2017年江苏省高考数学预测卷(1)

2017年江苏省高考数学预测卷（1）一.填空题：1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U （A ∩B ）= ．2．“1x >”是“11x <”的 条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要） 3．如图所示，该伪代码运行的结果为 .4. 已知一组数据为8,12,10,11,9.则这组数据方差为____________.5. 已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|45|z i -+的最小值等于 .6.已知向量夹角为45°，且，则= ．7．函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 .8．在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2220x ax a +-<的一个解的概率大小为_____ __.9．已知正四棱锥的体积是48cm 3，高为4cm ，则该四棱锥的侧面积是 cm 2． 10.若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最大值为__________ ____．11.由直线3-=x y 上的点向圆1)3()2(22=-++y x 引切线，则切线长的最小值S←0 p ←1While S≤15 S←S+p p ←p+2 End While Print p第3题图为 .12.直角ABC ∆的三边c b a ,,满足9853≤≤≤≤≤≤c b a ，则ABC ∆面积的最大值是. 13.设数列{}n a 满足831=a ，且对任意的*N n ∈，满足n n n n n n a a a a 310,342⨯≥-≤-++ 则2017a =____________ __.14．如图，直角梯形ABCD 中， AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中， 090C ∠=，点,M N 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅= ，则MD DN ⋅ 的取值范围是 _____________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S，．（1）求角A 的大小； （2）若，，求b +c 的值．16．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，点D 是BC 的中点，点M 在CC 1上，且．（1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ； （2）求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ．DCABE17．由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为v （米/单位时间），每单位时间消耗氧气（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间消耗氧气0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间消耗氧气1.5（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y （升）． （1）求y 关于v 的函数关系式；（2）若c ≤v ≤15（c ＞0），求当下潜速度v 取什么值时，消耗氧气的总量最少．18．已知过点且离心率为的椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆的左准线与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，上下两个顶点分别为B 2，B 1．当线段MN 的中点落在四边形F 1B 1F 2B 2内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *满足，且a 1=1，正项数列{b n }满足b n +12﹣b n +1=b n 2+b n （n ∈N *），其前7项和为42． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n =，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数n ，都有T n ≥2n +a ，求实数a 的取值范围；（3）将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a4，a5，b5，b6，…，求这个新数列的前n项和P n．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线方程；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．数学Ⅱ（理科加试）[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，A，B，E是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）DE=CE；（2）．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M 将点（﹣1，3）变换为（4，16），求矩阵M．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=4sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是等腰直角三角形，其中PA=PD，E，F分别为线段PC，DB的中点，问在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．26．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知，试利用（1）的结论计算z10．2017年江苏省高考数学预测卷（1）参考答案与试题解析一．填空题：1.{2，4，6}；2. 充分不必要；3. 9 ; 4 .2; 5 5 ;6. 3; 7. 42y x =-; 8. 0.7 ; 9. 60; 10. 92-11.31; 12. 145; 13. 83201714. 22512⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，;13. 【提示】：由n n n a a 32≤-+得n n n a a +≤+32，所以()n n n n n n a a a ++≤+≤++++3332224，即n n n a a +⨯≤+3104； 由n n n a a 3104⨯≥-+得n n n a a 3104⨯+≥+；所以可以得到n n n n n a a a +⨯≤≤⨯++3103104即n n n a a +⨯=+3104,再累加. 14.【提示】以直线DC 为x 轴， CE 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()1,1A --， ()1,1B -， ()0,1E ，()1,0D -，设()0,N b ， (),M a a -， ()01,01a b ≤≤≤≤， 则()()()()51,11,11112AM AN a a b a a b ⋅=+-+⋅+=++-++=，12b ab -=，()121b a =-，由01b ≤≤知1112a≤-≤，二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求角A的大小；（2）若，，求b+c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．（2）由三角形的面积公式求出ab=2，再根据余弦定理即可求出b+c的值．【解答】解：（1）asinB=bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴tanA=，A是三角形内角，∴A=．（2）∵S=bcsinA=，∴bc=2，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，∴b+c=3．16．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AB，点D是BC的中点，点M在CC1上，且．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求证：平面AB1D⊥平面ABM．【考点】L Y：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】如图以A为原点，以AC，AA1为y、z轴建立空间直角坐标系．设AB=4，则AA1=8，CM=1．则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0）．A（0，0，8），B1（2，2，8），C1（0，4，8），D（，3，0），M（0，4，11），利用向量法求解．【解答】解：如图以A为原点，以AC，AA1为y、z轴建立空间直角坐标系．设AB=4，则AA1=8，CM=1．则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0）．A（0，0，8），B1（2，2，8），C1（0，4，8），D（，3，0），M（0，4，11）（1）设面AB1D的法向量为由可取，，则∵A1C⊄面AB1D，∴A1C∥平面AB1D（2）设面ABNM的法向量为，由，可取由（1）得面AB1D的法向量为，=+（﹣1）×（﹣3）+12×=0∴，∴平面AB1D⊥平面ABM17．由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间消耗氧气（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间消耗氧气0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间消耗氧气1.5（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，消耗氧气的总量最少．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分别计算潜入水底用时用氧量，水底作业时用氧量和返回水面用时用氧量，即可得到总用氧量的函数y；（2）求导数y′，判断函数y的单调性，讨论c的取值，求出下潜速度v取什么值时消耗氧气的总量最少．【解答】解：（1）由题意，下潜用时单位时间，用氧量为[+1]×=+（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时=单位时间，用氧量为×1.5=（升），∴总用氧量为y=++9（v＞0）；（2）求导数y′=﹣=，令y'=0，解得v=10，在0＜v＜10时，y'＜0，函数y单调递减，在v＞10时，y'＞0，函数y单调递增；∴当c＜10时，函数y在（0，10）上递减，在（10，15）上递增，此时v=10时用氧量最少；当c≥10时，函数y在[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．18．已知过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，上下两个顶点分别为B2，B1．当线段MN的中点落在四边形F1B1F2B2内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过点且离心率为的椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，列出方程组，求出a=2，b=4，由此能求出椭圆C的方程．（2）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用二次方程的韦达定理得到弦中点的坐标，根据中点在正方形的内部，得到中点的坐标满足的不等关系，求出k的范围．【解答】解：（1）∵过点且离心率为的椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上． ∴设椭圆方程为=1（a ＞b ＞0）， 则，解得a=2，b=4， ∴椭圆C 的方程为=1．（2）椭圆C 的左准线方程为x=﹣4，所以点P 的坐标为（﹣4，0）， 由题意知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y=k （x +4）如图，设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段MN 的中点为G （x 0，y 0）由，得（1+2k 2）x 2+16k 2x +32k 2﹣8=0．①由△=（16k 2）2﹣4（1+2k 2）（32k 2﹣8）＞0，解得﹣＜k ＜．② 因为x 1，x 2是方程①的两根，所以x 1+x 2=﹣，于是x 0==﹣，y 0=k （x 0+4）=． 因为x 0=﹣≤0，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线F 1B 2，F 1B 1方程分别为y=x +2，y=﹣x ﹣2 所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为， 即，即， 解得≤k ≤， 由②得：≤k ≤．故直线l 斜率的取值范围是[，]．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *满足，且a 1=1，正项数列{b n }满足b n +12﹣b n +1=b n 2+b n （n ∈N *），其前7项和为42． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n =，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数n ，都有T n ≥2n +a ，求实数a 的取值范围；（3）将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a 4，a 5，b 5，b 6，…，求这个新数列的前n 项和P n ． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *满足，且a 1=1，可得数列是等差数列，首项为1，公差为．利用通项公式可得S n ．利用递推关系即可得出a n ．正项数列{b n }满足b n +12﹣b n +1=b n 2+b n （n ∈N *），化为：（b n +1+b n ）（b n +1﹣b n ）=b n +1+b n ，可得b n +1﹣b n =1．再利用等差数列的求和公式即可得出．（2）c n ==2+2，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．（3）n=2k 时，P n =P 2k =（a 1+a 2+…+a k ）+（b 1+b 2+…+b k ）．n=2k ﹣1时，2k 被2整除而不能被4整除时，P n =P 2k ﹣b k ．2k 被4整除时，P n =P 2k ﹣a k ．【解答】解：（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *满足，且a 1=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为．∴=1+（n ﹣1），解得S n =．∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=n ，n=1时也成立．∴a n =n ．正项数列{b n }满足b n +12﹣b n +1=b n 2+b n （n ∈N *），化为：（b n +1+b n ）（b n +1﹣b n ）=b n +1+b n ， ∴b n +1﹣b n =1．∴数列{b n }是等差数列，公差为1．∵其前7项和为42，∴7b 1+×1=42，解得b 1=3．∴b n =3+n ﹣1=n +2．（2）c n ==2+2， ∴数列{c n }的前n项和T n =2n +2+…++=2n +2=2n +2，T n≥2n+a，化为：2≥a，∴a≤．∴实数a的取值范围是．（3）n=2k时，P n=P2k=（a1+a2+…+a k）+（b1+b2+…+b k）=+=k2+3k=+3×=．n=2k﹣1时，2k被2整除而不能被4整除时，P n=P2k﹣b k=﹣（k+2）=k2+2k﹣2．2k被4整除时，P n=P2k﹣a k=﹣k=k2+2k．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线方程；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设出切点坐标，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出单调递减区间；（3）由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）≤a成立，则只需满足当x ∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．【解答】解：（1）f（x）=，f′（x）=，设出切点坐标（a，），而曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线的斜率k=，故=，解得：a=e2，故切点坐标是：（e2，e2），故切线方程是：y﹣e2=（x﹣e2），即x﹣y+e2=0；（2）f′（x）=，由f′（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）；（3）因为g（x）=aelnx+x2﹣（a+e）x，由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+x2﹣•lnx•f（x）≤a 成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可，又g（x）=aelnx+x2﹣（a+e）x，则g′（x）=，a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（e）=﹣，∴a≥﹣，∵a≤e，∴﹣≤a≤e，a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，综上所述，a≥﹣．数学Ⅱ（理科加试）[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，A，B，E是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）DE=CE；（2）．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明∠PEB=∠PAC，∠EPC=∠CPA，可得∠ECD=∠EDC，即可证明结论；（2）证明△EPB∽△APE，得=，PC是∠APE的平分线，得=，即可证明结论．【解答】证明：（1）∵PE是⊙O的切线，∴∠PEB=∠PAC，∵PC是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠CPA，∴∠PEB+∠EPC=∠PAC+∠CPA，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE；（2）∵∠PEB=∠PAC，∠EPB=∠APE，∴△EPB∽△APE，∴=，∵PC是∠APE的平分线，∴=，∴．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M 将点（﹣1，3）变换为（4，16），求矩阵M．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．【解答】解：设，∵特征值λ=8及对应的一个特征向量=，矩阵M将点（﹣1，3）变换为（4，16），∴，解得，∴M=…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=4sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．【解答】解：（1）已知直线l的参数方程是（t为参数），普通方程为y=+3，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=4sinθ，化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴x2=4y．…（2）由直线与抛物线方程，消去y得x2﹣4x﹣12=0…设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点M（2，9）…又点P的直角坐标为（2，6），…所以|PM|=3…D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】RA：二维形式的柯西不等式．【分析】利用条件x+2y+3z=1，构造柯西不等式（4x+3y+12z）2≤（x2+y2+z2）（42+32+122），变形即可得答案．【解答】解：根据题意，实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，则有（4x+3y+12z）2≤（x2+y2+z2）（42+32+122），即1≤169（x2+y2+z2），即有x2+y2+z2≥；即x2+y2+z2的最小值为；故答案为：．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是等腰直角三角形，其中PA=PD，E，F分别为线段PC，DB的中点，问在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】取AD中点O，连结PO，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出在线段AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，且AG=．【解答】解：假设在线段AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．取AD中点O，连结PO，∵底面是正方形的四棱锥中P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是等腰直角三角形，其中PA=PD，∴PO⊥平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP 为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=PD=，则G（1，t，0）（0≤t≤2），C（﹣1，2，0），P（0，0，），D（﹣1，0，0），=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，2，﹣），=（1，t，﹣），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，0，﹣1），设平面PDG的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，﹣，﹣1），∵二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，∴==，解得t=，∴在线段AB 上存在点G ，使得二面角C ﹣PD ﹣G 的余弦值为，且AG=．26．设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0，2π）． （1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n =cosnθ+isinnθ；（2）已知，试利用（1）的结论计算z 10．【考点】RG ：数学归纳法．【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用． （2）利用（1）的结论即可得出．【解答】证明：（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；2°假设当n=k 时，命题成立，即（cosθ+isinθ）k =coskθ+isinkθ， 则当n=k +1时，（cosx +isinθ）k +1=（cosθ+isinθ）k •（cosθ+isinθ） =（coskθ+isinkθ）（cosθ+isinθ）=（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i （sinkθcosθ+coskθsinθ） =cos （k +1）θ+isin （k +1）θ ∴当n=k +1时，命题成立；综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）n =cosnθ+isinnθ．（2）=2（﹣）=2（cos +isin ），∴z 10=210（cos π+isinπ）=210（cos+isin）=210（+i ）=512+512i2017年5月24日。