2015茂名一模理科数学答案
一元二次方程求解(因式分解法)
一元二次方程求解（因式分解法）一．填空题（共6小题）1．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是．2．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC 的周长是．3．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x ﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是．4．方程（3x﹣4）2=3x﹣4的根是．5．已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC的两条边的长，则Rt△ABC的第三边长为．6．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是．二．解答题（共24小题）7．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）（2）（x+1）2=6x+6．8．解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．9．解方程：x2﹣3x+2=0．10．解方程：2x2﹣7x+3=011．解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）12．解方程（1）2x2﹣3x﹣2=0；（2）x（2x+3）﹣2x﹣3=0．13．计算下列各题：（1）x2﹣2x﹣3=0；（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0．14．解方程：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2（2）x2+3x+2=0．15．解方程：x（x﹣1）=2（x﹣1）．16．解方程：x（x﹣3）=x﹣3．17．解方程：2x2﹣3x+1=0．18．解方程：x2+2x﹣3=0．19．（1）解方程：x2+3=3（x+1）（2）解方程：4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）20．解方程：x2+2x﹣8=0．21．解方程：x﹣1=（1﹣x）2．22．选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0（用配方法）；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．23．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36=0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0∴x1=2，x2=﹣2，x3=3，x4=﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2=0的解？24．解下列方程．（1）x2﹣2x﹣3=0（2）（x+3）2=4．25．解方程（1）3x（x﹣1）=2﹣2x（2）x2+8x﹣9=0．26．解方程（1）（2x﹣1）2=9（2）x2﹣3x+2=0．27．解方程：（2x﹣3）2=（x﹣2）2．28．解方程：x2﹣1=2（x+1）．29．用因式分解法解下列方程：（1）3x2+2x=0（2）x2=3x（3）x（3x+2）=6（3x+2）（4）（3x﹣1）2=（2﹣x）2（5）3x2+12x=﹣12（6）x2﹣4x+3=0．30．用指定的方法解方程：（1）x2﹣2x=0（因式分解法）（2）x2﹣2x﹣3=0（用配方法）（3）2x2﹣9x+8=0（用公式法）（4）（x﹣2）2=（2x+3）2（用合适的方法）一元二次方程求解（因式分解法）参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．（2016•曲靖一模）一元二次方程x（x﹣2）=0的解是x1=0，x2=2．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．（2015•齐齐哈尔）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是8．【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．【解答】解：解方程x2﹣8x+15=0可得x=3或x=5，∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，∴△ABC的第三边长为3，∴△ABC的周长为2+3+3=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键．3．（2015•常州模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是4+2．【分析】先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出▱ABCD的周长即可．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴（x﹣1）（x+3）=0，即x=1或﹣3，∵AE=EB=EC=a，∴a=1，在Rt△ABE中，AB==a=，∴▱ABCD的周长=4a+2a=4+2．故答案为：4+2．【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．4．（2015•湖州模拟）方程（3x﹣4）2=3x﹣4的根是x1=，x2=．【分析】移项的（3x﹣4）2﹣（3x﹣4）=0，即（3x﹣4）（3x﹣4﹣1）=0，得到3x﹣4=0或3x﹣4﹣1=0，求出方程的解即可．【解答】解：（3x﹣4）2=3x﹣4，（3x﹣4）2﹣（3x﹣4）=0，（3x﹣4）（3x﹣4﹣1）=0，3x﹣4=0或3x﹣4﹣1=0，x1=或x2=．【点评】本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，提公因式等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5．（2016•夏津县校级自主招生）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC 的两条边的长，则Rt△ABC的第三边长为5或．【分析】解方程可以求出两根，即直角三角形的两边，利用勾股定理就可以求出第三边．【解答】解：方程x2﹣7x+12=0的两个根是3和4．也就是Rt△ABC的两条边的长是3和4．当3和4都是直角边时，第三边==5．当4为斜边时，第三边=．故第三边长是5或．故答案为：5或．【点评】知道直角三角形的两边，要分第三边是斜边或直角边两种情况讨论．6．（2016•柘城县校级一模）三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是24或8．【分析】由x2﹣16x+60=0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣16x+60=0，∴（x﹣6）（x﹣10）=0，解得：x1=6，x2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD是高，∴BD=4，AD==2，=BC•AD=×8×2=8；∴S△ABC当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，S△ABC=BC•AC=×8×6=24．∴该三角形的面积是：24或8．故答案为：24或8．【点评】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解．二．解答题（共24小题）7．（2017•红桥区模拟）解方程：（1）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）（2）（x+1）2=6x+6．【分析】（1）先把方程整理为x2﹣2x=，然后利用配方法解方程；（2）先把方程变形为（x+1）2﹣6（x+1）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣2x=，x2﹣2x+1=，（x﹣1）2=，x﹣1=±=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（2）（x+1）2﹣6（x+1）=0，（x+1）（x+1﹣6）=0，x+1=0或x+1﹣6=0，所以x1=﹣1，x2=5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了配方法解一元二次方程．8．（2016•山西）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=9．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．9．（2015•广东）解方程：x2﹣3x+2=0．【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解即可．【解答】解：∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣2=0，∴x1=1，x2=2．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．10．（2016•深圳校级模拟）解方程：2x2﹣7x+3=0【分析】本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．【解答】解：原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）=0∴2x﹣1=0或x﹣3=0，∴．【点评】根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．11．（2014•自贡）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）【分析】先移项，然后提取公因式（x﹣2），对等式的左边进行因式分解．【解答】解：由原方程，得（3x+2）（x﹣2）=0，所以3x+2=0或x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12．（2016•凉山州模拟）解方程（1）2x2﹣3x﹣2=0；（2）x（2x+3）﹣2x﹣3=0．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x（2x+3）﹣（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（2x+1）（x﹣2）=0，2x+1=0或x﹣2=0，所以x1=﹣，x2=2；（2）x（2x+3）﹣（2x+3）=0，（2x+3）（x﹣1）=0，2x+3=0或x﹣1=0，所以x1=﹣，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）13．（2015•茂名校级一模）计算下列各题：（1）x2﹣2x﹣3=0；（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0，x+1=0，x1=3，x2=﹣1；（2）分解因式得：（x﹣1）（x﹣1+2x）=0，x﹣1=0，x﹣1+2x=0，x1=1，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．14．（2016•曲靖一模）解方程：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2（2）x2+3x+2=0．【分析】（1）先变形得到3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0，x﹣1=0或3x﹣2=0，所以x1=1，x2=；（2）（x+1）（x+2）=0，x+1=0或x+2=0，所以x1=﹣1，x2=﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．15．（2015•重庆校级模拟）解方程：x（x﹣1）=2（x﹣1）．【分析】先移项得到x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，再把方程左边分解得到（x﹣1）（x﹣2）=0，则方程转化为x﹣1=0，x﹣2=0，然后解一次方程即可．【解答】解：x（x﹣1）=2（x﹣1）．x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0．（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0，x﹣2=0，∴x1=1，x2=2，【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解．16．（2016•安徽模拟）解方程：x（x﹣3）=x﹣3．【分析】首先将（x﹣3）看作整体，进而移项提取公因式利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：x（x﹣3）=x﹣3x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，解得：x1=3，x2=1．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确因式分解是解题关键．17．（2016•海沧区模拟）解方程：2x2﹣3x+1=0．【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程分解因式得：（2x﹣1）（x﹣1）=0，可得2x﹣1=0或x﹣1=0，解得：x1=，x2=1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．18．（2014•遂宁）解方程：x2+2x﹣3=0．【分析】观察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．【解答】解：x2+2x﹣3=0∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．【点评】解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．19．（2016•常州模拟）（1）解方程：x2+3=3（x+1）（2）解方程：4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）【分析】（1）先把原方程转化为一般式方程，然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）先移项，然后利用提取公因式法进行因式分解．【解答】解：（1）由原方程，得x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，解得x1=0，x2=3；（2）原方程化简为：（2x﹣1）（4x﹣3）=0，解得x1=，x2=．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．20．（2016•白云区校级二模）解方程：x2+2x﹣8=0．【分析】分解因式后得到（x+4）（x﹣2）=0，推出方程x+4=0，x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2+2x﹣8=0，分解因式得：（x+4）（x﹣2）=0，∴x+4=0，x﹣2=0，解方程得：x1=﹣4，x2=2，∴方程的解是x1=﹣4，x2=2．【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．21．（2015•枣庄校级三模）解方程：x﹣1=（1﹣x）2．【分析】方程右边整体移项到左边，变形后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：原方程可化为（x﹣1）（x﹣2）=0，可得：x﹣1=0或x﹣2=0，∴x1=1，x2=2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．22．（2015秋•陕西校级期中）选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0（用配方法）；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．23．（2014•温州模拟）观察下面方程的解法x4﹣13x2+36=0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0∴x1=2，x2=﹣2，x3=3，x4=﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2=0的解？【分析】把方程转化成|x|的一元二次方程，再用十字相乘法因式分解，求出方程的根．【解答】解：原方程可化为|x|2﹣3|x|+2=0∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）=0∴|x|=1或|x|=2∴x=1，x=﹣1，x=2，x=﹣2【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据样题的解题思路，把方程转化成含|x|的一元二次方程，然后用十字相乘法因式分解，求出方程的根．24．（2016•洪泽县一模）解下列方程．（1）x2﹣2x﹣3=0（2）（x+3）2=4．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用直接开平方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣3）（x+1）=0，可得x﹣3=0或x+1=0，解得：x1=3，x2=﹣1；（2）开方得：x+3=2或x+3=﹣2，解得：x1=﹣1，x2=﹣5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．25．（2014秋•成都期中）解方程（1）3x（x﹣1）=2﹣2x（2）x2+8x﹣9=0．【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）3x（x﹣1）=2﹣2x，3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x+2）=0，x﹣1=0，3x+2=0，x1=1，x2=﹣；（2）x2+8x﹣9=0，（x+9）（x﹣1）=0，x+9=0，x﹣1=0，x1=﹣9，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．26．（2016春•长清区期末）解方程（1）（2x﹣1）2=9（2）x2﹣3x+2=0．【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程；（2）利用因式分解的方法解一元二次方程．【解答】解：（1）（2x﹣1）2=9开方平得，2x﹣1=±3，解得x1=2，x2=﹣1；（2）x2﹣3x+2=0．因式分解得（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0或x﹣2=0，解得x1=1，x2=2．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是利用因式分解法求解．27．（2016•太原校级自主招生）解方程：（2x﹣3）2=（x﹣2）2．【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．【解答】解：（2x﹣3）2=（x﹣2）2则2x﹣3=±（x﹣2），则2x﹣3=x﹣2或2x﹣3=﹣x+2，解得：x1=1，x2=．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确开平方是解题关键．28．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣1=2（x+1）．【分析】首先把x2﹣1化为（x+1）（x﹣1），然后提取公因式（x+1），进而求出方程的解．【解答】解：∵x2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x﹣3）=0，∴x1=﹣1，x2=3．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是提取公因式（x+1），此题难度不大．29．（2013秋•湖里区校级月考）用因式分解法解下列方程：（1）3x2+2x=0（2）x2=3x（3）x（3x+2）=6（3x+2）（4）（3x﹣1）2=（2﹣x）2（5）3x2+12x=﹣12（6）x2﹣4x+3=0．【分析】（1）（6）直接利用因式分解法解方程即可；（2）（3）（4）（5）先移项，再进一步利用因式分解法解方程．【解答】（1）3x2+2x=0解：x（3x+2）=0x=0，3x+2=0x1=0，x2=﹣；（2）x2=3x解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0x=0，x﹣3=0x1=0，x2=3；（3）x（3x+2）=6（3x+2）解：x（3x+2）﹣6（3x+2）=0（x﹣6）（3x+2）=0x﹣6=0，3x+2=0x1=6，x2=﹣；（4）（3x﹣1）2=（2﹣x）2解：（3x﹣1）2﹣（2﹣x）2=0[（3x﹣1）+（2﹣x）][（3x﹣1）﹣（2﹣x）]=0（2x+1）（4x﹣3）=02x+1=0，4x﹣3=0x1=﹣，x2=；（5）3x2+12x=﹣12解：3x2+12x+12=03（x+2）2=0x+2=0x1=x2=﹣2；（6）x2﹣4x+3=0解：（x﹣1）（x﹣3）=0x﹣1=0，x﹣3=0x1=1，x2=3．【点评】此题考查利用因式分解法解方程，注意方程的特点，灵活运用适当的方法因式分解．30．（2015秋•太康县期中）用指定的方法解方程：（1）x2﹣2x=0（因式分解法）（2）x2﹣2x﹣3=0（用配方法）（3）2x2﹣9x+8=0（用公式法）（4）（x﹣2）2=（2x+3）2（用合适的方法）【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式即可；（2）根据配方法步骤进行配方，得出（x﹣1）2=4，再开平方即可；（3）首先求出b2﹣4ac=81﹣4×2×8=17＞0再套用公式x==，得出即可；（4）利用平方差公式分解因式即可得出方程的根．【解答】解：（1）x2﹣2x=0（因式分解法），∵x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x1=0，x2=2；（2）x2﹣2x﹣3=0（用配方法）∵x2﹣2x﹣3=0，x2﹣2x=3，x2﹣2x+1=4，（x﹣1）2=4，∴x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1；（3）2x2﹣9x+8=0（用公式法），∵b2﹣4ac=81﹣4×2×8=17＞0∴x==，∴x1=，x2=；（4）（x﹣2）2=（2x+3）2（用合适的方法）解：（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0，∴[（x﹣2）+（2x+3）][（x﹣2）﹣（2x+3]=0，∴（3x+1）（﹣x﹣5）=0，∴x1=﹣，x2=﹣5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元二次方程，可以大大降低计算量．第21页（共21页）。
茂名市届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)
茂名市2015年第二次高考模拟考试（理科） 2015.4试卷综述：本试卷注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。
注重基础知识的考查。
注重能力考查，要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点．试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。
第一部分 选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 设集合,,则=（ ）.A ．B ．C ．D ．【知识点】交集及其运算．A1 【答案】D 【解析】∵集合,,∴=，故选D ．【思路点拨】根据集合,,找出它们的公共元素，再求交集．2. 复数为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）.A ．B ．C ．D ．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4 【答案】B【解析】因为复数1﹣=1+=1﹣i ，在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1）．故选B ．【思路点拨】通过复数i 的幂运算，化简复数为a+bi 的形式，即可判断复数在复平面上对应的点的坐标．3. 若离散型随机变量的分布列为{}1,4,5M ={}0,3,5N =M N {}1,4{}0,3{}0,1,3,4,5{}5{}1,4,5M ={}0,3,5N =MN {}5{}1,4,5M ={}0,3,5N =311(i i -(1,1)(1,1)-(1,1)-(1,1)--X则的数学期望＝( ).A ．2B ．2或C ．D ．1【知识点】离散型随机变量及其分布列．K6 【答案】C【解析】由离散型随机变量ξ分布列知：,解得，所以 ，故选C.【思路点拨】利用离散型随机变量ξ分布列的性质求解． 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A ．B ．C ．D ．4【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案】B【解析】根据该几何体的三视图可得该几何是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×4×2=4，棱锥的高h=1，故棱锥的体积V=Sh=，故选：B ．【思路点拨】根据该几何体的三视图可得该几何是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式可得答案．X ()E X 21212122a a +=1a =111()01222E X =??2343831213435. 设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-5 【知识点】简单线性规划E5 【答案】A【解析】画出约束条件的可行域如下图:易知当直线经过C(3.-3)时，取得最小值，最小值为-3，故选A.【思路点拨】先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．6. 已知等差数列 的前项和为，，则( ).A ． 2B ．3C ．4D ．5【知识点】等差数列的通项公式．D2 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为，公差为，因为，y x ,2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩y x z 2+=2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩y x z 2+=2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩y x z 2+={}n a n n S 12,242==S a =3a {}n a 1a d 12,242==S a所以，解得，，故选C. 【思路点拨】由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d 的方程组，解方程由通项公式可得．7. 在△中,, ,则△的面积为（ ）.A ．3B ．C ．6D ．4【知识点】向量的数量积公式；三角形面积公式F3 【答案】D【解析】因为，所以，即，则，故选D.【思路点拨】先利用已知条件结合向量的数量积公式得到，再利用三角形面积计算即可。
2015年广东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：数列(含答案).资料
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编数列一、选择题 1、（2015届江门市）{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=dA ．2B ．23 C ．1 D ．212、（2015届汕头市）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知()ln ln 1x x x '=+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为（ ）A ．33B ．46C ．48D ．503、（2015届湛江市）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（ ）A B C D选择题参考答案1、C2、C3、D二、填空题1、（2015届梅州市）已知等比数列{n a }的公比为正数，且239522,1a a a a ==，则1a ＝＿＿＿填空题参考答案1、22三、解答题1、（2015届广州市）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.2、（2015届江门市）设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶证明：对一切正整数n ，有4541222221<+++na n a a ．3、（2015届揭阳市）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）设数列{}n b满足n b =123n b b b +++<4、（2015届茂名市）已知数列{n a }的前n 项和为Sn ，1a ＝1，且122(1)(1)(*)n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{n b }满足2120(*)n n n b b b n N ++-+=∈，3b ＝5，其前9项和为63。
茂名市2015届高三第二次高考模拟考试数学(理)试题(有答案)
绝密★启用前 试卷类型：A茂名市2015年第二次高考模拟考试数学试卷（理科） 2015.41234是符合题目1. A 2. 复数31(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）.A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-- 3. 若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X ＝( ). A ．2 B ．2或21C ．21 D ．14. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A ．23 B ．43 C ．83D ．4 5. 设变量y x ,满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-56. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12,242==S a ，则=3a ( ).A ． 2B ．3C ．4D ．57. 在△ABC 中,A ．38. 若函数y f =()f t x tf +=的结论：①常数A ．1 二、填空题：（一）必做题（9. 不等式2-x 10. 已知()x ()f x ＝1＋11. 的值为 . 12. 已知直线1y kx =+与曲线b ax x y ++=3相切于点(1，3)，则b 的值为 .13. 已知抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若0)(=∙+，则双曲线的实轴长为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分）。
14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为θρcos 2=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为1x ty t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ (t 为参数),则圆心到直线l 的距离为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B在圆O 上，BC =060BCD ∠=，则圆O 的面积为 . 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分） 16. （本小题满分12分）已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 图象的一部分如图所示.（1）求函数（2）设,βα3(+βf17. 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分（1）求这)205,185内的产品件数；（2）以这件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取2件，记产品质量指标18. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中, AD ⊥平面PDC ,PD DC ⊥,底面ABCD 是梯形, AB ∥DC ，1,2AB AD PD CD ====（1）求证:平面PBC ⊥平面PBD ; （2）设Q 为棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60º.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有 )(1*∈-=N n a S n n , 点),(n n b a 在直线nx y =上.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）试比较n T 与nn 22+的大小,并加以证明. 20. （本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点P ，离心率为12，过直线4:=x l 上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A 、B .（（2（321. （1（2)0，直线（3绝密★启用前 试卷类型：A茂名市2015年第二次高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）提示：8. ① ③正确，①对任一常数函数a x f =)(，存在1=t ,有a x f =+)1(a x f =∙)(1所以有)(1)1(x f x f ∙=+，所以常数函数是“关于t 函数”②“关于2函数”为)(2)2(x f x f ∙=+，当函数)(x f 不恒为0时有02)()2(>=+x f x f )2(x f +∴与)(x f 同号定义在实数集R 上的函数()y f x =的图象是连续不断的，)(x f y =∴图象与x 轴无交点，即无零点。
2015年广东省茂名市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{2，4，6} 2．（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．1D．﹣13．（5分）设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．B．y＝2x﹣1C．D．y＝﹣x35．（5分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝1B．（x+3）2+（y﹣1）2＝1C．（x+3）2+（y﹣1）2＝2D．（x﹣3）2+（y+1）2＝26．（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A．1B．C．D．8．（5分）设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）＝，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣2，p＝1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]＝f[f p（0）]B．f p[f（1）]＝f[f p（1）]C．f p[f（2）]＝f p[f p（2）]D．f[f（﹣2）]＝f p[f p（﹣2）]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边，若a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，则c为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．13．（5分）已知A、B是椭圆+＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率．【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ＝sinθ与ρ＝cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．【几何证明选讲】15．如图，圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO＝5cm，弦CD过点P，且＝，则CD的长为cm．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ（x∈R，0＜φ＜π），f（）＝．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）＝，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称2015年春季交广会）将于2015年4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2，PD＝2．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）证明：AC⊥PB；（3）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n＝n （n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n＝0（n∈N*）．b3＝5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n＝+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．20．（14分）已知点F（0，1），直线l：y＝﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且•＝•．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M为直线l1：y＝﹣m（m＞2）上的任意一点，过点M作轨迹C的两条切线MA，MB．切点分别为A，B，试探究直线l1上是否存在点M，使得△MAB为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由．21．（14分）设函数f（x）＝ln|x|﹣x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．2015年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{2，4，6}【解答】解：∵∁U A＝{4，6}，∴（∁U A）∩B＝{4，6}∩{2，4，6}＝{4，6}，故选：B．2．（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1【解答】解：∵＝，∴复数的虚部是﹣1．故选：D．3．（5分）设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＝﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1＝0与直线l2：x ﹣y+4＝0满足，两直线平行，充分性成立．当a＝1时，满足直线l1：x+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0平行，∴必要性不成立，∴“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．B．y＝2x﹣1C．D．y＝﹣x3【解答】解：A、的定义域是（0，+∞），且为减函数，故不正确；B、y＝2x﹣1的定义域是R，并且是增函数，且在（﹣1，1）上零点为0，故正确；C、在（﹣1，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，故不正确；D、y＝﹣x3是减函数，故不正确．故选：B．5．（5分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝1B．（x+3）2+（y﹣1）2＝1C．（x+3）2+（y﹣1）2＝2D．（x﹣3）2+（y+1）2＝2【解答】解：设圆的方程是（x﹣3）2+（y+1）2＝r2∵直线3x+4y＝0相与圆相切∴圆的半径r＝＝1因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝1故选：A．6．（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93＝84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有×＝6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，∴所求的概率为＝．故选：D．7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A．1B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3）．由图可知，目标函数z＝ax+by在点（2，3）上取到最小值2，即2a+3b＝2．∴ab＝．当且仅当2a＝3b＝1，即时等号成立．故选：C．8．（5分）设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）＝，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣2，p＝1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]＝f[f p（0）]B．f p[f（1）]＝f[f p（1）]C．f p[f（2）]＝f p[f p（2）]D．f[f（﹣2）]＝f p[f p（﹣2）]【解答】解：根据题意；∴f（0）＝﹣2，f1（0）＝﹣2，f1[f（0）]＝f1（﹣2）＝1，f[f1（0）]＝f（﹣2）＝6，∴A错误；f（1）＝﹣3，f1（1）＝﹣3，f1[f（1）]＝f1（﹣3）＝1，f[f1（1）]＝f（﹣3）＝13，∴B错误；f（2）＝﹣2，f1（2）＝﹣2，f1[f（1）]＝f1（﹣2）＝1，f1[f1（2）]＝f1（﹣2）＝1，∴C正确；f（﹣2）＝6，f1（﹣2）＝1，f[f（﹣2）]＝f（6）＝22，f1[f1（﹣2）]＝f1（1）＝﹣3，∴D错误．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边，若a＝3，C＝120°，△ABC的面积S＝，则c为7．【解答】解：由三角形面积公式可得：S＝ab sin C＝，∵a＝3，C＝120°，∴可得：＝，解得：b＝5，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝9+25+15＝49，∴可解得：c＝7．故答案为：7．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为3π+4．【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S＝2×π×12+2×2+×2π×1×2＝3π+4故答案为：3π+411．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1012．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝••，令3﹣＝0，求得r＝2，故展开式的常数项为•＝．等比数列{a n}的第5项a5＝，可得a3a7＝＝，故答案为：．13．（5分）已知A、B是椭圆+＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率．【解答】解：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），A（﹣a，0），B（a，0），则＝1，即有，k1＝，k2＝，|k1|+|k2|＝||+||＝1，当且仅当＝即x0＝0，y0＝b时等号成立．∴2＝2•＝1∴a＝2b，又因为a2＝b2+c2∴c＝a，∴e＝＝．故答案为：【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ＝sinθ与ρ＝cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．【解答】解：曲线ρ＝sinθ与ρ＝cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）分别化为ρ2＝ρsinθ，ρ2＝ρcosθ．可得直角坐标方程为：x2+y2＝y，x2+y2＝x，x，y≥0，x2+y2＞0．联立解得x＝y＝．∴交点P，化为极坐标为＝，．∴极坐标为：．故答案为：．【几何证明选讲】15．如图，圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO＝5cm，弦CD过点P，且＝，则CD的长为18cm．【解答】解：圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO＝5cm，∴AP＝PB＝＝12，∴CP•PD＝AP•PB＝122＝144，∵＝，∴CD＝3CP，PD＝2CP，∴2CP2＝144，解得CP＝6，∴CD＝3CP＝18．故答案为：18．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ（x∈R，0＜φ＜π），f（）＝．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）＝，α∈（，π），求sin（α+）的值．【解答】解：（1）由f（）＝．可得sin cosφ+cos sinφ＝…1分所以cosφ＝…2分又∵0＜φ＜π…3分∴φ＝…4分∴f（x）＝sin2x cos+cos2x sin＝sin（2x+）…6分（2）由f（﹣）＝，可得sin[2（﹣）+]＝，即sin（）＝…7分所以cosα＝﹣…8分又∵α∈（，π），…9分所以sinα＝＝＝…10分sin（α+）＝sinαcos+cos＝…12分17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称2015年春季交广会）将于2015年4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【解答】解：（1）根据茎叶图，得：男志愿者的平均身高为：≈176.1（cm），女志愿都身高的中位数为：＝168.5（cm）．（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝＝．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2，PD＝2．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）证明：AC⊥PB；（3）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD＝F，连结EF，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，∴F为AC中点，又∵E为PC的中点，∴EF为△P AC的中位线，∴P A∥EF，又EF⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）证明：∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，∴AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又∵PD∩BD＝D，且PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，∴AC⊥PB．（3）解：取CD中点M，连结EM，过M作MH⊥DF于H，连结EH，∵EM∥PD，PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴EM⊥BD，又MH⊥DF，MH∩EM＝M，∴DF⊥平面EHM，∴DF⊥EH，∴∠EHM是二面角E﹣BD﹣C的平面角，又由AC＝＝，∴MH＝，在Rt△EAH中，由EM＝1，得EH＝＝＝，∴cos∠EHM＝＝，∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n＝n （n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n＝0（n∈N*）．b3＝5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n＝+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．【解答】解：（1）∵2nS n+1﹣2（n+1）S n＝n（n+1）（n∈N*），∴，∴数列是等差数列，首项为1，公差为，∴＝1+，＝＝∴S n＝．∴当n≥2时，，a n＝S n﹣S n﹣1n，当n＝1时也成立．∴a n＝n．∵数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n＝0（n∈N*），∴数列{b n}是等差数列，设公差为d，∵前9项和为63，∴＝9b5＝63，解得b5＝7，又b3＝5，∴d＝＝1，∴b n＝b3+（n﹣3）d＝5+n﹣3＝n+2，∴b n＝n+2．因此：a n＝n，b n＝n+2．（2）c n＝+＝＝2+2，∴数列{c n}的前n项和为T n＝2n+2++…+＝2n+2＝3+2n﹣2．∴T n﹣2n＝．设A n＝，∵A n+1﹣A n＝﹣3+2＝＞0，∴数列{A n}单调递增，∴（A n）min＝A1＝．而A n＜3，∴．∵对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，∴∴，b≥3，∴b﹣a的最小值＝＝．20．（14分）已知点F（0，1），直线l：y＝﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且•＝•．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M为直线l1：y＝﹣m（m＞2）上的任意一点，过点M作轨迹C的两条切线MA，MB．切点分别为A，B，试探究直线l1上是否存在点M，使得△MAB为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设动点P（x，y），则Q（x，﹣1），∵•＝•，∴＝0．∵＝（﹣x，2），＝（0，y+1），＝（x，y﹣1），∴（﹣x，2）•（x，2y）＝0，∴﹣x2+4y＝0，即x2＝4y．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．由x2＝4y，可得，∴切点A的切线斜率为，切线方程为：，即．又切线过点M，∴①，同理可得过点B的切线方程为，又过点M，∴．②由①②可知：x1，x2是方程的两个实数根．∴x1+x2＝2x0，x1x2＝4y0．＝（x1﹣x0）（x2﹣x0）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣y0（y1+y2）+（*）．把x1+x2＝2x0，x1x2＝4y0.，y2＝代入（*）可得：＝＝．当m＞2时，＞0，∠AMB＜．∵k AB＝＝＝＝.＝，∴k MA•k AB＝＝，若k MA•k AB＝﹣1，整理得．∵y0＝﹣m，∴＝4，而m＞2时，方程＝4有解，∴m＞2时，MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形．即直线l1上存在两点M，使得△MAB为直角三角形．21．（14分）设函数f（x）＝ln|x|﹣x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln|x|﹣x2+ax的定义域为{x|x∈R，x≠0}．当x＞0时，f（x）＝lnx﹣x2+ax，∴；…（1分）当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）﹣x2+ax，∴；…（3分）综上可得．…（4分）（Ⅱ）∵＝，x1、x2为函数f（x）的两个极值点，∴x1、x2为方程﹣2x2+ax+1＝0的两根，所以，又∵，∴a＝﹣1．…（5分）此时，，由f'（x）≥0得，当x＞0时，，此时；当x＜0时，（2x﹣1）（x+1）≥0，∴x≤﹣1或x≥，此时x≤﹣1．∴当f'（x）≥0时，x≤﹣1或．…（7分）当f'（x）≤0时，同理解得．…（8分）综上可知a＝﹣1满足题意，且函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]和．…（9分）（Ⅲ）∵，又，∴切线l的方程为，即（x0为常数）．…（10分）令＝，＝，（11分）当x0＞0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：当x0＜0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：）函数f（x）＝ln|x|﹣x2+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于g（x）≤0对x≠0恒成立．∴只需g（x0）≤0和同时成立．…（12分）∵g（x0）＝0，∴只需．下面研究函数，∵，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，注意到m（1）＝0，∴当且仅当0＜x≤1时，m（x）≤0．…（13分）∴当且仅当时，，由解得或．∴x0的取值范围是．…（14分）。
广东省茂名市2015届高三上学期一模考试
广东省茂名市2015届高三上学期一模考试高三2011-02-05 15:54广东省茂名市2015届高三上学期一模考试一、（15分，每小题3分）1．下列词语加点的字，读音全都正确的一组是A．锃亮（câng）篡改（cuàn）逸兴遄飞（tuán）命运多舛（chuǎn）B．沉疴（kē）忖度（cǔn）潸然泪下（shān）多财善贾（jiǎ）C．撺掇（cuān）恪守（kâ）唏嘘不已（xū）恰合卯榫（sǔn）D．赝品（yàn）趔趄（qiâ）踽踽独行（yǔ）厝火积薪（cuò）2．下列各项中，没有错别字的一项是A．盘点挖墙角交口称誉以老卖老B．亟待勘误表剑拔弩张河清海晏C．互惠缉私队隐约其词折冲樽俎D．厘清反修率义愤填膺不差累黍3．下列各句中加点的词语，使用最恰当的一句是A．"80后"留学生运用网络的力量，猛烈驳斥西方媒体的不实报到，激起滔天波澜。
B．近年来，我国煤炭企业重大事故不断，给国家和个人造成了巨大损失，有关责任人必须对此进行反思，深刻认识问题的严重性。
C．儒学是儒家的学说，由孔子所创立。
薪尽火传，经过漫长的岁月，儒学得以延续和发展。
D．原本只是在网络上人气颇高的小沈阳，一跃而成为时下娱乐圈中炙手可热的明星。
4．下列各句中，没有语病、句意明确的一句是A．巴勒斯坦武装组织1月25日表示，如果加沙边境所有口岸都能开放，哈马斯将准备与以色列达成为期一年的停火协议。
B．据人力资源社会保障部新闻发言人尹成基介绍，2008年，全国事业单位84％的新进人员通过公开招聘方式聘用成为单位最具活力的生力军。
C．据悉，奥斯威辛集中营遗址游行活动始于1988年，由以色列教育部和"生者游行"组织联合发起该活动，自1996年起每年举办一次。
D．备受关注的《中共中央国务院关于深化医药卫生体制改革的意见》4月6日正式发布，按照意见要求，到2011年，基本医疗保障制度全面覆盖，基本药物制度初步建立，城乡基层医疗卫生服务体系进一步健全。
2015数学(理)全国I大联考(一)附参考答案
全国大联考2015届高三第一次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∈Z|-3<x<2},N={x∈Z|-1≤x≤3},则M∩N等于A.{0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}2.命题p:∀x∈R,x2+1≥1,则p是A.∀x∈R,x2+1<1B.∃x0∈R,+1≤1C.∃x0∈R,+1<1D.∃x0∈R,+1≥13.下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是A.y=cos xB.y=-x2+1C.y=log2|x|D.y=e x-e-x4.一元二次方程ax2+2x+1=0(a∈R且a≠0)有一正根和一负根的充分不必要条件是A.a<0B.a>0C.a<-1D.a>15.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为A.B. C. D.16.已知a=0.-,b=sin ,c=log2.51.7,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a17.函数f(x)=x+sin x在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.B. C. D.+18.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),且x0∈(m,m+1),m∈Z,则m的值为A.1B.2C.3D.49.已知“f(x)=xln x在定义域内单调递增”的否定为p,“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)都是奇函数,则y=f(x)+g(x)是奇函数”的否命题为q,则下列命题为真命题的是A.p∨qB.p∧qC.p∧qD.p10.设函数y=f(x)在全体实数集R内有定义,对于给定的正数k,定义函数f k(x)=取函数f(x)=a-|x|(0<a<1),当k=时,函数f k(x)的值域为A.(0,a)∪(,+∞)B.[a,1]∪(,+∞)C.(0,a)∪[1,)D.(0,a]∪[1,)11.函数f(x)=的图象可能是A.(1)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)12.设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,若x0是方程f(x)-f'(x)=2的一个解,则x0可能存在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知函数f(x)=则f[f(2)]=▲.214.(x+)dx=▲.15.已知函数f(x)=2ax2-ax+c的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,若函数y=f'(x)的零点为m,则-m a+c=▲.16.给出下列命题:①若y=x3+ax在R上单调递增,则a≥0;②若p是q的充分必要条件,则p可能是q的必要不充分条件;③若函数f(x)是奇函数,则函数f(x+1)的图象关于点A(1,0)对称;④已知函数y=f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则当x∈(0,5]时,函数y=f(x)与g(x)=lg x的图象有4个交点.其中真命题的序号为▲.(把所有真命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.(1)当m=3时,求A∩(R B);(2)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值.18.(本小题满分12分)已知p:函数f(x)=(x-2)e x(e是自然对数的底数)在(m,2m)上是单调函数;q:“x2-2x≤0”是“x2-2mx-3m2≤0”的充分不必要条件.若p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.319.(本小题满分12分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (1)已知二次函数f(x)=ax2+2bx-4a(a≠0,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”,并说明理由;(2)设f(x)=2x+m是定义在[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(其中e是自然对数的底数,常数a>0).-(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)在2014年南京“青奥会”来临之际,某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场.已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元,且每套礼品的加工费用为6元,若该纪念品投放市场后,每套礼品出厂的价格为x(60≤x≤100)元,根据市场调查可知,这种纪念品的日销售量q与成反比,当每套礼品的出厂价为81元时,日销量为200个.(1)若每天加工产品个数根据销量而定,使得每天加工的产品恰好销售完,求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系;(2)若在某一段时间为了增加销量,计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售,但保证每日的利润不低于9000元,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-bx(a,b∈R,且a≠0).(1)当b=2时,若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)当a>0且2a+b=1时,讨论函数f(x)的零点个数.42015届高三第一次联考·数学试卷参考答案1.D∵M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={-1,0,1}.2.C全称命题的否定是特称命题,所以p是∃x0∈R,+1<1,故选C.3.C函数y=cos x为偶函数,但是在(0,+∞)上不单调;y=-x2+1为偶函数,在(0,+∞)上为减函数;y=e x-e-x 为奇函数;只有函数y=log2|x|符合题意.4.C设x1,x2是方程两个根,则满足题意的充要条件是x1·x2=<0,则由选项知充分不必要条件是a<-1.5.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=-,由f'(2)=2可得-=2,解之得a=.6.D由指数函数y=0.6x的图象可知,当x<0时,y>1,∴0.->1;由于函数y=sin x在(0,)上单调递增,又0<<<,∴sin <sin =;函数y=log2.5x在(0,+∞)上单调递增,又<1.7<2.5,∴=log2.5<log2.51.7<1,∴b<c<a.7.A f(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x,则f'()=1,而f()=+1,故切线方程为y-(+1)=x-.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故切线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×1=.8.A令f(x)=x3-()x-2,易得函数f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-()1-2=-1<0,f(2)=8-()2-2=7>0,且函数f(x)在R上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.9.C f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x+1,当0<x<时,f'(x)<0,故f(x)在定义域上不是单调递增函数,故p是真命题;命题q为“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)不都是奇函数,则5y=f(x)+g(x)不是奇函数”,这是假命题,例如f(x)=x+x2,g(x)=x-x2都不是奇函数,但y=f(x)+g(x)=2x是奇函数,故正确的命题为p∧q.10.B依题意,当k=时,由a-|x|≤(0<a<1),得|x|≤1,此时f k(x)==a|x|∈[a,1];由a-|x|>(0<a<1),得|x|>1,此时f k(x)=f(x)=a-|x|∈(,+∞).因此,当k=时,函数f k(x)的值域为[a,1]∪(,+∞).11.C取a=0,可知(4)正确;取a<0,可知(3)正确;取a>0,可知(2)正确;无论a取何值都无法作出(1).12.B由题易知f(x)-log2x为常数,令f(x)-log2x=k(常数),则f(x)=log2x+k,由f[f(x)-log2x]=3得f(k)=3.又f(k)=log2k+k=3,所以k=2,所以f(x)=log2x+2.再用零点存在定理验证可知选B.13.2因为2≤2,所以f[f(2)]=f(4)==2.14.(e2+1) (x+)dx=(x2+ln x)=e2+ln e-=(e2+1).15.-由图象可知f(1)=0,即2a-a+c=0,即a+c=0,又f'(x)=4ax-a,由图可知a<0,故y=f'(x)的零点为m=,故-m a+c=(-m0=--1=()-2-1=3-2-1=-.16.①④对于①,由y=x3+ax可得y'=3x2+a,要使函数单调递增,只需y'=3x2+a≥0恒成立,故a≥-3x2,可得a≥0,故①正确;对于②,若p是q的充分必要条件,则p一定是q的充分必要条件,故②错误;对于③,根据图象平移的“左加右减”的规律可知,f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移了一个单位长度,故对称中心为(-1,0);对于④,作出函数图象可知在x∈(0,5]上,f(x)与g(x)有4个交点,则④正确.17.解:(1)由已知可得A={x|-1<x≤5}.当m=3时,B={x|-1<x<3},则R B={x|x≤-1或x≥3},∴A∩(R B)={x|3≤x≤5}. .............................................................. 5分(2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},故4是方程-x2+2x+m=0的一个根,∴-42+2×4+m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,因此实数m的值为8. ....................................... 10分18.解:由f(x)=(x-2)e x,可得f'(x)=(x-1)e x.由f'(x)>0,可得x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,可得x<1,即f(x)在(-∞,1)上单调递减.若p为真,则或解之得0<m≤或m≥1. .................................. 4分6若q为真,分m大于0与小于0,可得m≥或m≤-2. ........................................ 6分由p∨q为真,p∧q为假,可得p,q一真一假.若p假q真,则m∈(-∞,-2]∪[,+∞)且m∈(-∞,0]∪(,1),即实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[,1);.................................................. 8分若p真q假,则m∈(-2,)且m∈(0,]∪[1,+∞),即实数m的取值范围是(0,]. ................... 10分综上可知,若p∨q为真,p∧q为假,则实数m的取值范围是(-∞,-2]∪(0,]∪[,1). .............. 12分19.解:(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解,即f(x)+f(-x)=0⇒2a(x2-4)=0,........................................................... 3分解得x=±2,∴f(x)为“局部奇函数”.................................................... 5分(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可转化为2x+2-x+2m=0,∵f(x)的定义域为[-1,1],∴方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解,令t=2x∈[,2],则-2m=t+.∵g(t)=t+在[,1)上递减,在[1,2]上递增,∴g(t)∈[2,],∴-2m∈[2,],即m∈[-,-1]. ........................................................... 12分20.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}.当a=1时,f(x)=-,f'(x)=--,∴f(0)=-1,f'(0)=-2,∴曲线在(0,f(0))处的切线方程为2x+y+1=0. .............................................. 4分(2)f'(x)=--,令f'(x)=0,得x=a+1,∴f(x)在(-∞,a),(a,a+1)上递减,在(a+1,+∞)上递增. ........................................ 6分若存在实数x∈(a,2],使不等式f(x)≤e2成立,只需在x∈(a,2]上,f(x)min≤e2成立.①当a+1≤2,即0<a≤1时,f(x)min=f(a+1)=e a+1≤e2,∴0<a≤1符合条件.................................................................. 10分②当a+1>2,即1<a<2时,f(x)min=f(2)=-≤e2,解得a≤1,又1<a<2,∴a∈⌀.综上,a的取值范围是(0,1]. ........................................................... 12分721.解:(1)根据条件可设q=,由条件可知,当x=81时,q=200,即200=,k=1800,∴q=,∴生产这套“青奥会”纪念品每日可以获得的利润为y=(x-30-6)·=(60≤x≤100). ........ 4分(2)由(1)可知y=,∴y'=--=.显然,当x>0时,y'>0,∴函数在[60,100]上单调递增,∴当x=100时,每日获得的利润最大,且最大值为y=-=11520(元),........................................................... 8分∴每套纪念品的价格降低t元后,每套纪念品的价格为100-t元,可以获得的利润为y=-,由条件只需-≥9000,令-=m,则可得m2-5m-36≥0,结合m>0可解得m≥9,即-≥9,解之得t≤19,结合条件可知t 的取值范围是(0,19]. ................................................................ 12分22.解:(1)当b=2时,函数f(x)=ln x-ax2-2x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-2=--.∵函数f(x)存在单调递减区间,∴f'(x)=--≤0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.∴关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.①当a>0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上总有无穷多个解.②当a<0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=->0.要使关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.必须Δ=4+8a>0,解得a>-,此时-<a<0.综上所述,a的取值范围为(-,0)∪(0,+∞). ............................................... 6分(2)当b=1-2a时,函数f(x)=ln x-ax2-(1-2a)x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-(1-2a)=---,令f'(x)=0,得8--=0,即2ax2+(1-2a)x-1=0,(x-1)(2ax+1)=0,∵x>0,a>0,则2ax+1>0,∴x=1,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln 1-a-b=-a-1+2a=a-1.①当a=1时,f(1)=0,若x≠1,则f(x)<f(1),即f(x)<0.此时,函数f(x)与x轴只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点;②当a>1时,f(1)>0,又f()=ln-a·()2-(1-2a)×=-a(-1)2-<0,f(e)=ln e-ae2-(1-2a)e=1-ea(e-2)-e<0,函数f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有两个零点;③当0<a<1时,f(1)<0,函数f(x)与x轴没有交点,故函数f(x)没有零点. ....................... 12分9。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：立体几何(含答案)
D． 3
选择题参考答案
1、 C 2、 C 3、 C 4、 C 5、D 6、 A 7、 B 8、 B 二、填空题
1、（ 2015 届茂名市）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视 图为矩形，则其表面为＿＿＿＿
填空题参考答案 1、 4＋3
三、解答题
1、（ 2015 届广州市）如图 4，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB 60 ，点 E ， F 分别
是边 CD ， CB 的中点， AC EF O ，沿 EF 将 △CEF 翻折到 △PEF ，连接 PA,PB,PD ，
得到如图 5
的五棱锥 P ABFED ，且 PB 10 .
（ 1）求证： BD 平面 POA ； （ 2）求二面角 B AP O 的正切值 .
D P
E
A
O
C
D
E
A F
O
B
B
F
图4
图5
B1
C1
D
F
C
3、（ 2015 届揭阳市）
A已知 BCD 中， BCD 90 , BC CD 1，
AB 6 ， AB ⊥平面 BCD ， E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点．
（1）求证：平面 BEF ⊥平面 ABC ；
（2）求四棱锥 B-CDFE 的体积 V ；
（3）求平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值．
2、（ 2015 届江门市） 如图 4，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形，侧面是正方形， DAB 600 ， E 是棱 CB 的延长线上一点，经过点 A 、 C1 、 E 的平面交棱 BB1于点 F ，
B1F 2BF ．
⑴求证：平面 AC1 E 平面 BCC1B1 ；
茂名市2015-2016年初中毕业生学业考试与高中阶段学校招生模拟考试卷一(含详细答案)
ABOM茂名市2015-2016年初中毕业生学业考试与高中阶段学校招生模拟考试数学试卷（一）第一卷 选择题（共30分）1．下列各式正确的是（ ）A ．33--=B ．326-=-C ．(3)3--=D ．0(π2)0-=2． 下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）3．已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程32=-ay x 的一个解， 那么a 的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1 4．函数y x 的取值范围是（ ） A ．12x -≥ B．12x ≥ C ．12x -≤ D ．12x ≤5.在直角坐标系中，点M （sin50°，－cos70°）所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限6.已知样本数据 1、2、3、4、5 ,下列说法不正确的是 ( ) A 、平均数是3 B 、中位数是4 C 、极差是4 D 、方差是2 7．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径 分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．πB ．πC ．3πD ．2π8．在△ABC 中，∠C=90°，D 是边AB 上一点(不与点A 、B 重合)，过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有( ) (A)1条 (B)2条 (c)3条 (D)4条9．有一列数A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，…，A n ，其中A 1＝4×4＋1，A 2＝4×5＋2，A 3＝4×6＋3，A 4＝4×7＋4，A 5＝4×8＋5，…，当A n ＝2012时，n 的值等于（ ） A ．400 B ．401 C ．2011 D ．201210.秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,某小朋友荡秋千时,秋千在 最高处踩板离地面2米(左右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为 ( ) A 、2米 B 、2π米 C 、43π米 D 、43米第二卷 非选择题（共90分）二、细心一填、一锤定音。
广东省各市2015年高考数学一模试题分类汇编 排列组合二项式定理 理
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编排列组合二项式定理一、排列组合1、（2015届揭阳市）将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A. 48B. 24C. 20D. 122、（2015届佛山市）有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( )A. 45B. 55C. 10!D. 1010排列组合参考答案1、B不同的摆法种数为:2223224A A ⋅=或43432424A A -=． 2、A二、二项式定理1、（2015届广州市）已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C kn n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2kn n ++C nn =2、（2015届江门市）16)(y xx y -的二项展开式17个项中，整式的个数是A ．1B ．3C ．5D ．73、（2015届茂名市）已知等比数列{n a }的第5项是二项式61)3x 展开式的常数项，则37a a 为＿＿＿ 4、（2015届梅州市）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）5、（2015届汕头市）二项展开式5212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中，含4x 项的系数为 6、（2015届深圳市）4)31(x x -的展开式中常数项为 .（用数字表示）7、（2015届湛江市）展开()6a b c++，合并同类项后，含23ab c项的系数是二项式定理参考答案1、()212nn n-+⋅2、B3、2594、105、806、237、60三、定积分、正态分布1、（2015届广州市）已知随机变量X服从正态分布()2,1N. 若()130.6826P X≤≤=，则()3P X>等于2、（2015届深圳市）定积分参考答案1、0.15872、18。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：解析几何(含答案)
是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AM， BN的斜率分别为 k1, k2 ，且 k1k2 0 ，若 | k1 | | k2 |
的最小值为 1，则椭圆的离心率为＿＿＿＿ 3、（ 2015 届梅州市）以 F1（－ 1,0）、 F2（ 1,0）为焦点，且经过点 准方程为＿＿＿
M（ 1，－ 3 ）的椭圆的标 2
C、 y2 ＝4 x
D、 y2 ＝－ 4 x
x2 y2
6、（ 2015 届汕头市） 若双曲线的标准方程为
1 ，则它的渐近线方程为 （ ）
84
A ． x 2y 0
B ． 2x y 0
C ． x 2y 0
D． 2x y 0 7、（ 2015 届湛江市） 抛物线 8y x2 0 的焦点 F 到直线 l : x y 1 0 的距离是 （ ）
( Ⅱ ) 已知 m
4, A
2
1,0 和曲线 C : x 1
y2
16 . 若 P 是曲线 C 上任意一点 , 线
段 PA 的垂直平分线为 l , 试判断 l 与曲线 E 的位置关系 , 并证明你的结论 .
解答题参考答案
2 ．
2
2 ，
2
2 设直线 l : x ty 是椭圆 C 的一条切线， 点
2, y1 ，点
2, y2 是切线 l
上两个点，证明：当 t 、 变化时，以 点坐标．
为直径的圆过 x 轴上的定点，并求出定
x2
y2
9、（ 2015 届佛山市）已知曲线 E :
1.
m m1
( Ⅰ) 若曲线 E 为双曲线 , 求实数 m 的取值范围；
4、（ 2015 届深圳市）已知圆 C： x2 y2 8x ay 5 0 经过抛物线 E： x2 4y 的焦点，
2015年广东高考数学(理科)试卷及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.1. 若集合()(){}410x x x M =++=,()(){}410x x x N =--=,则=N M ( ). A. φ B. }4,1{-- C. }0{ D. }4,1{ 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z -=,则=z ( ).A. i 23-B. i 23+C. i 32+D. i 32- 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A. xe x y += B. x x y 1+= C. x xy 212+= D. 21x y += 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1 个白球,1个红球的概率为( ). A. 1 B.2111 C. 2110 D. 215 5. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052=--=+-y x y x 或B. 052052=-+=++y x y x 或C. 052052=--=+-y x y x 或D. 052052=-+=++y x y x 或6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ,则y x z 23+=的最小值为( ).A.531 B. 6 C. 523 D. 4 7. 已知双曲线1:2222=-by a x C 的离心率45=e ,且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线C 的方程为( ).A. 13422=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-y xD. 14322=-y x 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ).A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9 ~ 13题)9. 在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为_____________.10. 在等差数列}{n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则=+82a a _____________. 11. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若6,21sin ,3π===C B a ,则=b ___________. 12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)13. 已知随机变量X 服从二项分布),(p n B .若20)(,30)(==X D X E ,则=p __________. (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2)4sin(2=-πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点A 到直线l 的距离为____________.15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知AB 是圆O 的直径,4=AB , EC 是圆O 的切线,切点为C ,1=BC .过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则=OD ___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. .17. (本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====, 点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. (本小题满分14分)设0>a ,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m .20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ;(3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a nn T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.1. 答案: A 提示: {1,4},{1,4},.M N M N φ=--=∴=2. 答案: D 提示: 23,23z i z i =+∴=- 3 答案: A4答案: C 提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5.答案:D 提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a ++==∴==±+依题意即6 答案: C 提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E 4(1,)5, 易知当目标函数过点E 4(1,)5时取到最小值,此时z=423312.55⨯+⨯= 7. 答案: B 提示: 222555,,4,9.4c c e a b c a a a ====∴==-=显然又从而 8. 答案: C. 9.答案: 6. 提示: 12422144()(1)(1),212,2r rrr rr r r T C x C xr --+=-=--==令得224(1) 6.x C ∴-=展开式中的系数为 10.答案: 10. 提示:374655555285()()2225,5,210.a a a a a a a a a a a a ++++=++=∴=+==从而 11.答案:1 . 提示:155sin ,(0,),,,,,266666B B BC B B ππππππ=∈∴==∴≠=且或又从而2cos,33, 1.6a b b b π∴==∴=即12.答案: 1560. 提示:24040,40391560.A =⨯=相当于从人中选取两人的排列数故方法总数为13.答案:13. 提示:201(,),()30,()(1)20,1,.303X B n p E X np D X np p p p ∴===-=∴-==故 14答案:522.:,//,,,,,,,90,1, 1.2,2,2248.2o O C O D B C B C A C O P A C P A C O D F C F A F C O D A O D C B A O C D C O DC B AC B C O A B C OC BO DB A ⊥∴⊥=∠∠∠∠∴∆∆====∴==⨯=提示连结又从而为线段的中点设线段与圆交于点则弧弧从而＝＝又＝即 15.答案: 8. 16. 解:(1))4sin(cos 22sin 22)cos ,(sin )22,22(π-=-=⋅-=⋅x x x x x n m ,,0,sin()0,(0,)42m n m n x x ππ⊥∴⋅=-=∈即又,04,444=-∴<-<-∴ππππx x .即4π=x ,14tan tan ==∴πx .(2)依题意)4sin(cos sin )22()22()4sin(||||3cos 2222πππ-=+⋅-+-=⋅⋅=x x x x n m n m , 即)4,4(4,21)4sin(ππππ-∈-=-x x 又,12546,64πππππ=+==-∴x x 即 17.解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人, 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.222222222222444036433637444337404343433(2)4040040,9911100[40(4)3(4)(3)43(3)](4443).999x s +++++++++-+--++-==+=+=∴=++-++-+-+++-=⨯+⨯=10102101(3),4036,4043,33333212336,364323,0.638963.89%,3336s x s x s =∴-=-=+=+=≈=易得人中年龄位于与之间的有人即36名工人中年龄在s x -与s x +之间有23人,所占的百分比是63.89%. 18.解:(1)证明:,,,PD PC E DC PE DC =∴⊥为中点,,,,,.P D C A B C D P D C A B C D D C P E P D CP E A B C D F G A B C D P E F G⊥⊂∴⊥⊂∴⊥又面面而面面＝面面面22(2),,,,,,114,3,7,2277tan ,.33PDC ABCD AD DC AD PDC AD PD AD DC PDC P AD C PD DE DC AB PE PD DE PE PDC P AD C DE ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∠--====∴=-=∴∠==--面面面从而为二面角的平面角即二面角的正切值为22222222222(3,2,//,634535,345,2545165495c o s ,225253530595.25AF CGAC ACFG PAC PA FG FB GB AC AB BC AP AD DP AP AC PC PAC AP AC PA FG ==∴∠=+=+===+=+=+-+-∴∠====⋅⨯⨯连结从而为直线与直线所成角或其补角,即直线与直线所成角的余弦值为19. 解:(1)0)1()21()(22≥+=++=xxe x e x x xf ,上为增函数在),()(+∞-∞∴x f . (2)22221,(0)10,()(1)(1)1(1)0a a f a f a a e a a e a a a a a a a >=-<∴=+->+->+->-=->,.),()(,),()(,),0()(仅有一个零点在上为增函数在又有零点在区间+∞-∞∴+∞-∞∴x f x f a x f(3)由0)('=x f 得1-=x ,又a e a e f -=-=--22)1(1,e a a e k a e P op 20102),2,1(-=----=∴--∴.依题意'()OP f m k =,22(1)mm e a e∴+=-,设1)(--=x e x g x ,则1)('-=x e x g ,当0>x 时,01>-x e ; 当0<x 时,01<-xe ,为增函数在为减函数在),0(,)0,()(+∞-∞∴x g , 从而0min ()(0)010g x g e ==--=,即0)(,≥∈∀x g R x .0)(,≥∈∀∴m g R m ,即01≥--m e m, ea e m m m e m mm2)1()1(,0)1(,1232-=+≤+∴≥+≤+∴又, 33221, 1.m a m a e e∴+≤-≤--即20. 解:(1),495)3(,0562222=+-=+-=+-+y x x y x 即)0,3(1的圆心坐标为圆C ∴. (2)法一: 设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,05612121=+-+∴x y x ,05622222=+-+x y x , 即0)(6))(())((2121212121=---++-+x x y y y y x x x x ,,12x x ≠06)()(21212121=---+++∴x x y y y y x x ,0622=-⋅+x y y x 即.22221223930,().245,3,3395()(3).243x y x x y C M x AB M C x y x ∴+-=-+=<≤-+=<≤即考虑到弦的中点只能在圆的内部可解得点的横坐标的范围为故线段的中点的轨迹的方程为. 法二:111,,1,1,C M AB C M MO M AB C M AB k k k k ∴⊥∴⋅=-⋅=-点为弦中点即)335(03,1322≤<=-+-=⋅-∴x x y x x y x y 即. (3)将)4(-=x k y 代入0322=-+x y x 5(3)3x <≤中得:03)168(222=-+-+x x x k x ,2222(1)(83)160k x k x k ∴+-++=,222222216964948)1(64)38(k k k k k k -=-+=+-+=∆,由0=∆得222238()33831254,(,3],342(1)532(()1)4k k k ±++=±==∈+±+此时切点的横坐标值为, 3,4k =±故时直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点;525525(,),(,),,3333252525253,,577743C L L C k k L C ±±±==±≤≤-由于点不在轨迹上故当过点时与轨迹只有一个交点此时依据图形特征知当-时直线与轨迹只有一个交点. 综上所述,2525,]7733[{,}44k ∈--时,直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点. 21.解:(1)122331121311222132141,124422,,1134,.22224a a a a a ---+++=-=+=-=-=∴=++=-∴= 1212121*111111121(2)2,2(1)4,(4)(4),2222111(2),1,(),22211112{}1,,2.12212n n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a n a na a n a a n N a T ---------+++≥+++-=-=---=∴=≥==∴=∈-∴==--时从而又数列是为首项为公比的等比数列从而12111211223312121211111(3),(1),(1),(1),2232321111(1)()(1)2211111(1)(2)2(1).222111()ln 1(1),'()n n n n n n nn a a a a a a b a b a b a b a n nS b b b a a a T n nn nf x x x f x x x x --++++==++=+++=++++∴=+++=++++++=+++=+++-<+++=+->=-记函数则2*10,1,(),11,()(1)ln110,111,2,1,()0,ln 10,ln ,111111213111123ln ,ln ,,ln ,ln ln ln ln ,22133112321311112(1)2x x f x xx f x f k k k k k N k f k k k k k k k n n n n n n n n -=>∴>>>=+-=∈≥>∴>+->>-----<<<+++<+++=------∴+++=当时为增函数从而当时当且时即亦即故11122()22ln ,2311,2(1)22ln .2111(:ln ,23n n nS n n n n ++++<+<+++<++++<综上注证明时也可以使用数学归纳法)。
【初中数学】广东省茂名市2015年中考数学一模试卷(解析版) 人教版
广东省茂名市2015年中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是（）A．2B．﹣（﹣a+1）=a﹣1 C．3m2﹣m2=3 D．（﹣）2=﹣3考点：二次根式的乘除法；合并同类项；去括号与添括号．专题：计算题．分析：A、利用二次根式的乘法法则计算后即可作出判断；B、利用去括号法则，括号前面是负号，去掉负号和括号，括号里边各项都变号，化简后即可作出判断；C、根据合并同类项法则：只把系数相加减，字母和字母的指数不变，计算后即可作出判断；D、根据任意数的平方都等于非负数，即可判断此选项错误．解答：解：A、2×3=6×=18，本选项错误；B、﹣（﹣a+1）=a﹣1，本选项正确；C、3m2﹣m2=（3﹣1）m2=2m2，本选项错误；D、=（﹣）×（﹣）=3，本选项错误，故选B．点评：此题综合考查了去括号法则，合并同类项法则以及二次根式的乘法法则．学生做题时注意审清题意，细心计算．2．由几个小正方体所搭成的几何体的俯视图如图所示．（正方形中的数字表示该位置叠放的小正方体的个数），那么这个几何体的正视图是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．专题：作图题．分析：先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有2竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．解答：解：从正面看去，一共三列，左边有2竖列，中间有2竖列，右边是1竖列．故选C．点评：本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．3．根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（）A．7元B．35元C．45元D．50元考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题；图表型．分析：仔细观察图形，可知本题存在两个等量关系，即一个水壶的价格+一个杯子的价格=52，三个水壶的价格+两个杯子的价格=149．根据这两个等量关系可列出方程组．解答：解：设水壶单价为x元，杯子单价为y元，则有，解得．答：一个热水瓶的价格是45元．故选C．点评：本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．4．如果分式的值为零，那么x的值为（）A．﹣1或1 B．1 C．﹣1 D．1或0考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．解答：解：根据题意，得|x|﹣1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可．5．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据等腰直角三角形的锐角为45°求解．解答：解：cosα=cos45°=．故选B．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．6．若一个正多边形的每一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12考点：多边形内角与外角．专题：常规题型．分析：根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．解答：解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选D．点评：本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．7．四张完全相同的卡片上，分别画有：线段、等边三角形、平行四边形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1考点：概率公式；中心对称图形．分析：先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．解答：解：∵四张卡片中中心对称图形有线段、平行四边形、圆共3个，∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为，故选A．点评：此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．8．已知二次函数y=x2的图象向右平移3个单位后，得到的二次函数解析式是（）A．y=（x﹣3）2 B．y=（x+3）2 C．y=x2﹣3 D．y=x2+3考点：二次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．解答：解：二次函数y=x2的图象的顶点为（0，0），图象向右平移3个单位后，顶点为（3，0），故二次函数解析式是：y=（x﹣3）2．故选A．点评：主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．9．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，M是AB上任意一点，则线段OM的长可以是（）A．1.5 B．2.5 C．4.5 D． 5.5考点：垂径定理；垂线段最短；勾股定理．专题：计算题．分析：根据ON＜OM＜OA求出OM的取值范围，再进行估算．解答：解：作ON⊥AB，根据垂径定理，AN=AB=×8=4，根据勾股定理，ON==3，则ON≤OM≤OA，3≤OM≤5，只有C符合条件．故选C．点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的用法，要注意先估算，再选择．10．如图，圆锥底面直径为6cm，母线长为12cm，则其侧面展开为扇形的圆心角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：底面的直径为6，则底面圆的周长即侧面展开图得到的扇形的弧长是6π；圆锥母线长是12，则扇形的半径是12，根据弧长的公式求解即可．解答：解：根据弧长的公式l=得到：6π=解得n=90°这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角是90度．故选D．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填入答题表二内，否则不给分）11．若一组数据“﹣2，x，﹣1，0，2”的众数是2，则中位数是0．考点：中位数；众数．分析：首先根据众数定义求出x，再根据中位数定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，即可得到答案．解答：解：∵众数是2，∴x=2，将数据从小到大重新排列：﹣2，﹣1，0，2，2，最中间的那个数是：0，∴这组数据的中位数是：0，故答案为：0．点评：此题主要考查中位数与众数，解题的关键是求出x的值．12．在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点B（﹣1，2）重合，那么A、B两点之间的距离等于4．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：应用题．分析：根据点关于x轴对称的点的坐标特点可求出点A的坐标，即可求出A、B两点之间的距离．解答：解：∵点A与B关于x轴对称，点B坐标为（﹣1，2），∴点A坐标为（﹣1，﹣2），∴A、B两点之间的距离=2﹣（﹣2）=4．故答案为4．点评：本题主要考查了点关于x轴对称的特点，以及两点之间的距离的计算，难度适中．13．找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有个．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题；规律型．分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解答：解：分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，…，∵1=1×2﹣1，3=2×2﹣1，5=3×2﹣1，∴故第n幅图中共有个．故答案为：．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C 的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是60度．考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质，以及直角三角形的性质，即可证得△A′CA是等边三角形，从而求解．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴△A′B′C中，∠B′=∠B=30°，∠B′=60°，∴A′B′=2A′C．∵AC=A′B′，则A是A′B′的中点．∴AA′=A′C=AC，即△A′CA是等边三角形．∴∠ACA′=60°．故答案是：60°．点评：本题主要考查了旋转的性质，以及直角三角形的性质，正确证得△A′CA是等边三角形是解题关键．15．如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4m到达B点，在点B处观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则OA=（4+）m（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过点B作y轴的垂线，垂足为点C．由方向角的定义可知∠BAC=45°，解Rt△ABC 得出AC=BC=4；由方向角的定义知∠OBC=30°，解Rt△OBC得到OC=，所以OA=AC+CO=4+．解答：解：如图，过点B作y轴的垂线，垂足为点C．在Rt△ABC中，∵AB=4，∠BAC=45°，∴AC=BC=4．在Rt△OBC中，∵∠OBC=30°，∴OC=BC•tan30°=，∴AO=AC+CO=4+．故答案为（4+）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题：（第16-18题每题6分，第19-22题每题7分，第23题9分，共55分）16．先化简，再求值，（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣2，其中．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据整式相乘的法则和平方差公式、完全平方公式去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解．解答：解：原式=9x2﹣4﹣（5x2﹣5x）﹣（4x2﹣4x+1）=9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1=9x﹣5，当时，原式==﹣3﹣5=﹣8．点评：此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则及平方差公式、完全平方公式化简代数式．17．解方程：．考点：换元法解分式方程．专题：计算题．分析：设=y，则原方程化为y=+2y，解方程求得y的值，再代入=y求值即可．结果需检验．解答：解：设=y，则原方程化为y=+2y，解之得，y=﹣．当y=﹣时，有=﹣，解得x=﹣．经检验x=﹣是原方程的根．∴原方程的根是x=﹣．点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．18．在不透明的口袋里装有白、红、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），现从中任意摸出一个是白球的概率为，从中任意摸出一个是红球的概率为．白球比红球多1个．（1）试求袋中白球、黄球、红球的个数；第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图，或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）可先设球的总数为未知数，根据白球比红球多1个列出方程求得球的总数，进而得到各种颜色球的个数即可；列举出所有情况，看两次摸出白球的情况数占总情况数的多少即可．解答：解：（1）设球的总数为x，则白球为x，红球为x．x﹣x=1，解得x=6，∴x=6，x=2，∴黄球个数为1，答：白球3个、黄球1个、红球2个黄白白白红红黄黄，白黄，白黄，白黄，红黄，红白白，黄白，白白，白白，红白，红白白，黄白，白白，白白，红白，红白白，黄白，白白，白白，红白，红红红，黄红，白红，白红，白红，红红红，黄红，白红，白红，白红，红共30种情况，有6种情况恰好两次都摸出白球，所以概率为．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．19．用尺轨三等分任意角是数学中的一大难题，但我们可以用“折纸法”把一个直角三等分．如图所示，具体做法：（1）将一矩形纸片ABCD对折，EF为折痕；继续沿过点C的直线CO对折，使点B落在EF上得到点G，则CO、CG就把∠BCD三等分了．请你写出它的推理过程．考点：全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：证明题；操作型．分析：延长OG交DC于H，由EF为矩形ABCD的中位线，则OG=GH；从而查证得Rt△CGO≌Rt△CGH，可得∠OCG=∠HCG；由题意可知∠BCO=∠GCO，从而得三角相等，即CO、CG把∠BCD三等分．解答：证明：如图，延长OG交DC于H，∵EF为矩形ABCD的中位线，∴OG=GH，又∵∠OGC=∠HGC=90°，CG为公共边，∴Rt△CGO≌Rt△CGH，∴∠1=∠2．又∵∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3，即CO、CG把∠BCD三等分．点评：本题主要考查全等三角形的判定，还考查了学生的观察力和动手能力，动手操作一下，问题更容易解决．20．某酒店的客房有标准三人房，收费标准为每天每套150元；标准双人房，每天每套140元．一个50人的旅游团到该酒店入住，开了一些三人和标准双人房，若每套客房正好住满，且标准三人房住了x套，标准双人房住了y套．（1）用含x的代数式表示y．若该旅游团一天的住宿费要低于3000元，且旅客要求住进的标准三人房不多于标准双人房，那么该旅游团订这两种标准房各多少套？考点：一元一次不等式组的应用．分析：（1）根据等量关系：标准三人房的套数×3+标准双人房的套数×2=50，可得3x+2y=50，即可得y=；根据题意可知：标准三人房的套数×150+标准双人房的套数×140＜3000，标准三人房的套数≤标准双人房的套数，则列方程组即可求得．解答：解：（1）∵标准三人房的套数×3+标准双人房的套数×2=50，∴3x+2y=50，∴y=；根据题意列不等式组解得，＜x≤10∵x为整数，∴x取9或10又∵x=9时y==不为整数∴舍去．当x=10时，y==10答：该旅游团订这两种标准房各10套．点评：此题是通过不等式组解实际问题的题目．解题的关键是理解题意，抓住各量之间的关系，根据题意列得不等式组求解即可．21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm；点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度移动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度移动；当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设移动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？设四边形PQCD的面积为y，求y与t的函数关系式．探索四边形PQCD的面积是否存在最大值？若存在，最大值是多少？若不存在，请说明理由？考点：直角梯形；一次函数的性质；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由题意得AP=t，DP=24﹣t，CQ=3t，0≤t≤，因为AD∥BC，则根据平行四边形的判定得只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即有3t=24﹣t，解t即可；四边形PQCD的面积等于△PQD与△DQC的面积和，而这两个三角形的高都等于AB，所以y四边形PQCD的面积=（DP+CQ）•AB=×8=8t+96，根据一次函数的性质讨论当0≤t≤，y的最大值即可．解答：解：（1）AP=t，DP=24﹣t，CQ=3t，0≤t≤，∵AD∥BC，∴只要当DP=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，∴3t=24﹣t，解得t=6秒．所以当t为6秒时，四边形PQCD为平行四边形；存在．y四边形PQCD的面积=（DP+CQ）•AB=×8=8t+96，∵0≤t≤，y随t的增大而增大，∴当t=时，y有最大值=96+8×=（cm2）．所以四边形PQCD的面积的最大值为cm2．点评：本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．也考查了直角梯形的性质以及一次函数的性质．22．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；求证：BE=2OE．考点：圆周角定理；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接PB．根据直径所对的圆周角是直角判定PB⊥OM；由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线；最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由⊙M的半径长求得点C的坐标；连接AC，证△AMC为等边三角形，根据等边三角形的三个内角都是60°、直径所对的圆周角∠ACP=90°求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE．解答：（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA=90°∴AO=OB=3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB=2OM=∴P点坐标为（3，）在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2，根据勾股定理得：AP=4，所以圆的半径MC=2，又OM=，所以OC=MC﹣OM=，则C（0，）证明：连接AC．∵AM=MC=2，AO=3，OC=，∴AM=MC=AC=2，∴△AMC为等边三角形又∵AP为圆M的直径得∠ACP=90°得∠OCE=30°∴OE=1，BE=2∴BE=2OE．点评：本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．解答该题时通过作辅助线AC、BP构建直径所对的圆周角∠ACP、∠ABP，然后利用圆周角定理来解决问题．23．如图，抛物线y=x2mx+m2（m＞0）与x轴相交于A、B两点，点H是抛物线的顶点，以AB为直径作⊙G交y轴于E、F两点，EF=．（1）求m的值和⊙G的半径R；连接AH，求线段AH的长度；（3）问：射线GH上是否存在一点P，使以点P为圆心作圆，能与直线AH和⊙G同时相切？若存在，求点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）连接GE，在Rt△GEO中，将GE、GO和EO的长用m表示出来，再由勾股定理得GE2=GO2+EO2即可求解．根据抛物线的解析式，可以得出H点的坐标，继而得出AH的长；（3）假设存在这样的点，再直线AH和⊙G同时相的条件进行求解即可．解答：解：（1）x2mx+m2=0，∴x2+mx﹣2m2=0，∵m＞0，∴A（﹣2m，0），B（m，0），∴AB=3m，⊙G的半径R=，∴OB=m，BG=m，∴OG=m，∴G（，0），∵EF⊥x轴，AB为直径，EF=4，∴EO=2，连接GE，在Rt△GEO中，由勾股定理得GE2=GO2+EO2解得m=±2，∵m＞0，∴m=2，R=3．∵m=2，∴，∴H（﹣1，4）又∵A（﹣4，0），∴．（3）设⊙P的半径为R'，P点的坐标为（﹣1，k），由题意可知，当k＞4时，不符合题意，所以0＜k＜4．因为⊙P与直线AH相切，过点P作PM⊥AH，垂足为点M，PM=r P∴HP=4﹣k，R'=HP•sin∠AHG=，①当⊙P与⊙G内切时，3﹣R'=k，∴，∴②当⊙P与⊙G外切，3+R'=k∴，∴所以满足条件的P点有：，．点评：本题考查了二次函数的知识，难度较大，基于二次函数的综合题是中考中常见的问题，要注意各部分知识的综合利用，对这类综合题要善于总结其思路与方法．。
广东省茂名市2015届高考数学一模试卷理含解析
广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}2．（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣13．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．B．y=2x﹣1 C．D．y=﹣x35．（5分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1 C．（x+3）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=26．（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A．1 B．C．D．8．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣2，p=1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]=f[f p（0）] B．f p[f（1）]=f[f p（1）] C． f p[f（2）]=f p[f p （2）] D．f[f（﹣2）]=f p[f p（﹣2）]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边，若a=3，C=120°，△ABC 的面积S=，则c为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为．11．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S是．12．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7=．13．（5分）已知A、B是椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．【几何证明选讲】15．如图，圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO=5cm，弦CD过点P，且=，则CD 的长为cm．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，0＜φ＜π），f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）=，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC 的中点，AD=CD=1，DB=2，PD=2．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥PB；（3）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．20．（14分）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且•=•．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M为直线l1：y=﹣m（m＞2）上的任意一点，过点M作轨迹C的两条切线MA，MB．切点分别为A，B，试探究直线l1上是否存在点M，使得△MAB为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由．21．（14分）设函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出A的补集，从而求出（∁U A）∩B，进而得到答案．解答：解：∵∁U A={4，6}，∴（∁U A）∩B={4，6}∩{2，4，6}={4，6}，故选：B．点评：本题考查了集合的交，并，补集的运算，是一道基础题．2．（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，∴复数的虚部是﹣1．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当a=﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1=0与直线l2：x﹣y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．（5分）下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．B．y=2x﹣1 C．D．y=﹣x3考点：函数的零点．专题：计算题．分析：A、对数函数的定义域和底数小于1时是减函数；B、对数函数的定义域和底数大于1时是增函数；C、指数是正数的幂函数在R上是增函数；D、底数大于1的指数函数在R上是增函数．解答：解：A、的定义域是（0，+∞），且为减函数，故不正确；B、y=2x﹣1的定义域是R，并且是增函数，且在（﹣1，1）上零点为0，故正确；C、在（﹣1，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，故不正确；D、y=﹣x3是减函数，故不正确．故选B．点评：考查基本初等函数的定义域和单调性以及函数的零点问题，属基础题．5．（5分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1 C．（x+3）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，求出点（3，﹣1）与直线3x+4y=0的距离，即为所求圆的半径，结合圆的标准方程形式即可得到本题答案．解答：解：设圆的方程是（x﹣3）2+（y+1）2=r2∵直线3x+4y=0相与圆相切∴圆的半径r==1因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=1故选：A．点评：本题求一个已知圆心且与已知直线相切的圆方程，着重考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．6．（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：排列组合．分析：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有84﹣6=78种，从而求得所求事件的概率．解答：解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C 1 3种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C 1 2种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有×=6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，∴所求的概率为=．故答案选 D．点评：本题考查简单计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A．1 B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作差可行域，由可行域得到使目标函数取得最小值的点，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到关于a，b的等式，然后利用基本不等式求最值．解答：解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得A（2，3）．由图可知，目标函数z=ax+by在点（2，3）上取到最小值2，即2a+3b=2．∴ab=．当且仅当2a=3b=1，即时等号成立．故选：C．点评：本题考查了线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣2，p=1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]=f[f p（0）] B．f p[f（1）]=f[f p（1）] C． f p[f（2）]=f p[f p （2）] D．f[f（﹣2）]=f p[f p（﹣2）]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据p界函数的定义求出f1（x）=，从而根据已知函数解析式求函数值，进行验证各选项的正误即可．解答：解：根据题意；∴f（0）=﹣2，f1（0）=﹣2，f1[f（0）]=f1（﹣2）=1，f[f1（0）]=f（﹣2）=6，∴A错误；f（1）=﹣3，f1（1）=﹣3，f1[f（1）]=f1（﹣3）=1，f[f1（1）]=f（﹣3）=13，∴B错误；f（2）=﹣2，f1（2）=﹣2，f1[f（1）]=f1（﹣2）=1，f1[f1（2）]=f1（﹣2）=1，∴C正确；f（﹣2）=6，f1（﹣2）=1，f[f（﹣2）]=f（6）=22，f1[f1（﹣2）]=f1（1）=﹣3，∴D错误．故选C．点评：考查对p界函数的理解与运用，已知函数解析式能够求出函数值．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边，若a=3，C=120°，△ABC 的面积S=，则c为7．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知及三角形面积公式可得b的值，由余弦定理即可求得c的值．解答：解：由三角形面积公式可得：S=absinC=，∵a=3，C=120°，∴可得：=，解得：b=5，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+25+15=49，∴可解得：c=7．故答案为：7．点评：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基本知识的考查．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为3π+4．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：原几何体为圆柱的一半，且高为2，底面圆的半径为1，表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案．解答：解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S=2×π×12+2×2+×2π×1×2=3π+4故答案为：3π+4点评：本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S是﹣1．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据框图的流程模拟程序运行的结果，发现S值的周期为6，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．解答：解：由程序框图知：n=1，第1次循环S=，n=2；第2次循环S=0，n=3；第3次循环S=﹣1，n=4；第4次循环S=﹣，n=5，第5次循环S=﹣1，n=6；第6次循环S=0，n=7；第7次循环S=，n=8，第8次循环S=0，……S值的周期为6，2016=6*336，∵跳出循环的k值为2016，∴输出的S=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基本知识的考查．12．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7=．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．解答：解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为 T r+1=••，令3﹣=0，求得r=2，故展开式的常数项为•=．等比数列{a n}的第5项a5=，可得a3a7==，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题．13．（5分）已知A、B是椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k1|+|k2|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x0=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值．解答：解：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），A（﹣a，0），B（a，0），则=1，即有，k1=，k2=，|k1|+|k2|=||+||=1，当且仅当=即x0=0，y0=b时等号成立．∴2=2•=1∴a=2b，又因为a2=b2+c2∴c=a，∴e==．故答案为：点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用．圆锥曲线是2015届高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）分别化为ρ2=ρsinθ，ρ2=ρcosθ．可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y≥0，x2+y2＞0．联立解得x，y，再利用极坐标即可．解答：解：曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）分别化为ρ2=ρsinθ，ρ2=ρcosθ．可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y≥0，x2+y2＞0．联立解得x=y=．∴交点P，化为极坐标为=，．∴极坐标为：．故答案为：．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、圆的交点，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选讲】15．如图，圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO=5cm，弦CD过点P，且=，则CD 的长为18cm．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由已知条件利用垂径定理和勾股定理得AP=PB=12，再由相交弦定理得CP•PD=AP•PB=122=144，利用=，得CD=3CP，PD=2CP，由此能求出CD的长．解答：解：圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO=5cm，∴AP=PB==12，∴CP•PD=AP•PB=122=144，∵=，∴CD=3CP，PD=2CP，∴2CP2=144，解得CP=6，∴CD=3CP=18．故答案为：18．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理、勾股定理、相交弦定理的合理运用．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，0＜φ＜π），f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）=，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由f（）=．可得cosφ=，又0＜φ＜π，可解得φ，从而可求得f （x）的解析式；（2）由f（﹣）=，可得cosα=﹣，又α∈（，π），可得sinα，利用两角和的正弦公式即可求得sin（α+）的值．解答：解：（1）由f（）=．可得sin cosφ+cos sinφ=…1分所以cosφ=…2分又∵0＜φ＜π…3分∴φ=…4分∴f（x）=sin2xcos+cos2xsin=sin（2x+）…6分（2）由f（﹣）=，可得sin[2（﹣）+]=，即sin（）= (7)分所以cosα=﹣…8分又∵α∈（，π），…9分所以sinα===…10分sin（α+）=sinαcos+cos=…12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数解析式的求解及常用方法，所以基本知识的考查．17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据茎叶图，利用平均数公式和中位数定义能求出男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数．（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，从而ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）根据茎叶图，得：男志愿者的平均身高为：≈176.1（cm），女志愿都身高的中位数为：=168.5（cm）．（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P∴Eξ==．点评：本题考查平均数、中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2，PD=2．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥PB；（3）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设AC∩BD=F，连结EF，由已知得EF为△PAC的中位线，从而PA∥EF，由此能证明PA∥平面BDE．（2）由已知得AC⊥BD，由线面垂直得PD⊥A C，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（3）取CD中点M，连结EM，过M作MH⊥DF于H，连结EH，由已知得∠EHM是二面角E﹣BD ﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：如图，设AC∩BD=F，连结EF，∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴F为AC中点，又∵E为PC的中点，∴EF为△PAC的中位线，∴PA∥EF，又EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）证明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又∵PD∩BD=D，且PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，∴AC⊥PB．（3）解：取CD中点M，连结EM，过M作MH⊥DF于H，连结EH，∵EM∥PD，PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴EM⊥BD，又MH⊥DF，MH∩EM=M，∴DF⊥平面EHM，∴DF⊥EH，∴∠EHM是二面角E﹣BD﹣C的平面角，又由AC==，∴MH=，在Rt△EAH中，由EM=1，得EH===，∴cos∠EHM==，∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．点评：本题考查线面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*），变形，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式可得，S n=．再利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时也成立”即可得出a n．由于数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），可得数列{b n}是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前n选和公式即可得出．（2）c n=+==2+2，利用“裂项求和”可得：数列{c n}的前n项和为T n=3+2n﹣2．设A n=，可得数列{A n}单调递增，得出：．由于对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，可得，b≥3，即可得出．解答：解：（1）∵2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*），∴，∴数列是等差数列，首项为1，公差为，∴=1+，∴S n=．∴当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1==n，当n=1时也成立．∴a n=n．∵数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），∴数列{b n}是等差数列，设公差为d，∵前9项和为63，∴=9b5=63，解得b5=7，又b3=5，∴d==1，∴b n=b3+（n﹣3）d=5+n﹣3=n+2，∴b n=n+2．因此：a n=n，b n=n+2．（2）c n=+==2+2，∴数列{c n}的前n项和为T n=2n+2++…+=2n+2=3+2n﹣2．∴T n﹣2n=．设A n=，∵A n+1﹣A n=﹣3+2=＞0，∴数列{A n}单调递增，∴（A n）min=A1=．而A n＜3，∴．∵对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，∴∴，b≥3，∴b﹣a的最小值==．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n项和公式及其性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且•=•．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M为直线l1：y=﹣m（m＞2）上的任意一点，过点M作轨迹C的两条切线MA，MB．切点分别为A，B，试探究直线l1上是否存在点M，使得△MAB为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设动点P（x，y），则Q（x，﹣1），由•=•，可得=0，利用数量积运算可得﹣x2+4y=0，即x2=4y．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．由x2=4y，可得，可得切线方程为：．又切线过点M，可得；同理可得过点B的切线方程为：．可知：x1，x2是方程的两个实数根．可得根与系数的关系：利用数量积运算可得=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣y0（y1+y2）+．可得：=．当m＞2时，＞0，∠AMB＜．利用斜率计算公式可得k MA•k AB=，若k MA•k AB=﹣1，整理得．即=4，而m＞2时，方程=4有解，即可得出．解答：解：（1）设动点P（x，y），则Q（x，﹣1），∵•=•，∴=0．∵=（﹣x，2），=（0，y+1），=（x，y﹣1），∴（﹣x，2）•（x，2y）=0，∴﹣x2+4y=0，即x2=4y．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．由x2=4y，可得，∴切点A的切线斜率为，切线方程为：，即．又切线过点M，∴①，同理可得过点B的切线方程为，又过点M，∴．②由①②可知：x1，x2是方程的两个实数根．∴x1+x2=2x0，x1x2=4y0．=（x1﹣x0）（x2﹣x0）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣y0（y1+y2）+（*）．把x1+x2=2x0，x1x2=4y0.，y2=代入（*）可得：==．当m＞2时，＞0，∠AM B＜．∵k AB====.=，∴k MA•k AB==，若k MA•k AB=﹣1，整理得．∵y0=﹣m，∴=4，而m＞2时，方程=4有解，∴m＞2时，MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形．即直线l1上存在两点M，使得△MAB为直角三角形．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）设函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，分类讨论，将函数化简，再求导函数即可；（Ⅱ）根据x1、x2为函数f（x）的两个极值点，利用韦达定理，可求a的值，即得到函数解析式，求导函数，利用f'（x）≥0，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）确定切线l的方程，再构造新函数g（x），求导数，确定函数的单调性与极值，从而函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于g（x）≤0对x≠0恒成立，即只需g（x0）≤0和，由此可得x0的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax的定义域为{x|x∈R，x≠0}．当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2+ax，∴；…（1分）当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣x2+ax，∴；…（3分）综上可得．…（4分）（Ⅱ）∵=，x1、x2为函数f（x）的两个极值点，∴x1、x2为方程﹣2x2+ax+1=0的两根，所以，又∵，∴a=﹣1．…（5分）此时，，由f'（x）≥0得，当x＞0时，，此时；当x＜0时，（2x﹣1）（x+1）≥0，∴x≤﹣1或x≥，此时x≤﹣1．∴当f'（x）≥0时，x≤﹣1或．…（7分）当f'（x）≤0时，同理解得．…（8分）综上可知a=﹣1满足题意，且函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]和．…（9分）（Ⅲ）∵，又，∴切线l的方程为，即（x0为常数）．…（10分）令=，=，（11分）当x0＞0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：x （0，x0）x0（x0，+∞）g'（x）+ 0 ﹣+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘↗极大值↘当x0＜0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：x （﹣∞，x0）x0（x0，0）g'（x）+ 0 ﹣+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘↗极大值↘函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于g（x）≤0对x≠0恒成立．∴只需g（x0）≤0和同时成立．…（12分）∵g（x0）=0，∴只需．下面研究函数，∵，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，注意到m（1）=0，∴当且仅当0＜x≤1时，m（x）≤0．…（13分）∴当且仅当时，，由解得或．∴x0的取值范围是．…（14分）点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．。