1.1 认识无理数演示文稿
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认识无理数课件
北师大版 数学 八年级上册
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
无理数课件
区别
定义不同
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，而无理数则无法表示为
有限小数或无限循环小数。
性质不同
有理数具有封闭性，即任何两个 有理数的四则运算结果仍为有理 数；而无理数则不具有封闭性， 例如√2与-√2相加结果仍是无理
数。
表示方式不同
有理数可以通过有限小数或无限 循环小数表示，而无理数则只能
在几何学中，圆的周长与其直径的比 值是$pi$，这是一个无理数。这意味 着我们无法用两个整数的比来表示圆 的周长与其直径的关系。
02
无理数的性质
无理数的加法性质
总结词
无理数的加法性质是指两个无理数相加，其结果仍是无理数。
详细描述
无理数的加法性质是基于实数的完备性定理，即任意两个无理数相加，其结果 仍是无理数，不会化简为有理数。例如，$sqrt{2} + sqrt{3}$ 仍是无理数。
通过无限不循环小数表示。
联系
01
02
03
实数包含关系
有理数和无理数共同构成 了实数的集合，即实数包 括有理数和无理数。
运算结果
在四则运算中，有理数和 无理数的运算结果可能是 有理数也可能是无理数， 取决于具体的运算过程。
数学应用
在几何学、三角学等领域 ，有理数和无理数都发挥 着重要的作用，共同构成 了数学的基础。
详细描述
无理数的加法运算与有理数的加法运算类似，需要将无理数表示为相同的分数形式或小数形式，然后 进行加法运算。例如，计算$sqrt{2} + sqrt{3}$时，可以将$sqrt{2}$表示为分数或小数，然后与 $sqrt{3}$相加。
无理数的乘法运算
总结词
无理数的乘法运算需要遵循实数的乘法 法则，包括正数乘正数、负数乘负数等 。
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
《认识无理数》实数PPT课件 (共16张PPT)
挫折的名言 1、 我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？——鲁迅 2、 “不耻最后”。即使慢，弛而不息，纵会落后，纵会失败，但一定可以达到他所向的目标。——鲁迅 3、 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 战胜挫折的名言 1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬 2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋 4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德 激励自己的座右铭 1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。 2、 要有梦想，即使遥远。 3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。 4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。 工作座右铭 1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》 2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。 3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。 4、 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。——屈原《离骚》 5、 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 国学经典名句 1、知我者，谓我心忧，不知我者，谓我何求。（诗经王风黍离） 2、人而无仪，不死何为。 （诗经风相鼠） 3、言者无罪，闻者足戒。 （诗经大序） 4、他山之石，可以攻玉。 （诗经小雅鹤鸣） 5、投我以桃，报之以李。 （诗经大雅抑） 6、天作孽，犹可违，自作孽，不可活。（尚书） 7、满招损，谦受益。 （尚书大禹谟） 青春座右铭 1、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 2、把手握紧，什么也没有；把手伸开，你就拥有了一切。 3、不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步。勇敢前进！ 4、当你能飞的时候就不要放弃飞。 5、当你能梦的时候就不要放弃梦。 激励向上人生格言 1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 2、世界会向那些有目标和远见的人让路。 3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。 5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。 6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。 激励自己的名言 1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 2、销售是从被别人拒绝开始的。 3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 6、有识有胆，有胆有识，知识与胆量是互相促进的。 7、体育锻炼可以（有时可以迅速）使人乐观（科学实验证明）。 8、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素） 9、自信是人格的核心。 10、获得的成功越大，就越令人高兴。
认识无理数ppt课件
新课引入
小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程 师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形 木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下 的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是 多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？
探究学习
核心知识点一 无理数的认识 讨论一：a，b是否存在，它们是有理数吗？
(3)借助计算器进行探索，过程整理如下，你的结果呢?
边长a 1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143
面积s 1<s<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225 1.99996164<s<2.00024449
解：(1)在整数10和11之间 (2)x精确到十分位时，x在10.2与10.3之间，x精确到百分位时，x 在10.29与10.30之间
9．如图，在3×3的方格网(每个小方格的边长均为1) 中有一阴影正方形， (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
解：(1)S阴影正方形＝3×3－12 ×1×2×4＝5 (2)介于2和3之间
随堂练习
1．下列各数中，是有理数的是( B ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
2．下列各数：π，0，0.23·，22，0.303 003 000 3…(每个 3 后增加 1 个 0)
《认识无理数》实数PPT教学课件
是有理数的线段
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
仿一仿
例：在数轴上表示满足
x2 2的
x 0
x
仿：在数轴上表示满足x2 5 x 0 的 x
赛一赛
下图是由五个单位正方形组成的纸片，
①②③⑤⑥
④⑦
⑦π+1, 其中有理数是______________，无理数是___________
5.观察图形，回答问题：
（1）x,y,z,w中，哪些是有理数，哪些是无理数？x2,y2,z2,w2的值分别是多少？
（2）根据你发现的斜边长度的表示规律，求出第n次作出的斜边长度的平方。
解：（1）因为图中的三角形都是直角三角形，由勾股定理得
x2=12+12=2,y2=2+12=3,z2=3+12=4,w2=4+12=5.
所以z是有理数，x,y,w是无理数；
（2）根据以上规律，第n次做出的斜边长度的平方是n+1.
6.
7.
课堂小结
1.掌握无理数的定义.
2.数的分类.（按小数的形式来分）
3.会判定一个数是无理数还是有理数.
4.会求一个无理数的近似值。
当3.6＜a＜3.7时，12.96＜a2＜13.69
∴a的十分位是6；
当3.60＜a＜3.61时，12.96＜a2＜13.032；
∴a的百分位是0；
当3.605＜a＜3.606时，12.996025＜a2＜13.003236，
∴a的千分位是5.
∴a≈3.61.
练一练
4
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
仿一仿
例：在数轴上表示满足
x2 2的
x 0
x
仿：在数轴上表示满足x2 5 x 0 的 x
赛一赛
下图是由五个单位正方形组成的纸片，
①②③⑤⑥
④⑦
⑦π+1, 其中有理数是______________，无理数是___________
5.观察图形，回答问题：
（1）x,y,z,w中，哪些是有理数，哪些是无理数？x2,y2,z2,w2的值分别是多少？
（2）根据你发现的斜边长度的表示规律，求出第n次作出的斜边长度的平方。
解：（1）因为图中的三角形都是直角三角形，由勾股定理得
x2=12+12=2,y2=2+12=3,z2=3+12=4,w2=4+12=5.
所以z是有理数，x,y,w是无理数；
（2）根据以上规律，第n次做出的斜边长度的平方是n+1.
6.
7.
课堂小结
1.掌握无理数的定义.
2.数的分类.（按小数的形式来分）
3.会判定一个数是无理数还是有理数.
4.会求一个无理数的近似值。
当3.6＜a＜3.7时，12.96＜a2＜13.69
∴a的十分位是6；
当3.60＜a＜3.61时，12.96＜a2＜13.032；
∴a的百分位是0；
当3.605＜a＜3.606时，12.996025＜a2＜13.003236，
∴a的千分位是5.
∴a≈3.61.
练一练
4
1.1 认识无理数(第一课时) 演示文稿
3、在数-3/4 ，-1.424242… ，π，3.1414 ，2/3 0.4² ，（-1）² n ，-1. 424224222….中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；
找一找
在下列正方形网格中，先找出长度为有 理数的线段，再找出长度不是有理数的 线段.
小结
整数 分数 有理数分为_____ 和______ ，是有限或无限循环 __________ 不能 转化成分数，是 小数；而无理数_____ 无限不循环 小数。 __________
a 究竟是个什么数？
分数化成小数，最终此小数的形式有几种
情况？
像0.585885888588885…，1.41421356…，－
2.2360679…等这些数的小数位数都是无限
的,但又不是循环的,而是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数.(圆周率π也是一
个无限不循环小数,故π是无理数)
有理数：有限小数或无限循环小数 数 无理数：无限不循环小数
第二章
实数
1. 认识无理数
想一想
.
1.一个整数的平方一定是整数吗？
.
2.一个分数的平方一定是分数吗？算一算1ຫໍສະໝຸດ x2x ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
拼一拼
议一议
a 2
2
a 可能是分数吗？
a
a aa
忆一忆
有理数包括：整数和分数 如果一个数既不是整数也不是分数， 那么这个数不是有理数 在 a² = 2 中，a不是有理数
整数 分数
例2 判断题
(1)有限小数是有理数;
找一找
在下列正方形网格中，先找出长度为有 理数的线段，再找出长度不是有理数的 线段.
小结
整数 分数 有理数分为_____ 和______ ，是有限或无限循环 __________ 不能 转化成分数，是 小数；而无理数_____ 无限不循环 小数。 __________
a 究竟是个什么数？
分数化成小数，最终此小数的形式有几种
情况？
像0.585885888588885…，1.41421356…，－
2.2360679…等这些数的小数位数都是无限
的,但又不是循环的,而是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数.(圆周率π也是一
个无限不循环小数,故π是无理数)
有理数：有限小数或无限循环小数 数 无理数：无限不循环小数
第二章
实数
1. 认识无理数
想一想
.
1.一个整数的平方一定是整数吗？
.
2.一个分数的平方一定是分数吗？算一算1ຫໍສະໝຸດ x2x ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
拼一拼
议一议
a 2
2
a 可能是分数吗？
a
a aa
忆一忆
有理数包括：整数和分数 如果一个数既不是整数也不是分数， 那么这个数不是有理数 在 a² = 2 中，a不是有理数
整数 分数
例2 判断题
(1)有限小数是有理数;
认识无理数(优质课)获奖课件
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无
限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
无理数的定义： 无限不循环小数称为无理数.
,
2
,
2 1
0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0） -168.323 223 222 3…（两个3之间依次多1个2）
估一估
7 3
0 整数有_________________________________
22 1 , ,0.3,0 有理数有_______________________________ 7 3
无理数有_______________________________
22 1 , , ,0.3,0 实数有_________________________________ 7 3
数，所以选项A,B,D都是有理数； 0.305 305 530 555 是无 限不循环小数，所以是无理数.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.
挫折像一把火，既可以把你的意志烧得更坚，
也可以把你的意志烧成粉末.
2 平面直角坐标系
第2课时
1.在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置.
你能在直角坐标系中描出它所对应的点吗？
有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应.
【例1】在下图的直角坐标系中描出下列各点，并把各 【例题】 点用线段依次连接起来.观察它是什么形状，并计算 它的面积（0，4），（-4，-1），（-9，3）.
y 【解析】形状为等腰直 角三角形，直角边的长 为 面积为
6
第二章
1实数ຫໍສະໝຸດ 认识无理数1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是
认识无理数课件
其他生活场景中无理数现象
在金融领域，无理数也经常出 现。例如，股票价格、汇率等 金融数据经常以小数形式表示 ，并且可能包含无限不循环的 小数部分，因此是无理数。
在音乐中，音高和音程可以用 频率来表示。这些频率值往往 是无理数，因为音乐的和谐性 要求精确的音高比例。
在物理学中，许多常数和公式 涉及到无理数。例如，圆周率π 是一个典型的无理数，它在计 算圆的周长、面积等时经常出 现。
03
忽视无理数的运算 规则
在进行无理数的运算时，需要注 意运算顺序和运算法则，避免出 现计算错误。
拓展延伸：无理数在数学领域更深层次应用
无理数与几何学
在几何学中，无理数常常出现在与 长度、面积和体积相关的计算中，
如勾股定理中的斜边长度等。
无理数与数学分析
在数学分析中，无理数的存在 对于极限、连续性和可微性等 概念的研究具有重要影响。
无理数与代数学
在代数学中，无理数是实数域的一 个重要组成部分，对于方程的求解 和函数的性质研究具有重要意义。
无理数与概率论
在概率论中，无理数可以作为 随机变量的取值，参与概率分
布和期望等统计量的计算。
THANK YOU
感谢聆听
无理数的判别方法
通过开方、求根、三角函数等特殊运算产生的数 ，若无法化简为有理数形式，则可判定为无理数 。
易错难点剖析指导
01
误将无限循环小数 当作无理数
无限循环小数是有理数的一种形 式，可以表示为两个整数的比值， 因此不是无理数。
02
误将带根号的数当 作无理数
带根号的数不一定是无理数，例 如√4=2是有理数。需要判断开 方后是否能得到有理数。
在几何图形中，通过构造符合黄金分割比例的线段或图形，可以创造出
《认识无理数》实数PPT教学课件3
第二章
实数
认识无理数
1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是
无理数. 2.能在数轴上表示某些简单的无理数.
把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
a
设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
【解析】因为S大正方形 2,
所以a 2.
2
议一议
上式中的a可能是整数吗？
a
a可能是分数吗？ 因为 a不是整数， a也不是分数， 所以 a不是有理数.
数，所以选项A,B,D都是有理数； 0.305 305 530 555 是无 限不循环小数，所以是无理数.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.
挫折像一把火，既可以把你的意志烧得更坚，
也可以把你的意志烧成粉末.
梦想的力量
当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进 并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活
成功，会在不期然间忽然降临！
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勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦 在知识的山峰上登得越高，眼前展现的景色就越壮观。 ──拉吉舍夫 正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。 ──托尔斯泰 知识就是力量。 ──培根 知识是引导人生到光明与真实境界的灯烛。 ──李大钊 只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。 ──华罗庚 只有满怀自信的人，才能在任何地方都怀有自信沉浸在生活中，并实现自己底意志。 ──高尔基 重要的不是知识的数量，而是知识的质量。有些人知道得很多，但却不知道最有用的东西。 ──托尔斯泰 追求真理比占有真理更加难能可贵。 ──爱因斯坦 走你的路，让别人去说罢！ ──但丁 最有成就的科学家都具有狂热者的热情。 ──贝弗里奇 昨天不能唤回来，明天还不确实，而能确有把握的就是今天。今日一天，当明日两天。 ──耶曼逊 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼· 罗兰 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 利用时间是一个极其高级的规律。 ──恩格斯 社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。──恩格斯 在马克思看来，科学是一种在历史上起推动作用的、革命的力量。任何一门理论科学中的每一个新发现，即使它的实际应用甚至还无法预见，都使马克思感到衷心的喜悦，但是当有了立即会对工业、对一般历史发展产生革命影响的时候，他的喜悦就完全不同了。
实数
认识无理数
1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是
无理数. 2.能在数轴上表示某些简单的无理数.
把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
a
设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
【解析】因为S大正方形 2,
所以a 2.
2
议一议
上式中的a可能是整数吗？
a
a可能是分数吗？ 因为 a不是整数， a也不是分数， 所以 a不是有理数.
数，所以选项A,B,D都是有理数； 0.305 305 530 555 是无 限不循环小数，所以是无理数.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.
挫折像一把火，既可以把你的意志烧得更坚，
也可以把你的意志烧成粉末.
梦想的力量
当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进 并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活
成功，会在不期然间忽然降临！
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勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦 在知识的山峰上登得越高，眼前展现的景色就越壮观。 ──拉吉舍夫 正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。 ──托尔斯泰 知识就是力量。 ──培根 知识是引导人生到光明与真实境界的灯烛。 ──李大钊 只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。 ──华罗庚 只有满怀自信的人，才能在任何地方都怀有自信沉浸在生活中，并实现自己底意志。 ──高尔基 重要的不是知识的数量，而是知识的质量。有些人知道得很多，但却不知道最有用的东西。 ──托尔斯泰 追求真理比占有真理更加难能可贵。 ──爱因斯坦 走你的路，让别人去说罢！ ──但丁 最有成就的科学家都具有狂热者的热情。 ──贝弗里奇 昨天不能唤回来，明天还不确实，而能确有把握的就是今天。今日一天，当明日两天。 ──耶曼逊 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼· 罗兰 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 利用时间是一个极其高级的规律。 ──恩格斯 社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。──恩格斯 在马克思看来，科学是一种在历史上起推动作用的、革命的力量。任何一门理论科学中的每一个新发现，即使它的实际应用甚至还无法预见，都使马克思感到衷心的喜悦，但是当有了立即会对工业、对一般历史发展产生革命影响的时候，他的喜悦就完全不同了。
北师大版八年级数学上册《认识无理数》第1课时示范公开课教学课件
正分数：如 ， ，5.2， …负分数：如 ， ，3.5，…
除了有理数外还有没有其他的数吗？
有理数
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
拼法一：
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
拼法二：
解析：如图：AB=1，AD=3，根据勾股定理：AE2=32+42=25，AE=5，∴线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段.
B
A
D
E
C
根据勾股定理得：AC2=12+12=2，AC2=2，∵ 1<AC2<4 ， ∴ AC不是整数；
∵ 两个相同最简分数的乘积为分数，而AC2=2，
∴ AC不是分数，即AC为长度不是有理数的线段. 同理可得：BE，CD为长度不是有理数的线段.
分析：一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1.
如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
(2) a可能是整数吗？说说你的理由.
∵ a2=2， 而12=1， 22=4， 32=9…∴ 12<a2<22 ， 1< a< 2∴ a不是整数.
a
取出一个三角形
(2) a可能是整数吗？说说你的理由.
a
a
a
a
从“形”的角度：
(3)a可能是分数吗？并与同伴进行交流.
， ， …
从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数， ∴ a不是分数.
数a，b确实存在，但都不是有理数.
2
1
b
a2=2
b2=5
a
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仿一仿
例：在数轴上表示满足 x2 2 x 0的 x
仿：在数轴上表示满足 x 5 x 0的 x
2
一、想一想
1.有理数如何分类？
整数(如1, 0, 2,3...) 有理数 9 2 1 分数（如 , , 0.5 … ) , 3 5 11 2.我们还学习过那些不同的数? 如 , 0.020020002... 如a2=2，b2=5中 圆周率 的a，b 不是整数，能不能化成分数呢？ 那么它们究竟是什么数呢？
课后探究：读一读，你有何收获?
24=25吗? 小明自豪地对同学说:“我可以证明24=25.”同学 们都觉得是天方夜谭.
小明取一张方格纸如下图(1),如图将它剪 开,然后拼成图(2)的正方形.同学们数了一下,图 (1)有24个方格,图(2)变成了25个方格.这把同学 们都搞闷了, 你能揭穿他的骗术吗?
个无限不循环小数,故π是无理数)
三、分一分
到目前为止所学过的数可以分为几类？
按小数的形式来分
整数 分数 无理数：无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数 数
四、辨一辨
例1 把下列各数填入相应的集合.
2 0.351, , 3
-5.232332…， . 3
..
4.96,
3.14159,
6
你想出来了吗？
事实上，3，4两块并不 密切合缝，拼成的正方 形缺少了图中的阴影部 分.
小 结 ：
1．在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，
不是有理数的数。
2.无理数的定义.
3.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？ 4.请把已学过的数怎样分类？
2
探索a是多少？
a =1.41421356…
请大家用上面的方法估计面积为5 的正方形的边长b的值.
又
b 5
2
探索b多少是？ b=2.23606797… 结论： a ，b不是整数，能不能表 示成分数呢？
活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几 种情况？ 请同学们以学习小组进行活动:一同学举出任意 一分数，另一同学将此分数化成小数.并总结此 小数的形式?
边长a
1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143
面积s
1<s<4
1.96<s<2.25
1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225 1.99996164<s<2.00024449
a2 2
a 2
D.面积为1.44的正方形.
例4 一个直角三角形两条直角边的长
分别是3和5,则斜边a是有理数吗? 解:由勾股定理得: a 2 3 2 5 2 即a2=34.因为34不是完全平
5 a
方数，所以a不是有理数.
3
五、练一练
1.课本P23随堂练习. 2.已知：将下列各数
3 2 , 3.1416, , , 5, 1.42, 4 3 2 2n 0, 4 , ( 1) , 1.424224222...
12334567891011…(由相继的正整数组成).
0.351,
3.14159,
…
.. 6， 4.96,
2 , 3
, 3 12334567891011
……
-5.232332…
有理数集合
无理数集合
例2 判断题
(1)有限小数是有理数; （ 对 ） (2)无限小数都是无理数; （ 错 ） (3)无理数都是无限小数; （ 对 ）
a 不是有理数 在 a 2 中，
2
找一找
在下列正方形网格中，先找出长度为有 理数的线段，再找出长度不是有理数的 线段.
画一画（1）
在下面的正方形网格中，画出一条 长度 是有理数的线段和一条长度不 是有理数的线段
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形 1．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数 3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数
,
,
a
...... ,
结果都为分数，所以a不可能是以3 为分母的分数。
a可能是分数吗? 试说出原因。
a
两个相同的最简分数的乘积仍然是分 数，所以a不可能是分数。
忆一忆
有理数包括：整数和分数 如果一个数既不是整数也不是分数， 那么这个数不是有理数
想一想
.
1.一个整数的平方一定是整数吗？
.
2.一个分数的平方一定是分数吗？
算一算
1
x整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
拼一拼
议一议
a
a aa
a 2
2
a可能是整数吗？ a 可能是分数吗？
a可能是整数吗?
二、活动与探究
活动1：面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?
a
1.5 1.4 1.45
a的平方
2.25 1.96 2.1025
1.44
1.43 1.42 1.41 1.415 1.414 1.4145 1.4144 1.4143 1.4142
2.0736
2.0449 2.0164 1.9881 2.002225 1.999396 2.00081025 2.00052736 2.00024449 1.99996164
无理数
.
探究活动
设半径为a的圆，面积为20π. (1)a是有理数吗?说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位,并利用你的计算 器验证你的估计）. (3)如果精确到百分位呢?
解：∵πa2=20π，∴ a2=20 . (1)a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分 数,而是无限不循环小数. (2)估计a≈4.4. (3)估计a≈4.47.
a
越来越大，
所以a不可能是整数
,
,
3 9，
2
a可能是以2为分母的分数吗?
,
a
a不可能是以2为分母
3 3 9 ...... 2 2 4,
结果都为分数，所以
的分数。
a可能是以3为分母的分数吗?
,
第二章
实数
1. 认识无理数
焦作市十第七中学 向淑会
学习目标：
1、通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数 的存在； 2、能判断三角形的某边长是否为无理数； 3、学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能 力和探索精神； 4、能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深 对有理数和无理数的理解； 5、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并 从中体会无限逼近的思想。 6、会判断一个数是有理数还是无理数
（1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，
并用符号“<”连接.
常见的无理数大致有以下几种存在形式:
1、特殊意义的数: 如π; 2、无限不循环小数如: 0.3030030003‥‥‥ ; 3、开方开不尽的数, 如: a2=2, a 是无理数 4、无理数与有理数的和或差一定是无理数 5、无理数乘以或除以不为零的有理数，结果仍是
(4)有理数是有限小数. （ 错）
强调
1.无理数是无限不循环小数，有理数是 有限小数或无限循环小数. 2.任何一个有理数都可以化成分数
p q
形式（ p≠0, p，q 为整数且互质），
而无理数则不能.
例3
以下各正方形的边长是无理数的是（
A.面积为25的正方形；
c）
4 B.面积为 的正方形； 25 C.面积为8的正方形；
结论：分数只能化成有限小数或 无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 所以a、b不是有理数。 像0.585885888588885…，1.41421356…，－ 2.2360679…等这些的小数位数都是无限的,但又 不是循环的,而是无限不循环小数.
无限不循环小数叫无理数.(圆周率π也是一