九年级数学下册 5.8二次函数的应用2课件 青岛版
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九年级下册数学课件(青岛版)二次函数的图象和性质
5.4 二次函数的图象和性质（3）
学习目标
1．会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k 的图像； 2．知道抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴与顶点坐标.
在同一坐标系中作出二次函数
y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-
1)2+2的图象.
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象有什么关
x=1
开口向上, 当x=1时y有 最小值，且 最小值= -2.
先想一想,再总结 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性 质.
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
几种形式的二次函数的图象之间的关系
1.判断正误: (1)二次函数y=5x2与y=-5(x+1)2+3的图象的开口大小不一样.( ) (2)在二次函数y=a(x-h)2+k中,a决定抛物线的开口方向和开口大 小,k,h决定抛物线的位置.
二次函数y=a（x-h）²+k的性质是什么？它的图 象有何特征？
特殊形式的二次函数之间，如何经过平移得到？
D√ .向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
(图象法):二次函数y=2(x-1)2+k的图象开口向上,对称轴为直线x=1,画出大致图象, 如图.
(甘肃兰州中考)抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是
A.y轴
B.பைடு நூலகம்线x=-1
C√.直线x=1
D.直线x=-3
()
已知a,h,k为三数,且二次函数y=a(x-h)2+k在坐标平面上的图形通 过(0,5),(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h之值可能是 ( )
学习目标
1．会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k 的图像； 2．知道抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴与顶点坐标.
在同一坐标系中作出二次函数
y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-
1)2+2的图象.
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象有什么关
x=1
开口向上, 当x=1时y有 最小值，且 最小值= -2.
先想一想,再总结 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性 质.
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
几种形式的二次函数的图象之间的关系
1.判断正误: (1)二次函数y=5x2与y=-5(x+1)2+3的图象的开口大小不一样.( ) (2)在二次函数y=a(x-h)2+k中,a决定抛物线的开口方向和开口大 小,k,h决定抛物线的位置.
二次函数y=a（x-h）²+k的性质是什么？它的图 象有何特征？
特殊形式的二次函数之间，如何经过平移得到？
D√ .向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
(图象法):二次函数y=2(x-1)2+k的图象开口向上,对称轴为直线x=1,画出大致图象, 如图.
(甘肃兰州中考)抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是
A.y轴
B.பைடு நூலகம்线x=-1
C√.直线x=1
D.直线x=-3
()
已知a,h,k为三数,且二次函数y=a(x-h)2+k在坐标平面上的图形通 过(0,5),(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h之值可能是 ( )
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
《二次函数的应用》优秀PPT课件下载
直线x=-4
坐标是
是 -1
.当x= -4 时，函数有最 大 值，
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶点坐标 是 (2 ，1).当x= 2 时，函数有最 小 值，是 1 .
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调 查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时, 销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助 分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
22.5 二次函数的应用
1.让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化. 2.让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题.
3.掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务
于生活.
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 的对称轴是 直线x=h
b 直线x 2a
4ac b 2 4a
25 之和的最小值是 2 (或12.5)
cm2．
3．（兰州·中考） 如图，小明的父亲在
相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小 明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距
地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物
线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最 低点距地面的距离为 0.5 米.
，它
，顶点坐标是_________. (h，k) 抛物线 ，它 ，顶点坐标是___________. 低 点，函数
b 4ac b 2 2a , 4a
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 的对称轴是
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最
有最 小 值，是
向 下 ，有最
青岛版九年级数学下册《二次函数的图像与性质》PPT课件(3篇)
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交 点坐标 （0，36）。
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
得到，当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图
象向 下 平移 |c| 个单位得到，顶点是(0,c)，对
称轴是y轴，抛物线的开口方向由a的符号决定
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
（4）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
青岛版九年级下5.8《二次函数的应用》(2)PPT课件
青岛版九年级下5.8《二次函数的应 用》(2)PPT课件
复习思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， 然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或 最小值.
➢注意：有此求得的最大值或最小值对应的 字变量的值必须在自变量的取值范围内.
例2：
如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两 船同时出发，A船以１２ km /h的速度朝正北方向行驶， B船以５ km / h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距 最近？最近距离是多少？
A′
A
B′ B
例2：
如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６ＫＭ处，现在Ａ，Ｂ 两船同时出发，A船以１２ km /h 的速度朝正北方向行 驶，B船以５ km /h的速度朝正西方向行驶，何时两船相 距最近？最近距离是多少？
➢ ①设经过t时后，Ａ、Ｂ两 船分别到达A′B′（如图），则 A’ 两船的距离Ｓ应为多少 ?
归纳小பைடு நூலகம்：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围.
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值.
➢检查求得的最大值或最小值对应的字变量的值必 须在自变量的取值范围内 .
例3：
某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销 售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日均销售量的 关系如下：
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则：
AP=2x cm PB=（8-2x) cm
A
QB=x cm
则 y= 1 x（8-2x）
2
=-x2 +4x
P
=-（x2 -4x +4 -4）
= -（x - 2）2 + 4
复习思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， 然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或 最小值.
➢注意：有此求得的最大值或最小值对应的 字变量的值必须在自变量的取值范围内.
例2：
如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两 船同时出发，A船以１２ km /h的速度朝正北方向行驶， B船以５ km / h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距 最近？最近距离是多少？
A′
A
B′ B
例2：
如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６ＫＭ处，现在Ａ，Ｂ 两船同时出发，A船以１２ km /h 的速度朝正北方向行 驶，B船以５ km /h的速度朝正西方向行驶，何时两船相 距最近？最近距离是多少？
➢ ①设经过t时后，Ａ、Ｂ两 船分别到达A′B′（如图），则 A’ 两船的距离Ｓ应为多少 ?
归纳小பைடு நூலகம்：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围.
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值.
➢检查求得的最大值或最小值对应的字变量的值必 须在自变量的取值范围内 .
例3：
某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销 售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日均销售量的 关系如下：
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则：
AP=2x cm PB=（8-2x) cm
A
QB=x cm
则 y= 1 x（8-2x）
2
=-x2 +4x
P
=-（x2 -4x +4 -4）
= -（x - 2）2 + 4
青岛版数学九年级下册5.7《二次函数的应用》教学设计2
青岛版数学九年级下册5.7《二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.7《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象和性质的基础上进行的一节应用性课程。
本节内容主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
教材通过例题和练习题引导学生运用二次函数解决生活中的问题，例如最大利润问题、最短路径问题等。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识和图象性质，对二次函数有一定的认识。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决生活中的问题，对学生来说还是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3.通过对实际问题的分析，培养学生独立思考、合作交流的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并求解。
五. 教学方法采用案例分析法、问题驱动法、合作交流法等，引导学生主动探究，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学导入和巩固环节。
2.准备PPT，展示二次函数的应用实例和操作步骤。
3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如最大利润问题、最短路径问题等，引导学生思考如何运用二次函数解决这些问题。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的应用实例，讲解如何将实际问题转化为二次函数模型，并求解。
例如，最大利润问题可以转化为二次函数的最值问题。
在这个过程中，教师要重点讲解二次函数的性质和图象在解决问题中的应用。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生尝试解决一些实际的例子。
教师可提供一定的指导，但要注意让学生独立思考和解决问题。
《二次函数的应用》二次函数PPT教学课件(第1课时)
A
1.25米 O
当堂练习
y B
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点.
A 1.25
由题意可知A（ 0，1.25）、
O
Cx
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当堂练习
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积 最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
当堂练习
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物 线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素， 那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到 池外？
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=
-
3 2
,顶点坐标为（ -
3 2
，25
4
）,
∴当x=
-3 2
时，y取最大值，最大值为
25 4
;
讲授新课
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，
则a的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
1.25米 O
当堂练习
y B
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点.
A 1.25
由题意可知A（ 0，1.25）、
O
Cx
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当堂练习
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积 最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
当堂练习
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶 端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物 线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素， 那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到 池外？
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=
-
3 2
,顶点坐标为（ -
3 2
，25
4
）,
∴当x=
-3 2
时，y取最大值，最大值为
25 4
;
讲授新课
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，
则a的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
青岛版九年级数学下册二次函数的应用课件
4.我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠：凡是一次买 10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买 20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此，所买的全部20只计算器 都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元. (1)求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ (2)写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x (只)之间的函数关系 式，并写出自变量x的取值范围； (3)若店主一次卖的只数在10只至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？ 其最大利润为多少？
200
当l 取顶点的横坐标时，这个函数
有最大值.
100
因此，当l=-
2ba
30 15， 2×(-1)
S有最大值 4ac b2 302 225. 4a 4 (1)
O
5 10 15 20 25 30 l
即l 是15m时，场地的面积S最大 （S=225㎡).
归纳总结
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以
(0≤x≤30)
怎样确定x 的取值范 围
∴当x=5时，y最大值=6250.
也可以这样求极值
当x
b 25
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.
y /元
6250 6000
可以看出，这个函数的图象是一条 抛物线的一部分，这条抛物线的顶 点是函数图象的最高点，也就是说 当x取顶点坐标的横坐标时，这个函 数有最大值.由公式可以求出 顶点的横坐标.
(3)将
配方得
，所以店主一次卖
40只时可获得最高利润，最高利润为160元.（也可用公式
青岛版九年级数学下册二次函数的应用第二课时课件
题意.
所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为10m.
例4:右图是龙泉镇最近5
年的财政总收入情况的
折线统计图.图中点
A,B,C,D,E的横坐标分别
代表年度，纵坐标代表
该年度的财政总收入(单
位：亿元).试根据折线
图的发展趋势，预测该
镇第6年的财政总收入?
y/亿元
8
7
6
5
4
3
2
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
6.9
5
D
3.8
的单位长度，建立平面直角坐标系，
求：(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，
并写出x的取值范围；
(2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处
与地面AB的距离)能否通过此隧道？
１. 解：（1）设所求函数的解析式为y=ax2．
由题意，得函数图象经过点B（3，-5），
∴-5=9a．
∴
．
∴所求的二次函数的解析式为
镇的财政收入约为8.6亿元.
1、恰当的建立平面直角坐标系，构
造出符合题意的二次函数(一次函数、
反比例函数)是解决此类问题的关键.
2、此类问题进一步体现了数学建模
思想方法的应用，同学们要认真掌握！
1.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽
AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点
O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴
利用二次函数解应用题的一般步骤：
1.设未知数(确定自变量和函数);
2.找等量关系,列出函数关系式;
3.化简,整理成标准情势(一次函数、二次函数等);
4.求自变量取值范围；
5.利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为10m.
例4:右图是龙泉镇最近5
年的财政总收入情况的
折线统计图.图中点
A,B,C,D,E的横坐标分别
代表年度，纵坐标代表
该年度的财政总收入(单
位：亿元).试根据折线
图的发展趋势，预测该
镇第6年的财政总收入?
y/亿元
8
7
6
5
4
3
2
﹒
﹒
﹒
﹒
﹒
6.9
5
D
3.8
的单位长度，建立平面直角坐标系，
求：(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，
并写出x的取值范围；
(2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处
与地面AB的距离)能否通过此隧道？
１. 解：（1）设所求函数的解析式为y=ax2．
由题意，得函数图象经过点B（3，-5），
∴-5=9a．
∴
．
∴所求的二次函数的解析式为
镇的财政收入约为8.6亿元.
1、恰当的建立平面直角坐标系，构
造出符合题意的二次函数(一次函数、
反比例函数)是解决此类问题的关键.
2、此类问题进一步体现了数学建模
思想方法的应用，同学们要认真掌握！
1.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽
AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点
O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴
利用二次函数解应用题的一般步骤：
1.设未知数(确定自变量和函数);
2.找等量关系,列出函数关系式;
3.化简,整理成标准情势(一次函数、二次函数等);
4.求自变量取值范围；
5.利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
青岛版九年级数学下册第五章《二次函数》优质课课件
-
k
)x2
+kx+
2
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2)k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k2 k 0 k 0
k=1时 y是x的一次函数。
(2) 当k2k0时y是x的二次函数。
k0且 k1
议一议:
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
•
东平县初中数学
请用适当的解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系· ( 1 )把 一 根 长 6 0 c m 的 铁 丝 ， 围 成 一 个 矩 形 . 写 出 矩 形 的 面 积 S ( c m 2 ) 与 它 的 一 边 长 x ( c m ) 之 间 的 函 数 表 达 式 .
（1）y=3(x-1)²+1
(2)y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y=_x1_²-x
(4)y=(x+3)²-x² (6)v=10πr²
说明：
判断一个函数是否是二次函数，看它是否化简成 y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的形式。
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1;（是）(2).y
x
1.（否） x
(3) s=3-2t². （是）
(4).y
1
x2
.（否） x
(5)y=(x+3)²-x². （否） (6) v=10πr² （是）
(7) y= x²+x³+25 （否） (8)y=2²+2x （否）
k
)x2
+kx+
2
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2)k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k2 k 0 k 0
k=1时 y是x的一次函数。
(2) 当k2k0时y是x的二次函数。
k0且 k1
议一议:
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
•
东平县初中数学
请用适当的解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系· ( 1 )把 一 根 长 6 0 c m 的 铁 丝 ， 围 成 一 个 矩 形 . 写 出 矩 形 的 面 积 S ( c m 2 ) 与 它 的 一 边 长 x ( c m ) 之 间 的 函 数 表 达 式 .
（1）y=3(x-1)²+1
(2)y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y=_x1_²-x
(4)y=(x+3)²-x² (6)v=10πr²
说明：
判断一个函数是否是二次函数，看它是否化简成 y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的形式。
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1;（是）(2).y
x
1.（否） x
(3) s=3-2t². （是）
(4).y
1
x2
.（否） x
(5)y=(x+3)²-x². （否） (6) v=10πr² （是）
(7) y= x²+x³+25 （否） (8)y=2²+2x （否）
青岛版九年级下册数学 《二次函数的应用》PPT教学课件
二次函数的应用
2020/11/08
1
学习目标
1、能够分析和表示不同背景下实际问题中
变量之间的二次函数关系，并能利用二次函
数的知识解决实际问题中的最大值或最小值
问题
2、经历探索矩形面积最大或最小问题的过
程，进一步获得数学模型思想和数学的应用价
值
3、通过对生活中具体实例的分析，体会生
y=x(60-2x)
x
=-2(x²-30x)
=-2(x²-30x+225-225)
=-2[(x-15)²-225]
=-2(x-15)²+450
因为a＜0，所以抛物线开口向下，顶点(15,450)图像最高点， 当x=15时，y有最大值，最大值是450.由题意可知：0＜x＜30， 由于x=15在此范围内，所以二次函数y=x(60-2x)的最大值， 就是该实际问题的最大值。
解函数应用题的一般步骤:
设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函 数等); 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； 写出答案。
2020/11/08
10
作业题
必做题：习题5.7 3题 选做题：习题5.7 7题
2020/11/08
D
C
分析：截取板材面
积=正方形AMPQ
面积+正方形MBEF Q
P
面积.由已知可以构 造二次函数，利用
F
E
二次函数性质解决
……
2020/11/08
A
x
M
B6
2
解：设AM的长为x(m)，则BM的长为(2-x)m,以AM和BM
为边的两个正方形面积之和为y（m²）.D
2020/11/08
1
学习目标
1、能够分析和表示不同背景下实际问题中
变量之间的二次函数关系，并能利用二次函
数的知识解决实际问题中的最大值或最小值
问题
2、经历探索矩形面积最大或最小问题的过
程，进一步获得数学模型思想和数学的应用价
值
3、通过对生活中具体实例的分析，体会生
y=x(60-2x)
x
=-2(x²-30x)
=-2(x²-30x+225-225)
=-2[(x-15)²-225]
=-2(x-15)²+450
因为a＜0，所以抛物线开口向下，顶点(15,450)图像最高点， 当x=15时，y有最大值，最大值是450.由题意可知：0＜x＜30， 由于x=15在此范围内，所以二次函数y=x(60-2x)的最大值， 就是该实际问题的最大值。
解函数应用题的一般步骤:
设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函 数等); 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； 写出答案。
2020/11/08
10
作业题
必做题：习题5.7 3题 选做题：习题5.7 7题
2020/11/08
D
C
分析：截取板材面
积=正方形AMPQ
面积+正方形MBEF Q
P
面积.由已知可以构 造二次函数，利用
F
E
二次函数性质解决
……
2020/11/08
A
x
M
B6
2
解：设AM的长为x(m)，则BM的长为(2-x)m,以AM和BM
为边的两个正方形面积之和为y（m²）.D
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数的应用(2)》公开课课件.ppt
谈一谈：你对两种不同直角坐标系的认识。
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线
落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路线最高处B距地面
2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.试建立适当的坐标系,表示
该抛物线的解析式为
,如果不考虑其他因素，那
么水池的半径至少要 米，才能使喷出的水流不致落到池外。
用抛物线的相关知识解决生活中的 一些实际问题；
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件50元， 每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元， 则每个月要少卖10件(每件售价不能高于65元)。设每
件的售价上涨x元 (x为正整数），每个月的销售利润 为y（元)
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量X的取值
范围 （2）每件商品的定价定为多少元时，每个月可获得 最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润 恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什 么范围时，每个月的利润不低于2200元？
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下:
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/12
谢谢观看
东平县初中数学
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 2:31:36 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
青岛版九年级数学下册二次函数的应用课件
挑战自我
如图，用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大可用长度为10m)、中间隔着一道篱 笆的矩形菜园.已知篱笆的长度为24m.设菜园的宽AB为x(m)，面积为y(m²). (1)写出y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围； (2)围成的菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽x等于多少？
10
A
D
B
C
y= -3x²+24x 当x=4时，y大=48
（3）若-4≤x≤-3，该函数的最
大值、最小值分别为（ 13）、 （ 7）。
2
0
x
-4 -2
2
求函数的最值问题，应注意什么?
应注意对称轴(或顶点)是否在自变量的取值范围内。
例1.修建有一条边靠墙的矩形菜园，不靠墙的的三边的长度之 和为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面积是多少？
解：如图设菜园的宽为x（m）,
面积为y(m2),则菜园的长为
（60-2 x ）（m）
x
y
x
依题意y与x之间的函数解析式为
y=x(60-2x)
60-2x
=- 2x2+60x =-2(x-15) 2 +450 ∴当x=15时，y有最大值，最大值是450
所以，当菜园的宽为15 m时菜园面积最大。最大面积是450m2
例1.修建有一条边靠墙的矩形菜园，不靠墙的的三边的长度之 和为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面积是多少？
解：因为 －1＜0，则图像开口向下，y有最大值 y =-(x2-4x)= =-(x2-4x+22-22)=－(x－2)2＋4 所以：当x=2时，y 到达最大值为4.
当x= b 4 2 时，
2a 2
y到达最大值为
青岛版数学九年级下册二次函数的应用第二课时课件
学习目标
1、经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，
获得利用二次函数解决实际问题的经验，感受函数的
模型思想和数学的应用价值。
2、能分析和表示不同背景下的二次函数关系，并利用
二次函数的知识解决实际问题。
二、利润问题
利润＝（售价﹣进价）×销量
问题3：某商店销售一种成本为每件20元的商品，售价
不超过每件40元．经调研发现：当该商品售价为每件
2+1900
D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000
2．中国贵州省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上
口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，
该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最
低点O到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）建
立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（
）
3、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x
30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）
与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60
（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求
w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少
元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果
物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销
么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出
5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），
每天获得利润W（元）．（1）写出y与x的函数
关系式；（2）求W与x的函数关系式（不必写
出x的取值范围）（3）若降价x元（x不低于4元）
时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少
元？
三、抛物线问题
1、经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，
获得利用二次函数解决实际问题的经验，感受函数的
模型思想和数学的应用价值。
2、能分析和表示不同背景下的二次函数关系，并利用
二次函数的知识解决实际问题。
二、利润问题
利润＝（售价﹣进价）×销量
问题3：某商店销售一种成本为每件20元的商品，售价
不超过每件40元．经调研发现：当该商品售价为每件
2+1900
D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000
2．中国贵州省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上
口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，
该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最
低点O到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）建
立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（
）
3、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x
30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）
与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60
（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求
w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少
元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果
物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销
么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出
5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），
每天获得利润W（元）．（1）写出y与x的函数
关系式；（2）求W与x的函数关系式（不必写
出x的取值范围）（3）若降价x元（x不低于4元）
时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少
元？
三、抛物线问题
青岛版九年级下册数学《确定二次函数的表达式》PPT教学课件
解：设y=a(x-2)2+k
2.已知二次函数最值为2，且过（3，1）、 （-1,2）两点，求二次函数的表达式。
解：设y=a(x-
小结
已知图象的顶点坐标、对称轴或最值通常选择顶点式
y
x o
例题精讲 例 2：已知点A（－1,6）、B（4,6）和C（3,2），
求经过这三点的二次函数表达式。
y
ox
一个二次函数， 当自变量x= 1时，函数值y= - 2 当自变量x= -1时，函数值y= -6， 当自变量x=0时，函数值y= - 3， 求这个二次函数的解析式？
利用图象求二次函数的表达式
——变式1
x=-1
y
·5
·C
·
·
·
·
·
–1·
· o
（B·11,0）·
x
·
·
·
·
A
-4
顶点式: y=a(x-
——变式2
已知抛物线对称轴是直线x=1，且顶点在直线y=2x+1 上，且过点
议一议 课本
已知，一个二次函数的图象经过点A(0，-1)，B(3，5)， 对称轴是直线x=1，求这个二次函数的表达式.你有几种解法？
课前复习
二次函数有哪几种表达式？
• 一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y=a(x-
• 交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)
例题精讲
例1：已知抛物线的顶点为（－1，－6），经过
点（2，3）求抛物线的表达式？
注意：最后，表达式化成一般式
巩固练习
1.已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、 （-1,10）两点，求二次函数的表达式。
青岛版九年级数学下册第五章《二次函数的应用》优课件
A
D
B
C
zxxkw
五、检测反馈：（填空每小题2分，解答12分，共20分。）
1．二次函数y=x2－2x-4 (0 ≤x ≤ 3 ),此时函数的最大值是 ,最 小值是 。
2.用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大可用长度为10m）中间隔 有一道篱笆的矩形菜园。已知篱笆的长度为24m。设菜园的宽 AB为x m，面积为y m2 。 （1）写出y与x 之间的函数表达式 自变量x的取值范围 （2）围成菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽x等于多少？
A
D
B
CLeabharlann 生活因数学而美好 数学因生活更精彩
zxxkw zxxkw
已知：二次函数y=2x²-4x-3，若-1≤X≤5， 求：y的最大值和最小值。
解:y =2x²-4x-3 =2（x²-2x+1）-5 =2（x-1）²-5
∵ 顶点（1，-5）
-1≤x≤5
∴y最小 = -5
∴y最大 = 27
(-1,3)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
zxxkw
5.7 二次函数的应用
zxxkw
y
3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
-1
-2
-3
-4
(-1,-4)
-5
检测
活动1. [做一做]请你用40厘米的铁丝制作一个矩形，算一 算它的面积是多少？然后和小组内同学比一比，谁 的面积最大？你有什么发现呢？
zxxkw
1.用二次函数的性质求实际问题的最值。 2.在解决问题的过程中体会数学建模和 数形结合的思想。
(5,27)
(1,-5)
思考： 若2≤X≤5 y最小=_____,y最大=_____.
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数的图像与一元二次方程》优质公开课课件.ppt
球 的 飞 行 高 度 达 不 到 2 0 .5 米
t
你能结合图形指出为什 么球不能达到20.5m的高 度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h
（ 4） 解 方 程
0 = 2 0 t- 5 t2 ，
O
t
t2 - 4 t= 0 ，
t =0, 1
t2 = 4
.
当 球 飞 行 0 秒 和 4 秒 时 ， 它 的 高 度 为 0 m.
1.下表为某一元二次方程通过求平均数不断缩小根的范围，请 你根据表格估计该方程的一个根(要求根的近似值与准确值的差 的绝对值小于0.1)是( )
B
x
-1
-0.75
A.-0.75 B.-0.687 5 C.-0.625 D.-0.5
2
ax +bx+c
0．99
0．06
-0.6875 -0.16
-0.625 -0.37
5.6 二次函数的图像与一元二次方程
温馨提示
如果您在观看本课件的过程中出现压字现 象，请关闭所有幻灯片，重复打开可正常观看， 若有不便，敬请谅解！
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2.用图象法求一元二次方程的近似根.
问题：
1.一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标是( 2 , 0 ) 2.说一说，你是怎样得到的？
O
2
t
t2 - 4 t+ 4 = 0 ，
t1 = t2= 2 .
当 球 飞 行 2 秒 时 ， 它 的 高 度 为 2 0 m.
吗
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
20.5 h
（ 3） 解 方 程
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新
湖
镇
中
学
例3 ：
某饮料经营部每天的固定成本为 200 元，其销 售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日均销售量的 关系如下：
销售单价（元） 日均销售量（瓶） 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240
①若记销售单价比每瓶进价多 x 元，日均毛利润 （毛利润=售价-进价-固定成本）为y元，求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围； ②若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多 少元（精确到０．１元）？最大日均毛利润为多 少元？
复习思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值? 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， 然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或 最小值. 注意：有此求得的最大值或最小值对应的 字变量的值必须在自变量的取
学
例2：
如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两 船同时出发，A船以１２ km /h的速度朝正北方向行驶， B船以５ km / h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距 最近？最近距离是多少？ A′
1 y= x（8-2x） 2
=-x2
+4x
P
=-（x2 -4x +4 -4）
= -（ x - 2） 2 （0<x<4）
最大面积是 4 cm2
+
4
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
新
湖
镇
中
学
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : 求出函数解析式和自变量的取值范围. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值. 检查求得的最大值或最小值对应的字变量的值必 须在自变量的取值范围内 .
新
湖
镇
中
学
1.通过这节课的学习活动你 有哪些收获？
2.对这节课的学习，你还有什 么想法吗？
新
湖
镇
中
学
A
B′
B
新
湖
镇
中
学
例2：
如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６ＫＭ处，现在Ａ，Ｂ 两船同时出发，A船以１２ km /h 的速度朝正北方向行 驶，B船以５ km /h的速度朝正西方向行驶，何时两船相 距最近？最近距离是多少？ ①设经过t时后，Ａ、Ｂ两 船分别到达A′B′（如图），则 两船的距离Ｓ应为多少 ? ②如何求出S的最小值？? A’
A
B’
B
新
湖
镇
中
学
小试牛刀
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， A 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，
几秒后ΔPBQ的面积最大？
最大面积是多少？
P
C
新
湖
镇
中
Q
B
学
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则： A AP=2x cm PB=（8-2x) cm QB=x cm 则