新编奥数教程6年级付答案

第1讲逻辑推理我们常会见到这样一类题目，没有或很少给出什么数量关系，解决问题的主要方法不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，且较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题.例1 一次数学测验，A，B，C，D，E，F中有一人得了100分，老师让他们猜一猜是谁得了100分．A：或者是E，或者是F．B:是我得了100分．C:是D得了100分．D:不会是B得了100分．E:不会是C得了100分．F:不会是我，也不会是E．老师说：你们只有两个人猜对了．那么，谁得了100分呢？思维点拨从这六个人的话中可以看出，A与F的话、B与D的话相互矛盾，也就是说，每一对中两个人的话必然是一真一假．根据“只有两个人猜对了”这个条件，得出C与E必为假话，由E猜错可知，是C得了100分．例2 三块正方体，它们的六个面都按相同规律标有1，2，3，4，5，6．请你判断一下，2的对面是几?5的对面是几?6的对面是几？(1) (2) (3)思维点拨从图(1)，(3)可看出，2的对面不可能是5，6，1，4，那么2的对面一定是3．从图(1)，(2)可以看出，5的对面不可能是2，6，1，3，那么5的对面一定是4．剩下的6的对面一定是1．例3 位学者在几年前逝世，逝世时的年龄数是他出生年份数的129，这位学者在1955年主持学术会议时是多少岁？思维点拨由题意，出生年份数应是29的倍数，又因为他在1955年主持过会议，因此出生的年份应小于1955.可以把小于1955且是29的倍数的数列举出来：1943，1914，1885，1856，…，可以分析出生在1885年或1943年均不合理．只有出生在1914年才符合事实．例4 甲、乙、丙、丁四人进行有趣的会谈，用了汉、英、德、俄四种语言．情况如下：(1)甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；(2)有一种语言，四人中有三人都会；(3)甲会俄语，丁不会俄语，乙不会英语；(4)甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；(5)没有人既会俄语，又会德语.问甲、乙、丙、丁各会何种语言.思维点拨这是条件比较复杂的问题，应使用列表法进行分析推理，这样有助于解题，列表格时，在肯定的一格打“√”在否定的一格打“×”．例5 已知在每个正方体的6个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7，现在把5个这样的正方体一个挨着一个地连接起来(如图)，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，那么图中打“？”的这个面上所写的数是几？思维点拨根据题意容易推出1的对面是6，挨着6的面是2；2的对面是5，挨着5的面是3；3的对面是4，6的对面是1．因此第3个正方体左右两面只能是2与5．到底左端是2还是5呢？我们不妨作出假设.假设左端是5，则其对面是2，挨着2的面是6，6的对面是1，挨着1的面(最右边一块的左面)就应该是7，与题意不符．所以最左端只能是2，2的对面是5，挨着5的面是3，3的对面是4，挨着4的面是4，4的对面是3．例6 有一次数学竞赛，共有6道题，均是是非题，正确的画“√”，错误的画“×”，每题答对得2分，不答得1分，答错得0分，王、张、赵、杨的答案如下表，杨得了多少分？思维点拨由得分情况及答题数量知，张对4道，错1道，未答1道，王、赵各对3道，错2道，未答1道，因为王、张有3道的答案不同，且王、张共错3道，所以两人的错题只能是(3)(4)(6)3道题，由此得到剩下3题的正确答案：(1)×，(2)√，(5)√．比较知赵的答案，(2)(5)题错，其余已答的题都对，得(3)×，(4)√．因为张只错1道，(4)题已错，故(6)题正确，故(6)×，对照正确答案，杨对4道，错2道，得8分．●课内练习1．某校运动会上，A，B，C，D，E，F六人参加百米决赛，对于谁是冠军，甲、乙、丙、丁四人有以下猜测：甲说：冠军不是A就是B.乙说：冠军不是C．丙说：D，E，F都不可能是冠军．丁说：冠军是D，E，F中的一人，比赛结果是，这四人中只有一人的猜测是正确的．请你判断谁得了冠军．2．如下图，3块正方体按同样的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿6种颜色．请你判断黄、白、红的对面分别涂什么颜色．(1) (2) (3)3．刘强、马明、李刚三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹不许搭档，第一场：刘强和小丽对李刚和小英.第二场：李刚和小红对刘强和马明的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？4．小秋的书架上有一些书，其中17是故事书，19是文艺书，书的本数在100～150之间，他有多少本书？5．一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面上的两个数之和都等于13．小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数之和是18.小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数之和是24.那么挨着桌子这个面的数是多少？6．A，B，C，D，E五入在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数，如果A，B，C的平均分为95分，B，C，D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名，得96分．那么D的得分是多少？●课外作业1．甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A，B，C三人对比赛结果进行预测．A说：“甲肯定是第一名．”B说：“甲不是最后一名．”C说：“甲肯定不是第一名．”其中只有一人对比赛结果的预测是对的．是谁预测对了？2．下图是标有1，2，3，4,5，6数字的同一正方体的三种不同摆法，求三个正方体朝左那一面的数字之积是多少．(1) (2) (3)3．甲、乙、丙在南京、上海、北京工作，他们的职业分别是工人、记者、教师．现在知道：(1)甲不在南京工作；(2)乙不在上海工作；(3)在南京工作的不是教师；(4)在上海工作的是工人；(5)乙不是记者.三人各在什么地方工作？各是什么职业？4．小糊涂对小博士说：“我想把54个围棋子放进10个盒子，每个盒子里都有围棋子，且每个盒子中的棋子数各不相同．”小博士听了，笑着说：“小糊涂你又糊涂了，你说的情况根本办不到．”小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？5．下面的图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态显示的数字，请你推出“？”处的点数是几．A B C6．甲、乙、丙三名同学参加了一次标准化考试，试题共10道，都是判断题，正确的画“√”，错误的画“×”，每道题1分，满分为10分，他们的答卷如下表：成绩公布后，三人都得7分，请你给出各题的正确答案．7．甲说：“我13岁，比乙小2岁，比丙大1岁”．乙说：“我不是年龄最小的，丙和我差3岁，丙是16岁”，丙说：“我比甲年龄小，甲14岁，乙比甲大3岁”，以上每人所说的三句话中，都有一句是错误的．请你确定甲、乙、丙三人的年龄．8．A，B，C，D四人进行乒乓球比赛，每两个人之间都要赛一场，结果A胜了D，并且A，B，C三人胜的场数相同，问D胜了几场．9．六(1)班共44人，从A ，B ，C ，D ，E5名候选人中选举班长，A 得票23张，B 得票占第2位，C ，D 两人得票相同，E 得票最少，得4票．那么B 得票多少张？10．已知2A ，3B ，4C 是3个最简真分数，A ，B ，C 都是自然数，如果每个分数的分子都加上A ，分母保持不变，得到的3个新数之和等于216，那么A,B,C 各为多少？你知道吗1918年，英国著名数学家罗素(B ．A.W.Xusse11，1872～1970)引述了一个悖论．据说从前有一个村，规定理发师的职责是“专为村上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子．”按照这个规定，理发师可不可以自己刮胡子呢？理发师陷入了自相矛盾的窘境：刮也好，不刮也好，都违反规定！这种自相矛盾的言论、概念，数学上叫做“悖论”，上面所说的就是著名的“理发师悖论”．第2讲 列方程解应用题列方程解应用题是运用方程知识来解决实际问题，很多稍复杂的应用题，特别是需要逆向思维的题，运用算术方法解答有一定的困难，列方程解答就比较容易．列方程解应用题的关键是正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程．列方程解应用题的一般步骤是：1．弄清题意，找出未知数，并用x 表示；2．找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；3．解方程；4．检验，写出答案．例1 六(1)班有58人，六(2)班有26人，从六(1)班调多少人到六(2)班，才能使六(2)班人数比六(1)班人数的2倍少9人？思维点拨 我们可以设从六(1)班调x 人到六(2)班，那么，调动后六(1)班有(58－x)人，六(2)班则有(26＋x)人．再根据调动后“六(2)班人数比六(1)班人数的2倍少9人”这个条件，就可以列出方程：26＋x ＝2(58－x)－9．例2 有甲、乙、丙三个数，乙数是甲数的5倍，丙数比乙数少4，且三个数的和是95，求这三个数，思维点拨 这道题中有三个未知量，根据数量关系，设甲数为x ，则乙为5x ，丙为5x －4，再根据三个数的和为95，就可以列出方程了．例3 光明小学体育器材室里，足球的个数是排球的2倍．体育课上，每班借8个足球，5个排球，排球借完时，足球还有48个．体育器材室原有足球、排球各多少个？思维点拨我们如果设原有排球x个，则原有足球2x个，借出的足球有(2x－48)个．用借出的球数除以每班借的球数就得到班级数，即班级数可以表示为(T÷5)，也可以表示为(21，－48)÷8，即可得方程x÷5＝(2x－48)÷8，这个方程解起来比较麻烦．如果我们设光明小学有x个班，则排球数为5x，足球个数为( 8x＋48)，再根据“足球个数是排球的2倍”就可以列出方程：5x×2＝8x＋48．例4 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少1，如果十位上的数字扩大到4倍，个位上的数字减去2，那么，所得的两位数比原来大58，求原来的两位数.思维点拨要求原来的两位数，就要先求出十位数字和个位数字，如果设两位数的个位数字是x，则十位上的数字是(x－1)，原来这个两位数是10×(x－1)＋x，把十位数字扩大到4倍，是4(x－1)，个位上的数字减去2，是(x－2)，现在的两位数为10×4(x－1)＋(x－2)，根据题意可列出方程.例5 有—个水池，第一次放出全部水25，第二次放出40立方米，第三次又放出剩下水的25，池里还剩水56立方米，全池蓄水多少立方米？思维点拨如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为25x，第二次放出的水是40立方米，第三次放出的水应是剩下的水的(x－25x－40)×25．有这样的等量关系：第一次放水量＋第二次放水量＋第三次放水量＋剩余水量＝全池蓄水量．例6 两座粮仓，甲仓装粮食100吨，如果从乙仓中运出13放到甲仓，这时，乙仓的粮食比甲仓少19．求乙仓原有粮食多少吨？思维点拨设乙仓原有x吨粮食．运出13x吨给甲仓，甲仓就有(100＋13x)吨，乙仓只剩下2 3x吨，再根据“这时乙仓比甲仓少19”这个条件，就可以列出方程了．●课内练习1．甲仓有86吨货物，乙仓有42吨货物，从甲仓运多少吨货物到乙仓，才能使乙仓的货物比甲仓的2倍还少4吨？2．甲、乙、丙三个数的和为112，丙数比乙数多4，乙数是甲数的4倍，求这三个数．3．某小学图书馆里科技书的本数是故事书的3倍，活动课上，每班借7本科技书，5本故事书，故事书借完时，科技书还剩96本，图书馆里有科技书和故事书各多少本？4．一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，将个位数字与十位数字对调后，所得的新数比原来的数大54，求原来的两位数．5．一辆汽车从甲地到乙地．第一小时行了全程的16，第二小时行了80千米，第三小时行了剩下的25，这时距乙地还有100千米，甲、乙两地相距多少千米？6．甲仓有货物52吨，从乙仓运出15到甲仓，这时乙仓比甲仓多19，求乙仓原有货物多少吨．●课外作业1．甲布袋有280个玻璃球，乙布袋有40个玻璃球，从甲布袋取多少个放入乙布袋，才能使甲布袋的玻璃球比乙布袋的2倍还多35个？2．希望小学的六年级有三个班，共有153人．六(1)班人数是六(3)班的1.12倍，六(2)班比六(3)班少3人，三个班各有多少人？3．布袋里有红球和黄球若干个，红球比黄球的3倍多6个，若每次取出8个红球和4个黄球，当黄球正好取完时，红球还剩30个，袋子里原有红球、黄球各多少个？4．一个六位数的左边第一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数是原数的3倍，求原数．5．两个集镇之间的公路除了上坡就是下坡，没有平路，客车上坡的速度保持为每小时15千米，下坡则保持为每小时30千米．现知客车在两地之间往返一次，需在路上行驶6小时，求两地之间的距离．6．甲、乙两班各有一个图书室，共有303本书，已知甲班图书的513和乙班图书的14合在一起是95本．那么甲班图书有多少本？7．西红柿和黄瓜共有180千克，西红柿的3倍比黄瓜的2倍少10千克，西红柿和黄瓜各多少千克？8．第一个正方形的边长比第二个正方形边长的2倍多1厘米，它们的周长之和是88厘米，它们的面积之和是多少？9．甲、乙、丙三个数的和是218，已知甲数除以乙数、乙数除以丙数都是商3余2，甲、乙、丙三个数各是多少？10.甲、乙、丙、丁四人共做零件265个，如果甲多做15个，乙少做5个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以3，那么四个人做的零件数恰好相等，问：丙做了多少？你知道吗列方程解应用题比阐算术方法解应用题有明显的优越性，即简单、快捷、正确.什么叫方程呢?方程就是含有未知数的等式，把这个砉知数求出来，就叫做解方程．方程中的未知43通常都用x ，y ，x 来表示，这是法国著名数学家、哲学家笛卡儿(R ．Descaxtes ，1596～1650)倡导使用的，常用a ，b ，c 等表示已知量，用x ，y ，z 等表示未知置．第3讲 巧计算在做分数计算题时，一般的分数计算题，只要能正确利用分数的基本性质、四则运算法则及定律，都能得到正确的结果，但有些稍难的分数计算题，若按常规的方法计算会很麻烦，而且很难得出正确的结果，又浪费时间．所以我们必须学会某些特殊的运算技巧，合理选择巧妙的方法使运算简便，从而节省时间，提高运算速度和解题的正确率．例1 计算：1111111(1)()3453456+++⨯+++－1111111(1)()3456345++++⨯++．思维点拨 用一般的通分方法计算可以算出结果，但实在是太麻烦了．仔细观察会发现每个括号内都有111345++，我们可以先把它看成一个整体，用一个字母来表示，使运算简化.例2 计算：1111111261220304256++++++．思维点拨 我们先仔细观察每个分数，它们的分子都是1，分母都可分解为两个连续自然数的积．于是每个分数都可拆分成两个分数的差：111121212==-⨯，111162323==-⨯， 1111123434==-⨯，1111204545==-⨯.例3 计算：2222211113131515171719192121+++++⨯⨯⨯⨯⨯．思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是2，而分母都是两个相邻奇数的乘积，并且分子恰好等于分母的两个相邻奇数的差，则有21111131113=-⨯，21113151315=-⨯, 21115171517=-⨯，21117191719=-⨯，21119211921=-⨯. 例4 计算：1111111447710101313161619+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯．思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是1，而分母是两个差为3的自然数组成的乘积形式．我们可以将147⨯写成13111()347347⨯=⨯-⨯的形式，再运用乘法分配律把13提取出来，就可以进行简便计算了．例5 计算：11111121231234123420++++⋅⋅⋅+++++++++++⋅⋅⋅+.思维点拨 本题先用等差数列求和公式将各分数的分母化简，再运用其他公式计算.例6 计算：1111111248163264128++++++.思维点拨 仔细观察本题的特一点，每一个分数总是其后一个相邻分数的2倍．据此特点可设原式为A ，将A 扩大2倍后得到2A ＝1111111248163264++++++，再用2A －A ，便可以得到A 的值了．●课内练习1．计算：11111111111111(1)()(1)()24624682468246+++⨯+++-++++⨯++．2．计算：1111111112612203042567290++++++++．3．计算：2222210121214141616181820++++⨯⨯⨯⨯⨯．4．计算：111111155101015152020252530+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯5．计算：1111111212123123440 +++++⋅⋅⋅+++++++++⋅⋅⋅+6．计算：111111111 248163264128256512 ++++++++●课外作业1.计算：1111111111111111 ()()()() 357957911357911579 +++⨯+++-++++⨯++．2．计算：11111111136101521283645 ++++++++．3．计算：111111 111313151517171919212123 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯4．计算：1－15－145－1117－1221－13575. 计算: 1－112+－1123++－11234+++－…－1.123450++++⋅⋅⋅+6．计算：111111 1.392781243729 ++++++7．计算：8751323321 (464)(1) 100231050523÷+⨯-⨯-．8．计算：(313＋524＋735＋946)÷(123＋234＋345＋456).9.计算：7891011345677891011⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯.10.计算:22222 123234345192021202122 ---⋅⋅⋅--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯.你知道吗传说德国伟大的数学家、物理学和天文学家高斯(C．F．Gauss，1777～1855)很小的时候就表现出了非凡的数学才能，他在10岁的那年还在读小学，一次老师出了一道1＋2＋3＋…＋100＝?的数学题目，老师刚说完，高斯就能答出等于5050．令同伴们都惊讶不已!高斯不仅喜欢数学，还非常喜欢古代语，他在大学一年级发明了二次互反律，二年级得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作出的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题，高斯的数学成就遍及数学的各个领域，被誉为历史上伟大的数学家之一．高斯还在天文学和物理学方面作出许多重要贡献．第4讲估算的技巧在日常生活、科学研究及工程建设中，往往会遇到比较复杂的计算，许多情况下，我们没有必要也不可能算出绝对精确的结果，这时，只需估算一个大致结果就可以了，估算常常运用取近似值、放与缩等技巧进行快速、近似的计算，这是一种十分重要的计算方法．熟练掌握这种算法不仅可以帮助我们解决问题，还可以用来检验计算结果是否正确．例1 试用估算法检验下列计算是否正确．534×78＝543思维点拨因为一个因数78小于1，所以积应小于另一个因数，而543大于534,所以计算错误．例2 某校六年级三个班举行一次数学考试，六(1)班43人，平均分是81分，六(2)班46人，平均分是83分，六(3)班43人，平均分是85分，这三个班每人的平均分是( )分．A．81 B．82 C．83 D．85思维点拨根据平均数的意义，三个班每人的平均分既不能低于或等于81分，也不能高于或等于85分，所以答案A，D都是错误的，因为六(1)班和六(3)班都是43人，若从六(3)班每个同学中取2分补给六(1)班的每个同学，平均分正好是83分，又与六(2)班的平均分相同，所以应选C．例3 计算7.8＋7.98＋7.998＋···＋7.9999999998的整数部分是多少．思维点拨这道题有10个加数，分别是7.8，7.98，7.998，…，7.9999999998，从十分位起依次多一个9，两个9……九个9，把这十个数加起来，可以直接计算出结果，再确定整数部分是多少，但这样太烦琐了．实际上，和的整数部分只与十个数的个位、十分位、百分位上各数的和有关，而与百分位以下各位上的数的和没有太多关系，这样就可以减少计算的次数而得出和的整数部分．例4 求下式的整数部分： 111112000200120022009+++⋅⋅⋅+.思维点拨 先确定分母部分最小不小于几，最大不大于几，便可确定分母部分的值的范围．若这个范围很小，就能算出该式的整数部分，因为分母部分一定比10个12000小，一定比10个12009大，从而可以得到该算式的值在200到200.9之间，从而得出该算式整数部分的确定值．例5 一个四位数66能被134整除，求这个四位数除以134的商，思维点拨 原四位数一定在6006到6996之间，容易求出商的范围，再利用整除性求出这个商.例63a ，7b 都是真分数，且3a ＋7b ≈1.38，那么a b ＝ .思维点拨 先用不等式估计3a ＋7b 的大小，列出不定方程，从而求出整数解．●课内练习1．试用估算法检验下列计算是否正确．2054×113＝20362．某校六年级三个班举行一次数学考试．五(1)班41人，平均分是82分；五(2)班44人，平均分是83分；五(3)班41人，平均分是84分，这三个班每人的数学平均分是( )分．A ．82B ．84C ．83D ．83.53．求4.5＋4.65＋4.665＋…＋4.6666666665的整数部分．4.求11111100101202109+++⋅⋅⋅+的整数部分．5．求40÷(0.40＋0.41＋0.42＋…＋0.59)的商的整数部分是多少．6．下式是用四舍五入的方法计算得到的三个真分数的和，5a 十7b 十8c ≈1.35， 那么，三个自然数a ＝( )，b ＝( )，c ＝( )．●课外作业1．试用估算法检验下列计算是否正确．0.865×5.43＝4.63752．某车间加工一种机器零件，4人6小时能加工104个，照这样计算，10人加工260个零件，需要( )小时．A.6 B ．7 C ．8 D.103．设A ＝999999999999999910100100010000000000+++⋅⋅⋅+，求A 的整数部分．4.求2111110111229+++⋅⋅⋅+的整数部分．5．求10÷70＋11÷71＋12÷72＋…＋20÷80的整数部分．6．有一个算式359++≈1.71，,算式左边方框里都是整数，右边答案是四舍五入后的近似值．求算式中方框里的整数分别是多少.7．六(1)班共44名学生，A ，B ，C ，D ，E 五名同学竞选班长．已知A 得票最多，得23票，B 第二名，C ，D ，E 分别为三、四、五名，E 得3票，问B 最多得几票．8．三个真分数359xyz++≈1.35，那么x ，y ，y 各是多少？9．比较两式45678÷12345和56789÷23456的大小．10．求1111 100101102300+++⋅⋅⋅+的整数部分.你知道吗德国数学家高斯10岁的时候就能很快地算出1＋2＋3＋…＋100＝5050．那么1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝?你能很快算出来吗?宁宁能很快算出来，答案是10000，因为他记住了一个速算的方法.请看： 1＋2＋1＝4＝221＋2＋3＋2＋1＝9＝321＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42…刚有公式： 1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2.再看上面那道题目，它的答案就是1002＝10000.如果你记住了这个方法，那么你也能很快地算出这种类型的题目的答案了．第5讲最大与最小问题在日常生活中，经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等问题，我们把这炎问题统称为最大与最小问题．这类问题涉及的知识面广，题目复杂，大多数这样的问题并没有固定的解题模式，因此，解题时要根据题中给出的条件去分析、判断、推理，最后才能得出正确的答案．例1 下面是一个乘法算式．问：当乘积最大时所填的六个数字的和是多少？思维点拨从算式看，积是三位数，最大可是999.又一个因数是5，所以积是5的倍数，从而积最大只能是995.根据积与一个因数，就能求出另一个因数，使问题得到解决．例2 把16分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问：这个乘积是多少？思维点拨要想使拆成的几个自然数乘积最大，拆成的个数要尽可能多且不含1，不宜大于4，例如5，可再拆成2和3，因为2×3>5，因此，所拆成的数大于4的应再拆．还有，拆成的数中2的个数不宜多于2个，若多于2个，比如3个2，因为2＋2＋2＝6，而6＝3＋3，3×3>2×2×2，因此应尽量多拆出3来，这样可将16拆成4个3和2个2，即16＝3＋3＋3＋3＋2＋2.此时乘积最大为3×3×3×3×2×2＝324.例3 某人有一个长20米的铁丝网，他想借围墙做一面，用这个铁丝网围成一个长方形菜地，并使这块菜地的面积尽可能地大，问：这个菜地的最大面积是多少？思维点拨因为菜地四周有三面用这个铁丝网围起来，另一面借助于已有的围墙，要使这个菜地的面积最大，即使得长与宽的乘积最大．注意长与两个宽的和等于铁丝网的长度20米，为定值．当长与宽的乘积最大时，长与2倍的宽乘积也最大，反之亦对，于是问题转化为：当长与2倍宽的和为定值，即20米时，长＝2倍的宽＝10米，乘积最大，即长为10米、宽为5米时乘积最大.例4 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7和13整除，这个数最大是多少？思维点拨要使这个五位数能被3，5，7和13整除，可知这个五位数是3，5，7，13的公倍数．因为3，5，7和13的最小公倍数是3×5×7×13＝1365，这个五位数中1365的最大倍数是1365×73＝99645，但99645中有两个9重复，不符合题意，因而可将这个99645逐个减少1365，直至找出符合题意的五位数．例5 从1，2，3，…，1993，1994这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？思维点拨我们设法将这些自然数分组，使得每组中两数的差为4．由此，同组的两数中至多取出一个数，从而给出所能取出的数的个数的上界，再设法取出这些确定的数，说明这个数是可以达到的．例6 和平小学有若干名学生参加数学竞赛，每名学生的得分都是整数．已知参赛学生的总分为3063分，且前三名的分数分别是90，85，80，最低分数是50分，又已知前三名没有得分相同的学生，其他每个分数，得分相同的学生不超过4人，问：至少有多少学生不低于60分(包括前三名)?思维点拨因为问的是得60分以上的至少有多少人，那么，我们应该让得60分以下的人尽可能地多，得60分以下的人最多可得(50＋51＋52＋53＋54＋55＋56＋57＋58＋59)×4＝2180(分)，60分以上80分以下的人共得分：3063－( 90＋85＋80＋2180)＝628(分)．显然，得这628分的若干人应该是人数最少.628＝79×4＋78×4，这样，我们可以求出不低于60分的同学至少有4＋4＋3＝11(人)．●课内练习1．两个非零自然数相除商是126，余数是36，问：被除数最小是多少？2．将17拆成几个自然数的和，并使这些自然数的乘积最大，最大的积是多少？3．用长为40米的竹篱笆围成一块长方形菜地，其中一面靠墙，为使菜地面积最大，应怎样分配长与宽？最大面积是多少平方米？4．个位上的数字是4，且能被3整除的六位数有多少个？最大的六位数是多少？5．从1，2，3，…，2002中最多可以取多少个数，使得其中任意两个数之差都不等于5？6．一次数学考试的满分是100分，6名同学在这次考试中乇均得分是91分，这6名同学的得分互不相同，其中有1名同学仅得65分．那么，得分排在第3名的同学至少得多少分？●课外作业1．下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？÷25＝109……2．将30分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？3．有一块菜地长35米，宽25米，菜地中间留了1米的路，路把菜地分成四块(如图)，菜地的实际面积是多少？4．今有一队学生(300人以内)，如果每9人排成一列，最后余下4人，如果每7人排成一列，最后余下3人，问：这队学生最少有多少人？最多有多少人？5．从4，8，12，16，…，76这列数中，任取11个数，至少有两个数的差为36，请你说明这是为什么．6．五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分．那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？(每名选手的得分都是整数)7．一个三位数除以43，商是a，余数是b(a，b均为整数)，求a＋b的最大值是多少．。