3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)
23-二元一次不等式(组)与平面区域(1)
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教材分析本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件.使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解二元一次不等式（组）表示平面区域.教学目标重点: 用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法.难点：1.探究二元一次不等式所表示的平面区域的过程；2.正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域.知识点：二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域.能力点：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力.教育点：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质.自主探究点：通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识. 通过学生合作探究、独立思考、自由讨论、情景设置等方法帮助学生在原有经验上对新知识主动建构.考试点：充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识.易错易混点：引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，突破本节难点.拓展点：链接高考感悟提升.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式基于问题驱动的一问一答式一、复习引入提出问题，引起思考师：今天是什么特殊日子？生：重阳节师：你准备好礼物了吗？生：没有师：我给你们推荐一份礼物：一束鲜花！送母亲选什么花？生:康乃馨师:康乃馨是母亲之花，它代表了母亲对子女伟大、无私而又含蓄的爱；然后还可以选择些纯洁的百合花加以点缀，并且祝愿父母百年好合心想事成.你们满意吗?生：师：可是我却遇到了一个问题: 当花店老板告诉我康乃馨每枝15元，百合每枝10元时，我才发现只有150元钱，而且希望康乃馨的数量不低于百合数量的2倍，我可以如何购买呢？今天就请同学们一起帮我解决这个问题.设计意图：通过设置实际问题情景引入新课，提高学生的学习兴趣和自主探求新知的欲望，为下面的讲解做好铺垫.另外，情景的设置贴近学生的生活，并借助鲜花营造一种温馨的氛围和浪漫的气息，适合当今学生的口味，使原本枯燥严肃的数学课在不改变其严谨本质的前提下尽量趣味化.分析问题，建立模型设购买康乃馨x 枝，购买百合y 枝.( x ,y 均为整数)则购买数量应满足的条件：3230211x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩介绍概念今天这个不等式模型与前面的不等式有所不同：它含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1这样的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x ,y ）叫做二元一次不等式的一个解，所有这样的有序实数对（x ,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.尝试解决，学生遇挫如何求上面的二元一次不等式组的解集？针对前面的不等式组 ，由学生自主分析思路，发表见解.学生可能的思路：①列举法---首先肯定学生的做法，列举法是解决数学问题的一种基本方法，也是生活中的常用方法，但是它有一定的局限性，引导学生寻求通法.②消元法- -----首先肯定学生的转化和消元的思想，这是数学中的重要思想方法，但是消元中会出现知识性错误，教师引导学生寻找错误根源.在各种思路均受阻的情况下，引导学生转化思维角度，重新审视不等式的解与点的坐标都是有序实数对，于是用几何方法来解决代数问题，利用数形结合的思想去尝试探求答案.灵感来源：二元一次不等式的解是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，所以，二元一次不等（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合----数形结合思想.解决策略：探寻解集的问题转化为探寻这些点所构成的几何图形的问题————转化思想.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.突出不等式的特性，将画平面区域作为不等式的一种几何解法，利用数形结合思想得到不等式的解集.二、探究新知探究一：二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.1.联系类比：二元一次方程6x y -=表示图形是一条直线，平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线6x y -=上的点；------------------6x y -=第二类：在直线6x y -=左上方的区域内的点；第三类：在直线6x y -=右下方的区域内的点. -----6x y -≠猜想：6x y -<和6x y ->，是各占一方还是相互交融？2.实验探索：设点1(,)P x y 是直线6x y -=上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，完成填表、作图并思考；①通过你的试验，你发现了什么？②进行理性思考，你觉得你的发现具有合理性吗？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线6x y -=的左上方； ③反过来，直线6x y -=左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<吗？3.交流合作.4.得出结论：在平面直角坐标系中，不等式6x y -<的解与直线6x y -=左上方的平面区域的点形成一一对应的关系；所以不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域.类似的：二元一次不等式6x y ->表示直线6x y -=右下方的区域，直线叫做这两个区域的边界.（2）特殊例子推广到一般情况：二元一次不等式0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）设计意图：先由学生提出自己的想法，再引导学生分析其问题所在，在思维层层受阻的情况下主动探索其它解法，增加学习的目的性和主动性.探究方法 ：由特殊到一般，从感性观察到理性思考，符合学生的认知规律，充分体现以学生为主体、教师为主导的教学思想.第一步，小组合作探究，增强学生的合作意识.第二步,学生独立思考.第三步，引导学生类比出一般结论.探究二：二元一次不等式表示哪侧的平面区域.自由讨论：不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域，是不是二元一次不等式0Ax By C ++<一定也是表示边界下方的区域？师：判定到底表示哪一侧是区域有困难吗？这个问题我来回答.设置情境：师：我把这个问题的答案放到了咱们班的作业本中了.这两摞作业中，其中一摞是咱们班的，请徐美华同学帮我把咱们班的那部分作业拿到我这儿来.生：（学生很快将本班的作业找到）师：你能确定这摞就是咱们班的吗？生：能确定.师：作业本上没有班级，你怎么就知道是这一摞呢？生：我抽了一本看了看就是我们班的.师：明白了，你从中抽查了一本确认是咱们班的，于是就确定这摞就是咱们班的了，那么如果你抽的那本不是咱们班的呢？生：一共就两摞，那就是另一摞了.师：我明白了：因为我们找的是这两摞作业中的某一摞，所以我只需从两摞中任意选取一个验证一下，如何是咱们班的就确定它所在的这一摞都是咱们班的，如果不是咱们班的就确认另一摞是咱们班的.非常简单，好！那么刚才判断哪一侧区域这个问题的答案找到了吗？生：噢！（沉思少许，恍然大悟）生：只需在此直线的某一侧取一个特殊点00(,)x y ，代入不等式验证，如果满足此不等式就是这个点所在的一侧，如果不满足就是另外的那一侧.师：你会取哪个点验证呢？生：一般取简单的点，如(0,0)，(1,0)，(0,1)等等.师：太棒了，简直是无师自通！谁告诉你们的呢？师：是生活告诉我们的!刚才我让同学帮我取作业本这件事情，你们都觉得太容易了，一件简单的生活小事不仅启发了我们对数学问题的思考，里面还蕴含着深刻的数学道理，它应用的是集合的思想：一个元素或者属于某个集合，或者属于它的补集，当全集中只有两个互补子集时，只需对某个元素验证一次便可知它属于哪个集合.如：直线6x y -=外的点的集合为{}(,)6U x y x y =-≠直线两侧的点的集合分别为{}(,)6A x y x y =-> {}(,)6B x y x y =-<验证原点(0,0)B ∈，则知道集合A 表示的就是原点所在一侧的区域.当然集合B 表示另一侧的区域. 设计意图：此问题的处理有三个目的：①此时学生的注意力已经有所下降，学习效率降低，通过设置情境再次吸引学生的注意力，提高课堂效果.②如果简单地告诉学生特殊点定域的方法，学生也很容易接受，完成本课的教学任务，但只是授之鱼而不是授之于渔.将此问题上升到集合思想的高度，达到触类旁通.③让学生进一步体会“数学源于生活并服务于生活”，生活本身就蕴含着深刻的数学道理，增强学生的学习兴趣.探究三：如何画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域的.①直线定界（有等则实，无等则虚）②特殊点定域（优先考虑原点）例 画出不等式44x y +<表示的平面区域.解：先画直线44x y +=（画成虚线）.取原点(0,0)，代入44x y +<成立∴原点在44x y +<表示的平面区域内.思考：如果是44x y +≤呢？非常好！已经成功按照由特殊到一般的方法，利用数形结合思想成功得到了二元一次的平面区域. 设计意图：解决开始提出的问题，也不仅仅是为了解决开始的问题，而是巩固、提高、深化对本节课的理解：首先，不等式组中包含的四个不等式正是本节内容的四种类型，典型全面，通过练习可以很好的巩固本节内容.其次，在师生共同完成不等式表示的平面区域的基础上，通过启发引导由学生自己完成不等式组的平面区域，又是能力提高的过程.另外，寻找整数点是难点但不是本节的重点，所以由教师完成，让学生体会我们前面的研究是在实数的前提下研究的，当变量的取值范围发生改变后，点集也会相应改变，深化对本节课的理解.三、运用新知带着收获的喜悦，我们来解前面的不等式组.1.首先分析：不等式组的解集是各不等式解集的交集，所以表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.引导学生一步步画出图形，找到正确的平面区域.3.启发学生找到整数点①有多少种购买方案？ 16种②最多买多少枝？ 取整数解(8,3)即，康乃馨8枝，百合3枝，共11枝让我们把这一束感激的鲜花，献给所有为了子女而辛勤忙碌的母亲，一十一枝鲜花代表我们一心一意的祝福，祝福天下所有母亲一生一世幸福安康！设计意图：本课在浪漫温馨并配以美妙音乐（感恩的心）的氛围中结束，本课小结在鲜花和音乐的衬托下缓缓打出，回顾本节知识，升华个人情感，多些感动多些感恩，不也正是当今学生所必修的内容吗？若能在学生的心灵上有所启迪岂不一箭双雕？教书育人，乐在其中！四、课堂小结1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法.五、布置作业1.基础巩固: 课本第86页练习1.2.3（目的：巩固，熟练本节基础知识）2.课堂延伸：特殊点定域只是确定平面区域的一种基本方法，相信你还能探索发现更为简单实用的方法，试试看！（目的：将课堂上的探究延伸到课下，进一步提高学生探究问题的能力）3.大显身手:已知康乃馨的进价为10元，百合进价为3元，如果你是花店老板，你会建议我怎么购买？ (目的：为讲线性规划问题做好铺垫）六、反思提升鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合一问一答的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.美中不足的是知识量太少，思维量还够，但练习量有点少，不一定能够适应当前的高考选拔方式.七、板书设计。
高中数学必修5课件：第3章3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域
数学 必修5
第三章 不等式
(3)若直线 l：Ax＋By＋C＝0，记 f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则
点M，N在l的同侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2>0 点M，N在l的异侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2<0
数学 必修5
第三章 不等式
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
() A.32 4 C.3
B.23 D．34
数学 必修5
第三章 不等式
解析： 如图所示为不等式表示的平 面区域，平面区域为一三角形，三个顶点 坐标分别为(4,0)，43，0，(1,1)，所以三角 形的面积为 S＝12×4－43×1＝43.
答案： C
数学 必修5
第三章 不等式
用二元一次不等式(组)表示实际问题
数学 必修5
第三章 不等式
答案：
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， x≥0， y≥0， x，y∈N*
数学 必修5
第三章 不等式
4．画出不等式组x0－≤yx≤＋1y0≤，20， 0≤y≤15，
表示的平面区域．
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所
示．
数学 必修5
第三章 不等式
数学 必修5
第三章 不等式
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源 需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度， 每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两 种产品允许的产量的范围．
3.3.1平面区域
高二数学必修五 编号：SX-05-113.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域【学习目标】1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域．【基础知识】1．二元一次不等式（组）的概念①含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式． ②由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 ．2．二元一次不等式表示的平面区域①在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0表示直线 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成 ，以表示区域不包括边界．②不等式Ax ＋By ＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成 ．探究点一 二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，画出直线x －y ＋2＝0，并标出以下九点：O(0,0)，A(0,2)， B(－2,0)，C(－1,1)，D(1,0)，E(0，－1)，F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)．通过图象容易得出以下结论：(1)点A(0,2)，B(－2,0)，C(－1,1)的坐标满足方程 ，它们在直线x －y ＋2＝0上；(2)点O(0,0)，D(1,0)，E(0，－1)的坐标满足不等式 ，它们在直线x －y ＋2＝0的 ；(3)点F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)的坐标满足不等式 ，它们在直线x －y ＋2＝0的 ．◆◆ 一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0与Ax ＋By ＋C<0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)两侧的平面区域．例如，不等式 表示直线x ＋y ＋2＝0右上方的平面区域； 表示直线x ＋y ＋2＝0左下方的平面区域．即：同侧同号，同号同侧：异侧异号，异号异侧P(11,y x )、Q(22,y x )在直线Ax ＋By ＋C ＝0 同侧⇔P(11,y x )、Q(22,y x )在直线Ax ＋By ＋C ＝0 异侧⇔探究点二 二元一次不等式（组）表示平面区域的确定方法问题 在平面直角坐标系中，画出直线Ax ＋By ＋C ＝0以后，需要判断出不等式Ax ＋By＋C>0与Ax ＋By ＋C<0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧？方法1：特殊值代入法------------直线定界，特殊点定域第一步，直线定边界：画出直线Ax ＋By ＋C ＝0（如果原不等式中带等号，那么画成实线，否则，画成虚线）.第二步：取特殊点定平面区域：一般地，当C ≠0时，常取原点（0,0）；当C=0时，常取点（1,0）或（0,1）.然后计算Ax 0＋By 0＋C 的值，得出Ax 0＋By 0＋C 的符号，则原点所在的区域和它同号，另外一侧异号。
高中数学3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域优秀教案
课时同步练3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域一、单项选择题1．假设点(1,2)-在二元一次不等式10x my ++≤表示的区域中，则m 的取值范围为〔 〕 A ．1m B ．1m ≥ C ．1m < D ．1m 2．在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是〔 〕 A ．〔-3，4〕 B ．〔-3，-2〕 C ．〔-3，-4〕 D ．〔0，-3〕3．不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则以下坐标对应的点落在区域Ω内的是〔 〕 A ．(1,1) B ．(3,1)-- C ．(0,5) D ．(5,1)4．不等式组000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平向区域为D ，则区域D 的面积为〔 〕A． B ．2 CD5．假设不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两局部，则k 的值是〔 〕A ．73B ．37C ．43D ．346．D 是由不等式组20,{30x y x y -≥+≥所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为〔 〕A ．4πB ．2πC ．34πD ．32π 7．点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为〔 〕A ．12 B．2 CD ．18．假设0,0a b ≥≥且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标的点(,)P a b 所形成的平面区域的面积是〔 〕A ．12B ．4πC ．1D ．2π 9．不等式||||3x y +<表示的平面区域内的整点个数为〔 〕A ．10B ．13C ．14D ．1710．假设不等式组1,10,20,x x ay x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩可表示为由直线围成的三角形区域〔包括边界〕，则实数a 的范围是〔 〕A ．()0,2B ．()2,+∞C ．()1,2-D ．(),1-∞-11．在平面直角坐标系中，假设不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两局部，则a 的值为〔 〕A ．12B ．1C ．2D ．9412．设不等式组()221x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，以下命题不正确的是〔 〕 A ．假设4S =，则k 的值唯一 B ．假设12S =，则k 的值有2个 C ．假设D 为三角形，则203k <≤ D ．假设D 为五边形，则4k >二、填空题13．坐标原点和点()1,1在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是______.14．不等式组3020x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，表示的平面区域的面积等于____________.15．不等式组6011x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所表示的平面区域内整点的个数是____________16．设不等式组03434x x y x y ⎧⎪+≥⎨⎪+⎩，，所表示的平面区域为D .假设直线1y a x =+（）与D 有公共点，则实数a 的取值范围是_____________.17．不等式组04032140x x y x y ≥⎧⎪-⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域被直线y =kx 分成面积相等的两局部，则k 的值为________.18．假设实数x ，y 满足约束条件210200x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),A x y 构成的区域面积为________；点(),B x y x y +-构成的区域面积为________.三、解答题19．不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，〔1〕画出不等式组所表示的平面区域〔要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分〕； 〔2〕求平面区域的面积．20．求满足||||3x y +的整点x y （，）的个数.21．假设平面区域22(1)x y y k x ⎧+⎨++⎩，是一个三角形，求实数k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1A 、()2,3B 、()3,2C ，点P 在ABC ∆三边围成的区域〔含边界〕上； 〔1〕假设0PA PB PC ++=，求OP ；〔2〕设OP mAB nAC =+，求动点(),Q m n 所构成的图形的面积；。
二元一次不等式(组)与平面区域
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
变式训练1
如图所示的阴影部分表示的区域用二元一 )
x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x＋y－1≤0 D. x－2y＋2≥0
次不等式组表示为(
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≥0 C. x－2y＋2≤0
答案：A
类型二 [例2]
(2)不等式组的解集是x＋y≤5 ①，x－2y≥3 集的交集．
②的解
①式表示的区域是直线x＋y－5＝0左下方平面区域并 且包括直线x＋y－5＝0. ②式表示的区域是直线x－2y＝3右下方平面区域并且 包括直线x－2y－3＝0. 所以不等式组表示的区域是图(2)中的阴影部分(包括直 线)．
【点评】 画直线时容易虚实不分，若含等号应画成 实线．区域容易弄反，要注意方法．
(1)2x＋y－6<0；
x＋y≤5 (2) x－2y≥3.
[分析]
解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然
2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和 漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工 每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[目标导航]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面 课标要求 区域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面 区域表示二元一次不等式组的解.
x y 2 1 0,
x ky k 0
(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.
(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 1,故边界所在的直线 方程为 x+y-1=0, 将原点(0,0)代入直线方程 x+y-1=0 的左边,得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0;
思考1:不等式2x-3y>0是二元一次不等式吗? 答案:是,符合二元一次不等式的两个特征. 2.二元一次不等式表示的平面区域
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
二元一次不等式Ax+By+C>0 所有点组成的平面区域,我们把直线画 成 虚线 ,以表示区域 不包括 边界
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
y
1)
0,
表示的平面区
域的面积等于( )
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
强调：若B<0时则恰好结论相反;若B=0则最易判断.
三、理论迁移-------例题
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 .
解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线）
(2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4， 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0
3.3.1 二元一次不等 式（组）与平面区域
一、创设情境、引出新知
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用 于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来 30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个 人贷款中获益10%.那么,信贷部应该如何分配资 金呢？
问题：这个问题中存在一些不等关系，应该 选用什么不等式模型来刻画呢？
口诀：同为上，异式表示的区域. (1) y x 1 (2) y x+1 (3) y x+1
你有什么发现？
能不能猜想出y>kx+b表示的是直线y=kx+b的哪一侧区域？ 同样，y<kx+b表示的又是直线y=kx+b的哪一侧区域？
判定方法4: y>kx+b表示直线上方的平面区域； y<kx+b表示直线下方的平面区域.
注2：直线定界，特殊点定域;
同侧同号, 异侧异号.
拓展探究：
判定方法2：当A>0时 Ax+By+C>0表示直线右方区域； Ax+By+C<0表示直线左方区域. 口诀：大为右，小为左一般式（A>0）
判定方法3：观察B与不等式的符号
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》导学案 新人教A版必修5
课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1）
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标 1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表
示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数
学建模的能力；
教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模
的能力；
二．研讨互动，问题生成
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第82页的“银行信贷资金分配问题”
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
（2）二元一次不等式组
（3）二元一次不等式（组）的解集：
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。
变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。
变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组312
2y x x y <-+⎧⎨<⎩
的解集。
变式1、画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。
变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
自我评价 同伴评价 小组长评价。
2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
解 先画直线 x－y＋6＝0(画成实线)， 不等式 x－y＋6≥0 表 示直线 x－y＋6＝0 上及右下方的点的集合.画直线 x＋y＝ 0(画成实线)，不等式 x＋y≥0 表示直线 x＋y＝0 上及右上方 的点的集合． 画直线 x＝3(画成实线)， 不等式 x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的点的集合．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.1
小结
本 讲 栏 目 开 关
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面
点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分，但要注意是否包含边界．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.1
x<3， 2y≥x， 跟踪训练 1 画出不等式组 表示的平面区域． 3x＋2y≥6， 3y<x＋9
本 讲 栏 目 开 关
3.3.1
3.3.1
【学习目标】
二元一次不等式(组)与平面区域
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
本 讲 栏 目 开 关
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域． 【学法指导】 1．要善于从特例入手，探究二元一次不等式与对应平面区 域的关系．归纳总结出一般结论： “同侧同号，同号同 侧，异侧异号，异号异侧”． 2．准确、规范、熟练地画出二元一次不等式(组)所表示的平 面区域是学好本单元的关键所在．熟练掌握 “直线定边 界，特殊点定区域”的要领．
本 讲 栏 目 开 关
所有点组成的平面区域． 2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边 界、特殊点定区域”的方法来画区域．取点时，若直线不 过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点 (1,0)即可．总之，尽量减少运算量． 3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
第一部分 第三章 3.3 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生
产x t甲产品和y t乙产品的用电量是
(2x＋8y) kW· h，根据条件，有2x＋8y≤160；用煤量为
(3x＋5y) t，根据条件有3x＋5y≤150；用工人数为(5x＋ 2y)≤200；另外，还有x≥0，y≥0.
2x＋8y≤160， 3x＋5y≤150， 综上所述，x、y 应满足不等式组 5x＋2y≤200， x≥0，y≥0.
返回
将(1,0)代入 x＋2y 得 1＋2×0＞0， 故所求的不等式为 x＋2y≥0. 综上：①x＋y－1≤0；②x－2y＋2<0；③x＋2y≥0.
返回
4．试用不等式组表示由x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和 2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)．
解：直线 x＋y＋2＝0，x＋2y＋1 ＝0,2x＋y＋1＝0 表示的三角形区域如图阴影部分所示． 3 取区域内的点(－2，0)验证：
2．二元一次不等式的解集是一些有序数对(x，y)，
它的解集不能用数轴来表示，它是平面上的一个区
域．又因为有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐
标，所以，二元一次不等式(组)的解集还可以看成直角
返回
坐标系内的点构成的集合，即
二元一次不等 直角坐标平面 ―→ 数对x、y ―→ 式组的解 内点的坐标
返回
[精解详析]
(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－10. ∵2×0＋0－10<0， ∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，不等式
2x＋y－10<0表示的区域如图①所示．
返回
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的 点的集合；x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方 的点的集合；x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集 合．所以不等式组表示的平面区域如图②所示．
高三数学二元一次不等式(组)与平面区域(201911)
1
-1 O -1 -2
x+y-1=0 x 12
这使我们猜想：l同侧的点的坐标是否 使式子x+y－1的值具有相同的符号？要么 都大于零，要么都小于零。
事实上，不仅对这个具体的例子有此 性质，而且对坐标平面内的任意一条直 线都有此性质.
性质：
直线l：Ax+By+C=0把坐标平面内不在 直线l上的点分为两部分，直线l同一侧的点 的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符 号，并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值 的符号相反，一侧都大于零，另一侧都小 于零。
不等式的解(x，y)为坐标的所有点构 成的集合，叫做不等式表示的平面区域 或不等式的图象。
我们如何求二元一次不等式在直角坐 标平面上表示的区域呢？
直角坐标平面内直线l的一般形式的方
程为Ax+By+C=0，
①
根据直线方程的意义，凡在l上的点的 坐标都满足方程①，而不在直线l上的点 的坐标都不满足方程①。
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.3.1《二元一次不等式(组） 与平面区域》
审校：王伟
教学目标
• 了解二元一次不等式（组） 表示平面区域
• 教学重点： • 二元一次不等式（组） • 表示平面区域
二元一次不等式的一般形式为 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0，
现在我们来探求二元一次不等式解集 的几何意义。
直线l把坐标平面内不在l上的点分为两 部分，一部分在l的一侧，另一部分在l的 另一侧，我们用下面的例子来讨论在直 线的两侧点的坐标，所应满足的条件。
在直角坐标系xOy中，作直线l：x+y－ 1=0。
1二元一次不等式(组)与平面区域(1)
3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域课前预习学案一、预习目标1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合二、预习内容1.阅读课本引例，回答下列问题①设用于企业资金贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金y 元，如何用这两个变量表示引例中的三个数字条件②有限制条件吗？y x ,③二元一次不等式，二元一次不等式组④二元一次不等式（组）的解集及几何意义2．思考：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？3.通过研究二元一次不等式6<-y x 表示的图形，你能得到什么结论？ 三、总结结论和提出疑惑课内探究学案一、 学习目标1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合二、学习重难点学习重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法学习难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法三、学习过程（一）自主学习大家预习课本P82页，并回答以下几个问题：问题1.那么信贷部如何分配资金呢？问题2 .用什么不等式模型来刻画它们呢？(二) 合作探究，得出概念二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式6<-y x 表示的图形通过探究上述问题，你能回答下面的问题吗？① 边界的概念 ② 二元一次不等式（组）的几何意义，画法的要求？③ 判定方法（1）特殊点法：一般选择哪一个点 （2）公式法三、典型例题例1、画出下列不等式表示的区域 (1) 0)1)((≤---y x y x ；解析：原不等式可化为⎩⎨⎧≥--≥-⎩⎨⎧≤--≤-010010y x y x y x y x 或变式训练. 画出下列不等式表示的区域(1) 0)1)((≤---y x y x ； （2）1+>x y ； （3）．y x >； （4）．y x >例2某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
人教新课标版数学高二必修5课件3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
(2)在直角坐标平面内，把直线 l：ax＋by＋c＝0 画成 实线 ，表示平面区域包 括这一边界直线；画成 虚线 表示平面区域不包括这一边界直线．
(3)①对于直线 ax＋by＋c＝0 同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入 ax＋by ＋c 所得的符号都 相同 ．
②在直线 ax＋by＋c＝0 的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 ax0＋by0＋c 的符 号可以断定 ax＋by＋c>0 表示的是直线 ax＋by＋c＝0 哪一侧的平面区域．
探究点5 不等式组表示平面区域在生活中的应用
命题角度1，每张钢板可 同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
钢板类型
规格类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式
即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0， (a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
名师点评
对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C ＞0，则Ax2＋By2＋C＜0，即同侧同号，异侧异号.
探究点2 二元一次不等式表示的平面区域 例2 画出不等式x＋4y<4表示的平面区域. 解答
含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y 的取值，例如xy＝ ＝00， ，也可写成(0,0).
问题2 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如 xx＋ －34><00，的解集为数轴上的一个区间(如图).
那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x－y<6的解集表示 什么图形呢？ 答案
第三章3.3 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
1．二元一次不等式(组) (1)定义 ①二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式． ②二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组． (2)解集 ①定义：满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有 序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． ②几何意义：可以看成直角坐标系内满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 组成的点构成的 集合． 2．二元一次不等式表示的平面区域 二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 二元一次不等式 Ax＋By＋C≥0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域， 我们把直线画成 虚线，以表示区域不包括边界 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域， 我们把直线画成 实线，以表示区域包括边界 直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点，把它们的坐标(x，y)代入 依据 Ax＋By＋C 所得符号都相同 平面区域的确定 方法 在直线 Ax＋By＋C＝0 的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试 点，由 Ax0＋By0＋C 的符号可以断定 Ax＋By＋C>0 表示的是直 线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域
)
用平面区域来表示实际问题的基本方法 (1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示． (2)把问题中有关的量用这些字母表示． (3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来． (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来． 3.配制 A、B 两种药品，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药品需 甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一剂 B 种药品需甲料 5 mg，乙料 4 mg.今有甲料 20 mg，乙料 25 mg，若 A、B 两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同的配制方法？ 解：设 A、B 两种药品分别配 x 剂、y 剂(x，y∈N*)．由题意得， 甲料 A 药品/剂 B 药品/剂 共计 3 mg 5 mg 20 mg 乙料 5 mg 4 mg 25 mg
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(第一课时)
学习目标
1、了解二元一次不等式的几何意义 、 2、会画二元一次不等式表示的平面区域 、
创设情境
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业 元用于企业 一家银行的信贷部计划年初投入 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来 元的收 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益 益，其中从企业贷款中获益 ， 10%。那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 。那么，信贷部应该如何分配资金呢？
典例分析
画出不等式x+4y<4表示的平面区域 例1 画出不等式 表示的平面区域 分析： 分析： 画出边界 y 代特殊点确定区域
1
x+4y-4=0 4
o
x+4y<4
x
练习：课本 页第 页第1题 练习：课本86页第 题，第2题 题
典例分析
例2 用平面区域表示不等式组
y < −3 x + 12 x < 2 y
新课探究
问题3：对于一般的二元一次不等式Ax+By+C >0, 问题 ：对于一般的二元一次不等式 其解集所表示什么图形，如何画出？ 其解集所表示什么图形，如何画出？ Ax+By+C>0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域，不包括边界 平面区域， Ax+By+C≥0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域， 平面区域，包括边界 画法：直线定界， 画法：直线定界，特殊点定域
3.3.1二元一次不等式与平面区域
由几个二元一次不等式组成的不等式组；
（3 ）二元一次不等式的解集： , 点的集合 思考：在平面直角坐标系中
满足二元一次不等式的有序实数对 (x，y)构成的集合； {(x,y)|x+y-1=0}表示什么图形？
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
回忆：一元一次不等式（组）的解集－－数集 图形－－－数轴上的区间。
x 3 0 如：不等式组 的解集为数轴上的一个区间（如图）。 x 4 0
{x | 3 x 4}
问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示
什么图形？
二、新知探究：
（2）探究 特殊：二元一次不等式 x－y <6 的解集所表示的图形。
作出x－y =6的图像：一条直线
3.3.1
二元一次不等式（组） 与平面区域
重庆铁路中学 (400053) 何成宝
一、问题情境：
一只蚂蚁在地平面上寻找食物，蚂蚁的位置可由 坐标 (x,y) 确定，现知在直线 L ： x+y-1=0 左下方 区域某处有一食物，如果蚂蚁运动的坐标始终满 足 x+y-1>0, 那 么 蚂 蚁 能 找 到 食 物 吗 ？
直线x-y=6的右下方的平面区域 y
x-y <6 O
-6 6
y
O
-6 6
x
x
x-y>6
直线叫做这两个区域的边界。
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
从 特 殊 到 一 般
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表 示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区
＞0表示的直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域。
4y ＜ 例x1 4 画出 不等 式 表示 的平 ＜ 面区 4 解 域.取 < 原 ： 0 点 先 （ 做 0 出 , 边 0 界
y
1 （0 ， 0 ） 0 1
4
x
1）用平面区域表 示下面不等式组的 2）画出不等式 解集 .
y 3 x 1 2 x 2 y
l:x y 6
O -3 -6
3
6
9
x
l:x y 6 研究平面内的点A，P可 6 以发现：在直角坐标系中， Ax, y2 以二元一次不等式x-y＜6的 3 解为坐标的点都在直线l的左 3 6 9 O 上方；反过来，直线l左上方 x -3 P( x, y1 ) 点的坐标都满足不等式x-y＜ -6 6,因此在平面直角坐标系中， 不等式x-y＜6表示直线x-y=6 左上方的平面区域，如图，类似地，二元一次不 等式x-y＞6表示直线x-y=6右下方的平面区域，直线xy=6叫做这两个区域的边界，这里，我们把直线x-y=6画 成虚线，以表示区域不包括边界。
12 4 0 4 12
图形表示如右
20
x
例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18；生 产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这 两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并 画出相应的平面区域。
4.画平面区域时，要注意边界是画成实线还是虚线。
1.用不等式（组）表示下列阴影部分所对应的 区域. y y
３
y
-6 4 x 2
0
x
6x+5y=22
《二元一次不等式组与平面区域》
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角 坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对， 而点的坐标也是有序实数对，因此，有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标， 进而，二元一次不等式（组）的解集就 可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
（5）探究二元一次不等式（组）的解集表示的 图形 （1）回忆、思考 回忆：初中一元一次不等式（组）的解 集 所表示的图形 思考：在直角坐标系内，二元一次不 等式（组）的解集表示什么图形？
3.3.1《二元一次不等式 (组）与平面区域》
二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的 不等式叫做二元一次不等式 ;
（2）二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组 称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取 值构成有序实数对（x,y），所有这样的 有序实数（x,y）构成的集合称为二元一 次不等式（组）的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各 个不等式所表示的平面点集的交集， 因而是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分。
2．画出下列不等式组所表示的平面区域： （1）2 x y 1 0 解：（1）在同一个直角坐标系中，
x y 1≥ 0
作出直线2x－y+1=0(虚线)，
x+y－1=0(实线)。 用例1的选点方法，分别作出不等式2x－ y+1>0，x+y－1≥0所表示的平面区域，
则它们的交集就是已知不等式组所 表示的区域。
y 3 2 1 -1 O 2y+1=0 -1 -2 1 2 3 x-3=0 2x-3y+2=0
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
四平市第一高级中学2013级高一年级数学学科学案学案类型：新课材料序号：13编稿教师：刘强审稿教师：刘强课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域一、学习目标：1、了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域。
2、经历从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力。
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习兴趣。
二、学习重、难点：教学重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。
教学难点：确定不等式)0(0<>++或C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的哪一侧。
三、知识导学：1、二元一次不等式（组）的解集表示的图形：不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域。
（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点),(y x ，把它的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得到实数的符号都相同，所以只需要在此直线的某一侧取一特殊点),(00y x ，从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
（特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点）四、典型例题：1、二元一次不等式表示的平面区域【例1】画出不等式44<+y x 表示的平面区域。
2、二元一次不等式组表示的平面区域【例2】用平面区域表示不等式组⎩⎨⎧<+-<y x x y 2123的解集。
3、实际应用问题【例3】要将两种大小不同的钢板截成C B A 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板211第二种钢板123今需要C B A 、、三种规格的成品分别为15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求。
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企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来3万元的收益， 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%.那 么，信贷部应如何分配资金呢？
x y 2500, 12 x 10 y 300 x 0, y0
1. 我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不
满足 x y 6 的点集在坐标平面上是怎样的图形？
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
l:x-y=6
二元一次不等式 x－y＜6所表示的图形.
在直角坐标系中，所有点被直线l : x－y＜6分成三类: ①在直线l上的点;
确定.
一般地
C≠0时，常用点(0,0)确定.
C=0时，常用点(0,1)或(1,0)确定.
二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域常用 “直线定界，特殊点定域”的方法，即画线—取点—判 断.
例1. 画出x＋4y＜4表示的平面区域.
练习
教材P86练习第1、2题
x 3 y 6 0 例2. 画出 表示的平面区域. x y 2 0
l:x-y=6
问题一
满足 x y 6 的点集{( x, y) x y 6}在坐标平面上 是怎样的图形？
问题二
满足 Ax By C 0 的点集 {(x, y) Ax By C 0}
在坐标平面上是怎样的图形？
( A, B不同时为0)
问题三
满足 Ax 2 Bx C 0 的点集源自Ax 2 Bx C 0 的同
(1) x y 1
1.判断下列式子是不是二元一次不等式？ 2
(2) x y 1
( 3) 2x y 1
(4) x y 1
2 2
2 x y 10 0 2.满足不等式 的点为 2 x y 3 0
(
)
A.(2,1) B.(1,1) C.(5,1) D.(3,4)
一侧区域是怎么确定的？
归纳总结
(1) Ax By C 0表示 Ax By C 0 某一侧所有点 组成的平面区域，不包括边界，直线以虚线表示.
(2) Ax By C 0表示的平面区域包括边界，直线以实
线表示.
(3) 区域确定: 因为 Ax By C 0 同一侧的所有点( x, y) 将其坐标 代入Ax By C 所得值符号相同； 所以 Ax By C 0 表示的平面区域只需要特殊点
l:x-y=6
②在直线l 左上方的
区域内的点;
③在直线l 右下方的
区域内的点.
设点P(x1, y1)是直线l上的点，任取点A(x2, y2)， 使它的坐标满足不等式x－y＜6，在图中标出点P和点 A.
A(x2, y2)
l:x-y=6
P(x1, y1)
我们发现，在直角坐标系中，以二元一次不等式x－
等式称为二元一次不等式.
2.我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二 元一次不等式组. 3. 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对
(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次
不等式(组)的解集.
有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于 是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标 系内的点构成的集合. 例如 二元一次不等式 x－y＜6的解集为{ (x,y)| x－y＜6}.
y＜6的解为坐标的点都在直线x－y=6的左上方； 反之，直线x－y=6左上方点的坐标也满足不等式x
－y＜6.
因此，在直角坐标
l:x-y=6
系中，不等式x－y＜6
表示直线x－y=6左上
方的平面区域.
类似地，不等式x－y>6表示直线x－y=6右下方的平面
区域.我们称直线x－y=6为这两个区域的边界.
将直线x－y=6画成虚 线，表示区域不包括边界. 将直线x－y=6画成实 线，表示区域包括边界.
练习
教材P86练习第3题
课堂小结
1.懂得画出二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)
在平面区域中表示的图形； 2.注意如何表示边界.
y
0
x
第一课时
实例
一家银行的信贷部计划年初投入2500万元用于
企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来3万元的收益， 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%.那 么，信贷部应如何分配资金呢？
这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么 不等式模型来刻画它们呢？
实例
一家银行的信贷部计划年初投入2500万元用于