平面向量易错题解析汇报

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(规避易错题系列)第六章平面向量及其应用集(解析版)

【错因分析】对基底的概念理解不够透彻，两个向量能否作为一组基底表示其它向量，判断的标准是这两个向量是否共线，对于选项C．，显然 ,说明共线，不能用来做基底.
【正解】BD
【详解】
解：根据，
选项A：，，，，则，，无解，故选项A不能；
选项B：，，，，则，，解得，，，故选项B能．
【详解】
对A，不能用表示，故不共线，所以符合
对B，，所以共线，故不符合
对C，不能用表示，故不共线，所以符合
对D，，不能用表示，故不共线，所以符合
故选：ACD
易错点7．记反了向量减法运算差向量的方向
例题1．（2021·全国·高三专题练习）正三角形边长为，设，，则 _____.
A：因为零向量与任何向量都共线，故，不可做基底；
B：，即、共线，不可作基底；
C：、不共线，可作基底；
D：，即、共线，不可作基底；
故选：ABD
2．（多选）（2021·浙江·高二期末）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的（）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因向量，为非零向量，则当向量，的夹角为180°时，与方向相反，即成立，
当时，与方向相同或者方向相反，即向量，的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量，的夹角为180°”是“ Nhomakorabea”的充分不必要条件.
【常见错解】因为，所以点是的中点，所以，
，所以 ,所以

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》易错题汇编及答案解析

新数学复习题《平面向量》专题解析一、选择题1．已知点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C的离心率为（） A ．31- B ．23-C ．12D ．22【答案】A 【解析】【分析】由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121||2MF MF OM F F c ⊥==，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，13MF c =，∴23a c c =+，∴31ce a==-. 故选:A. 【点睛】考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.2．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v（）A ．3B 3C 3D 3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uu u r uuu r， ∴cos cos AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．3．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（）A ．0B ．1CD ．2【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.4．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（）A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】 ()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A .本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.5．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（）A BC ．2D 【答案】D 【解析】【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r，所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号，所以23c ≥u r ，即c ≥u r故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.7．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuur 为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选B ．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ．【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10．在ABC ∆中，已知3AB =23AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v的取值范围为（）A ．()3,5B ．(5,53C ．()5,9D ．()5,7【答案】C 【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AB AC =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r＝8﹣113233cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9），故选C ．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．11．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v ，4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（）A ．57B ．75C ．37D ．73【答案】A 【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可．【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A （1，0），B （3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tan θ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ）即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =，故选A ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．12．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )A ．4B ．2C ．1D ．16【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，所以|2|2a b -=r r，故选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuur =2，则△ABC 的面积为（）A B ．32C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积．【详解】在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 3=BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，∴△ABC 的面积为：116223acsinB =⨯⨯=．故选C ．【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．14．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（）A ．B C ．2D ．98【答案】A 【解析】【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率.【详解】由题得双曲线的渐近线方程为by xa=±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc bA cB c P ca a a-因为(),OP OA OB Rλμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v，所以2(,)((),())b bcc u c ua aλλ=+-.所以,,bu c ucλλ+=-=解之得,.22b c c buc cλ+-==因为225+=8λμ，所以22522()(),3, 3.22833b c c b cec c a+-+=∴=∴=故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB Rλμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v求出,uλ.15．如图，在ABCV中，已知D是BC边延长线上一点，若2B CC D=u u u v u u u v，点E为线段AD的中点，34AE AB ACλ=+u u u v u u u v u u u v，则λ=（）A．14B．14-C．13D．13-【答案】B【解析】【分析】由12AE AD=u u u r u u u r，AD BD BA=-u u u r u u u r u u u r，AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r，32BD BC=u u u r u u u r，代入化简即可得出．【详解】13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，可得14λ=-，故选B.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（） A ．4 B ．22C ．2D ．2【答案】A【解析】【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >，由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >，由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ， ()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题17．下列命题为真命题的个数是（）①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.18．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （）A ．8+B ．8-C ．12D ．4 【答案】C【解析】【分析】【详解】由题意1122 OM OA OB =+u uu u r u u u r u u u r，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又圆的半径为4，4AB=uu u r，则,OA OBu u u r u u u r两向量的夹角为π3．则8OA OB⋅=u u u v u u u v，2216OA OB==u u u v u u u v，所以12OC OM⋅=u u u r u u u u r．故本题答案选C．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.19．三角形ABC中，5BC=，G，O分别为三角形ABC的重心和外心，且5GO BC⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】【分析】取BC中点D，利用GO GD DO=+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC中点D，连接,OD AD，则G在AD上，13GD AD=，OD BC^，()GO BC GD DO BC GD BC DO BC⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB=⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2223025AC AB BC-=>=，∴2220AB BC AC+-<，由余弦定理得cos0B<，即B为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC中点D，用,AB ACu u u r u u u r表示出,GD BCu u u r u u u r．20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （）A ．4BC ．2D 【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r ，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。

平面向量典型易错题分析

匕三、两向量夹角问题考虑不严
二、向量的运算律理解不透
① a ・(b — c)=a ・ b~a ・ c； ② ！・(b・c$ = (a・b)・c； ③ (a — b)2= | a | 2 —2 | a | ・ |b | + | b |=； ④ 若a・b = 0,则a = #或b = 0； ⑤ 若 a・b = c・b,则U a = c； ⑥ | a\2 =a2;
答案由3为锐角，得cos 3>0且cos 3 *1,
即有a・"=| a \ | b \ cos 3>0恒成立，故a・b>0，即2 + 9入〉0 , 解得入〉一22•
又因为若a不平行于b,则1・入一2X9 *0,即 $*6.
9
综上,$〉一2且$*6.
、四分类讨论、数形结合思想不
善运用
例 5 已知R ,(9, — 4)与 R B(-1, 2), R 7在直线上，且|7& = 2 |7衣| , 求R 7的坐标.
新高普数学微专题突破
&面向量易+题分析
江苏单铭成
在平面向量的学习中，同学们首先要掌握其基本概念与运算•如果不能正确理解平面向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上模糊不清，就会造成一些表面上看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区•本文将对同学们在向量学习中会遇到的常见典型错误进行分析，希望对你的学习有所帮助•
③ 首先相等向量一定是共线向量，向量共线也称向量平行，两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两
条直线重合，所以a,b,c,d可能四点共线，
此为易错处• 反之④则正确• ⑤ 正确，向量的相等具有传递性. ⑥ 对于零向量的有关概念不清，零向量

平面向量易错题剖析

平面向量易错题剖析1. 引言平面向量是高中数学中的重要概念，也是解决几何问题的有力工具。

然而，由于其相对抽象和复杂的运算规则，学生在学习和应用平面向量时常常容易犯错。

本文将从常见易错题入手，分析学生易犯的错误，并给出相应的解析和建议。

2. 常见易错题及解析2.1 向量加法与减法题目：已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−14)，求向量 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 。

错误解答：有些学生会直接将 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标分别相加得到 (22)，认为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(22)。

解析：向量加法要求将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

正确的计算方法是：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2)+(−14)=(3+(−1)−2+4)=(22)。

因此，正确答案为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(22)。

建议：学生在解答向量加法题目时，应注意将两个向量的对应分量相加，并仔细检查计算过程中的正负号和运算符号是否正确。

2.2 向量的数量积题目：已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−2)，求向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值。

错误解答：有些学生会直接将两个向量的对应分量相乘得到 (−4−6)，然后将其对应分量相加得到 (−4)+(−6)=−10，认为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−10。

解析：向量的数量积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得到一个数。

正确的计算方法是：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =((−1)×4)+(3×(−2))=−4+(−6)=−10。

因此，正确答案为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−10。

建议：学生在解答向量的数量积题目时，应注意将两个向量的对应分量相乘，并仔细检查计算过程中的正负号和运算符号是否正确。

2.3 向量的模题目：已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−1)，求向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模。

中考数学易错题系列之平面向量向量运算与共线关系的易错解题技巧

中考数学易错题系列之平面向量向量运算与共线关系的易错解题技巧平面向量是中考数学中一个重要的概念，涉及到向量的加法、减法和数量乘法等运算，以及向量的共线性判断。

然而，在解题过程中，很多学生容易犯错。

本文将介绍一些常见的易错解题技巧，帮助同学们加深对平面向量向量运算与共线关系的理解。

1. 向量的加法与减法向量的加法运算是指两个向量相加得到一个新的向量，减法运算是指两个向量相减得到一个新的向量。

在计算过程中，常常会忽略向量的方向，导致答案出错。

解决这个问题的关键在于注意向量的方向。

在计算向量的和或差时，首先要明确向量的起点和终点，并按照顺序进行运算。

若向量的方向相反，则减去后的结果向量的终点在起点的反方向上。

2. 距离的计算在平面上，两点之间的距离可以通过向量来计算。

但有时学生会忘记用向量的模长表示距离，而采用了其他方法。

要正确计算两点之间的距离，可以先求得两点连线的向量，然后计算该向量的模长即可。

模长即是该向量的长度，也是两点之间的距离。

3. 共线关系的判断共线关系是指若干向量共线于同一直线上。

在解题中，有时会遇到判断一组向量是否共线的问题，容易被迷惑而给出错误答案。

要判断向量的共线关系，可以利用向量的线性相关的性质，即若一组向量中存在一个向量可以用其他向量的线性组合表示，则这组向量共线。

也可以通过计算向量的比值来判断，若向量的坐标相应分量之比相等，则这组向量共线。

4. 叉乘与数量积的区别在向量运算中，有两种常见的乘法运算，即叉乘和数量积。

容易混淆这两种运算，导致计算错误。

叉乘的结果是一个向量，表示两个向量确定的平面的法向量。

数量积的结果是一个数值，表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。

在解题过程中，要注意叉乘和数量积的定义及使用方法，避免混淆导致计算错误。

5. 问题分类分析在解题过程中，正确的问题分类分析方法是解决问题的关键。

部分同学常常将问题归类错误，导致解题方向错误或无法解答。

要正确分类分析问题，首先要仔细阅读问题，理解问题所涉及的概念和要求。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》易错题汇编含答案解析

【最新】数学《平面向量》专题解析一、选择题1．平面向量a →与b →的夹角为π3，()2,0a →=，1b →=，则2a b →→-=（）A ．23B ．6C ．0D ．2【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】()2,0a →=Q ，||2a →∴=22222(2)||4||444421cos 43a b a b a b a b π→→→→∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ，|2|2a b ∴-=r r，故选：D 【点睛】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.2．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（）A ．35B ．25C ．1415D ．910【答案】B 【解析】【分析】根据题意，以AB u u u r ，AC u u ur 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论. 【详解】由题意，设()NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以，()()113AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以，1135λ-=，且m λ=，解得25m λ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．3．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若//a b rr，则()a b R λλ=∈rr；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．4．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（） A ．外心 B ．垂心C ．重心D ．内心【答案】B 【解析】【分析】可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u ru u ur u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论．【详解】Q ()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ，即()||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ， Qcos BA BCB BA BC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB ACBC BC BC AB B AC C⋅+=-+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u ru u ur u u u r 垂直，即AP BC ⊥uu u r uu u r ，∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.故选：B ．【点睛】本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.5．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则PO 的最大值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r. 由3PB PA =u u u r u u u r可得363m x x n y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y=-⎧⎨=-⎩，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=，故选：C. 【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.6．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值是（）A ．0B ．1CD ．2【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a -+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r，,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r， ()2111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.7．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，由题意，()22410t t ∆--<=，解得t <或t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.8．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-，故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v方向上的投影为A 13B ．22C ．1D 65 【答案】C 【解析】【分析】根据a v在b v方向上的投影定义求解. 【详解】a v 在b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b⋅⋅--+===-rr r ，选C. 【点睛】本题考查a v在b v方向上的投影定义，考查基本求解能力.10．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u ur u u u rB ．12AB AD -u u ur u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u rD ．12AB AD -u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u vu u uv u u u v 故选A. 【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.12．已知向量m =r(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（） A ．12B ．2C ．22D ．﹣2【答案】B 【解析】【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.13．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）A 323-+ B 323+ C 31 D 31+【答案】B 【解析】【分析】建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．【详解】解：1AC =Q ，3AB =，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,122D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． ()3,0AB =u u u r，()0,1AC =uu u r ，∴13,122AD ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭u u u r． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴132312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴36312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，2313λμ∴+=+．故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．14．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.15．设()1,a m =r ，()2,2b =r，若()2a mb b +⊥r r r ，则实数m 的值为（）A ．12B ．2C ．13-D ．-3【答案】C 【解析】【分析】计算()222,4a mb m m +=+r r，根据向量垂直公式计算得到答案.【详解】()222,4a mb m m +=+r r，∵()2a mb b +⊥r r r ，∴()20a mb b +⋅=r r r ，即()22280m m ⋅++=，解得13m =-.故选：C .【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.16．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-. 故选：A ．【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.17．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v ，则λ=（）A ．13B ．12C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()BA BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AD DC λ=u u u v u u u v ，所以λ=12，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题. 18．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.【详解】由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，CB AB ⊥，即2B π∠=，故ABC ∆为直角三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.19．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r 【答案】D【解析】【分析】【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，20．已知向量a v ，b v 满足2a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（）A ．22B ．23C ．28D ．24【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12a b ⋅=r rcos ,4a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.。

必修四平面向量易错点分析

必修四平面向量易错点分析本文首先帮助大家理解平移的意义，深刻认识一个平移就是一个向量，掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式，其次针对向量夹角易错点进行举例分析。

一、关于平移的概念先看如图所示,右边的两个图形中,经过平移能得到左边的图形的是()。

答案不难选Ｃ，平面内一个图形，将它所有的点按照同一方向，移动同样的长度，得到同样的图，这个过程叫做图形的平移。

那么图形平移过程中，所有点都是按照同一方向移动同样的长度，所以平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此从向量的角度看，一个平移就是一个向量。

下面我们研究下平移公式：设点P(x,y)按照给定的向量a=（h,k）平移后得到新点P’(x’,y’)，则容易看到，公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的，从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标，故公式也可变形为图形的平移公式。

如果给定向量a=（h,k），由旧解析式求新解析式时，把公式代入旧解析式中整理可得；若由新解析式求旧解析式，则把公式代入到新解析式中整理可得。

当然应当注意，上述点或图形平移，坐标轴并没有移动，平移前后均在同一坐标系上。

例1：按向量a把点A(2，1)平移后得到A′(5,-4)，按此平移法，则点Ｂ(2，-1)应平移到_______。

分析得a（3，-5）,B(2，-1)平移后得到B’(x’,y’) 。

由得到B’(5,-6)。

例2：已知定点A(2,1)与定直线l∶3x-y+5=0,点B在l上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程。

分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带。

解:设B(x0,y0),M(x,y)∴AM=(x-2,y-1),MB=(x0-x,y0-y),由题知AM=2MB，∴，由于3x0-y0+5=0,∴。

化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0。

练习：1.将抛物线y=x2-3x按向量a平移，使顶点与原点重合，求向量a的坐标。

平面向量易错题剖析

平面向量易错题剖析平面向量易错题剖析平面向量是高中数学常考的重要内容，但是在学习和应用过程中，会有许多易错点需要注意。

本文将针对一些常见易错点进行剖析，并提供解题技巧和方法。

易错点一：向量大小和方向混淆向量大小和方向是平面向量的两个重要性质，但是在应用中容易混淆，造成错误。

一般来说，向量大小指的是向量的模长或长度，记作|a|或||。

方向指的是向量的朝向或倾斜方向，一般用箭头表示。

在计算向量加减、求夹角等问题时，需要分别考虑向量的大小和方向。

解决方法：在做题时，需要仔细阅读题目，确定题目所要求的是向量的大小还是方向。

同时，需要掌握向量的长度公式和方向公式，以便根据题目情况灵活运用。

易错点二：向量基本运算符号错误向量的基本运算包括加、减、数乘、点乘等，它们都有对应的运算符号。

但是在应用时，容易混淆符号，造成计算错误。

解决方法：要认真学习向量运算的符号和规律，牢记它们之间的差异和联系。

在解题时，要注意检查符号是否正确，尤其是多项式展开和合并的过程中。

易错点三：坐标系选择不当平面向量的运算和计算通常需要在坐标系中进行，坐标系的选择直接影响向量的计算过程和结果。

但是在选择坐标系时，容易被题目表述所迷惑，选择不当造成计算困难。

解决方法：在选择坐标系时，要注意从图形上考虑，确定哪个坐标系会使向量计算更加方便。

一般来说，如果向量的方向和坐标轴平行或垂直，可以选择直角坐标系或斜坐标系。

如果向量的方向倾斜或切线，可以选择极坐标系或极坐标系转换到直角坐标系。

易错点四：向量垂直和共线的判定向量垂直和共线的判定是平面向量的基础知识，但是在实际应用中，容易被题目表述所误导，造成错误。

解决方法：对于向量垂直的判定，可以利用向量的点乘积为0的性质，即如果向量a和向量b垂直，则a·b=0。

对于向量共线的判定，可以利用向量的叉乘积为0的性质，即如果向量a和向量b共线，则a×b=0。

在应用中，要注意从图形上考虑向量的方向和位置，结合公式进行判定。

平面向量易错题整理解析

【知识目标】：高考中主要考察向量的共线、垂直、数量积等基本概念运算，难度中等，或以向量为工具出现在其他知识中，综合性较强，同学在周考、统练中易丢分。

需总结、回归基础、查漏补缺，防止丢分。

【能力目标】：向量的思想方法及工具性。

【学习方法】:易错点问诊，自主归纳整理。

【学习过程】: 培养学生数形结合、转化与化归的数学思想.一、易错点问诊A 组：（5分钟）1、（周考题）已知直线y =x 2上一点P 的横坐标为使得，点)3,3(),1,1(B A a -B P A P ρρ•的夹角为钝角，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿．２(统练题)已知三角形ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，则C B B A ρρ•=_________________.3、(统练题)关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30o ；④()()0||||||||+⋅-=a b a b a b a b ．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）☆☆易错原因反思：______________________________________________________________________________________________________________________________________ 反馈训练：（2分钟） 1.三角形ABC 中，,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，有0a b ⋅<r r ，则三角形ABC 的形状是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不能确定2.已知非零向量的关系是则b a b a ,,=+（A ）相等（B ）共线且方向相同（C ）共线且方向相反（D ）垂直B 组：（5分钟） 1.（统练卷）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r = a , CA u u u r = b , a =1 ，b = 2, 则CD uuu r =（）A.13a + 23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b内容：平面向量易错题的整理解析班级：姓名：高三数学学案使用时间：2013年3月7日编辑人：郭滨2.（周考）△ABC 中，∠A=60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D,已知AB=3，且)(31R ∈+=λλ，则AD 长为___________ 3.(周考)已知BC 在以AD 为直径的圆上,若AB=3,AC=4,则=•BC AD ________________ ☆☆☆易错原因反思：____________________________________________________________________________________________________________________________________ 反馈训练:（3分钟）1、(如图)在△ABC 中，AD ⊥AB,=,3=,则)(BD AB AC +=_________________________,,450OB n OA m OC AOC AOB C OB O +==∠∠===设内，且在，点则nm 等于________________. C 组：（6分钟） 1.（周考）设,,是单位向量,且))(,0--=•则（的最小值是( ) A.-2 B.22- C.-1 D.21-2.（月考）已知又点C 1),0,1(),0,1(=-==__3.（月考）在三角形ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且CDO 在线段点,3=上(与C,D 不重合),若x x )1(-+=,则x 的取值范围是_____________.☆☆☆☆易错原因反思：___________________________________________________________________________________________________________________________________反馈训练：（5分钟）1、如图。

平面向量典型易错题分析

平面向量典型易错题分析作者：单铭成来源：《新高考·高一数学》2015年第01期在平面向量的学习中，同学们如果不能正确理解平面向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上模糊不清，就会造成一些表面上看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走人误区.一、向量的基本概念不清易错点析因①向量是既有大小义有方向的量，注意向量和数量的区别，向量的模相等不能说明方向相同，此为易错处，向量相等即向量的方向和大小均相等，反之，向量相等则向量的模肯定相等.②向量的起点与终点均相同，则两个向量必相等，但是两向量相等不一定要起点与终点均相同，向量可以平移，具有自由性，且平移可以确保向量的方向与大小不变，此时向量也可相等.③首先相等向量一定是共线向量，向量共线也称向量平行，两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合，所以A，B，C，D可能四点共线，此为易错处，反之④则正确.⑤正确，向量的相等具有传递性.⑥对于零向量的有关概念不清，零向量的方向是任意的，并且规定零向量和任何向量平行.答案④⑤向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、零向量等概念.二、向量的运算律理解不透易错点析因（1）向量运算和实数运算有类似也有区别的地方：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量（如第⑤题），切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即α（6.c）≠（α.6）c，为什么？此为易错处.（3）注意向量的数乘与向量的数量积的区别，实数λ与向量α的积是一个向量，记作λα；向量数量积是一个实数，不再是一个向量.而向量时刻要考虑方向问题.（4）零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量.此为易错处.答案①⑥⑨三、两向量夹角问题考虑不严例3 已知α=（1，3），b=（2，λ），设α与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围.易错点析因本题误以为两非零向量α与b的夹角为锐角的等价条件是α.b>0.事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ=0时，有cos θ=1>0，对于非零向量α与b仍有α.b>0，因此α.b>0并不是两非零向量α与b的夹角为锐角的等价条件.应有如下结论：两非零向量α与b的夹角为锐角的等价条件是α.b>0且α不平行于b.四、分类讨论、数形结合思想不善运用例4 已知点A（3， 4）与点B（-1，2），点P在直线AB上，且l |PA| =2 |PB|，求点P的坐标.易错点析因思考不严密，出现漏解现象，点P可能是线段AB内的点，也可能是线段AB 外的点，因此本题必须分类讨论.若能简单画出相应图形，问题就简单得多.答案设点P的坐标为（x，y），归纳与整理是学习的重要方法，而纠错能起到培养大家良好的学习态度和习惯，指导我们学会归纳分析、梳理的作用.整理易错题，做好纠错工作是系统学习基础上的重点解析，使得学习重点更突出，复习更具针对性，学习更有实效性.1.已知α=（1，3），b=（-2，λ），设α与b的夹角为θ，要使θ为钝角，求λ的取值范围.2.已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A，B，C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标.。

中考数学易错题系列之平面向量

中考数学易错题系列之平面向量平面向量是中学数学中的一个重要概念，也是考试中常出现的难点和易错题。

本文将以解析几何的角度，给出中考数学中经常出现的平面向量易错题，并详细解析解题步骤。

1. 向量的定义向量可以表示为有方向、有大小的线段，用一条带箭头的线段来表示。

在平面直角坐标系中，向量可以用有序数组表示。

2. 向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点相连，将它们的末端相连，则从第一个向量的起点到第二个向量的末点的有向线段称为这两个向量的和向量。

2.2 向量的数量积向量的数量积又称为内积或点积，表示为A·B。

数量积的结果是一个标量，等于两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值。

2.3 向量的夹角两个非零向量的夹角可以通过向量的数量积公式求解，即cosθ = (A·B)/(|A|·|B|)，其中θ为夹角，A、B分别为两个向量的模长。

3. 平面向量的易错题以下是中考数学中常出现的平面向量易错题及解析：3.1 问题一已知向量A = (3, -2)和向量B = (5, 4)，求向量A + B的模长。

解析：根据向量的加法规则，将A和B的对应分量相加，得到向量A +B = (3+5, -2+4) = (8, 2)。

根据模长的定义，向量A + B的模长为|(8,2)| = √(8^2 + 2^2) = √68。

3.2 问题二已知向量A = (2, 3)和向量B = (4, -5)，求向量A与向量B的夹角的余弦值。

解析：根据向量的数量积公式，计算A·B = 2×4 + 3×(-5) = -7。

根据向量的模长，计算|A| = √(2^2 + 3^2) = √13，|B| = √(4^2 + (-5)^2) = √41。

代入公式cosθ = (A·B)/(|A|·|B|)，得到cosθ = -7/(√13×√41)。

平面向量典型易错题分析

ｌ新离蕾数学
平面向量典型易错题分析
南京大学附属中学单铭成
但两条直线平行不包含两在平面向量的学习中，同学们如果不能含两个向量共线，正确理解平面向量的基础知识，或在某些概条直线重合，所以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ可能四点共线，念及公式的理解上模糊不清，就会造成一些此为易错处．表面上看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区．反之④ 则正确． ⑤ 正确，向量的相等具有传递性． ⑥ 对于零向量的有关概念不清，零向量的方向是任意的，并且规定零向量和任何向
量平行．
膏一、向量的基本概念不清
例１下列命题： ① 若ｌｎ【一ｌ６ｌ，贝４口一６；
答案 ④ ⑤ 向量的概念较多，且容易混淆，在学习
理解各概念的实质，注意区分共 ② 两个向量相等的等价条件是它们的中要分清、线向量、平行向量、同向向量、反向向量、零起点相同，终点相同；
２ＯＮｅｗＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＥｎｔｒａｎｃｅＥｘａｍｉｎａｔｉｏｎ
），点Ｐ在直线ＡＢ上，且ｌ能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个２
向量（如第⑤题），切记两向量不能相除（相约）；求点Ｐ的坐标．（２）向量的 “ 乘法” 不满足结合律，即

平面向量的方式技术及易错题剖析

综上所述，四边形ABCD为矩形。
失分警示：误区：由可得，又∵ ，
∴ ∴ ，∴ ，即。同理 ∴ ，∴ ，即。四边形ABCD为平行四边形，∴ ，，
又∵ ，∴ ，∴ ，即，∴ 。综上，四边形为矩形。
上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不知足结合律，因此学习向量时必然要认真认真研读教材，抛开思维定式的阻碍，避免误入思维误区。
2．平面向量数量积的运算律
专门注意：
〔1〕结合律不成立：；
〔2〕消去律不成立不能取得；
〔3〕 =0不能取得 = 或 = 。
3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着普遍的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多骨干知识综合，形成知识交汇点，因此高考中应引发足够的重视. 数量积的要紧应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；
解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。
【易错题9】在四边形ABCD中，，，，，且，试确信四边形ABCD的形状。
解题思路：由易患，那么〔〕= ，
∴ ，即。
又因为，∴ ，①
同理可得。②
由①②可得，即，即，∴ ，，∴四边形ABCD为平行四边形，且，，又，∴ ，∴ 。
平面上有互异的四点A、B、C、D，假设，那么△ABC的形状是
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
〔二〕易错题剖析
【易错题1】假设向量a、b知足关系式，那么以下结论中正确的选项是〔〕
A.以、为邻边的四边形是矩形
B. 、中至少有一个零向量或
C. 、中至少有一个是零向量
题目中两向量a、b是任意向量，在解答构思中与的夹角为，要使为锐角，求的取值范围。

高中数学考前归纳总结平面向量易错题剖析

在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算．如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下：1.已知2,3a b ==，a 与b 的夹角为45°，当向量a b λ+与a b λ+的夹角为锐角时，求实数A 的范围．错解：由已知cos 453a b a b ==，∵a b λ+与a b λ+的夹角为锐角，∴()()0a b a b λλ++>，即222(1)0a b a b λλλ+++=,2293(1)0λλλ+++>解得λ>λ<∴实数λ的范围是1111()(,66--+∞-∞ 分析：解题时忽视了a b λ+与a b λ+的夹角为0的情况，也就是()()0a b a b λλ++>既包括了a b λ+与a b λ+的夹角为锐角，也包括了a b λ+与a b λ+的夹角为0，而a b λ+与a b λ+的夹角为0不合题意．正解：由已知cos 453a b a b ==，又a b λ+与a b λ+的夹角为锐角∴()()0a b a b λλ++>，且()a b a b λμλ+≠+，由()()0a b a b λλ++>，即222(1)0a b a b λλλ+++=,231130λλ++>解得λ>或λ< 由()a b a b λμλ+≠+得1,μλμλ≠≠，即1λ≠，综上所述实数λ的范围是(1,)(,6+∞-∞。

2．已知O 为ABC ∆所在平面内一点且满足230OA OB OC ++=，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 ( )A ．1 B.32.23C D ．2错解：0,2OA OB OC OB OC ++=∴=- ∴O 在BC 边上，且2OB OC =,又△AOB 与△AOC 高相等，∴AOB ∆与AOC ∆的面积之比为2，∴选D ．分析：缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O 为△ABC 的重心的情况下，才有0OA OB OC ++=，而本题无此已知条件．正解：在AB 上取一点D ，使2AD DB =，D ∴分AB 的比2λ=，得1233OD OA OB =+，又由已知12,33OC OA OB OD OC =-∴=-，∴O 为CD 的中点，不妨设AOC S S ∆=，则AOD S S =(∵两者等底同高)，2AD BD =， 13,22BOD AOB S S S S ∆∆∴==，△AOB 的面积与△AOC 的面积之比为3：2，选B ． 3. 在边长为1的正三角形ABC 中，求AB BC BC CA CA AB ++的值．错解：cos60cos60AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA ++=+1113cos602222CA AB +=++=．分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量AB 与BC ，BC 与CA ，CA 与 AB 的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°．这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的．正解：cos120cos120cos120AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB ++=++1113()()()2222=-+-+-=-．注意：向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是0a b >且a 与b 不共线．这里，a 与b 不共线不能忽略．4. 向量a 、b 都是非零向量，且向量3a +b 与7-5a b 垂直，4-a b 与7-2a b 垂直，求a 与b 的夹角．错解：由题意，得(3)(7)0-5=a +b a b ，① ()(7)0-4-2=a b a b ，②将①、②展开并相减，得24623a b =b ，③∵≠0b ，故12a =b ，④ 将④代入②，得22=a b ，则=a b ，设a 与b 夹角为θ，则2112cos 2θ2===b a b a b b． ∵0180θ≤≤，∴60θ=．分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．由于向量的数量积不满足消去律，所以即使≠0b ，也不能随便约去．正解：设向量a 、b 的夹角为θ，由上面解法有22a b =b ，代入①式、②式均可得 22=a b ，则=a b ，∴1cos 2θ==a b a b ．又∵0θ≤≤180，∴60θ=．5. 已知,,A B C 三点的坐标分别为(12)-，，(35)-，，(52)-，，试判断ABC ∆的形状。

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平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用22||→→=a a ；22||y x a +=）3.你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）4.你弄清“02121=+⇔⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-⇔→→y x y x b a ”了吗？[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1）在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=•→→b a ，不能推出→→=0b .（2）已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→→→→→→=⇒•=•c a c b b a . （3）在实数中有)()(c b a c b a ••=••，但是在向量的数量积中)()(→→→→→→••≠••c b a c b a ，这是因为左边是与→c 共线的向量，而右边是与→a 共线的向量.5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）4.实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

5.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____）；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30）（3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512）（4）a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a bθ•=；④||||||a b a b •≤。

如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=->其中，①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=）6.向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：22）；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）；（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是（答：（9,1））②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y •=+。

如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c＝（－1，0）。

（1）若x ＝3π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2或21--）；⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。

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