优化方案(新课标)高考数学一轮复习 第四章 第4讲 数系的扩充与复数的引入课件 文
2020版高考数学一轮复习教案- 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b ) 平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．4．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0A [由题意得⎩⎨⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，解得m ＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－iA [1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i.] 5．(教材改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由题意知⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.则复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]复数的有关概念1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1 D. 2 C [z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝i ，所以|z |＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iB [21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i ，故选B.] 3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．－2 [∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]复数的运算►考法1 复数的乘法运算【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.(3)因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， 所以4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.所以⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]►考法2 复数的除法运算【例2】 (1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.(2)(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．(1)4－i (2)2 [(1)6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝6＋14＋7i －12i5＝4－i.(2)z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )(－i )i (－i )＝2－i故z 的实部为2.]►考法3 复数的综合运算【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i (2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35iD.45－35i(3)若复数z 满足 2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(1)A (2)D (3)B [(1)由1－z1＋z ＝i 得1－z ＝i ＋z i.即(1＋i)z ＝1－i ，则z ＝1－i1＋i ＝－i ，因此z ＝i ，故选A.(2)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.(3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎨⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i ，故选B.](1)(2019·合肥模拟)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．i －1C ．－i －1D ．－i(3)(2019·南昌模拟)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝2，z 2＝－2i ，则z ＝( ) A.12－12i B.12＋12i C ．1＋iD ．1－i(1)A (2)C (3)D [(1)法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.(2)由已知可得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z ＝1－i 时，符合题意，故选D.]【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(1)D (2)B [(1)11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，所以11－i的共轭复数为12－12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1，故选B.](1)(2019·广州模拟)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i (1)A (2)C [(1)因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋2i ＋i 2＝2(1－i )2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A (－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)C [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝() A．1 B. 2 C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝i＋1i＝1－i，∴z＝2－i，故选C.]。
优化探究高考数学一轮复习 第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入课时作业 理 新人教A版
【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．(2016·洛阳模拟)设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2，故选B.答案：B2．复数1＋2ii 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R)，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( )A ．(1,2)B ．(2，－1)C ．(2,1)D ．(1，－2)解析：1＋2i i ＝2－i ，其共轭复数为2＋i ，即a ＋b i ＝2＋i ，所以a ＝2，b ＝1.故选C.答案：C3．设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝－3”是“复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数，则x 2＋2x －3＝0且x －1≠0，解得x ＝－3，故x ＝－3⇔复数z 为纯虚数，选C.答案：C4．在复平面内，复数－2＋3i 3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵－2＋3i3－4i＝－2＋3i 3＋4i 3－4i3＋4i ＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴－1825＋125i 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1825，125，在第二象限，故选B.答案：B5．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.答案：C6．(2015·高考江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.答案： 57．(2015·高考重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解：设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(a －b i)＝z z ＝|z |2＝3. 答案：38．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.解析：m ＋i 1＋i －12＝m ＋i1－i 1＋i 1－i －12＝m ＋1＋1－m i 2－12＝m ＋1－m i2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i 2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.解：(1)－1＋i2＋i i3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i. (3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝3＋i－i3＋i 2＝－i 3＋i＝－i3－i 4＝－14－34i.10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.B 组 高考题型专练1．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：7＋i 3＋4i ＝7＋i3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－25i25＝1－i.选A.答案：A2．(2014·高考江西卷)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，又z ＋z ＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.答案：D3．(2015·高考山东卷)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i解析：由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.答案：B5．(2015·高考安徽卷)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝－1＋i ，其在复平面内所对应的点位于第二象限． 答案：B6．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝i －12i ＋1i －1＝i ，所以|z |＝1.答案：A7．(2015·高考四川卷)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.答案：C8．(2015·高考重庆卷)复数(1＋2i)i 的实部为________． 解析：因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以实部为－2. 答案：－2。
高考数学(文)一轮复习 4-4数系的扩充与复数的引入
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板块四
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高考一轮总复习 ·数学（文） (2)i 是虚数单位，1－2i2016＋11＋ －ii6＝___0_____.
解析 原式＝1－2i21008＋11＋ －ii6＝－22i1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝i0＋i2＝1－1＝0.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
－
【变式训练 1】 (1)[2015·山东高考]若复数 z 满足1－z i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝(
)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
－ 解析 ∵1－z i＝i，∴－z ＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i.∴z＝1－i.
1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； 2．减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； 3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
4．除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析 直接进行复数的乘法运算．i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
2．[2015·福建高考]若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数单位)，B＝{1，－1}，则 A∩B 等于( )
A．{－1}
－ 4．已知复数 z 的共轭复数 z ＝1＋2i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限．( × ) 5．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_4数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版
(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且 满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．复数的有关概念
(1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部 和 虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，
【优化方案】高考数学 第四章 第4课时 数系的扩充与复数的引入复习课件 新人教A版
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法 关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂 写成最简形式． (2)记住以下结论，可提高运算速度： 1＋ i 1－ i a＋bi ① (1± i) ＝ ± 2i；② ＝ i；③ ＝－ i；④ ＝ b－ ai； i 1－ i 1＋ i
2．复数的几何意义 (1)复数与点：复数 z＝a＋bi b)(a，b∈ R)． (2)复数与向量：复数 z＝ a＋ bi b)(a，b∈ R)． → 平面向量OZ＝ (a， 复平面内的点 Z(a，
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝ a＋bi， z2＝ c＋ di(a，b， c，d∈ R)，则
a 【解析】∵a，b∈R，且 ＝ 1－bi， 1－ i 则 a＝ (1－ bi)(1－ i)＝ (1－b)－ (1＋b)i， a＝1－b， ∴ 0＝1＋b，
a＝2， ∴ ∴ |a＋bi|＝|2－i|＝ 22＋（－ 1） 2＝ 5. b＝－ 1.
复数的运算
计算下列各式的值：
(4)复数的分类 实数：b＝0. a＋bi（a，b∈R） 虚数： b≠0
纯虚数： a＝0 . 非纯虚数： a≠0 .
→ (5)复数的模：向量OZ的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi(a， b∈ R)的
2 2 a ＋ b 模，记作 |z|或 |a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第4课时 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数如何定义的？ 提示：形如a＋bi(a，b∈R)的数，其中i叫做虚数单位，a和 b分别叫做它的实部和虚部 (2)两复数相等如何规定？ 提示：复数相等： a ＋ bi ＝ c ＋ di⇔a ＝ c 且 b ＝ d(a ， b ， c ， d∈R) (3)共轭复数如何定义？ 提示：共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b, c，d∈R)
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第四章第4讲数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.复数的有关概念⑴复数的概念：形如a+bi(a9方UR)的数叫复数，其中”，b 分别是它的实部和虚部.若b = 0,则a-hbi为实数；若〃工0, 贝|a+bi为虚数；若。
=0且方H0,贝|| a+bi为纯虚数・(2)复数相等：a+"i=c+〃iOa=c 且方=〃(a, b, c9〃WR).(3)共轨复数：〃+方i 与c+〃i 共辘0a=c, b = —(l(a9 b, c9 〃WR).(4)复数的模：向量庞的模厂叫做复数z=a+bi(a f b^R)的模，记作Izl或l«+MI,即lzl = l“+bil=Q/+庆.2.复数的几何意义⑴复数Z=a+bi一-复平面内的点Z(«, b)(a,方ER).(2)复数z=a+〃i(a,方WR)—~平面向量OZ・3. 复数的运算设Zi=a+"i, Z2=c+d\(a, b, c, "WR),则①加法：Zi +Z2=(a +〃i)+(c +〃i) = (a+c) + (〃 +〃)i ；②减法:习一Z2=(a+bi)—(c+〃i) = (a —c) + (〃一〃)i；Zi • Z2=(«+^i)e (c + Ji) = (ac —bd) +(ad+bc)i ；Zi_a+〃i_ (a+〃i) (c —〃i) _ac^rbd be —ad ⑴复数的加、减、乘、 除运算法则③乘法: ④除法:Zi c+〃i (c+〃i) (c—Ji) c2^rd2c2+iZ2（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1，有Z1+Z2=Z2+Z1，（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2+Z3）・產D【做二做〕1.已知复数z=*则该复数的虚部为_____________ . 解析:严力（;—l） =]+i,该复数的虚部为1・52 •若a+bi=2潭是虚数单位心〃 $ R），则"= -解析：a+方2i,所以a = l f b = —2, ab = ~2.3.已知复数Zi = —l+2i, Z2=l—i，Z3=3—4i,它们在复平面上对应的点分别为A, B, C,若OC=lOA+pOB^f旳，则2+“的值是].解析：由条件得荒=(3,—4),鬲=(一1, 2), OB=(l f -1),根据O C=2,OA-\-pOB得(3, —4)=2(—1, 2)+“(1, —1) = (—2 A —/z),所以2+“ = 1・4.设复数z=-l-i（i为虚数单位），z的共轨复数为s则1（1解析：依题意得(l-z)-z=(2+i)(-l+i) = -3+i, l(l-z)-zl = l-3+il=^ (-3) 2+l2=^10.5.化简:卩+f|6边+佝 (1—i 丿 \[3—\[2i 解：原式=*+ （边+価）i1.必明辨的3个易错点(1)判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.(2)利用复数相等a+bi=c+〃i列方程时，注意a, b, c, d WR的前提条件.(3)Z2<0在复数范围内有可能成立.2.常用的3个结论(1) (l±i)2=±2i；1+i •口=1•4w + .4n _ 1 + j4n—2 9產0；、缘二绦］1.复数Z=(2—i)i在复平面内对应的点位于第_____ 象限. 解析：z=(2-i)i=2i-i2=l+2i,故复数z=(2-i)i在复平面内对应的点为(1, 2),位于第一象限.=b+i(a9 bWR)其中i为虚数单位，贝l| a+b = 解2.已知申析：根据已知可得葺2^b+i今2—ai=〃+iO即1 2\从而a+b = l.2+i3・复数爲的共轨复数是一所以其共轨复数为一i ・解析：因为Hi 4+i ) l-2i (l-2i)(l+2i) 5i (l+2i) =?4.设。
优化方案2021数学一轮课件：数系的扩充与复数的引入
b≠0
a＝0 a≠0
思考探究
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＞z2，则a＞c 说法正确吗？
提示：正确．因为z1，z2至少有一个为虚数时是不能比较大小 的，故z1，z2均为实数，即z1＝a，z2＝c，所以z1＞z2，即a＞c.
2.复数的几何意义 (1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复 平面,横轴叫作实轴，竖轴叫作虚轴．实轴上的点都表示 __实__数__；除原点外，虚轴上的点都表示__纯__虚__数___．
优化方案2021数学一轮 课件：数系的扩充与复
数的引入
2020/8/25
2014高考导航
考纲展示
备考指南
1.理解复数的基本概念．
1.复数代数形式的乘除运
2.理解复数相等的充要条件. 算和复数相等的充要条件
3.了解复数的代数表示形式及 是考查重点．
其几何意义．
2.复数的基本概念如实、
4.会进行复数代数形式的四则 虚部，共轭复数，模的几
例2
例3
【名师点评】 复数与复平面内的点是一一对应的，复数 和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复 数加、减法的几何意义可按平面向量加、减法理解，利用 平行四边形法则或三角形法则解决问题．
方法感悟
1．复数的代数运算 (1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知 识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质， 共轭复数的性质等． (2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i、1±i等)的运 算，这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技 巧，才能减少运算量，节省运算时间，达到事半功倍的效果． 2．复数的几何意义 (1)|z|表示复数z对应的点与原点间的距离． (2)|z1－z2|表示两点间的距离,即表示复数z1与z2对应点间的距离.
近年届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入演练直击高
（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入分层演练直击高考文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入分层演练直击高考文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i）2的虚部是________．［解析] （1＋i）2＝2i,所以该复数的虚部为2。
［答案］ 22．复数z满足（z－3）（2－i）＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数错误!为________．［解析] 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋错误!＝3＋错误!＝3＋2＋i＝5＋i,所以错误!＝5－i。
［答案］ 5－i3．设复数z的共轭复数为错误!,若z＝1－i（i为虚数单位),则错误!＋z2的值为________．[解析］依题意得错误!＋z2＝错误!＋(1－i)2＝错误!－2i＝i－2i＝－i。
［答案］－i4．在复平面内O为坐标原点，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA→和错误!，则|错误!｜＝________.［解析] 由复数的几何意义知，错误!＝（1，1），错误!＝(1，3)，则错误!＝错误!－错误!＝（1，3）－（1,1)＝(0，2），所以|错误!|＝2。
［答案］ 25．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z＝错误!的共轭复数是错误!＝a＋b i(a,b∈R）,其中i为虚数单位，则点(a，b)为________．[解析］因为z＝错误!＝－2－i，所以错误!＝－2＋i.［答案］ (－2，1）6．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R,i是虚数单位,则点P(a，b)到原点的距离等于________．[解析] 由已知a i＋2＝b－i，所以错误!所以点P（－1，2）到原点距离|OP｜＝错误!。
【优化方案】高三数学一轮复习 第4章4.4数系的扩充与复数的引入课件 文 北师大版
z1 a＋bi a＋bi c－ di ④除法： ＝ ＝ z2 c＋ di c＋ dic－ di ac＋bd bc－ad 2 2＋ 2 2i c ＋d c ＋d ＝ ___________________ (c＋di≠ 0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3 z2＋ z1 ， ∈ C，都有 z1＋ z2＝ ___________ z 1＋ ( z 2＋ z 3) (z1＋ z2)＋ z3＝ _________________ ．
a＝ c (a，b， c，d∈ R) d＝－ b ⇔________________________
复平面
建立平面直角坐标系来表示复 实轴上的点都表示实数； 数的平面，叫作复平面，x轴 除了原点外，虚轴上的点 叫________ ，y轴叫 实轴 都表示纯虚数 虚轴 ________
复数的模
→ 向量 OZ 的模r叫作复数z＝a ＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝ a ＋b ___________
2
2
思考感悟 任意两个复数都能比较大小吗？
提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能
比较大小．
2．复数的几何意义 Z(a，b) 与平面向量 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点_________ → OZ(a，b∈R)是一一对应的关系．
【答案】
(1)－20
(2)D
(3)A
【规律小结】
(1)复数的分类： 实数b＝0
复数 a＋bi(a，b∈R) 纯虚数a＝ 0 虚数b≠0 非纯虚数a≠0
【人教A版】2012高三数学《创新方案新课标》一轮复习第4章第4节数系的扩充与复数的引入
A．1＋2i
B．2＋4i
C．－1－2i
D．2－i
解析：31＋ －ii＝31＋－ii11＋＋ii＝2＋2 4i＝1＋2i.
答案：A
()
2．(2010·陕西高考)复数 z＝1＋i i在复平面上对应的点位于 (
)
A．第一象限
[考题印证] (2010·天津高考)i 是虚数单位，复数－11＋＋23i i＝
A．1＋i
B．5＋5i
()
C．－5－5i
D．－1－i
[规范解答] 原式＝－1＋1＋2i3i1－1－2i2i＝5＋5 5i＝1＋i. [答案] A
1．复数的代数运算 (1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知
6．复数 z1＝a＋3 5＋(10－a2)i，z2＝1－2 a＋(2a－5)i，若 z－1＋z2 是实 数，求实数 a 的值．
解： z－1＋z2＝a＋3 5＋(a2－10)i＋1－2 a＋(2a－5)i ＝(a＋3 5＋1－2 a)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
答案： A
3．(2011·西城模拟)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应
的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的
复数是
()
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
解析：两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则
C(2,4)，故其对应的复数为2＋4i.
答案：C
4．(2010·江苏高考)设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单 位)，则z的模为________． 解析：∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝62＋ －43ii，∴|z|＝2|2|3－＋32ii||＝2.
【优化探究】(教师用书)高考数学总复习 4-4数系的扩充与复数的引入课件 理 新人教B版
1．(2012年高考山东卷)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)， 则 z为 ( ) B．3－5i D．－3－5i
A．3＋5i C．－3＋5i
11＋7i 11＋7i2＋i 15＋25i 解析：∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝ ＝ ＝ 5 ＝ 2－i 2－i2＋i 3＋5i.
－3＋i －3＋i2－i [解析] (1)∵z＝ ＝ 2＋i 2＋i2－i ＝ －5＋5i ＝－1＋i， 5
∴－ z ＝－1－i. (2)∵z＝1＋i，∴ z ＝1－i，z2＋ z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
[答案] (1)D (2)A
－3＋i －3＋mi 本例(1)中“z＝ ”变为“z＝ 是纯虚数”求 m 的值． 2＋i 2＋i
解析：z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)在第二象限
内．
答案：二
1－i a 5． (2013 年武昌模拟)若 ＝a＋bi(a， b∈R)， 则b的值是________． 1＋i
1－i 1－i2 a 解析：由 ＝ ＝－i＝a＋bi，知 a＝0，b＝－1，所以 b 1＋i 1－i1＋i ＝0.
)
5＋3i 5＋3i4＋i 17＋17i [解析] (1) ＝ ＝ ＝1＋i. 17 4－i 42＋1 52＋i 52＋i 5 (2)因为 z－i＝ ＝ ＝ ＝2＋i， 5 2－i 2－i2＋i 所以 z＝2＋i＋i＝2＋2i.
[答案] (1)C (2)D
1 1．(2013 年唐山模拟)复数1－ i (1＋i)＝(
答案：0
考向一 复数的概念 －3＋i [例 1] (1)(2012 年高考新课标全国卷)复数 z＝ 的共轭复数是 2＋i ( ) A．2＋i C．－1＋i B．2－i D．－1－i
【2021】高考数学一轮复习学案：4.4 数系的扩充与复数的引入
第四节数系的扩充与复数的引入知识体系必备知识1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a,b都是实数,形如a+bi的数叫复数,其中实部为a,虚部为b,i叫做虚数单位a+bi为实数⇔b=0,a+bi为虚数⇔b≠0,a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R)共轭复数a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R)复数a(a为实数)的共轭复数是a复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z||z|=|a+bi|=√a2+b22.复数的几何意义复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b)向量.3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 按照多项式乘法进行,并把i2换成-1除法z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算律设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).注意点:常用结论(1)(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;1-i1+i=-i.(2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).(5)模的运算性质:①|z|2=|z |2=z ·z ;②|z 1·z 2|=|z 1||z 2|;③|z 1z 2|=|z 1||z 2|.基础小题1.给出下列说法:①若a ∈C,则a 2≥0;②已知z=a+bi(a,b ∈R),当a=0时,复数z 为纯虚数;③方程x 2+x+1=0没有解;④复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. 其中正确的说法的个数为 ( )【解析】选B.对于①,当a=i 时,a 2<0,故①错. 对于②,当a=b=0时,复数z 为实数,故②错. 对于③,方程x 2+x+1=0无实根,但有复数解,故③错. 对于④,根据复数的几何意义知,④正确. 2.(教材改编)已知i 是虚数单位,则复数21+i= ( )+i 【解析】选C.21+i =2(1-i )(1+i )(1-i )=1-i.3.若复数z-i=1+i,则|z|= ( ) A.√2 C.√5【解析】选C.由题意得,z=2i+1⇒|z|=√5. 4.若复数z=21-i,其中i 为虚数单位,则z = ( )+i +i 【解析】选=21-i =2(1+i )(1+i )(1-i )=2+2i 2=1+i,所以z =1-i.5.(教材改编)在复平面内,复数-2+3i 3-4i(i 是虚数单位)所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【解析】选B.计算-2+3i 3-4i=(-2+3i )(3+4i )(3-4i )(3+4i )=-6-8i+9i -129+16=-18+i 25=-1825+125i,(-1825,125)位于第二象限.6.(教材改编)已知(1+2i)z =4+3i,则z=________. 【解析】z =4+3i 1+2i =(4+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=2-i,故z=2+i.答案:2+i。
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(4)复数的模：
向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或 |a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝___a_2_＋__b_2__．
2．复数的几何意义
一一对应
(1)复数 z＝a＋bi←―→ 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
2．复数的运算技巧 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数 问题实数化是解决复数问题的常用方法． (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项 式运算法则进行，除法则需分母实数化．
3．复数代数运算中常用的几个结论
在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii＝i；11－ ＋ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n
(2)∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i 是纯虚数，
∴aa2－－11≠＝00，∴a＝－1.
[规律方法] 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式， 列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
复数的有关概念 复数的几何意义 复数代数形式的运算(高频考点)
考点一 复数的有关概念
(1)(2014·高考浙江卷)已知 i 是虚数单位，a，b∈R，
则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必
要条件
(2)(2015·石家庄市第一次模拟)已知 i 为虚数单位，a∈R，
＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
[做一做] 3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)（（11＋－ii））32＝( D )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：法一：（ （11＋ －ii） ）32＝（1＋i）－（2i1＋i）2
＝（1＋i）（－12＋i i2＋2i）＝－－2＋2i2i＝1－i i＝－1－i.故选 D.
1 A.2Βιβλιοθήκη B．2 2C.
3 2
D．2
解析：∵z＝1＋1 i＋i＝1－2 i＋i＝12＋12i，
∴|z|＝ 122＋122＝ 22.
2．(2014·高考安徽卷)设 i 是虚数单位，－z 表示复数 z 的共
轭复数．若 z＝1＋i，则zi＋i·－z ＝( C )
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第4讲 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实 部和___虚__部_____．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若__a_＝__0_且__b_≠__0___，则 a＋bi 为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c且__b_＝___d___ (a,b,c,d∈R). (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔_a_＝__c_,b_＝__－__d__(a，b，c，
z
＝
25 3＋4i
＝
（3＋254（i）3－（43i－）4i）＝3－4i.
法二：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即 3a
－4b＋(4a＋3b)i＝25，
所以3a－4b＝25， 4a＋3b＝0，
解得a＝3， 故 b＝－4，
z＝3－4i.
考点一 考点二 考点三
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C， 有 z1＋z2＝___z_2_＋__z_1 ________,(z1＋z2)＋z3＝__z1_＋__(_z_2＋__z_3_)_.
[做一做] 1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设 z＝1＋1 i＋i，则|z|＝( B )
一一对应
←―→
___平__面__向__量__O→_Z______．
3．复数的运算 (1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i ____; ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i_____; ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)＋__(_a_d_＋__b_c_)_i __; ④ __ac_c2_＋ ＋除__bd_d2_法＋__bc_c：2_－ ＋__ad_zzd221_i__＝__(acc＋＋ ＋dbdiii≠＝0)．（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝
法二：（（11＋－ii））32＝11＋ －ii2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．
4．(2014·高考广东卷)已知复数 z 满足(3＋4i)z＝25，则 z＝
(D ) A．－3＋4i
B．－3－4i
C．3＋4i
D．3－4i
解 析 ： 法 一 ： 由 (3 ＋ 4i)z ＝ 25 ， 得
若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则 a 的值为( C )
A．－1 或 1
B．1
C．－1
D．3
[解析] (1)当 a＝b＝1 时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；
当(a＋bi)2＝2i
时，得a2－b2＝0， ab＝1，
解得 a＝b＝1 或 a＝b＝－1，
所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
解析：∵z＝1＋i，∴－z ＝1－i，zi＝1＋i i＝－i2i＋i＝1－i，
∴zi＋i·－z ＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选 C.
1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到 复数集中来．例如，若 z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．