2014-2015年上海市控江中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
上海市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题B= ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U2．若函数，则f（x）•g（x）= ．3．函数y=的定义域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣315．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题B= {0} ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．B={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CU【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，B={x|x≤}，所以，CU所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，B={0}，即A∩CU故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2．若函数，则f（x）•g（x）= x（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．故答案为：x（x＞0）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．3．函数y=的定义域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为（﹣∞，] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是[﹣7，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，由题意可得≤，解得a≤2，则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m 的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为 3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵ x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）= [（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，则A⊆∁B．故（4）正确．U∴正确命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】原不等式化为＜0，分类讨论即可得到答案．【解答】解：化为式﹣1＞0，即＞0，即＜0，当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，∵﹣4∉P，∴a≥4；当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，∴﹣4∉P，∴a＜﹣3；当a+3=0时，即x∈∅，∴﹣4∉P，综上所述：a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，故选：C．【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．【考点】充要条件．【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得实数b的取值范围；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵a=2，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得：b∈[﹣1，1]；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，即a＜1，b≤|a﹣1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．（2）二次函数的对称轴是x=，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．【解答】解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=，因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，所以x=＜＜1，所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．所以f（x）min=f（1）=a﹣c，因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，所以a﹣c＞c2﹣2c+a，所以0＜c＜1；（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=．若f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，所以函数f（x）在区间（0，）和（，1）内分别有一零点．故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；若f（0）=c＜0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a 的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】应用题；新定义；函数思想．【分析】（1）取值带入即可；（2）根据函数f （x ）的定义求解x 0即可；（3）利用函数的思想求解．【解答】解：（1）令x 0=2，则，成立；（2）假设函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2是集合M 中的元素，则存在x 0，使f （x 0+1）≤f（x 0）f （1）成立，即（x 0+1）2﹣（x 0+1）﹣2≤（）（﹣2），解得：， 故x 0组成的集合是：{x 0|}； （3）∵函数f （x ）=，∴，设g （x ）==，∴0＜g （x ）＜3，2a=0时显然成立，当a ＞0时，a ＞g （x ），∴a＞3；a ＜0时，a ＜g （x ），∴a＜0；综上，a≤0或a ＞3【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题。
【数学】上海市行知中学2014-2015学年高一上学期期中考试.docx
上海市行知中学2014—— 2015 学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷命题人：高云审核人：赵传义一、填空题（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）1．设全集U R ．若集合A＝{x|1＞1}，则C U A______ x2．不等式1x0 的解集是____ x23 、设全集为U，集合A U、B U ，下列关系中与 A B 等价的是。
（写出你认为正确的所有序号）（1）A B A ；（2） A B B ；（3）A C U B；（4） B C U A。
4、命题“若 x＞ 2 且 y＞3，则 x+y＞ 5”的否命题是 ______命题．（填入“真”或“假”）5．已知y f ( x) 是奇函数，若 g( x) f (x) 1且 g(1) 2 ，则 g( 1)6． f x x 2 2 a 1 x 2在,4 上是减函数，则a的取值范围7．已知f ( 2x1) x 22x ，则 f (3) =8、已知a, b(a, b N *) 满足191 ，则当a b取最小值时，a、b的值分别a b是.9．函数f x3ax在1,1上存在一个零点，则a的取值范围是. 2a 110、设集合A={0,1} ，B＝{ a2, 2a}，定义： A B { x | x x1 x2 , x1 A , x2 B } ，若集合 A B中元素的最大值为 2a1，则实数a的取值范围是。
11．若不等式x2kx k 10对 x(1，2) 恒成立，则实数k的取值范围是______.12、设函数f ( x), g( x)的定义域分别为 D f , D g，且 D f D g，若对于任意 x D f，都有 g( x) f ( x)，则称函数 g( x) 为 f ( x) 在D g上的一个延拓函数。
设f ( x)x 22x, x( ,0] ，g ( x)为f ( x)在R上的一个延拓函数，且g( x)为偶函数，则 g ( x)______________________二、选择题（本大题共 4 题，每题 4 分，满分 16 分）13．已知集合 Mx x22x 0 ， N { x |3x 0} ， UR ， 中阴影部分1 x表示的集合是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）．A . ( ,0) ∪ (1, ) B.( , 3] ∪ (2, ) C . ( , 3) ∪(2, )D .(,0] ∪ [2,)14．f x 是 R 上的偶函数，且在， 上 减函数，若 x 0， x x 2 0 ，1 1（）A ． f x 1 f x 2B ． f x 1 f x 2C ． f x 1f x 2D ．不能确定 f x 1 与 f x 2的大小15. 下列命 中，正确的是（ ）A. x4 的最小 是 4B.2 1 的最小 是 2xx44x 2C. 如果 a ＞b ，c ＞d ，那么 a c ＜ b dD. 如果 ac 2＞ bc 2，那么 a ＞ b16、 函数 y f ( x) 与函数 yg (x) 的 像如 所示， 函数 yf ( x) g( x) 的像可能是下面的（）三 .解答 （本大 共有 5 ， 分 52 分） ,17、（本小 分 8 分）已知集合 A x | x a1 , Bx | x 25x 40 , 且 A B，求 数 a 的取范 。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ． 1y x =+ C ．21y x =-+ D ． 2x y -= 2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D 3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， ()22x f x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程220f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 6．设}3 2, ,21,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ） A ．3 ,31 B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31 ,1-7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x ，且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．23 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A ．2-或6B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或310 9．方程021231=⎪⎭⎫⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ） A ．) 1 ,0 ( B ．) 2 ,1 ( C ．) 3 ,2 ( D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xbay =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能．．． 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．610．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7811．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 12．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．17．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．18．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.19．函数2()log 1f x x =-________．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式 22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 24．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+25．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB ，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩， 由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．18．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
数学上学期期中试题-2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题及答案
2014-2015学年度第一学段自主检测高一数学（A ）考生注意：1、 本试卷共150分，考试时间120分钟。
2、 使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要求字迹工整，笔记清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
3、 答卷前请将密封线内的项目填写清楚第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|2},{|log(1)}x M x y N x y x ====-，则R M C N =（ ）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．RD ．φ2、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．()()22,()f x x g x x == B ．()()21,11x f x g x x x -==+- C ．()()2,f x x g x x == D ．()()211,1f x x x g x x =+-=-3、设()()10100,010x x f x x h x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩是有理数是无理数，则(())f h e 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．e4、若()22(1)2f x x a x =--+在(],3-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．4a > B ．4a < C ．4a ≥ D ．4a ≤5、满足“对定义域内任一实数,x y ，都有()()()f x y f x f y ⋅=+”的单调递减函数是（ ）A ．2log y x =B ．0.3log y x =C ．3x y =D ．0.1x y =6、设()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数，且()()41f f >，则下列各式一定成立的是（ ）A ．()()06f f <B ．()()43f f >C ．()()20f f >D ．()()14f f -<7、函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）8、设0.2444,0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>9、定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222x x f x g x -+=-+，则()2f 等于（ ）A ．2B ．154C ．4D ．17410、已知函数()x f x e =，如果12,x x R ∈，且12x x ≠，下列关于()f x 的性质；①1212()[()()]0x x f x f x -->；②()()f x f x -=；③()()f x f x -=-； ④1212()()()22f x f x x x f --> 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
2014-2015学年度高一数学期中试卷(含答案解析)
第1页 共10页 ◎ 第2页 共10页绝密★启用前2014-2015学年度期中卷高一数学考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 （ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}1,4MN = D ．{}2,3M N =【答案】D【解析】解：因为根据已知 的集合，可以判定集合间的关系，以及集合的运算，那么显然选项D 成立。
2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-. 考点：集合的特征及集合的基本运算. 3．设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1 【答案】A【解析】因为y=3x在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A4．若0.90.48 1.54,8,0.5a b c -===则（ ）A .c b a >> B. a c b >> C.b a c >> D.b c a >> 【答案】D【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.542,82.(0.5)2.-===函数2x y =是增函数，1.8 1.5 1.44,>>所以.a c b >>故选D5．函数()f x =的定义域是 A. {x ︱34x >} B. {01x x <≤} C. {1x x ≥} D. {x ︱314x <≤} 【答案】D 【解析】略6．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f xf f +=+=则=)5(f （）A．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x=-1可得(1)(1)(2)(1)(2),(2)2(1)1,f f f f f f f =-+=-+∴==13(3)(1)(2)122f f f ∴=+=+=,35(5)(3)(2)122f f f =+=+=.7．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a ), 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为 ( )【答案】C【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案． 解答：解：根据他先前进了akm ，得图象是一段上升的直线，DCBA第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t 轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm （b ＜a ），得图象是一段下降的直线， 由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线， 综合，得图象是C ， 故选C ．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 8．函数的单调增区间为（ ）A ．B ．（3，+∞）C ．D ．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x 2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A 、C ， 根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D9．若函数()1(0,1)1x mf x a a a =+>≠-是奇函数，则m 为 A.1- B.2 C.1 D.2-【答案】B 【解析】 试题分析：111111x a(),()()xxxm m mf x f x aaa --=+=+-=-+--- 由于函数是奇函数，()(),f x fx ∴-=-即x a (1)1(1)2111x x x x m m m a a a a -+=-+∴=--- 所以2m =，故选：B.考点：函数的奇偶性10． 下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（ ） （1）2()1f x x =+和2()1f v v =+(2) y =和y =(3) y=x 和321x xy x +=+ (4) y=和y(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组 【答案】C【解析】根据同意哈函数的定义可知选项A 中定义域和对应关系相同，成立，选项B 中，定义域相同，对应关系相同，选项C 中，相同，选项D 中，定义域不同，故是同一函数的 组数有3组，故选C 11．已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图像可能是（ ）【答案】B【解析】试题分析：因为根据1a >,可知指数函数递增函数，排除C ，D 选项，同时在选项A,B 中，由于对数函数log ()a y x =-的图像与log a y x =的图像关于y 轴堆成，那么可知.排除A.正确的选项为B.考点：本题主要是考查同底的指数函数与对数函数图像之间的关系的运用。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)
π 3 f (a ) − f (b ) > 0 成立，则必有（ 9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a，b ，总有 a −b
D. f (−1) > f (−π ) > f ( ) A. 函数 f ( x ) 是先增 加后减少 C. f ( x ) 在 R 上是增函数 B. 函数 f ( x ) 是先减少后增加 D. f ( x ) 在 R 上是减函数
）个
12.定义在 [ −1,1] 的函数 f ( x) 满足下列两个条件：①任意的 x ∈ [−1,1] ，都有 f (− x) = − f ( x) ；②任意的 m, n ∈ [0,1] ，当
f ( m) − f ( n) < 0 ，则不等式 f (1 − 3 x) < f ( x − 1) 的解集是 m−n 1 1 2 1 2 B. ( , ] C. [−1, ) D. [ ,1] A. [0, ) 2 2 3 2 3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 x − 1 (x ≥ 3) ，则 f ( f (− 1)) 的值是 13. 已知函数 f ( x ) = 。 1 − 3 x (x < 3) m ≠ n ，都有
[来源:学科
π 3
B. f ( ) > f (−1) > f (−π )
π 3
π 3
）
10. 如果函数 f ( x) = x 2 + 2(a − 1) x + 2 在区间 ( −∞, 4] 上单调递减，那么实数 a 的取值范围是 A. a ≥ 5 B.
a≤5
C. a ≥ −3
第- 1 -页，共 4 页
20.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = x （1）求 f ( x) 的解析式; （ 2）解关于 x 的不等式 f ( x) ≤
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析没有明显有问题的段落需要删除，只需修改格式错误和语言表达不清的地方。
XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{1,2\}$。
C。
$\{0,1,2\}$。
D。
$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。
$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。
2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。
利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。
3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。
$(1,+\infty)$。
B。
$[1,+\infty)$。
C。
$(0,+\infty)$。
D。
$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。
由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。
$y=-|x|$。
B。
$y=x$。
C。
$y=|x|$。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)
高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。
一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一上学期期中数学试卷(基础篇)(解析版)
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2014-2015学年上海中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝ ．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝ ．3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝ ． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是 ． 5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= ． 6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为 ．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为 ．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 ．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝ ．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 ．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 ． 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2|C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（ ）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值； （2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．17．已知函数f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设x ∈[−π3，π3]，求f （x ）的单调区间．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g （x ）的值域．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．20．已知函数f（x）＝a（|sin x|+|cos x|）+4sin2x+9，若f(9π4)=13−9√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n，使得f（x）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，共33分）1．角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），则sin θ＝45．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值．解：∵角θ的终边过点P （3t ，4t ）（t ＞0），∴x ＝3t ，y ＝4t ，r ＝|OP |＝5t ， 则sin θ=y r =45， 故答案为：45．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．所谓弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数，如图，BC ̂，CF ̂的度数分别为62°，68°，则∠BAF +∠DCE ＝ 65° ．【分析】连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ，即可得出结论．解：连接DF ，则∠DCE ＝∠DFE ，∴∠BAF +∠DCE ＝∠BAF +∠DFE ＝∠BDF ， ∵BĈ，CF ̂的度数分别为62°，68°， ∴∠BDF =12(62°+68°)=65°，故答案为65°．【点评】本题考查圆周角定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础， 3．已知函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ＝π6．【分析】由题意利用三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性可得−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ，由此求得φ的值． 解：∵函数y ＝sin[2（x −π3）+φ]是偶函数，∴−2π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，即φ＝k π+7π6，k ∈Z ， 结合0＜φ＜π，则φ=π6， 故答案为：π6．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 4．方程sin x +cos x ＝﹣1的解集是 {x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z } ．【分析】先利用两角和公式对 sin x +cos x 化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集．解：sin x +cos x =√2（ √22sin x +√22cos x ）=√2sin （x +π4）＝﹣1∴sin （x +π4）=−√22∴x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z故答案为：{x |x ＝（2n ﹣1）π或x ＝2n π−π2，n ∈Z }．【点评】本题主要考查了终边相同的角、正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．5．若π＜θ＜3π2，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ= cos θ2 ．【分析】利用二倍角余弦公式的变形进行转化去根号是解决本题的关键，即将被开方数进行升幂转化，结合角所在的象限进行开方化简． 解：由于π＜θ＜3π2，则π2＜θ2＜3π4， ∴cos θ＜0，sin θ2＞0，cos θ2＜0，则√12+12√12+12cos2θ−√1−sinθ=√12+12√cos 2θ−√1−2sin θ2cos θ2=√1−cosθ2−√(sin θ2−cos θ2)2=sin θ2−|sin θ2−cos θ2| ＝sin θ2−sin θ2+cosθ2=cos θ2．故答案为：cos θ2．【点评】本题考查二倍角余弦公式的变形公式的运用，考查三角函数的基本关系式的应用，诱导公式带根号问题的处理方法，考查学生的转化与化归思想和方法，注意角所在象限对三角函数正负的影响，是中档题．6．设函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x 2)+cos2x ，若|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围为 （0，5） ．【分析】利用倍角公式、诱导公式化简f （x ），利用其单调性可得f （x ）的值域，再利用绝对值不等式的解法即可得出．解：函数f(x)=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ＝4sin x •1−cos(π2+x)2+cos2x ＝2sin x （1+sin x ）+1﹣2sin 2x ＝2sin x +1，∵π6≤x ≤2π3，∴sin x ∈[12，1]，∴f （x ）∈[2，3]．∵|f （x ）﹣m |＜2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，即0＜m ＜5． 则实数m 的取值范围为（0，5）． 故答案为：（0，5）．【点评】本题考查了倍角公式、诱导公式、三角函数的单调性、绝对值不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若动直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为 √3 ．【分析】设M （x 0，sin （x 0+π6） ），N （x 0，2cos x 0），化简|MN |为|sin （x 0+π6）|，利用正弦函数的有界性求得它的最最大値．解：直线x ＝a 与f(x)=sin(x +π6)和g （x ）＝2cos x 的图象分别交于M ，N 两点， 设M （x 0，sin （x 0+π6） ），N （x 0，2cos x 0）， 则|MN |＝|2cos x 0﹣sin （x 0+π6）|＝|√32sin x 0−32cos x 0|=√3•|12sin x 0 −√32cos x 0|=√3|sin （x 0−π3）|≤√3，当且仅当x 0−π3=k π+π2，k ∈z 时，即x 0 ＝k π+5π6，k ∈z 时，等号成立，则|MN |的最大值为√3，故答案为：√3．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，考查两点间的距离公式与辅助角公式的应用，正弦函数的有界性，属于中档题．8．若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立，则x ，y 应满足的条件为 x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ． 【分析】由题意利用两角和的余弦公式可得sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，由此求得x 和y 的取值范围，即为所求．解：∵cos （x +y ）＝cos x cos y ﹣sin x sin y ，若等式cos x •cos y ＝cos （x +y ）成立， 则sin x sin y ＝0，即sin x ＝0 或sin y ＝0，故x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ， 故答案为：x ＝k π，或y ＝k π，k ∈Z ．【点评】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题．9．将函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的形式后，振幅为1，则α﹣β＝ 2k π±2π3，k ∈Z ．【分析】化函数y 为y ＝A sin （ωx +φ）后，振幅为1，得出（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝1，求出cos （α﹣β）=−12，得α﹣β的值．解：函数y ＝sin （x +α）+sin （x +β）＝（sin x cos α+cos x sin α）+（sin x cos β+cos x sin β） ＝sin x （cos α+cos β）+cos x （sin α+sin β），化为y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）后，振幅为1， ∴（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2＝cos 2α+2cos αcos β+cos 2β+sin 2α+2sin αsin β+sin 2β ＝2+2cos （α﹣β）＝1，∴cos （α﹣β）=−12，α﹣β＝2k π±2π3，k ∈Z ．故答案为：2k π±2π3，k ∈Z ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数应用问题，是基础题．10．若函数f （x ）＝cos x +|sin x |（x ∈[0，2π]）的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 1≤k ＜√2 ．【分析】根据x 的范围分两种情况，利用绝对值的代数意义化简|sin x |，然后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，根据x 的范围分别求出正弦对应角的范围，画出相应的图象，根据题意并且结合正弦图象可得出k 的范围．解：当x ∈[0，π]时，|sin x |＝sin x ， 所以y ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4）， 当x ∈（π，2π）时，|sin x |＝﹣sin x ， 所以y ＝﹣sin x +cos x =√2sin （π4−x ），根据解析式画出分段函数图象，分析可得k 的范围为：1≤k ＜√2． 故答案为：1≤k ＜√2．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，绝对值的代数意义，以及正弦函数的图象，利用了数形结合的思想．根据x 的范围化简|sin x |，再利用三角函数的恒等变换得到一个角的正弦函数，从而确定出分段函数的解析式，在坐标系中画出相应的分段函数图象是解本题的关键．11．设0＜x ＜π2，则函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 ．【分析】法一：先利用二倍角公式将函数f （x ）化简，有两个方向，一是通过升次缩角，将函数中的角统一为单角x ，通过对二次齐次式分子分母同除以cos 2x 的办法，转化为关于x 的正切函数的值域问题，利用均值定理求最值，法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x ，利用数形结合求函数的最值解：解法一：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x sin2x =2cos 2x+6sin 2x 2sinx⋅cosx∵0＜x ＜π2，∴cos x ＞0，tan x ＞0， ∴将f （x ）的分子分母同除以cos 2x∴f （x ）=2+6tan 2x 2tanx =1tanx +3tanx ≥2√1tanx×3tanx =2√3（当且仅当tan x =√33，即x =π6时取等号）∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3 故答案为2√3解法二：∵f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x =1+cos2x+6×1−cos2x2sin2x=−2(cos2x−2)sin2x∴设x ＝sin2x ，y ＝cos2x ，∵0＜x ＜π2，∴0＜x ≤1，﹣1＜y ＜1， 且x 2+y 2＝1∴点P （x ，y ）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图 此时y−2x表示点P 与点（0，2）连线的斜率数形结合可得：OP ＝r ＝1，OM ＝2，∠MAO ＝60° ∴y−2x≤−√3∴−2(cos2x−2)sin2x=−2(y−2)x≥2√3∴函数f(x)=1+cos2x+6sin 2x sin2x的最小值为 2√3故答案为2√3【点评】本题考察了三角函数求最值的方法，二倍角公式的应用，均值定理求最值和数形结合求最值的运用，转化化归的思想方法 二、选择题（每题4分，共16分）12．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．k2π与kπ+π2（k ∈Z ）B ．kπ±π3与k 3π（k ∈Z ）C ．（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）D ．kπ+π6与kπ±π6（k ∈Z ）【分析】把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断． 解：由于kπ2表示π2的整数倍，而 kπ+π2=（2k +1）π2表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A 不满足条件． 由于k π±π3=（3k ±1）π3表示π3的非3的整数倍，而kπ3表示π3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B 不满足条件．（2k +1）π 表示π的奇数倍，（4k ±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k +1）π与（4k ±1）π（k ∈Z ）是终边相同的角，故C 满足条件． k π+π6=(6k+1)π6，表示π6 的(6k+1)6倍，而 k π±π6=表示π6的(6k±1)6倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件． 故选：C ．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．13．下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ） A ．f （x ）＝sin x +cos x B ．f(x)=|tan x2| C ．f （x ）＝|sin2x |D ．f(x)=sin(x +π3)cosx【分析】判断这四个函数的最小正周期，需要逐一分析．A 、D 选项用三角函数对应的公式化为y ＝A sin （ωx +φ）（ω＞0）的形式．C 与B 选项用函数的图象的性质，求出四个函数的周期，得到结果．解：对于A ，f （x ）＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），其最小正周期T ＝2π；对于B ，f （x ）=f(x)=|tan x2|，先去掉绝对值，利用正切的周期公式得到f （x ）＝tan x2，其最小正周期T ＝2π； 加上绝对值后周期仍然是2π；对于C ，y ＝|sin2x |，y ＝sin2x 的周期是π，加上绝对值以后周期为π2对于D ，f(x)=sin(x +π3)cosx =（12sin x +√32cos x ）cos x =12sin2x +√32×cos2x+12=14sin2x +√34cos2x +√34=12sin （2x +π3）+π4，∴函数的周期是T =2π2=π 综上可知只有D 选项的函数的周期是π 故选：D ．【点评】本题考查三角函数最小正周期的求法．根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T =2πω，正切型最小正周期为T =πω，初次之外可以用图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换，得到可以利用三角函数的周期公式来求解的形式，本题是一个中档题目．14．已知cos(arcsina)=√32，tan(arccosb)=−√3，且sinx 1−cosx=a +b ，则角x ＝（ ）A ．x =2kπ−π2，k ∈ZB ．x =2kπ+π2，k ∈ZC ．x ＝2k π，k ∈ZD ．x ＝2k π+π，k ∈Z【分析】利用反三角函数的本质概念及性质，求出a 、b 即可．解：令arcsin a ＝θ，∵cos(arcsina)=√32，∴cos θ=√32，则sin θ＝a =12令arccos b ＝β，∵tan(arccosb)=−√3，∴tan β=−√3，则cos β＝b =−12． ∴sinx1−cosx=a +b =0，则sin x ＝0且cos x ≠1，∴x ＝2k π+π，（k ∈Z ），故选：D ．【点评】本题考查了反三角函数的本质概念及性质，及解三角方程、三角函数的性质，属于中档题．15．已知α、β∈R ，且设p ：α＞β，设q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α，则p 是q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用两角差的正弦公式化简命题q ，利用充要条件的定义判断出p 是q 的充要条件． 解：q ：α+sin αcos β＞β+sin βcos α即α﹣β＞sin （β﹣α）⇔α﹣β＞0⇔α＞β 故选：A ．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，常将复杂的命题先化简，再判断． 三、解答题16．已知关于x 的方程169x 2﹣bx +60＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b 的值；（2）求sinθ1−cosθ+1+cosθsinθ的值．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出b的值即可；（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ与cosθ的值，原式通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，将sinθ与cosθ的值代入计算即可求出值．解：（1）∵169x2﹣bx+60＝0的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ=b169，sinθcosθ=60169＞0，∵θ∈(π4，3π4)，∴θ+π4∈（π2，π），即sinθ+cosθ=√2sin（θ+π4）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×60169=（b169）2，解得：b＝±221（负值舍去），则b＝221；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×60169=49 169，∴sinθ﹣cosθ=7 13，∵sinθ+cosθ=17 13，∴sinθ=1213，cosθ=513，则原式=sin2θ+1−cos2θsinθ(1−cosθ)=2sinθ1−cosθ=3．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．已知函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)−2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x∈[−π3，π3]，求f（x）的单调区间．【分析】根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω＝2，可得f（x）的最小正周期；x∈[−π3，π3]，⇒−π3≤2x+π3≤π，当−π3≤2x+π3≤π2，即−π3≤x≤π12时f（x）递减，同理求得递增区间．解：f(x)=√3(sin 2x −cos 2x)−2sinxcosx =−（sin2x +√3cos2x ）＝﹣2sin （2x +π3）．（1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π．（2）∵x ∈[−π3，π3]，∴−π3≤2x +π3≤π， 当−π3≤2x +π3≤π2，即−π3≤x ≤π12， 故f （x ）的递减区间为[−π3，π12]．增区间为[π12，π3]．【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键，属于中档题．18．已知函数f （t ）=√1−t 1+t，g(x)=cosx ⋅f(sinx)+sinx ⋅f(cosx)，x ∈(π，17π12)．（Ⅰ）将函数g （x ）化简成A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式； （Ⅱ）求函数g （x ）的值域．【分析】（1）将f （sin x ），f （cos x ）代入g （x ），分子分母分别乘以（1﹣sin x ），（1﹣cos x ）去掉根号，再由x 的范围去绝对值可得答案．（2）先由x 的范围求出x +π4的范围，再由三角函数的单调性可得答案． 解：（Ⅰ）g(x)=cosx ⋅√1−sinx 1+sinx+sinx ⋅√1−cosx 1+cosx=cosx ⋅√(1−sinx)2cos 2x+sinx ⋅√(1−cosx)2sin 2x∵x ∈(π，17π12]，∴|cosx|=−cosx ，|sinx|=−sinx ， ∴g(x)=cosx ⋅1−sinx −cosx +sinx ⋅1−cosx−sinx＝sin x +cos x ﹣2=√2sin(x +π4)−2． （Ⅱ）由π＜x ≤17π12，得5π4＜x +π4≤5π3． ∵sin t 在(5π4，3π2]上为减函数，在(3π2，5π3]上为增函数，又sin 5π3＜sin 5π4，∴sin 3π2≤sin(x +π4)＜sin 5π4（当x ∈(π，17π2]），即−1≤sin(x +π4)＜−√22，∴−√2−2≤√2sin(x +π4)−2＜−3，故g （x ）的值域为[−√2−2，−3)．【点评】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．19．（1）如图1，矩形ABCD 中AB ＝1，AD ＞1且AD 长不定，将△BCE 沿CE 折起，使得折起后点B 落到AD 边上，设∠BCE ＝θ，CE ＝L ，求L 关于θ的函数关系式并求L 的最小值．（2）如图2，矩形ABCD 中AB ＝1．将矩形折起，使得点B 与点F 重合，当点F 取遍CD 边上每一个点时，得到的每一条折痕都与边AD 、CB 相交，求边AD 长的取值范围．【分析】（1）由图1及对称性知，CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ，又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ，得AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ，由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，利用导数求解（2）当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合，当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线，AD ≥BC 解：（1）由图1及对称性知， CF ＝CB ＝L cos θ，FE ＝BE ＝L sin θ， 又∠FEA ＝∠FCB ＝2θ， ∴AE ＝FE cos2θ＝L sin θcos2θ， 由AE +BE ＝L sin θcos2θ+L sin θ＝1得， L =1sinθ+sinθcos2θ，即L 关于θ的函数关系式 L =1sinθ+sinθcos2θ，θ∈（0，π2），L ′=2cosθ(2sin 2θ−cos 2θ)4sin 2θcos 4θ=0， 可得tan θ=√22，即有arctan √22＜θ＜π2，L ′＞0，函数L 递增；0＜θ＜arctan √22，L ′＜0，函数L 递减．可得L =133+33×(1−2×13)=3√34， 此时L 取得最小值为3√34；（2）如下图，当着痕GH 经过AD ，BC 中点时，B 与C 重合， 当矩形ABCD 为正方形时，点B 与A 重合时，折痕刚好为对角线， AD ≥BC ，∴AD 的范围是[1，+∞）【点评】本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．已知函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9，若f(9π4)=13−9√2． （1）求a 的值；（2）求f （x ）的最小正周期（不需证明最小性）；（3）是否存在正整数n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2)内恰有2015个根．若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）计算x =9π4时f （x ）的值，从而解得a 的值； （2）根据f （x +π）＝f （x ），求得f （x ）的最小正周期为π；（3）讨论f （x ）在一个周期内的函数性质，即x ∈[0，π2]和x ∈（π2，π）时，f （x ）零点的情况，从而得出正确的结论．解：（1）函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9， 令x =9π4，得√2a +4+9＝13﹣9√2，解得a ＝﹣9； （2）f （x +π）＝﹣9[|sin （x +π）|+|cos （x +π）|]+4sin2（x +π）+9 ＝﹣9（|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9＝f （x ） 所以，f （x ）的最小正周期为π．（3）存在n ＝1007满足题意； 当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9； 设t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），t ∈[1，√2]， 则sin2x ＝2sin x cos x ＝t 2﹣1，于是f （x ）＝﹣9（sin x +cos x ）+4sin2x +9＝4t 2﹣9t +5，令4t 2﹣9t +5＝0，得t ＝1或t =54∈[1，√2]，于是x ＝0，π2，或x ＝x 0（0＜x 0＜π4）或x =π2−x 0，其中sin （x 0+π4）=5√28，当x ∈（π2，π）时，f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9．设t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），t ∈（1，√2]， 则sin2x ＝2sin x cos x ＝1﹣t 2，于是f （x ）＝﹣9（sin x ﹣cos x ）+4sin2x +9＝﹣4t 2﹣9t +13， 令﹣4t 2﹣9t +13＝0，解得t ＝1或t =−134∉（1，√2]， 故f （x ）在x ∈（π2，π）没有实根．综上讨论可得，f （x ）＝0在[0，π）上有4根， 当n ＝1006时恰好是503个周期 有2012个根，当n ＝1007时，相当于又往下走了前半个周期，前半个周期有四个根（之前证过的）， 所以为2016个根；故不存在n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ2）内恰有2015个根．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根，任意角的三角函数图象与性质的应用问题，是综合题．。
上海控江初级中学数学高一上期中测试卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11826]设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．(0分)[ID ：11801]设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．(0分)[ID ：11777]设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>4．(0分)[ID ：11758]已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．(0分)[ID ：11750]函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．(0分)[ID ：11749]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z7．(0分)[ID ：11792]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：11787]已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．(0分)[ID ：11772]已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．(0分)[ID ：11767]若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<11．(0分)[ID ：11761]已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）12．(0分)[ID ：11744]函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．13．(0分)[ID ：11742]已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．b c a <<14．(0分)[ID ：11731]已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-15．(0分)[ID ：11812]已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题16．(0分)[ID ：11921]函数232x x --的定义域是 . 17．(0分)[ID ：11917]下列各式： （1）122[(2)]2--= （2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x 21mx mx ++的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤；（5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 18．(0分)[ID ：11885]设f(x)={1−√x,x ≥0x 2,x <0，则f(f(−2))=________19．(0分)[ID ：11873]函数y =√1−x 2+lg(2cosx −1)的定义域为______________． 20．(0分)[ID ：11860]已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 21．(0分)[ID ：11845]2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）22．(0分)[ID ：11842]非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________． 23．(0分)[ID ：11840]函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______．24．(0分)[ID ：11905]已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．25．(0分)[ID ：11863]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12005]已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.27．(0分)[ID ：11996]小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）28．(0分)[ID ：11968]已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.29．(0分)[ID ：11958]定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．30．(0分)[ID ：12024]计算下列各式的值：（1）()11102327102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg52lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．A 5．B6．D7．B8．C9．B10．B11．C12．B13．B14．C15．B二、填空题16．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域17．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-19．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx-1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x∈-π3+2kππ3+2kπ20．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误21．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是22．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【23．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个24．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算3．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．5．B解析：B 【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.6．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.7．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.11．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.12．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．13．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.14．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
上海市控江中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市控江中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题三、解答题17．已知函数()23log 9y x =-的定义域为集合A ，集合[]2,2B a a =-+．且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,nA a a a =L 是“可分集合”，证明n 是奇数．显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉元素2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，若去掉元素1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾，故当5n =时，集合A 一定不是“可分集合”．。
2022-2023学年上海控江中学高一上学期期中数学试卷及答案
控江中学2022学年度第一学期高一年级期中质量调研数学试卷2022.11.一､填空题（本大题满分54分，共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应位置填写结果）1. 若全集{}0,1,2,3U =，集合{}2,3P =，则U P =ð__________.2. 若集合{110,A x x x =≤≤∣为偶数}，用列举法表示集合A =__________.3. 若函数1((2)x y x a =−是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是_________4. 若 0x >，则4x x+的最小值为________________． 5. 若集合(){}()1,3,R ,,,R 2M x y x y x N x y y x x=+=∈==∈∣∣，则M N ∩=__________. 6.计算：22252log 2)log 3)5+=__________. 7. 关于x 的不等式2111x x +≥−的解集为__________. 8. 已知e 3m =，2ln n =，则23e m n +=__．9. 若不等式()()221110a x a x −+−+>的解集为R ，则实数a 的取值范围__________.10. 设k 为实常数，()2:13,:220p x x q x k x k −+≤+−−≤.若p 是q 的必要非充分条件，则实数k 的取值范围为__________.11. 设a 为常数，关于x 的不等式22(21)x ax −<的解集中有且仅有两个整数解，则实数a 的取值范围为__________. 12. 已知集合{}(){}{}2301233777,0,1,2,3,4,5,60,1,2,1,2,3,4,5,6i A xx a a a a a i a ==+×+×+×∈=∈∣，若,m n A ∈且2022()mn m n +=>，则满足条件的正整数m 的个数为__________. 二､选择题（本大题满分20分，本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分）13. 已知0h >，则||2a b h −<是1a h −<且1b h −<的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 若函数()y f x =图像可由函数2x y =的图像向右平移一个单位长度得到，则函数()y f x =的解析式为（ ）A. 12x y +=B. 12x y −=C. 21x y =+D. 21x y =−15. 陈述句“任意的x P ∈都满足性质p ”的否定形式是（ ）A. 任意的x P ∉满足性质pB. 任意的x P ∉不满足性质pC. 存一个x P ∈满足性质pD. 存在一个x P ∈不满足性质p16. 对集合{}1,2,3,,A n =L 每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合{}1,2,4,6的“交替和”为64213−+−=，集合{}38,的“交替和”为835−=，集合{}6的“交替和”为6，则集合A 所有非空子集的“交替和”的和为（ ） A. 2n n ⋅B . 12n n −⋅ C. ()12nn n +⋅ D. ()112n n n −+⋅三､解答题（本大题满分76分，本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17. 已知()y f x =是幂函数，（1）若函数()y f x =过定点14,2，求函数()y f x =的表达式和定义域； （2）若()())322,13f x xf a a −=+<+，求实数a 取值范围.18. 已知,αβ是方程2250x −−=的两个实根， （1）设5log 7m =，用m 表示()225log αβ+值；（2）求关于x 的不等式55log l g +o 42x αβ>的解集.19. 学校计划将花坛改造为一个容积为83m 长方体无盖喷泉池，池底每12m 的造价为120元，池壁每12m 的造价为100元，（1）若池底周长为12m ，设矩形池底的一条边长为x ，现要求池深不超过1m ，问池底的边长x 应控制在什么范围内？（2）若深为0.5m ，问怎么设计喷泉池底能使总价最低，最低总价是多少？20. 记代数式()()22log 21P x a x a f x =−+−+−，()212324(1)Q x x =−++，（1）若()1,af x x =，求使得代数式P 有意义的实数x 的集合；的在的的的（2）若()9f x =时，代数式P 对任意的x ∈R 均有意义，求实数a 的取值范围； （3）若()9f x =时，存在实数x 使得代数式P Q +有意义，求实数a 的取值范围. 21. 对于一个数集M ，若满足下列条件：①M 中至少有两个非零元素；②0M ∈；③任取M 中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于M ，则称数集M 为数域，如有理数集Q 为有理数域，实数集R 为实数域. （1）证明整数集Z 不是数域；（2）判断集合{},Q,Q A xx b a b ==+∈∈∣是否为数域，并说明理由；（3）若,B C 为任意两个数域且B C ∩中至少存在两个非零元素，判断,B C B C ∩∪是否为数域，并说明理由.控江中学2022学年度第一学期高一年级期中质量调研数学试卷2022.11.一､填空题（本大题满分54分，共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应位置填写结果）1. 若全集{}0,1,2,3U =，集合{}2,3P =，则U P =ð__________.【答案】{}0,1 【解析】【分析】根据补集的概念求解即可. 【详解】解：由题意得：因为全集{}0,1,2,3U =，集合{}2,3P = 故{}0,1U P =ð 故答案为：{}0,12. 若集合{110,A x x x =≤≤∣为偶数}，用列举法表示集合A =__________. 【答案】{}2,4,6,8,10 【解析】【分析】直接用列举法写出集合即可.【详解】因为集合{110,A xx x =≤≤∣为偶数} 故列举法表示集合{}2,4,6,8,10A = 故答案：{}2,4,6,8,103. 若函数1((2)x y x a =−是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是_________ 【答案】12a >且1a ≠ 【解析】 【分析】根据指数函数的定义求解．【详解】 函数1((2)x y x a =−是自变量）是指数函数210211a a ∴−>−≠且解得：12a >且1a ≠． 为故答案为：12a >且1a ≠． 【点睛】本题考查指数函数的定义，属于基础题． 4. 若 0x >，则4x x+的最小值为________________． 【答案】4 【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】40,4x x x >+≥=， 当且仅当4,2x x x==时等号成立. 故答案为：4 5. 若集合(){}()1,3,R ,,,R 2M x y x y x N x y y x x=+=∈==∈∣∣，则M N ∩=__________. 【答案】(){}2,1【解析】【分析】联立解方程组即可得答案.【详解】联立312x y y x +==，解得21x y = 即(){}2,1M N =故答案为：(){}2,1.6.计算：22252log 2)log 3)5+=__________. 【答案】5 【解析】【分析】利用log log n na ab b =以及log a b a b =计算即可.【详解】)))2222255log 3loglog 2log 255+=+()325=++=故答案为：57. 关于x 的不等式2111x x +≥−的解集为__________. 【答案】(](),21,−∞−∪+∞ 【解析】【分析】将分式不等式转化为整式不等式，再接二次不等式即可.详解】由2111x x +≥−得21101x x +−≥−，即201x x +≥−，即()()21010x x x +−≥−≠，解得2x ≤−或1x > 即不等式2111x x +≥−的解集为(](),21,−∞−∪+∞ 故答案为：(](),21,−∞−∪+∞8. 已知e 3m =，2ln n =，则23e m n +=__． 【答案】72 【解析】【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值. 【详解】由ln 2e 2n n =⇒=，所以222333e e e (e )(e )9872m n m n m n +=⋅=⋅=⋅=. 故答案为：729. 若不等式()()22110a x a x −+−+>的解集为R ，则实数a 的取值范围__________.【答案】[)5,1,3 −∞−+∞【解析】【分析】分1a =，1a =−，1a ≠±讨论二次不等式的解. 【详解】当1a =时，不等式为10>，解集为R ； 当1a =−时，不等式为210x −+>，解集不为R ；当1a ≠±时，不等式()()221110a x a x −+−+>的解集为R ，则()()22210Δ1410a a a −> =−−−< ，解得53a <−或1a > 综上所述：实数a 的取值范围是[)5,1,3−∞−+∞【故答案为：[)5,1,3 −∞−+∞10. 设k 为实常数，()2:13,:220p x x q x k x k −+≤+−−≤.若p 是q 的必要非充分条件，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】(),1−∞ 【解析】【分析】先分类讨论解不等式13x x −+≤，再通过p 是q 的必要非充分条件列不等式求实数k 的取值范围.【详解】对于13x x −+≤，当1x >时13x x −+≤，解得12x <≤； 当01x ≤≤时，13x x −+≤，解得01x ≤≤； 当0x <时，13x x −−≤，解得10x −≤<； 综合得12x −≤≤ 即:12p x −≤≤，对于()2220x k x k +−−≤，变形得()()20x k x +−≤，解得2,2x k k ≤≤−−≥或2,2k x k −≤≤−≤ 即q ：2,2x k k ≤≤−−≥或2,2k x k −≤≤−≤ 因为p 是q 的必要非充分条件 可得1k −>−，解得1k < 即实数k 的取值范围为(),1−∞ 故答案为：(),1−∞11. 设a 为常数，关于x 的不等式22(21)x ax −<的解集中有且仅有两个整数解，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】925,49【解析】【分析】先求出不等式的解集，通过解集可确定仅有的两个整数解为1,2，进而可通过1,2在解集中，3不在解集中列不等式求出a 的取值范围 【详解】由22(21)x ax −<整理得()24410a x x −−+<由题知()4016440a a −> −−>，解得04a <<，x <<又01<<，所以解集中有且仅有两个整数解为1,2于是23<≤，解得92549a <≤故答案为：925,4912. 已知集合{}(){}{}2301233777,0,1,2,3,4,5,60,1,2,1,2,3,4,5,6i A x x a a a a a i a ==+×+×+×∈=∈∣，若,m n A ∈且2022()mn m n +=>，则满足条件的正整数m 的个数为__________. 【答案】668 【解析】【分析】根据题意{}3432400,Z A x x x =≤≤∈，进而结合若,m n A ∈且2022()m n m n +=>求解即可.【详解】解：注意到，集合A 表示的是4位7进制数的集合，在4位7进制数中，最小的4位7进制数为()300,1,21,i a a i ===，即317343×=， 最大的4位7进制数为()360,1,26,i a a i ===，即2362400676767+×+×=+×，所以，集合{}3432400,Z A x x x =≤≤∈因为,m n A ∈且2022()mn m n +=>， 所以，101220223431679m ≤≤−=所以，满足条件的正整数m 的个数为167910121668−+=. 故答案为：668二､选择题（本大题满分20分，本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分）13. 已知0h >，则||2a b h −<是1a h −<且1b h −<的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用判断充分，必要条件的方向判断，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式证明.【详解】当2a b h −<，说明a 与b 的距离小于2h ，但a 与b 与1的距离可以大于或等于h ，所以2a b h −<，不能推出1a h −<且1b h −<，反过来，当1a h −<且1b h−<时，()()11112a b a b a b h −=−−−≤−+−<，即2a b h −<，所以1a h −<且1b h −<，能推出2a b h −<，所以||2a b h −<是|1|?a h −<且 |1|b h −<的必要非充分条件. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解绝对值的几何意义，a b −表示数轴上两点间距离，以及绝对值三角不等式a b a b a b −≤±≤+.14. 若函数()y f x =的图像可由函数2x y =的图像向右平移一个单位长度得到，则函数()y f x =的解析式为（ ）A. 12x y +=B. 12y −=C. 21x y =+D.21x y =−【答案】B 【解析】【分析】直接根据函数平移的规则得答案.【详解】将函数2x y =的图像向右平移一个单位长度得到12x y −= 即()12x f x −=故选：B.15. 陈述句“任意的x P ∈都满足性质p ”的否定形式是（ ） A. 任意的x P ∉满足性质p B. 任意的x P ∉不满足性质p C. 存在一个x P ∈满足性质p D. 存在一个x P ∈不满足性质p【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案. 【详解】解：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题故“任意的x P ∈都满足性质p ”的否定形式是“存在一个x P ∈不满足性质p ” 故选：D16. 对集合{}1,2,3,,A n =L 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合{}1,2,4,6的“交替和”为64213−+−=，集合{}38,的“交替和”为835−=，集合{}6的“交替和”为6，则集合A 所有非空子集的“交替和”的和为（ ） A. 2n n ⋅B. 12n n −⋅C. ()12nn n +⋅D.()112n n n −+⋅【答案】B 【解析】【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.【详解】解：由题意得：集合{}1,2,3,,A n =L 的非空子集中，除去集合{}n ，还有22n −个非空集合，将这22n −个子集分成两类：第一类: 包含n 的子集；第二类：不包含n 的子集；{}:i i f A A n → ，其中i A 是第二类子集，显然这种对应是一一映射设i A 的“交替和”为k ，则{}i A n 的“交替和”为n k −，这一对集合的“交替和”的和等于n ，所以集合A 的所有非空集合的“交替和”总和为11(22)22n n n n n −−×+=⋅故选：B三､解答题（本大题满分76分，本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17. 已知()y f x =是幂函数，（1）若函数()y f x =过定点14,2，求函数()y f x =的表达式和定义域； （2）若()()()322,13f x xf a f a −=+<+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()12f x x−=，定义域为()0,∞+（2）31a −<<−或2a > 【解析】【分析】（1）设()af x x =，代点计算可得表达式，进而可得定义域；（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可. 【小问1详解】设()af x x =，代入点14,2得142a =，解得12a =−即()12f x x−=，其定义域为()0,∞+【小问2详解】由幂函数的性质可得，函数()32f x x−=的定义域为()0,∞+，且在定义域上单调递减，()()213f a f a +<+ ，2130a a ∴+>+>，解得31a −<<−或2a >.18. 已知,αβ是方程2250x −−=两个实根， （1）设5log 7m =，用m 表示()225log αβ+的值；（2）求关于x的不等式5g o 42x β>的解集. 【答案】（1）2m +（2）()1+∞，【解析】【分析】（1）利用韦达定理求,αβαβ+，代入()225log αβ+计算即可；（2）利用指数函数的单调性将不等式转化为对数不等式，再利用对数的运算性质求解即可.【小问1详解】,αβ是方程2250x −−=的两个实根，由韦达定理可得25αβαβ + =−若5log 7m =，的则()()()22255551255log log 2log log 0175αβαβαβ+=+−= += ()55log l 72572og 2m =×=+=+即()225g 2lo m αβ++=；【小问2详解】55+log log 42x αβ> ，即55l og +og l 222x αβ>，因为函数2x y =是R 上单调递增函数，5555log log log lo 2+252g x αβαβ∴===>1x ∴>即关于x 的不等式55log l g +o 42x αβ>的解集为()1+∞，19. 学校计划将花坛改造为一个容积为83m 长方体无盖喷泉池，池底每12m 的造价为120元，池壁每12m 的造价为100元，（1）若池底周长为12m ，设矩形池底的一条边长为x ，现要求池深不超过1m ，问池底的边长x 应控制在什么范围内？（2）若深为0.5m ，问怎么设计喷泉池底能使总价最低，最低总价是多少？ 【答案】（1）[]2,4内（2）当喷泉池底为边长为4m 的正方形时，总价最低，最低为2720元 【解析】【分析】（1）根据条件用x 表示出t 1t ≤列不等式求解即可. （2）设设计喷泉池底的总价为M ，池底一边长为a ，则另一边长为16a，根据条件表示出总价，然后用基本不等式求最值. 【小问1详解】由已知，池底一边长为,0x x >，则另一边长为6x −，设池深为t ，01t <≤，则()68x x t −=，()86t x x ∴=− ()8016x x ∴<≤−解得24x ≤≤池底的边长x 应控制在[]2,4内； 【小问2详解】若深为0.5m ，设设计喷泉池底的总价为M ，池底一边长为a ，则另一边长为16a， 8161612010020.510019200.5M a a a a =×+××+×=++19202720≥+= 当且仅当16a a=，即4a =时，等号成立， 所以当喷泉池底为边长为4m 的正方形时，总价最低，最低为2720元20. 记代数式()()22log 21P x a x a f x =−+−+−，()212324(1)Q x x =−++，（1）若()1,af x x =，求使得代数式P 有意义的实数x 的集合；（2）若()9f x =时，代数式P 对任意的x ∈R 均有意义，求实数a 的取值范围； （3）若()9f x =时，存在实数x 使得代数式P Q +有意义，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{2x x >或23x<； （2）()(),24,−∞−+∞ ； （3）()()1,2−+∞−∞− . 【解析】【分析】（1）由对数函数定义域得到21x x −>，平方后求出实数x 集合； （2）转化为2219x a x a −+−+>在R 上恒成立问题，利用绝对值三角不等式得到()22211x a x a a −+−+≥−，从而得到()219a −>，求出实数a 的取值范围；（3）先根据240x −≥得到22x −≤≤，结合221a a ≥−，对端点值的大小进行分类讨论，结合绝对值的几何意义求解，得到实数a 的取值范围. 【小问1详解】 当()1,af x x =时，()2log 21P x x =−−， 要想代数式P 有意义，则210x x −−>，则21x x −>， 两边平方得：23840x x −+>，解得：2x >或23x <； 故实数x 的集合为{2x x >或23x <； 的【小问2详解】()9f x =，即()22log 219P x a x a =−+−+−，要想代数式P 对任意的x ∈R 均有意义，则22190x a x a −+−+−>在R 上恒成立， 即2219x a x a −+−+>在R 上恒成立，其中()()()2222212111u x x a x a x a x a a a =−+−+≥−−+−=−−=−，因为()()222110a a a −−=−≥，所以()()2210x ax a −−+≤的解集为221a x a −≤≤，故当且仅当221a x a −≤≤时，等号成立，所以()219a −>，解得：4a >或2a <−，经检验，符合题意， 故实数a 的取值范围是()(),24,−∞−+∞ ； 【小问3详解】()()2122322log 2194(1)x a x a xP Q x −+−+−+−+++=，存在实数x 使得代数式P Q +有意义，即存在x 使得2221940x a x a x −+−+> −≥ ①②， 解②得：22x −≤≤，由第二问知：221a a ≥−恒成立，当且仅当1a =时，等号成立， 当221a <−，即32a >时，此时当2x =−时，221x a x a −+−+取得最大值，且221a −<−，且22a −<，故222129a a ++−+>，解得：1a >−1a <− 与32a >取交集得1a >−+ 当2212a −≤−≤，即1322a −≤≤时，此时当2x =−时，221x a x a −+−+取得最大值，且22a −<，故222129a a ++−+>，解得：1a >−1a <− 与1322a −≤≤取交集后，结果为∅；当22122a a −<−<<，即a <[]22−,上任一点到2,21a a −的距离之和相等，为()()22211a a a −−=−，故()219a −>，解得：4a >或2a <−，与a <取交集后，结果为2a <−； 当22122a a −<−<≤，即12a ≤<−时，此时当2x =时，221x a x a −+−+取得最大值，故222219a a −+−+>，即2240a a ++<，由于4160∆=−<，无解； 综上：实数a的取值范围是()()1,2−++∞−∞− .21. 对于一个数集M ，若满足下列条件：①M 中至少有两个非零元素；②0M ∈；③任取M 中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于M ，则称数集M 为数域，如有理数集Q 为有理数域，实数集R 为实数域. （1）证明整数集Z 不是数域； （2）判断集合{},Q,Q A xx b a b ==+∈∈∣是否为数域，并说明理由；（3）若,B C 为任意两个数域且B C ∩中至少存在两个非零元素，判断,B C B C ∩∪是否为数域，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）集合{},Q,Q A xx b a b ==+∈∈∣是数域，证明见解析（3）,B C B C ∩∪均为数域，证明见解析 【解析】【分析】（1）按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明； （2）集合{},Q,Q A xx b a b ==+∈∈∣是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可；（3）,B C B C ∩∪均为数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可. 【小问1详解】证明：任取Z,Z a b ∈∈，且,a b 互质，那么a b 一定是分数，即Z ab∉，故根据数域的概念得整数集Z 不是数域.小问2详解】解：集合{},Q,Q A xx b a b ==+∈∈∣是数域，理由如下：①当1a b ==或1a b ==−时，则1,1x A x A +∈=−∈，则A 至少有两个非零【元素；②当0a b ==时，,Q a b ∈，则00x A =+∈；③取11111,Q,Q x b a b =+∈∈，22222,Q,Q x b a b =+∈∈则)()121112x x a b b b +=+++，又()()1112Q,Q a b b b +∈+∈，所以12x x A +∈；)()121112x x a b b b −=−+−，又()()1112Q,Q a b b b −∈−∈，所以12x x A −∈；))()121111122112122x x b b a b a b a a b b ⋅=++=+++，又()()12211212Q,2Q a b a b a a b b +∈+∈，所以12x x A ⋅∈；112122222222x a a b b x a b −=+−，又21121212222222222Q,Q 22a b a b a a b b a b a b −−∈∈−−，所以12x A x ∈，综上，集合{},Q,Q A xx b a b ==+∈∈∣是数域.【小问3详解】解：,B C B C ∩∪均为数域，理由如下：,B C 为任意两个数域且B C ∩中至少存在两个非零元素，任取(),a b B C ∈∩，则,,,a b B a b C ∈∈，由于,B C 为个数域，则(),a b B ∈∩，()0B C ∈ ；(),a b B C ∈∪，()0B C ∈∪ 所以,a b B a b C ±∈±∈，则()a b B C ±∈∩，同样,ab B ab C ∈∈，则()ab B C ∈∩，,,0a aB C b b b ∈∈≠，则()a B C b∈∩，所以B C ∩为数域； 又,,,a b B a b C ∈∈，则(),a b B C ∈∪，同样,a b B a b C ±∈±∈，,ab B ab C ∈∈，,,0a aB C b b b∈∈≠，故()()()(),,0a a b B C ab B C B C b b ±∈∪∈∪∈∪≠，则B C∪也为数域.。
控江中学2015学年第一学期高一物理期中试题
控江中学2015学年第一学期高一物理期中试题（本卷g取210m/s）一、单项选择题Ⅰ（12分）1．下列各组物理量中，全部是矢量的是（）A．质量位移速度B．质量时间路程C．加速度位移速度D．加速度路程时间2．近几年，国内房价飙升，在国家宏观政策调控下，房价上涨出现减缓趋势，王强同学将房价的“上涨”类比成运动学中的“加速”，将房价的“下跌”类比成运动学中的“减速”．据此，你认为“房价上涨出现缓趋势”可以类比成运动学中的（）A．速度增加，加速度减小B．速度增加，加速度增大C．速度减小，加速度增大D．速度减小，加速度减小3．作匀变速直线运动的物体，在s t内位移的大小只决定于（）A．物体运动的加速度B．物体运动的平均速度C．物体运动初速度D．物体运动的末速度4．关于匀加还直线运动，下列说法中正确的是（）A．速度与运动时间成正比B．速度的增量与运动时间的平方成正比C．位移与运动时间的平方成正比D．相邻的相同时间间隔内的位移增量都相同5．下列说法中正确的是（）A．重力就是地球对物体的吸引力B．两物体只要接触就会有弹力存在C．夺力和支持力总是与接触面垂直D．有规则形状的物体，其重心在物体的几何中心6．关于摩擦力，下列说法正确的是（）A．摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反B．相互压紧、接触面粗糙的物体之间必有摩擦力C．相互接触的物体之间，压力增大，摩擦力一定增大D．两物体接触面上的摩擦力方向总是与相应的弹力方向垂直二、单项选择题Ⅱ（18分）μ=，在向右滑动的过程中，还受到7．如图所示，质量为20kg的物体与水平面间的动摩擦因数为0.1水平向左的大小为10N的力F的作用，则物体所受滑动摩擦力为（）A．20N B，向右B．20N，向左C．10N，向右D．10N，向左8．物体自距地面高h处自由下落，则它在离地面多高位置时的瞬时速度大小等于全程平均速度（）A．/4hh D．3/4h B．/3h C．/29．质点做直线运动的位移s和时间平方2t的关系图象如图所示，则该质点（）A ．加速度大小恒为21m/sB ．02s -内的位移是为1mC ．2末的速度是4m/sD ．物体第3s 内的平均速度大小为3m/s10．如图所示，两个等大的水平力F 分别作用在B 和C 上．A 、B 、C 都处于静止状态．各接触面与水平地面平行．A 、C 间的摩擦力大小为1f ，B 、C 间的摩擦力大小为2f ，C 与地面间的摩擦力大小为3f ，则（ ）A ．10f =，20f =，30f =B ．10f =，2f F =，30f =C ．1f F ，20f =，,30f =D ．10f =，2f F =，3f F =11．物体沿一直线运动，在t 时间内通过的路程为S ，它在中间时刻/2t 的速度为1v ，在/3S 处时的速度为2v ，则1v 和2v 的关系为（ ） A ．当物体作匀加速直线运动时，12v v >B ．当体体作匀加速直线运动时，12v v <C ．当物体作匀减速直线运动时，12v v >D ．当物体作匀减速直线运动时，12v v <12．测速仪安装有超声波发射和接受装置，如图所示，B 为测速仪，A 为汽车，两者相距335m ，某时刻B 发出超声波，同时A 由静止开始作匀加速直线运动．当B 接收到反射回来的超声波信号时，AB 相距355m ，已知声速为340m/s ，则汽车的加速度大小为（ ）A ．25m/sB ．210m/sC ．215m/sD ．215m/s 三、多项选择题（12分）13．下列所描述的运动中，可能存在的是（ ） A ．速度变化很大，加速度很小B ．速度变人方程为正，加速度方向为负C ．速度变化越来越快，加速度越来越小D ．速度越来越大，加速度越来越小14．如图所示为某个物体在2s 内做直线运动的v t -图像，下列关于物体运动的描述正确的是（ ）A ．物体做往返运动B ．物体的加速度大小为22m/sC ．物体的加速度方向在1s 末改变D ．物体在2s 末离开出发点最远15．质量为m的滑块在粗糙水平面上滑行，通过频闪照片分析得知，滑块在最开始2s内的位移是最后2s内的位移的两倍，且已知滑块第1s内的位移为2.5m，由此可求得（）A．滑块的加速度为5m/s B．滑块的初速度为5m/sC．滑块运动的总时间为3s D．滑动运动的总位移为4.5m16．如图所示，0t=时，一小物体从光滑斜面上的A点由静止开始匀加还下滑，经过B点后进入水平面作匀减速运动（设经过B点前后速度大小不变），最后停在C点．测得每隔2s的三个时刻物体的瞬时速度记示在下表中，由此可知（重力加速度2g-）（）10m/st0 2 4 6/s1v⋅0 8 12 8/m sB．物体运动过程中的最大速度为13.3m/sC．A、B间的距离与B、C间的距离之比为13∶D．10st-的时刻恰好停在C点四、填空题（20分）17．足球守门员在发门球时，将一个静止的质量为0.4kg的足球，以10m/s的速度踢出，若守门员踢球的时间为0.1s，则足球的平均加速度为__________2m/s；足球沿草地作直线运动，速度不断减小，设加速度大小恒为22m/s，3s后足球运动到距发球点20m的后卫队员处，则此过程中，足球运动的平均速度为__________m/s．18．一辆汽车从车站静止起开出，做匀加还直线运动，通过距离s时的速度与通过前/2s跟离时的速度大小之比为__________，当运动到某处时速度为通过距离s时速度的1/2，其通过的位移与s的比值为__________．19．质点作匀加速直线运动，在最初两个连续的2秒内发生的位移分别为12米和32米，则其运动的加速度为__________，初速度为__________．20．一座高5m的水塔顶端渗水，每隔一定时间有一个水滴落下，当第5滴离开水塔顶端时，第1滴水正好落到地面，则滴水的时间间隔为__________s，此时第3滴水距离地面的高度为__________m．21．一个以10m/s的速度匀速竖直上升的氢气球，在某时刻从气球上掉下一个重物，已知重物掉下时距离地面的高度为100m，若规定向上的方向为正，重力加速度取210m/s，则物体须经__________秒落地，落地时的速度为__________米/秒．五、作图实验题（12分）22．画出下列图中物体受力示意图23．如图所示的是一张作自由落体运动的频闪照片，A、B、C是折摄到的自由落体运动中的三个位置（B为一格中点）．照片中的每个小方格的边长在实际空间表示的距离是10厘米，那么：（1）物体在位置B时的速度v=__________米/秒；（2）C位置与开始下落处之间的距离为__________米．（频B闪照片：利用闪光灯在相等的时间间隔内闪光一次的办法，在照相机的胶卷底片上记录下物体在不同时刻对应的位置，用于研究物体的运动情况）24．利用光电门可测量运动物体挡光时间内的平均速度，因为挡光片较窄，所以可看做测量的是瞬时速度．为了测量做匀变速直线运动小车的加速度，将宽度均为b 的挡光处A 、B 固定在小车上，如图所示．（1）当小车匀变速经过光电门时，测得A 、B 先后挡光的时间分别为1t 和2t ，A 、B 挡光片开始挡光的时间间隔为t ，则小车的加速度■__________． （2）（多选题）为减小实验误差，可采取的方法是（ ） A ．增大两挡光片间距d B ．减小两挡光片间距d C ．增大两挡光片宽度b D ．减小两挡光片宽度 六、计算题（26分）25．美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“15F -”型战斗机在跑道上加速时可产生的最大加速度为25.0m/s ，起飞速度为50m/s ．求：（1）若要飞机滑行100m 后起飞，则弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？ （2）假设某航空母舰不装弹射系统，要求该种飞机仍能在此舰般上正常起飞，则该舰身长至少为多长？ （3）若无弹射系统的帮助，仍要飞机在航空母舰上滑行100m 后起飞，则航空母舰至少要多大的初速度？26．在某路段相邻较近的两红绿灯路口之间，一辆汽车在第一个路口从静止开始以25m/s 的加速度做匀加还运动，在行驶过40m 时立即以21.25m/s 做匀减速直线运动，正好在到达下一个路口时停止运动，求：（1）汽车从启动到停止所用的时间； （2）两红绿灯路口间的距离．27．如图，甲、乙两运动员在训练接力赛的交接棒．已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持8m/s 的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为22.5m/s ．乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒．在某次练习中，甲以8m/s v =的速度跑到接力区前端011.0m s =处向乙发出起跑口令，已知接力区的长度为20m L ．求：（1）此次练习中交接棒处离接力区前端的距离；（2）为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？（3）在（2）中，棒经过拉力区的时间是多少？。
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2014-2015学年上海市控江中学高一（上）期中数学试卷一、填写题：（每小题3分，共30分）1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，那么B∩（∁U A）=．2．（3分）“”是“”的条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）3．（3分）已知函数f（x）=，若f（x）=10，则x=．4．（3分）已知a，b都是整数，命题P的否命题是“如果a，b都是奇数，则a+b 是偶数”，那么命题P的逆命题是．5．（3分）当x＜﹣1时，则的取值范围是．6．（3分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B={y|y=x+2，x∈A}，则A∩B=．7．（3分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a=，b=．8．（3分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|（x﹣1）（x﹣a）=0}，且A ∪B=A，则实数a=．9．（3分）若a＞0，b＜0，，则ab的最小值为．10．（3分）设实数x，y满足2≤•y≤3，1≤≤2，则使得a≤≤b恒成立的b的最小值是．二、选择题：（每小题3分，共12分）11．（3分）下列各组中的两个函数是同一函数的有（）A．f（x）=x与B．与C．与D．f1（x）=（）2与f2（x）=2x﹣512．（3分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜13．（3分）“a＞0，b＞0”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．先给出以下四个命题：（1）若f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）若f（3）=10，则f（5）＞25；（3）若f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2，则f（x+1）≥x2．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题：（第15题8分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，第19题16分，共58分）15．（8分）解不等式组．16．（10分）已知函数．（1）当时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值．17．（12分）已知集合A={x|（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＜0}，（1）若3∈A，求实数a的取值范围；（2）若a∈R，求集合A．18．（12分）已知a，b，x，y∈（0，+∞），（Ⅰ）求证：+≥，并指出等号成立的条件；（Ⅱ）利用（1）中的不等式求函数f（x）=+（x∈（0，））的最小值，并求出等号成立时的x值（必须使用（1）中的结论，否则不给分）．19．（16分）对于集合M，定义函数f M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．2014-2015学年上海市控江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填写题：（每小题3分，共30分）1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，那么B∩（∁U A）={4} ．【分析】运用补集的定义可得∁U A，再由交集的定义即可得到所求集合．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，可得∁U A={4，5，6}，B∩（∁U A）={4}．故答案为：{4}．2．（3分）“”是“”的充分不必要条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）【分析】由，解得x＜0或x＞．即可判断出结论．【解答】解：由，解得x＜0或x＞．∴“”是“”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．（3分）已知函数f（x）=，若f（x）=10，则x=3或﹣5．【分析】由分段函数可知，令x2+1=10，﹣2x=10，从而解得．【解答】解：令x2+1=10，解得，x=3或x=﹣3（舍去）；令﹣2x=10，解得，x=﹣5；故答案为：3或﹣5．4．（3分）已知a，b都是整数，命题P的否命题是“如果a，b都是奇数，则a+b 是偶数”，那么命题P的逆命题是如果a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【分析】根据命题P的否命题写出命题P，进而写出命题P的逆命题．【解答】解：已知a，b都是整数，命题P的否命题是“如果a，b都是奇数，则a+b是偶数”，则命题P为“如果a，b不都是奇数，则a+b不是偶数”，则命题P的逆命题是“如果a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．5．（3分）当x＜﹣1时，则的取值范围是（﹣∞，﹣6] ．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：当x＜﹣1时，则=﹣﹣4≤﹣﹣4=﹣6，当且仅当x=﹣2时取等号．∴取值范围是（﹣∞，﹣6]．故答案为：（﹣∞，﹣6]．6．（3分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B={y|y=x+2，x∈A}，则A∩B=（0，3）．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={y|y=x+2，x∈A}={y|0＜y＜5}=（0，5），∴A∩B=（0，3），故答案为：（0，3）7．（3分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a=，b=0．【分析】先由“定义域应关于原点对称”则有a﹣1=﹣2a，又f（﹣x）=f（x）恒成立，用待定系数法可求得b．【解答】解：∵定义域应关于原点对称，故有a﹣1=﹣2a，得a=．又∵f（﹣x）=f（x）恒成立，即：ax2+bx+3a+b=ax2﹣bx+3a+b∴b=0．故答案为：，08．（3分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|（x﹣1）（x﹣a）=0}，且A ∪B=A，则实数a=1或2．【分析】求出集合A，由A∪B=A，得B⊆A，由此能求出实数a．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，集合B={x|（x﹣1）（x﹣a）=0}，且A∪B=A，∴B⊆A，∴a=1或a=2．故答案为：1或2．9．（3分）若a＞0，b＜0，，则ab的最小值为﹣3．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＜0，，∴1≥2，化为：ab≥﹣3，当且仅当a=2，b=﹣时取等号．则ab的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．10．（3分）设实数x，y满足2≤•y≤3，1≤≤2，则使得a≤≤b恒成立的b的最小值是4．【分析】通过对2≤•y≤3变形可得≤≤，利用1≤≤2可得1≤≤16，两者相乘即得结论．【解答】解：∵2≤•y≤3，∴4≤x•y2≤9，∴≤≤，∵1≤≤2，∴1≤≤16，∴1•≤•≤16•，即≤≤4，故答案为：4．二、选择题：（每小题3分，共12分）11．（3分）下列各组中的两个函数是同一函数的有（）A．f（x）=x与B．与C．与D．f1（x）=（）2与f2（x）=2x﹣5【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）==（x≥1），与g（x）=（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）==的定义域为{x|x≠0}，与g（x）=的定义域R不同，不是同一函数；对于D，f（x）==2x﹣5的定义域为{x|x≥}，g（x）=2x﹣5的定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：A．12．（3分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜【分析】A．取a=﹣3，b=1，即可否定；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，即可否定；C．a，b为非零实数，且a＜b，可得，化为．D．取a=﹣2，b=1，即可否定．【解答】解：A．取a=﹣3，b=1，则a2＜b2不成立；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，∴a2b＞ab2；C．∵a，b为非零实数，且a＜b，∴，化为．D．取a=﹣2，b=1，则．综上可得：只有C正确．故选：C．13．（3分）“a＞0，b＞0”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“a＞0，b＞0”⇒“”，反之不成立，例如a=b=0时．【解答】解：“a＞0，b＞0”⇒“”，反之不成立，例如a=b=0时．∴“a＞0，b＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．14．（3分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．先给出以下四个命题：（1）若f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）若f（3）=10，则f（5）＞25；（3）若f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2，则f（x+1）≥x2．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由已知中f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：由f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．可得：（1）当x=3时，f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）当x=3时，f（3）=10，则f（5）＞25；其逆否命题为：“当f（x+1）≤（x+1）2成立时，总可以推出f（x）≤x2成立”．（3）当x=5时，f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2=x2+2x+1＞x2，则f（x+1）≥x2．故四个命题均正确，故选：D．三、解答题：（第15题8分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，第19题16分，共58分）15．（8分）解不等式组．【分析】根据绝对值不等式以及方式不等式的解法求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵，∴，∴，∴2＜x≤5，故不等式的解集是（2，5]．16．（10分）已知函数．（1）当时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可，（2）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），计算即可求出a的值．【解答】解：（1）当a=时，f（x）=|x﹣|+，则f（﹣x）=|﹣x﹣|+≠f（x），f（﹣x）=|﹣x﹣|+≠﹣f（x），∴f（x）为非奇非偶函数，（2）∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴|﹣x﹣a|+=|x﹣a|+，即|x+a|=|x﹣a|，解得a=0．17．（12分）已知集合A={x|（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＜0}，（1）若3∈A，求实数a的取值范围；（2）若a∈R，求集合A．【分析】（1）把3代入求出a的范围即可，（2）对a进行分类讨论即可求出不等式的解集..【解答】解：（1）∵3∈A∴（3﹣1）[3（a﹣1）+1]＜0，解得a＜，（2）∵（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＜0，当a=1时，解得x＜1，即A=（﹣∞，1）；当a＞1时，解得﹣＜x＜1，即A=（，1）；当0＜a＜1时，解得x＞或x＜1，即A=（﹣∞，1）∪（，+∞），当a=0时，解得x≠1，即A=（﹣∞，1）∪（1，+∞），当a＜0时，解得x＞1或x＜，即A=（﹣∞，）∪（1，+∞）．18．（12分）已知a，b，x，y∈（0，+∞），（Ⅰ）求证：+≥，并指出等号成立的条件；（Ⅱ）利用（1）中的不等式求函数f（x）=+（x∈（0，））的最小值，并求出等号成立时的x值（必须使用（1）中的结论，否则不给分）．【分析】（Ⅰ）判断+﹣的符号，得到大小关系；（Ⅱ）对f（x）变形，利用基本你打算求之．【解答】解：（Ⅰ）+﹣=…（3分）∵a，b，x，y∈（0，+∞），∴xy（x+y）＞0，（ay﹣bx）2≥0所以+≥，…（5分）等号当且仅当ay=bx时成立．…（6分）（Ⅱ）f（x）=+==25，…（10分）等号当且仅当2（1﹣2x）=3×2x即x=∈（0，）时成立，…（11分）所以，x=时，f（x）的最小值为25．…（12分）19．（16分）对于集合M，定义函数f M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用新定义写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）设Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，X=W，（ⅰ）利用反证法证明2∈X成立；（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．通过a∈X且a∉A∪B，以及a∈A∪B且a∉A∩B，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．【解答】（Ⅰ）解：f A（1）=1，f B（1）=﹣1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．∴A△B={1，6，10，16}．…（3分）（Ⅱ）设当Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值时，X=W．（ⅰ）证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card（Y△A）+Card（Y△B）=Card（W△A）﹣1+Card（W△B）﹣1＜Card（W△A）+Card（W△B）．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X．…（7分）（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card（Z△A）+Card（Z△B）=Card（X△A）﹣1+Card（X△B）﹣1＜Card（X△A）+Card（X△B）．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card（X△A）+Card（X△B）的值不变．综上可知，当W为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card （X△A）+Card（X△B）取到最小值4．。