2.2导数公式与运算法则
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导数的基本公式和运算法则
导数的基本公式和运算法则在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求解导数的基础，掌握这些公式和法则对于解决微积分中的各类问题至关重要。
本文将介绍导数的基本公式和运算法则，并通过具体的例子帮助读者更好地理解和应用。
导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
对于函数f(f)，其在点f处的导数可以表示为f′(f)或 $\\frac{df}{dx}$。
导数的定义公式如下：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$这个公式表示函数f(f)在点f处的导数是函数在f点微小变化量f趋近于 0 时的极限值。
导数的基本公式常数函数对于一个常数函数f(f)=f，其中f为常数，则导数f′(f)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平的直线，斜率恒为 0。
幂函数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则导数f′(f)=ff f−1。
这是幂函数求导公式的基本形式。
指数函数指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则导数$f'(x) = a^x \\cdot \\ln(a)$。
这是指数函数求导的基本公式。
对数函数对于自然对数函数 $f(x) = \\ln(x)$，则导数 $f'(x) =\\frac{1}{x}$。
自然对数的求导结果可以简单表达。
导数的运算法则导数具有一些运算法则，使得我们可以利用已知函数的导数求其它函数的导数。
以下是导数运算法则的一些常见规则：常数因子法则若f为常数，f(f)是可导函数，则 $(c \\cdot u(x))' = c\\cdot u'(x)$。
加法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则(f(f)+f(f))′=f′(f)+f′(f)。
乘法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则 $(u(x) \\cdot v(x))' =u'(x) \\cdot v(x) + u(x) \\cdot v'(x)$。
导数的公式及运算法则
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
作业
A组： 1 （2）（4）. . .（12） 3(4)(5)(6) 4 选作：A组： 5 B组： 1 3 4
1 cos x
1 cos x
3(ln sin x ln(1 cos x))
y
1 1 (sin x) (1 cos x)] 3[ sin x 1 cos x cos x 0 ( sin x) 3[ ] 3 cot x 3 sin x sin x 1 cos x 1 cos x
练习：P.45
A组
3
（1）（2）（3）
例8 设y e 解
1 x 2
，求y
1 x 2
y (e
1 x 2
) e
1
2
( 1 x 2 )
2
e
1 x 2 (
2 1 x
) (1 x )
x 1 x
2
e
1 x 2
sin x 3 ) ，求 y 例9 设y ln( 1 cos x sin x 3 sin x 解 由于 y ln( ) 3 ln
例10 设为实数，求幂函数 x的导数 y . 解 y x 可写成指数函数的形式： y e ln x
y e , u ln x, 1 dy u u 从而 (e ) ( ln x) e x dx u 1 1 e x x x
用定义求导数的方法
(1)求增量y
y (2)求比值 x y (3)求极限lim0 x x
2.2函数的求导法则
e5x (5x)
5e5x 20
例. 设 y (ax b)100 (a , b 为常数) 求 y '
解: 设 y u100 u ax b
y' dy du 100u99 a 100a(ax b)99
du dx
例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
2x
l n2 (tan
1 )'
:
x
tan 1
ln22 x
se c2
1
( 1 )'
xx
tan 1
ln 22 x
s ec2
1 x
1 x2
tan 1
2x
s e c2
1
ln2
x
x2
23
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 2. 设
3. y 2sin x2 , 求 y.
4. y arctan 1 , 求 y ' x
24
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 解 y 10( x2 1)9 ( x2 1)
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
2. 设
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x x2 1
1 x2 1
25
解（3） y 2sin x2 , 求 y.
解
y 2sin x2
(secx) x secx ( x )
secx tan x x secx 1 2x
14
二、反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. [ f 1( x)] 1 f ( y)
15
例
求函数
5e5x 20
例. 设 y (ax b)100 (a , b 为常数) 求 y '
解: 设 y u100 u ax b
y' dy du 100u99 a 100a(ax b)99
du dx
例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
2x
l n2 (tan
1 )'
:
x
tan 1
ln22 x
se c2
1
( 1 )'
xx
tan 1
ln 22 x
s ec2
1 x
1 x2
tan 1
2x
s e c2
1
ln2
x
x2
23
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 2. 设
3. y 2sin x2 , 求 y.
4. y arctan 1 , 求 y ' x
24
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 解 y 10( x2 1)9 ( x2 1)
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
2. 设
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x x2 1
1 x2 1
25
解（3） y 2sin x2 , 求 y.
解
y 2sin x2
(secx) x secx ( x )
secx tan x x secx 1 2x
14
二、反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. [ f 1( x)] 1 f ( y)
15
例
求函数
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
[解析] (1)①y′＝(x sinx)′＝(x )′sinx＋x (sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x (x －1)]′＝(x )′(x －1)＋x (x －1)′ ＝2x(x －1)＋x · 2x＝4x －2x.
1 2 1 3 －2 －3 (2)y′＝x＋x2＋x3′＝x＋2x ＋3x ′
又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， a＝3， 由4a＋b＝1， 解得b＝－11， 4a＋2b＋c＝－1， c＝9. 所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义， 导数的运算法则及运算能力．
思考
看成是由
2 x 3
2
由 y u 和 u 2x 3
P16 思考:如何求 y
ln ( x 2 )
导数?
二、复合函数的概念
一般地, 对于两个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) , 如果通 过变量 u , y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) 的复合函数,记作 y f ( g ( x ))
2 (cos x cos x sin x sin x ) 2 cos 2 x
y sin 2 x
可由y=sinu,u=2x复合而成
cos u , u 2 yu x
.u 2 cosu 2 cos 2 x yu x
y u yx u x
2
的导数
y'
(ax bx x)
3 2
(2ax b )
(2ax b)
2
2.2 导数的基本公式四则运算法则
时: (cu)' cu'
（3） (u )' u'v uv'
v
v2
例2.2.2 求下列函数的导数。
解：
（1） y x3 sin x ln 5
（2） y x3ex
（3） y tan x
（4）
x3 y
x 2
x
（1） y x3 sin x ln 5
解：
y ' (x3 sin x ln 5) ' (x3) ' (sin x) ' (ln 5) 3x2 cos x
解：
因为
y
x3
x2 ＝
x
x2
1
x2
2x 1
y
2x
1
3
x2
2x2
2
， 所以
【 小结 】 1．求导数的基本公式
常数的导数
幂函数的导数
指数的函数
6个三角函数的导数
4个反三角函数的导数
2．导数的四则运算法则
和、差、积、商的求导法则
【 作业 】 习题2 4 5
(cosx) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
* (secx)' sec x tan x
(arcsinx)' 1 1 x2
(arctanx)' 1 1 x2
* (cscx)' cscx cot x
(arccosx)' 1 1 x2
(arc
cot
x)'
（2） y x3ex
解：
y ' (x3ex ) ' (x3) 'ex x3(ex ) ' 3x2ex x3ex (x 3)x2ex
（3） (u )' u'v uv'
v
v2
例2.2.2 求下列函数的导数。
解：
（1） y x3 sin x ln 5
（2） y x3ex
（3） y tan x
（4）
x3 y
x 2
x
（1） y x3 sin x ln 5
解：
y ' (x3 sin x ln 5) ' (x3) ' (sin x) ' (ln 5) 3x2 cos x
解：
因为
y
x3
x2 ＝
x
x2
1
x2
2x 1
y
2x
1
3
x2
2x2
2
， 所以
【 小结 】 1．求导数的基本公式
常数的导数
幂函数的导数
指数的函数
6个三角函数的导数
4个反三角函数的导数
2．导数的四则运算法则
和、差、积、商的求导法则
【 作业 】 习题2 4 5
(cosx) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
* (secx)' sec x tan x
(arcsinx)' 1 1 x2
(arctanx)' 1 1 x2
* (cscx)' cscx cot x
(arccosx)' 1 1 x2
(arc
cot
x)'
（2） y x3ex
解：
y ' (x3ex ) ' (x3) 'ex x3(ex ) ' 3x2ex x3ex (x 3)x2ex
5.2.2导数的四则运算法则
(100−98)
费用的瞬时变化率是1321元/吨.
课堂小结
1. 函数的和、差的导数运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
5
2
=
5 ′
2
+
3 ′
2 2
+
]′
3 ′
2 2
5 3
3 1
= 2 + 2 ∙ 2
2
2
1
5 3
= 2 + 3 2 .
2
.
典型例题
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的
提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%时
所需费用（单位：元）为
5284
′ = 2
, ′ = 1 .
设ℎ = + = 2 + ；求ℎ′ .
∆
因为
∆
=
(+∆)2 + +∆ −( 2 +)
∆
(∆)2 +2 ⋅ ∆ + ∆
= ∆ + 2 + 1，
=
∆
∆
′
ℎ′ = ′ + ′ .
所以ℎ = lim
们有如下法则：
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
费用的瞬时变化率是1321元/吨.
课堂小结
1. 函数的和、差的导数运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
5
2
=
5 ′
2
+
3 ′
2 2
+
]′
3 ′
2 2
5 3
3 1
= 2 + 2 ∙ 2
2
2
1
5 3
= 2 + 3 2 .
2
.
典型例题
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的
提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%时
所需费用（单位：元）为
5284
′ = 2
, ′ = 1 .
设ℎ = + = 2 + ；求ℎ′ .
∆
因为
∆
=
(+∆)2 + +∆ −( 2 +)
∆
(∆)2 +2 ⋅ ∆ + ∆
= ∆ + 2 + 1，
=
∆
∆
′
ℎ′ = ′ + ′ .
所以ℎ = lim
们有如下法则：
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
导数公式及其运算法则
导数公式及其运算法则一、基本导数公式：1.常数导数公式：如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
2. 幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n是实数，那么f'(x)= nx^(n-1)。
3. 指数函数导数公式：如果f(x) = a^x，其中a是常数，那么f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数导数公式：如果f(x) = log_a(x)，其中a是常数，那么f'(x) = (1 / (x * ln(a)))。
5.三角函数导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))' = cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))' = -sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))' = sec^2(x)。
- cot(x)的导数：(cot(x))' = -csc^2(x)。
- sec(x)的导数：(sec(x))' = sec(x) * tan(x)。
- csc(x)的导数：(csc(x))' = -csc(x) * cot(x)。
二、导数的运算法则：1. 常数倍法则：如果f(x)可导，c是常数，那么(cf(x))' = cf'(x)。
2.和差法则：如果f(x)和g(x)都可导，那么(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：如果f(x)和g(x)都可导，那么(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.除法法则：如果f(x)和g(x)都可导，且g(x)不等于0，那么(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^25.复合函数的导数法则：如果f(x)和g(x)都可导，那么(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数公式及其运算法则
导数公式及其运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。
导数的公式及其运算法则包括如下几类：基本导数公式、常数倍法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则和链式法则。
一、基本导数公式：1.常数函数：对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0。
例如，f(x)=7的导数为f'(x)=0。
2.幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是任意实数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，f(x)=x^3的导数为f'(x)=3*x^23. 指数函数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，f(x) = 2^x 的导数为 f'(x) = ln(2)*2^x。
4. 对数函数：对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，f(x) = log_2(x)的导数为 f'(x) = 1/(x*ln(2))。
5. 三角函数：对于三角函数 f(x) = sin(x)，其导数为 f'(x) =cos(x)。
同样地，cos(x) 的导数为 -sin(x)，tan(x) 的导数为sec^2(x)，cot(x) 的导数为 -csc^2(x)。
二、常数倍法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，c 是常数，则 (cf(x))' =cf'(x)。
三、和差法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
四、乘法法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
高二数学导数运算法则
1 4 t 4
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
P92 1、2
2题再加两题 : 1 (5). y 4 ; (6). y x x. x
例4:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
1 ( 3) y ; 2 cos x
( 4) y
6x3 x 1 x
2
;
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
2.2 导数的基本公式与运算法则
2 2 x − 1 ( x + 1)( x − 1)′ − ( x + 1)′( x − 1) y′ = 2 = x +1 ( x 2 + 1) 2
′
( x 2 + 1)[( x )′ − (1)′] − [( x 2 )′ + (1)′]( x − 1) = ( x 2 + 1) 2
tan x
3) y = ln cos x; 5) y = 2
3
−x
;
解： 函数可以分解为y = u 3 ( x), u ( x) = 3 x 2 + 1, (1) y ' = [u ( x)]' = 3u ( x) ⋅ u ( x) ' = 3(3 x + 1) ⋅ (3 x + 1) '
2 2 2 2
例2
设 y = xlnx ， 求 y ′.
根据乘法公式， 解 根据乘法公式，有
y′ = (xlnx)′ = x (lnx)′ + (x)′lnx ′ ′ ′ ′
1 = x ⋅ + 1 ⋅ ln x x
= 1 + ln x .
例3
x −1 设 y = 2 , 求 y ′. x +1
根据除法公式， 解 根据除法公式，有
2
求下列函数的导数： 例1 求下列函数的导数：
(1) y = x x
(2) y = 2
x
(3) y = lg x
2.2.2导数的四则运算 2.2.2导数的四则运算
处可导， 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 、 ( ) v( x ) 则它们的和、 ( u( x ) ≠ 0 ) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 处也可导， 在 x 处也可导， 且 定理2. 定理2. 1 (u(x) ± v(x))′ = u′(x) ± v ′(x); ′ ′ (u(x)v(x))′ = u(x)v′(x) + u′(x)v(x); ′ ′ ′
′
( x 2 + 1)[( x )′ − (1)′] − [( x 2 )′ + (1)′]( x − 1) = ( x 2 + 1) 2
tan x
3) y = ln cos x; 5) y = 2
3
−x
;
解： 函数可以分解为y = u 3 ( x), u ( x) = 3 x 2 + 1, (1) y ' = [u ( x)]' = 3u ( x) ⋅ u ( x) ' = 3(3 x + 1) ⋅ (3 x + 1) '
2 2 2 2
例2
设 y = xlnx ， 求 y ′.
根据乘法公式， 解 根据乘法公式，有
y′ = (xlnx)′ = x (lnx)′ + (x)′lnx ′ ′ ′ ′
1 = x ⋅ + 1 ⋅ ln x x
= 1 + ln x .
例3
x −1 设 y = 2 , 求 y ′. x +1
根据除法公式， 解 根据除法公式，有
2
求下列函数的导数： 例1 求下列函数的导数：
(1) y = x x
(2) y = 2
x
(3) y = lg x
2.2.2导数的四则运算 2.2.2导数的四则运算
处可导， 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 、 ( ) v( x ) 则它们的和、 ( u( x ) ≠ 0 ) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 处也可导， 在 x 处也可导， 且 定理2. 定理2. 1 (u(x) ± v(x))′ = u′(x) ± v ′(x); ′ ′ (u(x)v(x))′ = u(x)v′(x) + u′(x)v(x); ′ ′ ′
高等数学2_2导数的计算
f ( x x) f ( x) y lim lim x0 y f ( x) x 0 x x
二阶导数与高阶导数
d y d dy f ( x x) f ( x) y y 2 ( ) lim lim dx d x d x x 0 x x 0 x
1 12ln x x 13arcsin x
x ln a 1
12/59
例2.13 幂指函数的导数
河南理工大学
设f ( x) u ( x)v ( x ) , 其中u u ( x)与v v( x)都是 可导函数, 并且u ( x) 0, 求f ( x).
第二节 求导的基本法则
给定一个函数,如何求导? 当函数比较复杂时,用定义计算导数就相 当困难.本节给出一些基本的求导法则: 有理运算法则,复合函数和反函数求导法则, 并在此基础上,给出隐函数和参数方程求导法 则,从而使导数的计算系统化、简单化．
1/59
河南理工大学
2.1 函数和、差、积、商的求导法则
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x
5/59
2.2 复合函数的求导法则
河南理工大学
Th2.2 (链式法则) 设函数u g ( x)在x处可导，
则复合函数 函数y f (u)在与x相对应的u处可导， y f [ g ( x)]， x处可导,且 在 dy dy dy du x f (u ) g ( x), y yu u 或 x dx du dx dx 证明 y f (u)在u处可导, 所以 y f (u ) (u ) 其中 lim (u ) 0 . u 0 u 即:当u 0时
河南理工大学
高二数学导数运算法则
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
(3.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
； qq红包群 / qq红包群 ；
卫,为他办事情丶""の确不简单丶"魔仙强者,起码现在还是各大势力の顶级强者,能够成为魔仙の,哪壹位不是有着极高の傲骨の丶若不是有特别の原因,绝对不会轻易给别人当护卫の丶比如自己乾坤世界中,六大世家当中,加起来就有近二十位魔仙跟随,那是因为看中自己の潜力丶而这位 神城の城主,显然也有不错の潜力,至少根汉
2.2 导数的基本公式与运算
2.2 导数的基本公式与运算法则
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经济应用数学
2.2.2 导数的四则运算法则
x3 2 x 5 ,求 y 。 例10 已知 y x
解： y ( x 2 2 x 5 x 1 ) 2 x x
1 2
3 2
5 x 2
sin2 x cos2 x y 2x e x ,求 y 。 例11 已知 sin x cos x
y ((2e) x tan x cot x) 解：
(2e) x ln2e sec2 x csc2 x
2.2 导数的基本公式与运算法则
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经济应用数学
2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式
C 0（C 为任意常数)
x 1( 为实数） (x )
(a x ) a x lna (a 0, a 1)
特别： (e x ) e x
1 (loga x ) (a 0, a 1) x ln a
1 特别： (ln x ) x
2.2 导数的基本公式与运算法则
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2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式
1 ln x x2
2 cos x (1 sin x )2
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2.2.2 导数的四则运算法则
例8 已知 y tan x ,求 y。 解：
sin x (sinx ) cos x sin x(cos x ) y cos x cos2 x
[u( x ) v( x )] u( x ) v( x )
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2.2.2 导数的四则运算法则
x3 2 x 5 ,求 y 。 例10 已知 y x
解： y ( x 2 2 x 5 x 1 ) 2 x x
1 2
3 2
5 x 2
sin2 x cos2 x y 2x e x ,求 y 。 例11 已知 sin x cos x
y ((2e) x tan x cot x) 解：
(2e) x ln2e sec2 x csc2 x
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2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式
C 0（C 为任意常数)
x 1( 为实数） (x )
(a x ) a x lna (a 0, a 1)
特别： (e x ) e x
1 (loga x ) (a 0, a 1) x ln a
1 特别： (ln x ) x
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2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式
1 ln x x2
2 cos x (1 sin x )2
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2.2.2 导数的四则运算法则
例8 已知 y tan x ,求 y。 解：
sin x (sinx ) cos x sin x(cos x ) y cos x cos2 x
[u( x ) v( x )] u( x ) v( x )
5.2.2导数的四则运算法则
∆→0 ∆
→0
而 ′ () = ( 2 )′ = 2, ′ () = ′ = 1, ∴ [() + ()]′ = ′ () + ′ ()
′
′
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
思
′()＝______
′()＝______
1
′()＝______
1
′()＝______
求切线方程的步骤：
(1)求函数 = ()的导数 ′ ()
(2)求切点坐标(0 , 0 )
(3)求切线的斜率 = ′ (0 )
(4)根据直线方程的点斜式写出切线方程即，y − 0 = ( − 0 )
( 2 )2
2 2 cos − 4 sin 2 cos − 4 sin
=
=
4
3
归
纳
总
结
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再
根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”
函数的积、商的导数计算．
1、求下列函数的导数：
预习课本第76～78页，思考并完成以下问题
问题1
导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
高斯
1．条件：()，()是可导的．
1777－1855
2．结论：
(1)[() ± ()]′＝
(3)
() ′
＝
()
； (2)[()()]′＝
．
；
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
→0
而 ′ () = ( 2 )′ = 2, ′ () = ′ = 1, ∴ [() + ()]′ = ′ () + ′ ()
′
′
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
思
′()＝______
′()＝______
1
′()＝______
1
′()＝______
求切线方程的步骤：
(1)求函数 = ()的导数 ′ ()
(2)求切点坐标(0 , 0 )
(3)求切线的斜率 = ′ (0 )
(4)根据直线方程的点斜式写出切线方程即，y − 0 = ( − 0 )
( 2 )2
2 2 cos − 4 sin 2 cos − 4 sin
=
=
4
3
归
纳
总
结
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再
根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”
函数的积、商的导数计算．
1、求下列函数的导数：
预习课本第76～78页，思考并完成以下问题
问题1
导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
高斯
1．条件：()，()是可导的．
1777－1855
2．结论：
(1)[() ± ()]′＝
(3)
() ′
＝
()
； (2)[()()]′＝
．
；
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
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′
( =
=
x −1
)(
′
x +1 −
(
) (
1
x +1 +1
)
x −1
)(
x +1
2
) + ( x )′ arcsin x +
′
3 2
1
3
x 2 (arcsin x)′
1 2 x
( x + 1) −
(
1
2
2 x
( x − 1)
x +1
+
)
2
3 2 −3 x2 + x arcsin x + 3 1− x2
1 2 x
x
′ 1 1 =− 2 x x
1 (cot x )′ = − = − csc 2 x sin 2 x
(sec x )′ = sec x tan x
(a )′ = a ln a (a > 0, a ≠ 1)
x = 1 (log a x )′ = ( a > 0, a ≠ 1) ′ 2 x 3 x ln a 1 1 −2 =− x 1 2 x (ln x )′ =
= 5( x 2 ln x)′
= 5[( x 2 )′ ln x + x 2 (ln x)′]
= e x sin x + xe x sin x + xe x cos x
1 + sin x π ( 6) y = 求f ′( ) 1 − sin x 4 ′ 1 + sin x y′ = 1 − sin x
.
=
2 3 x
3
x ( x + 1)
arcsin x +
3
x2
1− x2
作业
习题2， （ ） （ ） 习题 ，5/（1）—（12）
2.2
导数的基本公式与运算法则
(sin x)′ cos x − sin x(cos x)′ = cos 2 x
cos x cos x + sin x sin x = cos 2 x 1 = = sec 2 x cos 2 x
1 (tan x )′ = = sec 2 x 即 cos 2 x
− ( − sin x ) = = tan x sec x 2 cos x
例题: 例题:求下列函数的导数
(1) f ( x) = ln x + sin x
f ′( x ) = (ln x + sin x )′ 1 = (ln x )′ + (sin x )′ = + cos x x
(2) f ( x) = x − arctan x + e x 求 f ′( x )与
f ′( x ) = ( x − arctan x + e x )′
′ u u ′ ⋅υ − u ⋅υ ′ (3) = (υ ( x) ≠ 0) 2 υ υ
1 ′ v′ ( ) = − 2 v v
′
.
1 1 x − 1 ⋅ 2 x ⋅ tan x 1 x + ⋅ 2 ln 2 ⋅ tan x + ⋅ 2 x ⋅ sec 2 x ⋅ 2 ⋅ tan x = 2 x x x x
cos x(1 − sin x ) − (1 + sin x )( − cos x ) = (1 − sin x ) 2
1 = 5[2 x ln x + x ] x = 10 x ln x + 5 x
2
ln x (5) y = x
x(ln x)′ − ( x)′ ln x y′ = x2 1 x ⋅ − ln x 1 − ln x x = = 2 x x2
y ′ = (( 2 e ) x − tan x + cot x )′
= ( 2e ) x ln 2e − sec 2 x − csc 2 x
(12) y =
y=
(3 x − x )( x + 2 x 2 ) x x
3 2 5 3 2
3x + 6 x 3 − x − 2 x x
= 3 + 6x
3 2
( )
′
1
′ 1 x )′ − 1 1 (arctan = = 2 2 1 x+x x
1 1 (arc cotx )′ = − 2 2 = − 13+ x 2
′
x
x
课堂练习 2 1） ( e )′ = ____ ） 0
3） ）
2） x ′ ）
= ____ 1
( x )′ = ___ 2x
2
1 4） ( x )′ = ____x ） 2
1 1 − 2 6） ( ) ′ = ____ ） x x
8） ( 3 x )′
5） (sin ）
π
3
)′ = ____ 0
2 1 − 3 7） ( 2 )′ = ____ ） x x
= ____3 3x ln
1 ′ 9)(log 2 x ) = ________ x ln 2
(csc x )′ = − csc x cot x
1
(e )′ = e
x
x
( )
′
(arcsin x )′ =
1 1 − x2
(arccos x )′ = −
1 1 − x2
x (sin x )′ = cos x
(cos x )′ = − sin x
2 −3 x = x 3 ′ 5 1 2 −3 =− x 3 2 3 x
[(3e) ] ′ = (3____________________3) (10)(3 e ) = __________ e ) ln(3e) = (3e ) (1 + ln
x x
′
x
x
x
二.导数的四则运算法则
设函数 u = u ( x), v = v( x)均为可导函数 , 则
( 1 ) [u ± υ ] ′ = u ′ ± υ ′ .
2 cos x = (1 − sin x ) 2
2 cos
π 4 ′( ) = f π 4 (1 − sin ) 2 4
π
=
2 2 3−2 2
( 7 ) y = tan x ′ sin x y′ = cos x
(8) y = sec x
′ 1 ′ = (sec x )′ = y cos x − (cos x )′ = cos 2 x
− 5x −2
2 2
= x − x −1 + x
2 3 1 6
2 3
1 6
−
1 3
− 1 3
sin x − cos x (10) y = 2 e − sin x cos x
f ′( x ) = ( x − x − 1 + x
2 −3 1 −6 1 −3 = x − x − x 3 6 3
1 5 4
)′
(x
2
′ sin x = 2 x sin x + x 2 cos x
)
( 2 )[u ⋅ υ ] = u ′ ⋅ υ + u ⋅ υ ′
(c ⋅ u ) = c ⋅ u ′ (u ⋅ v ⋅ w )′ =
.
′
2 ( 2 arctan x ) ′ = 1+ x2
′
u '⋅v ⋅ w + u ⋅ v '⋅ w + u ⋅ v ⋅ w '
3 2
−x
−
−
1 2
− 2x
y ′ = (3 + 6 x − x
1 2
3 2
1 2
− 2 x)′
1 −2 = 9x + x − 2 2
3
(13) y =
x −1 3 2 + x arcsin x x +1
x −1 3 2 y′ = x + 1 + x arcsin x
即
(sec x )′ = sec x tan x
x −2 x +5 (9) y = x
3
x − x − 3 x +1 (11) f ( x) = 3 x
y′ = ( x 2 − 2 x + 5 x −1 )′
= 2x + x
x x
1 − 2
x − x − 3 x +1 f ( x) = 3 x
−
3 2
f ′ (1 )
= ( x )′ − (arctan x )′ + ( e x )′
1 = − + ex 2 2 x 1+ x 1
f ′(1) =
1 1 1 − +e=e− 2 1 + 02 2
(3) y = 5 x 2 ln x
y′ = (5 x 2 ln x)′
( 4) y = xe x sin x y ′ = ( xe x sin x )′
2.2
导数的基本公式与运算法则
一.导数的基本公式(基本初等函数的导数公式) 导数的基本公式(基本初等函数的导数公式) 二.导数的四则运算法则
一.导数的基本公式
C′ = 0
(tan x )′ =
1 = sec 2 x cos 2 x
( x )′ = α x α − 1( α为实数）
α
( x) =
′
x