任意公理系统的依赖基
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统是一种逻辑框架，用于描述数据库中各种数据之间的依赖关系。
这个系统包括多个公理和规则，它们定义了函数依赖的基本性质和相关的推理规则。
其中最基本的公理是函数依赖传递公理，它表明如果X → Y，且Y → Z，则X → Z。
这个公理说明了函数依赖的传递性质，也是其他推理规则的基础。
另外，函数依赖公理系统还包括了等式推理规则、合并规则、拆分规则等等，这些规则可以用来简化和优化函数依赖的描述。
通过这些公理和规则，我们可以更加精确地描述数据库中不同数据之间的依赖关系，并推导出一些重要的结论和性质，比如关系模式的最小化、函数依赖的规范化等等。
总之，函数依赖公理系统是数据库理论中的一个基础概念，它不仅对于理论研究有重要的意义，也为实际的数据库设计和优化提供了一定的指导和支持。
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职业考证-软考-系统分析师模拟考试题含答案39
职业考证-软考-系统分析师模拟考试题含答案1. 单选题著作权中，（）的保护期不受限制。
问题1选项A.发表权B.发行权C.署名权D.展览权【答案】C【解析】本题考查知识产权中的著作权的保护期限。
2. 单选题多核CPU环境下进程的调度算法一般有全局队列调度和局部队列调度两种。
（）属于全局队列调度的特征。
问题1选项A.操作系统为每个CPU维护一个任务等待队列B.操作系统维护一个任务等待队列C.任务基本上无需在多个CPU核心间切换，有利于提高Cache命中率D.当系统中有一个CPU核心空闲时，操作系统便从该核心的任务等待队列中选取适当的任务执行【答案】B【解析】对于多核CPU，优化操作系统任务调度算法是保证效率的关键。
一般任务调度算法有全局队列调度和局部队列调度。
前者是指操作系统维护一个全局的任务等待队列，当系统中有一个CPU核心空闲时，操作系统就从全局任务等待队列中选取就绪任务开始在此核心上执行。
这种方法的优点是CPU核心利用率较高。
后者是指操作系统为每个CPU内核维护一个局部的任务等待队列，当系统中有一个CPU内核空闲时，便从该核心的任务等待队列中选取恰当的任务执行，这种方法的优点是任务基本上无需在多个CPU核心间切换，有利于提高CPU核心局部Cache命中率。
目前多数多核CPU操作系统采用的是基于全局队列的任务调度算法。
3. 单选题（）的开发过程一般是先把系统功能视作一个大的模块，再根据系统分析与设计的要求对其进行进一步的模块分解或组合。
（）使用了建模的思想，讨论如何建立一个实际的应用模型，包括对象模型、动态模型和功能模型，其功能模型主要用（）实现。
问题1选项A.面向对象方法B.OMT方法C.结构化方法D.Booch方法问题2选项A.面向对象方法B.OMT方法C.结构化方法D.Booch方法问题3选项A.状态图B.DFDC.类图D.流程图【答案】第1题:C第2题:B第3题:B【解析】第1题:结构化方法假定待开发的系统是一个结构化的系统，其基本思想是将系统的生命周期划分为系统规划、系统分析、系统设计、系统实施、系统维护等阶段。
数学中的公理系统
数学是一门严谨而又抽象的学科，它以逻辑和推理为基础，通过对一系列公理的运用来构建各种定理，从而解决实际问题。
而这一切建立在数学中的公理系统之上。
公理系统是数学理论的基石，是数学推理的起点，没有它，数学就失去了其严谨性和可靠性。
公理是数学的基本假设，是一些被认为不需要证明的初始条件。
它们不能通过推理或证明得到，只能被人们接受或者否认。
公理系统是由一组公理以及一些推理规则组成的，通过这些推理规则对公理进行推演和证明，得到一系列定理和数学结论。
公理系统的构建需要满足以下几个原则：一是公理必须是独立的，它们之间不能相互推导出来，即它们不能从其他的公理中推演出来。
二是公理必须是一致的，即它们不能相互矛盾。
三是公理必须是完备的，即它们能够覆盖数学中所有的基本概念和推理。
基于这样的原则，人们逐渐建立了各种不同的公理系统，如欧几里得几何的公理系统、集合论的公理系统等。
公理系统奠定了数学的逻辑基础，它不仅规定了数学的基本概念和性质，而且为数学定理的证明提供了理论基础。
公理系统的推理过程是严格而又严密的，它基于形式逻辑，通过一系列的推理规则和演绎过程，将已知的公理转化成新的定理。
这些推理规则包括数学归纳法、反证法、倒置法等。
推理规则保证了从真实的前提出发，可以得到真实的结论，确保了数学推理的有效性和可靠性。
公理系统在数学中的应用非常广泛，它不仅适用于纯数学理论，也应用于数学在实际生活中的各个领域。
例如，在几何学中，欧几里得的公理系统成为了人们研究空间和图形的基础；在代数学中，数论的公理系统为人们研究整数的性质提供了依据；在概率统计学中，概率公理系统描述了随机事件的性质和规律。
无论是纯数学还是应用数学，公理系统都是不可或缺的。
然而，公理系统也存在一些限制和挑战。
一方面，公理系统依赖于人类的直觉和经验，有时可能受到主观因素的影响。
另一方面，公理系统的完备性并不是易于达成的目标，有些重要的数学结论可能无法从已有的公理中推导出来。
概率的公理化
概率的公理化是概率论的基础，它提供了一种严格的数学框架来描述不确定性和随机现象。
概率的公理化由俄国数学家安德雷·科尔莫哥洛夫在20世纪30年代首次提出，并被广泛接受和应用。
概率的公理化基于三条基本原则，它们构成了概率论的基础。
以下是对这三条原则的详细阐述。
1. 非负性：概率是非负的。
这意味着对于任何事件A，它的概率必须大于等于零。
即P(A) ≥0。
这个原则表明概率不能为负数，即任何事件都至少有一定的可能性发生。
2. 规范性：全样本空间的概率为1。
全样本空间是指所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
规范性要求全样本空间的概率等于1，即P(Ω) = 1。
这个原则确保所有可能结果的总和为1，表示了一定会发生某个结果的确定性。
3. 可加性：对于互斥（互不相交）事件的概率，可以通过求和计算。
如果事件A和B是互斥事件（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
这个原则允许我们通过计算各个可能事件的概率来得到复合事件的概率。
在这三条基本原则的基础上，可以推导出概率论中的其他重要定理和性质。
例如，可以通过可加性原理推导出条件概率和乘法规则，用于计算事件之间的依赖关系。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
乘法规则则用于计算多个事件同时发生的概率。
概率的公理化还涉及到概率空间的定义。
概率空间由样本空间Ω和一个叫做事件域的集合F组成。
事件域是样本空间的子集合的集合，它包含了我们感兴趣的所有事件。
概率被定义为一个函数P，它将事件映射到实数，即P：F→[0,1]。
满足非负性、规范性和可加性的概率函数被称为概率测度。
概率的公理化使得概率论成为一门严密的数学理论，并被广泛应用于统计学、风险管理、金融学、物理学等领域。
它提供了一种计算和分析不确定性的工具，帮助我们做出决策、预测事件的发生概率，并评估风险。
总结起来，概率的公理化是概率论的基础，它建立了一套数学框架来描述不确定性和随机现象。
函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
《公理化体系》
公理化方法公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
简介恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。
公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．历史发展产生公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．发展公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC 公理系统。
函数依赖的公理系统
函数依赖集的等价和覆盖
求最小函数依赖集的方法：
应用分解规则，使F中每一个依赖的右部单一化。 去掉各函数依赖左部多余的属性。
方法：检查F中左边是非单属性的依赖，如： XY→A， 要判定Y是否多余，只要求X闭包，若X闭包A，则Y 是多余的，以X →Y 代替XY→A。
去掉多余的依赖。
方法：从第一个依赖开始，若要从F中去掉X →Y ，则在 剩下的依赖中求X闭包，若X闭包包含Y,则去掉X →Y
属性集闭包计算举例
练习 已知R<U,F>, U= (A, B, C, G, H, I)，F={AB, AC, CGH,
CGI, BH}，计算(AG)+。 – 算法第一次循环的执行步骤： 步骤 FD closure
1．
2． 3． 4． 6． 6．
初值
AB AC CGH CGI BH
增广律得证。
定理 Armstrong推理规则是正确的
(3) 传递律：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则 X→Z为 F所蕴含。
证：设X→Y及Y→Z为F所蕴含。
对R<U，F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s。 若t[X]=s[X]，由于X→Y，有 t[Y]=s[Y]；
再由Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含.
引理: X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件 是X→Ai成立（i=l，2，…，k）。
总结:函数依赖(FD)的推理规则
函数依赖有一个正确的和完备的推理规则集——Armstrong 推理规则：
设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U 中属性的函数依赖集， 推理规则如下：
候选码的判断
设有关系R({A1,A2,…,An},F)，F为R的函数依赖集，X为
数据库系统概论CH6(部分)习题解答
第六章关系数据理论第六章讲解关系数据理论。
这是关系数据库的又一个重点。
学习本章的目的有两个。
一个是理论方面的，本章用更加形式化的关系数据理论来描述和研究关系模型。
另一个是实践方面的，关系数据理论是我们进行数据库设计的有力工具。
因此，人们也把关系数据理论中的规范化理论称为数据库设计理论，有的书把它放在数据库设计部分介绍以强调它对数据库设计的指导作用。
一、基本知识点本章讲解关系数据理论，内容理论性较强，分为基本要求部分(《概论》6.1～6.3)和高级部分《概论》6.4)。
前者是计算机大学本科学生应该掌握的内容；后者是研究生应该学习掌握的内容。
①需要了解的:什么是一个“不好”的数据库模式；什么是模式的插入异常和删除异常；规范化理论的重要意义。
②需要牢固掌握的:关系的形式化定义；数据依赖的基本概念(函数依赖、平凡函数依赖、非平凡的函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递函数依赖的概念，码、候选码、外码的概念和定义，多值依赖的概念)；范式的概念；从lNF 到4NF的定义；规范化的含义和作用。
③需要举一反三的:四个范式的理解与应用，各个级别范式中存在的问题(插入异常、删除异常、数据冗余)和解决方法；能够根据应用语义，完整地写出关系模式的数据依赖集合，并能根据数据依赖分析某一个关系模式属于第几范式。
④难点:各个级别范式的关系及其证明。
二、习题解答和解析1.理解并给出下列术语的定义：函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、主码、外码、全码(All-key)、lNF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。
解析解答本题不能仅仅把《概论》上的定义写下来。
关键是真正理解和运用这些概念。
答函数依赖:设R(U)是一个关系模式,U是R的属性集合,X和Y是U的子集。
对于R(U)的任意一个可能的关系r,如果r中不存在两个元组，它们在X上的属性值相同，而在Y上的属性值不同，则称“X函数确定Y”或“Y函数依赖于X”，记作X→Y。
辽宁科技大学813专业基础综合(含数据结构与算法、数据库原理)2020年考研专业课初试大纲
《计算电磁学》--2010讲义
赖生建 （内部资料）
物理电子学院 二零一零年一月 印刷
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1、 前 言
一个多世纪以来，由电磁学发展起来的现代电子技术已应用在电力工程、电子工程、通 信工程、计算机技术等多学科领域。电磁理论已广泛应用于国防、工业、农业、医疗、卫生 等领域，并深人到人们的日常生活中。今天，电磁场问题的研究及其成果的广泛运用，已成 为人类社会现代化的标志之一。
电磁场理论早期主要应用在军事领域，其发展和无线电通信、雷达的发展是分不开的。 现在，电磁场理论的应用已经遍及地学、生命科学和医学、材料科学和信息科学等几乎所有 的科学技术领域。计算电磁场研究的内容涉及面很广，与电磁场要解决的是实际电磁场工程中越来越复杂的建模 与仿真、优化设计等问题；而电磁场工程也为之提供实验结果，以验证其计算结果的正确性。 对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法、手段 和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律、数学方程，进而验证其计 算结果。计算电磁场对电磁场理论发展的影响决不仅仅是提供一个计算工具而已，而是使整 个电磁场理论发生了革命性的变化。毫不夸张地说，近二三十年来，电磁场理论的发展，无 一不是与计算电磁场的发展相联系的。目前，计算电磁场已成为对复杂体系的电磁规律、电 磁性质进行研究的重要手段，为电磁场理论的深人研究开辟了新的途径，并极大地推动了电 磁场工程的发展。
在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计是极端重要的。为了 分析电磁场，我们从所涉及的数学公式人手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方 程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须 在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条 件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电磁系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
《数据库》课程教学大纲
《数据库》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16160603课程名称：数据库英文名称：Database课程类别：专业课学时：48学分：3适用对象：数据科学与大数据技术、应用统计学等专业大二、大三本科生考核方式：考试先修课程：计算机技术基础，程序设计基础二、课程简介数据库技术和系统已经成为信息基础设施的核心技术和重要基础。
数据库技术作为数据管理的最有效的手段，极大的促进了计算机应用的发展。
本课程系统讲述数据库系统的基础理论、基本技术和基本方法。
内容包括：数据库系统的基本概念、数据模型、关系数据库及其标准语言SQL、数据库安全性和完整性的概念和方法、关系规范化理论、数据库设计方法和步骤，数据库恢复和并发控制等事务管理基础知识，关系查询处理和查询优化等。
Database technology has become the core technology and an important base of computer information systems and application systems. This course introduces not only the theory, but also basic skills of database systems operation and maintenance, methods of designing database. The contents include: he basic concept of database systems and basic theory, data model, relational database, SQL standardized theory, database security and safety, concurrency control technology, recovery technology, and methods of designing database.三、课程性质与教学目的本课程学习，使学生系统地掌握数据库系统的基本原理和基本技术。
公理化系统 牛顿
公理化系统牛顿全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：公理化系统是数学中一种非常重要的推导方法，通过一组基本公理和推理规则来构建出完善的数学理论体系。
在数学史上，公理化系统的应用可以追溯到古希腊数学家欧几里德，他在其著作《几何原本》中使用了一系列公理和推理规则来建立几何学的基础理论。
随着时间的推移，公理化系统在数学领域得到了广泛的应用，并成为推动数学发展的一大推动力。
在物理学领域，公理化系统同样起到了重要的作用。
牛顿的力学正是一个著名的公理化系统的例子。
牛顿在其著作《自然哲学的数学原理》中提出了三大运动定律和万有引力定律，这些基本原理构成了牛顿力学的公理化系统。
通过这些基本定律，我们可以推导出一系列的物理规律和方程，从而解释和预测物体的运动和相互作用。
牛顿的公理化系统在其时代引起了巨大的轰动，因为它为解释自然现象提供了一种简洁而有力的数学工具。
通过牛顿力学，人们可以解释从地球上落下的苹果到行星的轨道运动，一切物体的运动都可以通过数学方程来描述和预测。
这种简洁而量化的描述方式极大地推动了物理学和数学的发展，也为后世的科学工作者提供了深远的启示。
牛顿的公理化系统并非完美无缺。
在经典力学的范围内，牛顿力学可以非常精确地描述物体的运动，但是在极端情况下，比如相对论和量子力学的领域，牛顿的公理化系统就显得力不从心。
在这些情况下，我们需要更加深入的物理理论来解释自然现象，比如相对论和量子力学的理论框架。
即使牛顿的公理化系统对于经典物理学的描述是非常成功的，但是在新的领域中，我们需要进一步完善和拓展物理理论。
尽管如此，牛顿的力学仍然是一个里程碑式的成就，它为人类认识自然界提供了一个全新的视角，也为后来的科学发展奠定了基础。
通过公理化系统的建立，我们可以将复杂的自然现象简化为一组简单的基本规律，从而更好地理解和解释世界的运行规律。
牛顿的力学不仅是物理学的基石，也是公理化系统在现代科学中的一个重要范例。
第二篇示例：公理化系统是数学中一种重要的推导方法，通过以一些基本命题为基础，推导出更为复杂的结论。
新版热力学第一定律
系统旳性质
体系旳热力学状态可用宏观可测性质来描述，这 些体系旳性质又称为热力学变量。可分为两类：
广度性质（extensive properties） 又称为容量性质，它旳数值与系统旳物质旳量成 正比，如体积、质量、熵等。这种性质有加和性， 在数学上是一次齐函数。
强度性质（intensive properties） 它旳数值取决于系统本身旳特点，与系统旳数量无 关，不具有加和性，如温度、压力等。它在数学上 是零次齐函数。指定了物质旳量旳容量性质即成为 强度性质，或两个容量性质相除得强度性质。
c)热力学温标 定义1K为水三相点热力学温度旳 1/273.16，热力学温度与摄氏温度间旳关系为
T/ K= t/℃+273.15
根据以上要求, 水旳冰点温度为273.15K。
§2.3 热力学旳某些基本概念
几种基本概念：
•体系与环境 •体系旳分类 •体系旳性质 •状态函数 •状态方程 •热力学平衡态 •过程和途径 •热和功
温标：a）摄氏温标，以水为基准物，要求水旳凝 固为零点，水旳沸点与冰点间距离旳1/100为1℃。
热力学第零定律
b）理想气体温标 以低压气体为基准物质，要 求水旳三相点为273.16 K，温度计中低压气体旳
压强为P ，则恒容时，任意其他压力时旳温度为 T/ K=273.16 lim(P/Pa ), P→0
根据状态函数变化旳不同，常见旳热力学过程有：
1 膨胀和压缩过程 2 变温过程（涉及绝热过程）
3 等温（等压、等容）过程
4 循环过程
5 混合过程 （等温等压、等温等容混合）
6 相变过程
7 化学反应过程
常见旳变化过程
（1）等温过程（isothermal process) 在变化过程中，体系旳始态温度与终态温度 相同，并等于环境温度。
简述公理系统的三个条件
简述公理系统的三个条件《简述公理系统的三个条件》有次我和朋友小明在图书馆学习。
我翻到一本讲数学基础的书，看到公理系统这几个字，就忍不住和小明吐槽：“这公理系统听起来好高大上，到底是啥呢？”小明白了我一眼说：“你就理解为是建立一套规则的基础，别的那些定理啥的都得靠这个。
”然后我俩就开始探讨这公理系统。
公理系统这玩意啊，要满足三个重要的条件。
第一个条件是相容性，简单讲就是它内部不能自相矛盾。
就好比一个团体里，如果有一个规定说今天所有人都必须穿蓝色衣服，同时又说一部分人不能穿蓝色衣服，那这团体就得乱套。
在公理系统里也是，如果公理之间产生矛盾，那就跟建房子地基打歪了一样。
比如说在几何里，要是既说两条平行线永不相交，又在同一系统里提出在某情况下平行线可以相交，这整个几何体系就没法正常运转了。
打个比方，这就像小明说他每天早上只吃馒头，又说他每天早上绝不吃馒头一样，完全矛盾。
第二个条件是独立性。
这就是说公理之间没有从属关系，每个公理都是独立的存在。
就好比一群超级英雄，每个超级英雄都有自己的独特能力，不存在一个超级英雄的能力是完全依赖另一个超级英雄的。
如果把公理比作人的话，就是每个人都有自己独特的价值和本事，不能说这个公理其实就是另外一个公理的附属。
比如说在传统的欧几里得几何公理体系中，各个公理各自承担独特的职能，没有哪个公理是多余的或者可以由别的公理推导出来的。
有次我跟小明举例子，如果把“两点之间直线最短”这个公理，能完全从别的公理推导出来，那它就不符合独立性了，像在那些创新的几何模型里，有些公理可能就不满足这个独立性了，所以就和传统的欧几里得几何有很大区别。
第三个条件是完备性。
公理系统得足够强大，能够处理所在领域内的所有命题。
这就像一个全能工具箱一样，各种情况、各种问题都能从这个工具箱里找到对应的工具解决。
要是有个问题是关于这个领域的，但是公理系统没办法应对，那就不行啦。
比如说在某个算术公理系统里，如果对于某一类算术问题永远没法定性或者计算，那就说明这个公理系统不完备。
数据依赖的公理系统
(X
，则以（ X Bi）取代X。 Bi) F
示例一 F = {AB，BA，AC，BC}，求Fm。 1、单属性化:F已经是单属性了。 2、无冗余化： 检查AB，G1=F{AB}={BA，AC，BC} (A)G+={A，C}，B{A，C},所以AB不冗余。 检查AC，G1=F{AC}={AB，BA，BC} (A)G1+ ={A，B，C}，C{A，B，C}， AC冗余， 所以从F中删除AC。 检查G1中的BC，G2= G1{BC}={AB，BA} (A)G2+ ={B}，C {B}， BC不冗余。 3、既约化：左部已经无多余属性。 Fm = {AB，BA，BC} 或者 Fm = {AB，BA，AC} 注：正确答案的不止一个，考察依赖的顺序不同，答案也不同。
示例二
F = {CA，AG，CGB，BA}，求Fm。
单属性化、无冗余化略。 判断CGB，
(CG C) ( G ) = F1 F 1 = {G}
B (CG C) F1
(CG G)
F1
(C) =
F1
= {C，A，G，B}
B (CG G) F 1 ，以C代替CG
B = {f | 被F所逻辑蕴涵的函数依赖f}
有效性：用Armstrong公理从F中导出的函数依赖必 为F所蕴涵。 AB
完备性：F所蕴涵的函数依赖都能用Armstrong公理 从F中导出。 BA
6.4.2.3 Armstrong公理的有效性证明 按函数依赖定义r是R<U, F>上的任一关系，t，s r
示例1
R< U, F >, U = (A, B, C, G, H, I), F = {AB, AC, CGH, CGI, BH},计算 ( AG) 。 F 所用依赖 AB AC CGH CGI
【集合论】03-序集和序数
【集合论】03-序集和序数1. 势 在上⼀篇我提过⾃然数“量”和“序”的双重性质，如果再仔细斟酌，“量”其实是由“序”产⽣和决定的，把有限的元素按某个顺序排列起来，正是我们确定其数量的过程。
那么对于⽆穷集，“量”和“序”还有这样的关系吗？⽆穷集的“量”和“序”⼜该如何定义呢？既然它们产⽣于⾃然数，那么答案⾃然就在⾃然数的扩展中。
对于有限集的量n，可以看作是有限集的元素与n的元素的⼀⼀对应。
这个直观的⽅法同样适⽤于⽆穷集，如果能找到⼀个标尺，将⽆穷集的元素和标尺的元素⼀⼀对应，那就能得到⽆穷集的“量”。
暂且不管这个标尺是什么，我们需要先检验这个⽅法的合理性，⾄少“相等”是可以被定义的。
直觉上我们往往采⽤⼤⼩或包含关系来推导集合是否⼀样⼤，但这样的直觉却是不可靠的，也不是⼀种良性的定义，数学上需要“好”的定义。
对于存在⼀⼀映射的两个集合A、B称其为等势（equinumerous），记做A≈B，容易证明，等势可以作为“量相等”的定义。
有时可以找到⼀些函数，使得局部和整体能⼀⼀映射，⽐如2n映射了⾃然数和偶数，cotπx映射了(0,1)和实数R，所以它们也是“⼀样⼤”的。
“⼤于”、“⼩于”也可以⽤类似的⽅法定义：如果从集合A到集合B存在单射，则称A受制于B，记作A≼。
如果A、B不等势，称A严格受限于B，记作A \prec B。
受制的良性需要保证，这就是如下的SB定理（Schröder-Bernstein）。
证明中假设分别有单射f:A\to B和g:B\to A，需要构造A、B的分割，使得f(A_1)=B_1、g(B_2)=A_2。
对X\in A，记X^*=A-g(B-f(X))，从A开始逐渐缩⼩X，并保证X^*\subseteq X，最⼩的那个（满⾜条件的X的交）便是A_1。
SB定理是判断集合等势的有⼒武器，⽤它可以轻松证明任何区间都与实数集\Bbb R等势。
有受制关系的集合称为可较的，它是⽐较集合⼤⼩的“好”定义，但问题是所有集合都可较吗？这个问题需要暂且搁置，后⾯再提。
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（ Ｓ ｃ ｈｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｏｆ ｔ ｗａ ｒ ｅ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ， Ｌｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ ａ ｎｄ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ， Ａｎ ｓ ｈａ ｎ １ １ ４ ０ ５ １ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
在关联规则 的 挖掘 中， 我 们这 里 的 紧致依 赖 的依 赖 基 就 比
Ｇｕ ｉ ｇ ｕ ｅ ￣ Ｄｕ ｑ ｕ ｅ ｎ ｎ ｅ 基方便得多ｌ ８ ］ 。 由于 发 现 了在 Ａｒ ｍｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ公 理 系 统 以外 还 有 其 它 公 理 系 统也有依赖基 ， 而且 还 在 实 践 中有 很 大 意 义 ， 因 此 就产 生 了 一
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｄ ｅ ｆ ｉ ｎ ｅ ｄ ａ ｘ ｉ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ ａ ｘ ｉ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ｏ ｆ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｉ ｅ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｌ ｌ ｙ ， ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ａ ｘ ｉ — ｏ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｈ ａ ｓ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｙ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｆ ｏ ｒ ａ ｎ ｙ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｘ ｔ ｓ ｔ ｒ ｉ ｃ ｔ ｌ ｙ ． Ｉ ｔ ｇ ａ ｖ ｅ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｙ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ａ ｒ ｂ ｉ ｔ ｒ ａ ｒ ｙ ａ ｉｏ ｘ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｆ ｏ ｒ ａ ｎ ｙ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｘ ｔ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｙ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｅ ａ ｃ ｈ ａ ｉｏ ｘ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｌ ｙ ． Ａｎ ｄ ａ ｎ ｉ ｎ ｄ ｕ ｃ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｘ ｔ ｗａ ｓ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｏ ｖ ｉ ｓ ｕ ａ ｌ ｌ ｙ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｙ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ
ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｄ ｕ ｃ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｘ ｔ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ Ｖａ ｌ ｕ ｅ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｙ ， Ａｘ ｉ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ， Ｄｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｙ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ， Ｉ ｎ ｄ ｕ ｃ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｘ ｔ
第 ４ ０卷 第 ２ 期 ２ ０ １ ３年 ２月
计
算
机
科
学
Ｃｏ ｍ ｐｕ ｔ ｅ ｒ Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ
Ｖｏ１ ．４ ０ Ｎｏ ． ２ Ｆｅ ｂ ２ Ｏ １ ３
任 意 公 理 系 统 的依 赖 基
马 垣
（ 辽 宁科技 大学 软件 学院 鞍 山 １ １ ４ ０ ５ １ ）
Hale Waihona Puke １ 引言 值 依 赖 是 粗 糙 集 理论 与 形 式 概 念 、 关 系 数 据 库 等 领 域 共 同研 究 的课 题 。 在粗 糙 集 理论 中 ， 它称 为“ 规则 ” ［ ， 在 形 式
无冗余 的依 赖基 。然 而近年 的研 究发现 ， 原来 还存在 另外 的
公 理系统也存 在着对这个公 理系统 的完整 、 无冗余 的依赖基 （ 见文献［ ９ ］ ） 。这个 发现不仅 在理 论上有很 大意义 ， 而且在 实
背景 ， 通过诱导 背景 可把这个证 明过程及依赖基 的计 算过程形 象地反映 出来 。
关键词 值 依赖 ， 公 理 系统 ， 依 赖基 ， 诱 导 背 景 Ｔ Ｐ １ ８ 文献 标 识 码 Ａ 中图法分类号
Ｄｅ ｐｅ ｎ ｄｅ ｎ ｃ ｙ Ｂａ ｓ ｉ ｓ ｏｆ Ａｒ ｂｉ ｔ ｒ ａ ｒ ｙ Ａｘ ｉ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｃ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ
已证明在一个信息表中为真的值依 赖的个数是随信息表的尺
寸而指数级增长 的。因此要 把它们全 部表示 出来 十分 困难 ， 这影响 了它们 的应 用。这样 Ｇ ｕ ｉ ｇ ｕ ｅ ｓ 及 Ｄ ｕ ｑ ｕ ｅ ｎ ｎ ｅ 提 出了 目
前用他们 名字命 名 的 Ｇ ｕ ｉ ｇ ｕ ｅ ｓ － Ｄ ｕ ｑ ｕ ｅ ｎ ｎ ｅ基［ ７ ］ 。证 明 了这 个 基对 Ａｒ ｍｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ公理系统（ 或称推导 规则） 是完整 的、 无 冗余 的。完整是指 ， 所有在该 信息表 中成立 的值依赖 都可 由这个 基 中的值依 赖用 Ａｒ ｍｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｇ公 理 系统推 导 出来 。无 冗余 是
践上也有很大意义。因为实 际应用 的问题是多 种多样 的 ， 单
一
概念中 ， 它称 为 “ 属 性 蕴含 ” Ｅ ， 在数 据 库 中 ， 它称 为 “ 值 依
赖” Ｅ 。本文采用数据库理论 中的名称“ 值依赖 ” 。文献Ｅ ６ ２ 中
的一种依赖基很难方便地满足这些多种多样 的需求 ， 例如 ：
摘 要 形 式化 定 义 了值 依 赖 的公 理 、 公 理 系统 及 依 赖 基 。严 格 证 明 了任何 公 理 系统 对任 何 背 景都 具有 依 赖 基 ， 给出
了对任 意 一 个公 理 系统 求任 意 背 景依 赖 基 的 方 法 ， 并 证 明 了每 个 公 理 系统 的依 赖 基 不 唯 一 。进 而 还提 出 了一 种 诱 导