高等数学上 函数 教案 初等函数

教师：接下来，我们学习第一节映射与函数中的函数。

一、函数 （板书）
1. 函数的概念 （板书） 定义 设数集D ⊂R , 则称映射f : D →R 为定义在D 上的函数, 通常简记为
y =f (x ), x ∈D ,
其中x 称为自变量， y 称为因变量, D 称为定义域， 记作D f ， 即D f =D 。

函数值f (x )的全体构成的集合称为函数f 的值域，记作R f = f (D )={y| y =f (x ), x ∈D }.
2. 函数的两要素 （板书）
构成函数的两个重要因素：定义域及对应法则 .
如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.（熟记）
3. 常见函数 （板书）
（1） 函数 2y = 定义域D =(-∞, +∞)，值域W ={2}
（2） 绝对值函数：⎩⎨⎧<-≥==0
0 ||x x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f =[0, +∞)。

（3） 符号函数：⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f ={-1, 0, 1}。

（4） 取整函数：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数，称为x 的整数部 分, 记作[ x ]，例如0]7
5[=, 1]2[=, [π]=3。

把x 看作变量，函数
y = [ x ]
即为取整函数。

其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z 。

（5） 分段函数:
老师：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

符号函数和取整函数都是分段函数。

例：狄利克雷函数
1()0x y D x x ⎧==⎨⎩
当是有理数时当是无理数时 4. 函数的几种特性 （板书）
（1） 函数的有界性
设函数f (x )的定义域为D , 数集X ⊂D . 如果存在数K 1, 使得
f (x )≤K 1
对任一x ∈X 都成立, 那么称函数f (x )在X 上有上界，K 1称为函数f (x )在X 上的一个上界。

如果存在数K 2, 使得
f (x )≥ K 2
对任一x ∈X 都成立，那么称函数f (x )在X 上有下界，K 2称为函数f (x )在X 上的一个下界。

如果存在正数M , 使得
| f (x ) |≤M
对任一x ∈X 都成立，那么称函数f (x )在X 上有界; 如果这样的M 不存在, 则称函数f (x )在X 上无界。

例如
1) f (x )=sin x 在(-∞, +∞)上是有界的: |sin x |≤1.
2) 函数x
x f 1)(=在开区间(0, 1)内有下界, 无上界. （2） 函数的单调性
设函数y = f (x )的定义域为D , 区间I ⊂D . 若12x I x ∀∈，
, 当x 1<x 2时, 恒有 f (x 1)< f (x 2)
则称函数f (x )在区间I 上是单调增加的.
若12x I x ∀∈，
, 当x 1<x 2时, 恒有 f (x 1)> f (x 2),
则称函数f (x )在区间I 上是单调减少的.
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
（3） 函数的奇偶性
设函数f (x )的定义域D 关于原点对称(若x ∈D , 则-x ∈D ). 如果对于∀ x ∈D , 有
f (-x ) = f (x )
则称f (x )为偶函数.
如果对于∀x ∈D , 有
f (-x ) = -f (x ),
则称f (x )为奇函数.
奇函数和偶函数的图像最大的特点：奇函数关于原点对称，偶函数关于Y 轴对称。

（4） 函数的周期性
设函数f (x )的定义域为D . 如果存在一个正数l , 使得对于∀x ∈D 有(x ±l )∈D , 且
f (x +l ) = f (x )
则称f (x )为周期函数， l 称为f (x )的周期，一般要求是最小正周期。

例： f (x )=sin2x 周期为π
例1：狄利克雷函数
1()0x y D x x ⎧==⎨⎩当是有理数时当是无理数时
1) 是奇函数 （ X ）
2) 是偶函数 （ √ ）
3) 是单增函数 （ X ）
4) 是有界函数 （ √ ）
5) 是周期函数 （ √ ）
r 是有理数，D （x+r ）= D （x ），有理数加有理数等于有理数，无理数加有理数等于无理数，任何一个有理数都是周期，故无最小正周期。