哈尔小波变换
哈尔小波变换
哈尔小波变换哈尔小波变换是于1909年由Alfréd Haar所提出，是小波变换(Wavelet transform)中最简单的一种变换，也是最早提出的小波变换。
他是多贝西小波的于N=2的特例，可称之为D2哈尔小波的母小波(mother wavelet)可表示为：且对应的缩放方程式(scaling function)可表示为：目录•1 特性•2 哈尔变换•3 哈尔小波变换应用于图像压缩• 3.1 说明• 3.2 范例•4 哈尔小波变换运算量比沃尔什变换更少•5 参考哈尔小波具有如下的特性： (1)任一函数都可以由以及它们的位移函数所组成(2)任一函数都可以由常函数，以及它们的位移函数所组成(3) 正交性(Orthogonal)(4)不同宽度的(不同m)的wavelet/scaling functions之间会有一个关系φ(t) = φ(2t) + φ(2t ? 1)ψ(t) = φ(2t) ? φ(2t ? 1)(5)可以用 m+1的系数来计算 m 的系数若Haar Transform最早是由A. Haar在1910年“Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme”中所提出，是一种最简单又可以反应出时变频谱（time-variant spectrum）的表示方法。
其观念与Fourier Transform相近，Fourier Transform的原理是利用弦波sine 与cosine来对信号进行调制；而Haar Transform则是利用Haar function来对信号进行调制。
Haar function也含有sine、cosine所拥有的正交性，也就是说不同的Haar function是互相orthogonal，其内积为零。
以下面N=8的哈尔变换矩阵为例，我们取第一列和第二列来做内积，得到的结果为零；取第二列和第三列来做内积，得到的结果也是零。
Harr小波
图I(x)用V2中的哈尔基表示
（2）用V 1, W 1中的函数表示
生成矢量空间V 1的基函数为 生成矢量空间W1的小波函数为 根据
V 2 V 0 W 0 W1
01 ( x)和11 ( x)
1 1 0 ( x)和 1 ( x)
I(x)可表示成
0 0 1 1 1 I ( x) c0 0 ( x ) d 00 00 ( x) d 0 0 ( x) d11 1 ( x)
Harr基函数
• 基函数是一组线性无关的函数，可以用来 构造任意给定的信号； • 1990年提出，由一组分段常值函数组成的 函数集 • 函数集定义在[0,1），分段常值在一定的 范围内是1，其他为0
如果一图象仅含有20 1个像素，该图象在整个[0,1） 上就是一个常值函数（00(x)）,用V 0表示这个常值函数 生成的矢量空间，即： 1 0 x<1 0 0 V ：0 (x)={ 0 其他
Harr小波函数
小波函数通常用 i j(x)表示，与框函数对应的小波称 为Haar小波函数，定义如下： 1 (x) {1 0 0 x 1/ 2 1/2 x 1 其他
Haar小波尺度函数 i j(x )定义为：
i j(x) (2 j x i)
生成矢量空间W 0的Haar小波： 1 0 0(x) {1 0 0 x 1/ 2 1/2 x 1 其他
0
谢谢
哈尔ห้องสมุดไป่ตู้换的特性
变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的 数据中重构出原始图像。 对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中 重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为1的 图像基础上重构出分辨率为2的图像，在分辨率为 2的图像基础上重构出分辨率为4的图像 通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小， 这就为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一 些微不足道的细节系数并不影响对重构图像的理 解
小波变换课件 第1章 Haar小波
第1章Haar小波分析1.1简介(近距离---小尺度） （高分辨率）(远距离---大尺度) （低分辨率）1.2 平均与细节设1234{,,,}x x x x 是一个信号序列。
定义它的平均和细节：1,0121,012()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了1x 、2x 和1,0a 、1,0d 的关系。
这里，1,0a 是原信号前两个值1x 、2x 的平均。
又叫低频成分，反映前两个值1x 、2x 的基本特征或粗糙趋势；1,0d 反映了1x 、2x 的差别，即细节信息，又叫高频成分。
1,1341,134()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了3x 、4x 和1,1a 、1,1d 的关系。
同样，1,1a 是原信号后两个值3x 、4x 的平均，1,1d 反映了3x 、4x 的细节。
我们把1,01,11,01,1{,,,}a a d d 看作是对1234{,,,}x x x x 实施了一次变换的结果。
变换还可以往下进行：0,01,01,1()/2a a a =+=1234(()/2()/2)/2x x x x +++ =1234()/4x x x x +++0,0a 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2d a a =-。
经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：0,00,01,01,1{,,,}a d d d该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,a d d d 叫做小波系数。
还可以反过来表示：111,0211,0x a d x a d =+⎫⎬=-⎭这是用｛1a ,1,0d ｝来恢复原信号1x 、2x ；321,1421,1x a d x a d =+⎫⎬=-⎭用｛2a ,1,1d ｝来恢复原信号3x 、4x 。
也就是反变换。
小波变换过程的塔式算法：例如，1234{,,,}x x x x ＝｛3，1，－2，4｝最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}a d d d =31{,,1,3}22-1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar 尺度函数不压缩：不位移 位移一个单位 位移k 个单位t1)-压缩1/12倍，不位移压缩1/12倍，位移一个单位 压缩1/2j倍，移位K 个单位一般,()(2)j j k t t k φφ=-，0,1,2,...,21j k =-◆ 几个术语1） 支撑（支集），（尺度）函数,()j k t φ不为零的区间，上例中为1[,]22j j k k +。
多媒体技术基础第3版课后答案
(7)
cb
(8)
bab
(9)
baba
(10)
aa
(11)
aaa
(12)
aaa
…
…
输出码字
(1) (2) (4) (3) (5) (8) (1) (10) (11) …
2.7 LZ78 算法和LZ77 算法的差别在哪里？ (1) LZ77 编码算法的核心是查找从前向缓冲存储器开始的最长的匹配串(2.4.2 LZ77 算
3.3 什么叫做采样？什么叫做量化？什么叫做线性量化？什么叫做非线性量化？ (1) 采样：在某些特定的时刻对模拟信号进行测量的过程。 (2) 量化：幅值连续的模拟信号转化成为幅值离散的数字信号的过程。 (3) 线性量化：在量化时，信号幅度的划分是等间隔的量化。 (4) 非线性量化：在量化时，信号幅度的划分是非等间隔的量化。
2.8 LZSS算法和LZ77 算法的核心思想是什么？它们之间有什么差别？ (1) LZSS通过输出真实字符解决了在窗口中出现没有匹配串的问题，但这个解决方案包
含有冗余信息。(2.4.3 LZSS算法) (2) LZ77 编码算法的核心是查找从前向缓冲存储器开始的最长匹配串(2.4.2 LZ77 算法)
3.1 音频信号的频率范围大约多少？话音信号频率范围大约多少？ (1) Audio: 20~20000 Hz (2) Speech: 300~3400 Hz
3.2 什么叫做模拟信号？什么叫做数字信号？ (1) 模拟信号是幅度或频率发生连续变化的一种信号。 (2) 数字信号是以二进制代码形式表示有无或高低的一种信号。
1.2 超链接是什么？ 超链接(hyper link)是两个对象或元素之间的定向逻辑链接，是一个对象指向另一个对象
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第8章 小波与小波变换
1. 小波简介 2. 哈尔函数 3. 一维哈尔小波变换 4. 二维哈尔小波变换
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如果没有现成的小波可用，还需要自己 开发合适的小波。
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消失矩(vanishing moments)
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缩放因子
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如果用字母a表示缩放因子 正弦函数f(t)=sin(t)，缩放因子a=1 正弦函数f(t)=sin(t/2)，缩放因子a=2 正弦函数f(t)=sin(t/4)，缩放因子a=4
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但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时 间，时间方面的局部化信息基本丢失。
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8.1.1 小波简史
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小波分析知识点总结
小波分析知识点总结小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。
小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。
下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。
但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。
离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。
通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。
这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。
小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。
小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)
第八章小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。
1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。
傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。
傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。
傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)()()π2,02L x f ∈∀，()∑∞-∞==k ikxkec x f (8.1-1)其中 ()dx e x f c ikx k -⎰=ππ2021 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。
因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)()()dx e x f F x j ωω⎰∞∞-= (8.1-3)()()ωωπωd e F x f x j -∞∞-⎰=21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。
对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。
由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。
在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。
HAAR小波变换
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8.1.2 小波概念
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小波是定义在有限间隔而且其平均值为 零的一种函数。
小波函数在时域和频域中都应该具有某种程度 的平滑度(smoothness)和集中性 (concentration)
可以使用消失矩(vanishing moments)来描述，
用N表示小波的消失矩的数目。
例如，Daubechies小波简写成dbN， db1,
db2, ……，db9，从Daubechies小波波形来
它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶 分析中的地位。
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Inrid Daubechies，Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家把这个小波理论引 入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。
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选择
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初识哈尔连续小波基函数的定义
=
akf
kÎ ¢
(x -
k ),ak
?
¡
a2
a0
a-1
-1
0
1
2
3
4
a1
a3
➢ V 0 是所有不连续点仅在整数集中的分段常量函数所组成 的集合（空间）
初识哈尔
➢ 令所有能用 f (2x)线性表示的函数组成的集合为
å V1 =
禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪f f
=
akf
kÎ ¢
(2x -
k ),ak
?
¡
➢ 支集
-?
➢ Wave与Wavelet
➢ 窗口的影响
初识哈尔
➢ 1909年，哈尔利用Haar函数给出了一个规范正交系 统，用来表示定义在实数域上的平方可积函数空间
➢ Haar尺度函数 (Scale Function)的定义
➢ 令所有能用尺度函初数线识性表哈示的尔函数组成的集合为
å V 0 =
禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪f f
f (x) = f0 (x) + f1 (x ) + 2f2 (x ) + 4f3 (x ) + f4 (x )
重温傅立叶
➢ 傅立叶变换：将信号表示成一组正弦和余弦之和
f (x) = f0 (x) + f1 (x ) + 2f2 (x ) + 4f3 (x ) + f4 (x )
8
6
4
2
0
0
1
2
3
➢ 窗口的大小和形状是固定的，没有自适应性 ➢ 海森堡测不准原理
t 1
2
➢ 没有任何一种窗口傅立叶变换，能使时间分辨率和频率 分辨率同时达到任意小
小波变换完美通俗解读
这是《小波变换和motion信号处理》系列的第二篇，深入小波。
第一篇我进行了基础知识的铺垫，第三篇主要讲解应用。
在上一篇中讲到，每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。
而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。
缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。
小波展开的近似形式是这样：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。
但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。
首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。
那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。
但是，母小波并非唯一的原始基。
在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。
它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。
可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。
其中是母小波，是父小波。
需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。
但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。
引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。
小波变换基础以及haar小波.资料
傅里叶变换
这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。
f (t) k1e1(t) k2e2(t) ...... knen(t)
如果 n ， 那么 f (t) kiei (t)
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
CWT（连续小波变换）
设函数
(t) L1(R) L2(R) ，若其FT满足条件:
|ˆ() |2 d
R | |
则称φ(t)为一个小波母函数.
φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限.
φ(t) 满足 R(t) dt 0 意味着小波函数具有波动性.
⑷等内积特性
Wf (a, b) f (t), a,b (t) F (), Φa,b ()
⑸能量守恒特性
R
R|Wf
(a,
b)
|2
a,b (t )
dadb a2
C
||
R
f (t) ||2dt
⑹具有可变的时间频率窗
连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频 窗口的形状变化，而窗口面积固定不变.
哈尔小波变换的原理及其实现（Haar）
哈尔小波变换的原理及其实现（Haar）另外参见俄罗斯写的/Articles/22243/Real-Time-Object-Tracker-in-CHaar小波在图像处理和数字水印等方面应用较多，这里简单的介绍一下哈尔小波的基本原理以及其实现情况。
一、Haar小波的基本原理数学理论方面的东西我也不是很熟悉，这边主要用简单的例子来介绍下Haar小波的使用情况。
例如：有a=[8,7,6,9]四个数，并使用b[4]数组来保存结果.则一级Haar小波变换的结果为:b[0]=(a[0]+a[1])/2, b[2]=(a[0]-a[1])/2b[1]=(a[2]+a[3])/2, b[3]=(a[2]-a[3])/2即依次从数组中取两个数字，计算它们的和以及差，并将和一半和差的一半依次保存在数组的前半部分和后半部分。
例如：有a[8]，要进行一维Haar小波变换，结果保存在b[8]中则一级Haar小波变换的结果为:b[0]=(a[0]+a[1])/2, b[4]=(a[0]-a[1])/2b[1]=(a[2]+a[3])/2, b[5]=(a[2]-a[3])/2b[2]=(a[4]+a[5])/2, b[6]=(a[4-a[5]])/2b[3]=(a[6]+a[7])/2, b[7]=(a[6]-a[7])/2如果需要进行二级Haar小波变换的时候，只需要对b[0]-b[3]进行Haar小波变换.对于二维的矩阵来讲，每一级Haar小波变换需要先后进行水平方向和竖直方向上的两次一维小波变换,行和列的先后次序对结果不影响。
二、Haar小波的实现使用opencv来读取图片及像素，对图像的第一个8*8的矩阵做了一级小波变换#include <cv.h>#include <highgui.h>#include <iostream>using namespace std;int main(){IplImage* srcImg;double imgData[8][8];int i,j;srcImg=cvLoadImage("lena.bmp",0);cout<<"原8*8数据"<<endl;for( i=0;i<8;i++){for( j=0;j<8;j++){imgData[i][j]=cvGetReal2D(srcImg,i+256,j+16); cout<<imgData[i][j]<<" ";}cout<<endl;}double tempData[8];//行小波分解for( i=0;i<8;i++){for( j=0;j<4;j++){double temp1=imgData[i][2*j];double temp2=imgData[i][2*j+1]; tempData[j]=(temp1+temp2)/2;tempData[j+4]=(temp1-temp2)/2;}for( j=0;j<8;j++)imgData[i][j]=tempData[j];}//列小波分解for( i=0;i<8;i++){for( j=0;j<4;j++){double temp1=imgData[2*j][i]; double temp2=imgData[2*j+1][i]; tempData[j]=(temp1+temp2)/2; tempData[j+4]=(temp1-temp2)/2; }for( j=0;j<8;j++)imgData[j][i]=tempData[j];}cout<<"1级小波分解数据"<<endl; for( i=0;i<8;i++){for( j=0;j<8;j++){cout<<imgData[i][j]<<" ";}cout<<endl;}//列小波逆分解for( i=0;i<8;i++){for( j=0;j<4;j++){double temp1=imgData[j][i]; double temp2=imgData[j+4][i]; tempData[2*j]=temp1+temp2; tempData[2*j+1]=temp1-temp2; }for( j=0;j<8;j++){imgData[j][i]=tempData[j];}}//行小波逆分解for( i=0;i<8;i++){for( j=0;j<4;j++){double temp1=imgData[i][j]; double temp2=imgData[i][j+4]; tempData[2*j]=temp1+temp2; tempData[2*j+1]=temp1-temp2; }for( j=0;j<2*4;j++){imgData[i][j]=tempData[j];}}cout<<"1级小波逆分解数据"<<endl; for( i=0;i<8;i++){for( j=0;j<8;j++){cout<<imgData[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return 0;}====================================== ===================================== /// 小波变换Mat WDT( const Mat &_src, const string _wname, const int _level )const{int reValue = THID_ERR_NONE;Mat src = Mat_<float>(_src);Mat dst = Mat::zeros( src.rows, src.cols, src.type() );int N = src.rows;int D = src.cols;/// 高通低通滤波器Mat lowFilter;Mat highFilter;wavelet( _wname, lowFilter, highFilter );/// 小波变换int t=1;int row = N;int col = D;while( t<=_level ){///先进行行小波变换for( int i=0; i<row; i++ ){/// 取出src中要处理的数据的一行Mat oneRow = Mat::zeros( 1,col, src.type() );for ( int j=0; j<col; j++ ){oneRow.at<float>(0,j) = src.at<float>(i,j);}oneRow = waveletDecompose( oneRow, lowFilter, highFilter ); /// 将src这一行置为oneRow中的数据for ( int j=0; j<col; j++ ){dst.at<float>(i,j) = oneRow.at<float>(0,j);}}#if 0//normalize( dst, dst, 0, 255, NORM_MINMAX );IplImage dstImg1 = IplImage(dst);cvSaveImage( "dst.jpg", &dstImg1 );#endif/// 小波列变换for ( int j=0; j<col; j++ ){/// 取出src数据的一行输入Mat oneCol = Mat::zeros( row, 1, src.type() );for ( int i=0; i<row; i++ ){oneCol.at<float>(i,0) = dst.at<float>(i,j);}oneCol = ( waveletDecompose( oneCol.t(), lowFilter, highFilter ) ).t();for ( int i=0; i<row; i++ ){dst.at<float>(i,j) = oneCol.at<float>(i,0);}}#if 0//normalize( dst, dst, 0, 255, NORM_MINMAX );IplImage dstImg2 = IplImage(dst);cvSaveImage( "dst.jpg", &dstImg2 );#endif/// 更新row /= 2;col /=2;t++;src = dst;}return dst;}/// 小波逆变换Mat IWDT( const Mat &_src, const string _wname, const int _level )const{int reValue = THID_ERR_NONE;Mat src = Mat_<float>(_src);Mat dst = Mat::zeros( src.rows, src.cols, src.type() );int N = src.rows;int D = src.cols;/// 高通低通滤波器Mat lowFilter;Mat highFilter;wavelet( _wname, lowFilter, highFilter );/// 小波变换int t=1;int row = N/std::pow( 2., _level-1);int col = D/std::pow(2., _level-1);while ( row<=N && col<=D ){/// 小波列逆变换for ( int j=0; j<col; j++ ){/// 取出src数据的一行输入Mat oneCol = Mat::zeros( row, 1, src.type() );for ( int i=0; i<row; i++ ){oneCol.at<float>(i,0) = src.at<float>(i,j);}oneCol = ( waveletReconstruct( oneCol.t(), lowFilter, highFilter ) ).t();for ( int i=0; i<row; i++ ){dst.at<float>(i,j) = oneCol.at<float>(i,0);}}#if 0//normalize( dst, dst, 0, 255, NORM_MINMAX );IplImage dstImg2 = IplImage(dst);cvSaveImage( "dst.jpg", &dstImg2 );#endif///行小波逆变换for( int i=0; i<row; i++ ){/// 取出src中要处理的数据的一行Mat oneRow = Mat::zeros( 1,col, src.type() );for ( int j=0; j<col; j++ ){oneRow.at<float>(0,j) = dst.at<float>(i,j);}oneRow = waveletReconstruct( oneRow, lowFilter, highFilter );/// 将src这一行置为oneRow中的数据for ( int j=0; j<col; j++ ){dst.at<float>(i,j) = oneRow.at<float>(0,j);}}#if 0//normalize( dst, dst, 0, 255, NORM_MINMAX );IplImage dstImg1 = IplImage(dst);cvSaveImage( "dst.jpg", &dstImg1 );#endifrow *= 2;col *= 2;src = dst;}return dst;}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////////////////////// 调用函数/// 生成不同类型的小波，现在只有haar，sym2void wavelet( const string_wname, Mat &_lowFilter, Mat &_highFilter )const{if ( _wname=="haar" || _wname=="db1" ){int N = 2;_lowFilter = Mat::zeros( 1, N, CV_32F );_highFilter = Mat::zeros( 1, N, CV_32F );_lowFilter.at<float>(0, 0) = 1/sqrtf(N);_lowFilter.at<float>(0, 1) = 1/sqrtf(N);_highFilter.at<float>(0, 0) = -1/sqrtf(N);_highFilter.at<float>(0, 1) = 1/sqrtf(N);}if ( _wname =="sym2" ){int N = 4;float h[] = {-0.483, 0.836, -0.224, -0.129 };float l[] = {-0.129, 0.224, 0.837, 0.483 };_lowFilter = Mat::zeros( 1, N, CV_32F );_highFilter = Mat::zeros( 1, N, CV_32F );for ( int i=0; i<N; i++ ){_lowFilter.at<float>(0, i) = l[i];_highFilter.at<float>(0, i) = h[i];}}}/// 小波分解Mat waveletDecompose( const Mat &_src, const Mat &_lowFilter, const Mat &_highFilter )const{assert( _src.rows==1 && _lowFilter.rows==1 && _highFilter.rows==1 );assert( _src.cols>=_lowFilter.cols && _src.cols>=_highFilter.cols );Mat &src = Mat_<float>(_src);int D = src.cols;Mat &lowFilter = Mat_<float>(_lowFilter);Mat &highFilter = Mat_<float>(_highFilter);/// 频域滤波，或时域卷积；ifft( fft(x) * fft(filter)) = cov(x,filter) Mat dst1 = Mat::zeros( 1, D, src.type() );Mat dst2 = Mat::zeros( 1, D, src.type() );filter2D( src, dst1, -1, lowFilter );filter2D( src, dst2, -1, highFilter );/// 下采样Mat downDst1 = Mat::zeros( 1, D/2, src.type() );Mat downDst2 = Mat::zeros( 1, D/2, src.type() );resize( dst1, downDst1, downDst1.size() );resize( dst2, downDst2, downDst2.size() );/// 数据拼接for ( int i=0; i<D/2; i++ ){src.at<float>(0, i) = downDst1.at<float>( 0, i );src.at<float>(0, i+D/2) = downDst2.at<float>( 0, i );}return src;}/// 小波重建Mat waveletReconstruct( const Mat &_src, const Mat &_lowFilter, const Mat &_highFilter )const{assert( _src.rows==1 && _lowFilter.rows==1 && _highFilter.rows==1 );assert( _src.cols>=_lowFilter.cols && _src.cols>=_highFilter.cols );Mat &src = Mat_<float>(_src);int D = src.cols;Mat &lowFilter = Mat_<float>(_lowFilter);Mat &highFilter = Mat_<float>(_highFilter);/// 插值;Mat Up1 = Mat::zeros( 1, D, src.type() );Mat Up2 = Mat::zeros( 1, D, src.type() );/// 插值为0//for ( int i=0, cnt=1; i<D/2; i++,cnt+=2 )//{// Up1.at<float>( 0, cnt ) = src.at<float>( 0, i ); ///< 前一半// Up2.at<float>( 0, cnt ) = src.at<float>( 0, i+D/2 ); ///< 后一半//}/// 线性插值Mat roi1( src, Rect(0, 0, D/2, 1) );Mat roi2( src, Rect(D/2, 0, D/2, 1) );resize( roi1, Up1, Up1.size(), 0, 0, INTER_CUBIC );resize( roi2, Up2, Up2.size(), 0, 0, INTER_CUBIC );/// 前一半低通，后一半高通Mat dst1 = Mat::zeros( 1, D, src.type() );Mat dst2= Mat::zeros( 1, D, src.type() );filter2D( Up1, dst1, -1, lowFilter );filter2D( Up2, dst2, -1, highFilter );/// 结果相加dst1 = dst1 + dst2;return dst1;}====================================== =====================================*************************************************************** **************************************************其他代码实现*************************************************************** **************************************************// 哈尔小波.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
DWT
小波变换主要思想
母小波（基本小波） 母小波（基本小波）
特点： 特点：并不唯一 满足条件： 满足条件： 1、函数曲线下的总面积为 ，函数在时间轴上上下振动呈现波 、函数曲线下的总面积为0， 的外观 有限区间上的局部函数， 2、定义在有限区间上的局部函数，只能在某个有限区间内取 、定义在有限区间上的局部函数 在区间外为0或近似为 或近似为0 值，在区间外为 或近似为 3、满足相容性条件（存在逆变换的要求） 、满足相容性条件（存在逆变换的要求）
W5/3小波提升方案方框图 小波提升方案方框图
D9/7小波提升方案 小波提升方案
D9/7小波提升方案方框图 小波提升方案方框图
小波变换在图像压缩领域的应用
假设有一幅灰度图像，其中的一个图像块矩阵表示如下： 假设有一幅灰度图像，其中的一个图像块矩阵表示如下：
小波变换在图像压缩领域的应用
三级哈尔小波变换后结果： 三级哈尔小波变换后结果： 门限值为5 量化后结果： 门限值为5，量化后结果：
只能反应信号所包含的所有频率分量， 只能反应信号所包含的所有频率分量，并不能指明这些频率分量出 现在哪些时刻，也不能指明在任意时刻，信号都包含哪些频率分量, 现在哪些时刻，也不能指明在任意时刻，信号都包含哪些频率分量,因此 缺乏信号的局部化分析能力
小波由来
原因： 原因：
傅立叶变换中的基函数（正弦函数和余弦函数）是无限长的，它们收集 傅立叶变换中的基函数（正弦函数和余弦函数）是无限长的，它们收集f(t) 不同的频率分量， 不同的频率分量，但不管这些频率分量出现的时刻
常见的基本小波
小波变换
小波基函数
由基本小波经伸缩和平移得到， 由基本小波经伸缩和平移得到，若 表示为： 基函数 表示为 表示基本小波， 表示基本小波，则形成的一组小波
图像纹理特征提取方法综述
图像纹理特征提取方法综述一、本文概述随着计算机视觉和图像处理技术的飞速发展，图像纹理特征提取已成为该领域的一个重要研究方向。
纹理作为图像的基本属性之一，反映了图像的局部模式和结构信息，对于图像识别、分类、分割等任务具有至关重要的作用。
本文旨在全面综述图像纹理特征提取方法的研究现状和发展趋势，以期为相关领域的研究人员提供有益的参考和启示。
本文将首先介绍纹理特征提取的基本概念和研究意义，阐述其在图像处理和分析中的重要性。
随后，将详细综述经典的纹理特征提取方法，包括基于统计的方法、基于结构的方法、基于模型的方法和基于变换的方法等，分析它们的优缺点和适用范围。
在此基础上，本文将重点介绍近年来新兴的深度学习纹理特征提取方法，包括卷积神经网络（CNN）、循环神经网络（RNN）等，探讨它们在纹理特征提取方面的优势和应用前景。
本文还将对纹理特征提取方法的应用领域进行简要介绍，包括图像分类、目标检测、图像分割等，并展望未来的研究方向和挑战。
通过本文的综述，我们希望能够为相关领域的研究人员提供全面的纹理特征提取方法知识，促进该领域的进一步发展。
二、纹理特征提取的基本概念和原理纹理是图像的一种重要属性，描述了图像局部区域的像素排列模式和重复结构。
纹理特征提取旨在从图像中识别并量化这些模式，以用于诸如图像分类、目标识别、场景理解等计算机视觉任务。
在进行纹理特征提取时，主要涉及到几个核心概念，包括滤波器、特征向量、统计量以及纹理模型。
滤波器：滤波器在纹理特征提取中扮演着关键角色，用于检测图像中的特定频率和方向信息。
常见的滤波器包括Gabor滤波器、小波变换滤波器、局部二值模式（LBP）滤波器等。
这些滤波器能够在不同尺度上提取图像的局部信息，从而捕获到纹理的精细结构。
特征向量：通过滤波器处理后的图像数据需要进一步转化为特征向量，以便进行后续的分析和比较。
特征向量通常是一组数值，用于量化图像中某一区域的纹理特征。
常见的特征向量包括灰度共生矩阵（GLCM）的统计量、傅里叶变换系数、小波变换系数等。
小波变换分解与重构
小波变换分解与重构小波变换（Wavelet Transform）是信号分析的一种重要工具，以其优良的时频局部性特性，被广泛应用于信号处理、图像处理、音频压缩等领域。
小波变换既可以对信号进行分解，也可以进行重构，实现从时域到频域的转换。
小波分解是指将信号分解为不同尺度、不同频率的子信号，以便对信号的各个频段分别进行分析。
在小波分解中，采用不同长度的小波基函数（Wavelet）对信号进行卷积运算，得到小波系数，其代表了信号在不同频率和尺度下的能量分布。
常用的小波函数有Haar小波、Daubechies小波等，选择不同的小波函数可以适应不同的信号特性。
小波变换的分解过程可以看作是一个多分辨率分析的过程。
通过多级分解，可以分解出信号的低频分量和高频分量。
低频分量代表了信号的整体趋势，而高频分量代表了信号的细节信息。
分解直到最后一层，得到的低频部分就是信号的近似部分，而高频部分则代表了信号的细节信息，也称为细节系数。
通过不同的分解层数，可以得到不同尺度上的细节系数，从而实现对信号的多尺度分析。
小波重构是指根据分解得到的低频部分和高频部分，重新合成原始信号的过程。
通过逆向的小波变换，可以从小波系数中恢复出原始信号。
重构的过程可以分为逐层重构和全局重构两种方法。
逐层重构是指从最高频率的细节系数开始逐步重构，直到最后得到完整的信号。
全局重构是指直接从低频部分开始重构，将所有细节系数一次性加回来，得到完整的信号。
重构的结果与原始信号相比，通常存在一定的误差，但可以通过调整小波系数的阈值或适当选择小波基函数来减小误差。
小波变换的分解与重构在信号处理中具有广泛的应用。
在图像处理中，可以利用小波变换将图像分解为不同频带的子图像，以实现图像增强、去噪、压缩等功能。
在音频处理中，可以利用小波变换对音频信号进行分析，实现音频特征提取、语音识别等任务。
在通信领域，小波变换可以用于信号的压缩和解压缩，以提高信号传输效率。
总之，小波变换的分解与重构是信号分析的一种有效方法，在各个领域都有广泛的应用。
哈工大小波理论及应用 第3章哈尔小波分析
lZ j l
f 可由以高为 a 、宽为 l / 2 j x (l 1) / 2 j 的阶
梯函数表示。
2.重构算法
研究对象：
f ( x) f 0 ( x) w0 ( x) ... w j 1 ( x)
其中，
0 f 0 ( x) ak ( x k ) V0
重构算法
（Haar重构）设
f f 0 w0 w1 ... w j 1
这里，
0 f 0 ( x) ak ( x k ) V0 kZ
w j ( x) bkj (2 j x k ) W j
0 j j
那么
kZ
f ( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ alj (2 j x l ) V j
k 1,0 k 1,0
结果 H ( x) (h * x) 1 x 1 x k k k k 1
2 2 1 1 L( x) k (l * x) k xk xk 1 2 2
分解实现
1 1 H ( x) 2 k (h * x) 2 k x2 k x2 k 1 2 2 1 1 L( x) 2 k (l * x) 2 k x2 k x2 k 1 2 2
下取样 算子D
分解公式表示为：
bkj 1 DH (a j ) k
H
akj 1 DL(a j ) k 2
b j 1 a j 1
aj
L
2
4.重构实现
重构算法： 和 L ，相应的冲击相应为： 两个离散滤波器 H
(...0...1 1...0...), l (...0...11...0...) h
matlab haar小波四层分解生成四层信号
1. 引言Matlab是一种常用的科学计算软件，其中包含了丰富的工具箱，能够帮助工程师和科学家们进行数据处理、模拟和分析。
其中，小波变换是一种强大的信号处理工具，能够将信号按照不同频率进行分解和重构。
本文将介绍如何使用Matlab对信号进行Haar小波四层分解，并生成相应的四层信号。
2. Haar小波变换的原理Haar小波变换是一种基于矩阵运算的离散小波变换方法。
通过对信号进行分解和重构，可以将信号分解成不同尺度和频率的成分，从而更好地理解和处理信号。
Haar小波变换的核心是通过一组基函数对信号进行分解和重构，这组基函数包括平均函数和差分函数。
通过对信号进行多层分解，可以得到不同尺度和频率的信号序列。
3. Matlab中Haar小波变换的使用在Matlab中，可以使用wavefun函数生成Haar小波函数。
通过指定'haar'作为第一个参数，可以获取Haar小波函数的基本信息，包括基本函数和尺度。
在进行小波分解时，可以使用wavedec函数对信号进行指定层数的小波分解。
在生成四层信号时，需要指定分解的层数为4，即进行四次分解得到四层信号。
4. 代码示例```matlab生成信号t = 0:0.01:1;x = sin(2*pi*3*t) + sin(2*pi*5*t) + sin(2*pi*7*t);进行四层Haar小波分解[c, l] = wavedec(x, 4, 'haar');生成四层信号a4 = appcoef(c, l, 'haar', 4);d4 = detcoef(c, l, 4);a3 = appcoef(c, l, 'haar', 3);d3 = detcoef(c, l, 3);a2 = appcoef(c, l, 'haar', 2);d2 = detcoef(c, l, 2);a1 = appcoef(c, l, 'haar', 1);d1 = detcoef(c, l, 1);```5. 结果分析通过以上代码，我们成功生成了原始信号和四层Haar小波分解得到的四层信号。
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哈尔小波变换
哈尔小波变换是一种常用的信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而方便地进行分析和处理。
本文将介绍哈尔小波变换的原理、应用以及在实际工程中的应用。
一、哈尔小波变换的原理
哈尔小波变换是一种离散小波变换，与传统的傅里叶变换不同，它不仅可以分解信号的频域信息，还可以分解信号的时域信息。
其基本原理是通过一系列的滤波和下采样操作，将原始信号逐步分解为不同尺度的子信号，同时保留了原始信号的能量和信息。
哈尔小波变换的核心是小波基函数，它是一组特殊的函数，具有良好的局部性和多尺度分析能力。
在哈尔小波变换中，常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
其中Haar小波是最简单的小波基函数，它只有两个非零值，可以很好地展示小波变换的基本思想。
对于一个长度为N的离散信号x，Haar小波变换可以通过以下步骤进行计算：
1.将信号x分成两部分，分别为奇数项和偶数项。
2.计算这两部分信号的平均值和差值，得到两个长度为N/2的新信号。
3.重复以上步骤，对新信号进行递归处理，直到每个子信号的长度为1。
4.将得到的所有子信号按照尺度大小排列，得到小波系数。
通过上述步骤，可以将原始信号分解成多个不同尺度的子信号，每个子信号代表了一定频率范围内的信号信息。
这些子信号可以通过逆小波变换合成为原始信号，同时也可以通过对不同尺度的子信号进行滤波和下采样操作，得到不同频率的信号信息。
二、哈尔小波变换的应用
哈尔小波变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的应用。
其中，最常见的应用是信号去噪和信号压缩。
1.信号去噪
信号在传输和采集过程中往往会受到各种噪声的干扰，这些噪声会严重影响信号的质量和可靠性。
哈尔小波变换可以通过将信号分解成多个尺度的子信号，对不同尺度的子信号进行滤波和去噪，从而去除信号中的噪声成分。
2.信号压缩
信号压缩是一种常用的信号处理方法，可以将信号的冗余信息去除，从而减小信号的存储和传输成本。
哈尔小波变换可以将信号分解成多个尺度的子信号，对不同尺度的子信号进行量化和编码，从而实现信号的压缩和恢复。
三、哈尔小波变换在实际工程中的应用
哈尔小波变换在实际工程中有广泛的应用，其中最常见的应用包括图像处理、音频处理、视频处理等。
1.图像处理
图像处理是哈尔小波变换的主要应用领域之一，可以通过将图像
分解成多个尺度的子图像，对不同尺度的子图像进行滤波和处理，从而实现图像的去噪、压缩和增强等功能。
2.音频处理
音频处理是哈尔小波变换的另一个重要应用领域，可以通过将音频信号分解成多个尺度的子信号，对不同尺度的子信号进行滤波和处理，从而实现音频的去噪、压缩和增强等功能。
3.视频处理
视频处理是哈尔小波变换的另一个重要应用领域，可以通过将视频分解成多个尺度的子视频，对不同尺度的子视频进行滤波和处理，从而实现视频的去噪、压缩和增强等功能。
四、总结
哈尔小波变换是一种常用的信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而方便地进行分析和处理。
在信号去噪和信号压缩等领域都有广泛的应用，同时也被广泛应用于图像处理、音频处理、视频处理等领域。
在实际工程中，哈尔小波变换已经成为了信号处理和图像处理领域的重要工具之一，为实现高效、可靠的信号处理和图像处理提供了有力的支持。