高中数学模块复习3不等式课件新人教B版必修5

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高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修5(2021学年)

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3。

2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。

(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。

２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。

高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域

反思感悟在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0，由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，视察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，

高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5

A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．

高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式课件新人教B版必修5

解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4，当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立．答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立，则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn，且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小．【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b

数学：3.1.2《不等式的性质》课件(新人教B必修5)

二、不等式的基本性质
性质1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么 a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
性质2：如果b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>c⇒ a>c ⇒ 不等式的传递性可以推广到n个的情形．不等式的传递性可以推广到个的情形．个的情形
性质3：如果：如果a>b，那么，那么a+c>b+c．．
n
b ( n ∈ N 且n > 1)
c c 已知a>b>0，c<0，求证： > 例4 已知，，求证： a b
已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1, 例5 已知函数 -1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。的取值范围。的取值范围
不等式的基本性质总结不等式的基本性质总结
作业：作业习题6.1 4~6. 补充：1.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是 a b A．a-d>b-c B． > c C．a+d>b+c D．ac>bd d
3.1.2 不等式的性质课件
不等式的性质（）不等式的性质（1）
世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。过去我们已经接触过许多不等式的问题，本章我们将较系统地研究有关不等式的性质、证明、解法和应用.
一、不等式的几个基本概念
1．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a > b ⇔ a − b > 0 a = b ⇔ a − b = 0 a < b ⇔ a−b < 0 2．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 3. 同向不等式与异向不等式同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： a>b，c>d，是同向不等式. 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如： a>b，c<d，是异向不等式.

高中数学第三章不等式3.3高次不等式和分式不等式的解法课件新人教B版必修5

整理得(x-2)(4x-3)≤0(2-x
3x - 1 2- x
≥1
0)
所以不等式的解集为[ 3 ，2） 4
请你总结出解分式不等式的步
骤（1） f (
< 0 g (x )
练习 1.（07年全国理）不等式 x - 1
A．（-2，1） B。（2，+∞） C。（-2，1）∪（2，+∞）D。（-∞，2）∪（1，+∞)
高次不等式和分式不等式的解法
一.高次不等式的解法
对于不等式(x-a1)(x-a2)…(x-an)>0 的解法是穿根标线法
a1
a2
an
例1 解下列不等式：（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 (2) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （3）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0
(1) -1 (2) -2 -1 1 2 x
0
1
自己尝试一下第3小题如何？
-2
-1
0
1
不等式的解集为
x x 2或 1 x 0
解高次不等式的步骤有哪些呢？
1.将不等式整理成一端为零，另一端最高次幂的系数为正 2．进行因式分解，尽量分解成一次式的积 3.穿根标线。画出数轴，自右上方开始，依次穿过各个根，奇数次根穿过，偶数次根穿而不过。
的解集是（ C） > 0 x2 - 4
x- 2 的解集为（ C ） x+ 3 A.(-3,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(3,+∞)
2. （07全国文）不等式
>0
x- 2 3.（湖南理）不等式 x+ 1

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5

2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 �� < -2 或�� > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ��2 = 1.
2.一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元二次不等式.
1.一元二次不等式形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.

高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt

上面 3 个不等式相加得 2·bac＋2·abc＋2·acb≥2a＋2b＋2c
(当且仅当 a＝b＝c 时，取等号)．
∴bc＋ac＋ab≥ ab c
a＋
b＋
c.
【点评】对于证明多项和的不等式时，可以考虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合条件．
【证明】 ∵a、b、c 是正实数，
∴bac＋abc≥2
bc ac a ·b
＝2c(当且仅当bac＝abc，
即 a＝b 时，取等号)；
abc＋acb≥2 abc·acb＝2a(当且仅当abc＝acb，即
b＝c 时，取等号)；
acb＋bac≥2
ab bc c ·a
＝2b(当且仅当bac＝acb，即
a＝c 时，取等号)．
c2≥1， 3
3(ab＋ bc＋ ca)≤ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac ＝ (a＋ b＋ c)2＝ 1， ∴ ab＋ bc＋ ca≤13. 综上知， a2＋ b2＋ c2≥1≥ ab＋ bc＋ ca.
3
【点评】要想运用均值不等式，必需把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合不等式条件．化归的方法是把题目给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字，根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的恰到好处，才能顺利地进行运算．
＋ a)．以上三式相加即得：
c2＋ a2≥
2 (c
2
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当 a＝b＝c 时取等号．

高中数学第三章不等式 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域课件新人教B版必修5

界)，且 A(1，1)，B(0，4)，C0，43，直线 y＝a(x＋1)恒过点 P(－1，0)，且斜率为 a，
由斜率公式可知 kAP＝12，
kBP＝4. 若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，
数形结合可得12≤a≤4. 【答案】 (1)(－∞，2)∪(5，＋∞)
(2)12，4
1.若点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的平面区域内，则 a 的取值范围是________．解析：因为点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的平面区域内，所以 a2＋2a＋1>0，即(a＋1)2>0，解得 a≠－1. 所以 a 的取值范围是{a∈R|a≠－1}．答案：{a∈R|a≠－1}
2．不等式(x－y)(x＋2y－2)≥0 表示的平面区域的大致图形是 ()
解析：选 B.原不等式等价于xx－＋y2≥y－0， 2≥0 或xx－＋y2≤y－0， 2≤0. 故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成．
3.平面直角坐标系中，不等式组23xx＋－23yy－＋14≥ ≥00，，表示的平面区 x≤2
(1)画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤
(2)求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积． ①若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解． ②若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解．
1.不等式组xx－＋yy≤ ≤00，表示的平面区域是(
1．二元一次不等式的概念 (1)二元一次不等式是指含有_两__个___未知数，且未知数的最高次数为一次的不等式． (2)一般形式为 Ax＋By＋C>0 或 Ax＋By＋C<0.其中 A2＋B2≠ 0.

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1 1 1 1 �� 因为 2<a<3,所以3 < �� < 2,所以3 < �� <2. 2 2 2 2 ��2 �� 2 �� 2 -�� -��2 (2)因为 + -(a+b)= -b+ -a= + �� 2 1 1 �� ( �� ) (��+��) 2 2 2 2 =(a -b ) �� - �� =(a -b ) �� = , ��
1 3 a +��2的最小值为 4 x+cos��,x∈
(2)不等式��+1≤0 的解集为[-1,2]. (
��-2
)
2 ��. (
) )
(6)函数 f(x)=cos
π 0, 2
的最小值等于 4. (
(7)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (8)在目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距. 答案:(1)× (2)× (3)× (4) (5)× (6)× (7)× (8)×
知识网络
要点梳理
思考辨析
1.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c. (3)可加性:a>b⇔a+c>b+c. (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. 2.均值不等式
��+�� 2
≥ ��(a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号).
专题归纳
高考体验
专题一不等式的性质及应用
【例 1】 (1)已知 2<a<3,-2<b<-1,求 (2)已知 a>0,b>0,且
2
��2 �� a≠b,比较 + 与 ��
�� ab, �� 的取值范围.
2
a+b 的大小.
解:(1)因为-2<b<-1,所以1<-b<2, 又因为2<a<3,所以2<-ab<6,所以-6<ab<-2. 因为-2<b<-1,所以1<b2<4.
专题归纳
高考体验
变式训练1(1)(2017江苏常州高中联考)设a>0,b>0,则下列不等式中,不恒成立的是( )
1 1 A. + ��
≥
4 ��+��
B.1
2
1 + ��
≥ ��
C. |��-��| ≥ �� − �� (2)已知 a,b 为正数,试比较
定义:“一正”“二定”“三相等”,三者缺一不可实际应用举例:利用均值不等式求解实际应用问题,应注意不等式成立的条件一元二次不等式及其解法:应借助于一元二次函数和一元二次方程数形结合求解不等式的实际应用:以实际问题为背景,考查一元二次不等式及均值不等式求最值等问题二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题二元一次不等式(组)表示平面区域:特殊点验证二元一次不等式(组)的平面区域图解法求目标函数的最值等问题及应用:先准确地画出约束条件所表示的平面区域, 再用图解法直观地求出最优解
2 ��+�� 2 ��2 +�� ≥ab, 2 2
3.常用不等式 ≥
��+�� 2 (当且仅 2
(1)当 a,b∈R 时,a2+b2≥2ab, 当 a=b 时取等号). (2)当 a,b∈R 时, 等号).
��2 +�� 2
2
≥ 2 ≥ �� ≥ 1 1(当且仅当 a=b 时取 +
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“ ”,错误的打 “×”. (1)若 a>b,则有 ac2>bc2 成立. ( )
(3)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R. ( ) (4)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). ( ) (5)若 a>0,则
第3课时不等式
知识网络
要点梳理
思考辨析
不等关系与不等式均值不等式
实数比较大小的方法:��-�� > 0⇔�� > ��,��-�� = 0⇔�� = ��,��-�� < 0⇔�� < �� 不等式的性质:它是不等式这一章内容的基础,是不等式证明和解不等式的主要依据,应特别重视
2
因为 a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0, 所以
��2 �� + ��
2
��2 -(a+b)>0,即 ��
�� + >a+b. ��
2
专题归纳
高考体验
反思感悟不等式比较大小的常用方法 (1)作差比较法:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果. (2)作商比较法:常用于含分数指数幂的代数式. (3)乘方转化的方法:常用于根式比较大小. (4)分子分母有理化. (5)利用中间量.
D.a2+b2+1>a+b
�� + �� 与 ��
�� + ��的大小.
��
��+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ��
2
知识网络
要点梳理
思考辨析
4.三个“二次”关系的实质 ax2+bx+c=0的根⇔y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点(x,0)的横坐标; ax2+bx+c>0的解集⇔y=ax2+bx+c的图象上的点(x,y)在x轴上方的横坐标的取值范围; ax2+bx+c=0的根⇔ax2+bx+c>0解集的端点值. 5.线性规划当B>0时,Ax+By+C>0所对应的平面区域是直线Ax+By+C=0上方的部分; Ax+By+C<0所对应的平面区域是直线Ax+By+C=0下方的部分.