甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三数学上学期第一次检测考试试题 文
2016届甘肃省天水市秦安二中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共有12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的.)1.设U=R,已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},且(∁U A)∪B=R,则a的范围是()A.(﹣∞,1)B.(1,+∞)C.(﹣∞,1]D.[1,+∞)2.已知O、A、B、C为同一平面内的四个点,若2+=,则向量等于()A.﹣ B.﹣+C.2﹣ D.﹣﹣23.已知a,b是实数,则“”是“log3a>log3b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若命题“∃x0∈R,使得x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数m的取值范围是()A.[2,6]B.[﹣6,﹣2]C.(2,6)D.(﹣6,﹣2)5.若,则=()A.B.C.D.6.如图所示的程序框图的功能是()A.求数列{}的前10项的和B.求数列{}的前11项的和C.求数列{}的前10项的和 D.求数列{}的前11项的和7.下列函数:①y=xsinx,②y=xcosx,③y=x|cosx|,④y=x2x的图象(部分)如图(但顺序被打乱):则从左到右的各图象依次对应的函数序号是()A .①④②③B .①④③②C .④①②③D .③④②①8.设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A .y 2=4x 或y 2=8x B .y 2=2x 或y 2=8x C .y 2=4x 或y 2=16x D .y 2=2x 或y 2=16x9.变量x 、y 满足条件,则(x ﹣2)2+y 2的最小值为( )A .B .C .D .510.已知非零向量、满足,则与的夹角为( )A .B .C .D .11.设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A ,B 两点,F 为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB <90°,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A .(1,)B .(,2)C .(1,2)D .(,+∞) 12.设函数f (x )=e x (x 3﹣3x +3)﹣ae x ﹣x (x ≥﹣2),若不等式f (x )≤0有解,则实数α的最小值为( )A .B .2﹣C .1﹣D .1+2e 2二、填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)13.=________.14.函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则函数f (x )解析式________.15.已知函数f (x )=lnx ﹣(m ∈R )在区间[1,e ]取得最小值4,则m=________.16.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1(a>0,b>0)交于A、B两点,点F 为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是________.三、解答题(本大题共六小题共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且a42=9a1a5,(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=(log a n+1)•a n,求数列{b n}的前n项和T n.18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析,结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组[80,90),第二组[90,100),…第六组[130,140],得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);(Ⅱ)这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人,该3人在130分(含130分)以上的人数记为X,求X的分布列和期望.19.如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2(Ⅰ)证明:AG∥平面BDE;(Ⅱ)求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.20.椭圆C: +=1(a>b>0),作直线l交椭圆于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,设直线l的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,k1k2=﹣.(1)求椭圆C的离心率;(2)设直线l与x轴交于点D(﹣,0),且满足=2,当△OPQ的面积最大时,求椭圆C的方程.21.已知f(x)=xlnx﹣ax,g(x)=﹣x2﹣2.(Ⅰ)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=﹣1时,求函数f(x)在区间[m,m+3](m>0)上的最值;(Ⅲ)证明:对一切x∈(0,+∞),都有成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修4-1:几何证明选讲】22.如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.(1)求证:AD•AB=AE•AC;(2)求线段BC的长度.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.在极坐标系中,曲线C的方程为,点,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P的直角坐标.【选修4-5:不等式选讲】24.设不等式﹣2<|x﹣1|﹣|x+2|<0的解集为M,a、b∈M,(1)证明:|a+b|<;(2)比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小,并说明理由.2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的.)1.设U=R,已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},且(∁U A)∪B=R,则a的范围是()A.(﹣∞,1)B.(1,+∞)C.(﹣∞,1]D.[1,+∞)【考点】子集与交集、并集运算的转换;集合关系中的参数取值问题.【分析】先求出∁U A,再根据(∁U A)∪B=R,求出a【解答】解:集合A={x|x>1},∁U A={x|x≤1},B={x|x>a},若(∁U A)∪B=R,则a≤1,即a∈(﹣∞,1].故选C2.已知O、A、B、C为同一平面内的四个点,若2+=,则向量等于()A.﹣ B.﹣+C.2﹣ D.﹣﹣2【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】如图,计算即可.【解答】解:∵2+=,∴点A、B、C共线,且A为BC中点,则点O的位置有5种情况,如图:(1)∵,∴;(2)=+2()=;(3)=+2()=;(4)=+2()=;(5)=+2()=;故选:C.3.已知a,b是实数,则“”是“log3a>log3b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;对数函数的单调性与特殊点.【分析】根据指数函数和对数函数的单调性,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】解:若“”,则a>b,若“log3a>log3b”,则a>b>0.所以“”是“log3a>log3b”的必要不充分条件.故选B.4.若命题“∃x0∈R,使得x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数m的取值范围是()A.[2,6]B.[﹣6,﹣2]C.(2,6)D.(﹣6,﹣2)【考点】特称命题;命题的真假判断与应用.【分析】先写出原命题的否定,再根据原命题为假,其否定一定为真,利用不等式对应的是二次函数,结合二次函数的图象与性质建立不等关系,即可求出实数m的取值范围.【解答】解:命题“∃x0∈R,使得”的否定为:“∀x0∈R,都有”,由于命题“∃x0∈R,使得”为假命题,则其否定为:“∀x0∈R,都有”,为真命题,∴△=m2﹣4(2m﹣3)≤0,解得2≤m≤6.则实数m的取值范围是[2,6].故选A.5.若,则=()A.B.C.D.【考点】三角函数的化简求值.【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式,求得要求式子的值.【解答】解:若,则=cos(+α)=sin[﹣(+α)]=sin(﹣α)=,故选:A.6.如图所示的程序框图的功能是()A.求数列{}的前10项的和B.求数列{}的前11项的和C.求数列{}的前10项的和 D.求数列{}的前11项的和【考点】程序框图.【分析】分析程序中循环变量的初值,终值,步长及累加项的通项公式,可得程序的功能.【解答】解:由已知框图可得:循环变量k的初值为1,终值为10,步长为1,故循环共进而10次,又由循环变量n的初值为1,步长为2,故终值为20,由S=S+可得:该程序的功能是计算S=的值,即数列{}的前10项的和,故选:C.7.下列函数:①y=xsinx,②y=xcosx,③y=x|cosx|,④y=x2x的图象(部分)如图(但顺序被打乱):则从左到右的各图象依次对应的函数序号是()A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①【考点】函数的图象.【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断.【解答】解:①y=xsinx是偶函数,其图象关于y轴对称;②y=xcosx是奇函数,其图象关于原点对称;③y=x|cosx|是奇函数,其图象关于原点对称.且当x>0时,y≥0;④y=x2x为非奇非偶函数,且当x>0时,y>0;当x<0时,y<0;故选A.8.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x【考点】抛物线的标准方程.【分析】根据抛物线方程算出|OF|=,设以MF为直径的圆过点A(0,2),在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=.再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF,Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式,从而得到关于p的方程,解之得到实数p的值,进而得到抛物线C的方程.【解答】解:∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F坐标为(,0),可得|OF|=,∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴设A(0,2),可得AF⊥AM,Rt△AOF中,|AF|==,∴sin∠OAF==,∵根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于A点,∴∠OAF=∠AMF,可得Rt△AMF中,sin∠AMF==,∵|MF|=5,|AF|=∴=,整理得4+=,解之可得p=2或p=8因此,抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.故选:C.方法二:∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F(,0),设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+=5,可得x=5﹣,因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为=,由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4,即M(5﹣,4),代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0,所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.故答案C.9.变量x、y满足条件,则(x﹣2)2+y2的最小值为()A.B.C.D.5【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,设z=(x﹣2)2+y2,利用距离公式进行求解即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,设z=(x﹣2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小.由得,即C(0,1),此时z=(x﹣2)2+y2=4+1=5,故选:D.10.已知非零向量、满足,则与的夹角为()A. B.C. D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】对平方得出,=.从而得到=.计算()•()==.代入向量的夹角公式计算夹角的余弦.【解答】解:∵,∴,=.∴=.∴()•()==.∴cos<>=.∴<>=.故选:D.11.设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+∞)【考点】双曲线的简单性质.【分析】确定双曲线﹣=1的两条渐近线方程,求得A,B的坐标,利用60°<∠AFB<90°,可得,由此可求双曲线的离心率的取值范围.【解答】解:双曲线﹣=1的两条渐近线方程为,x=时,y=,∴A(,),B(,﹣),∵60°<∠AFB<90°,∴,∴,∴,∴,∴1<e2﹣1<3,∴.故选B.12.设函数f(x)=e x(x3﹣3x+3)﹣ae x﹣x(x≥﹣2),若不等式f(x)≤0有解,则实数α的最小值为()A.B.2﹣C.1﹣D.1+2e2【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】化简a≥x3﹣3x+3﹣,从而令F(x)=x3﹣3x+3﹣,求导以确定函数的单调性,从而解得.【解答】解:f(x)≤0可化为e x(x3﹣3x+3)﹣ae x﹣x≤0,即a≥x3﹣3x+3﹣,令F(x)=x3﹣3x+3﹣,则F′(x)=3x2﹣3+=(x﹣1)(3x+3+e﹣x),令G(x)=3x+3+e﹣x,则G′(x)=3﹣e﹣x,故当e﹣x=3,即x=﹣ln3时,G(x)=3x+3+e﹣x有最小值G(﹣ln3)=﹣3ln3+6=3(2﹣ln3)>0,故当x∈[﹣2,1)时,F′(x)<0,x∈(1,+∞)时,F′(x)>0;故F(x)有最小值F(1)=1﹣3+3﹣=1﹣;故实数α的最小值为1﹣.故选:C.二、填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)13.=3.【考点】定积分.【分析】将(0,2)区间分为(0,1)和(1,2),分别化简2﹣|1﹣x|,转化成=∫01(1+x)dx+∫12(3﹣x)dx,求解即可.【解答】解:=∫01(1+x)dx+∫12(3﹣x)dx=(x+x2)|01+(3x﹣)|12=(1+﹣0)+(6﹣2﹣3+)=3故答案为:314.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则函数f(x)解析式f(x)=2sin(2x﹣).【考点】正弦函数的图象.【分析】由最值求出A,由周期求出ω,代入特殊点坐标求出φ.【解答】解:由图象可知f(x)的最大值为2,周期T=2()=π,∴ω=.∵f()=2,∴2sin(φ)=2,∴+φ=,即φ=﹣+2kπ.∵﹣<φ<,∴k=0时,φ=﹣.故答案为:f(x)=2sin(2x﹣).15.已知函数f(x)=lnx﹣(m∈R)在区间[1,e]取得最小值4,则m=.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导函数,然后分m的范围讨论函数的单调性,根据函数的单调性求出函数的最小值,利用最小值等于4求m的值.【解答】解:函数的定义域为(0,+∞),.当f′(x)=0时,,此时x=﹣m,如果m≥0,则无解.所以,当m≥0时,f′(x)>0,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(1)=﹣m=4,m=﹣4,矛盾舍去;当m<0时,若x∈(0,﹣m),f′(x)<0,f(x)为减函数,若x∈(﹣m,+∞),f′(x)>0,f(x)为增函数,所以f(﹣m)=ln(﹣m)+1为极小值,也是最小值;①当﹣m<1,即﹣1<m<0时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=﹣m=4,所以m=﹣4(矛盾);②当﹣m>e,即m<﹣e时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=1﹣=4.所以m=﹣3e.③当﹣1≤﹣m≤e,即﹣e≤m≤1时,f(x)在[1,e]上的最小值为f(﹣m)=ln(﹣m)+1=4.此时m=﹣e3<﹣e(矛盾).综上m=﹣3e.16.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1(a>0,b>0)交于A、B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是.【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出抛物线的焦点坐标,利用三角形是直角三角形求出顶点坐标,代入双曲线方程,利用双曲线的几何量之间的关系,求出离心率的表达式,然后求解即可.【解答】解:抛物线焦点F(1,0),由题意0<a<1,且∠AFB=90°并被x轴平分,所以点(﹣1,2)在双曲线上,得,即,即,所以,∵0<a<1,∴e2>5,故.故答案为:.三、解答题(本大题共六小题共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且a42=9a1a5,(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=(log a n+1)•a n,求数列{b n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.(II)b n=(log a n+1)•a n=(2n+1)•3n.再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:(I)设正项等比数列{a n}的公比为q>0,∵a1,2a2,a3+6成等差数列,∴2×2a2=a3+6+a1,又a42=9a1a5,∴,解得a1=q=3.∴a n=3n.(II)b n=(log a n+1)•a n=(2n+1)•3n.∴数列{b n}的前n项和T n=3×3+5×32+…+(2n+1)•3n.3T n=3×32+5×33+…+(2n﹣1)•3n+(2n+1)•3n+1,∴﹣2T n=32+2×(32+33+…+3n)﹣(2n+1)•3n+1=+3﹣(2n+1)•3n+1=﹣2n•3n+1,∴T n=n•3n+1.18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析,结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组[80,90),第二组[90,100),…第六组[130,140],得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);(Ⅱ)这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人,该3人在130分(含130分)以上的人数记为X,求X的分布列和期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图,求出成绩在[120,130)的频率以及平均成绩;(Ⅱ)根据题意,计算对应的概率值,求出X的分布列与数学期望值.【解答】解:(Ⅰ)根据频率分布直方图,得:成绩在[120,130)的频率为1﹣(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=1﹣0.88=0.12;所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107,所以该校的数学平均成绩为107;(Ⅱ)根据频率分布直方图得,这50人中成绩在130分以上(包括130分)的有0.08×50=4人,而在[120,140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10,所以X的可能取值为0、1、2、3,所以P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===;数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2.19.如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2(Ⅰ)证明:AG∥平面BDE;(Ⅱ)求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可证明AG∥平面BDE;(Ⅱ)求出平面的法向量,利用向量法即可求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.【解答】解:由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面BCEG,∴EC⊥平面ABCD.…根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,可得B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),A(2,1,0)G(0,2,1)….(Ⅰ)设平面BDE的法向量为,∵,∴,即,∴x=y=z,∴平面BDE的一个法向量为…..∵∴,∴,∵AG⊄平面BDE,∴AG∥平面BDE.….(Ⅱ)设平面BAG的法向量为,平面BDE和平面BAG所成锐二面角为θ….因为,,由得,….∴平面BAG的一个法向量为,∴.故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为….20.椭圆C: +=1(a>b>0),作直线l交椭圆于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,设直线l的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,k1k2=﹣.(1)求椭圆C的离心率;(2)设直线l与x轴交于点D(﹣,0),且满足=2,当△OPQ的面积最大时,求椭圆C的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),代入椭圆方程,作差,结合直线的斜率公式和中点坐标公式,即可得到b2=a2,运用离心率公式可得所求;(2)椭圆C的方程为:2x2+3y2=6c2,设直线l的方程为:,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由向量共线的坐标表示,求得三角形的面积,化简运用基本不等式可得最大值,即可得到所求椭圆方程.【解答】解:(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),代入椭圆C的方程有:,两式相减:,即,直线l的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,可得k1=,k2=,即有,即b2=a2,c2=a2﹣b2=a2,可得;(2)由(1)知,得a2=3c2,b2=2c2,可设椭圆C的方程为:2x2+3y2=6c2,设直线l的方程为:,代入椭圆C的方程有,因为直线l与椭圆C相交,所以△=48m2﹣4(2m2+3)(6﹣6c2)>0,由韦达定理:,.又,所以y1=﹣2y2,代入上述两式有:,=,当且仅当时,等号成立,此时c2=5,代入△,有△>0成立,所以所求椭圆C的方程为:.21.已知f(x)=xlnx﹣ax,g(x)=﹣x2﹣2.(Ⅰ)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=﹣1时,求函数f(x)在区间[m,m+3](m>0)上的最值;(Ⅲ)证明:对一切x∈(0,+∞),都有成立.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立,可化为a≤lnx+x+在x∈(0,+∞)上恒成立.令F(x)=lnx+x+,利用导数研究其单调性极值与最值即可得出;(Ⅱ)把a=﹣1代入f(x),再求出f′(x),由f'(x)=0得,然后分类讨论,当时,在上f'(x)<0,在上f'(x)>0,因此f(x)在处取得极小值,由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1],当时,f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上单调递增,从而可求出函数f(x)在区间[m,m+3](m>0)上的最值;(Ⅲ)要证成立,即证,由(Ⅱ)知a=﹣1时,f(x)的最小值是,当且仅当时取等号.设,x∈(0,+∞),则,易知,当且仅当x=1时取到,即可证得结论.【解答】(Ⅰ)解:对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立.也就是在x∈(0,+∞)上恒成立.令,则.x∈(0,1)时,F'(x)<0,x∈(1,+∞)时,F'(x)>0.因此F(x)在x=1处取极小值,也是最小值,即F(x)min=F(1)=3,∴a≤3;(Ⅱ)解:当a=﹣1时,f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2,由f'(x)=0得.当时,在上f'(x)<0,在上f'(x)>0.因此f(x)在处取得极小值,也是最小值.故.由于f(m)=m(lnm+1)<0,f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1]>0,因此f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1].当时,f'(x)≥0,因此f(x)在[m,m+3]上单调递增,故f(x)min=f(m)=m(lnm+1),f(x)max=f(m+3)=(m+3)[ln(m+3)+1];(Ⅲ)证明:要证成立,即证,x∈(0,+∞).由(Ⅱ)知a=﹣1时,f(x)=xlnx+x的最小值是,当且仅当时取等号.设,x∈(0,+∞),则,易知,当且仅当x=1时取到.从而可知对一切x∈(0,+∞),都有.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修4-1:几何证明选讲】22.如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.(1)求证:AD•AB=AE•AC;(2)求线段BC的长度.【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定.【分析】(1)推导出B,C,D,E四点在以BC为直径的圆上,由割线定理能证明AD•AB=AE•AC.(2)过点F作FG⊥BC于点G,推导出B,G,F,D四点共圆,F,G,C,E四点共圆,由此利用割线定理能求出BC的长.【解答】证明:(1)由已知∠BDC=∠BEC=90°,所以B,C,D,E四点在以BC为直径的圆上,由割线定理知:AD•AB=AE•AC.…解:(2)如图,过点F作FG⊥BC于点G,由已知,∠BDC=90°,又因为FG⊥BC,所以B,G,F,D四点共圆,所以由割线定理知:CG•CB=CF•CD,①…同理,F,G,C,E四点共圆,由割线定理知:BF•BE=BG•BC,②…①+②得:CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE,即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30,…所以BC=.…【选修4-4:坐标系与参数方程】23.在极坐标系中,曲线C的方程为,点,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P的直角坐标.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)由极坐标转化为直角坐标即可;(2)由参数方程,设出P的坐标,得到矩形的周长,根据三角函数的图象和性质即可求出最值.【解答】解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为,点R的直角坐标为(2,2),(2)曲线C的参数方程为为参数,α∈[0,2π)),设,如图,依题意可得:|PQ|=2﹣cosα,,∴矩形周长=,∴当时,周长的最小值为4,此时,点P的坐标为.【选修4-5:不等式选讲】24.设不等式﹣2<|x﹣1|﹣|x+2|<0的解集为M,a、b∈M,(1)证明:|a+b|<;(2)比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小,并说明理由.【考点】不等式的证明;绝对值不等式的解法.【分析】(1)利用绝对值不等式的解法求出集合M,利用绝对值三角不等式直接证明:|a+b|<;(2)利用(1)的结果,说明ab的范围,比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小,即可得到结果.【解答】解:(1)记f(x)=|x﹣1|﹣|x+2|=,由﹣2<﹣2x﹣1<0解得﹣<x<,则M=(﹣,).…∵a、b∈M,∴,所以|a+b|≤|a|+|b|<×+×=.…(2)由(1)得a2<,b2<.因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=(1﹣8ab+16a2b2)﹣4(a2﹣2ab+b2)=(4a2﹣1)(4b2﹣1)>0,…所以|1﹣4ab|2>4|a﹣b|2,故|1﹣4ab|>2|a﹣b|.。
人教A版数学必修一甘肃省天水市秦安县第二中学上学期第一次月考试卷.docx
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期第一次月考试卷高一数学一、选择题(每小题5分,共60分)1、设集合{123}{139}A B x A ==∈,,,,,,,且x B ∉,则x =( )A 、1B 、2C 、3D 、92.设全集U ={x ∈Z|-1≤x ≤5},A ={1,2,5},B ={x ∈N|-1<x <4},则B ∩(∁U A )=( )A .{3}B .{0,3}C .{0,4}D .{0,3,4}3.已知集合A ={0,1},则下列式子错误的是( ) A .0∈A B .{1}∈A C .∅⊆AD .{0,1}⊆A4、下列四个图像中,是函数图像的是 ( )A 、(1)B 、(1)、(3)、(4)C 、(1)、(2)、(3)D 、(3)、(4)5.函数f (x )=x -1x -2的定义域为( ) A .(1,+∞)B .[1,+∞)C .[1,2)D .[1,2)∪(2,+∞)6.下列图象中表示函数图象的是 ( )()121+=-x x f ,则7.已知()3f 的值是( )A . 5B .9C .7D .88.已知函数21()2x f x x ⎧+=⎨-⎩ (0)(0)x x ≤>,则))1((f f 的值是( )A .-2B .2C . -4D .59.给出下列集合A 到集合B 的几种对应,其中,是从A 到B 的映射的有( )A .(1)(2)B .(1)(2)(3)C .(1)(2)(4)D .(1)(2)(3)(4)10. 函数01()()22f x x x =-++的定义域为( )A.1(2,)2- B.[-2,+∞) C.),21()21,2[+∞- D.1(,)2+∞11. 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ],0[+∞∈时f (x )是增函数,则f (-2),f (4),f (-3)的大小关系是( )A.f (4)>f (-3)>f (-2)B.f (4)>f (-2)>f (-3)C.f (4)<f (-3)<f (-2)D.f (4)<f (-2)<f (-3)12.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是( )A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数二、填空题(每小题5分,共20分)13.设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a =________.[答案] 1[解析] ∵A ∩B ={3},∴3∈B , ∵a 2+4≥4,∴a +2=3,∴a =1.14.{}2{|1}|1A x x B x ax ====,,B A ⊂≠,则a 的值是 _______[答案] -1,1或015.已知集合M={(x,y)|x +y =2},N={(x,y )|x -y =4},那么集合M ∩N = .16.函数f (x )=|x -1|的单调递减区间是________.三、解答题(本大题共6小题,满分70分.写出文字说明证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)化简计算)32(4)1(31313132----÷b a ba 23202)3()833()21()32( (2)π-+--+-18.(本小题满分12分)设U={}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,A={}1,2,3,4,5,B={}4,5,6,7,8, C={}3,5,7,9,求,,(),()U A B AB AC B A B C19.(本小题满分12分)求证:函数11)(+=xx f 在(0,∞+)上是减函数.20.(本小题满分12分)设函数2211)(x x x f -+=.(1)求它的定义域;(2)判断它的奇偶性.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2+ax +b 的图象关于直线x =1对称.(1)求实数a 的值(2)若f (x )的图象过(2,0)点,求x ∈[0,3]时f (x )的值域.22. (本小题满分12分)若f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x ,y >0, 满足 f (xy )=f (x )-f (y ).(1)求f (1)的值;(2)若f (6)=1,解不等式f (x +3)-f (13)<2.高一数学月考答案一、 选择题1-5 BBBBD 6-10 CBDAC 11-12 AB二、填空题 13.1 14.-1,1或0 15.{(3,-1)} 16.(-∞,1) 三、解答题17.解:(1)原式=-6a 23-(-13)b-13-(-13)=-6a .(2)原式=94+1-(32)2+π-3=π-2.18、解:A ∩B={4,5} ,A ∪B={1,2,3,4,5,6,7,8} A ∩(U C B )={1,2,3}, A ∪(B ∩C)= {1,2,3,4,5,7}. 19、证明:任取1x ,2x ∈(0,+∞)且1x <2x 则f(1x )-f(2x )=2112x x x x - ∵ 1x ,2x ∈(0,+∞)且1x <2x ∴f(1x )-f(2x )<0 即f(1x )<f(2x )∴函数1()f x x x=+在(1,)+∞是增函数. 20.解:(1){x ︱x ≠1且x ≠-1} (2)f(-x)=f(x) 偶函数[解析] (1)二次函数f (x )=x 2+ax +b 的对称轴为x =-a2,∴-a2=1,∴a =-2.(2)若f (x ),过(2,0)点,∴f (2)=0,∴22-2×2+b =0,∴b =0,∴f (x )=x 2-2x .当x =1时f (x )最小为f (1)=-1,当x =3时,f (x )最大为f (3)=3,∴f (x )在[0,3]值域为[-1,3]. 22.解:(1)在f (xy )=f (x )-f (y )中,令x =y =1,则有f (1)=f (1)-f (1),∴f (1)=0. (2)∵f (6)=1,∴f (x +3)-f (13)<2=f (6)+f (6),∴f (3x +9)-f (6)<f (6),即f (x +32)<f (6).∵f (x )是(0,+∞)上的增函数,∴⎩⎨⎧x +32>0,x +32<6解得-3<x <9. 即不等式的解集为(-3,9).。
2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2016届甘肃省天水市一中高三上学期期末考试数学(文)试题一、选择题1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则)(B C A U ⋂=( ) A .{}2 B .{}2,3 C .{}3 D .{}1,3 【答案】D【解析】试题分析:因为{}2,5B =,所以{}1,3,4U C B =,所以{}()1,3U A C B ⋂=. 【考点】集合的交集、补集运算 2.复数iz -=12,则复数z 的模是( ) A .1 B .2 C .3 D .22 【答案】B【解析】试题分析:()()()2121,111i z i z i i i +===+∴=--+ 【考点】复数的运算.3.下列四个图各反映了两个变量的某种关系,其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )A .①③B .①④C .②③D .①② 【答案】B【解析】试题分析:∵两个变量的散点图,若样本点成带状分布,则两个变量具有线性相关关系,∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④. 【考点】线性相关关系.4.已知(1,2)a =- ,(2,)b m = ,若a b ⊥ ,则||b =( )A .12B .1C 【答案】D【解析】试题分析:,220,1a b a b m m ⊥∴⋅=-=∴= ,所以||b =【考点】平面向量的数量积.5.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ). A .5 B .7 C .9 D .11试卷第2页,总15页【答案】A【解析】试题分析:13533,1,a a a a ++=∴= ()15535552a a S a+⨯∴===.【考点】1.等差中项;2.等差数列的前n 项和.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )A .3πB .4πC .2π+4D .3π+4 【答案】D【解析】试题分析:根据几何体的三视图,得该几何体是圆柱体的一半,∴该几何体的表面积为21122234S πππ=⋅+⨯⨯+⨯=+几何体,故选:D . 【考点】由三视图求面积、体积.7.若动圆与圆()2224x y ++=相外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )A .212120y x +-= B .212120y x -+= C .280y x += D .280y x -= 【答案】A【解析】试题分析:设圆()2224x y ++=的圆心1()20C -,,动圆圆心P 的()x y ,,半径为r ,作42x x PQ ==⊥,,直线4x Q =,为垂足,因圆P 与2x =相切,故圆P 到直线4x =的距离2PQ r =+,又12PC r =+,因此()P x y ,到1()20C -,与直线4x =的距离相等,P 的轨迹为抛物线,焦点为1()20C -,,准线4x =,顶点为(1)0,,开口向右,可得6P =,方程为()2121y x =--,故选A .【考点】轨迹方程.8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )A .4B .9C .7D .5 【答案】B【解析】试题分析:当1n =时,执行循环体后,2183T S n ===,,,不满足退出循环的条件,当3n =时,执行循环体后,8365T S n ===,,,不满足退出循环的条件,当5n =时,执行循环体后,32547T S n ===,,,不满足退出循环的条件,当7n =时,执行循环体后,128729T S n ===,,,满足退出循环的条件,故输出的n 值为9,故选B . 【考点】程序框图.9.已知函数()()x x x x f cos cos sin +=,则下列说法正确的为( ) A .函数()x f 的最小正周期为π2 B .函数()x f 的最大值为2 C .函数()x f 的图象关于直线8x π=-对称D .将()x f 图像向右平移8π个单位长度,再向下平移21个单位长度后会得到一个奇函数图像 【答案】D 【解析】试题分析:()()1111sin cos cos sin 2cos 22222242f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ ,∴将()x f 图像向右平移8π个单位长度,再向下平移21个单位长度后会得到试卷第4页,总15页11228422y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,此函数为奇函数,故选D . 【考点】三角函数的性质.【方法点睛】三角函数图象变换: (1)振幅变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω(3)相位变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ(4)复合变换Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω.10.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P —ABCD ,其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形,1PA =,且D A BC P A ⊥平面,则球体毛坯体积的最小值应为( )A.3 BC .43πD.2【答案】D【解析】试题分析:若使得球体毛坯体积最小,则四棱锥各顶点应都在球上,由题意,将四棱锥P ABCD -补成一个长方体,则转化为求长方体外接球体积,长方体体对角线为外接球直径,体对角线长为,所以球的半径为2,体积为34322π⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 【考点】多面体的外接球.11.若5(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --≤⎧=⎨>⎩是R 上的增函数,那么a 的取值范围是( )A .1,35⎛⎫ ⎪⎝⎭B .3[,3)5C .3(,3)5D .1,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】试题分析:由题意可知53301351,355log 13535aa a a a a a a ⎧⎪<->⎧⎪⎪⎪⎡⎫>⇒>⇒∈⎨⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪≥-⎩⎪≥⎪⎩,故选B .【考点】1.分段函数;2.函数的单调性.【方法点睛】在解决分段函数单调性时,首先每一段函数的单调性都应具备单调递增(或单调递减),其次,在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性,据此建立不等式组,求出不等式组的交集,即可求出结果.12.已知()()()()()()()()()2,,52-2g x f x g x x x x f x g x f x f x F x g x ⎧≥⎪⎨≥==⎪⎩=-,,若若, 则F (x )的最值是( )A .最大值为3,最小值525-B .最大值为525+,无最小值C .最大值为3,无最小值D .既无最大值,又无最小值 【答案】C【解析】试题分析:由()()f x g x =得2522x x x -=-,若0x ≥时,2522x x x-=-等价为2522x x x -=-,即25x =,解得x =.若0x <时,2522x x x -=-等价为2522x x x +=-,即2450x x --=,解得1x =-或5x =(舍去).即当1x ≤-时,()()52F x f x x ==+,当1x -<<时,()()22F x g x x x ==-,当x ≥()()52F x f x x ==-,作出函数图象,如下图则由图象可知当1x =-时,()F x 取得最大值()()11523F f -=-=-=,无最小值.故选C .【考点】分段函数的应用.【思路点睛】本题考查分段函数及运用,主要考查函数最值的求法,利用数形结合是解试卷第6页,总15页决本题的基本数学思想.根据()F x 的定义求出函数()F x 的表达式,利用数形结合即可求出函数的最值.二、填空题13.如果函数()3223y f x x x a ==-+的极大值为6,那么a 等于__________.【答案】6【解析】试题分析:∵函数()3223f x x x a =-+,导数()266f x x x '=-,令()0f x '=,可得 0x =或1x =,导数在0x =的左侧大于0,右侧小于0,故()0f 为极大值.()06f a ==;导数在1x =的左侧小于0,右侧大于0,故()1f 为极小值,所以6a =.【考点】函数在某点取得极值的条件.14.若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩,则12z x y =+的最小值是__________.【答案】32【解析】试题分析:首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示,然后将目标函数12z x y =+进行变形为: 12y x z =-+,所以要使得目标函数12z x y =+的最小值,由图可知,当其过点(1,1)B 时,取得最小值,且为min 131122z =⨯+=,故应填32.【考点】简单的线性规划.15.焦点为()3,0±,且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是_________. 【答案】16322=-x y【解析】试题分析:双曲线1222=-y x 中222,1a b ==∴渐近线方程为y x =,所以所求双曲线方程中a b =,又2223,c a b c =+= 223,6a b ∴==,双曲线方程为16322=-x y .【考点】双曲线方程及性质.【一题多解】由题意知,可设所求的双曲线方程是222x y k -=,∵焦点()3,0±在y 轴上,∴0k <,所求的双曲线方程是2212y x k k -=--,由2293k k c k --==∴=-,,故所求的双曲线方程是16322=-x y ,故答案为:16322=-x y . 16.设ABC O ∆为的外心,且满足=+则_____=∠ACB .【答案】32ACB π=∠ 【解析】试题分析:由OA OB OC +=,可知ABC ∆为钝角三角形,外心O 应在三角形的外部,且OA OB OC ==,如图,设AB 的中点为M ,则2OA OB OM +=,又O A OB OC += ,∴2OM OC = ,即O C M ,,三点共线,且M 是OC 的中点,∴四边形AOBC 是菱形,由可得60ACO BCO ∠=∠=︒,∴120ACB ∠=︒.【考点】向量在几何中的应用.【思路点睛】由题意可知外心O 应在三角形的外部,知ABC ∆为钝角三角形,且OA OB OC ==,由向量加法的平行四边形法则,可知(AB 的中点为M )2OA OB OM +=,结合已知条件和O A OB OC += ,可得AOBC 是菱形,即可得出答案.三、解答题试卷第8页,总15页17.在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C2sin c A =. (1)确定角C 的大小;(2)若c =ABC ∆,求a b +的值. 【答案】(1)60 (2)5a b +=【解析】试题分析:(12sin c A =利用正弦定理将边化为角,得到关于C 的三角函数,求解C 角大小;(2)由C 角c 边利用余弦定理可得到关于,a b 的方程,利用三角形面积可得关于,a b 的另一方程,解方程组可得到a b +的值试题解析:(1)2sin c A =,由正弦定理2sin sin A C A =sin 2C ∴=由ABC ∆是锐角三角形, 60C ∴= (2)1sin 22ABC S ab C ∆==6ab ∴=, 2221cos 22a b c C ab +-==,将c =2213a b +=,()22221312255a b a b ab a b ∴+=++=+=∴+=【考点】1.正余弦定理;2.三角形面积公式18.某校为调研学生的身高与运动量之间的关系,从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据,得到如下频率分布表:(1)求频率分布表中①、②位置相应的数据;(2)为了对比研究学生运动量与身高的关系,学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研,求第2、5组每组抽取的学生数?(3)在(2)的前提下,学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈,求至少有1名学生来自第5组的概率?【答案】(1)15,0.3(2)第2、5组分别抽取3人、4人.(3)67【解析】试题分析:(1)由频数、频率及总数关系得第2组的频数为1000.1515⨯=,第3组的频率为300.3100=(2)分层抽样就是按比例抽样:157335⨯=,207435⨯=(3)利用枚举法列出从这7名学生中随机抽取2名学生的总数:21种,再从中挑出至少有1名学生来自第5组的个数:18种,也可从其对立事件出发,最后根据古典概型概率求法求概率 试题解析:(1)由频率分布表可知, 第2组的频数为1000.1515⨯=(人), 第3组的频率为300.3100=; (2)因为第2、5组共有35名学生,所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学生,每组分别为:第3组:157335⨯=(人), 第5组:207435⨯=(人), 所以第2、5组分别抽取3人、4人.(3)设第2组的3位同学为123,,A A A ,第5组的4位同学为1234,,,B B B B , 则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况:121311121314(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A B A B 2321222324(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B 31323334(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 121314(,),(,),(,),B B B B B B 2324(,),(,),B B B B34(,),B B其中第5组的4位同学1234,,,B B B B 中至少有一位同学入选的有18种, 故至少有1名学生来自第5组的概率为67. 【考点】1.分层抽样;2.古典概型概率.【方法点睛】古典概型的一般解题技巧:第一步:判明问题的性质;这类随机试验中只有有限种不同的结果,即只可能出现有限个基本事件不妨设为12n ωωω 、、、;且它们具有以下三条性质: (1)等可能性::()()()12n P P P ωωω=== ; (2)完备性:在任一次试验中至少发生一个; (3)互不相容性:在任一次试验中,12n ωωω 、、、,中至多有一个出现,每个基本事件的概率为1n ,即()i P ω;第二步:掌握古典概率的计算公式; 如果样本空间包含的样本点的总数n ,事件A 包含的样本试卷第10页,总15页点数为m,则事件A的概率()A A A m P n ===事件包含的基本事件数有利于的基本事件数基本事件总数基本事件总数. 19.如图,多面体ABCDEF中,BE BC BA ,,两两垂直,且2,//,//==BE AB BE CD EF AB ,1===EF CD BC .(1)若点G 在线段AB 上,且GA BG 3=,求证:ADF CG 平面//; (2)求多面体ABCDEF 的体积. 【答案】(1)详见解析;(2)43【解析】试题分析:(Ⅰ)分别取,AB AF 的中点,M H ,连结,,MF GH DH ,由已知条件能推导出四边形CDHG 是平行四边形,由此能证明CG ∥平面ADF ;(Ⅱ)首先将多面体ABCDEF 分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -,然后分别求出四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -的体积,最后将其作加法即可得出所求的结论. 试题解析:(Ⅰ)分别取,AB AF 的中点,M H ,连结,,MF GH DH ,则有,AG GM MF BE = .∵AH HF =∴ 1//2GH MF 又∵1//,//2CD BE BE MF ∴//CD GH ∴四边形CDHG 是平行四边形∴CG DH ∥,又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴//CG 平面ADF .(Ⅱ)因为多面体ABCDEF 的体积可分割为四棱锥D ABEF -和三棱锥A BCD -的体积之和,而四棱锥D ABEF -的体积为:111(12)211332D ABEF ABEF V S BC -=⨯⨯=⨯+⨯⨯=,三棱锥A BCD -的体积为11111123323A B C D B C DV S A B -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=,所以多面体A B C D E F 的体积14133ABCDEF V =+=.【考点】1、线面平行的判定定理;2、空间几何体的体积.20.已知椭圆C 的对称中心为原点O ,焦点在x 轴上,左右焦点分别为1F 和2F ,且|1F 2F |=2,点(1,23)在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程;(2)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,若∆A 2F B 的面积为7212,求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程.【答案】(1)13422=+y x ;(2)()2122=+-y x . 【解析】试题分析:(1)利用22=c 及点在椭圆上进行求解;(2)设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求其弦长,进而求出三角形的面积,得到直线方程,再求圆的方程.试题解析:(1)椭圆C 的方程为13422=+y x(2)①当直线l x ⊥轴时,可得2331122A B AF B⎛⎫⎛⎫---∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,的面积为3,不符合题意.②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为()1y k x =+.代入椭圆方程得:01248)43(2222=-+++k x k x k ,显然0∆>成立,设A ),(11y x ,B ),(22y x ,则2221438k k x x +-=+,222143128k k x x +-=⋅,可得AB =2243)1(12k k ++又圆2F 的半径r =21||2k k +,∴2AF B ∆的面积=21AB r =22431||12k k k ++=7212,化简得:4217180k k +-=,得1 k r =±∴=,2,圆的方程为2)1(22=+-y x 【考点】1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.直线与圆的位置关系. 21.已知函数()ln f x x a x =+,在1x =处的切线与直线20x y +=垂直,函数()()212g x f x x bx =+-.试卷第12页,总15页(1)求实数a 的值;(2)若函数()g x 存在单调递减区间,求实数b 的取值范围; (3)设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点,若72b ≥,求()()12g x g x -的最小值.【答案】(1)1a =;(2)()3,+∞;(3)152ln 28- 【解析】试题分析:(Ⅰ)利用求导,将1x =处的切线的斜率求出,与直线20x y +=的斜率乘积为1-,进而求得a 的值;(Ⅱ)根据(Ⅰ)得到()g x 的解析式,若函数()g x 存在单调递减区间,必有()0g x '<在()0,∞上有解,进而求得b 的取值范围;(Ⅲ)根据题意()0g x '=的两个根即为1212,()x x x x >,由韦达定理得到1212,x x x x +,进而12()()g x g x -1122211ln()2x x x x x x =--,应换元法进而求得其最小值. 试题解析:(Ⅰ)()ln ()1af x x a x f x x'=+∴=+,, 20l x y +=与直线 垂直,|112k y x a '∴===+=,1a ∴=(Ⅱ)21()ln (1)(0)2g x x x b x x =+--> 21(1)1()(1)x b x g x x b x x--+'=+--=设2()(1)1x x b x μ=--+,则(0μ=>只须21013231(1)40b b b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨><-⎩⎪∆=-->⎩或 b ∴的取值范围为(3,)+∞(Ⅲ)令21212()0(1)101,1g x x b x x x b x x '=--+=∴+=-=得,2222111212121212122211()()ln()(1)()ln ()()()22x x g x g x x x b x x x x x x x x x x -=+----=+--+-2211211221222111ln ln ()22x x x x x x x x x x x x -=-=--11220,01x t x x t x =<<∴<<, ,又 212221212121()1725,(1)2(1)241x x b x x b t x x t x x ⎧+=-+⎪=-++≥-=⎨=⎪⎩得 2141740,04t t t ∴-+≥∴<≤,令111()ln ()(0)24h t t t t t =--<≤ 222111(1)()(1)022t h t t t t -'=-+=-<,1()(0,]4h t ∴在单减 115()()2ln 248h t h ≥=-故12()()g x g x -的最小值为152ln 28- 【考点】1.利用导求切线斜率;2.利用导解决单调递减区间;3.换元法.【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ,及斜率,其求法为:设00()P x y ,是曲线()y f x =上的一点,则以P 的切点的切线方程为:000()()y y f x x x '-=-.若曲线()y f x =在点00(())P x f x ,的切线平行于y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为0x x =.22.选修4-1:几何证明选讲如图所示,锐角三角形ABC 的内心为I ,过点A 作直线BI 的垂线,垂足为H ,点E 为圆I 与边CA 的切点.(1)求证,,,A I H E 四点共圆; (2)若50C ∠=︒,求IEH ∠的度数.【答案】(1)见解析;(2)25︒ 【解析】试题分析:(1)证明DE AE ⊥,根据AF DF ⊥,可得,,,A D F E 四点共圆,直径为AD ;(2)先证明1809022BAC ABC CADB ∠+∠∠∠=︒-=︒+,再利用,,,A D F E 四点共圆,可求DEF ∠的度数.试题解析:解析:(1)由圆I 与AC 相切于点E 得IE AC ⊥,结合HI AH ⊥,得90AEI AHI ∠=∠=︒,所以,,,A I H E 四点共圆.(2)由(1)知,,,A I H E 四点共圆,所以IEH HAI ∠=∠.由题意知12HIA ABI BAI ABC ∠=∠+∠=∠+ 1111()()218090222BAC ABC BAC C C ∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠, 结合IH AH ⊥,得1190909022()HAI HIA C C ∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠,试卷第14页,总15页所以12IEH C ∠=∠.由50C ∠=︒得25IEH ∠=︒. 【考点】弦切角.23.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线1C的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点. (1)求||AB 的值;(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积. 【答案】(1)max d =(2)1.【解析】试题分析:本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程,再利用点到直线的距离公式计算,利用三角函数的有界性求最值;第二问,利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程,将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立,消参,得到121t t =-,即得到结论1MA MB ⋅=.试题解析:解析:(1) 曲线1C 的普通方程为2212x y +=,2:cos sin 1C ρθρθ+=, 则2C 的普通方程为10x y +-=,则2C的参数方程为:()122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 代入1C得23140t +=,123AB t t =-==(2) 12143MA MB t t ==. 【考点】1.参数方程与普通方程的转化;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化;3.点到直线的距离公式.24.选修4-5:不等式选讲(1)已知实数b a ,满足2,2<<b a ,证明:ab b a +<+42;(2)已知0a >a+1a -2. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析【解析】试题分析:(1)法一2,2<<b a ,∴42<a ,42<b ,∴042>-a ,042>-b . ∴()()04422>--b a ,即044162222>+--b a b a , 整理化简可得()()22422ab b a +<+,即可证明结果.法二:利用分析证明法亦可证明结果.(2)利用分析证明法亦可证明结果.试题解析:(1)证明:证法一2,2<<b a ,∴42<a ,42<b ,∴042>-a ,042>-b . ∴()()04422>--b a ,即044162222>+--b a b a , ∴22221644b a b a +<+,∴2222816484b a ab b ab a ++<++, 即()()22422ab b a +<+,∴ab b a +<+42.证法二:要证ab b a +<+42,只需证,8168442222ab b a ab b a ++<++ 只需证,16442222b a b a +<+只需证,044162222>--+b a b a 即()()04422>--b a .2,2<<b a ,∴42<a ,42<b ,∴()()04422>--b a 成立.∴要证明的不等式成立.(2-21a a ≥+,2a ≥+1a +只需证22414a a +++2a +2122a ++12a a ⎫+⎪⎭+,即证≥1a a ⎫+⎪⎭, 只需证22421a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+2212a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+, 即证2221a a≥+,此式显然成立. ∴原不等式成立.【考点】1.绝对值不等式;2.分析证明.。
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题解析(解析版)
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年第一学期期末考试高二数学(理科)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.设21:<<x p ,12:>x q ,则p 是q 成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:命题:210xq x >?,若p 成立,则q 成立,反之若q 成立,则p 不一定成立,因此p 是q 成立的充分不必要条件; 考点:充分必要条件;2. 已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任一点O ,1123OM xOA OB OC =++,则x 的值为( ) A .16 B .13 C .12D .0 【答案】A 【解析】试题分析:由于点M 在平面ABC 内,且对空间任一点O ,根据空间向量基本定理可知11123x ++=,解得16x =; 考点:空间向量基本定理;3.若a b 、是任意实数,且a b >,则下列不等式成立的是( )A .22a b > B .1<a b C .()lg 0a b >- D .ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3131【答案】D 【解析】试题分析:A 中例举反例,令1,2a b ==-,则22a b <,A 不成立;B 中令1,2a b =-=-,则2ba=,B 不成立;C 中令1,0.9a b ==,则()lg lg 0.11a b -==-,C 不成立;根据指数函数的单调性可知D 正确; 考点:不等式的性质;4. “12x <<”是“2x <”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析:若12x <<成立,则2x <成立;反之,若2x <成立,则12x <<不一定成立,因此“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件; 考点:充分必要条件;5. 椭圆2212516x y +=上一点P 到其一个焦点的距离为3,则点P 到另一个焦点的距离为 A .2 B .7C .3D .5【答案】B 【解析】试题分析:根据椭圆的定义可知,椭圆2212516x y +=上一点P 到其两个焦点的距离和为22510a =?,因此P 到椭圆的一个焦点的距离为3,则点P 到另一个焦点的距离为7;考点:椭圆的定义;6. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242,10S S ==,则6S 等于 A .12 B .18 C .24 D .42 【答案】C 【解析】试题分析:等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则24264,S ,S S S S --成等差数列,因此若242,10S S ==,则624S =;考点:等差数列的前n 项和性质;7. 已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动,则z x y =- 的取值范围是A .[2,1]--B .[2,1]-C .[1,2]-D .[1,2] 【答案】C 【解析】试题分析:画出如图所示的可行域,并作出直线=0x y -的,平移该直线经过点()0,1A 时,z 有最小值-1,经过点()2,0B 时,z 有最大值2,故所求答案为C考点:线性规划;8. 设0,0a b >>.是3a 与3b 的等比中项,则ab 的最大值为A .8B .4C .1 D.14【答案】D 【解析】3a 与3b 的等比中项,则233a b =?,即+33a b =,因此1a b =+,根据基本不等式有:2124a bab 骣+琪?琪桫,当且仅当12a b ==时等号成立;考点:等比中项;基本不等式;9. 抛物线28y x =-中,以(1,1)-为中点的弦的方程是A .430x y ++=B . 430x y ++=C .430x y +-=D .430x y --= 【答案】A 【解析】试题分析:根据题意知所求直线必过点(1,1)-为,因此将点(1,1)-代入直线方程验证可知A 正确; 考点:直线与抛物线的位置关系;10. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列.若11a =,则4S 等于A .7B .8C .15D .16【答案】C 【解析】试题分析:设等比数列{}n a 的公比为q ,1234,2,a a a 成等差数列,则1324+4a a a =即211144a a q a q +=,解得2q =,11a =,则44121512S -==-;考点:等比数列;等差中项;11.设F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为A ,交另一条渐近线于点B .若2FA FB =,则双曲线C 的离心率是( )A B .2 C D 【答案】C考点:双曲线的离心率;12.若直线:2x l y m =-+与曲线:C y =m 的取值范围是( )A .)1-+ B .( C .()1+ D .()1+【答案】B 【解析】试题分析:曲线:C y =2214x y +=和双曲线2214x y -=上半部分,且双曲线的渐近线方程为12y x =-,与直线:2xl y m =-+平行,当直线l 过右顶点时,直线l 与曲线C 有两个交点,此时1m =;当直线l 与椭圆相切时,直线l 与曲线C 有两个交点,此时m =;由图象可知,(1m ∈时,直线:2x l y m =-+与曲线:C y =考点:数形结合思想的应用;第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)13. 已知ABC ∆ 的三个顶点为(3,3,2)A ,(4,3,7)B - ,(0,5,1)C ,则BC 边上的中线长为 . 【答案】3 【解析】试题分析:线段BC 中点的坐标为()2,1,4D ,因此BC 边上的中线长3AD ==考点:空间中两点间的距离公式;14. 抛物线24y x =的准线方程为 . 【答案】1x =- 【解析】试题分析:抛物线24y x =的开口向右,因此抛物线24y x =的准线方程为1x =-; 考点:抛物线的几何性质;15. 在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为AB 的中点,则二面角1--B CA P 的大小为________.【答案】6π 【解析】试题分析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则()()()()10,2,0,2,2,0,2,0,2,2,1,0C B A P ,()()()12,2,2,2,0,0,2,1,0CA CB CP =-==- 设平面1BCA 的法向量(),,n x y z =,则1202220n CB x n CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令1,y =则()0,1,1n =,设平面1PCA 的法向量(),,m a b c =,则1202220m CP a b m CA a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令1,a =则()1,2,1m =,设二面角1--B CA P 的平面角为θ,cos cos ,2m n m n mnθ⋅====⨯⋅,因此,6πθ=考点:二面角的平面角及求法;16. 动点(,)(0)P x y x ≥到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离差为1,则点P 的轨迹方程为 . 【答案】24y x = 【解析】试题分析:动点(,)(0)P x yx ≥到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离差为1,1x =+,化简整理得到24y x =; 考点:点轨迹方程的求法;三、解答题 (本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知不等式2364ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或. (1)求,a b ;(2)解不等式()()0x c ax b -->.【答案】(1)12a b =⎧⎨=⎩(2)2c <时{}2,x x c x <>或]2c >时{}2x x x c <>或,2c =时{}2x x ≠考点:一元二次不等式的解法;18. 已知命题p :28200k k --≤,命题q :方程11422=-+-ky k x 表示焦点在x 轴上的双曲线. (1)命题q 为真命题,求实数k 的取值范围;(2)若命题“p q ∨ ”为真,命题“p q ∧”为假,求实数k 的取值范围. 【答案】(1)14k <<;(2)21k -≤≤或410k ≤≤; 【解析】试题分析:(1)方程11422=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线,则有4010k k ->⎧⎨->⎩,求解出k 即可;(2)命题“p q ∨ ”为真,命题“p q ∧”为假,则命题p 、q 中有一真命题、有一假命题,分命题p 真q 假与命题p 假q 真两种情况分别求解出k 的取值范围,再取并集即可;试题解析:(1)当命题q 为真时,由已知得4010k k ->⎧⎨->⎩,解得14k <<∴当命题q 为真命题时,实数k 的取值范围是14k << …………………5分 (2)当命题p 为真时,由28200k k --≤解得210k -≤≤ …………………7分由题意得命题p 、q 中有一真命题、有一假命题 ………………………8分当命题p 为真、命题q 为假时,则21014k k k ì-#ïí3ïî或,解得21k -≤≤或410k ≤≤. …………………………………………………10分当命题p 为假、命题q 为真时,则14210k k k ì<<ïí<->ïî或,k 无解. …………12分∴实数k 的取值范围是21k -≤≤或410k ≤≤. …………………………13分 考点:真假命题;19. 在锐角ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c2sin c A =(Ⅰ)求角C 的值; (Ⅱ)若c =,且ABCS=a b +的值. 【答案】(1)3C π=;(2)5a b +=; 【解析】试题分析:(12sin c A =及正弦定理,得sin sin a A c C ==.,可求出sin C =,进而求出3C π=;(2)由面积公式,得1sin 23ab π=,由面积公式,得1sin 23ab π=,两个式子联立可得出5a b +=;试题解析:(1)2sin c A =及正弦定理,得sinsin a A c C ==.sin 0,sin A C ≠∴=又ABC ∆是锐角三角形,3C π∴=.(2) c =3C π=,由面积公式,得1sin 23ab π=,即6ab =.① 由余弦定理,得222cos73a b ab π+-=,即227a b ab +-=.② 由②变形得()237a b ab +=+ .③ 将①代入③得()225a b +=,故5a b +=. 考点:正弦定理;余弦定理;20. 数列}{n a 中,cn a a a n n +==+11,2(c 是常数,*N n ∈),且321,,a a a 成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值; (2)求}{n a 的通项公式.【答案】(1)2c =;(2)22+-=n n a n (*N n ∈); 【解析】试题分析:(1)先由12a =以及递推公式1n n a a cn +=+,得到232,23a c a c =+=+,根据321,,a a a 成等比数列可以列出()()22223cc +=+,求解出c 的值;(2)用累加法可以得到22+-=n n a n ,验证1a 也符合,可得出22+-=n n a n (*N n ∈);试题解析:(1)由cn a a a n n +==+11,2得到232,23a c a c =+=+,又因为321,,a a a 成公比不为1的等比数列,因此()()22223cc +=+,解得2c =(2)213212,4,2(1)n n a a a a a a n -=+=+=+-,累加可得22+-=n n a n ,1a 也符合,所以22+-=n n a n (*N n ∈)考点:等比中项;累加法求通项公式;21. 如图:直三棱柱111ABC A B C -中,090ACB ∠= ,12AA AC BC === ,D 为AB 中点. (Ⅰ)求证:11BC CD 平面A(Ⅱ)求二面角1D CA A --的正切值.【答案】(1)证明略;(2);【解析】试题分析:(1)在1ABC ∆中,根据中位线性质可得1DO BC ,再依据线面平行的判定定理可以得出11BC CD 平面A (2)以CA 为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系,求出平面1ACA 的法向量是()0,1,0n =,以及()12,2,2AB =-,用向量法求出cos θ==进而得到二面角1D CA A --的正切值为;试题解析:(1)证明:连接1AC 交1AC 于O 点,连接DO ,则O 为1AC 的中点,D 为AB 中点,1DO BC ∴,又111,DO ACD BC ACD 平面平面⊂⊄,11BC ACD 平面∴. (2)解:以CA 为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系,∵直三棱柱111ABC A B C -中,090ACB ∠= ,12AA AC BC === ,D 为AB 中点.()12,2,2AB ∴=-,设二面角1D CA A --的大小为θ,则∵平面1ACA 的法向量是()0,1,0n =∴cosθ==tan θ= ∴二面角1D CA A --的正切值是.考点:线面平行;二面角的求法;22. 已知椭圆C 的离心率为12,直线1y x =+,抛物线D 以原点为顶点,椭圆的右焦点为焦点.(1)求椭圆C 与抛物线D 的方程;(2)已知A ,B 是椭圆C 上两个不同点,且OA ⊥OB ,判定原点O 到直线AB 的距离是否为定值,若为定值求出定值,否则,说明理由.【答案】(1)椭圆C 的方程为22143x y +=,抛物线D 方程为24y x =;(2)是 【解析】试题分析:(1)根据椭圆的离心率为12,得到c a 2=,直线1y x =+被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长,=,解得b =,可求得椭圆C 与抛物线D 的方程;(2)由于A ,B 是椭圆C 上两个不同点,因此分直线AB 与x 轴垂直与直线AB 斜率存在两种,分别设出A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),再依据OA ⊥OB 等价于OA OB ⋅=1212x x y y +=0,可计算得出原点O 到直线AB ; 试题解析:(1)由题知21=a c ,即c a 2=,椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线1y x =+的距离21=d ,=,解得b =,2234a a ∴=+,解得24a =,∴c =1,∴2p =1,∴p =2,∴椭圆C 的方程为22143x y +=,抛物线D 方程为24y x =;(2)设A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),当直线AB 与x 轴垂直时,设AB :x m =,则y =∵OA⊥OB ,∴OA OB ⋅=1212x x y y +=221234m m --=0,解得m =,∴原点到直线AB . 当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y kx m =+代入2234120x y +-=整理得,222(34)84120k x kmx m +++-=,则△=222(8)4(34)(412)km k m -+->0,即22430k m -+>,1x +2x =2834km k-+,1x 2x =2241234m k -+, ∴1y 2y =12()()kx m kx m ++=[221212()k x x km x x m +++=22231234m k k -+, ∵OA ⊥OB ,∴OA OB ⋅=1212x x y y +=2241234m k -++22231234m k k-+=0,即22712(1)m k =+,且满足△>0,∴原点到直线ABO 到直线AB 考点:圆锥曲线的综合问题;:。
2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若816S =,61a =,则数列{}n a 的公差为( ) A .32B .32-C .23D .23-2.已知a b ,满足23a =,3b =,6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为( ) A .2-B .1-C .3-D .23.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于( )cm 3A .243π+B .342π+C .263π+D .362π+4.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数,AQI 指数值趋小,表明空气质量越好,下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势,下列叙述错误的是( )A .这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B .这20天中的中度污染及以上(AQI 指数>150)的天数占14C .该市10月的前半个月的空气质量越来越好D .总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5.已知x ,y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,且2z x y =+的最大值是最小值的4倍,则a 的值是( )A .4B .34C .211D .146.若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点,则实数m 的取值范围是( )A .2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C .2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7.已知3ln 3,log ,log a b e c e π===,则下列关系正确的是( ) A .c b a <<B .a b c <<C .b a c <<D .b c a <<8.在直角坐标平面上,点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=,点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是( ) A .[]22-,B .4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C .13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D .6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9.设i 是虚数单位,若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数,则a 的值为( ) A .3-B .3C .1D .1-10.已知集合{}1,3,A m =,{}1,B m =,若A B A ⋃=,则m =( ) A .0或3 B .0或3C .1或3D .1或311.函数的图象可能是下面的图象( )A .B .C .D .12.已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠,且+1n n a ka t =+,其中k ,t R ∈,*n N ∈,下列叙述正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则一定有1k =B .若{}n a 是等比数列,则一定有0t =C .若{}n a 不是等差数列,则一定有 1k ≠D .若{}n a 不是等比数列,则一定有0t ≠二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
甘肃省天水市秦安县第二中学届高三数学上学期期中试题理【含答案】
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高三级数学(理科)试题本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试用时120分钟第Ⅰ卷 (选择题,60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则()R C S T =( )A.]1,2(-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞ 2.下面关于复数iz +-=12的四个命题中的真命题为( ) 2:1=z p i z p 2:22= z p :3的共轭复数为1+i z p :4的虚部为-1A. 31,p pB. 21,p pC. 42,p pD. 43,p p 3.运行右面的程序框图相应的程序,输出的结果为( ) A .2- B .12C .1-D . 2 4.若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10,则a 的值是(A .1B .12C .1-D .25. 下列结论错误..的是 ( ) A .命题p:“x R ∃∈,使得210xx ++<”,则2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥;B. “4x =”是“2340x x --=”的充分非必要条件; C .数列2,5,11,20,x ,47,……中的32x =; D . 已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥ 6.如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图 如图所示,则这个四棱锥的体积为( ) A .1 B.2 C .3 D.47. 设f(x)=()1232,(2)log 1,(2)x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩,则不等式f(x)<2的解集为( ) A . B .(-∞,1)∪[2正(主)视图侧(左)视图俯视图C .(1,2]∪D .(18.已知函数y =x 3-3x +c 的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =( ) A .-2或2 B .-9或3 C .-1或1 D .-3或1 9.已知函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<其部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别为 ( )A .2,3πωϕ== B.2,6πωϕ==C .1,3πωϕ==D .1,6πωϕ==10. 已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7,定点M 的坐标为()1,2-,若N ∈Ω,O 为坐标原点,则OM ON ⋅的最小值是( ) A .8- B .7- C .6- D .4-11. 已知函数()cos sin 2f x x x =,下列结论中错误的是( )A .()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B .()y f x =的图像关于直线2x π=对称 C .()f x .()f x 既是奇函数,又是周期函数12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点)2,1(=i P i ,使得21A A P i ∆构成以12A A 为斜边的直角三角形,则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.)+∞ B.)+∞ C. D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中的横线上13、已知向量a 与向量b 的夹角为120,若()(2)a b a b +⊥-且2a =,则b 在a 上的投影为14、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足:当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时,总有第9题图12120()()x x f x f x -<-,则不等式()()1f x f x -<的解集为15.已知复数112z i =-,则12111z z z +=-的虚部是 . 16. 方程33x x k -=有3个不等的实根,则常数k 的取值范围是 . 17.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),8(log )(2x x f x f x x x f ,则=)2013(f .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知()x f ⋅=,其中()x x a 2sin 3,cos 2-=,()()R x x ∈=1,cos . (1)求()x f 的周期和单调递减区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为,,,c b a ()1-=A f ,7=a ,3=⋅,求边长b 和c 的值(c b >).18.(10分)设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,已知11a =,且124,,S S S 成等比数列; (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。
甘肃省天水市秦安县高三数学第一次模拟考试试题 文
甘肃省天水市秦安县2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合{}{}1,21<=≤≤-=x x B x x A ,则=⋂B A ( )A .{}1<x xB .{}2≤≤1-x xC .{}1≤≤1-x xD .{}1<≤1-x x2.复数=+-ii22( ) A .i 5453-B .i 5453+C .i 541-D .i 531+3.已知向量(2,1)a =,10a b •=,||a b +=,则b =( )ABC .5D .254.函数)(x f 在0=x x 处导数存在,若p :0=)(′0x f ;q :0=x x 是)(x f 的极值点则( )A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件,但不是 q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件5.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( )A .14B .34CD6.设2lg ,(lg ),a e b e c ===则( )A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .c b a >>7.已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( ) A .π4B .π3C .π2D .3π48. 已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+42),(yxyxyxyx表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为()(A)163π(B)16π(C)32π(D)323π9. 已知函数()f x的定义域为[1,4]-,部分对应值如下表,()f x的导函数()y f x'=的图象如右图所示。
甘肃省天水市秦安县第二中学高三数学上学期第二次月考试题 文
甘肃省天水市秦安县第二中学2015~2016学年上学期第二次检测考试高三(文科)数学试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)1、设复数1i z =+(i 是虚数单位),则22z z+等于 ( ) A.1i + B.1i -+ C.i - D.1i --2、设全集U R =,{}0)2(|<-=x x x A ,{})1ln(|x y x B -==,则)(B C A U I 是( ) A.(-2,1) B .(1,2)C .(-2,1]D . [1,2)3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3S =6,1a =4,则公差d 等于( ) A .1 B.53C.- 2 D 3 4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若7662a a +=,则9S 的值是( )A .27B .36C .45D .54 5.若向量→a ,→b 满足|→a +→b |=|→a -→b |=2|→a |,则向量→a +→b 与→a 的夹角为( ) A .6πB .3πC .32πD .65π6.设函数xxe x f =)(,则( )A .1=x 为)(x f 的极大值点B .1=x 为)(x f 的极小值点C .1-=x 为)(x f 的极大值点D .1-=x 为)(x f 的极小值点7、函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为( )A .0B .1C .2D .38、已知向量(2,1),10,||||a a b a b b =⋅=+=r r r r r r则=( )A B C .5D .259、将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度,再向上平移1个单位长度,则所得的图象对应的解析式为 ( )A.1sin y x =-B.1sin y x =+C.1cos y x =-D.1cos y x =+ 10、设R ∈ϕ,则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件11、已知,,,则的大小关系是( ) A .B .C .D .12.若1x 满足522=+xx , 2x 满足5)1(log 222=-+x x , 21x x += ( )A .25 B .3 C .27D .4 第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡中横线上.) 13.已知数列{n a }的通项公式n a =19-2n ,则n S 取得最大值时n 的值为________. 14.给出下列说法,其中说法正确的序号是________.① 小于ο90的角是第Ⅰ象限角; ②若α是第一象限角,则ααsin tan >; ③ 若x x f 2cos )(=,π=-12x x ,则)()(12x f x f =;④ 若x x f 2sin )(=,x x g 2cos )(=,21,x x 是方程)()(x g x f =的两个根,则12x x -的最小值是π.15.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =21AB ,BE =32BC. 若→→→+=AC AB DE 21λλ(21,λλ为实数),则21λλ+的值为________.16.已知函数1)(23+++=mx x x x f 在区间)2,1(-上不是单调函数,则实数m 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 17、(12分)已知向量)1,cos sin 3(x x -=,)21,(cos x n =ρ,若n m x f ρρ⋅=)(.13a π=log 3b π=1)c =,,a b c b c a<<c b a<<b a c<<a b c <<(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期;(Ⅱ) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且3=a ,23)122(=+πA f (A 为锐角),2sin sin C B =,求A 、c b 、的值.18、(12分)已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+>0,ω>0,||ϕ<π)2的图象与y轴的交点为)1,0(,它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]ππ3,3-上的 单调递增区间;19、(12分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,,243+=a S 且1,1,321--a a a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ,求证:).(2131*N n T n ∈<≤20、(12分)已知函数).,()1(31)(223R ∈+-+-=b a b x a ax x x f (Ⅰ) 若1x =为)(x f 的极大值点,求a 的值;(Ⅱ) 若)(x f y =的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为03=-+y x ,求)(x f 在区间[]4,2-上的最大值.21、(12分)已知函数).21)(log 2(log )(42--=x x x f (Ⅰ) 当[]4,2∈x 时,求该函数的值域;(Ⅱ) 若]16,4[log )(2∈≥x x m x f 对于恒成立,求m 的取值范围.选考题:(10分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22、选修4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径 ,AC 是弦 ,∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ,DE ⊥AC ,交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F. (Ⅰ) 求证:DE 是⊙O 的切线;(Ⅱ) 若54=AB AC ,求DF AF的值.23.选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=,曲2方程为()4R πθρ=∈,曲线1C 、2C 相交于点A 、B .(Ⅰ)将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求弦AB 的长.24.选修4-5:不等式选讲 设函数a x x x f +-++=21)(.(I )当5-=a 时,求函数)(x f 的定义域;(II )若函数)(x f 的定义域为R ,试求a 的取值范围.B数学答案:选择题:1--5 ADCCB 6--10 DCCCA 11--12 AC 13、4114、{}13|≥-≤x x x 或 15、(-4,2) 16、6 17、答案:ππ=-=T x x f ),62sin()(1)((2)32,33A ===b c ,π18、答案:Z k k k x x f A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++====ππππππϕω432,434-),621sin(2)(,6,21,2)1(增区间为:(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππππ3,3832,34和19、20.解:(1).12)(22-+-='a ax x x f∵ 1=x 是()f x 的极值点,0)1(='∴f ,即022=-a a 0a ∴=或2a =.当0a =时,'()(1)(1)f x x x =-+,1x =是()f x 的极小值点,当2a =时,'()f x 243(1)(3)x x x x =-+=--,1x =是()f x 的极大值点∴a 的值为2.(2)∵))1(,1(f 在03=-+y x 上. 2)1(=∴f∵(1,2)在)(x f y =上 b a a +-+-=∴13122 2131.21,131,1121121)2(,12,2,1)1(*1<≤∴<>==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∈-===n n n n n T T n T n n T N n n a d a 时当时当又(1)1f k '==-,21211a a ∴-+-=-,2210a a ∴-+=,81,3a b == 3218().33f x x x ∴=-+ 2()2(2)f x x x x x '=-=-,由0)(='x f 得0x =和2x =,列表:x-2 (2,0)-0 (0,2) 2 (2,4)4 '()f x+ — + ()f x4-增8/3减4/3增8由上表可得()f x 在区间[-2, 4]上的最大值为8. ……12分 21、解:(1))21)(log 2log 2()(44--=x x x f ,]1,21[]4,2[,log 4∈∈=t x x t 时,令 此时,132)21)(22(2+-=--=t t t t y ,]0,81[-∈∴y(2)即恒成立对恒成立,对]2,1[312]2,1[1322∈-+≤∴∈≥+-t tt m t mt t t , 易知.0,0)1()(]2,1[312)(min ≤∴==∴∈-+=m g t g t tt t g 上单调递增,在 22. 解:(Ⅰ)证明:连接OD ,∵AD 平分∠CAB , ∴∠CAD=∠BAD ,∵OA=OD , ∴∠BAD=∠ADO ,∴∠CAD=∠ODA , ∴OD ∥AC ,∵DE ⊥AC ,∴DE ⊥OD , ∴直线DE 是⊙O 的切线.----------5分(Ⅱ)连接BC 交OD 于G ,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°,54=AB AC Θ∴设AC=4a ,AB=5a ,由勾股定理得:BC=3a ,∴OA=OD=OB=2.5a ,∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG ,∴四边形ECGD 是矩形,∵OG 为△ABC 中位线,∴G 为BC 中点∴DE=CG=1.5a ,∵OD ∥AE ,OA=OB ,∴CG=BG ,∴OG=21AC=2a ,∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a ,∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a , ∵OD ∥AC ,∴△AEF ∽△DOF ,∴.59==OD AE DF AF ----------10分 23. (Ⅰ)2260x y x +-= 0x y -= ……5分(Ⅱ)32AB = ……10分24.解:(Ⅰ)由题设知:05|2||1|≥--++x x如图,在同一坐标系中作出函数21-++=x x y 和5=y 的图象(如图所示) 得定义域为][),32,(+∞⋃--∞. (Ⅱ)由题设知,当R x ∈时,恒有0|2||1|≥+-++a x x即 a x x -≥-++|2||1| 又由(Ⅰ)3|2||1|≥-++x x ∴ ⇒≤-3a 3-≥a。
甘肃省天水市秦安县高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)新人教A版
甘肃省天水市秦安县高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)新人教A版试卷分析报告2015年甘肃省天水市秦安县高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M={x||x|≤2,x∈R},N={﹣1,0,2,3},则M∩N=()A.{﹣1,0,2} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2,3} D.{0,1,2,3}【考点】:交集及其运算.【专题】:集合.【分析】:求出M中不等式的解集确定出M,找出M与N的交集即可.【解析】:解:由M中不等式解得:﹣2≤x≤2,即M=[﹣2,2],∵N={﹣1,0,2,3},∴M∩N={﹣1,0,2},故选:A.【点评】:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)设复数z满足(1﹣i)z=2i,则z=()A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i【考点】:复数代数形式的乘除运算.【专题】:计算题.【分析】:根据所给的等式两边同时除以1﹣i,得到z的表示式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果.【解析】:解:∵复数z满足z(1﹣i)=2i,∴z==﹣1+i故选A.【点评】:本题考查代数形式的除法运算,是一个基础题,这种题目若出现一定是一个送分题目,注意数字的运算.3.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D.【考点】:等比数列的前n项和.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:设等比数列{an}的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到,解出即可.【解析】:解:设等比数列{an}的公比为q,∵S3=a2+10a1,a5=9,∴,解得.∴.故选C.【点评】:熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.4.(5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l【考点】:平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论.【专题】:空间位置关系与距离.【分析】:由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正确的结论.【解析】:解:由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,所以l∥α,又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,所以l∥β.由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,与m,n异面矛盾.故α与β相交,且交线平行于l.故选D.【点评】:本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,靠考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题.5.(5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.x3>y3 D.sinx>siny【考点】:不等式的基本性质.【专题】:不等式的解法及应用.【分析】:实数x、y满足ax<ay(1>a>0),可得y<x.A.取x=1,y=0,即可判断出.B.取x=﹣2,y=﹣1,即可判断出;C.利用y=x3在R上单调递增,即可判断出;D.取y=﹣,x=,即可判断出.【解析】:解:∵实数x、y满足ax<ay(1>a>0),∴y<x.对于A.取x=1,y=0,不成立,因此不正确;对于B.取y=﹣2,x=﹣1,ln(x2+1)>ln(y2+1)不成立;对于C.利用y=x3在R上单调递增,可得x3>y3,正确;对于D.取y=﹣π,x=,但是sinx=,siny=,sinx>siny不成立,不正确.故选:C.【点评】:本题考查了函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.6.(5分)设函数f(x)满足f(x+π)=f(x)+cosx,当0≤x≤π时,f(x)=0,则f()=()A.B.C.0 D.﹣【考点】:抽象函数及其应用;函数的值.【专题】:函数的性质及应用.【分析】:利用已知条件,逐步化简所求的表达式,转化为0≤x≤π时,f(x)=0,以及利用诱导公式可求函数值即可.【解析】:解:∵函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+cosx,当0≤x<π时,f(x)=1,∴f()=f()=f()+cos=f()+cos+cos=f()+cos+cos=f()+cos+cos=f()+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣.故选:D.【点评】:本题考查抽象函数以及函数值的求法,诱导公式的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.7.(5分)若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a8=()A.45 B.9 C.﹣45 D.﹣9【考点】:二项式定理的应用.【专题】:二项式定理.【分析】:先凑成二项式,再利用二项展开式的通项公式求出(x+1)8的系数,即为所求.【解析】:解:a8 是x10=[﹣1+(x+1)]10的展开式中第九项(x+1)8 的系数,∴a8==45,故选:A.【点评】:本题主要考查二项展开式的通项公式,二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质,属于基础题.8.(5分)某班有50名学生,一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102),已知P(95≤ξ≤105)=0.32,估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A.10 B.9 C.8 D.7【考点】:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】:计算题;概率与统计.【分析】:根据考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102).得到考试的成绩ξ关于ξ=105对称,根据P(95≤ξ≤105)=0.32,得到P(ξ≥105)=(1﹣0.64)=0.18,根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数.【解析】:解:∵考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102).∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称,∵P(95≤ξ≤105)=0.32,∴P(ξ≥105)=(1﹣0.64)=0.18,∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9故选:B.【点评】:本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题,解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称,利用对称写出要用的一段分数的频数,题目得解.9.(5分)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B 处的切线斜率为1,则线段|AF|=()A. 1 B.2 C. 3 D.4【考点】:抛物线的简单性质.【专题】:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:利用抛物线C在点B处的切线斜率为1,求出B的坐标,可得直线l的方程,利用抛物线的定义,即可求出|AF|.【解析】:解:∵x2=2y,∴y′=x,∴抛物线C在点B处的切线斜率为1,∴B(1,),∵x2=2y的焦点F(0,),准线方程为y=﹣,∴直线l的方程为y=,∴|AF|=1.故选:A.【点评】:本题考查抛物线的简单性质,考查导数知识,正确运用抛物线的定义是关键.10.(5分)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(﹣∞,﹣1)C.(﹣1,1)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【考点】:利用导数研究函数的单调性;导数的运算.【专题】:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】:令F(x)=f(x)﹣2x﹣1,从而求导可判断导数F′(x)=f′(x)﹣2<0恒成立,从而可判断函数的单调性,从而可得当x>1时,F(x)<F(1)=0,从而得到不等式f(x)<2x+1的解集.【解析】:解:令F(x)=f(x)﹣2x﹣1,则F′(x)=f′(x)﹣2,又∵f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2,∴F′(x)=f′(x)﹣2<0恒成立,∴F(x)=f(x)﹣2x﹣1是R上的减函数,又∵F(1)=f(1)﹣2﹣1=0,∴当x>1时,F(x)<F(1)=0,即f(x)﹣2x﹣1<0,即不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞);故选A.【点评】:本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用,属于中档题.二、填空题:(本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.)11.(5分)阅读右侧程序框图,输出的结果i的值为7.【考点】:程序框图.【专题】:算法和程序框图.【分析】:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,i的值,当S=256时,满足条件S≥100,退出循环,输出i的值为7.【解析】:解:模拟执行程序框图,可得S=1,i=3不满足条件S≥100,S=8,i=5不满足条件S≥100,S=256,i=7满足条件S≥100,退出循环,输出i的值为7.故答案为:7.【点评】:本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环S,i的值是解题的关键,属于基础题.12.(5分)8名支教名额分配到三所学校,每个学校至少一个名额,且甲学校至少分到两个名额的分配方案为15(用数字作答)【考点】:计数原理的应用.【专题】:排列组合.【分析】:8人分成三组有可以分为(6,1,1),(5,2,1),(4,3,1),(4,2,2),(3,3,2)共5类,根据分类计数原理即可求出【解析】:解:8名支教名额分配到三所学校,每个学校至少一个名额,则8人可以分为(6,1,1),(5,2,1),(4,3,1),(4,2,2),(3,3,2),∵甲学校至少分到两个名额,第一类是1种,第二类有4种,第三类有4种,第四类有3种,第五类也有3种,根据分类计数原理可得,甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种故答案为:15.【点评】:本题考查了分类计数原理得应用,关键是分类,属于基础题.13.(5分)已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为3π.【考点】:球的体积和表面积.【专题】:计算题;空间位置关系与距离.【分析】:将三棱锥放入棱长为的正方体,可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球,根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为,由此算出内切球半径,用公式即可得到该球的表面积.【解析】:解:将棱长均为3的三棱锥放入棱长为的正方体,如图∵球与三棱锥各条棱都相切,∴该球是正方体的内切球,切正方体的各个面切于中心,而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点由此可得该球的直径为,半径r=∴该球的表面积为S=4πr2=3π故答案为:3π【点评】:本题给出棱长为3的正四面体,求它的棱切球的表面积,着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识,属于基础题.14.(5分)在三角形ABC中,已知AB=4,AC=3,BC=6,P为BC中点,则三角形ABP的周长为7+.【考点】:余弦定理;正弦定理.【专题】:解三角形.【分析】:如图所示,设∠APB=α,∠APC=π﹣α.在△ABP与△APC中,由余弦定理可得:AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα,AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos(π﹣α),可得AB2+AC2=2AP2+,代入即可得出.【解析】:解:如图所示,设∠APB=α,∠APC=π﹣α.在△ABP与△APC中,由余弦定理可得:AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα,AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos(π﹣α),∴AB2+AC2=2AP2+,∴42+32=2AP2+,解得AP=.∴三角形ABP的周长=7+.故答案为:7+.【点评】:本题考查了余弦定理的应用、中线长定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.(5分)定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:(1)f(2x)=2f(x);(2)当2≤x≤4时,f (x)=1﹣|x﹣3|,则集合S={x|f(x)=f(34)}中的最小元素是6.【考点】:函数解析式的求解及常用方法;函数的值.【专题】:函数的性质及应用.【分析】:先利用f(2x)=2f(x),求出f(34)的值,再根据f(x)=1﹣|x﹣3|,求出f(x)=f(34)时x的最小值.【解析】:解:根据题意,得;∵f(2x)=2f(x),∴f(34)=2f(17)=4f()=8f()=16f();又∵当2≤x≤4时,f(x)=1﹣|x﹣3|,∴f()=1﹣|﹣3|=,∴f(2x)=16×=2;当2≤x≤4时,f(x)=1﹣|x﹣3|≤1,不存在;当4≤x≤8时,f(x)=2f()=2[1﹣|﹣3|]=2,解得x=6;故答案为:6.【点评】:本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题,是基础题目.三、解答题:(本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<)图象如图,P是图象的最高点,Q为图象与x轴的交点,O为原点.且|OQ|=2,|OP|=,|PQ|=.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)将函数y=f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[0,2]时,求函数h(x)=f(x)•g(x)的最大值.【考点】:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的最值.【专题】:三角函数的图像与性质.【分析】:(Ⅰ)由余弦定理得cos∠POQ 的值,可得sin∠POQ,求出P的坐标可得A的值,再由函数的周期求出ω的值,再把点P的坐标代入函数解析式求出φ,即可求得y=f(x)的解析式.(Ⅱ)求出g(x)的解析式,化简h(x)=f(x)g(x)的解析式为sin(﹣)+,再根据x的范围求出h(x)的值域,从而求得h(x)的最大值.【解析】:解:(Ⅰ)由余弦定理得cos∠POQ==,…(2分)∴sin∠POQ=,得P点坐标为(,1),∴A=1,=4(2﹣),∴ω=.…(5分)由f()=sin(+φ)=1 可得φ=,∴y=f(x)的解析式为f(x)=sin(x+).…(6分)(Ⅱ)根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律求得g(x)=sin x,…(7分)h(x)=f(x)g(x)=sin(x+)sin x=+sin xcos x=+sin=sin(﹣)+.…(10分)当x∈[0,2]时,∈[﹣,],∴当,即x=1时,hmax(x)=.…(12分)【点评】:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+∅)的部分图象求函数的解析式,函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.17.(12分)如图,在几何体SABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值;(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.【考点】:直线与平面所成的角;与二面角有关的立体几何综合题.【专题】:证明题;转化思想.【分析】:如图,过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,分别以DC,DE,DA为x,y,z轴建立空间上角坐标系,(1)设平面SAB的法向量为,利用,得,设SC与平面SAB所成角为θ,通过,求出SC与平面SAB所成角的正弦值为.(2)设平面SAD的法向量为,利用,得.利用,求出平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.【解析】:解:如图,过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,分别以DC,DE,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,则点S到y轴的距离为1,到x轴的距离为.则有D(0,0,0),,A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1).(4分)(1)设平面SAB的法向量为,∵.则有,取,得,又,设SC与平面SAB所成角为θ,则,故SC与平面SAB所成角的正弦值为.(9分)(2)设平面SAD的法向量为,∵,则有,取,得.∴,故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.(14分)【点评】:本题是中档题,考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法,考查空间想象能力,计算能力,熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键.18.(12分)某游乐场有A、B两种闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立进行游戏A,丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为,丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(1)求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率;(2)记游戏A、B被闯关总人数为ξ,求ξ的分布列和期望.【考点】:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.【专题】:综合题;概率与统计.【分析】:(1)利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率.(2)ξ可取0,1,2,3,4,分别求出其概率,能求出ξ的分布列和期望.【解析】:解:(1).(2)ξ可取0,1,2,3,4,P(ξ=0)=(1﹣)2(1﹣)2=;P(ξ=1)=()(1﹣)()2+(1﹣)2=;P(ξ=2=++=;P(ξ=3)==;P(ξ=4)==.∴ξ的分布列为:ξ0 1 2 3 4PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=.【点评】:本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率,等可能事件的概率,体现了分类讨论的数学思属于中档题.19.(12分)已知数列{an}中,a1=1,且an+an+1=2n,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前n项和Sn,求S2n.【考点】:数列的求和;数列递推式.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:(1)由a1=1,且an+an+1=2n,可得当n≥2时,.an+1﹣an﹣1=2n﹣1,当n为偶数2k(k∈N*)时,a2k=(a2k﹣a2k﹣2)+(a2k﹣2﹣a2k﹣4)+…+(a6﹣a4)+(a4﹣a2)+a2,即可得出;当n为奇数时,由,可得,即可得出.(2)利用S2n=(a2+a4+…+a2n)+(a1+a3+…+a2n﹣1)=(a2+a4+…+a2n)+[(2﹣a2)+(23﹣a4)+…+(a2n﹣1﹣a2n)],即可得出.【解析】:解:(1)∵a1=1,且an+an+1=2n,∴当n≥2时,.∴an+1﹣an﹣1=2n﹣1,当n=1,2,3时,a1+a2=2,a2+a3=22,.解得a2=1,a3=3,a4=5.当n为偶数2k(k∈N*)时,a2k=(a2k﹣a2k﹣2)+(a2k﹣2﹣a2k﹣4)+…+(a6﹣a4)+(a4﹣a2)+a2=22k﹣2+22k﹣4+…+24+22+1==.当n为奇数时,,∴,∴(k∈N*).(2)S2n=(a2+a4+…+a2n)+(a1+a3+…+a2n﹣1)=(a2+a4+…+a2n)+[(2﹣a2)+(23﹣a4)+…+(a2n﹣1﹣a2n)]=2+23+…+22n﹣1==.【点评】:本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”,考查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.(13分)已知函数g(x)=f(x)+﹣bx,函数f(x)=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直.(1)求实数a的值;(2)若函数g(x)存在单调递减区间,求实数b的取值范围;(3)设x1、x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,若b,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.【考点】:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【专题】:函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】:(1)由f′(x)=1+,利用导数的几何意义能求出实数a的值;(2))由已知得g′(x)=+x﹣(b﹣1)=,x>0,由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,即x++1﹣b<0有解,由此能求出实数b的取值范围;(3)由g′(x)=+x﹣(b﹣1)=,x>0,由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,x>0,设μ(x)=x2﹣(b﹣1)x+1,由此利用构造成法和导数性质能求出g(x1)﹣g(x2)的最小值.【解析】:解:(1)∵f(x)=x+alnx,∴f′(x)=1+,∵f(x)在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直,∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,解得a=1.(2)∵g(x)=lnx+x2﹣(b﹣1)x,∴g′(x)=+x﹣(b﹣1)=,x>0,由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,即x++1﹣b<0有解,∵定义域x>0,∴x+≥2,x+<b﹣1有解,只需要x+的最小值小于b﹣1,∴2<b﹣1,解得实数b的取值范围是{b|b>3}.(3)∵g(x)=lnx+x2﹣(b﹣1)x,∴g′(x)=+x﹣(b﹣1)=,x>0,由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,x1+x2=b﹣1,x1x2=1,∵x>0,设μ(x)=x2﹣(b﹣1)x+1,则μ(0)=[ln(x1+x12﹣(b﹣1)x1]﹣[lnx2+x22﹣(b﹣1)x2] =ln+(x12﹣x22)﹣(b﹣1)(x1﹣x2)=ln+(x12﹣x22)﹣(x1+x2)(x1﹣x2)=ln﹣(﹣),∵0<x1<x2,∴设t=,0<t<1,令h(t)=lnt﹣(t﹣),0<t<1,则h′(t)=﹣(1+)=<0,∴h(t)在(0,1)上单调递减,又∵b≥,∴(b﹣1)2≥,由x1+x2=b﹣1,x1x2=1,可得t+≥,∵0<t<1,∴由4t2﹣17t+4=(4t﹣1)(t﹣4)≥0得0<t≤,∴h(t)≥h()=ln﹣(﹣4)=﹣2ln2,故g(x1)﹣g(x2)的最小值为﹣2ln2.【点评】:本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值,考查函数的最小值的求法,解题时要认真审题,注意函数的单调性的合理运用.21.(14分)如图,F1,F2是椭圆C:+y2=1的左、右焦点,A,B是椭圆C上的两个动点,且线段AB的中点M在直线l:x=﹣上.(1)若B的坐标为(0,1),求点M的坐标;(2)求•的取值范围.【考点】:椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算.【专题】:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:(1)先求得A点的横坐标为﹣1,代入椭圆方程+y2=1,解得y的值,可得A 的纵坐标,再根据中点公式求得M的坐标.(2)当AB垂直于x轴时,易得•的值.当AB不垂直于x轴时,设AB的斜率为k,M(﹣,m),由可得k=,可得AB的方程为y=x+①.把①代入椭圆方程化简利用韦达定理,由判别式大于零,求得m2的范围,化简•为.令t=1+8m2,则1<t<8,再根据函数的单调性求得•=[3t+]的范围.【解析】:解:(1)∵B的坐标为(0,1),且线段AB的中点M在直线l:x=﹣上,∴A点的横坐标为﹣1,代入椭圆方程+y2=1,解得y=±,故点A(﹣1,)或点A(﹣1,﹣).∴线段AB的中点M(﹣,+)或(﹣,﹣).(2)由于F1(﹣1,0),F2(1,0),当AB垂直于x轴时,AB的方程为x=﹣,点A(﹣,﹣)、B(﹣,),求得•=.当AB不垂直于x轴时,设AB的斜率为k,M(﹣,m),A(x1,y1 ),B (x2,y2),由可得(x1+x2)•2(y1+y2)•=0,∴﹣1=4mk=0,即k=,故AB的方程为y﹣m=(x+),即y=x+①.再把①代入椭圆方程+y2=1,可得x2+x+•=0.由判别式△=1﹣>0,可得0<m2<.∴x1+x2=﹣1,x1•x2=,y1•y2=(•x1+)(x2+),∴•=(x1﹣1,y1 )•(x2﹣1,y2)=x1•x2+y1•y2﹣(x1+x2)+1=.令t=1+8m2,则1<t<8,∴•==[3t+].再根据[3t+]在(1,)上单调递减,在(,8)上单调递增求得[3t+]的范围为[,).综上可得,[3t+]的范围为[,).【点评】:本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,两个向量的数量积公式的应用,直线和二次曲线的关系,考查计算能力,属于难题.。
甘肃省天水市秦安二中高三数学上学期期中试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某市秦安二中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设全集U=R,A={x|2x(x﹣2)<1},B={x|y=ln(1﹣x)},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x≥1}B.{x|x≤1}C.{x|0<x≤1}D.{x|1≤x<2}考点:Venn图表达集合的关系及运算.专题:计算题;集合.分析:由题意,2x(x﹣2)<1,1﹣x>0,从而解出集合A、B,再解图中阴影部分表示的集合.解答:解:∵2x(x﹣2)<1,∴x(x﹣2)<0,∴0<x<2;∴A={x|2x(x﹣2)<1}=(0,2);又∵B={x|y=ln(1﹣x)}=(﹣∞,1),∴图中阴影部分表示的集合为D.p是真命题,¬p:∃x0∈(0,),f(x0)≥0考点:复合命题的真假;命题的否定.专题:应用题.分析:由三角函数线的性质可知,当x∈(0,)时,sinx<x可判断p的真假,根据全称命题的否定为特称命题可知¬p.解答:解:由三角函数线的性质可知,当x∈(0,)时,sinx<x∴3sinx<3x<πx∴f(x)=3sinx﹣πx<0即命题p:∀x∈(0,),f(x)<0为真命题根据全称命题的否定为特称命题可知¬p:∃x0∈(0,),f(x0)≥0故选D点评:本题看出命题真假的判断,本题解题的关键是先判断出条件中所给的命题的真假,本题是一个基础题.3.定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2)且x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=( )A.1 B.C.﹣1 D.﹣考点:函数的周期性;奇偶函数图象的对称性.专题:计算题.分析:根据对数函数的单调性,我们易判断出log220∈(4,5),结合已知中f(﹣x)=﹣f (x),f(x﹣2)=f(x+2)且x∈(﹣1,0)时,利用函数的周期性与奇偶性,即可得到f(log220)的值.解答:解:∵定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),∴函数f(x)为奇函数又∵f(x﹣2)=f(x+2)∴函数f(x)为周期为4是周期函数又∵log232>log220>log216∴4<log220<5∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2)=﹣f(﹣log2)=﹣f(log2)又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,∴f(log2)=1故f(log220)=﹣1故选C点评:本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性,其中根据已知中f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2)判断函数的奇偶性,并求出函数的周期是解答的关键.4.数列{a n}中,a3=2,a7=1,且数列{}是等差数列,则a11等于( ) A.B.C.D.5考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:设公差为d,则由=+4d,解得 d=,再由=+4d 求出a11的值.解答:解:∵数列{a n}中,a3=2,a7=1,且数列{}是等差数列,设公差为d,则=+4d,解得 d=.故=+4d=+4d=,∴a11=.故选 B.点评:本题主要考查等差数列的定义和性质、通项公式,求出公差的值,是解题的关键,属于基础题.5.在△ABC中,已知AB=4,则△ABC的面积是( ) A.B.C.或D.考点:正弦定理的应用.专题:解三角形.分析:在△ABC中,由余弦定理可得BC的值,再由△ABC的面积为×AB×BC×sinB 运算求得结果.解答:解:在△ABC中,由余弦定理可得42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°,解得 BC=4,或BC=8.当BC=4时,△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×4×=4,当BC=8时,△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8,故选C.点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.6.命题p:函数y=lg(x+﹣3)在区间解答:解:过点D作DF⊥AB于点F,在Rt△AFD中,易知AF=1,∠A=45°,梯形的面积,扇形ADE的面积,则丹顶鹤生还的概率,故选B.点评:本题考查几何概型的应用,几何图形的面积的求法,考查计算能力.9.已知函数y=f(x)对任意的x∈(﹣,)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( )A.f(﹣)<f(﹣)B.f()<f() C.f(0)>2f()D.f(0)>f()考点:利用导数研究函数的单调性.专题:导数的综合应用.分析:根据条件构造函数g(x)=,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论.解答:解:构造函数g(x)=,则g′(x)==(f′(x)cosx+f(x)sinx),∵对任意的x∈(﹣,)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0,∴g′(x)>0,即函数g(x)在x∈(﹣,)单调递增,则g(﹣)<g(﹣),即,∴,即f(﹣)<f(﹣),故A正确.g(0)<g(),即,∴f(0)<2f(),故选:A.点评:本题主要考查函数单调性的应用,利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较强,有一点的难度.10.对于定义域为的函数f(x),如果同时满足以下三个条件:①对任意的x∈,总有f(x)≥0②f(1)=1③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立;则称函数f(x)为理想函数.下面有三个命题:若函数f(x)为理想函数,则f(0)=0;函数f(x)=2x﹣1(x∈)是理想函数;若函数f(x)是理想函数,假定存在x0∈,使得f(x0)∈,且f=x0,则f(x0)=x0;其中正确的命题个数有( )A.0个B.1个C.2个D.3个考点:命题的真假判断与应用.专题:简易逻辑.分析:(1)由①知:f(0)≥0;由③知f(0)≤0,从而得到f(0)=0;(2)由题设知g(1)=1;由x∈知2x∈,得g(x)∈,有g(x)≥0;设x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则≥1,≥1;由此能够证明函数g(x)=2x﹣1在区间上同时适合①②③;(3)若f(x0)>x0,则由题设知f(x0)﹣x0∈,且由①知f≥0,由此入手能证明f(x0)=x0.解答:解:(1)由①知:f(0)≥0;由③知:f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,∴f(0)=0;(2)证明:由题设知:f(1)=2﹣1=1,由x∈知2x∈,得f(x)∈,有f(x)≥0,设x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则≥1,≥1.∴f(x1+x2)﹣=(﹣1)﹣=(﹣1)(﹣1)≥0,即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2).∴函数g(x)=2x﹣1在区间上同时适合①②③;(3)证明:若f(x0)>x0,则由题设知:f(x0)﹣x0∈,且由①知f≥0,由题设及③知:x0=f(f(x0))=f≥f+f(x0)≥f(x0),矛盾;若f(x0)<x0,则由题设知:x0﹣f(x0)∈,且由①知f≥0,同理得:f(x0)=f=f+f(f(x0))≥f(f(x0))=x0,矛盾.故由上述知:f(x0)=x0.∴正确命题的个数由3个.故选:D.点评:本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用,关键是对题意的理解,是压轴题.二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在题中的横线上11.过原点作曲线y=e x的切线,则切线方程为y=ex.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:计算题.分析:欲求切点的坐标,先设切点的坐标为( x0,e x0),再求出在点切点( x0,e x0)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=x0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后利用切线过原点即可解决问题.解答:解:y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0),切线的斜率为k,则k=e x0,故切线方程为y﹣e x0=e x0(x﹣x0)又切线过原点,∴﹣e x0=e x0(﹣x0),∴x0=1,y0=e,k=e.则切线方程为y=ex故答案为y=ex.点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.12.角α的终边过P(sin,cos),则角α的最小正值是.考点:任意角的三角函数的定义.专题:三角函数的求值.分析:依题意可得P(,﹣)为第四象限,从而可得角α的最小正值.解答:解:∵sin=,cos=﹣,∴P(,﹣)为第四象限,由cosα==cos(2π﹣)=cos(),sinα=﹣=sin得角α的最小正值是α=,故答案为:.点评:本题考查任意角的三角函数的定义,考查诱导公式的应用,属于中档题.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为200.考点:由三视图求面积、体积.专题:规律型.分析:由三视图可知该几何体为四棱柱,然后根据棱柱体积公式计算体积即可.解答:解:由三视图可知该几何体为平放的四棱柱,其中以侧视图为底.底面为等腰梯形,梯形的上底长为2,下底长为8,梯形的高为4,棱柱的高为10.∴梯形的面积为,∴棱柱的体积为20×10=200.故答案为:200.点评:本题主要考查三视图的识别和判断,以及棱柱的体积公式,利用三视图确定几何体的直观图是解决此类问题的关键.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2(a n+1),则a7=﹣128.考点:数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:当n=1时,可求得a1=﹣2,当n≥2时,可求得=2;从而可得数列{a n}是﹣2为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为:a n=﹣2n,问题可解决.解答:解:∵s n=2(a n+1),∴当n=1时,a1=2(a1+1),解得a1=﹣2,当n≥2时,a n=s n﹣s n﹣1=2a n﹣2a n﹣1,∴=2;∴数列{a n}是﹣2为首项,2为公比的等比数列,∴a n=﹣2n.∴a7=﹣27=﹣128.故答案为:﹣128.点评:本题考查数列的递推关系与等比数列的通项公式,解决的关键是对已知的递推关系分n=1与n≥2两种情况讨论,从而得到{a n}为等比数列,并求得通项公式,问题得以解决.15.设实数x,y满足约束条件,若目标函数z=(a2+b2)x+y的最大值为8,则a+b的最小值为.考点:简单线性规划.专题:数形结合;不等式的解法及应用.分析:由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得到a2+b2=4,由不等式求出a+b的X围,则答案可求.解答:解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=(a2+b2)x+y为直线方程的斜截式y=﹣(a2+b2)x+z.由图可知,当直线y=﹣(a2+b2)x+z过C时直线在y轴上的截距最大,z最大.联立,得C(1,4),∴a2+b2+4=8,即a2+b2=4.∵(a+b)2≤2(a2+b2)=8,∴.∴a+b的最小值为﹣.故答案为:.点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.16.已知命题p:函数f(x)=lg(x2﹣4x+a2)的定义域为R;命题q:∀m∈,不等式恒成立,如果命题“p∨q“为真命题,且“p∧q”为假命题,则实数a 的取值X围是∪(2,6).考点:复合命题的真假.专题:简易逻辑.分析:根据对数函数的定义域,一元二次不等式的解和判别式△的关系,二次函数的最值即可求出命题p,q下的a的取值X围,根据p∨q为真,p∧q为假,即可得到p真q假和p假q 真两种情况,求出每种情况下的a的取值X围,再求并集即可.解答:解:若命题p为真,则x2﹣4x+a2>0的解集为R,∴△=16﹣4a2<0,解得a>2或a <﹣2;若命题q为真,因为m∈,所以,∵对于∀m∈,不等式恒成立,只需满足a2﹣5a﹣3≥3,解得a≥6或a≤﹣1;∵命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p,q一真一假;①当p真q假时,可得,解得2<a<6;②当p假q真时,可得,解得﹣2≤a≤﹣1;综合①②可得a的取值X围是∪(2,6).故答案为:∪(2,6).点评:考查对数函数的定义域,一元二次不等式的解和判别式△的关系,二次函数的最值,p∨q,p∧q的真假和p,q真假的关系.17.已知函数f(x)=e x﹣2x+a有零点,则a的取值X围是(﹣∞,2ln2﹣2].考点:函数零点的判定定理.专题:计算题;压轴题.分析:先讨论函数的单调性,得出函数的最值,由函数的最大值大于或等于零(或函数的最小值小于或等于零)得出a的取值X围.解答:解:f′(x)=e x﹣2,可得f′(x)=0的根为x0=ln2当x<ln2时,f′(x)<0,可得函数在区间(﹣∞,ln2)上为减函数;当x>ln2时,f′(x)>0,可得函数在区间(ln2,+∞)上为增函数,∴函数y=f(x)在x=ln2处取得极小值f(ln2)=2﹣2ln2+a,并且这个极小值也是函数的最小值,由题设知函数y=f(x)的最小值要小于或等于零,即2﹣2ln2+a≤0,可得a≤2ln2﹣2,故答案为:(﹣∞,2ln2﹣2].点评:利用导数工具讨论函数的单调性,是求函数的值域和最值的常用方法,本题可以根据单调性,结合函数的图象与x轴交点,来帮助对题意的理解.三、解答题:本大题共5小题,共65分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=.(1)求的值;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及其相应的x的值.考点:三角函数的最值.专题:三角函数的求值.分析:(1)由三角函数公式化简f(x),代值计算可得;(2)由﹣≤x≤逐步可得≤sin(x+)≤1,结合f(x)的解析式可得答案.解答:解:(1)化简可得=2sin(x++)+2=2sin(x+)+2,∴=2sin(+)+2=1(2)∵﹣≤x≤,∴≤x+≤,∴≤sin(x+)≤1∴当x+=时sin(x+)=1,即x=时,f(x)取最大值4;当x+=﹣时sin(x+)=﹣,即x=﹣时,f(x)取最小值1点评:本题考查三角函数的最值,涉及三角函数的化简及单调性,属基础题.。
【数学】甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期期中考试(理)
第二中学2016届高三上学期期中考试数学试题(理科)本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试用时120分钟第Ⅰ卷 (选择题,60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合,则( )A. B. C. D.2.下面关于复数iz +-=12的四个命题中的真命题为( ) 2:1=z p i z p 2:22=z p :3的共轭复数为1+i z p :4的虚部为-1A. 31,p pB. 21,p pC. 42,p pD. 43,p p 3.运行右面的程序框图相应的程序,输出的结果为( ) A .2- B .12C .1-D . 2 4.若的展开式中的系数是10,则的值是( ) A .1 B .12C .1-D .2 5. 下列结论错误..的是 ( ) A .命题p:“x R ∃∈,使得210x x ++<”,则;B. “”是“”的充分非必要条件; C .数列2,5,11,20,x ,47,……中的32x =; D . 已知则6.如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图 如图所示,则这个四棱锥的体积为( )}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ()R C S T =]1,2(-]4,(--∞]1,(-∞),1[+∞5(1)ax +3x a 2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥4x =2340x x --=,,21,a b R a b +∈+=218a b+≥A .1 B.2 C .3 D.47. 设f (x )=()1232,(2)log 1,(2)x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩,则不等式f (x )<2的解集为( ) A .(10,+∞) B .(-∞,1)∪[2,10) C .(1,2]∪(10,+∞) D .(1,10)8.已知函数y =x 3-3x +c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则c =( ) A .-2或2 B .-9或3 C .-1或1 D .-3或1 9.已知函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<,其部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别为 ( ) A .2,3πωϕ== B.2,6πωϕ==C .1,3πωϕ==D .1,6πωϕ==10. 已知由不等式组0240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7,定点M 的坐标为()1,2-,若N ∈Ω,O 为坐标原点,则OM ON ⋅的最小值是( ) A .8- B .7- C .6- D .4-11. 已知函数,下列结论中错误的是( )A .的图像关于点中心对称B .的图像关于直线对称C .的最大值为D .既是奇函数,又是周期函数 12.已知双曲线,为实轴顶点,是右焦点,是虚轴端点,若在线段上(不含端点)存在不同的两点)2,1(=i P i ,使得21A A P i ∆构成以为斜边的直角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分()cos sin 2f x x x =()y f x =(,0)π()y f x =2x π=()f x 32()f x 22221(0,0)x y a b a b -=>>12,A A F (0,)B b BF 12A A e (2,)+∞51(,)2++∞51(1,)2+51(2,)2+13、已知向量a 与向量b 的夹角为120,若()(2)a b a b +⊥-且2a =,则b 在a 上的投影为14、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足:当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时,总有12120()()x x f x f x -<-,则不等式()()1f x f x -<的解集为15.已知复数112z i =-,则12111z z z +=-的虚部是 . 16. 方程33x x k -=有3个不等的实根,则常数k 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知,其中,. (1)求的周期和单调递减区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为,,,求边长和的值().18.(10分)设是公差不为0的等差数列的前项和,已知,且成等比数列;(1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和。
【数学】甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期期中考试(文)
第二中学2016届高三上学期期中考试数学试卷(文科)本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<,则B A 等于( ) A .{|2}x x > B .{}02x x << C .{} 12x x << D .{|01}x x <<2.设复数z =2+b i (b ∈R)且z =22,则复数z 的虚部为 ( ) A. 2 B.±2i C.±2 D. ±223.已知函数()cos f x x b x =+,其中b 为常数.那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.若点在函数的图象上,则的值为( ) A 、 B.C. D. 5.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S 的值是( )A .102B .39C .81D .21(,9)a 3xy =tan6a π033136.已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 ( ) A 、—3 B.—2C.lD.-l7.为了得到函数的图像,只需把函数的图象( )A 、向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位8.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( ) A .1y x=B .x y e -=C .21y x =-+ D .lg ||y x = 9.已知,()()()a b f x x a x b >=--函数的图象如图,则函数()log ()a g x x b =+的图象可能为( )A B C D10.已知,2log 2,)21(,252.02.1===-c b a 则c b a ,,的大小关系为( )A .c a b <<B .b a c <<C .a b c <<D .a c b << 11.定义在R 上的函数()f x 在(-∞,2)上是增函数,且(2)f x +的图象关于错误!未找到引用源。
秦安县高二数学上学期第一次月考试题文科有答案
秦安县2015-2016高二数学上学期第一次月考试题(文科有答案)甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期第一次月考高二文科数学试卷(考试时间:120分钟;分值:150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知命题p:∀x∈R,xsinx,则p的否定形式为()A.∃x∈R,xsinxD.∀x∈R,xsinx2.到两定点的距离之和为8的点的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.直线3.下列说法中,正确的是()A.命题“若am2bm2,则ab”的逆命题是真命题B.已知x,则“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件C.命题“p∨q”为真命题,则“命题p”和“命题q”均为真命题D.已知x∈R,则“x1”是“x2”的充分不必要条件4.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为()A.24-32πB.24-π3C.24-πD.24-π25.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为()A.2B.3C.4D.56.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能7.下列各数中最小的数是()A.111111(2)B.210(6)C.1000(4)D.110(8)8.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级的数学测试平均分为() 分组[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)人数5152010频率0.10.30.40.2A.80B.81C.82D.839.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于()A.33B.23C.3D.110.执行右边的程序框图,若第一次输入的a的值为-1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A.0.2,0.2B.0.2,0.8C.0.8,0.2D.0.8,0.811.已知x与y之间的一组数据:x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程y^=2.1x+0.85,则m 的值为()A.0.85B.0.75C.0.6D.0.512.在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则()A.平面与平面垂直B.平面与平面所成的(锐)二面角为C.平面与平面平行D.平面与平面所成的(锐)二面角为第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:(本大题共6小题,每题5分,共30分,把最简答案填写在答题卡的横线上)13.已知中,,,,则边上的高线所在直线方程为___________________.14.已知圆C:与直线相切,且圆D与圆C关于直线对称,则圆D的方程是___________。
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期第一次检测考试化学试题(原卷版)
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三上学期第一次检测考试化学试题可能用到的相对原子质量:H 1 C 12 O 16 K 39 N 14 Na 23 Ca 40 Cl 35.5 Mg 24 Fe 56注意事项:1.本试题满分100分,考试时间90分钟。
2.考生答卷前务必用蓝、黑墨水笔或圆珠笔将班级、姓名、准考证号填写在试卷上。
3.交卷时只交试卷,不交试题,答案写在试题上的无效。
一、选择题:每小题只有一个选项符合题意。
每小题3分,共48分。
1.运用有关概念判断下列叙述正确的是()A.1molH2燃烧放出的热量为H2的燃烧热B.Na2SO3和H2O2的反应为氧化还原反应C.和互为同系物D.BaSO4的水溶液不导电,故BaSO4是弱电解质2.某学习兴趣小组讨论辨析以下说法,其中说法正确的是()①通过化学变化可以实现16O与18O间的相互转化②灼烧钠的化合物时,火焰呈黄色,发生化学反应③碱性氧化物一定是金属氧化物④只由一种元素组成的物质一定为纯净物⑤石墨和C60是同素异形体⑥糖类、蛋白质、油脂属于天然高分子化合物A.③⑤⑥B.①②C.③⑤D.①③④3.设N A为阿伏加德罗常数的值,下列叙述正确的是()A.标准状况下,33.6 L氟化氢中含有氟原子的数目为1.5N AB.常温常压下,7.0 g乙烯与丙烯的混合物中含有碳氢键的数目为N AC.50 mL 18.4 mol/L浓硫酸与足量铜微热反应,生成SO2分子的数目为0.46N AD.某密闭容器盛有0.1 mol N2和0.3 mol H2,在一定条件下充分反应,转移电子的数目为0.6N A 4.下列各组离子能在指定环境中大量共存的是()A.在c(HCO3-)=0.1 mol/L的溶液中:NH4+、AlO2-、Cl-、NO3-B.在由水电离出的c(H+)=1×10-12 mol/L的溶液中:Fe2+、ClO-、Na+、SO42-C.在加入铝粉产生H2的溶液中:SO42-、NO3-、Na+、NH4+D.在使红色石蕊试纸变蓝的溶液中:SO32-、CO32-、Na+、K+5.下列物质中,既能导电又属于强电解质的一组物质是()A.熔融MgCl2、熔融NaOHB.液氨、石灰水C.石墨、食醋D.稀硫酸、蔗糖A、3种B、4种C、5种D、以上都不对14、工业上将Na2CO3和Na2S以1:2的物质的量之比配成溶液,再通入SO2,可制取Na2S2O3,同时放出CO2。
【试题】高三数学上学期第一次检测考试试题文
【关键字】试题甘肃省天水市秦安县第二中学高三级第一次检测考试高三数学(文科)第I卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1、设集合A={1,2,4,6,8},B={1,2,3,5,6,7} ,则AB的子集个数为()A.3B.8 D.162、下列函数中,周期为π且在[0,]上是减函数的是()A.y=sin(x+) B.y=cos(x+) C.y=sin 2x D.y=cos 2x3、不等式≥2的解集为 ( )A.[-1,0) B.[-1,+∞)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞)4、函数y=f(2x-1)的定义域为[0,1],则f(x)的定义域为()A.[-1,1] B.[,1) C.[0,1] D.[-1,0]5、设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c6、、已知命题p:x2+2x﹣3>0;命题q:x>a,且¬q的一个充分不必要条件是¬p,则a的取值范围是()A.a≥1B.a≤ C.a≥﹣1 D.a≤﹣37、已知x,y为正实数,则( )A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgyB. 2lg(x+y)=2lgx·2lgyC. 2lgx·lgy=2lgx+2lgyD. 2lg(xy)=2lgx·2lgy8、函数y= () 的值域是( )A.(-∞,4) B.(0,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞)9、函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )10.若函数,若g(m)=0,则实数m的值等于()A.-3 B..-3或1 D.-1或311、下列命题错误的是()A.命题“若x2<1,则﹣1<x<的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1B.“am2<bm是”a<b”的充分不必要条件C.命题p:存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D .命题“p 或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题12、设f (x )是定义域为R 的偶函数,且对任意实数x ,恒有f (x+1)=﹣f (x ),已知x ∈(0,1)时,f (x )=(1﹣x ),则函数f (x )在(1,2)上 ( )A .是增函数,且f (x )<0B . 是增函数,且f (x )>0C .是减函数,且f (x )<0D . 是减函数,且f (x )>0第II 卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数的最小正周期为 .14.若x,y 满足约束条件 ,则z=2x+y 的最大值为 .15.椭圆()的右焦点关于直线的对称点在椭圆上,则椭圆的离心率是 .16.若曲线存在笔直于轴的切线,则实数的取值范围是_______.三、解答题(70分)17.(本小题满分12分)的内角所对的边分别为,向量与平行.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若求的面积.18.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖。
甘肃省天水市高三数学上学期第一学段考试试题 文
2017-2018学年度高三第一学期第一学段考试试题数 学(文)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{log (4)}A x y x ==-,{0}B x =>,则A B =I ( ) A .(3,4) B .(,1)-∞- C .(,4)-∞ D .(3,4)(,1)-∞-U2. “1a =”是“函数2()43f x x ax =-+在区间[2,)+∞上为增函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要3. 已知2sin 23α=,则2cos ()4πα+=( ) A .16 B .16 C .12 D .234. 曲线ln y x =在点1(,2)2-处的切线方程为( )A .23y x =-B .2y x = C. 2(1)y x =+ D .22y x =- 5. 定义域为R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=+,且(1)1f -=,则(2017)f =( )A .2B .1 C.-1 D .-26. 已知函数2()xf x e x =+,(e 为自然对数的底数),且(32)(1)f a f a ->-,则实数a 的取值范围是( )A .1(,)2+∞ B .1(,)2-∞ C. 13(,)(,)24-∞+∞U D .13(0,)(,)24+∞U7. 在ABC ∆中,4B π=,若b =ABC ∆面积的最大值是( )A .4+B .4 C. .2+8. 已知函数()sin 2f x x x =-,且3(ln )2a f =,21(log )3b f =,0.3(2)c f =,则( ) A .c a b >> B .a c b >> C. a b c >> D .b a c >>9.函数ln(1)y x =-的大致图象为( )10.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A .(,0)-∞ B .(0,)+∞ C. (0,1) D .1(0,)2二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 11.命题“x R ∃∈,10x +≥”的否定为 . 12. 若点(2,tan )θ在直线21y x =-上,则2sin cos 1sin θθθ=- . 13. 已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ,则实数k 的取值范围是 .14. 已知点P 为函数()xf x e =的图象上任意一点,点Q 为圆222(1)1x e y --+=上任意一点(e 为自然对数的底),则线段PQ 的长度的最小值为 .三、解答题 (本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知函数23()sin 22f x x x =-(1)求函数()f x 的解析式及其最小正周期; (2)当[0,]3x π∈时,求函数()f x 的增区间.16. 已知函数2()3)2sin 12x f x x ωϕωϕ+=++-(0ω>,0ϕπ<<)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为2π. (1)当(,)24x ππ∈-时,求()f x 的单调递减区间; (2)将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度,再把横坐标缩短到原点的12(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,当[,]126x ππ∈-时,求函数()g x 的值域.17. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且232cos cos a c bA B-=(1)若b B =,求a ;(2)若a =ABC ∆,求b c +. 18. 已知函数21()23ln 2f x x x x =--,211()322g x x x a =--(a R ∈) (1)若0x ∀>,()f x m ≥恒成立,求实数m 的取值范围;(2)设函数()()2()F x f x g x =-,若()F x 在[1,5]上有零点,求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DAAAC 6-10: CDDCD 11、12: 二、填空题11. x R ∀∈,10x +< 12. 3 13. 03k ≤< 14. 1 三、解答题15.利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简1()sin(2)62f x x π=-++,T π=;(2)∵52666x πππ≤+≤,∴ 1sin(2)126x π≤+≤,∴1()02f x -≤≤,∴函数()f x 的增区间是[,]63ππ16.解:(1)由题意可得:())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-,因为相邻量对称轴间的距离为2π,所以T π=,2ω=, 因为函数为奇函数,所以6k πϕπ-=,6k πϕπ=+,k Z ∈,因为0ϕπ<<,所以6πϕ=,函数()2sin 2f x x =,∵(,)24x ππ∈-,∴2(,)2x ππ∈-要使()f x 单调减,需满足22x ππ-<≤-,24x ππ-<≤-,所以函数的减区间为(,]24ππ--(2)由题意可得:()2sin(4)3g x x π=-∵126x ππ-≤≤,∴24333x πππ-≤-≤,∴1sin(4)3x π-≤-≤,∴()[g x ∈-即函数()g x 的值域为[- 17. 解:(1)由正弦定理得:2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C BA B A B--=⇒=, 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-,2(sin cos sin cos )2sin 3sin cos A B B A C C A +==,∵sin 0C ≠,∴2cos 3A =,则sin 3A =,∵b B =,∴由正弦定理得:5sin sin 3b a A B =•=(2)∵ABC ∆的面积为2,∴1sin 22bc A =,得3bc =,∵a =22463b c bc +-=,∴210()63b c bc +-=,即2()16b c +=∵0b >,0c >,∴4b c += 18.解:(1)由题意,得()f x 的定义域为(0,)+∞,2'323(1)(3)()2x x x x f x x x x x--+-=--==,∵0x >,∴'()f x ,()f x 随x 的变化情况如下表所以min ()(3)3ln 32f x f ==--,∵()f x m ≥在(0,)+∞上恒成立,∴3ln 32m ≤--. (2)函数()()2()F x f x g x =-在[1,5]上有零点,等价于方程()2()0f x g x -=在[1,5]上有解,化简,得2143ln 2x x x a -+=,设21()43ln 2h x x x x =-+ 则'3(1)(3)()4x x h x x --=-+=,∵0x >,∴'()h x ,()h x 随x 的变化情况如下表:且(1)2h =-,(3)3ln 32h =-,(5)3ln 52h =- 34(5)(1)3ln 54ln 5ln 0h h e -=-=->作出()h x在[1,5]上的大致图象,(如图所示)所以,当15153ln33ln522a-≤≤-时,2143ln2x x x a-+=在[1,5]上有解故实数a的取值范围是1515 [3ln3,3ln5]22--.。
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含答案
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高二年数学(文科)试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共36分)一、 选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上..........) 1.不等式111-≥-x 的解集为 ( ) A .(-∞,0]∪(1,+∞) B .[0,+∞)C .[0,1)∪(1,+∞)D .(-∞,0]∪[1,+∞)1.平面内有一长度为4的线段AB ,动点P 满足|PA|+|PB|=6,则点P 的轨迹是( )A .直线B .射线C .椭圆D .双曲线 2. “m<”是“方程x 2+x+m=0有实数解”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.在等差数列{a n }中,a 1+a 5=8,a 4=7,则a 5等于( )A. 3B. 7C. 10D. 11 4.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3, 0),离心率等于,则C 的方程是( )A .B .C .D .5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若c 2=(a ﹣b )2+6,C=,则△ABC的面积是( ) A .B .C .D .36.设m 、n 为实数,若m+n=2,则错误!未找到引用源。
的最小值为( ) A .18 B .6 C .2错误!未找到引用源。
D .9 7.下列命题中正确的是 ( ) A .函数xx y 1+=的最小值为2.B .函数2322++=x x y 的最小值为2.C .函数)0(432>--=x xx y 的最小值为342-. D .函数)0(432>--=x xx y 的最大值为342-. 8.在ABC ∆中,若2222sin sin b C c B +2cos cos bc B C =,则ABC ∆是 ( )A .等边三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形 9.如图所示,位于A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C 处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援,则θcos 等于 ( )A .721 B .1421 C .14213 D .282110.已知点O 为直角坐标系原点,P ,Q 的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ,则POQ ∠cos 取最小值时的POQ ∠的大小为 ( )A .6πB .4πC .3πD .2π11.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若2222c b a =+,则C cos 的最小值为 ( )A .23 B .22C .21 D .21- 12.已知2)1()(=-+x f x f ,)1()1()1()0(f nn f n f f a n +-+++= *)(N n ∈,则数列{}n a 的通项公式为 ( )A .1-=n a nB .n a n =C .1+=n a nD .2n a n =第II 卷(非选择题)二、填空题(每小题4分,共16分,将答案写在答题卡上..........)13.对∀x ∈R ,kx 2﹣kx ﹣1<0是真命题,则k 的取值范围是 _________ .14.若关于x 的不等式2x 2﹣3x+a <0的解集为{m ,1},则实数m= _________ . 15.已知椭圆的中心在原点,焦点在y 轴上,若其离心率为,焦距为8,则该椭圆的方程是 _________ . 16.设F 1和F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足∠F 1PF 2=90°,则△F 1PF 2的面积是 _________ .三、 解答题(本大题共5小题,共48分)17.(本小题8分)解关于x 的不等式0)1(2>--+a a x x ,)(R a ∈.18.(本小题8分)(1)若0>x ,0>y ,1=+y x ,求证:411≥+yx .(3分) (2)设x ,y 为实数,若122=++xy y x ,求y x +的最大值.(5分)19.(本小题10分)ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ,36cos =A ,2π+=A B .(1)求b 的值; (2)求ABC ∆的面积. 20.(本小题10分)已知单调递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是2a ,4a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若n n n a a b 21log =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求n S .21.已知数列{}n a 满足21=a ,1124+++=n n n a a ()*∈N n .(1,求证:数列{}n b 为等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)求满足240≥n a 的最小正整数n .高二级期中数学(文科)答案第I 卷(选择题)第II 卷(非选择题)二、填空题(每小题4分,共16分)13. 错误!未找到引用源。
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当 时, , 则 在 上单调递减;当 时, , 在 上单调递增. 时, 取得极大值为 ∴ 当
;当 时, 取得极小值为
.(2) ∵
= ,∴△= = .①若a≥1,则△≤0,∴ ≥0在R上恒成立,∴ f(x)在R上单调递增 .∵f(0) , , ∴当a≥1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点. ② 若a<1,则△>0,∴ = 0有两个不相等的实数根,不妨设为.∴. 变化时, 的取值情况如下表: x + f(x) ↗ ∵ ,∴ .∴ x1 0 极大值 (x1, x2) - ↘ x2 0 极小值 + ↗ 当
18.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额 的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球 和1个白球 的甲箱与装有2个红球 和2个白球 的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不 中奖。 (Ⅰ) 用球的标号列出所有可能的摸出结果; (Ⅱ) 有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于 不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由。 19.(本小题满分12分)如图,四棱锥 中,面EBA 面ABCD,侧面ABE是等腰直角三角形,,,, . (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求直线与面的所成角的正弦值.
≥0在R上恒成立,f(x)在R上单调递增 .计算f(0) , ,得到结论.② 若a<1,则△>0, = 0有两个不相等的实数根,不妨设为.有. 变化时, 的取值情况表.根据f(x1)·f(x2)>0, .作出结论.试题解析: (1)当 时, ,∴ 解得a> 给出当
.令 =0, 得 . 时, , 则 在 上单调递增; 当
20.(本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别为,点 在椭圆上, 且与轴垂直。 (1)求椭圆的方程; (2)过作直线与椭圆交于另外一点,求面积的最大值。 21.(本小题满分12分)已知函数 ( ∈ R). (1) 当 时,求函数
的极值; (2)若函数 的图象与 轴有且只有一个交点,求 的取值范围. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分,作答时请涂清清题号。 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在中,,以为直径的圆交于点,点是边的中点,连接交圆于 点.
=
. 同理
.∴
.令f(x1)·f(x2)>0, .而当 时, , 故当
解得a>
时, 函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述,a的取值范 围是 .考点:应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象,分类讨论思 想. 22.证明见解析 【解析】试题分析:证明DE是圆的切线,只需说明两点,第一DE过圆上 一点E,第二DE与半径OE垂直,如何证明呢?可考虑证明,由OD为的中 位线可知:,连接OE,有,OD为公共边,两个三角形全等,问题得证; 延长DO交圆于F,左边由切割线定理:,右边
(Ⅰ)求证:是圆的切线; (Ⅱ)求证:.
23.(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴 为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(为参 数). (Ⅰ)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; (Ⅱ)设点,若直线与曲线交于两点,且,求实数的值.
甘肃省天水市秦安县第二中学2016届高三级第一 次检测考试 高 三 数 学(文科)
第I卷(选择题) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、设集合A={1,2,4,6,8},B={1,2,3,5,6,7} ,则AB的子集个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.16 2、下列函数中,周期为π且在[0,]上是减函数的是( ) A.y=sin(x+) B.y=cos(x+) C.y=sin 2x D.y= cos 2x 3、不等式≥2的解集为 ( ) A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞) 4、函数y=f(2x-1)的定义域为[0,1],则f(x)的定义域为( ) A.[-1,1] B.[,1) C.[0,1] D.[- 1,0] 5、设a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c 6、、已知命题p:x2+2x﹣3>0;命题q:x>a,且¬q的一个充分不必要 条件是¬p,则a的取值范围是( ) A.a≥1 B. a≤1 C. a≥﹣1 D. a≤﹣3 7、已知x,y为正实数,则( ) A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgy B. 2lg(x+y)=2lgx·2lgy C. 2lgx·lgy=2lgx+2lgy D. 2lg(xy)=2lgx·2lgy 8、函数y= () A.(-∞,4) 的值域是( ) B.(0,+∞)
因为 ,所以 ,故 面积为 .解法二:由正弦定理,得 从而 又由 知 ,所以 故
, 所以 面积为 . 18.(Ⅰ)
(Ⅱ)说法不正确;【解析】试题分析:(Ⅰ)利用列举法列出所有可
能的结果即可;(Ⅱ)在(Ⅰ)中摸出的2个球都是红球的结果数,然 后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率,中奖概率大于不中奖 概率是错误的;试题解析:(Ⅰ)所有可能的摸出结果是:
第II卷(非选择题) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数
的最小正周期为 . 14.若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为 . 15.椭圆()的右焦点关于直线的对称点在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 16.若曲线存在垂直于 轴的切线,则实数 的取值范围是_______. 三、解答题(70分) 17.(本小题满分12分) 的内角 所对的边分别为 ,向量 与 平行. (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 求 的面积.
(Ⅱ)不正确,理由如下: 由(Ⅰ)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球 的结果为 共4种,所以中奖的概率为 ,不中奖的概率为 ,故这种说法不正确。【考点定位】概率统计 19.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)此问证明异 面直线垂直,可以转化为证明线面垂直,线线垂直,所以做取中点,连 接,,根据条件可证明:平面;(Ⅱ) 直线与面的所成角的正弦值, 所以可以根据等体积转化求点到平面的距离.试题解析:(Ⅰ)作交 于,连接,为等腰直角三角形 为中点,∥,四边形是边长为1的正方 形,(4分)(6分);(7分)(Ⅱ)记点C到面BDE的距离为由易求得 又(13分)直线与面的所成角的正弦值考点:1.线面垂直的判定定 理;2.线面角的计算;3.等体积转化.20.(1)(2)【解析】试题 分析:(1)本题考察的是求椭圆的标准方程,只需确定即可。本题根 据题目条件,,,∴,,从而确定椭圆的方程是。(2)本题考察的直 线与椭圆的位置关系,需要分直线的斜率不存在或斜率存在两种情况讨 论,根据弦长公式和点到直线的距离公式,表示出面积的表达式,从而 求出面积的最大值。试题解析:(1)有已知:,,∴,故椭圆方程为 (2)当斜率不存在时: 当AB斜率存在时:设其方程为: 由,得 由已 知:
即: 到直线的距离: ∴ ∵,∴,∴,∴此时 综上所求:当斜率不存在或斜率为零时,面积 取最大值为 21. (1)当 时, 取得极大值为
;当 时, 取得极小值为
. (2)a的取值范围是 . 【解析】试题分析:(1)遵循“求导数,求驻点,讨论驻点两侧导 数值符号,确定极值”.(2) 根据 = ,得到△= = .据此讨论:① 若a≥1,则△≤0, 此时
24.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 设函数. (Ⅰ)解不等式; (Ⅱ)若,使得,求实数的取值范围.
数学答案(文科) 1、C 2、D 3、A 4、A 5、D 6、A 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、D 13. 【解析】因为 ,所以 ,所以函数 的最小正周期为 .【考点定位】函数的周期,二倍角的余弦公式.【名师点睛】本题先 用二倍角的余弦公式把函数转化为 ,再根据 求周期.二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用. 14.8【解析】试题分析:不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形 区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时. 15.【解析】设关于直线的对称点为,则有,解得,所以在椭圆上,即 有,解得,所以离心率. 16.【解析】试题分析:存在垂直于y轴的切线,即是有极值点.,又, 当单调减,无极值,当有根,所以有极值点,存在垂直于y轴的切线. 则.考点:用导数求函数的极值. 17.(Ⅰ) ;(Ⅱ) .【解析】试题分析: (Ⅰ)因为
,问题得证;试题解析:(Ⅰ)连结.∵点是的中点,点是的中点, ∴,∴,.∵,∴,∴.在和中, ∵,,∴,即.∵是圆上一点,∴是圆的切线. (Ⅱ)延长交圆于点.∵≌,∴.∵点是的中点,∴.∵是圆的切线, ∴.∴. ∵,∴.∵是圆的切线,是圆的割线,∴,∴ 23.(1),;(2)或或 【解析】试题分析:首先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线 的参数方程中的参数消去化为普通方程,把直线的参数方程代入圆的标 准方程得到关于的一元二次方程,由于直线与圆有两个交点,方程有两 个实根,所以要求判别式为正,解得的范围,利用根与系数关系表示, 利用直线的参数方程参数的几何意义可知,解出后要求符合的范围即 可; 试题解析:(Ⅰ)由,得:,∴,即, ∴曲线的直角坐标方程为. 由,得,即,∴直线的普通方程为.(Ⅱ) 将代入,得:,整理得:,由,即,解得:.设是上述方程的两实根, 则,又直线过点,由上式及的几何意义得,解得:或,都符合,因此实 数的值为或或.考点:极坐标与参数方程; 24.(1),(2),【解析】试题分析:首先利用零点分区间讨论去掉 绝对值符号,化为分段形式,在每一个前提下去解不等式,每一步的解 都要和前提条件找交集得出每一步的解,最后把每一步最后结果找并集 得出不等式的解;根据第一步所化出的分段函数求出函数的最小值, 若,使得成立,只,解出实数的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)当时,,,即,解得,又,∴;当时,,,即,解 得,又,∴;当时,,,即,解得,又,∴.综上,不等式的解集为. (Ⅱ),∴.∵,使得,∴,整理得:,解得:, 因此的取值范围是.考点:不等式;