2016-2017年山东省临沂十八中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)

2016-2017学年山东省临沂十八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．632．（5分）已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．（5分）数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A．a n+1=a n+n，n∈N*B．a n=a n﹣1+n，n∈N*，n≥2C．a n+1=a n+（n+1），n∈N*，n≥2 D．a n=a n﹣1+（n﹣1），n∈N*，n≥24．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值5．（5分）若0＜a＜1，0＜b＜1，则a+b，2，a2+b2，2ab中最大一个是（）A．a+b B．2C．a2+b2D．2ab6．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．77．（5分）设实数x，y满足约束条件，目标函数z=x﹣y的取值范围为（）A．[﹣，﹣2]B．[﹣，0]C．[0，4]D．[﹣，4]8．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角C为（）A．B．C．D．9．（5分）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．411．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1且a n，a n+1是函数f（x）=x2﹣b n x+2n 的两个零点，则b9等于（）A．64 B．48 C．32 D．2412．（5分）若对任意实数x，cos2x+2ksinx﹣2k﹣2＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．k＞﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13．（5分）已知{an}中，a1=，a n+1=1﹣（n≥2），则a2016=．14．（5分）在△ABC中，若，那么△ABC是三角形．15．（5分）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是．16．（5分）已知等差数列{a n}中，a3=7，a6=16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：则此数阵中第20行从左到右的第10个数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a=5，sinA=．（1）若S=，求周长l的最小值；△ABC（2）若cosB=，求边c的值．18．（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？19．（12分）数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）（Ⅰ）若{a n}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{a n}满足a1=2，S n为{a n}的前n项和，求S2n+1．20．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．21．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n．若对于任意的n∈N*，T n≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．22．（10分）设0＜a≤，若满足不等式|x﹣a|＜b的一切实数x，亦满足不等式|x﹣a2|＜，求实数b的取值范围．2016-2017学年山东省临沂十八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选：C．2．（5分）已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：S=BC•AC•sinC=×4×3×sinC=3∴sinC=∵三角形为锐角三角形∴C=60°故选：B．3．（5分）数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A．a n+1=a n+n，n∈N*B．a n=a n﹣1+n，n∈N*，n≥2C．a n+1=a n+（n+1），n∈N*，n≥2 D．a n=a n﹣1+（n﹣1），n∈N*，n≥2【解答】解：数列1，3，6，10，15，…；n=1时，3≠1+1，所以A不正确；a n+1=a n+（n+1），n∈N*，n≥2，没有第二项，所以C不正确；n=2时，3=1+2，所以B正确；3≠1+（2﹣1），所以D不正确；故选：B．4．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选：B．5．（5分）若0＜a＜1，0＜b＜1，则a+b，2，a2+b2，2ab中最大一个是（）A．a+b B．2C．a2+b2D．2ab【解答】解：取a=0.4，b=0.6，则a2+b2=0.16+0.36=0.52，2ab=2×0.4×0.6=0.48，a+b=1，2≤a2+b2，∴最大一个是a+b．故选：A．6．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．7【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选：A．7．（5分）设实数x，y满足约束条件，目标函数z=x﹣y的取值范围为（）A．[﹣，﹣2]B．[﹣，0]C．[0，4]D．[﹣，4]【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=x﹣y可得y=x﹣z，则﹣z为直线z=x﹣y在y轴上的截距的相反数当目标函数z=x﹣y经过点A（4，0），z取得最大值，即z max=4当目标函数z=x﹣y经过点B（），z取得最小值，即z min=故选：D．8．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角C为（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由sinC≠0，整理得：cosA=，即A=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣bc①，与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理，得：sinB===，∵b＜c，∴B＜C，则B=，C=π﹣A﹣B=．故选：D．9．（5分）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选：C．10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：△ABC中，由bsinA﹣a•cosB=0，利用正弦定理得sinBsinA﹣sinAcosB=0，∴tanB=，故B=．由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac，即b2=（a+c）2﹣3ac，又b2=ac，所以4b2=（a+c）2，求得=2，故选：C．11．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1且a n，a n+1是函数f（x）=x2﹣b n x+2n 的两个零点，则b9等于（）A．64 B．48 C．32 D．24【解答】解：由已知得，a n•a n+1=2n，∴a n•a n+2=2n+1，+1两式相除得=2．∴a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．而a1=1，a2=2，a9=1×24=16，∴a10=2×24=32，=b n，所以b9=a9+a10=48．又a n+a n+1故选：B．12．（5分）若对任意实数x，cos2x+2ksinx﹣2k﹣2＜0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．k＞﹣1【解答】解：∵cos2x+2ksinx﹣2k﹣2=1﹣sin2x+2ksinx﹣2k﹣2=﹣sin2x+2ksinx﹣2k ﹣1=2k（sinx﹣1）﹣（sin2x+1）＜0恒成立即2k（sinx﹣1）＜（sin2x+1）恒成立当sinx﹣1=0时，显然成立当sinx﹣1≠0时，则sinx﹣1＜0故2k＞恒成立令t=sinx，y==（﹣1≤t＜1）则y′=令y′=0，则t2﹣2t﹣1=0，解得t=1﹣，或t=1+（舍去）由t∈[﹣1，1﹣）时，y′＞0，t∈（1﹣，1）时，y′＜0，∴y=（﹣1≤t＜1）在[﹣1，1﹣）上递增；在（1﹣，1）上递减即y max=y|t=1=2﹣2则2k＞2﹣2则k＞1﹣故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13．（5分）已知{an}中，a1=，a n+1=1﹣（n≥2），则a2016=2．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=，a n+1=1﹣（n≥2），∴=﹣1，=2，=，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∵2016=3×672，∴a2016=a3=2．故答案为：2．14．（5分）在△ABC中，若，那么△ABC是等边三角形．【解答】解：根据正弦定理可得，即，即sin=sin=sin，则==，即A=B=C，则三角形为等边三角形，故答案为：等边．15．（5分）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是（﹣2，3）．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a＜0；即，解得a=﹣12，c=2；∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化为﹣2x2+2x+12＞0，即x2﹣x﹣6＜0，化简得（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，该不等式的解集为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．16．（5分）已知等差数列{a n}中，a3=7，a6=16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：则此数阵中第20行从左到右的第10个数是598．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3=7，a6=16，∴解得而第行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数则第19行的最后一个数是数列的第1+2+…+19=190项则此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第200项∴a200=1+199×3=598故答案为：598三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a=5，sinA=．=，求周长l的最小值；（1）若S△ABC（2）若cosB=，求边c的值．【解答】解：（I）因为，所以S=bcsinA=，bc=10，∴l=b+c+5≥2=2，当且仅当b=c=时，周长取最小值，周长的最小值为；（Ⅱ）∵cosB=＞0，且0＜B＜π，∴sinB=，由正弦定理得，b=4．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即80=c2+25﹣6c⇒c=11，或c=﹣2（舍去）．18．（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解答】解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18=7，当即时，z取最大值7万元答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．19．（12分）数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）（Ⅰ）若{a n}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{a n}满足a1=2，S n为{a n}的前n项和，求S2n+1．+a n=4n﹣3…①【解答】解：（I）由题意得a n+1a n+2+a n+1=4n+1…②．…（2分）﹣a n=4，②﹣①得a n+2∵{a n}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴．（6分）∴．（7分）（Ⅱ）∵a1=2，a1+a2=1，∴a2=﹣1．（8分）﹣a n=4，又∵a n+2∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）（12分）==4n2+n+2．（14分）20．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=，AO=15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=，OM=3，由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM=（3）2+152﹣2××15×=72．所以可得：AM=6，大学M在站A的距离AM为6km．…6分（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ=，在△AOM中，由正弦定理可得：=，即=，∴sin∠MAO=，∴∠MAO=，∴∠ABO=α﹣，∵tanα=2，∴sin，cosα=，∴sin∠ABO=sin（）=，又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）=．在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：=，即，∴解得AB=30，即铁路AB段的长AB为30km．…12分21．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和为T n．若对于任意的n∈N*，T n≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q．∵5S1，S3，3S2成等差数列，∴2S3=5S1+3S2．即，化简得2q2﹣q﹣6=0，解得：q=2或．由已知，q=2．∴．…（6分）（2）由b n=log2a n得．∴．∴．…（9分）∴…（12分）∵，当且仅当即n=2时等号成立，∴．∴实数λ的取值范围是．…（14分）22．（10分）设0＜a≤，若满足不等式|x﹣a|＜b的一切实数x，亦满足不等式|x﹣a2|＜，求实数b的取值范围．【解答】解：解：由题意可得b＞0是不用求的，否则|x﹣a|＜b都没解了．故有﹣b＜x﹣a＜b，即a﹣b＜x＜a+b．由不等式|x﹣a2|＜得，﹣＜x﹣a2＜，即a2﹣＜x＜a2+．第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，肯定满足第二个不等式，命题成立．故有a2﹣≤a﹣b，且a+b≤a2+，0＜a≤．化简可得b≤﹣a2+a+，且b≤a2﹣a+．由于﹣a2+a+=﹣（a﹣）2+∈[，]，故b≤．由于a2﹣a+=（a﹣）2+∈[，]．故b≤．综上可得0＜b≤．。