基于Matlab的Rossler混沌研究
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告摘要：本文利用数学软件MATLAB 对Lorenz 系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。
通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。
关键词：混沌； 微分方程； MATLAB ；引言． 混沌探秘混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉与到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。
混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。
一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。
一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。
可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。
一 混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。
2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。
系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。
利用Matlab仿真模拟Rossler混沌系统及混沌控制
第３期郭怡冰等：利用Ｍａｔｌａｂ仿真模拟Ｒｏｓｓｌｅｒ混沌系统及混沌控制·１９·及ＸＺ平面的轨迹．首先，选择三个积分模块，从上到下排列并分别对应茁，，，，彳的信号输出，这样做的好处是使得模型更加直观，可以直接与系统方程相对应．再根据方程（２），将Ｙ，：的信号输入求和模块，调整符号为减号，并将此求和模块的输出信号作为对应戈的积分模块的输入信号，由此Ｒｏｓｓｌｅｒ系统模型中对应茗方程的部分就完成了．同样，将ｙ输入增益模块，乘以增益因子口，其输出口ｙ和茗再输入求和模块，此时的输出就是对应Ｙ的积分模块的输入信号．最后将信号：，茗与Ｚ输人乘法模块、；输入增益模块，其输出茗ｚ与凹加上常数模块输出的常数ｂ，三个同时输入求和模块中，再经过积分模块就是信号厶此外，为了得到直观的模拟结果，将石，Ｙ与髫，ｚ分别输入二维信号显示模块，用于观察输出信号的图像关系．最终得到的Ｒｏｓｓｌｅｒ系统模型如图１所示．设定系统模型中各参数值，令ｏ＝６＝０．２，Ｃ：５．７，运行此系统模型，观察ＸＹ和ＸＺ的平面轨迹图像．得到图２、图３，分别为仿真时间１０００ｓ时系统在ＸＹ、ＸＺ平面的混沌轨迹．图１Ｂｏｓｓｉｅｒ系统模型同时作为基础的混沌模型，在制作混沌控制模型时，可直接在此混沌模型上加入各种控制器模型，使得建立混沌控制模型的工作更加简便．图３Ｒｏｓｓｌｅｒ系统在ＸＺ平面的混沌轨迹１．２混沌控制的仿真模拟延迟反馈控制是于１９９２年由Ｐｙｒａｇａｓ提出的．这种控制器的优点在于：首先，它是基于系统状态的自相似性，用时滞反馈信号近似不稳定周期轨道，从而避免了ＯＧＹ等方法中目标轨道的确定问题；其次，它采用连续时间激励作为控制信号，而不是ＯＧＹ法中的间歇脉冲式的微小参数扰动，所以在一定程度上避免了控制对象因系统的涨落和环境噪声而偏离期望轨道；最后，它不需要事先知道系统的任何解析知识，也无需像ＯＧＹ法那样大量计算机在线分析系统状态，仅使用简单的模拟装置就能实现，所以非常易于工程实现．以Ｒｏｓｓｌｅｒ系统为例，施加延迟反馈控制后，原系统变为：皤ｘ＋叠ａｙ＋ＫＭ…ｈ㈤，，（３）同样地，为了便于建设系统模型，将方程（３）由微分形式转变为积分形式，变形后的方程如下：菇＝』（一ｙ—ｚ）ｄｆ，，，＝Ｊｒ（髫＋。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌理论是20世纪60年代提出的一种新的动力学理论，它描述了非线性动力系统中表现出来的复杂、不可预测的行为。
混沌特性分析是利用数学工具和计算机模拟方法来研究混沌系统的行为和性质。
本文将介绍基于Matlab的混沌特性分析方法。
我们需要了解一些混沌系统的基本概念。
混沌系统是指由一组非线性方程描述的动力学系统，它具有以下特点：初值敏感性、确定性、周期倍增、拓扑混沌等。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解混沌系统的微分方程。
ode45是一个常用的数值解微分方程的函数，它可以自动选择合适的步长来保证解的准确性。
接下来，我们可以通过绘制混沌系统的相图来观察系统的演化规律。
相图是指在系统的状态空间中表示系统状态随时间变化的图形。
在Matlab中，我们可以使用plot函数来绘制相图。
除了相图，我们还可以使用混沌系统的Poincaré截面来描述系统的性质。
Poincaré截面是指将系统状态变化的轨迹投影到一个特定的平面上，以观察系统状态的聚集情况。
在Matlab中，我们可以使用scatter函数来绘制Poincaré截面。
我们可以通过计算混沌系统的Lyapunov指数来判断系统的混沌程度。
Lyapunov指数是一种用来衡量系统的初值敏感性的指标，它可以反映系统的混沌性质。
在Matlab中，我们可以使用lyapunov函数来计算Lyapunov指数。
基于Matlab的混沌特性分析方法包括求解微分方程、绘制相图、绘制Poincaré截面、绘制分岔图以及计算Lyapunov指数等步骤。
这些方法可以帮助我们进一步了解混沌系统的行为和性质，为混沌系统的应用提供理论依据。
数学实验报告之一——Rossler方程
数学实验报告之一——Rossler方程自动化学院2001级刘和松一 .实验目的掌握用MATLAB软件求解微分方程的基本方法，掌握求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；了解二次迭代过程中三种图形表示的含义，观察分枝与混沌现象，学会分析迭代对参数的敏感性。
Rossler方程组是非线性动力学中一个非常著名的方程，在理论和实际中都有非常重要的价值。
但是，由于它没有精确的解析解，我们只能通过数值方法对其进行求解。
二.试验内容——Rossler方程Rossler方程组当固定参数b=2，c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0.65)）时方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状。
三．问题分析对于Rossler方程组这样的非线性微分方程组，不可能求得其解析解。
利用MatLab可以用数值解法进行模拟。
在物理意义上，t一般表示时间，x，y，z通常表示几个随时间变化的物理量，例如几种生物种群的数量，或者是几个常见的物理量。
对于混沌现象，我们通常更关心变量的最终归宿。
因此，在研究时，我们有时舍去方程解的前几组数值。
四．MatLab求解建立函数M文件rossler.m，在其中用x(1)表示x，用x(2)表示y，用x(3)表示z.function r=rossler(t,x)global a;global b;global c;r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];主程序如下：global a;global b;global c;b=2;c=4;t0=[0,200];for a=0:0.02:0.65[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);asubplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');title('x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况');xlabel('t');subplot(1,2,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend1． b=2,c=4a=0.00当a=0时，(x,y,z)收敛于（0,0.5,0.5）当a=0.05时，(x,y,z)仍然收敛，但收敛速度较小。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌现象是指那些看似无序但又具有确定性的系统行为。
混沌特性分析是指对混沌系统进行一系列统计和数学分析的方法，以揭示其内在的规律和动力学特性。
Matlab是一种强大的数值计算软件，具有丰富的功能和工具箱，适于进行混沌特性分析。
下面将介绍基于Matlab的混沌特性分析的一些常用方法。
Matlab可以用来绘制混沌系统的相图和轨迹图。
通过绘制相图，可以观察到混沌系统的轨迹在相空间中的分布和演化规律，从而揭示出系统的吸引子和稳定周期等特性。
可以使用Matlab中的plot函数来绘制相图和轨迹图。
Matlab可以用来计算混沌系统的Lyapunov指数。
Lyapunov指数是衡量系统对初始条件的敏感程度的指标，它可以用来判断系统是否具有混沌特性。
通过计算系统在相空间中相邻轨道的分离率，可以得到Lyapunov指数的估计值。
在Matlab中，可以使用内置的函数lyapunov来计算Lyapunov指数。
Matlab还可以用来分析混沌系统的频谱特性。
混沌系统的频谱通常具有分形结构，即呈现出分形维度的特征。
通过计算系统的功率谱密度和分形维度，可以揭示混沌系统的频谱特性。
可以使用Matlab中的fft函数来计算功率谱密度，并使用fractal函数来计算分形维度。
Matlab还可以用来分析混沌系统的分岔图和吸引子。
分岔图是研究混沌系统的参数变化对系统行为的影响的重要工具，它可以帮助我们了解系统从周期运动向混沌运动转变的过程。
吸引子是描述混沌系统在相空间中的吸引轨道的几何形状，通过分析吸引子的分维和奇异性等特性，可以揭示混沌系统内在的规律。
可以使用Matlab中的bifurcation函数来绘制分岔图，并使用attractor函数来绘制吸引子。
基于Matlab的混沌特性分析可以帮助我们揭示混沌系统的规律和动力学特性。
通过绘制相图和轨迹图、计算Lyapunov指数、分析频谱特性、绘制分岔图和吸引子等，可以全面而深入地了解混沌系统的行为。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析1. 引言1.1 研究背景混沌理论起源于1960年代，是一种描述复杂系统行为的新理论，揭示了非线性系统中存在的一种无序、不可预测的动态行为。
混沌系统具有高度敏感性和非周期性，表现出随机性和确定性的结合，对于许多领域的研究具有重要的理论和实际意义。
在现代科学和工程领域，混沌系统的分析和控制已经成为一个热门的研究方向。
随着计算机技术的发展，基于Matlab的混沌特性分析方法成为研究混沌系统的有力工具。
Matlab提供了丰富的算法和库函数，可以方便地进行混沌系统建模、仿真和分析。
利用Matlab进行混沌特性分析，可以更深入地理解混沌系统的动力学行为，为系统的控制与优化提供理论支持。
1.2 研究目的研究目的的主要目标是通过基于Matlab的混沌特性分析，探讨混沌系统的特征和建模方法，并利用Matlab提供的分析工具对混沌系统进行详细分析。
通过深入研究混沌系统的特性和行为，可以更好地理解和预测混沌系统的运动规律和特点，为相关领域的研究和应用提供理论支持和参考依据。
本研究旨在探讨基于Matlab的混沌特性分析方法的有效性和可行性，为混沌系统的研究和应用提供一种新的分析途径和工具。
通过对混沌系统的特性进行深入分析和实验研究，可以揭示混沌系统背后的规律和内在机制，为相关领域的发展和应用提供新的思路和方法。
本研究的目的在于通过基于Matlab的混沌特性分析，深入探讨混沌系统的特性和行为，为相关领域的研究和应用提供新的视角和研究方法。
1.3 研究意义混沌系统在现代科学和工程中具有广泛的应用，例如在通信、控制、密码学等领域都有重要的作用。
对混沌系统进行特性分析，能够帮助我们更好地理解和掌握系统的行为规律，为系统的设计和优化提供重要的参考。
混沌系统的特性分析不仅可以帮助我们更好地理解系统的动态行为，还可以为混沌系统的控制和应用提供理论基础。
通过本文基于Matlab的混沌特性分析，我们可以更深入地探索混沌系统的特性和规律，为未来混沌系统的应用和发展提供重要参考。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌是一种非线性动力学系统的行为，具有高度敏感性和指数级的指数增长，包括其随机性和不可预测性。
Matlab是一种强大的数学软件，提供了广泛的混沌特性分析工具，可以用于研究和分析各种混沌系统的行为。
混沌系统的特点是其高度敏感性，意味着系统的初始条件对于系统的进一步发展具有非常大的影响。
这种敏感性表现为所谓的“蝴蝶效应”，即小的扰动可能会导致系统的行为变化。
因此，混沌系统不存在稳态或周期性行为，而在演化过程中表现出复杂的非周期性、非周期性和随机性行为。
Matlab提供了许多用于生成和可视化混沌系统的工具。
其中一种常见的混沌系统是Lorenz方程，它由Edward Lorenz在1963年引入，是描述大气科学中气流流动的重要模型之一。
它的方程形式如下：dx/dt = σ(y-x)dy/dt = x(ρ-z)-ydz/dt = xy-βz其中x、y和z是系统的状态变量，t是时间，而σ、ρ和β是系统的参数。
使用Matlab中的ode45函数可以有效地求解此系统的状态变量，其中tspan是时间间隔，而y0是初值。
通过即时绘图工具，可以可视化结果，以获得混沌系统在相空间中的行为。
此外，Matlab还提供了其他混沌分析工具。
例如，Lyapunov指数可以用来衡量系统的敏感性和指数增长，而Fractal维度可以用来描述系统的分形特征。
这些工具可以帮助研究人员更好地理解混沌系统的行为以及其在各种实际应用中的应用。
总之，在Matlab的帮助下，分析和可视化混沌系统的特性和动力学行为变得更加容易和直观。
利用这些工具可以更好地理解混沌系统的复杂性以及其对实际问题的影响，并有可能推动各种领域的深入研究。
rossler微分方程组matlab
一、引言Rossler微分方程组是混沌动力系统的一个经典模型，由德国数学家Rossler在1976年提出。
这个方程组描述了一个三维空间中的混沌运动，对于非线性动力学和混沌理论的研究具有重要意义。
在数学建模和工程应用中，对Rossler微分方程组的数值求解和仿真分析也具有重要意义。
而在数值求解中，Matlab作为一个功能强大的数学分析软件，能够很好地发挥作用，本文将结合Rossler微分方程组的相关理论和Matlab的数值求解技巧，介绍如何使用Matlab对Rossler微分方程组进行仿真分析。
二、Rossler微分方程组的数学模型1. Rossler方程的形式Rossler微分方程组由下列三个微分方程组成：dx/dt = - y - zdy/dt = x + aydz/dt = b + z(x - c)其中，x、y、z是三个未知函数，t是自变量，a、b、c是模型中的参数，通常取a=0.2，b=0.2，c=5.7。
Rossler方程组具有混沌特性，其解在相空间中呈现出复杂的、不可预测的运动轨迹。
2. Rossler系统的特性Rossler系统具有混沌、奇点和吸引子等重要特性，其中混沌现象是其最为显著的特征之一。
混沌运动是指一种复杂、无序、无规律的非周期性运动行为，通常表现为对初始条件敏感和长时间运动的随机性。
三、Matlab数值求解Rossler微分方程组1. Matlab对微分方程组的求解在Matlab中，可以使用ode45等数值求解器对微分方程组进行求解。
以Rossler微分方程组为例，使用Matlab进行数值求解的一般步骤如下：（1）定义微分方程组：将微分方程组写成一个m文件；（2）选择数值求解器：在m文件中调用Matlab中的数值求解器，如ode45；（3）设定初值和积分区间：设置初值和积分区间，并定义求解选项；（4）调用数值求解器：调用ode45等数值求解器，得到微分方程组的数值解。
2. Matlab对Rossler微分方程组的仿真分析使用Matlab对Rossler微分方程组进行仿真分析，可以得到系统的相图、时间序列图、Lyapunov指数等重要结果。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机仿真模拟研究
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机仿真模拟研究
陕振沛;宁宝权;张转周
【期刊名称】《科技广场》
【年(卷),期】2015(000)006
【摘要】本文利用数学软件MATLAB对Lorenz混沌系统、Rossler混沌系统进行数值计算和模拟一些混沌现象，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子、倍周期、初值敏感性、相图、分岔图等。
通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。
【总页数】6页(P6-11)
【作者】陕振沛;宁宝权;张转周
【作者单位】六盘水师范学院数学系，贵州六盘水553004;六盘水师范学院数学系，贵州六盘水553004;遵义师范学院数学与计算机科学学院，贵州遵义563002
【正文语种】中文
【中图分类】N93
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rossler混沌系统lyapunov指数matlab实现代码[精彩]
![rossler混沌系统lyapunov指数matlab实现代码[精彩]](https://img.taocdn.com/s3/m/ba500cd32dc58bd63186bceb19e8b8f67c1cef1e.png)
Rossler 混沌系统Lyapunov指数Matlab实现代码Rossler 混沌系统Lyapunov指数Matlab实现代码分类：转载2010-04-11 10:49 混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，lyapunov指数就是定量的描述这一现象的量。
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton 系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。
如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。
如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m 个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。
不管系统是不是耗散的,只要λ1 > 0就会出现混沌。
微分动力系统L yapunov指数的性质对于一维(单变量) 情形,吸引子只可能是不动点(稳定定态) 。
此时λ是负的。
对于二维情形, 吸引子或者是不动点或者是极限环。
对于不动点,任意方向的δxi , 都要收缩, 故这时两个Lyapunov指数都应该是负的, 即对于不动点, (λ1 ,λ 2 ) = ( - , - ) 。
至于极限环,如果取δxi 始终是垂直于环线的方向,它一定要收缩,此时λ < 0;当取δxi沿轨道切线方向,它既不增大也不缩小,可以想像,这时λ = 0。
事实上,所有不终止于定点而又有界的轨道(或吸引子) 都至少有一个Lyapunov指数等于零,它表示沿轨线的切线方向既无扩展又无收缩的趋势。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌现象是一种非线性动力学现象，其特征是在一定的条件下，系统会表现出无规律、无周期的运动。
这种运动模式具有极高的敏感性，即微小的扰动就可能导致运动轨迹的剧烈变化。
这种特性使混沌现象在生命科学、金融、天气预报等领域都具有重要的应用价值。
针对这种现象，人们已开发出了许多分析技术和计算工具。
其中，基于Matlab的混沌特性分析是一种常用的方法。
Matlab是一种基于矩阵运算的科学计算软件，具有强大的数值计算能力和便捷的可视化工具，可以方便地进行混沌运动的仿真和分析。
下面，我们将介绍基于Matlab的混沌特性分析的具体步骤和方法。
1. 定义混沌系统和初始条件首先，需要定义混沌系统的数学模型和初始条件。
常见的混沌系统包括Lorenz系统、Rössler系统、Chua系统等。
以Lorenz系统为例，其数学模型为：dx/dt = σ(y – x)dy/dt = x(ρ – z) – ydz/dt = xy –βz其中，σ、ρ、β为系统的参数，x、y、z为系统的状态变量。
定义好参数和初始条件后，即可利用Matlab进行数值计算。
2. 进行数值求解和仿真利用Matlab的ode45函数进行数值求解，并对结果进行仿真。
这里我们可以使用Matlab的绘图命令如plot、scatter等对系统的运动轨迹、吸引子轨道、相图等进行可视化展示。
3. 计算系统的混沌特征指标对混沌系统进行指标计算是分析混沌现象的重要方法。
根据Lyapunov指数、Hurst指数、分形维数等指标可以描述混沌系统的非线性特性、长期记忆特性和空间分布特性等。
这里以Lyapunov指数为例，Lyapunov指数用于描述非线性系统的稳定性，其数学定义为沿着轨道方向的指数增长率。
在Matlab中，可以使用Lyap函数进行计算，其计算结果可以用于描述系统是否混沌以及混沌程度。
对于具有较高的Lyapunov指数系统，其运动轨迹中存在大的剧烈抖动或明显的周期性分量。
matlab混沌算法
混沌系统的耦合同步200820401010 徐培摘要：主要讨论在参数失配的情况下同步系统的耦合系统的稳定性，在同步系统中，我们用一个混沌系统来作为驱动，用一个混沌系统作为被驱动，混沌系统主要是用微分方程组来表示，通过解微分方程组来确定系统的稳定性。
理论和公式：本文主要是讨论在参数失配的情况下讨论基于OPCL(open-loop-closed-loop)的耦合系统，从而确保了完全同步的驱动和被驱动系统的稳定性。
OPLC 耦合系统通常比完全同步使用的更早，为了推广参数失配系统的耦合，我们定义驱动系统包含了失配参数，其中)(,),()(y F y y F y F y R n∆∈∆+=∙它驱动了响应系统，我们定义为∙x =R nx x F ∈),(为常数，用来其中）被驱动系统定义为：αα),,((y x D x F x +=∙确定是同和y x 相还是反相，我们定义))](([)(),(y x y JF H y F y y x D ααααα--+-=∙， （1）其中H 是特征值实部非负的Hurwitz 矩阵，是雅可比矩阵J 我们将)(x F 按照泰勒级数展开，得到：+-+=))(()()(y x y JF y F x F ααα……（在后面的运算中保留一阶导数）系统模型、程序运行及其结果1. Lorenz 系统：被驱动系统：=∙x 1）（x x 12-σ；xx xx x31212--=∙γ；xx x x b 2133+-=∙（2）带有参数失配；=∙y1+-）（x x 12σ）（y y12-∆σ；+--=∙yy yyy31212γy1γ∆；y y yyb2133+-=∙-y b 3∆ （3）其中b ∆∆∆和,,γσ是失配参数，于是将系统（3）带入（1）中，并作为驱动带如入到系统（2）中,得到：=∙x1）（x x 12-σ+）（ξσα/1∆）（y y 12-;))(())(()1(331211313131212yxy py xy pyy xx xxxααααααγ-++-++-+--=∙))(())(()1(221411232132133yxy py xy pyy yxx xxbbααααααα--+--+-+∆-+-=∙其中，我们在运算时，取H=[b ppp p--+-4321;10γσσ；]其中,0,0,14321===-<ppppγ，22,001038或，，，-==∆=∆=∆=∆+ασγγγb ，3/810==b ，σMatlab 程序：建立一个M 文件：function dx=Rossler1(t,x) %x(1) denotes x1 %x(2) denotes x2 %x(3) denotes x3 %x(4) denotes y1 %x(5) denotes y2 %x(6) denotes y3 dx=zeros(6,1); alpha=-2; b=2.666; d_r=0.10; r=28;sigma=10; d_sigma=0; E=1; d_b=0; p1=-29; p2=0; p3=0; p4=0;dx(1)=sigma*(x(2)-x(1))+alpha*d_sigma*(1/E)*(x(5)-x(4));dx(2)=r*x(1)-x(2)-x(1)*x(3)+alpha*d_r*x(4)+alpha*(alpha-1)*x(4)*x(6)+(p1+alpha*x(6))*(x(1)-alpha*x(4))+(p2+alpha*x(4))*(x(3)-alpha*x(6)); dx(3)=-b*x(3)+x(1)*x(2)-alpha*d_b*x(6)+alpha*(1-alpha)*x(4)*x(5)+(p3-alpha*x(4))*(x(1)-alpha*x(4))+(p4-alpha*x(4))*(x(2)-alpha*x(5)); dx(4)=sigma*(x(5)-x(4))+d_sigma*(x(5)-x(4)); dx(5)=r*x(4)-x(5)-x(4)*x(6)+d_r*x(4); dx(6)=-b*x(6)+x(4)*x(5)-d_b*x(6);在命令框中输入：[T,X]=ode45(@Rossler1,[0 200],[1 1 1 1 1 1]);%四阶龙格库塔法解微分方程组plot(T,X(:,3),'b',T,X(:,6),'r'); axis([50 150 -70 50]); 得到图：图1 其中红色部分蓝色部分分别表示的变化情况，相对于时间变量和t 33yx 从图中可以看出y33x 和实现了同步。
利用Matlab模拟混沌系统
第21卷第6期2003年11月泉州师范学院学报(自然科学)Journal of Quanzhou Normal University(Natural Science)Vol.21 No.6Nov.2003利用Matlab模拟混沌系统苏大生,夏小建(泉州师范学院物理系,福建泉州 362000)摘 要:以R ossler方程、Du ffing方程和Van der pol方程为例,应用Matlab仿真工具进行模拟,并对仿真结果作了简要说明和讨论,其中的示例对混沌研究和教学有一定的意义.①关键词:混沌;M AT LAB;仿真中图分类号:TP273 文献标识码:A 文章编号:1009-8224(2003)06-0029-03混沌是非线性科学研究的一个重要概念,近年来由于混沌在控制和保密通讯等方面的应用,使混沌研究成为学术界的热门课题之一.混沌系统的状态通常可用非线性微分方程来描述,这些方程的解一般难于用解析式表达,更多的情况只能采用数值解法.随着计算机技术的发展,数值解法[1]在混沌系统中将起着更重要的作用.本文应用M AT LAB对混沌系统进行数法模拟,该方法也是一种数值解法,具有操作简单、直观、灵活等优点.1 Matlab语言及其动态仿真———SimulinkMatlab是由Math W ork公司推出的一种面向科学与工程计算的高级语言,它集科学计算、自动控制信号处理、神经网络、图象处理等于一体,具有极高的编程效率.Matlab提供的Simulink[2,3]是一个基于Windows环境下的以图形进行编程的软件,可用来对动态系统建模、仿真和分析,编程时只需选择需要的模块,用鼠标将它们联结起来,并设定每一方块的参数,在用Simulink模拟混沌系统时,可根据非线性微分方程建立方块图,并设置参数进行模拟,即可得到对应的数值解.该方法具有直观、方便、灵活等优点,下面以R ossler方程、Van der pol方程和Du ffing方程为例进行模拟.2 混沌系统的模拟2.1 R ossler方程的模拟R ossler方程是由R ossler在1976年建立的一个简单的三维系统,其方程为d xd t=-y-z,d yd t=x+0.2y,d zd t=0.2-5.7z+xz.①收稿日期:2003-04-25作者简介:苏大生(1974- ),男,福建安溪人,助理实验师,主要从事应用软件及实验教学研究.应用Matlab 建模,得到图1的模型,其中,Sum (Sum1、Sum2和Sum3)是求和模块,Integrator (图1中Inte )是积分模块,用于实现求和.Product 是求积模块,实现输入变量的乘积.G ain 是增益模块,实现输入变量的增益,C onst 是常数模块,用于获得一个常数.XY 为显示模块,可显示XY 平面的轨迹.图2、3为在X (0)=Y (0)=1、Z (0)=2、仿真时间200秒的初始条件下,得到的在XY 、X Z 平面的混沌轨迹.03 泉州师范学院学报(自然科学)2003年11月 该方程可以用一阶微分方程组来描述 y ′=ky (1-x 2)-x ,y =x ′.图6是Van der pol 方程的模块连接框图,取式(2)中的参数k =1,并设初始条件x (0)=y (0)=0.1,仿真时间为500秒,Van der pol 方程的混沌轨迹,见图7.3 结论Matlab 的Simulink 工具采用的是数值计算方法,不可避免地会产生数值误差.一个连续的动态系统一般为d x d t =f (x ,t ),(3)其中,x 是n 维状态矢量,函数f 表示一个特定的系统.若给定初始条件x (0),时间步长为h ,则通过对方程(3)差分的方法,可获得x (t )的变化轨迹为x n (nh )=x n -1((n -1)h )+hf (x (n -1),(n -1)h ),当h 足够小时,即可获得x 随时间的变化轨迹.h 取值应适当,实际选用时,h 太小,计算量太大;h 太大,达不到计算精度.在Matlab 中一般选用四阶的龙格库塔方法,它对步长自动选取,既减少计算量又适应精度要求.尽管采用四阶龙格库塔方法,但误差还是不可避免.实际上,除非步长非常小,否则截断误差通常是较严重的误差来源.对于大多数系统而言,随积分步数的增加其误差将逐步减小.但是混沌系统的一个显著特征就是对初始条件的极端敏感性,扰动将明显地改变x (t )的轨迹,使得附近的轨迹呈指数分离.绝大多数工程上感兴趣的系统都是结构稳定的,即在f 中一个小扰动将导致在其吸引子中也产生一个相应的小扰动.而数值误差可看作是一种扰动,因此,对混沌吸引子的模拟在细节上可能和实际情况不完全相同,但它保持了吸引子的宏观形状.文章采用的方法可用于模拟由状态方程描述的时不变系统.该方法实用、简便,对混沌研究和教学有一定的实际意义.参考文献:[1] 李建芬,李农,张祥娥.利用SPICE 模拟混沌系统[J ].电路与系统学报,1997,2(1):68-71.[2] 施阳.M AT LAB 语言精要及动态仿真工具SIM U LINK[M].西安:西北工业大学出版社,1997.[3] 陈怀琛.M AT LAB 及其在理工课程中的应用指南[M].西安:西安电子科技大学出版社,2000.(下转第70页)13 第6期苏大生等:利用Matlab 模拟混沌系统 07 泉州师范学院学报(自然科学)2003年11月 3.3.5 发展农村小型会展业 通过综合或专业的会展提高“闽货”知名度,为农民解决“卖难”问题,同时也通过会展带动农民消费.会展业是投资回报高,又是促进消费,推动经济增长的一种有效的产业.2001年,泉州“会展经济”已初露端倪,仅1-11月,全市举办的大型商展活动67场,有9150多家企业参加,现场销售产品2008.7万多元,签订投资项目1007个,合同金额482.63亿元.参考文献:[1] 福建统计局.福建统计年鉴2003[M].北京:中国统计出版社,2003.[2] 熊宁,曾尊固.试论调整农业结构与构造区域特色农业[J].经济地理,2001,21(5):564-568.[3] 吴海峰.我国农村消费市场启而不动的原因及对策[J].西北农林科技大学学报,2002,2(3):51-53.An Analysis of the Impetus to Expand the Marketin Country of FujianLI Z i2rong(Department of G eography,Quanzhou N ormal University,Fujian362000,China)Abstract:It appears that the development of markets in the country is slow and even static in aspects of consum ption and supply.According to the analysis of its further causes,the author thinks that the im pe2 tus to expand the market lies in raising the peasantry’s incomes,quickening the construction of central country,advancing the urbanization,and cultivating new hotspots on consum ption in country.The article em phasizes that forming characteristic agriculture in Fujian,taking the way to industrialization of farming ,perfecting the service system of farming,and strengthening the cooperation of agriculture between Fujian and T aiwan are im portant approaches to raise the peasantry’s incomes efficiently.Meanwhile,the author suggests that g overnment should cultivate new hotspots such as service industry,in formation industry,ed2 ucation system,small exhibition center and s o on.K ey w ords:Fujian;consum ption marketing in country;cause;im petus(上接第31页)Simulating Chaotic System with MatlabS U Da2sheng,XI A X iao2jian(Department of Physics,Quanzhou N ormal University,Fujian362000,China)Abstract:This article presents a method to simulink R ossler equation,Du ffing equation and Van der pol equation with Matlab.Then presents the brief dem onstration and discussion of result.The exam ples ben2 efit to the research and teaching of chaos.K ey w ords:chaos;Matlab;simulink。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告物电05级1A班张丹伟20050003101摘要：本文利用数学软件MATLAB对Lorenz系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。
通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。
关键词：混沌；微分方程；MA TLAB；引言．混沌探秘混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。
混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。
一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。
一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。
可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。
一．混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。
2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。
利用Matlab进行分形分析和混沌系统建模
利用Matlab进行分形分析和混沌系统建模Matlab是一种非常强大的数学软件，它被广泛应用于科学研究和工程领域。
其中，分形分析和混沌系统建模是Matlab独特的应用之一。
本文将深入探讨利用Matlab进行分形分析和混沌系统建模的方法和技巧。
1. 引言在现代科学中，许多自然现象和复杂系统都表现出分形和混沌的特征。
这些特征对于理解和模拟真实世界中的各种现象非常重要。
Matlab作为一种功能强大的数学软件，为我们提供了丰富的工具和函数，用于分析和建模分形和混沌系统。
2. 分形分析分形是一种具有自相似性的几何形状，其特点是在不同尺度上具有相似的结构和形状。
Matlab提供了许多用于分形分析的函数和工具包，如boxcount、fractal、mandelbrot等。
我们可以使用这些函数来生成和分析分形图形，并计算其维数和特征。
例如，我们可以使用Matlab的boxcount函数来计算分形图形的盒计数维数。
首先，我们可以使用fractal函数生成一个分形图形，然后使用boxcount函数对其进行盒计数。
通过不断改变盒子的大小，我们可以计算出盒子的数量与尺寸之间的关系，从而得到分形图形的维数。
3. 混沌系统建模混沌系统是一类表现出极其敏感的初始条件的非线性动力系统。
这种系统展现出了高度的不确定性和随机性。
在Matlab中，我们可以建立混沌系统的模型，并进行仿真和分析。
Matlab提供了丰富的函数和工具包，用于建模和分析混沌系统。
例如，我们可以使用ode45函数来求解混沌系统的常微分方程，并生成系统的时间序列。
然后，我们可以使用plot函数绘制系统的相图和轨迹，并分析其特征。
另外，Matlab还提供了Lorenz系统、Henon映射、Logistic映射等经典混沌系统的建模工具包。
我们可以直接调用这些函数来生成和分析这些混沌系统，并探索它们的特性和行为。
4. 分形分析与混沌系统建模的应用分形分析和混沌系统在众多领域中都有广泛的应用。
基于Matlab的Rossler混沌研究
二、倍周期分岔
x y z y x a * y z b z *( x c)
• 下面将以Rossler 系统在时间 t=0:300;初值 (0.1,0.2,0.3）， 参数a=0.2， b=0.2, 改变c大 小来展示其倍周 期分岔特性。
Rossler倍周期分岔进入混沌
物理与工程学院2012届应物专业论文答辩
基于MATLAB的罗斯勒系统的混沌特性 研究
专 业： 应用物理学 班 级： 应物082 答 辩 人： 崔晓鹏
混沌的发现
混沌 混沌的特性 主 要 内 容
初值敏感性
Rossler系 统
倍周期分岔 功率谱分析
混沌的发现
混沌是国内外学术界对非 线性系统研究领域研究非常活 跃的前沿课题。在1963年美国 著名的气象学家洛伦兹在分析 气候数据时发现: 初值十分接 近的两条曲线的最终结果会相 差很大。这是混沌吸引子的第 一个例子，从此拉开了混沌研 究的帷幕。
x y z y x a * y z b z *( x c)
c=5.7 Rossler单周期运行图，t=6
c=5.7 Rossler双周期运行图,t=12
c=5.7 Rossler系统动画演示,t继续增大
c=5.7 多周期运行图以至于混沌， t=1000
三、功率谱分析
Rossler方程
x„，y‟和z„表示对自变量对时 间t求导数。(x，y，z)表示 系统的状态。a，b，c，是 系统参数。方程看上去很简 单，除去第三个方程中的二 次项 z*x，则系统是线性的。 但一个著名的事实是，这个 简单系统存在混沌行为。
混沌系统相图
在经典力学中，一个系统的运 动可以用相空间中的轨道来表示， 混沌系统也可以这样描述，我们将 作Rossler系统的x、y、z关系图即 Rossler系统的相图，以更方便地研 究 Rossler 系 统 。 研 究 参 数 a=0.2,b=0.2,c可变。
利用Matlab仿真模拟Rossler混沌系统及混沌控制
利用Matlab仿真模拟Rossler混沌系统及混沌控制
郭怡冰;苑文法
【期刊名称】《南阳师范学院学报》
【年(卷),期】2010(009)003
【摘要】以Rossler混沌系统为例,运用Matlab对混沌系统及其延迟反馈控制系统进行建模和动态仿真,分析了其动态仿真在混沌控制中的应用,体现了Matlab在应用于仿真模拟混沌系统方面的方便性、直观性等优点.
【总页数】4页(P18-21)
【作者】郭怡冰;苑文法
【作者单位】西安建筑科技大学,理学院,陕西,西安,710055;西安建筑科技大学,理学院,陕西,西安,710055
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9
【相关文献】
1.利用Rossler系统对心脏搏动实现混沌反控制 [J], 周燕瑜;杜妍辰
2.超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的异结构同步 [J], 蒋楠
3.超混沌Rossler系统混沌同步的反馈控制实现 [J], 吴琛义;高明成;李勇
4.Rossler超混沌系统的混沌特性分析 [J], 赖宏慧;张小红;陈宇环
5.超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的自适应控制同步 [J], 蒋楠
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c=3.5 双周期
Rossler倍周期分岔进入混沌
c=4.0 四周期
Rossler倍周期分岔进入混沌
c=5.7 八周期 逐渐进入混沌
下面以参数a=0.2,b=0.2,c=5.7来模 拟一下Rossler系统通过分岔进入 混沌的全过程,t代表运行时间
功率谱分析是研究时间序列所遵从的统计规 律的方法之一。一个时间序列可以看做各种周期 运动的叠加，确定各周期的动能量的分配就叫做 功率谱。鉴定一个系统的混沌行为，常用功率谱。 Matlab进行功率谱分析的工具是FFT函数
t=10000 各维度功率谱
t=10000 z轴功率谱
周期运动在功 率谱中对应尖 锋
物理与工程学院2012届应物专业论文答辩
基于MATLAB的罗斯勒系统的混沌特性 研究
专 业： 应用物理学 班 级： 应物082 答 辩 人： 崔晓鹏
混沌的发现
混沌 混沌的特性 主 要 内 容
初值敏感性
Rossler系 统
倍周期分岔 功率谱分析
混沌的发现
混沌是国内外学术界对非 线性系统研究领域研究非常活 跃的前沿课题。在1963年美国 著名的气象学家洛伦兹在分析 气候数据时发现: 初值十分接 近的两条曲线的最终结果会相 差很大。这是混沌吸引子的第 一个例子，从此拉开了混沌研 究的帷幕。
x' ( x y) y' xz rx y z ' xy bz
Rossler方程
x y z y x a * y z b z *( x c)
x y z y x a * y z b z *( x c)
洛伦兹初值敏感性演示
初值极微小改 变，结果却完 全丌一样
气象学家洛仑兹所说的蝴蝶效应
混沌的主要特性
• (1)初值的敏感性 • (2)有界性不遍历性 • (3)内随机性 • (4)分数维
Lorenz方程
气象学家Lorenz 在研究大 气热对流时，得到了一个非 线性微分方程组，其数值解 产生了奇特的混沌现象 。 Rossler 对该方程组进行简 化，得到了只含一个非线性 项且能产生混沌运动的微分 方程组，这就是Rossler系 统。Rossler系统是一个简 单的非线性系统
一、Rossler系统的z分量初值敏感性演示
Z初值改变0.01
二、倍周期分岔
在动力系统演化过程中的某些关节点上，系统 的定态行为可能发生性质的改变，原来的稳定定态 变为丌稳定定态，同时出现新的更多的定态，这种 现象叫作“分岔”。分岔是由运动方程中参数的变 化引起的，分岔序列又往往是出现混沌的先兆，最 终会导致混沌。 倍周期分岔过程是一条通向混沌的典型道路， 通过倍周期分叉到达混沌现象的过程中，会依次经 过单周期，2周期, 4周期，8周期……等数量以翻倍 的形式进行。
Rossler方程
x„，y‟和z„表示对自变量对时 间t求导数。(x，y，z)表示 系统的状态。a，b，c，是 系统参数。方程看上去很简 单，除去第三个方程中的二 次项 z*x，则系统是线性的。 但一个著名的事实是，这个 简单系统存在混沌行为。
混沌系统相图
在经典力学中，一个系统的运 动可以用相空间中的轨道来表示， 混沌系统也可以这样描述，我们将 作Rossler系统的x、y、z关系图即 Rossler系统的相图，以更方便地研 究 Rossler 系 统 。 研 究 参 数 a=0.2,b=0.2,c可变。
放大
t=10000 z轴功率谱
“噪声背景”和宽锋 是混沌功率谱的特 征
结论
1、在混沌态Rossler系统的相图曲线对初值高度敏感， 其行为不可预测，呈现随机性，即在长时间运动后一个 确定的运动变成无法预言的随机行为。这种对初始条件 的敏感性和对未来的无法预见性，是混沌解的显著特征。 2、随着参数的改变，Rossler系统通过倍周期分岔逐 步走向混沌。 3、在混沌态，Rossler系统的相轨迹局部不稳定，但 全局稳定，相轨迹始终被限制到相图中的某一区域。表 现出典型的吸引子特性。混沌系统看似无序，却有着内 在的深层次规律性。 4、Rossler系统混沌功率谱中除了拥有尖锐的周期峰 外，还有众多的背景杂波和宽峰，这是混沌的典型特征。
欢迎各位老师和同学的指正
祝： 各位老师和同学工作学习顺利、家庭 幸福！
2012.6.8 崔晓鹏
二、倍周期分岔
x y z y x a * y z b z *( x c)
• 下面将以Rossler 系统在时间 t=0:300;初值 (0.1,0.2,0.3）， 参数a=0.2， b=0.2, 改变c大 小来展示其倍周 期分岔特性。
Rossler倍周期分岔进入混沌
x y z y x a * y z b z *( x c)
c=5.7 Rossler单周期运行图，t=6
c=5.7 Rossler双周期运行图,t=12
c=5.7 Rossler系统动画演示,t继续增大
c=5.7 多周期运行图以至于混沌， t=1000
三、功率谱分析