(完整word版)高中数学必修1第一章导学案

1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义

学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.

知识点一 集合的概念

思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？

答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素. 梳理 元素与集合的概念

(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.

(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示. 知识点二 元素与集合的关系

思考 1是整数吗？1

2是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

答案 1是整数；1

2

不是整数.没有.

梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三 元素的三个特性

思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？

答案2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.

思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？

答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的.由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.

梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.

知识点四常用数集及表示符号

类型一判断给定的对象能否构成集合

例1考察下列每组对象能否构成一个集合.

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)3的近似值的全体.

解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.

反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.

跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()

A.数学必修1课本中所有的难题

B.小于8的所有素数

C.直角坐标平面内第一象限的一些点

D.所有小的正数

答案B

解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合. 类型二 元素与集合的关系 命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：

①1

2∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

解析 1

2是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3为无

理数，④错；0是自然数，⑤错.故选B.

反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空. －2________R ； －3________Q ； －1________N ； π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉

命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理

例3 集合A 中的元素x 满足6

3－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________.

答案 0,1,2

解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝6

3＝2∈N ；

当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝6

3－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2.

反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的.

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素

所具有的特征.

跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( ) A.a >－4 B.a ≤－2 C.－4

答案 D

解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4，∴－4

例4 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B .

解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，

当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1.经检验，0与－1都符合要求. ∴a ＝0或－1.

(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0，－52，5

4}≠B .

故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .

反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.

跟踪训练4 已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值.

解 方法一 根据集合中元素的互异性，

有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝0，

b ＝0或⎩⎨⎧

a ＝14

，b ＝12.

再根据集合中元素的互异性，得⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝0，

b ＝1或

⎩⎨⎧

a ＝14

，b ＝12.

方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同.