圆周运动的规律及其应用

第3讲：圆周运动的规律及其应用一、 描述圆周运动的几个物理量 1、 线速度⑴定义：质点沿圆周运动通过的弧长l ∆与所用时间t ∆的比值叫线速度。

也即是单位时间通过的弧长 ⑵公式：tl v ∆∆=⑶单位：s m⑷物理意义：描述圆周运动的物体运动快慢的物理量。

注意：①线速度是矢量②线速度有平均线速度和瞬时线速度之分。

和速度一样，不作特殊说明，线速度指的都是瞬时线速度，也简称速度2、 角速度⑴定义：做圆周运动的物体与圆心的连线转过的角度θ∆与所用时间t ∆的比值叫角速度。

也即是单位时间转过的角度 ⑵公式：t∆∆=θ ⑶单位：s rad⑷物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。

注意：①角速度是矢量，角速度的方向高中阶段不研究。

②公式：t∆∆=θ中的θ∆必须用弧度制 ③一定要注意角速度的单位。

3、 周期⑴定义：做圆周运动的物体转动一周所用的时间叫周期。

⑵符号：T ⑶单位：s 4、 频率⑴定义：做圆周运动的物体1s 转动的圈数。

⑵符号：f⑶单位：Hz注意：周期和频率的关系fT 1=5、 转速⑴定义：做圆周运动的物体在单位时间转过的圈数 ⑵符号： n⑶单位：s r m in r 且1s r =60m in r注意：当转速以s r 为单位时，转速的大小和频率在数值上相等6、向心加速度⑴定义：做匀速圆周运动的物体的加速度始终指向圆心，这个加速度叫向心加速度。

⑵公式：rv a 2==r⑶单位：2s m⑷方向：总是指向圆心且与线速度垂直⑸物理意义：描述做圆周的物体速度方向变化快慢的物理量。

二、 匀速圆周运动1、 定义：线速度大小不变的圆周运动。

2、 性质：匀速圆周运动的性质可以有以下三种说法变速曲线运动匀速率曲线运动变加速曲线运动〔加速度的大小不变，方向在时刻变化〕注意：匀速圆周运动的性质不是匀速运动，也不是匀变速曲线运动 三、 描述匀速圆周运动的几个物理量的关系V= rTπ2=f T 1==2n rv a 2==r四、 几种常见的传动装置及其特点1、 同轴传动2、皮带传动 特点：物体上任意各点的特点:轮子边缘上各点线速度的大小相等，都和皮带 角速度都一样，即： C B A ωωω==的速度大小相等，即：D C B A v v v v ===3、 齿轮传动特点：两齿轮边缘上各点线速度 大小相等即：C B A v v v =例1、把地球看成一个球体，在地球外表上赤道*一点A ，北纬60°一点B ，在地球自转时，A 与B 两点角速度之比为多大.线速度之比为多大.例2、机械表中，时针、分针、秒针的运动可视为匀速转动，则分针与秒针从*次重合再次重合所经历的时间为〔〕 A 、59s B 、60s C 、min 5960 D 、min 6061变式：分针和时针从*次重合再次重合所经历的时间为多少.例3、如下图，直径为d 的纸制圆筒以角速度绕垂直纸面的轴O 匀速转动〔图示为截面〕，从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒，假设子弹在圆筒中旋转不到半周时，在圆筒上先后留下A 、B 两个弹孔，AO 与BO 的夹角为，求子弹速度大小•O •••C A R • • • • • • rD B CB AC•••五、 向心力1、物体做圆周运动时，所需向心力的大小: F 需=rmv 2=mr=ma r T m =⎪⎭⎫ ⎝⎛22π2、方向：总是指向圆心且与线速度垂直。

注意：〔1〕向心力肯定是变力。

〔2〕向心力是按照力的作用效果命名的力，它并不是物体真实受到的力，而是由其他力来提供的。

3、作用效果：产生向心加速度，改变线速度的方向，4、来源物体不会平白无故做圆周运动，要想做圆周运动必然需要向心力，但是向心力又不是物体真实受到的力，而是由其他力来提供的，下面就牵涉到向心力的来源：假设物体做匀速圆周运动，则合外力提供向心力，且合外力的大小恒定，方向始终指向圆心；假设物体做变速圆周运动，则沿半径方向上的合外力提供向心力，沿切线方向的合外力用来改变线速度的大小。

注意：匀速圆周运动的合外力不是恒定的，因此匀速圆周运动的加速度也不是恒定的。

六、解决圆周运动题目的一般方法1、确定物体在哪个平面做圆周运动，确定m 、v 、、r 等物理量，尤其是轨道半径r2、对物体进展受力分析。

⑴假设物体做匀速圆周运动，则受力分析时一定要注意满足：任意时刻、任意位置，合外力方向一定要始终指向物体轨迹圆的圆心。

⑵假设物体做变速圆周运动，受力分析后，要沿着半径方向和垂直于半径方向进展正交分解，且任意时刻、任意位置都是：沿着半径方向的合外力要指向圆心，提供向心力；沿着切线方向的力用来改变物体线速度的大小。

3、根据圆周运动的中心等式需提F F =列方程，该步具体步骤如下：⑴提F 的表达式写法：由向心力的来源可知：假设物体做匀速圆周运动，则提F 的表达式就是合外力的表达式；假设物体做变速圆周运动，则提F 的表达式就是沿半径方向合外力的表达式。

⑵需F 的表达式写法：根据解题需要从rmv 2或mr 或r T m 22⎪⎭⎫⎝⎛π或ma 中选一个恰当的方便的表达式即可。

⑶令提F 的表达式和需F 的表达式相等建立圆周运动中心方程即可。

注意：①圆周运动的中心等式是两个表达式相等，且提F 的表达式要写在等式的左边，需F 的表达式要写在等式的右边。

②只要物体做圆周运动，则任意时刻、任意位置都要满足圆周运动的中心等式。

列方程时，一般都要明确研究对象及其位置。

七、圆周运动的向心力与合外力1、匀速圆周运动：线速度大小不变的圆周运动。

2、变速圆周运动：线速度大小改变的圆周运动。

八、生活中常见的圆周运动模型 1、 水平转盘 如下图，要使小物块随着水平转盘一起转动不被“甩出去〞， 圆盘转动的最大角速度为r g m μω=试分析并说明小物块离中心越远越容易被甩出去还是离中心 越近越容易被甩出去. 2、 圆锥筒、圆锥摆 ⑴圆锥筒例4、如下图，一质量为m 的小球在一壁光滑的圆锥筒里 做匀速圆周运动，轨道半径为r ，〔〕求 ⑴小球所受支持力大小⑵小球的线速度、角速度和周期大小例5、如下图，壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量一样的小球A 和B 紧贴着壁分别在如图所示的水平面做匀速圆周运动，则〔〕A ．球A 的线速度一定大于球B 的线速度B ．球A 的角速度一定大于球B 的角速度C ．球A 的向心加速度一定大于球B 的向心加速度D ．球A 对筒壁的压力一定大于球B 对筒壁的压力 ⑵圆锥摆例6、如下图小球在水平面做匀速圆周运动，m 、L 、、g 求:⑴小球所受拉力的大小⑵小球的线速度、角速度和周期大小 3、 汽车过拱形桥与凹形桥 ⑴拱形桥如右图为拱形桥模型，当汽车通过拱形桥的最高点时，由r v m N mg 2=-，因此可以求出桥对车的支持力，mg rvmmg N <-=2，故汽车处于失重状态。

且当 gr v =时 N=0 ，汽车将立即脱离桥面做平抛运动。

⑵凹形桥如右图为凹形桥模型，当汽车通过拱形桥的最低点时，由rv m mg N 2=-，因此可以求出桥对车的支持力，⑴合F 指向圆心，完全充当向心力，即：合F = n F ⑵合只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 ⑶ 只有n a 且n a a = ⑴合F 不指向圆心，它沿半径方向上的分力n F 充当向心力 ⑵合F 沿半径方向上的分力n F 用来改变线速度的方向，垂直于半径方向上的分力τF 用来改变线速度的大小⑶ 同时有n a 和τa 且a 是n 和τa 的和加速度θθLNmgNmgω r v AA •• ）（nn a F ）（合a F )ττF （ OA v A • •）（合a F Omg rv m mg N >+=2，故汽车处于超重状态。

且曲率半径越小越容易爆胎。

4、 火车转弯模型思考：火车转弯处，外轨都会比轨垫的稍微高一些，这是为什么呢.为什么轨、外轨不是一样高的呢.其实，火车在转弯处除了外轨要比轨高一些之外，还有其他一些规定，如火车在转弯处都有规定的速度，下面就介绍一下。

⑴火车转弯的限定速度 如下图，铁轨间距为L ，、外轨的高度差为h ，转弯的轨道半径为r ，火车的质量为m ，设此时火车转弯时刚好既不挤压外轨，又不挤压轨，对火车 进展受力分析如图，由牛顿第二定律可得：rvm mg 20tan =θ ,因为在很小时，θθsin tan ≈所以r v m mg 20sin =θ，又因为Lh=θsin ，固有r v m L h mg 20=，可解得：Lghrv =0 此速度即为火车转弯时的限定速度。

⑵火车转弯时侧压力的分析①当火车的行驶速度0v v =时，它转弯所需要的向心力刚好由重力和轨道的支持力的合力来提供，此时火车轮缘既不挤压轨，也不挤压外轨②当火车的行驶速度0v v >时，它转弯所需要的向心力大于重力和轨道的支持力的合力，故此时火车轮缘挤压外轨③当火车的行驶速度0v v <时，它转弯所需要的向心力小于重力和轨道的支持力的合力，故此时火车轮缘挤压轨九、竖直平面的圆周运动的两种模型 1、 无支撑物的 ⑴模型图⑵通过最高点的临界条件：①无支持的物体刚好、恰好、正好通过最高点的临界条件是：物体受到的弹力〔压力或拉力〕刚好为0，即：N 〔T 〕=0 ②只在重力场中，无支持物刚好通过最高点的临界速度：gr v =临〔由gr v rv mmg =⇒=临临2〕⑶对最高点进展讨论分析 ①当gr v =时，物体刚好通过最高点，绳或轨道对物体无弹力作用。

O mgF 合 N •θhL• 绳v 圆轨道V②当grv>时，物体能通过最高点，绳或轨道对物体有向下弹力作用。

③当grv<时，物体不能通过最高点。

⑷对最低点进展分析由于物体在最低点受到的重力竖直向下、故弹力必竖直向上，故有2、有支撑物的⑴模型图=临①当0=v时，物体刚好通过最高点，由rvmNmg2=+可知mgN-=即：杆或管道对物体的弹力大小等于重力，方向：竖直向上。

〔此时设弹力方向向下〕此时对于杆子：杆子产生的是支持力；对于管道：物体挤压管壁。

②当grv<<0时，由rvmNmg2=-可知02>-=rvmmgN即：杆或管道对物体的弹力大小等于rvmmg2-，方向竖直向上。

〔此时设弹力方向向上〕此时对于杆子：杆子产生的是支持力；对于管道：物体挤压管壁。

③当grv=时，由rvmNmg2=-可知0=N即：杆或管道对物体的弹力大小等于0，即杆或管道对物体没有弹力的作用。

〔此时设弹力方向向上〕④当grv>时，由rvmNmg2=-可知02<-=rvmmgN即：杆或管道对物体的弹力大小等于rvmmg2-，方向竖直向下。

〔此时设弹力方向向上〕此时对于杆子：杆子产生的是拉力；对于管道：物体挤压外管壁。