1.理解一元二次方程(二)
《一元二次方程》数学教案8篇
《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。
元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点：发现问题中的等量关系。
二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。
还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。
同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。
因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
一元二次方程 二分法
一元二次方程二分法一元二次方程是初中数学中的重要内容，而二分法是一种常用的数值计算方法。
本文将以“一元二次方程二分法”为中心，详细阐述一元二次方程的求解过程以及二分法在求解过程中的应用。
通过对一元二次方程的深入理解和二分法的运用，使读者对这两个数学概念有更清晰的认识。
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知系数，x是未知数。
对于一元二次方程的求解，常用的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
而在本文中，我们将重点介绍二分法在一元二次方程求解过程中的应用。
首先，我们来回顾一下二分法的基本原理。
二分法是一种通过逐步缩小搜索范围的方法，用于求解函数的零点。
其基本思想是将区间不断二分，并根据函数值的符号确定下一步搜索的方向。
具体而言，对于一个闭区间[a,b]，通过计算函数在区间中点的值f(c)，如果f(c)等于零则找到了零点，如果f(c)小于零则零点在区间[a,c]内，如果f(c)大于零则零点在区间[c,b]内。
然后，再将新的区间继续进行二分，直至找到零点或者达到指定的精度要求。
接下来，我们将二分法应用到一元二次方程的求解中。
对于一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先确定一个区间[a, b]，使得方程在区间两端的函数值异号。
然后，通过二分法逐步缩小区间范围，最终找到方程的一个根。
具体而言，我们可以按照以下步骤来进行一元二次方程的二分法求解：步骤一：确定初始区间[a,b]。
我们可以根据方程的特点和已知条件来选择初始区间。
例如，如果a、b、c都是正数，则可以选择初始区间为[0,1]。
步骤二：计算区间中点的值f(c)。
将区间[a,b]的中点c代入方程，计算出f(c)的值。
步骤三：判断f(c)的符号。
如果f(c)等于零，则已经找到零点，结束计算。
如果f(c)小于零，则零点在区间[a,c]内。
如果f(c)大于零，则零点在区间[c,b]内。
步骤四：根据f(c)的符号更新区间范围。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程的讲解
一元二次方程的讲解一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
一元二次方程的求解是解析几何、物理学等学科中的重要基础知识之一。
本文将从一元二次方程的定义、求解方法和应用等方面进行讲解。
一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
其中，a 称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过将方程两边的式子分解成乘积的形式，令每个因式等于0，再求解得到方程的根。
2. 完全平方公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a=1，可以使用完全平方公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解方程的根。
3. 直接开平方法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的解可以通过开方得到，可以直接进行开平方运算求解。
4. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求解一元二次方程的根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来得到。
三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 抛物线的建模：一元二次方程可以用来建立抛物线的数学模型。
抛物线的形状由方程中的二次项决定，常数项则决定了抛物线的平移。
2. 物体运动的轨迹：一元二次方程可以用来描述物体在抛体运动中的轨迹。
通过解一元二次方程，可以求得物体的落地时间、最高点高度等相关信息。
3. 经济学问题的分析：一元二次方程可以用来分析经济学中的一些问题，如成本、收益、利润等的关系。
4. 工程问题的求解：一元二次方程在工程问题的求解中也有重要应用，如电路中的电压、电流关系的建立等。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，它在现实生活中的应用领域十分广泛。
本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法和应用，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
1. 一元二次方程的基本概念一元二次方程是指含有一个未知数的二次项的方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
方程中的x代表未知数，而a、b、c则分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 一元二次方程的解法解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
下面将逐一介绍这些方法。
2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解法求解。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其分解为(x+2)(x+3)=0，然后令括号中的两个因式分别等于0，解得x=-2和x=-3，即方程的解为x=-2和x=-3。
2.2 配方法对于一些无法直接因式分解的一元二次方程，可以使用配方法进行求解。
配方法的关键是通过添加或减少适当的常数，使方程转化为一个可以因式分解的形式。
以方程x^2+4x-5=0为例，我们可以通过加上9和减去9来完成配方，即(x^2+4x+9)-9-5=0，化简后得到(x+2)^2=14，然后对方程两边开方，得到x+2=±√14，再解得x=-2±√14。
因此，方程的解为x=-2+√14和x=-2-√14。
2.3 求根公式法如果一元二次方程无法通过因式分解或配方法求解，可以利用求根公式进行计算。
求根公式即一元二次方程的根的公式表示。
根据求根公式，一元二次方程ax^2+bx+c=0的根可由公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a给出。
例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以直接利用求根公式计算，得到x=(-5±√(5^2-4*2*(-3)))/(2*2)，进一步计算得到x=1/2和x=-3。
3. 一元二次方程的应用一元二次方程在各个领域有广泛的应用。
一元二次方程的教案(必备3篇)
一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。
（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。
难点：准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
2122 一元二次方程的解法(二)公式法(解析版)
21.2.2一元二次方程的解法（二）公式法夯实双基，稳中求进公式法解一元二次方程知识点管理 归类探究 1 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac =->时，242b b ac x a-±-=.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b ac =-．①当240b ac =->时，原方程有两个不等的实数根242b b acx a-±-=；②当240b ac =-=时，原方程有两个相等的实数根； ③240b ac =-<当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的步骤：①变形：把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求△：求出24b ac -的值；④定根：240b ac -≥若，则利用公式242b b acx a-±-=求出原方程的解；若240b ac -<，则原方程无实根.题型一：一元二次方程的求根公式【例题1】（2021·全国九年级）关于x 的一元二次方程220(0,40)ax bx c a b ac ++=≠->的根是（ ）A B C D 【答案】D【详解】当20,40a b ac ≠->时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x .故选D.变式训练【变式1-1】（2020·福建省福州延安中学九年级月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2x 2x 30--+=D ．23210x x --= 【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【详解】解：对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，方程的根为：2b x a-=．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．【变式1-2】（2019·全国八年级课时练习）解下列方程，最适合用公式法求解的是( ) A ．2(26)10x =＋－ B ．2(14)x =＋ C ．2121x ＝ D ．2350x x =－－【答案】D【分析】解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，根据每种方法的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、用因式分解法好，故本选项错误； B 、用直接开平方法好，故本选项错误；C 、变形后用直接开平方法好，故本选项错误；D 、用公式法好，故本选项正确．故选D ．【变式1-3】（2019·全国九年级课时练习）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、2【答案】D【详解】∵3x 2+4=12x ， ∵3x 2-12x+4=0， ∵a=3，b=-12，c=4，∵x =，故选D.题型二：公式法解一元二次方程【例题2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级二模）解方程：()86x x +=-．【答案】14x =-24x =-【分析】将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：原方程可化为：2860x x ++=， ∵1,8,6a b c ===， ∵2841640∆=-⨯⨯=，∵4x ==-，∵14x =-24x =-【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级其他模拟）解方程：2x 2＝3x －1 【答案】x 1＝1，x 2＝12【分析】将二次方程整理为二次方程的一般式，根据二次方程根的判别式可知该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算即可．【详解】解：原式整理为：2x 2－3x ＋1＝0 ∵∵＝b 2－4ac ＝10>， ∵方程有两个不相等的实数根，∵x =， 故1314x +＝或2314x -=得x 1＝1；x 2＝12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，可以根据根的判别式判断根的情况，熟知公式法解一元二次方程的方法是解题关键．【变式2-2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）解方程：()2121x x +=- 【答案】方程没有实数根【分析】首先去括号合并同类项，化为一般式，根据0<可知，方程没有实数根． 【详解】解：去括号化简得：2+20x ，224041280b ac =-=-⨯⨯=-<，∵方程没有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学九年级月考）解方程．2820x x --= 【详解】（1）∵1a =，8b =-，2c =- ∵2(8)4(2)720∆=--⨯-=> ∵方程有两个不相等的实数根．∵4x ===±∵14x =+24x =-判别式与方程的根的关系题型三：判别式求根的个数【例题3】（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级一模）定义运算：21m n mn mn =-+☆．例如：232323217=⨯-⨯+=☆，则方程40x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根【答案】B【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：4∵x =4x 2-4x +1=0， ∵∵=16-4×4×1=0， ∵有两个相等的实数根， 故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 变式训练【变式3-1】（2021·河南二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根【答案】C2 1.一元二次方程根的判别式（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根； （2）∵＝0∵方程有两个相等的实数根； （3）∵＜0∵方程没有实数根．2. 根据一元二次方程方程根的情况可以确定△的取值范围.3. 通过配方法对△进行变形可以得到含参方程的解的情况特别说明：（1）一元二次方程根的情况与判别式∵的关系是可以双向互相推导的.（2）考查一元二次方程根的情况的时候，注意讨论参数的取值，要注意题目中是否是关于未知数的一元二次方程，因此一定不要忘记讨论二次项系数为0时的情况．【分析】先计算根的判别式得到∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，再利用非负数的性质得到∵≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，∵（p﹣2）2≥0，即∵≥0，∵方程有两个实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与∵＝b2﹣4ac有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．x x-=-的根的情况，正确的是（）【变式3-2】（2021·河南九年级二模）关于x的方程()53A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况．x x-=-，即x2-5x+3=0【详解】解：∵()53∵Δ=(-5)2−4×1×3=25-12=13>0，∵原方程有两个不相等的实数根；故选择：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式．【变式3-3】（2021·河南焦作市·九年级二模）已知关于x的一元二次方程2-+=，其中b，c在x bx c20数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】由数轴可知：0b >，0c <，然后计算根的判别式的值即可得出答案． 【详解】由数轴可知：0b >，0c <； ∵280b c ∆=->； ∵有两个不相等的实数根 故选：A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题． 题型四：根据根的个数求参数的取值范围【例题4】（2021·南京二模）若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是____________． 【答案】14a ≤【分析】根据判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：一元二次方程20x x a -+=有实数根 ∵2(1)40a ∆=--≥，解得14a ≤ 故答案为14a ≤． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】1k ≤【分析】根据一元二次方程判别式的性质，列一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】∵关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根 ∵()2240k ∆=--≥ ∵1k ≤故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．【变式4-2】（2021·济南期末）关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≤且0a ≠ D ．1a <且0a ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得440a -≥，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根， ∵24440b ac a ∆=-=-≥，且0a ≠， 解得：1a ≤且0a ≠； 故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式4-3】（2020·四川巴中市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣3）x +a 2+1＝0有两个实数根，则a 的最大整数解是（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(23)10x a x a +-++=有两个实数根，∵()22(23)410a a ∆=--+≥，解得512a ≤， 则a 的最大整数值是0．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.题型五：根的判别式综合应用【例题5】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根．【答案】（1）关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0有实数根；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【分析】（1）求出判别式的值即可判断．（2）由无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，又m （x 2-4x+3）-2x+6=0，推出x 2-4x+3=0，且-2x+6=0即可解决问题．【详解】解：（1）对于关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0，∵∵＝[﹣（4m+2）]2﹣4m （3m+6）＝16m 2+16m+4﹣12m 2﹣24m ＝4m 2﹣8m+4＝4（m ﹣1）2≥0， ∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0有实数根． （2）∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵m （x 2﹣4x+3）﹣2x+6＝0， ∵x 2﹣4x+3＝0，且﹣2x+6＝0 解得x ＝3，∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 变式训练【变式5-1】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k 值代入方程，并求出此时方程的解． 【答案】（1）详见解析；（2）120,1x x ==-【分析】（1）先求出∵的值，再根据∵的意义即可得到结论； （2）任意取一个k 值代入，然后根据一元二次方程的解法解答即可. 【详解】解：（1）2(1)4(k 2)k ∆=---269k k =-+ ()230k =-≥∵0∆≥，∵方程总有两个实数根. （2）当2k =∵20x x +=解得120,1x x ==-【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确理解公式是解答本题的关键. 【变式5-2】（2016·甘肃白银市·中考真题）已知关于x 的方程x 2+mx+m -2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∵=b 2﹣4ac ：当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根． （1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0， 得：1+m+m ﹣2=0， 解得：m=12； （2）∵∵=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∵不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【变式5-3】（2015·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2. 【详解】解：（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵∵=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∵不论p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵ ∵方程有整数解，为整数即可，∵p 可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式∵的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．【真题1】（2011·广东深圳市·中考真题）如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．【答案】1【详解】本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值．解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根∵∵=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为1【真题2】（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“∵>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．【详解】解：由题可得：()()2021420k k k k ≠⎧⎪⎨⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩, 解得：14k >-且0k ≠； 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．链接中考【真题3】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2m ≤【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，∵()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤，故答案为：2m ≤．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【真题3】（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A ．6B ．12C ．12或2D ．6或2 【答案】D【分析】根据题意，先将方程27120x x -+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程27120x x -+=得13x =，24x =当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62⨯⨯；当4为斜边，3=13=22；则该直角三角形的面积是6或2， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．【真题5】（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∵()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．【拓展1】（2021·东莞外国语学校九年级一模）已知：关于x 的方程2x (k 2)x 2k 0-++=，（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，两个边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）∵ABC 的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a 为底边和a 为腰两种情况，当a 为底边时，b=c ，可得方程的判别式∵=0，可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值；当a 为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式∵=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k -2)²≥0，∵无论k 取任何实数值，方程总有实数根．满分冲刺（2）当a=1为底边时，则b=c，∵∵=(k-2)²=0，解得：k=2，∵方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∵∵ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∵1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∵方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∵1、1、2不能构成三角形，综上所述：∵ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程知识点及考点精析
一元二次方程知识点及考点精析一、知识结构： 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法二、考点精析(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存有某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础)
一元二次方程的解法(二)配方法一知识讲解(基础)【学习目标】1. 了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2 .掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3 •通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力•【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1) 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成./■' _ ■<, ； _ if,的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2) 配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.F二匚#十.-二‘二二:丫.(3) 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为1丨-| r - I的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；(2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方(3)配方法的理论依据是完全平方公式a2 _ 2ab • b2 = (a _ b)2.知识点二、配方法的应用1. 用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比较出大小•2. 用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3. 用于求最值：“配方法”在求最大(小)值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4. 用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程C^1. (2016?淄博)解方程：X2+4X- 1=0 .【思路点拨】首先进行移项，得到X2+4X=1，方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解.【答案与解析】2解：T X +4X -仁0/• X2+4X=12/• X +4X+4=1 +4•••( X+2)2=5••• X= - 2±7• . X I= - 2+心：，X2= - 2- _.【总结升华】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1;(3 )等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数.举一反三：【变式】用配方法解方程•2 2(1)X -4X-2=0 ; (2)X+6X+8=0.【答案】⑴方程变形为X2-4X=2 .两边都加4,得X -4X+4=2+4 .利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(X-2)2=6.解这个方程，得x-2=打或X-2=-［；：于是，原方程的根为x=2+ .打|或x=2-“.(2)将常数项移到方程右边X2+6X=-8 .得X2+6X+32=-8+32,两边都加“一次项系数一半的平方”2• (X+3) =1.用直接开平方法，得X+3=± 1,•X=-2或X=-4 .类型二、配方法在代数中的应用2 .若代数式M ^10a2b^7a 8, ^a2b25a 1，则M - N 的值( )A. —定是负数 E. —定是正数 C. 一定不是负数 D. —定不是正数【答案】B;【解析】(作差法)M -N =10a2 b2-7a 8-(a2 b2 5a 1)2 2 2 2= 10a b -7a 8-a -b -5a -1=9a 2 -12a - 7 =9a 2 -12a 4 3 =(3a - 2)2 3 . 0 •故选E.【总结升华】 本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大 于零而比较出大小. .(2014?甘肃模拟)用配方法证明：二次三项式- 8x 2+12x - 5的值一定小于0.【答案与解析】2 2 2解：-8x +12x - 5= - 8 (x - X )- 5 22 2 : 2 =-8[x - x+ ( ) ] - 5+8 X () 2 4 43 2 1=-8 (x -)-, 4 2)2(x -'42 即-8x +12 - 5的值一定小于 0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号 要改变式子的值.举一反三：2【变式】求代数式x +8x+17的最小值2 2 2 2 2【答案】x+8x+17=x +8x+4-4 +17= (x+4) +12•••( x+4) > 0,•••当(x+4) 2=0时，代数式x 2+8x+17的最小值是1.b 37 一4.已知 a -3a b 0 ,求 a-4 ■■一 b 的值.16 【思路点拨】37 9 1解此题关键是把一拆成一'—，可配成两个完全平方式.16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得(2 丄9 )丄(2 b 丄1 )a -3a —b 0 , I 4八 2 16丿(X - 2< 0,.注意在变形的过程中不2 2即 a 一3b 」"-0 ,2 43 1 a 0 且 b 0 , 2 43 1 a , b =—. 2 4【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0的形式，进而求出 a . b 的值.。
一元二次方程的基本概念和解法
一元二次方程的基本概念和解法一元二次方程是代数学中的重要概念，由一次项、二次项和常数项构成，其一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念及其解法。
一、基本概念一元二次方程是一种含有未知数的方程，其最高次项为二次项。
方程中的未知数通常用x表示，而系数a、b、c则为已知的实数。
二、求解一元二次方程的步骤要求解一元二次方程，首先需要将方程化为标准形式，即将方程中的项按幂次降序排列，然后按照下列步骤进行求解：1. 将一元二次方程化为标准形式：ax² + bx + c = 0；2. 计算判别式Δ = b² - 4ac；3. 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，可以通过求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)来求解；4. 若Δ = 0，方程有且仅有一个实数解，解为 x = -b / (2a)；5. 若Δ < 0，方程无实数解。
三、示例演示以一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 为例，演示求解过程：1. 将方程化为标准形式：x² - 5x + 6 = 0；2. 计算判别式Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1；3. 由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，应用求根公式计算：x₁ = (-(-5) + √1) / (2(1)) = (5 + 1) / 2 = 3；x₂ = (-(-5) - √1) / (2(1)) = (5 - 1) / 2 = 2；因此，方程的解为 x₁ = 3，x₂ = 2。
四、一元二次方程的图像一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。
1. 若a > 0，抛物线开口向上。
以方程 y = x² - 2x + 1 为例：判别式Δ = (-2)² - 4(1)(1) = 0，方程有且仅有一个实数解 x = 1；图像经过点(1, 0)，开口向上。
一元二次方程的讲解
一元二次方程的讲解一元二次方程是一种常见的二次多项式方程，它的一般形式可以表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
本文将从基本概念、求解方法、图像特征等方面进行讲解，帮助读者更好地理解和掌握一元二次方程。
一、基本概念一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a不等于0。
其中，x代表未知数，而a、b、c则是方程的系数。
a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、求解方法1. 因式分解法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以将其因式分解为(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式，那么方程的解就是x = -b1/a1和x = -b2/a2。
但需要注意的是，并不是所有的一元二次方程都可以通过因式分解法求解。
2. 公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。
其中，±表示两个相反的符号，即可以得到两个解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，如x^2 = a或(x +b)^2 = c等，可以直接利用完全平方式求解。
对于x^2 = a，解为x = ±√a；对于(x + b)^2 = c，解为x = -b ± √c。
三、图像特征一元二次方程的图像是一个抛物线。
对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，当二次项系数a为正时，抛物线开口朝上，当a为负时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为方程的解。
四、实际应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用。
例如，通过一元二次方程可以计算抛物线的最高点、最低点，从而优化物体的抛射角度；在物理学中，一元二次方程可以描述物体的运动轨迹；在经济学中，一元二次方程可以用于求解成本、利润、销售量等问题。
一元二次方程七年级知识点
一元二次方程七年级知识点在初中数学中，一元二次方程是一个重要的知识点，也是比较难理解的一部分内容。
下面我们来详细了解一下一元二次方程的相关知识点。
1. 一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。
一元二次方程是关于未知数x的二次方程，也就是说，未知数最高次幂是2，常数项为0。
该方程中a、b、c三个常数可以是任意实数，但是a的系数不能为0。
例如：2x²+4x-3=0就是一元二次方程的一个实例。
2. 一元二次方程的解法一元二次方程的解法有很多种，其中最常用的方法是配方法和因式分解法。
（1）配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，它的主要思想是利用方程两边相等，将一元二次方程变形为(a±b)²的形式，然后利用开平方的方法得到未知数x的值。
例如：对于一元二次方程2x²+4x-3=0，我们可以将其变形为2(x+1)²-5=0的形式，然后再利用开平方的方法求解。
（2）因式分解法因式分解法也是解一元二次方程的常用方法，它的主要思想是将一元二次方程按照某种方式进行因式分解，然后得到未知数x 的值。
例如：对于一元二次方程x²-5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x-2)(x-3)=0的形式，进而得到x的值。
3. 一元二次方程在实际问题中的应用一元二次方程在实际问题中有很多应用，比如可以用来描述物体的运动轨迹、求解图形面积和体积等等。
例如：一颗质量为2kg的物体以4m/s的初速度从高度为10m 的位置落下，求它落地时的速度。
我们可以通过一元二次方程来描述该物体的运动轨迹：h=10-4t²/2，其中h表示物体距离地面的高度，t表示物体下落的时间。
当物体落地时，h=0，代入方程中，得到t=1秒。
然后再通过v=gt+v₀（其中v₀表示物体的初速度，g表示重力加速度）的公式求解出物体落地时的速度v，即v=9.8×1+4=13.8（m/s）。
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。
本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。
例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。
2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。
3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。
其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。
这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。
二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。
一元二次方程知识结构
一元二次方程知识结构第一部分：引言一元二次方程是数学中的重要概念之一，它在代数学和几何学中有着广泛的应用。
一元二次方程包含一个未知数的二次项、一次项和常数项，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x 为未知数。
解一元二次方程的过程涉及到求根、判别式等数学概念和方法。
第二部分：一元二次方程的基本概念1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是一个未知数的二次项、一次项和常数项的代数等式。
2. 二次项、一次项和常数项：二次项是未知数的平方，一次项是未知数的一次幂，常数项是不含未知数的常数。
3. 一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
4. 解一元二次方程的含义：解一元二次方程就是求出使方程成立的未知数的值，即方程的根。
第三部分：一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过这种方法求解方程。
2. 完全平方公式：当一元二次方程的二次项和一次项都是完全平方时，可以利用完全平方公式求解方程。
3. 直接使用求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以直接使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)求解方程。
4. 判别式法：通过计算一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，可以判断方程有几个实根、重根还是无实根。
第四部分：一元二次方程的应用领域1. 几何学中的应用：一元二次方程可以描述平面图形的性质，如抛物线的形状、焦点、顶点等。
2. 物理学中的应用：一元二次方程可以描述运动的轨迹、抛射物的飞行距离等物理现象。
3. 经济学中的应用：一元二次方程可以用于描述成本函数、收益函数等经济模型。
4. 工程学中的应用：一元二次方程可以用于解决工程问题，如求解最佳设计方案、优化问题等。
第五部分：一元二次方程的拓展1. 复数解：当一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac小于0时，方程没有实根，但可以有复数根。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念一元二次方程是高中数学中非常基础且重要的一部分，它是由一个未知数的平方和一次项以及常数项组成的方程。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c都是已知实数且a ≠ 0。
在解一元二次方程之前，我们需要先理解一些基本概念和相关性质。
一、一元二次方程的定义和性质1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a≠0，且a、b、c为实数，x为未知数。
2. 一元二次方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次幂为2。
3. 一元二次方程的解：一元二次方程的解是使得方程成立的x值。
一元二次方程一般有两个解，分别称为实数根或两个复数根。
实数根是指有理数或无理数的解，而复数根则含有虚数单位i。
4. 一元二次方程的系数：一元二次方程中的a、b、c分别称为二次系数、一次系数和常数项。
其中二次系数a影响方程的开口方向、形状和平移，一次系数b影响方程的对称轴和两个实数根的和或复数根的实部，常数项c影响方程的和与两个实数根的乘积或复数根的虚部。
5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac可以用来判断方程的解的性质。
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程没有实数根，而有两个共轭复数根。
二、解一元二次方程的方法解一元二次方程的常用方法有配方法、凑平方法、因式分解法和求根公式法。
下面我将按顺序介绍这些方法的具体步骤和应用场景。
1. 配方法：a. 检查方程是否可以因式分解成两个一次因式的乘积，如果不能，则进入下一步。
b. 将一元二次方程中的x²项系数a乘以一个适当的常数k，使得a·k²与一次项系数b的平方相等。
即a·k² = b²。
c. 将一元二次方程中的x²项和一次项分别代入公式x = (-b±√(b²-4ac)) / 2a，求得方程的解。
小学数学认识一元二次方程
小学数学认识一元二次方程一元二次方程是小学数学中较为复杂的一个概念，需要对数学概念有一定的了解才能理解和解决。
一元二次方程包含一个未知数和其次方的方程，通常写作ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a不等于0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法以及应用。
一、基本概念在学习一元二次方程之前，我们需要了解一些基本概念。
1.1 平方数：一个数的平方，例如1、4、9、16等。
1.2 二次方程：方程中含有未知数的平方项的方程，例如x^2 + 2x + 1 = 0就是一个二次方程。
1.3 一元二次方程：方程中只有一个未知数的平方项的方程，例如3x^2 - 2x + 1 = 0就是一个一元二次方程。
二、解法解一元二次方程通常有以下两种方法：因式分解法和求根公式法。
2.1 因式分解法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 1) = 0，从而得到x的解为x = 3或x = 1。
2.2 求根公式法：对于一般的一元二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以代入a = 2，b = 5，c = 2，然后计算得到x的解为x = -1/2或x = -2。
三、应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。
3.1 抛物线运动：抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来表示。
例如，投掷一颗子弹的运动轨迹可以表示成y = -5x^2 + 10x + 3的形式，其中y为高度，x为时间。
3.2 建模和预测：一元二次方程可以用来对一些现实问题进行建模和预测。
例如，根据某商品的销售数据，可以建立销售量和价格之间的一元二次方程，从而预测不同价格下的销售量。
3.3 几何问题：一元二次方程也可以用来解决几何问题。
认识一元二次方程(第2课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章一元二次方程1认识一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算教学目标教学反思1.理解一元二次方程解的概念.2.探索一元二次方程的解或近似解,会用估算的方法求一元二次方程的解或近似解.3.通过方程解的探索过程，渗透“夹逼”思想，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力.教学重难点重点：探索一元二次方程的解或近似解.难点：用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解.教学过程导入新课1.一元二次方程有哪些特点？①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2,并且二次项的系数不为0.2.ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.探究新知1.思考：下面哪些数是方程x2–4x +3 ＝0 的解? -2，0 ,1,2,3 ,4.老师总结：1和3是方程的解.2.猜一猜：一元二次方程的解有多少个？老师总结：一元二次方程的解可能不止一个.3.结合上面的问题让学生尝试用自己的语言叙述一元二次方程的解的概念.在此过程中充分发挥学生的口头表达能力和语言组织能力，教师适时点评进一步归纳出一元二次方程的解的概念，即使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.4.问题解决在前一节课的问题中，如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？图1 图2由题意知滑动前梯子底端距墙6 m，设梯子底端滑动x m，可列方程（x+6）2+72＝102,整理，得x2＋12x－15＝0.（1）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么?（2）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?（4）x的整数部分是几?十分位是几?教学反思位是1.一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近0时，x的值即可看作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解.估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果大于右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果小于右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值之间，这种求一元二次方程的近似解的方法叫做“夹逼”法.用“夹逼”方法求一元二次方程的近似解的步骤：①由x的取值范围排除一部分取值；②根据具体情况再次进行排除；③对列出的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.例已知一元二次方程x2－2x－4＝0，求它的近似解.(精确到个位)总结：求一元二次方程的近似解首先应确定解的大致范围，再令x的取值逐渐使ax2＋bx＋c的值接近0，从而可求其解或近似解.课堂练习1. 以-2为根的方程是（）A.x2+2x-2＝0B.x2-x-2＝0C.x2+x+2＝0D.x2+x-2＝02.已知关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个根是-2，那么a的值是（）A.2B.-1C.-2D.103.已知x＝1为方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0)的根，则a+b+c的值是（）A.-2B.0C.-1D.14.下列关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4＝0的一个根是0，则a的值为（）教学反思A.2B.-2C.2或-2D.145.根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解xC.3.24＜x＜3.25D.3.25＜x＜3.26参考答案1.D2.A3.B4.B5.C课堂小结1.一元二次方程的解.2.用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解.布置作业课本习题2.2 知识技能1，2 数学理解 3板书设计1认识一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算1.一元二次方程解的定义：2.用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解.。
一元二次方程知识点总结及典型习题
一元二次方程一、本章知识结构框图二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2的方程的解法：当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-=当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； 当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
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第二章一元二次方程1．理解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。
所以对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。
同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。
在学生已有的估算水平的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。
同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的水平。
二、教学任务分析教科书基于学生已有的估算意识和水平以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的理解，发展估算意识和水平。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《理解一元二次方程》内容从属于“方程与不等式”这个数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的相关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促动学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和水平。
3、进一步提升学生分析问题的水平，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：做一做；第四环节：练习提升；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节：复习回顾活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？活动目的：上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两个问题情境的回顾，学生自然会产生求解的欲望，符合学生的学习心理。
适当的回顾也是引导学生不但要学会将现实问题转化为数学问题，而且还应该注重对该数学问题实行解答。
实际效果：学生能够意识到上一节课仅仅找到了解决问题的途径，即列方程，但并没有将方程的解求出来，也就是说并没有最终找到问题的答案，因而产生了彻底解决这些问题的欲望，因而十分自然地引出了本节课的主要内容：探索一元二次方程的解。
第二环节：情境引入活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）实行检查，你怎样快速的找到这个处断裂处？与同伴实行交流。
2、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x(m)，得到方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；（1）根据题目的已知条件，你能确定x 的大致范围吗？?说说你的理由．（2）x 可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴实行交流．（3）完成下表：（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴实行交流．活动目的：设计问题1，目的在于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会和理解“夹逼”的思想，为2的解决提供铺垫；问题2，顺应第1环节，设法求出花边的宽度，这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程，为后续其他问题的解决提供了范本、样例。
实际效果：通过对问题1提出的方法实行讨论，学生能够比较自然的得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：①在未知数x 的取值范围内排除一部分取值，②根据题意所列的具体情况再次实行排除；③列出能反映未知数和方程的值的表格实行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
然后用这种方法解决接下来的问题2。
问题2，第（1）问，因为x 表示的是所求的宽度，学生能意识到x 不可能小于0；第（2）问，学生绝大部分能够从实际情况出发，意识到当x 大于4和当x 大于2.5时，将分别使原矩形地面的长和宽小于0，不符合实际情况；第（3）问，学生在利用计算器对表格中的数据实行计算的过程中发现，当x=1时，代数式2x 2-13x+11的值等于0；所求的宽度为1m 。
因为方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
当然，解决第（4）问时，有的学生发现在方程()()182x 52x 8=--中，等式的左边是一个乘积，右边等于18，而3⨯6=18，所以令8-2x=6,5-2x=3,凑出x=1，这些学生的想法很巧妙，要即时肯定。
第三环节：做一做活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()2221076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?（2）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法准确吗?为什么?（3）底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么?（4）x 的整数部分是几?十分位是几?活动目的：在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思想，促动学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。
同时，对于近似解的讨论，一方面能够促动学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和水平，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。
需要指出的是，在这个环节的计算中，应提倡学生使用计算器。
实际效果：因为在解决上一环节问题的过程中，学生对用估算的方法求解已经有了一个初步的理解。
本环节中，我将课本中的第三问直接提前到第一问，目的是让学生体会应首先从实际生活中找到x 的取值范围，学生说理情况非常不错！然后再将找到的0＜x ＜4的范围通过以下的几问继续“夹逼”，使x 的范围进一步缩小。
通过这两步的“夹逼”，让学生充分体会无限逼近的思想。
附学生对第（1）问的说理过程如下：在此题中，我认为x 的取值范围是0＜x ＜4。
首先，梯子滑动的距离x ＞0是显而易见的，在下图中，求得BC=6m,而BD ＜10m,所以CD＜4m。
所以x的取值范围是0＜x＜4。
学生完成下面的表格：同时发现：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是-2和13，而且随着x的取值越大，相对应代数式的值也越大。
所以若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间。
从而确定x的整数部分是1。
教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解。
以下分了两种不同的做法：甲同学的做法：所以1＜x＜1.5进一步计算：所以1.1＜x＜1.2所以x的整数部分是1，十分位是1。
乙同学的做法：所以1.1＜x＜1.2所以x的整数部分是1，十分位是1。
对于这几种做法，教师要即时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较。
通过这个练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。
第四环节：练习与提升活动内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。
您能求出这五个整数分别是多少吗？活动目的：为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步增强知识的应用训练，我给出了课本上的这道题目，这也是上一节课中的一个数学问题的延续。
引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆，提升分析和小结水平。
教学中应注重学生对五个连续整数的不同表示方法，让学生比较异同，并在比较中找出最好的表示方法。
同时这个题目也是对本节知识实行的巩固练习。
实际效果：此处留给学生充分的时间与空间实行独立练习，通过练习学生基本都能准确表示出五个连续整数，但因设法的不同，所列方程各不相同。
在计算该方程的解时，很难确定x的取值范围，而且在列表的过程中，符合条件的解共有两个，教师可在学生练习中给与适当的引导和提示。
第五环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了本节课的基本思路和过程。
第六环节：布置作业课本37页习题2.2第1题、第2题、第3题.四、教学反思1、注重仅仅发生发展过程、注重数学活动过程因为在旧教材当中，解方程的过程大多是根据方程的特点，使用不同的解法直接求精确解，学生掌握的更多的是解方程的技巧和准确度。
《标准》中明确要求增强学生估算意识和水平的培养，这个方面能够促动学生对方程解的理解，另一方面又为方程精确解得研究作了铺垫。
本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境：让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型；体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣；由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念。
学生亲自经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯。
当然，学生是不可能满足于所获得的近似解的，必然产生精确求解的内在要求，在此基础上自然引入方程的精确求解，从教育心理学角度讲，是符合学生认知规律的，是不可或缺的一个重要过程。
2、创造性使用教材在第三环节的做一做中，我将问题串的顺序稍作改动，使得问题的解决更加流畅。