北航计算流体力学第8课

迁移方程
()()()()⎪⎩⎪⎨
⎧+∞<<∞-=>=∂∂+∂∂
, 0
0 x x F t x u a x u a t u
其通解为
)(),(at x F t x u -=
实际上二元函数
),(t x u 变成了以
at x -为自变量的一元函数.
由图可见,迁移方程的解是沿C at x =-的直线族随时间向下游传播的, C at x =-就是迁移方程的特征线, 一般用斜率形式表示特征线
a dt dx = (或a
dx dt 1=)
u
l 2
1h
h
h
l
x
t
∆t
∆t
a ∆t
a ∆2A
t a l ∆+2
1
t a l ∆+22
1
)
(x F )
(t a x F ∆-)
2(t a x F ∆-t
t
a l ∆+2t
a l ∆+l
x =-0
=-at x 2
l
at x =
-2
+n 1+n n 2
+n 1
+n n
2
+i 2
+i 1+i 1+i i
i
1-i 1
-i 2-i 2-i A
后差格式影响域
前差格式依赖域
前差格式影响域
后差格式依赖域
a
dx dt 1=a
dx dt 1=x
t
依赖域——如果求解域中某一点A 只受到上游某一区域内发生的扰动的影响，则称该区域是点A 的依赖域；
影响域——如果求解域中某一点A 上发生的扰动影响下游的某个区域，则称这个区域是点A 的影响域；
CFL 条件——双曲型方程显式格式收敛（或稳定）的必要条件是差分方程的依赖域包含原微分方程的依赖域（从而将特征线包含进去）。

CFL 条件经常被归纳为克朗数小于等于1， 即
1c ≤∆∆=x
t
a
一些常见的格式 对于迁移方程
0=∂∂+∂∂x
u a t u ()0>a (5-1) 1. Euler 显式格式
x
u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+1
1 (5-2) 其等价微分方程为:
()()()
3
33
3
2222,1612t x x
u c x a x u c x a x u a t u ∆∆+∂∂-∆-∂∂-∆=∂∂+∂∂ο 可见它是一阶精度格式.
稳定性条件是: 1≤c ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∆∆=x t a c
2. Lax 格式
()11111
2
2n n n n n i i i i i u u u u u a
t
x
++-+--+-=-∆∆ (5-3) 其等价微分方程为
() +∂∂-∆-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∂∂+∂∂3
3
2
2221612x u c x a x
u c c x a x u a t u 稳定性条件是: 1≤c
比较Lax 格式和后差格式的误差大小:
()()
c c c c c
c x a c c x a +=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆11112122
当5.0=c 时, 上式为3，Lax 格式的误差远大于后差格式.
3. 跳点格式(Leap Frog Method)
x
u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+-+221
111 (5-4)
其等价微分方程
()()
+∂∂-∆-∂∂-∆-=∂∂+∂∂55
443322112016x
u c x a x u c x a x u a t u 可见其精度为二阶.
稳定性条件:
1≤c
4. Lax-Wendroff 格式
2
1
12111222x
u u u a t x u u a t u u n i n i n i n i n i n i n i ∆+-∆+∆--=∆--+-++ (5-5) 或写成
()()n i n i n i n i n i n i n i u u u c
u u c u u 112
11122
2-+-+++-+--=
稳定性条件: 1≤c
5. MacCormack 格式 预测步 ()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=
校正步
()[]
11
2
1++--+=i
i i n i n i
u u c u u u
或写成:
()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=
()
1
1111+++++--=n i
n i n i n i u u c u u ()
11
2
1+++=n i n
i n i
u u u
其等价微分方程为(与L-W 格式相同
)
(5-6)
()() +∂∂-∆+∂∂-∆-=∂∂+∂∂44
23332212416x
u
c c x a x u c x a x u a t u
可见它是二阶精度格式.
6. Euler 隐式格式
x
u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆-+-+++21
1111 (5-7) 稳定性条件: 无条件稳定 等价微分方程为:
+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂33223222632x
u
x a t a x u t a x u a t u 或
() +∂∂+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂3
3
2
2221262x
u c x a x u t a x u a t u (一阶精度) 隐式格式形成三对角方程组(用追赶法求解)
n
i n i n i n i u u c u u c =++-++++-111112
2 7. Crank-Nicolson 格式
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆-+∆--=∆-+-++-++x u u x u u a t u u n i n i n i n i n i n i 2221
111111 (5-8) 稳定性条件: 无条件稳定 其等价微分方程为:
+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆∆+∆-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-=∂∂+∂∂55442234332238024120612
x u
t a x t a x a x u x a t a x u a t u 可见它是二阶精度格式.。