 两个函数相同必须是它们的定
乘2
1
1
2
A
2
3 B 4
3
5
6
平方
1
－1
1
A2
－2
4
3
பைடு நூலகம்
B
9
－3
(1)
(2)
求倒数
1
1
2
1
A3
12B
4
3 1
?
设在一个变化过程中有两个变量
x与y, 如果对于x的每一个值, y都有
唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x
的函数. x叫做自变量. 思考: (1) y=1(x∈R)是函数吗？
(2) y=x与y= x2是同一函数吗？
x
第二页，编辑于星期日：十二点 四十四分。
1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是
R. 值域是 R.
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的
定义域是 R. 值域是
当a＞0时,为:
{y
y
4 ac b 2 4a
}
当a＜0时,为: {y
y
} 4acb2 4a
第八页，编辑于星期日：十二点 四十四分。
2. 某山海拔7500m, 海平面温 度为250C,气温是高度的函数, 而
记作: f:A→B 或 y= f (x) x∈A.
其中,x叫做自变量, 集合A叫做定义域, y 叫做函数值, y的集合叫做值域.
第四页，编辑于星期日：十二点 四十四分。
⑴ 定义域,值域,对应关系f 称为函
数的三要素.B不一定是函数的值域,
值域由定义域和对应关系f 确定. ⑵ 两个函数相同必须是它们的定
乘2
1
1
2
A
2
3 B 4
3
5
6
平方
1
－1
1
A2
－2
4
3
பைடு நூலகம்
B
9
－3
(1)
(2)
求倒数
1
1
2
1
A3
12B
4
3 1
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x) ______ .
1 x2 1 (3)已知g ( x) 1 2 x, f [ g ( x)] ( x 0), 则 f ( ) ______ . 15 2 x 2 (4)将长为a的铁丝折成矩形,面积y关于边长x的函数 (5)已知f ( x) x 2 1( x 0),
法三（换元法）：
f ( x 1) ( x 1)2 4( x 1) 4, f ( x) x 2 4 x 4.
法二（配凑法）：
令x 1 t , 则x t 1, f ( x 1) x 2 2 x 1, 即f (t ) (t 1) 2 2(t 1) 1 t 2 4t 4, f ( x ) x 2 4 x 4.
1 (3)已知f ( x)满足2 f ( x) f ( ) 3x, 求f (2), 求f ( x) ? x
赋值法 构造方程法
1 解 : 2 f (2) f ( ) 3 2 6, 2 1 1 3 2 f ( ) f (2) 3 , 2 2 2
消元得 f (2) 7 . 2
小结：若已知函数的构造模式，可用待定系数法. 练习：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平 方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式. f(x)=x2-4x+3.
(2)已知f ( x 1) x 2 2 x 1, 求f ( x)的解析式.
法一（配凑法）：
f ( x 1) x( x 2) 1 ( x 1 1)( x 1 3) 1 ( x 1) 2 4( x 1) 4, f ( x) x 2 4 x 4.
若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法； 当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.
ax a y {x | 0 x } 关系是 ________ 2 ，定义域是 ____ . 2 x 2
2 x( x 0), 若f ( x) 10, 则x ____ -3 . (6)已知函数f ( x)满足f ( ab) f ( a ) f (b),
2(p+q) 且f (2) p, f (3) q, 则f (36) ____ .
⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数，是一种比较常用的方法.
⒌ 根据实际问题求函数的表达式，是应用函 数知识解决实际问题的 基础，在设定或选 定自变量后去寻找等量关系，以求得表达 式， 要注意函数定义域应由实际问题确定.
谢谢
at 解:由题意at r y , 即y , 2 r r 2h 0 y h, 0 t . a r 2h 即定义域是[0, ]. a
2
这是函数知识在实际问题中的应用，其定义域 是由实际问题所决定的.
练习 :
1 1 1 f ( x ) . (1)若f ( ) , 则f ( x) _______ . 1 x x 1 x (2)已知f ( x)是二次函数, 且满足f (0) 1, f ( x 1) f ( x) 2 x,
§2.2.2 函 数（二）函数的解析式
古蔺中学
一、复习引入 ⒈用映射刻划的函数的定义是什么？函数符号的含义是什么？ 函数的表示方法常用的有哪些？
⒉引入：我们已经了解了函数的概念和表示方法.在此基础上， 今天我们来学习确定函数解析式的几种常见方法.
什么是函数的解析式？ 下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法.
1 解 : 2 f ( x ) f ( ) 3 x, x 1 1 2 f ( ) f ( x) 3 . x x
1 消元得 f ( x) 2 x . x
例2 高为h，底面半径为r的圆柱形容器内，以单位时间内体积 为a的速度充水，试求出水面高y与时间t的函数关系式，并求 其定义域.(提示：圆柱的体积=底面积×高 ）
三、小 结
⒈解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量 之间建立联系的桥梁； ⒉解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关， 如y=2x-1与u=2t-1是同一个函数；
⒊求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法，
若已知函数的构造模式，可用待定系数法； 若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法； 当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.
二、学习、讲解新课 例1 ⑴已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解：⑴设f(x)=ax+b， 则3f(x+1)-2f(x-1) =3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b] =ax+(5a+b) =2x+17, 比较系数得a=2且5a+b=17, ∴a=2，b=7,∴f(x)=2x+7.
1 x2 1 (3)已知g ( x) 1 2 x, f [ g ( x)] ( x 0), 则 f ( ) ______ . 15 2 x 2 (4)将长为a的铁丝折成矩形,面积y关于边长x的函数 (5)已知f ( x) x 2 1( x 0),
法三（换元法）：
f ( x 1) ( x 1)2 4( x 1) 4, f ( x) x 2 4 x 4.
法二（配凑法）：
令x 1 t , 则x t 1, f ( x 1) x 2 2 x 1, 即f (t ) (t 1) 2 2(t 1) 1 t 2 4t 4, f ( x ) x 2 4 x 4.
1 (3)已知f ( x)满足2 f ( x) f ( ) 3x, 求f (2), 求f ( x) ? x
赋值法 构造方程法
1 解 : 2 f (2) f ( ) 3 2 6, 2 1 1 3 2 f ( ) f (2) 3 , 2 2 2
消元得 f (2) 7 . 2
小结：若已知函数的构造模式，可用待定系数法. 练习：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平 方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式. f(x)=x2-4x+3.
(2)已知f ( x 1) x 2 2 x 1, 求f ( x)的解析式.
法一（配凑法）：
f ( x 1) x( x 2) 1 ( x 1 1)( x 1 3) 1 ( x 1) 2 4( x 1) 4, f ( x) x 2 4 x 4.
若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法； 当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.
ax a y {x | 0 x } 关系是 ________ 2 ，定义域是 ____ . 2 x 2
2 x( x 0), 若f ( x) 10, 则x ____ -3 . (6)已知函数f ( x)满足f ( ab) f ( a ) f (b),
2(p+q) 且f (2) p, f (3) q, 则f (36) ____ .
⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数，是一种比较常用的方法.
⒌ 根据实际问题求函数的表达式，是应用函 数知识解决实际问题的 基础，在设定或选 定自变量后去寻找等量关系，以求得表达 式， 要注意函数定义域应由实际问题确定.
谢谢
at 解:由题意at r y , 即y , 2 r r 2h 0 y h, 0 t . a r 2h 即定义域是[0, ]. a
2
这是函数知识在实际问题中的应用，其定义域 是由实际问题所决定的.
练习 :
1 1 1 f ( x ) . (1)若f ( ) , 则f ( x) _______ . 1 x x 1 x (2)已知f ( x)是二次函数, 且满足f (0) 1, f ( x 1) f ( x) 2 x,
§2.2.2 函 数（二）函数的解析式
古蔺中学
一、复习引入 ⒈用映射刻划的函数的定义是什么？函数符号的含义是什么？ 函数的表示方法常用的有哪些？
⒉引入：我们已经了解了函数的概念和表示方法.在此基础上， 今天我们来学习确定函数解析式的几种常见方法.
什么是函数的解析式？ 下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法.
1 解 : 2 f ( x ) f ( ) 3 x, x 1 1 2 f ( ) f ( x) 3 . x x
1 消元得 f ( x) 2 x . x
例2 高为h，底面半径为r的圆柱形容器内，以单位时间内体积 为a的速度充水，试求出水面高y与时间t的函数关系式，并求 其定义域.(提示：圆柱的体积=底面积×高 ）
三、小 结
⒈解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量 之间建立联系的桥梁； ⒉解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关， 如y=2x-1与u=2t-1是同一个函数；
⒊求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法，
若已知函数的构造模式，可用待定系数法； 若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法； 当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.
二、学习、讲解新课 例1 ⑴已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解：⑴设f(x)=ax+b， 则3f(x+1)-2f(x-1) =3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b] =ax+(5a+b) =2x+17, 比较系数得a=2且5a+b=17, ∴a=2，b=7,∴f(x)=2x+7.