证明等比数列的4种方法
等比数列前n项和公式推导的方法
等比数列前n项和公式推导的方法
等比数列呢，就是那种数列里从第二项起，每一项和它前一项的比值都等于同一个常数的数列。
咱就设这个等比数列的首项是a_1，公比是q。
那它的前n项和S_n = a_1 + a_1q+ a_1q^2+·s+ a_1q^n - 1。
咱有一种超有趣的推导方法哦。
咱给这个S_n乘以q，就得到qS_n=a_1q +
a_1q^2+a_1q^3+·s+a_1q^n。
你看哈，S_n和qS_n这俩式子，它们大部分项都很相似呢。
那如果用S_n -
qS_n，就会发生很奇妙的事情哦。
S_n - qS_n=a_1 - a_1q^n，这个式子就很清爽啦。
然后把S_n提出来，就得到
S_n(1 - q)=a_1(1 - q^n)。
当q≠1的时候呢，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。
这就是等比数列前n项和公式啦。
还有一种情况呢，如果q = 1，那这个等比数列就变成了每一项都相等的数列啦，这个时候S_n=na_1。
宝子，你看这个推导过程是不是很有意思呀。
就像玩一个数字游戏一样，通过巧妙地乘以公比q，然后做个减法，就把这个前n项和的公式给推导出来了呢。
等比数列的这个公式在好多数学问题里都超级有用的哦。
比如说在计算一些有规律的增长或者减少的数量总和的时候，就可以用到它。
宝子你要是在做数学题的时候遇到等比数列的求和问题，可一定要记得这个推导过程呀，这样你就能更好地理解这个公式，用起来也就更得心应手啦。
。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。
(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。
特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。
4.3.1等比数列的判定及性质
102.6
5
107.2
12
100.6
6
107.2
13
98.1
7
106.9
14
95.0
观察发现，数列{ }先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 ≥ 时，
{ }递减，且 < 即可.
新知探究
由 + +
=
.+ ×[−(+)]
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；
3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数
学运算素养
01
复习导入
复习回顾
1.等比数列的定义是什么？
. ×(−)
< ，
得 > .
所以，当 ≥ 时，{ }递减.
又 ≈ < ，所以，当 ≤ ≤ 时， ≤ < .
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
新知探究
方法总结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。
换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。
1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。
数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。
等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。
在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。
通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。
1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。
我们来看等比数列的负项。
如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。
这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。
等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。
等比数列的任意项也具有一定的性质。
假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。
等比数列的等比中项也有着特殊的性质。
等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。
这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。
等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。
等比数列
2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 . 3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比 数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
G= ab . 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 5.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 k a , a , a 也成等 =1 k k=n+1 k k=2n+1 k 比数列, 且公比为 qn. an 6.若数列 {an}, {bn} 是等比数列, 则数列 {anbn}, { } 也是等 bn 比数列.
课后练习题
1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成 等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数. 解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d>0. ∵后三数成等比数列, 其最后一个数是 25,
∴a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.
+2 S (n=1, 2, 7.数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= nn n S 3,…), 证明: (1)数列 { n } 是等比数列; (2) Sn+1=4an. n Sn n-1 (2)证法2: 由(1)知 n =2 . ∴Sn=n2n-1 . ∴Sn+1=(n+1)2n. ∵an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2 (n≥2). 而 a1=1 也适合上式,
等比数列的前n项和公式的推导方法
等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列在数学中有着重要的地位，而等比数列的前n项和公式是研究等比数列的一个重要内容。
下面我们将围绕这个主题进行详细的探讨和推导。
一、等比数列的定义1. 一个数列{a1, a2, a3, ...}称为等比数列，如果存在一个常数r，使得对于任意正整数n，有an/an-1=r。
2. 等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 2, 6, 18, 54, ...是一个等比数列，首项为2，公比为3。
二、等比数列的前n项和公式的推导1. 首先考虑公比r等于1的情况，此时等比数列就是一个普通的等差数列。
等差数列的前n项和公式是Sn = n*(a1+an)/2。
2. 当公比r不等于1时，我们来推导等比数列的前n项和公式。
3. 设等比数列的前n项和为Sn，则有Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1)。
4. 乘以公比r，得到r*Sn = a1*r + a1*r^2 + a1*r^3 + ... + a1*r^n。
5. 两式相减，得到(1-r)Sn = a1*(1-r^n)。
6. 可以解得Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)，这就是等比数列的前n项和公式。
7. 对于等比数列2, 6, 18, 54, ...，首项a1=2，公比r=3，前5项和为S5 = 2*(1-3^5)/(1-3) = 242。
三、等比数列的前n项和公式的应用1. 等比数列的前n项和公式在实际问题中有着广泛的应用。
2. 在财务领域中，等比数列的前n项和公式可以用来计算贷款每期的偿还金额，以及计算存款的本利和。
3. 在工程领域中，等比数列的前n项和公式可用于计算复利增长，评估工程投资的收益情况。
4. 在数学建模中，等比数列的前n项和公式也是常用的工具，可以用来描述和解决许多实际问题。
四、总结等比数列的前n项和公式是等比数列重要的性质之一，它的推导和应用都具有重要的意义。
等比数列的前n项和公式的四种推导方法及拓展
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这 个 脱 胎 于课 本 中等 比数 列 前ｎ 项公 式推 导 方 法 的 求 和 法 ． 高 是 考 中命 题 率 很 高的 地 方 ． 予 ？
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拓 展２ 判 断等 比数 列的 另一 种方 法 ：
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数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
等比数列前n项和公式推导
等比数列前n 项和公式推导过程等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n nn n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时， 1na S n =公式的推导方法二： 由等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）等比定理内容及证明过程：若a:b=c:d=...m:n （b,d...n ≠0), 则(a+c+...+m):(b+d+...+n)=a:b 称为等比定理。
证明： 假设：a ：b ＝c ：d ＝...＝m ：n =ka=bk,c=dk., ....m=nk合并k 的同类项：即a+c..+m=k(b+d....n)所以： （a ＋c ＋...＋m ）：（b ＋d ＋...＋n ）=k所以： （a ＋c ＋...＋m ）：（b ＋d ＋...＋n ）＝a ：b。
等比数列的判定
由 a1>0，an＋1＝
，知 an>0.若 an＋1>an，则
<a ，
2an＋1
an＋1 n
1
1n
1
1n－1
即a －1×3 ＋1<a －1×3
＋1
1
1
对一切 n∈N*都成立，
1
化简得 －1>0，又 a1>0，故 0<a1<1.故 a1 的取值范围是(0，1)．
＝2an＋1－an＝2d，∴{2an}为
2an
an＋1
等比数列；若数列{an}为等比数列，设其公比为 q，则 lg an＋1－lg an＝lg
＝lg q，
an
∴{lg an}为等差数列．
3．(2020·课标全国Ⅱ，理)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…
＋ak＋10＝215－25，则 k＝(
(1)求证：{an＋1}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn.
解析
(1)证明：当 n＝1 时，S1＝a1＝2a1－1，解得 a1＝1.
因为 Sn＝2an－n，① 所以 Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，②
①－②得 an＝2an－2an－1－1，整理得 an＝2an－1＋1，
an＋1
A．2
解析
B．3
C
)
C．4
D．5
an＋1
在等式 am＋n＝aman 中，令 m＝1，可得 an＋1＝ana1＝2an，∴ a ＝2，
n
∴数列{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an＝2×2n－1＝2n，
ak＋1·（1－210） 2k＋1·（1－210）
(完整版)等差、等比数列的判断和证明
等差、等比数列的判断和证明一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。
③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A=2d ，B=21da -. Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差，公差为md ；②若{}n a 是等差数列，则﹛ka n +p ﹜(k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd 1+pd 2 （d 1、d 2 分别为{}n a 、{}n b 的公差）④232,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列.⑤{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n n s s 1+=奇偶. 当项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶 ；nn s s 1-=奇偶（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg ：a 1，a 3，a 5…构成等差数列，a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即)2,(*1≥∈=-n n q N a a n n2、等比数列的判断方法： ①定义法：1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠⇔{}a n 为等比数列。
等比数列前n项和公式的推导方法
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
这个比值叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
1，2，4，8，16，……就是一个公比为2的等比数列。
等比数列在数学中有着重要的应用，如金融领域的复利计算、物理中的指数增长等。
二、等比数列的通项公式对于一个等比数列来说，如果已知第一项a1和公比q，那么它的第n 项可以通过以下公式来计算：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示第n项的值，a1表示第一项的值，q表示公比，n表示项数。
三、等比数列前n项和的计算对于等比数列来说，如果要计算它的前n项和Sn，可以通过以下方法来推导。
在我们推导等比数列前n项和的公式之前，首先来计算一下等比数列的前n项和S1、S2、S3,……S(n-1)。
1、计算S1S1表示等比数列的第一项，显然就等于第一项a1。
2、计算S2等比数列的前两项和S2，可以表示为：S2 = a1 + a2 = a1 + a1 * q = a1 * (1 + q)3、计算S3等比数列的前三项和S3，可以表示为：S3 = a1 + a2 + a3 = a1 + a1 * q + a1 * q^2 = a1 * (1 + q + q^2) 依此类推，我们可以得到等比数列的前n项和Sn的表达式：Sn = a1 * (1 + q + q^2 + …… + q^(n-1))我们可以将Sn看作是一个等比数列的前n项和，分别乘上一个公比q，再减去原来的等式，得到：q * Sn = a1 * (q + q^2 + …… + q^n)再用q * Sn减去Sn，得到：(q-1) * Sn = a1 * (q^n -1)这样，我们就得到了等比数列前n项和的通项公式：Sn = a1 * (q^n -1) / (q-1)这就是等比数列前n项和的通项公式推导过程。
结论等比数列是数学中常见的一种数列形式，在复利计算、指数增长等问题中有重要的应用。
数列证明与判断
2023届高考数学复习讲义5.6数列的证明及判定1.等差数列通项公式：a n ＝=．2.等差数列前n 项和公式：nd a n d d n n na aa n S n )2(22)1(2)(12121-+=-+=+=3.等比数列通项公式：a n ＝=．．4.等比数列前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q naS n n 一．判定一个数列为等差数列的常见方法：(1)定义法：若d a a n n =-+1(d 是定值)，则数列{a n }是等差数列；(2)等差中项法：若n n n a a a 211=++-(2≥n ），则数列{a n }是等比数列；(3)通项公式法：若a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立，则数列{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：若S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立，则{a n }是等差数列二、判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 是非零常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列；(3)通项公式法：若a n ＝Aq n (A ，q 为非零常数)，则数列{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列考向一等差数列的判定与证明例1若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．思维升华判断数列{a n }是等差数列的常用方法方法解读定义法对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列等差中项法2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列【举一反三】1、已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎭⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．2、(2021·台州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1a n .(1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．考向二等比数列的判定与证明例2已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n，设b n＝a n n .(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．感悟升华等比数列的4种常用判定方法定义法若a n＋1a n＝q(q为非零常数，n∈N*)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a n}是等比数列中项公式法若数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成a n＝c·q n－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列前n项和公式法若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{a n}是等比数列【举一反三】1、(2022·威海模拟)记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋1.设b n＝a n＋1－2a n.求证：数列{b n}为等比数列；2、已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n-1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32{a n }的通项公式．A 组1、(2022届河南调研,18)已知数列{a n }满足a 1=4,a n+1=2a n +2n+1(n ∈N *),设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)证明:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是等差数列.(2)求S n .2、已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；3、(2022届哈尔滨期中,20)在数列{a n }中,a 1=4,na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n.(1)求证:;(2)n 项和S n .4、(2020哈尔滨香坊月考,17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -n(n ∈N *).证明：数列{a n +1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;B 组5、(2022届陕西宝鸡月考,18)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =14(a n +1)2(n ∈N *).(1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等差数列.6、(2021·全国统一考试模拟演练)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32{a n }的通项公式．7、(2021吉林白山第三次联考,19)在数列{a n }中,已知a 1=1,且a n+1a n =2n+1a n -2n a n +1.,并求出{a n }的通项公式;8、(2017课标Ⅰ,17,12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.9、(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．10、(2021全国百强名校联考,18)已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=12a n-12×3,b n=a n-13t1.求证:数列{b n}是等比数列;11、(2022·烟台模拟)已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n1＋1(n≥2，n∈N*)，记b n＝log2(a n＋1)．－(1)判断{b n}是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列{a n}的通项公式．12、(2021全国甲,18,12分)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n >0,a 2=3a 1,且数列{}是等差数列.证明:{a n }是等差数列.13、(2021·全国乙卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n＝2，证明：数列{b n }是等差数列；14、(2020河南名校联盟调研)已知首项为2的正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且当n ≥2时,3S n -2=2-3S n-1.证明:数列{a n }是等差数列;C 组15、(2021·温州调研)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．16、已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n1＝λS n－1，其中λ为常数．＋(1)证明：a n2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．＋17、若S n为等比数列{a n}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求a n及S n；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．方法与技巧。
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和是指一组等比数列a_0,a_1,a_2···a_n的前n项之和.它是由等比数列理论
中关于数列前n项和及其计算方法而定义的重要概念.关于等比数列前n项和公式可利用
以下七种方法推导出来.
首先，可以利用求和符号推导法来推导等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+a_2+a_3+…+
a_n=(a_0+a_n)(1+q+q^2+…+q^(n-1)) ，其中q表示等比数列的公比。
其次，利用数论中的规律性推导法可推导出等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+…+
a_n=(a_n-a_0+a_0)/(1-q) *(1-q^n) 。
再者，递推证明可以推导出等比数列前2项和公式，即a_0+a_1=(a_0+a_1)q 。
从而推导出
a_0+a_1+…+ a_n=a_n(1-q^(n+1))/(1-q).
此外，可以利用比较法、占位法、归纳法、变化法等其他的推导方法来证明等比数列前n 项和公式.
此外，特殊情况下，当q为1时，a_0+a_1+…+ a_n=a_0+a_1+…+ a_n=n*a_0(n+1)/2 ,当q
为-1时，a_0+a_1+…+ a_n=(-a_0+a_n)n/2。
最后，可使用其他技术，如雅可比自然迭代方法和高等数学技术推导法等可推导出等比数
列前n项和公式。
以上就是对于等比数列前n项和公式的七种推导方法的介绍，总结起来有求和符号推导法、数论规律性推导、递推证明与比较法、占位法、归纳法、变化法及雅可比自然迭代方法和
高等数学技术推导法等七种方法。
等差等比数列的证明
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m , 成等差
Sn与项an的关系：
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
公差、通项公式
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
设Sn是数列an的前n项和，且a1= -1
an+1
等比数列求和的公式及证明
等比数列求和的公式及证明等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的数之间的比值都是相等的数列。
在数学中，我们经常会遇到等比数列，并且求解这些数列的和是很常见的问题。
本文将探讨等比数列求和的公式，并给出其证明。
一、等比数列求和的公式假设等比数列的首项为a，公比为r，该等比数列的第n项为an。
要求解等比数列的前n项和Sn。
在等比数列中，首项是a，第二项是ar，第三项是ar^2，依次类推，第n项是ar^(n-1)。
我们可以将等比数列按照如下方式排列：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)同时，我们将等比数列中的每一项与公比r相乘，得到以下数列：ar, ar^2, ar^3, ar^4, ...,ar^n我们接下来将这两个数列相减，得到：a - ar^n由于等比数列中，首项与第n项之间的差值可以表达为a - ar^n，我们可以利用这一性质来求解等比数列的和Sn。
我们将第二个数列除以r，得到：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)再将这两个数列相减，得到：a - ar^n = ar - ar^n我们可以将(a - ar^n)两边的式子因式分解，得到：a(1 - r^n) = (ar)(1 - r^(n-1))我们解这个等式得到：a - ar^n = ar(1 - r^(n-1))/(1 - r)两边同时乘以(1 - r)，得到：a - ar^n = a(1 - r^n)将上式移项得到：a(1 - r^n) = ar^n - a再将等式两边同时除以(1 - r)，得到：a = (ar^n - a)/(1 - r)我们已经得到了等比数列求和的公式：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)二、等比数列求和公式的证明为了证明等比数列的求和公式，我们假设r不等于1，即首先排除等比数列的公比为1的情况。
从等比数列求和的公式上推导，我们有：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)我们将此式两边乘以(1 - r)，得到：Sn(1 - r) = a(1 - r^n)将Sn(1 - r)展开，得到：Sn - Snr = a - ar^n将公式Sn = ar(1 - r^n)/(1 - r)代入，得到：ar(1 - r^n)/(1 - r) - ar = a - ar^n由于我们已经假设r不等于1，所以我们可以将上式两边同时乘以(1 - r)，得到：ar(1 - r^n) - ar(1 - r) = a(1 - r^n)将等式右边展开，得到：ar - ar^(n+1) - ar + ar^2 = a - ar^n化简得到：- ar^(n+1) + ar^2 = - ar^n因此，上式成立，等比数列求和的公式得到了证明。
求等比数列通项公式的常用方法
求等比数列通项公式的常用方法等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前n 项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法.一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式.例1．求下列数列的通项公式5，-15，45，-135，405，-1512…解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。
所以通项1)3(5--⋅=n n a二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式11n n a a q -=来求。
例2：数列{}n a 为等比数列，若1231237,8a a a a a a ++==，求通项n a解，由已知得321238a a a a ==（利用等比数列的性质）22a ∴=，1237,a a a ++=2227a a a q q ∴++= 即2250q q +-=22520q q ∴-+=，解得2q =或12q = 当2q =时，得11a =，12n n a -∴= 当12q =时，得14a =，32n n a -∴= 评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由1a 与q 来表示，也可以用其他项来相互表示如n m n m a a q -=例3：已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，则该数列的通项n a = 解： 103103,a a q -=∴71033841283a q a ===2,q ∴=∴33332n n n a a q --==⨯ 注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式n m n m a a q -=.三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种：（一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项例4．已知数列{}n a 中11=a ，121+=+n n a a ，求通项公式n a解：由已知得：)1(211+=++n n a a ，∴2111=+++n n a a ∴数列{}1+n a 是首项为211=+a ，公比为2的等比数列 ∴n n n a a 22)1(111=+=+-.即12-=n n a .评：对于)(1q p r qa pa n n ≠+=+形式的递推关系式，可以配常数，即)()(1k a q k a p n n +=++，pq r k -=这里从而转化为等比数列，再求通项。
等比数列的证明
等比数列的证明等比数列的证明数列an前n项和为Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n 乘以Sn(n=1,2,3......) 证明(1)(Sn/n)是等比数列(2) S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn即nS(n+1)-nSn=(n+2)SnnS(n+1)=(n+2)Sn+nSnnS(n+1)=(2n+2)SnS(n+1)/(n+1)=2Sn/n即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2S1/1=A1=1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)即Sn=n2^(n-1)那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)An=Sn-S(n-1)=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)=[2n-(n-1)]*2^(n-2)=(n+1)2^(n-2)=(n+1)*2^n/2^2=(n+1)2^n/4=S(n+1)/4所以有S(n+1)=4Ana(n)-a(n-1)=2(n-1)上n-1个式子相加得到：an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)右边是等差数列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)所以：an-2=n^2-nan=n^2-n+24、已知数列{3*2的N此方}，求证是等比数列根据题意，数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的固定比值就可以了.所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有: [3*2^(n+1)]/(3*2^n)=2因为比值是2,不依赖n的选择,所以得到结论.5数列an前n项和为Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 证明(1)(Sn/n)是等比数列(2) S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn即nS(n+1)-nSn=(n+2)SnnS(n+1)=(n+2)Sn+nSnnS(n+1)=(2n+2)SnS(n+1)/(n+1)=2Sn/n即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2S1/1=A1=1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)即Sn=n2^(n-1)那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)An=Sn-S(n-1)来源网络搜集整理，仅作为学习参考，请按实际情况需要自行编辑。
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证明等比数列的4种方法
比数列是数学中一种有规律的数列，它的每一项都是前一项的一个恒定比例倍数，常见的有等比数列和等差数列。
本文将讨论等比数列的4种证明方法。
第一种方法是归纳法。
归纳法是一种比较直观的证明方法，它的思想是：通过对实际的案例进行推理，从而证明规律的正确性。
例如，设等比数列为{an}，假定a1=
4，a3=
8，那么由等比数列的性质可知，a4=a3×q，即a4=8×q，
其中q为比例因子。
通过对已知的三项进行推理，可以得出
a4=
16，即q=
2，说明等比数列的比例因子为
2，从而证明了等比数列的性质。
第二种方法是反证法。
反证法的思想是：先假定给定的性质是错误的，再证明这一假定是矛盾的，从而证明给定的性质是正确的。
例如，设等比数列为{an}，假定a1=
2，a2=
4，a3=
8，假设等比数列的比例因子不是
2，而是
3，那么a4=a3×3=
24，但是从已知的三项来看，a4=
16，这与比例因子为3的假定是矛盾的，说明等比数列的比例因子不是
3，而是
2，从而证明了等比数列的性质。
第三种方法是数学归纳法。
数学归纳法是对归纳法的改进。
它的思想是：先假定等比数列的比例因子是一定的，然后通过数学归纳法，证明该比例因子的值是正确的。
例如，设等比数列为{an}，假定a1=
2，a2=
4，a3=
8。
那么由等比数列的性质可知，a4=a3×q，即a4=8×q，
其中q为比例因子。
假设q=
2，那么a4=8×2=
16，根据已知的三项，a4=
16，从而证明了等比数列的比例因子是
2，从而证明了等比数列的性质。
第四种方法是利用公式法。
利用公式法是比较简单的一种证明方法。
其做法是：将等比数列的公式替换为一般形式，然后利用相关的公式，证明等比数列的公式是正确的。
例如，设等比数列为{an}，假定a1=
2，a2=
4，a3=
8，那么由等比数列的通项公式：an=a1×qn-
1，替换为一般形式：an=2×qn-
1，令a4=
16，则a4=2×q3=
16，即q=
2，说明等比数列的比例因子为
2，从而证明了等比数列的性质。
本文介绍了等比数列的4种证明方法：归纳法、反证法、数学归纳法和利用公式法。
这些方法都可用于证明等比数列的性质，其中归纳法和反证法是比较直观的方法，而数学归纳法和利用公式法则是比较简单的方法。
在实际应用中，可以根据实际情况来选择最合适的方法来进行证明。