2001年高等数学(乙)
(详细解析)2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题 60分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上．2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0cos sin >θθ，则θ在A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】0cos sin >θθ，则sin θ与cos θ同号，B 正确．2．过点(1,1)(1,1)A B --,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 A ．()()41322=++-y x B ．()()41322=-++y xC ．()()41122=-+-y x D ．()()41122=+++y x【答案】C【解析】显然过A B ,两点的直线与已知直线平行，过A B ,两点分别作,x y 轴的垂线，与已知直线相交于点(1,1)M ，则(1,1)M 为圆心，半径为2，C 正确．3．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】B【解析】由已知得12312313212,48,2a a a a a a a a a ++==+=，解得12a =．4．若定义在区间(10)-，内的函数()2log (1)a f x x =+满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1(0,]2C ．1(,)2+∞ D ．(0,)+∞【答案】A【解析】当(10)x ∈-，，则1(0,1)x +∈，由0)(>x f ，则021a <<，则1(0,)2a ∈．5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是【答案】C【解析】化为直角坐标方程为2222((122x y -+-=，只有C 正确．6．函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 【答案】A【解析】∵0x π-≤≤，∴02y ≤≤，又0x π≤-≤，∴1cos cos()y x x -==-， ∴cos(1)x arc y -=-，即cos(1)x arc y =--，反函数为)20)(1arccos(≤≤--=x x y ．7．若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 【答案】C【解析】易知椭圆的中心为(2,0)，且2,1a c ==，则12c e a ==．8．若0,sin cos ,sin cos 4a b παβααββ<<<+=+=，则A ．b a <B ．b a >C ．1<abD ．2>ab 【答案】A【解析】由题设sin(),sin()44a b ππαβ=+=+，又4442ππππαβ<+<+<，所以b a <．9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为A ．60︒B ．90︒C ．105︒D ．75︒【答案】B则【解析】如图，取11A B 的中点D ，连接1,BD C D ，若12AB BB =，1111,,AB BD AB C D BD C D D ⊥⊥=，∴1AB ⊥平面1C DB ，而1C B ⊂面1C DB ，∴11AB C B ⊥，故答案为90︒．10．设()()f x g x ,都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】C【解析】若)(x g 单调递减，则()g x -单调递增，所以)()(x g x f -单调递增，②正确；同理③正确．11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为123P P P ,,．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．123P P P >>B ．123P P P =>C ．123P P P >=D ．123P P P ==【答案】D【解析】本题考查平面图形在另一平面内的射影理解与有关计算，其斜面与房屋的底面所成的角都是α，又有cos S S α=底斜，故有123P P P ==．【编者注】此公式《新课标》不作要求．12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为A ．26B ．24C ．20D ． 19 【答案】D【解析】从A 到B 有四条线路，从上到下记为1234,,,l l l l ，且123412,12l l l l +≤+≤，在单位时间内可以通过的最大信息量分别为3,4,6,6，D 正确．第II 卷（非选择题 90分）注意事项：1． 第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】2π【解析】由已知可得圆锥的的底面半径和母线长分别为1和2，侧面积为2rl ππ=．14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为12F F ,，点P 在双曲线上．若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 ．【答案】516 【解析】方法一：设(,)P x y ，12(5,0)(5,0)F F -,，由12PF PF ⊥得00155y y x x --⋅=-+-，即 2225x y +=，与双曲线方程联立得225625y =，则165y =． 方法二：设12,PF m PF n ==，由抛物线定义和题设222126,100m n m n FF -=+==，可得32mn =，利用面积相等关系12121122P PF PF F F y ⋅=⋅得165y =．15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和．若{}n S 是等差数列，则=q ． 【答案】1【解析】若{}n S 是等差数列，则1322S S S +=，11231223()2()a a a a a a a a +++=+⇒=，所以1q =．16．圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ． 【答案】2(1)n n -【解析】由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n 个等分点，∴共有n 条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形， ∴可做22n -个直角三角形，根据分步计数原理知共有(22)2(1)n n n n -=-．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，11,2SA AB BC AD ====． （Ⅰ）求四棱锥ABCD S -的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．【解】本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．（I ）直角梯形ABCD 的面积是()110.531224M BC AD AB +=+⋅=⨯=底面， ……2分 ∴四棱推ABCD S -的体积是113113344V SA M =⨯⨯=⨯⨯=底面．……4分（II ）延长,BA CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵//,2AD BC BC AD =，∴EA AB SA ==，∴SE SB ⊥． ∵SA ⊥面ABCD ，得面AEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC EB ⊥，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴CS SE ⊥，所以BSC ∠是所求二面角的平面角． ……10分222,1,SB SA AB BC BC SB ∴=+==⊥．2tan 2BC BSC SB ∴∠==． 即所求二面角的正切值为22． ……12分18．（本小题满分12分）已知复数31)1(i i z -=． （Ⅰ）求1arg z 及1z ；（Ⅱ）当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值．【解】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）31(1)22z i i i =-=-， ……3分将1z 化为三角形式，得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设cos sin z i αα=+，则1(cos 2)(sin 2)z z i αα-=-++，()()22212sin 2cos ++-=-ααz z942sin()4πα=+-， ……9分当sin()14πα+=时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分19．（本小题满分12分）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ,两点． 点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴． 证明直线AC 经过原点O ．【解】本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：因为抛物线)0(22>=p px y 的焦点为(,0)2pF ，所以经过 点F 的直线AB 的方程可设为2p my x +=， 代人抛物线方程得2220y pmy p --=，若记1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2(,)2py -， 故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． 证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD l ⊥，D 是垂足．则////AD FE BC ．……2分 连结AC ，与EF 相交手点N ，则||||||||||,||||||||||EN CN BF NF AF AD AC AB BC AB === ……6分根据抛物线的几何性质，||||,||||AF AD BF BC == ……8分||||||||||||||||AD BF AF BC EN NF AB AB ⋅⋅∴===，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．…12分20．（本小题满分12分）已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1．（Ⅰ）证明：in i i m i P m P n <； （Ⅱ）证明：mn n m )1()1(+>+．【解】本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1i m <≤有(1)im p m m i =⋅⋅-+，⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…mi m 1+-⋅， 同理 11...i n i p n n n i n n n n--+=⋅⋅⋅…， ……4分由于m n <，对整数1,2,,1k i =-，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明：由二项式定理有()inni inCm m ∑==+01，()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由（Ⅰ）知i n i p m ＞(1)i im n p i m n <≤<，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以，(1)i i i in m m C n C i m n ><≤<．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0． 即(1)(1)nmm n +>+． ……12分21．（本小题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元．写出n n b a ,的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【解】本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．（I ）第1年投入为800万元．第2年投入为1800(1)5⨯-万元，……，第n 年投入为11800(1)5n -⨯-万元．所以，n 年的总收入为111111800800(1)800(1)800(1)555n n k n k a --==+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯-∑44000[1()]5n =⨯-． ……3分第1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 1400(1)4⨯+万元，……，第n 年旅游业收人为11400(1)4n -⨯+万元．所以，n 年内的旅游业总收入为111111400400(1)400(1)400(1)444n n k n k b --==+⨯++⋅⋅⋅+⨯+=⨯+∑51600[()1]4n =⨯-． ……6分（Ⅱ））设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此0n n b a ->，即541600[()1]4000[1()]045n n ⨯--⨯-> 化简得455()2()7054n n ⨯+⨯->， ……9分设4()5n x =，代入上式得25720x x -+>，解此不等式，得2,15x x <>（舍去）．即 42()55n <，由此得 5n ≥．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分22．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x ，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且0)1(>=a f ．（Ⅰ）求)21(f 及)41(f ； （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数； （Ⅲ）记)212(nn f a n +=，求)(ln lim n n a ∞→．【解】本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．（Ⅰ）因为对121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=+，所以()()()0,[0,1]22x xf x f f x =⋅≥∈．∵211111(1)()()()[()]22222f f f f f =+=⋅=，2111111()()()()[()]244444f f f f f =+=⋅=． ……3分0)1(>=a f ，∴112411(),()24f a f a ==． ……6分（Ⅱ）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(11)f x f x =+-，即()(2),f x f x x R =-∈， ……8分 又由()f x 是偶函数知()(),f x f x x R -=∈，∴()(2),f x f x x R -=-∈， 将上式中x -以x 代换，得()(2),f x f x x R =+∈．这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知()0,[0,1]f x x ≥∈．∵111111()()((1))()((1))222222f f n f n f f n n n n n n =⋅=+-⋅=⋅-⋅ 111()()()222f f f n n n ==⋅⋅⋅1[()]2n f n=，121()2f a =，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 ----完整版学习资料分享---- ∴121()2n f a n=． ∵()f x 的一个周期是2， ∴11(2)()22f n f n n+=，因此12n n a a =， ……12分 ∴1lim(ln )lim(ln )02n n n a a n→∞→∞==． ……14分。
昆明理工 高等数学 下 试题 及 答案.
昆明理工大学2001级高等数学[下]期末试卷一、填空（每小题4分，共24分）1．函数的定义域是，函数在是间断的.2．设函数，则， .3．函数在点（1，2）处沿轴负方向的方向导数等于.4．设，则曲面积分= .5．设，则二重积分= .6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为解.二、解答下列各题（每小题6分，共18分）1．求函数（为常数）的全微分.2．求曲面在点处的切平面方程和法线方程.3．求微分方程的通解.三、解答下列各题（每小题6分，共18分）1．设而为可导函数，试计算.2．计算三重积分其中是由曲面及所围成的闭区域.3．计算曲面积分，其中是柱面介于平面及之间部分的前侧。
四、（12分）求微分方程的通解.五、（12分）求曲线积分其中：（1）（8分）L为圆周的正向.（2）（4分）L为椭圆的正向六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.七、（7分）讨论函数在（0，0）处的连续性.昆明理工大学2002级高等数学（下）期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分）1．设函数，则全微分2．设函数具有一阶连续偏导数，则3．二重积分，改变积分次序后= .4．直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下的三次积分=5．若区域，则三重积分=6．当= 时，为某二元函数的全微分.7．曲线积分，其中L是抛物线上从点到的一段弧，则= .8．当为面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为= .9．二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y=10. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*=二．（10分）具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足三．（10分）由锥面及抛物面所围立体体积四．（10分）求螺旋线在处的切线方程及法平面方程.五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中具有二阶连续导数，为上半球面与所围成空间闭区域的整个边界曲面的外侧.六．（10分）设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导且，求.七．（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程，求其通解.昆明理工大学2003级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数，则，.2．曲线在处的切线方程为.3．交换二次积分次序， .4．设L为右半圆周：，则曲线积分.5．设∑为平面在第一卦限中的部分，则曲面积分. 6．级数的敛散性为.7．幂级数的收敛半径R=，收敛区间为.8．求微分方程的通解为.二．解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设.2．讨论函数是否有极值.3．求幂级数在收敛区间内的和函数.4．求微分方程的特解.5．求微分方程的通解.三．（11分）利用格林公式计算曲线积分，其中为从原点的正弦曲线.四．（11分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的内侧.五．（11分）求由锥面及旋转抛物面所围成的立体的体积.昆明理工大学2004级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数，则.2．曲线处的法平面方程为：.3．设区域D由及所围，则化二重积分为先的二次积分后的结果为 .4．设L为圆弧：，则曲线积分.5．设，则曲面积分=.6．级数收敛于.7．幂级数的收敛半径R=，收敛区间为.8．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*=.（不要求计算）二．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求.2．讨论的极值.3．将函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间.4．求微分方程的通解.三．（10分）设L为沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分.四．（10分）求由球面及所围成的立体的体积.五．（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面外侧的上半部分.六、（10分）求，使曲线积分与路径无关，其中具有二阶连续导数，且.昆明理工大学2005级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数则.2．设，则.3．曲线处的法平面方程为..4．交换二次积分次序，则.5．设L为圆周：，则曲线积分.6．当∑为平面内的一个闭区域D时，则曲面积分.7．微分方程的通解为.8．微分方程的的通解为.二．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．由方程所确定，其中具有连续的偏导数，求.2．计算二重积分其中D是由所围成的闭区域.3．利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的外侧.4．求微分方程的通解.三．（10分）某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省.四．（10分）求由曲面及所围成的立体的体积.五．（10分）微分方程的通解.六．（10分）曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算.昆明理工大学2006级高等数学[下]期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设，则.（2）设，则全微分.（3）曲线在处的切线方程为 .（4）交换二次积分次序，则 .（5）设有曲线：的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分：.（6）设曲面是锥面在柱面内部那一部分上侧，则曲面积分 .（7）设具有连续偏导数，且则 .（8）当时，为某二元函数的全微分.(9 微分方程的通解为(10 微分方程的通解为二．（7分）设.三．（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.四（7分）利用适当的坐标计算积分其中D 是由直线：及曲线所围城的闭区域.五（10分）利用高斯公式计算曲面积分：其中是曲面上侧.六．(10分利用格林公式，计算曲线积分：其中L为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界.七．(10分求由抛物面与平面所围成空间闭区域内的立体的质量，已知此立体的体密度为八．(10分二阶常系数非齐次线性微分方程，求其通解.九．（9分）设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的一阶导数,且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于求函数.昆明理工大学2007级高等数学[下]期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设,，,具有一阶连续偏导数，则（2）设，则全微分（3）曲面在点处的切平面方程为（4）交换二次积分次序，则（5）计算二重积分的值，其中（6）曲线L为球面与平面相交的圆周，其中，则曲线积分（7）设曲面是在柱面上介于的部分，则曲面积分（8）当时，曲线积分与路径无关.（9）微分方程（b为常数）的通解为（10）微分方程的通解为二、（8分）已知三个正数之和为12，求的最大值.三、（8分）计算二重积分的值，其中D是由直线及曲线所围成的闭区域.四、（10分）求旋转抛物面与锥面所围立体的体积.五、（10分）求，其中L为顶点坐标分别是，，的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：，其中是曲面的上侧.七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解（其中a 为常数）.八、（10分）设具有一阶连续导数，且，又是全微分方程，求.九、（6分）已知，且，其中可微，连续，且，连续，求.昆明理工大学2008级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分）1.由曲线与直线及围成的图形的面积为若以x为积分变量,面积可用定积分表示为 .2.设为连续函数，则交换二次积分次序后.3. ,其中L是圆弧.4.，其中为平面在第一卦限中的部分.5.设为面上的闭区域,取下侧, 表示在面的投影,将化为上的二重积分,则.6. 已知级数则级数的和是7.已知，则 .8.当时,级数的敛散性为9.全微分方程的通解为 .10.一阶线性非齐次方程:的通解为 .二、计算下列各题(每小题5分，共10分1.求曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2.三、（7分）计算三重积分所围成的闭区域。
(整理)2001—年江苏专转本高等数学真题(附答案) (2).
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
高等数学(乙))
中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（乙）考试大纲考试性质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（乙）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方式和考试时间高等数学（乙）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
会求给定函数的复合函数和反函数。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
高等数学乙 32 页
高等数学（乙）考研资料资料包含：1.数乙2000-2009年真题缺2003，含其中2000-2002年有答案。
2.数甲2001，2006-2008年真题3.高等数学B:2000-2005年，2008。
其中2003，2004有答案4.中科大高等数学2003-2010年真题含官方答案名校考研之家整理中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、填空题 (本题满分30分，每个空格6分。
请将你的答案标清题号写在考场发的答题纸上，直接填在试题空格内无效。
) 1. 220arctan lim sin 2(3)x x x x x →⋅+=（ ）。
2. 设是由所确定的函数，()y y x =210y x t x e dt +−−∫=(0)1y =，则0x dy dx ==（ ）。
3. 设(,,)u v w ϕ有一阶连续偏导数，(,)z z x y =是由(,,)bz cy cx az ay bx 0ϕ−−−=确定的函数，则z z a b x y ∂∂+∂∂=（ ）。
4. 已知()f x 在点的某个邻域内可展成泰勒级数，且0x =211f n n⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，，则（ ）。
1,2,n =L (0)f ′′=5. 微分方程的通解是（ ）。
23tan (1)sec 0x x e ydx e ydy +−=二、选择题 (本题满分30分，每小题6分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)1. 设，2,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩,0()3,0b x g x x x <⎧=⎨+≥⎩，()()f x g x +在(,)−∞+∞内连续，则a , b 的值为 。
2001—210年江苏专转本高等数学真题(附答案)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos )21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim 202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12.16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值.17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解. 18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
2001—2004年江苏专转本高数真题(打印版)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）1、下列各极限正确的是A 、e x x x =+→)11(lim 0B 、e xxx =-→)11(lim 0C 、11sin lim =∞→x x xD 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x 211 A 、211x- B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，）6、设⎩⎨⎧+==22t t y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx xx220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctanπ+++=x x y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim22⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.14、已知xyx y ln 2+=，求11==y x dx dy . 15、计算dx e e xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值.17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z ∂∂∂2. 四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
2001年普通高校招生数学(文)统一考试(全国卷)试题及答案
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) tg300°＋ctg405°的值为 ( )(A) 31+(B) 31-(C) 31--(D) 31+-(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4 (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4(C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4 (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是 ( ) (A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，) (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg是 ( )(A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是( )(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x(D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题： ( )① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是( )(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则( )(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为 (14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = (16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4 求四边形ABCD的面积． (20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？(22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫⎝⎛21f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． （13）15 （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a n ｝，则a 1 = a ，a 2 = 4，a 3 = 3a ，S k = 2550．由已知有a ＋3a = 2×4，解得首项a 1 = a = 2，公差d = a 2－a 1= 2． ——2分代入公式()d k k a k S k ⋅-+⋅=211得 ()25502212=⋅-+⋅k k k ， 整理得 k 2＋k －2550 = 0， 解得 k = 50，k = －51（舍去）．∴ a = 2，k = 50． ——6分 （Ⅱ）由()d n n a n S n ⋅-+⋅=211得S n = n (n ＋1)，∴()1132121111121++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++n n S S S n)111()3121()2111(+-+⋅⋅⋅+-+-=n n111+-=n ， ——9分 ∴ 1)111(lim )111(lim 21=+-=+⋅⋅⋅++∞→∞→n S S S n n n ．——12分 （18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ——2分∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面 43131⨯⨯= 41=． ——4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ——6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ——10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tg ∠BSC =22=SB BC ． 即所求二面角的正切值为22． ——12分 （19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积，C CD BC A AD AB S S S CDB ABD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆． ∵ A ＋C = 180°，∴ sin A = sin C ． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理，在△ABD 中，BD 2 = AB 2＋AD 2－2AB · AD cos A =22+42－2×2×4cos A = 20－16cos A ， 在△CDB 中BD 2 = CB 2＋CD 2－2CB · CD cos C = 62＋42－2×6×4cos C = 52－48cos C ，——9分∴ 20－16cos A = 52－48cos C ∵ cos C = －cos A ， ∴ 64cos A =－32，21cos -=A ，∴ A = 120°，∴ 38120sin 16=︒=S ． ——12分 （20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2pmy x +=； ——4分 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ——8分 因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点C 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ——12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λ x 2 = 4840． 设纸张面积为S ，有S = (x ＋16) (λ x ＋10)= λ x 2＋(16λ＋10) x ＋160， ——3分将λ1022=x 代入上式，得)58(10445000λλ++=S ． ——6分当λλ58=时，即)185(85<=λ时，S 取得最小值． ——8分 此时，高：cm 884840==λx ，宽：cm 558885=⨯=x λ． 答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ——12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．(Ⅰ)解：由f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，x 1 x 2∈[0，21]知=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ——2分 ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，2)1(=f ，∴ f (21)212=． ——5分∵ f (21)2)]41([)41()41()4141(f f f f =⋅=+=，f (21)212=，∴ f (41)412=． ——8分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ——11分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ， 将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ——14分。
中科院大学参考书目
338 生物化学：《生物化学》（2002年第三版），上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社《基因VIII》（中文版），Benjamin Lewin，科学出版社（分子生物学主要参考教材建议以《基因VIII》为主）601 高等数学（甲）《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。
602 高等数学（乙）《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。
603 高等数学（丙）[1]《高等数学》第六版（上、下册），同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007年。
[2]《线性代数》第五版，同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007年。
612 生物化学与分子生物学《生物化学》（2002年第三版），上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社《基因VIII》（中文版），Benjamin Lewin，科学出版社（分子生物学主要参考教材建议以《基因VIII》为主）808 电动力学郭硕鸿著，《电动力学》，高等教育出版社，北京，1997年第二版。
614 科学技术史雷·斯潘根贝格和黛安娜·莫泽，《科学的旅程》，郭奕玲、陈蓉霞、沈慧君译，北京：北京大学出版社，2008年。
611 生物化学（甲）《生物化学》上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社（2002年第三版）610 分子生物学《现代分子生物学》（第二版），朱玉贤李毅著，高等教育出版社，2002 《Molecular Biology》(第三版)，Robert Weaver著，McGraw-Hill出版社，2005（809）固体物理：黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》高等教育出版社，1988年10月（811）量子力学：《量子力学教程》曾谨言著（科学出版社2003年第1版）。
（819）无机化学：《无机化学》第三版，武汉大学、吉林大学等校编，高等教育出版社。
2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类及答案
2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的 概率是P ，那么n 次独立重复试 验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数)32sin(3π+=xy 的周期、振幅依次是（A ）4π、3（B ）4π、－3（C ）π、3（D ）π、－3（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c=（A ）21-a +23b （B ）21a －23b （C ）23a 21-b （D ）－23a 21+b（6）若A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 棱锥、圆锥的体积公式 sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（8）函数331x x y -+=有（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2（D ）极小值－1，极大值3（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。
高数B
高数B高数B一般是中科院招生所考数学对应高等数学乙中科院研究生院硕士研究生入学考试高等数学（乙）考试大纲一、考试性质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学高等数学考试的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间高等数学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、适用专业高等数学（乙）适用的招生专业：大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业。
五、考试内容和考试要求一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
(整理)中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.
中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.txt我这人从不记仇，一般有仇当场我就报了。
没什么事不要找我，有事更不用找我！就算是believe中间也藏了一个lie！我那么喜欢你，你喜欢我一下会死啊?我又不是人民币，怎么能让人人都喜欢我？中科院考研高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲一、考试性质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学高等数学考试的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间高等数学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
四、试卷分类及适用专业根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的要求不同，将高等数学试卷分为高等数学（甲）、高等数学（乙）。
每种试卷适用的招生专业如下：高等数学（甲）适用的招生专业：理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业。
高等数学（乙）适用的招生专业：大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业。
河南专升本高等数学真题和详细答案
精品文档2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3] 2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．4 6．设cos xy e =，则dy 等于（ ）A ．sin xxe e dx - B ．sin xxe e - C ．sin xxe e dx D ．sin xe dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a -D ．ab-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对精品文档9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C + C ．()F x C + D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x →⎰等于（ ）A ．+∞B ．16 C ． 0 D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰D ．11ln dx x+∞⎰16．0x y →→ ）A ． 0 B.12 C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4dx dy +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交 20．设(){}222,|,0D x y xy R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ）A.()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11nn u ∞=-∑收敛，则lim n n u→∞等于（）A ．1B ．0C ．+∞D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．1n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑23．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1nn nu∞=∑ B．1n ∞= C ．11n n u ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n nx a∑∞=0（n a 为常数，Λ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ） A ．x yy e-'= B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20xxy y e'+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ） A ．2212xx y C eC e -=+ B ．()212x y C C x e =+C ．212xy C C e =+ D ．12cos 2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2.y ax bx c =++ B ．()*22y x ax bx c =++ C ．()*y x ax b =+ D ．()*2y x ax bx c =++二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33xf x x =+，则()()40f=________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________．4．sin x xe e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 yxz x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()11,xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-的收敛半径为________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot lim ln x xx+→ 2．求函数12(12)xy x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z z x y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆. 7．计算积分()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x=-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间． 四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分）证明方程203021x xdt e t --=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】要求0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A.2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C.3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B ．【解析】 因为204lim(2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2limlim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ．5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h→--()()()0(0)0lim h f h f f h f h →----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6，【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin xxxxxy e e e e e '''==-=-，所以sin xxdy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dt dy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4b y a π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，应选C.8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A.10，【答案】C ． 【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x 在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C.11，【答案】B ．【解析】()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ．12，【答案】D. 13，【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14，【答案】D.【解析】 203tan limxx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D.15，【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A.16，【答案】B.【解析】00x y →→0012x y →→==，选 B.17，【答案】C. 【解析】23zy x x∂=+∂；z x y ∂=∂.故()23.z z dz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x y f x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19，【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-u r；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--u u r .因为12.0n n =u r u u r ，所以1n u r ⊥2n u u r，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20，【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11nn u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-=所以，()lim 1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A.22，【答案】B. 【解析】 （1）n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=发散，排除A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ；（3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12n n n ∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23，【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n ∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ； （4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24，【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin 1n n n →∞=且211n n ∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ； （3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)n n ∞=-∑收敛；但1(1)nn ∞=-∑1n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑条件收敛.25，【答案】C. 【解析】由题意，nn nx a∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n nx a∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A . 【解析】21122y xdx x C ''==+⎰； 23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++⎪⎝⎭⎰； 34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭⎰29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212xx y C e C e -=+，选A.30，【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220xf x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()10lim 1sin xx x →+=()sin 11sin 0lim 1sin xxxx x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3xf x x '=+；()263ln 3xf x x ''=+；()363ln 3xf x '''=+；()()443ln 3x f x =.所以，()()440ln 3f =.3，【答案】填20x y +=. 【解析】()221221(2)14y x x x''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos xe c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5，【答案】填15π.【解析】 ()212015V x dx ππ==⎰. 6，【答案】填1ln y x yx y y -+.【解析】1ln y x zyx y y x-∂=+∂. 7，【答案】填()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n na a ρ+→∞===，所以收敛半径为11.R ρ==9，【答案】填2xe .【解析】由展式()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nn n x n n x x e n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C = 【解析】①式可化为22sec sec tan tan x ydx dy x y=- ② ②两边积分，得22sec sec tan tan x ydx dy x y=-⎰⎰，即 11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C = 所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1，【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x +→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x xx x+→=- ------------------------------------------3分0lim 1cos x xx x+→=-=---------------------------------------------4分2，【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得 ()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即 1.2ln(12)2y x y'=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.xy y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12zyf f x∂''=+∂；12z xf f y ∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x =+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分 原式化为2221441cos .sec tan .sec sin ttdt dt t ttππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰-----------------------3分3=-=----------------------------------4分注意：倒数第二步用到(sin arctan =====6，【解析】 2DI xy dxdy =⎰⎰ 122D xy dxdy =⎰⎰ ------------------------------------------1 分（极坐标）222202cos .sin .d r r rdr πθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分222334220001182cos .sin .2sin .343||d r dr r ππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分7，【解析】 L 的参数方程为2,:01,y x x x x ⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分 故()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰()13220(sin ).2x x x x x dx ⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin .2x x dx x xdx =--⎰⎰ ()114322001sin 4|x x x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x =-+=-------------4分8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n =-u r ；2π的法向量是{}21,1,1n =-u u r.--------------1分可取所求直线的方向向量为{}122312352,3,5111i j ks n n i j k =⨯=-=++=-r r r r u r u u r r r r----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z ---== ------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分其中()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为()()31.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即 所以()()1.6y x y x x x'-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dxdx xxy x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰③又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x xdtf x e t=--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导. 因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又()2101xf x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根. 注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1xe >，且2111x <+，故()2101xf x e x '=->+. .。
2001-2013年河南专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程yx e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ）A.t a b 2sinB.t a b32sin - C.t a b 2cos D.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （ ）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d 解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 142221041031332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。