计量经济学基础-非线性回归模型
计量经济学试题面板数据的非线性模型
计量经济学试题面板数据的非线性模型在计量经济学中，面板数据是一种常见的数据类型，它可以帮助我们更全面地分析变量之间的关系。
为了更好地理解面板数据的非线性模型，本文将探讨面板数据的基本概念、非线性模型的原理以及如何应用非线性模型分析面板数据。
一、面板数据的基本概念面板数据，又称为纵向数据或追踪数据，是一种将横截面数据和时间序列数据结合起来的数据类型。
它包含多个个体或单位在多个时期观测到的数据。
通常，面板数据可以分为两种类型：平衡面板和非平衡面板。
平衡面板数据是指所有个体在每个时期都有观测数据的情况，而非平衡面板数据则允许某些个体在某些时期没有观测数据。
二、非线性模型的原理在计量经济学中，线性模型是最基本的模型之一，它假设变量之间的关系是线性的。
然而，实际情况中，很多变量之间的关系并不是线性的，这时就需要使用非线性模型。
非线性模型是通过引入非线性函数形式，更准确地描绘变量之间的关系。
常见的非线性模型有很多种，例如，多项式模型、对数模型、指数模型等。
这些模型的选择应根据具体问题来确定。
非线性模型通常需要通过最小二乘法等估计方法来对模型参数进行估计。
三、应用非线性模型分析面板数据针对面板数据的非线性模型，我们可以应用多种方法进行分析。
1. 面板数据的非线性回归模型面板数据的非线性回归模型常用于探讨变量之间的非线性关系。
例如，我们可以通过引入多项式项、交叉项等形式，来构建非线性回归模型。
通过估计模型参数，我们可以得到关于变量之间非线性关系的具体结论。
2. 面板数据的非线性时间序列模型面板数据中的时间维度也是非常重要的。
在面板数据的非线性时间序列模型中，我们可以对时间进行建模。
例如，可以引入时间滞后项、季节性模式等来分析数据中的时间特征。
3. 面板数据的非线性面板模型面板数据的非线性面板模型结合了面板数据的横截面和时间维度。
通过引入面板数据的特征，我们可以更全面地分析变量之间的非线性关系。
例如，可以引入固定效应或随机效应，探讨不同个体之间的差异。
非线性回归模型概述
非线性回归模型概述在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的数据建模技术，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性关系。
为了更准确地描述和预测这种非线性关系，非线性回归模型应运而生。
一、什么是非线性回归模型非线性回归模型是指自变量和因变量之间的关系不是线性的数学模型。
在非线性回归模型中，因变量的变化不是随着自变量的线性变化而变化，而是通过非线性函数的变化来描述二者之间的关系。
非线性回归模型可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测准确性。
二、非线性回归模型的形式非线性回归模型的形式可以是各种各样的，常见的非线性回归模型包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型、逻辑回归模型等。
这些非线性回归模型可以通过引入非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系，从而更好地拟合数据。
1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \beta_3x^3 + ... +\beta_nx^n + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1,\beta_2, ..., \beta_n$为回归系数，$n$为多项式的阶数，$\varepsilon$为误差。
2. 指数回归模型指数回归模型是描述因变量和自变量之间呈指数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1e^{\beta_2x} + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2$为回归系数，$e$为自然对数的底，$\varepsilon$为误差。
3. 对数回归模型对数回归模型是描述因变量和自变量之间呈对数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1\ln(x) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1$为回归系数，$\ln$为自然对数，$\varepsilon$为误差。
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
计量经济学----几种常用的回归模型
2的含义？
• 其测度了Y的瞬时增长率，即Y随着时间t变化的变 化率。 • 例如，Y为个人的年消费支出，t为年度，那么斜 率系数为个人消费支出的年增长率。
证明：
d(ln Y ) dY Y dY dt 2 dt dt Y
• 注意根据斜率系数的估计值也可以求出复 合增长率r的值。
线性到对数模型
• 变量均以对数的形式出现
• 考虑以下指数回归模型
Yi 1X e
2 i
i
ln Yi ln1 2 ln X i i
ln Yi 2 ln X i i
2的含义？
• 其测度了Y对X的弹性，即X变动百分之一引起Y变 动的百分数。 • 例如，Y为某一商品的需求量，X为该商品的价格， 那么斜率系数为需求的价格弹性。
证明：
d(ln Y ) dY Y 2 d(ln X ) dX X
适用性？
• 画出lnYi对lnXi的散点图，看是否近似为一 条直线，若是，则考虑此模型。 • P165例6.3
例：柯布--道格拉斯生产函数（P210）
Y AK L e
i
ln Y ln A ln K ln L i ln Y 0 lnK lnL i
注意
•
是产出对资本投入的（偏）弹性，度量 在保持劳动力投入不变的情况下资本投入 变化1%时的产出变动百分比； • 是产出对劳动投入的（偏）弹性，度量 在保持资本投入不变的情况下劳动力投入 变化1%时的产出变动百分比； • 给出了规模报酬信息
半对数模型
• 只有一个变量以对数形式出现
• P175图6.10
Eviews基本运算符号
回归子的相对改变量 2 回归元的绝对改变量
非线性回归模型
在把非线性关系误作线性关系的问题时，就需要考 虑把线性模型改为非线性模型，因此线性回归分析 本身也是非线性模型的一个重要来源。
与线性模型相似，为了保证非线性回归分析的价值及 分析工作的顺利进行等，也需要对非线性回归模型作 一些基本假设。非线性模型关于模型函数形式和参数 的假设与线性模型相似，第一条假设是模型具有上述 非线性的函数形式，关于随机误差项的假设也是满足 Var(ε) 2 I n，而且也可以要求服从正态分布，即 E(ε) 0， ε ～ N (0, 2In ) 。
对于参数估计运用高斯－牛顿法的非线性回归时，可以把 线性回归的t和F检验应用到上述迭代过程中的最后一次线 性近似式。 一般来说，经过反复迭代从而得到的线性化模型应该能提 供非线性模型的一个比较好的近似，因此用对最后的线性 近似模型的检验替代对非线性模型本身的检验是有合理性 的。
事实上，运用线性化方法的非线性估计的计算机程序，通 常会计算最后一次线性化的t统计量、F统计量等指标。
Y与 X之间构成非线性关系，且该非线性显然无法通过 初等数学变换转化为线性模型。
此外，非线性模型的转换不仅涉及到趋势性部分，也 涉及随机误差部分，因此误差项的作用方式对于非线 性模型的转化是非常重要的。有些非线性关系就是因 为误差项是可加而不是可乘的，从而导致不能利用对 数变换进行转化。例如，若常见的柯布—道格拉斯生 产函数中的随机误差项是可加而不是可乘的，即：
三、非线性回归评价和假设检验
非线性回归在得到参数估计值和回归方程以后，也必 须对回归结果和模型假设的正确性进行评价和判断。 评判非线性回归的基本思路也包括回归拟合度评价， 以及模型总体和参数显著性检验等。 非线性模型参数的显著性检验常常隐含模型非线性性
计量经济学基础-非线性回归模型
第四节 非线形回归模型一、 可线性化模型在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。
在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。
1．倒数模型我们把形如:u xb b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。
设：xx 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。
倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。
有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。
2．对数模型模型形式：u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2）(该模型是将ub e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。
上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。
因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。
令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3）变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。
模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：xdx y dy x d y d b //)(ln )(ln 1== （3.4.4） 它表示x 变动1%，y 变动了多少，即变动了1b %。
模型适用对象：对观测值取对数，将取对数后的观测值（lnx ，lny ）描成散点图，如果近似为一条直线，则适合于对数线性模型来描述x 与y 的变量关系。
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴ 指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u t (4.4)b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t (4.5)变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶ 幂函数模型y t = a x t b t u e (4.6)b 取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
古扎拉蒂《计量经济学基础》第14章
四、估计非线性回归模型的方法 1．直接搜索或试错法或不用求导的方法
这是在第三节中提到过的方法。 缺陷： a．如果回归元太多，计算会很复杂。 b．可以得到局部最小值,但不一定是绝对 最小值。 2．直接最优化 通过直接运用OLS方法，可以得到正规方程 (14.4) 和(14.5) ，然后运用最速下降法来解 出参数值。
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古扎拉蒂《计量经济学基础》
第14章 非线性回归模型 主讲老师：李庆海
本章要点
●本质上的线性和非线性回归模型 ●线性和非线性回归模型的估计 ●估计非线性回归模型：试错法
一、本质上的线性和非线性回归模型
模型可以线性于参数，也可以线性于变量。 一开始讨论线性回归模型的时候，陈述过 本书所关心的基本上是线性于参数的模型。 如果一个模型非线性于参数，那么它就是 非线性回归模型。 然而，这里必须小心，有些模型可能看起 来非线性于参数，但是通过合适的变换它们可 以变成线性于参数的回归模型。
f '(0) x 1!
f
''(0) x2 2!
a1 a2 x a3x2 R
R a4 x3
三阶近似：
Y a1 a2 x a3x2 a4 x3
问：如何在x=a，z=b处展开Y=f（x，z）？
答：
f (x, z) f (a,b) fx (a,b)(x a) fz (a,b)(z b)
1 ln(
Yi
Yi
)
1 ln(
Yi
1)
ln(e12 Xi i
)
1
2 X i
i
所以这个模型本质上是线性的。
问题：常替代弹性（CES）生产函数是不 是本质线性的？
Yi A[ Ki ( 1 )L i ] 1 (14.2)
第五章 非线性回归
β = ( β1 , β 2 ,..., β m )′
如果函数在参数向量 β 0 附近连续可微，将函数 在 β 0 附近进行一阶泰勒展开
∂f ( xt , β 0 ) f ( xt , β) = f (xt , β 0 ) + (β − β 0 ) + rt0 ∂β ∂f (xt , β 0 ) 0 ∂f (xt , β 0 ) = [ f (xt , β ) − β ]+ β + rt 0 ∂β ∂β
S ( β j +1 ) ≈ S ( β j ) + λ j g ( β j ) ∆ j
S ( β j +1 ) − S ( β j ) ≈ λ j g ( β j ) W j ( g j ) ′
附近
三、牛顿-拉弗森法 牛顿 拉弗森法
最基本的迭代算法是牛顿-拉弗森法（NewtonRaphson Method）。牛顿-拉弗森法的基本思想 是利用泰勒级数展开近似，通过迭代运算寻找 NLS估计的数值解法。 具体算法是 1．给定参数初值 2．将残差平方和函数在附近展开成二阶泰勒级 数 3．迭代公式
令
∂f (xt , β 0 ) 0 Yt = Yt − [ f (xt , β Βιβλιοθήκη − β ] ∂β ∂β0 0
∂f (xt , β0 ) z = = ( Z10t ∂β ∂β
0 t
0 Z 2t
0 L Z mt )
u t0 = u t + rt 0
则
Yt 0 = z t 0 β + ut0
0 0 = β1 Z10t + β 2 Z 2t + ... + β m Z mt + ut0
j
非线性回归模型及其应用
非线性回归模型及其应用一、引言非线性回归模型在数据分析和预测中具有广泛的应用。
与线性回归模型不同，非线性回归模型能够更好地描述数据之间的复杂关系，适用于解决一些实际问题中的非线性回归分析。
本文将介绍非线性回归模型的基本原理及其应用领域。
二、非线性回归模型的基本原理1. 模型表达式非线性回归模型的表达式一般形式为：Y = f(X, β) + ε其中，Y为因变量，X为自变量，β为参数向量，f(·)为非线性函数，ε为误差项。
通常，我们将模型的函数形式根据问题的实际情况进行选择。
2. 参数估计方法非线性回归模型的参数估计可以使用最小二乘法和最大似然法等方法。
最小二乘法通过最小化误差平方和来估计参数值，最大似然法则是通过最大化似然函数来估计参数值。
选择合适的参数估计方法需要根据具体情况进行判断。
三、非线性回归模型的应用1. 生物医学领域在诊断和治疗方面，非线性回归模型可以用来建立生物医学数据的模型，进而进行疾病的预测和治疗方案的优化。
例如，可以通过建立非线性回归模型来预测病人术后恢复的时间。
2. 经济学领域非线性回归模型在经济学研究中也有广泛的应用。
例如，可以通过非线性回归模型来研究消费者对商品价格的反应，以及对商品需求的影响因素等。
3. 工程领域在工程领域，非线性回归模型可以用来研究工程结构的变形、断裂等情况。
例如，在建筑工程中，可以通过非线性回归模型来估计建筑物的强度和稳定性。
4. 金融领域非线性回归模型在金融领域中也有广泛的应用。
例如，可以通过建立非线性回归模型来分析股票价格的波动，预测市场的走势等。
四、非线性回归模型的评估指标1. 残差分析残差分析是评估非线性回归模型拟合优度的重要方法。
通过对模型的残差进行分析，可以判断模型是否符合假设，进而进行模型的改进和优化。
2. 决定系数决定系数（R-squared）是评估非线性回归模型拟合优度的指标之一。
决定系数越接近1，表示模型对观测数据的拟合程度越好。
计量经济学-第四章-非线性回归模型的线性化25页
（1）指数函数模型
Yi AebXiui 取对数 ln Y i ln AbiX ui
令
Y* i
lnYi,alnA则
Yi*abX i ui
（2）幂函数模型
Y i A1 i1 X X 2 2 i1 X k kieui
lY i n lA n 1 lX n 1 i 2 lX n 2 i k lX n k i u i
2. 非线性回归模型可分为几类？
第一类：非标准的线性回归模型； 第二类：可线性化的非线性回归模型； 第三类：不可线性化的非线性回归模型。
第一节 变量间的非线性关系
第一类：非标准的线性化模型 Y与解释变量 X1,X2,,Xk 之间不存在线性关系，
但与未知参数 0,1,2,之,间p 存在线性关系。
Y 01f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) 举例：总成 本 函数pf模k(X 型1 ,X 2 , ,X k) u
C 01 X 2 X 23 X 3 u
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
YA K Leu
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入
Y i AiK L ieui,i1 ,2 , ,n
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u 表示随机误差项，A、、为未知参
数。试利用天津市1980年~2019年间的有关统计资 料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解：详见教材。
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
非线性回归模型
将模型(1)化为标准线性模型 y*=β0 + β1 x * +u *
e (2) y = β0 + β1x +u 1− e 通过变换 y y* = ln( ) y +1 将模型(2)化为标准线性化模型 : y* = β 0 + β1 x + u
β0 + β1x +u
另一种多项式方程的表达形式是
令z1 = xt , z2 = xt2 , 上式线性化为 y = β 0 + β1 z1 + β 2 z2 + ut 如经济学中的边际成本曲线, 平均成本曲线与图1相似
2. 双曲线函数模型
3. 对数函数模型
4. 指数函数模型
5. 幂函数模型
第二节 非线性模型的标准线性化
1. 非线性模型变量的间接代换: 美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国 关于生产方面的数据研究得出柯布-道格拉斯(CoobDouglas)生产函数:
Q = AL K e
α
β u
其中Q代表产出,L代表劳动力投入,K代表资本投入,u 是随机误差项,A,α,β是参数. 这一类非线性模型通过适当的变换就可以转化为标 准线性模型,这种模型称为可线性化模型.
2. 不可线性化模型的处理方法: 模型:
y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 勒级数展开式进行逐次的线性近似估计.
例: 试将下列非线性模型线性化
x2 (1) y = β 0 x 2 + β1 x + u 通过变换 : 1 1 u y = , x* = , u* = 2 y x x
第七章 非线性回归模型
在实际经济活动中，经济变量的关系是 复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多 见。 如著名的恩格尔曲线 恩格尔曲线(Engle curves)表现为 恩格尔曲线 幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯 幂函数曲线 菲利普斯 曲线（Philips curves）表现为双曲线 双曲线形式等。 曲线 双曲线 但是，大部分非线性关系又可以通过一 些简单的数学处理，使之化为数学上的线性 关系，从而可以运用线性回归的方法进行计 量经济学方面的处理。
非线性回归模型
非线性回归模型非线性回归模型是研究量与量之间非线性关系的一种统计方法。
它利用可以描述非线性现象的数学模型，来拟合所需的结果，并反映所产生的参数的变化。
它的基本原理是通过观察变量之间的关系，以确定未知参数的数值可以拟合哪一种特定的函数。
以下是关于非线性回归模型的主要知识：一、主要原理非线性回归模型用来处理非线性关系的依赖变量和自变量之间的因果关系或效果。
它使用可以描述非线性现象的数学模型来拟合结果，并反映所产生的参数的变化。
二、类型1. 指数函数回归：利用指数函数进行拟合，以确定自变量和因变量之间关系，指数函数回归可能是最简单的非线性回归模型。
2. 对数函数回归：利用对数函数拟合，以确定自变量和因变量之间关系，它属于可泛化的非线性回归模型。
3. 偏差项回归：利用偏差项（离散变量或混合变量）构建的非线性回归模型，其中偏差项会有自身的参数，需要以正态分布估计参数。
4. 广义线性模型：利用广义线性模型拟合数据，以确定自变量和因变量之间关系，它是一类通用的非线性模型。
三、应用1. 时间序列分析：非线性回归模型可以利用时间序列数据进行拟合，得到完整的时间序列分析。
2. 数据建模：可以利用多因子回归模型全面分析多变量与因变量之间的变化趋势，以建立完整的模型，从而更好地理解数据背后的规律。
3. 预测：可以利用非线性回归模型对未知数据进行分析，从而有效预测出未来的趋势，为有效决策提供更好的依据。
四、优点1. 运用灵活：因为非线性回归模型的原理简单，实际应用却极其灵活，可以用于各种不同的数据分析。
2. 准确率高：它的准确性和稳定性都比线性回归模型高，因此可以在更多的情况下使用。
3. 结构简单：这种模型具有一种简洁实用的建模结构，并可以快速构建出模型所需的参数。
五、缺点1. 容易过拟合：由于非线性回归模型的参数容易受环境的影响，容易出现过拟合的情况。
2. 收敛慢：由于非线性回归模型很容易受参数限制，估计收敛速度往往比较慢。
计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = 0 +11βt x + u ty t =0 tx e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估量参数的。
可采纳非线性方式进行估量。
估量进程超级复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
运算机的显现大大方便了非线性回归模型的估量。
专用软件使这种计算变得超级容易。
但本章不是介绍这种模型的估量。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但能够通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估量与查验方式进行处置。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的能够线性化的非线性模型。
可线性化的模型⑴ 指数函数模型 y t = tt u bx ae+b >0 和b <0两种情形的图形别离见图和。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号双侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u tb >0和b <0两种情形的图形别离见图和。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
图 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶ 幂函数模型y t = a x t b t u eb 取不同值的图形别离见图和。
非线性回归模型概述
非线性回归模型概述非线性回归模型是一种用于建立非线性关系的统计模型，它可以用来描述自变量和因变量之间的复杂关系。
与线性回归模型相比，非线性回归模型可以更准确地拟合非线性数据，并提供更准确的预测结果。
在本文中，我们将对非线性回归模型进行概述，包括其基本原理、常见的非线性回归模型以及应用案例。
一、非线性回归模型的基本原理非线性回归模型的基本原理是通过拟合非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
与线性回归模型不同，非线性回归模型的函数形式可以是任意的非线性函数，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
通过最小化残差平方和来确定模型的参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小化。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式函数来拟合数据。
多项式回归模型的函数形式为：y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βnx^n其中，y是因变量，x是自变量，β0、β1、β2...βn是模型的参数，n是多项式的阶数。
通过最小二乘法来估计模型的参数，可以得到最佳的拟合曲线。
2. 对数回归模型对数回归模型是一种常用的非线性回归模型，它通过对数函数来拟合数据。
对数回归模型的函数形式为：y = β0 + β1ln(x)其中，y是因变量，x是自变量，β0、β1是模型的参数。
对数回归模型适用于自变量和因变量之间呈现指数增长或指数衰减的情况。
3. 指数回归模型指数回归模型是一种常见的非线性回归模型，它通过指数函数来拟合数据。
指数回归模型的函数形式为：y = β0e^(β1x)其中，y是因变量，x是自变量，β0、β1是模型的参数。
指数回归模型适用于自变量和因变量之间呈现指数增长或指数衰减的情况。
三、非线性回归模型的应用案例非线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用领域，以下是一些常见的应用案例：1. 生物学研究非线性回归模型在生物学研究中被广泛应用，例如用于描述生物体的生长曲线、药物的剂量-反应关系等。
中级计量经济学讲义_第九章非线性回归模型
中级计量经济学讲义_第九章非线性回归模型第九章非线性回归模型回归模型的一般形式是i i i x h y εβ+=),( （1）很明显，线性模型只是一种特殊情况，我们应该讨论更一般的模型（1）。
例如，εβββ++=x e y 321 （2）不能变换到线性形式。
1 线性化回归非线性回归模型是εβ+=),(x h y（为简化记号，我们去掉了观测值的下标）非线性回归模型的许多结果是基于在参数向量的一个特定值0β处（如由经验得到的数据时）对),(βx h 的一个线性泰勒级数来近似：)(),(),(),(000k k kkx h x h x h ββββββββ-??+?=∑（3）这被称为线性化回归模型。
整理各项可得),(),(),(),(00ββββββββββββ==∑∑??+??-?kkkkkk x h x h x h x h令0~k x 等于第k 个偏微分0/),(k x h ββ??。
对于0β的一个给定值，这0~k x 是数据而不是含未知参数的函数。
于是∑∑+-?k k kk k x x h x h βββ0000~]~[),(ββ'+'-=0000~~x x h或εββ+'+'-?0000~~x x h y把已知项移到方程左边，可得回归模型：εββ+'='+-=0000~~~x x h y y （4）有了0β值，我们就可以计算0~~x y 和并通过线性最小二乘法估计（4）中的参数。
然后，进行再次的迭代和回归，直至收敛和满足我们的精度要求。
[例] 对于（2）所给的非线性回归模型，线性化方程中的回归量是,(.)~,1(.)~03202101x e h x h x βββ=??==??=x xe h x 0302303(.)~βββ=??=有了一组参数0β0303020201010302010~~~),,,(~x x x x h y y ββββββ+++-= 可以对前面为估计321,βββ和而定义的三个变量进行回归。
计量经济学试题计量经济模型的函数形式与非线性回归
计量经济学试题计量经济模型的函数形式与非线性回归计量经济学试题：计量经济模型的函数形式与非线性回归一、简介计量经济学是一门将经济理论与统计方法结合的学科，用于量化经济关系和进行经济预测。
在计量经济学中，经济模型的函数形式和回归分析是两个重要的概念。
本文将探讨计量经济模型的函数形式和非线性回归的相关内容。
二、计量经济模型的函数形式1. 线性函数形式线性函数形式是计量经济学中常见的函数形式之一。
线性模型假定自变量和因变量之间的关系是线性的，可以用一条直线表示。
例如，经济增长与投资之间的关系可以用线性模型表示为：Y = α + βX，其中Y代表经济增长，X代表投资，α和β是模型中的参数。
2. 对数函数形式对数函数形式是计量经济学中另一种常见的函数形式。
对数模型假定自变量和因变量之间的关系是对数的，可以通过取对数将非线性关系转化为线性关系。
例如，消费与收入之间的关系可以用对数模型表示为：ln(Y) = α + βln(X)，其中ln(Y)代表对Y取对数，ln(X)代表对X 取对数，α和β是模型中的参数。
3. 多项式函数形式多项式函数形式是一种更为灵活的函数形式。
多项式模型假定自变量和因变量之间的关系可以用多项式方程表示。
例如，通货膨胀率与货币供应量之间的关系可以用多项式模型表示为：Y = α + βX + γX²，其中Y代表通货膨胀率，X代表货币供应量，α、β和γ是模型中的参数。
三、非线性回归非线性回归是计量经济学中一种重要的数据拟合方法。
当经济关系不符合线性假设时，可以使用非线性回归模型来分析。
非线性回归模型可以是基于某种理论假设或者基于经验数据。
常见的非线性回归模型包括指数模型、幂函数模型等。
在进行非线性回归时，通常需要根据经济理论或者实际情况选取适当的函数形式，并使用最小二乘法等方法估计模型参数。
非线性回归需要通过迭代的方式来寻找最优解，具有一定的复杂性。
然而，非线性回归模型可以更好地捕捉经济关系中的非线性特征，提高模型的拟合度和预测准确性。
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第四节 非线形回归模型
一、 可线性化模型
在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。
在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。
1．倒数模型
我们把形如:
u x
b b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。
设：x
x 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。
倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。
有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。
2．对数模型
模型形式：
u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2）
(该模型是将u
b e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。
上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。
因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。
令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3）
变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。
模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：
x
dx y dy x d y d b //)(ln )(ln 1== （3.4.4） 它表示x 变动1%，y 变动了多少，即变动了1b %。
模型适用对象：对观测值取对数，将取对数后的观测值（lnx ，lny ）描成散点图，如果近似为一条直线，则适合于对数线性模型来描述x 与y 的变量关系。
容易推广到模型中存在多个解释变量的情形。
例如，柯布——道格拉斯生产函数形式：
u e K AL Q βα=
式中：Q ——产出量，K ——资本投入量，L ——劳动投入量，A ，βα,为未知参数。
对于这样的非线性模型，可以通过对数变换，使之线性化。
对上式两边取对数得到如下模型：
u K L A Q +++=ln ln ln ln βα
再令：L L Q Q ln ,ln **==，K K A A ln ,ln *
*==，得到线性模型： u K L A Q +++=βα**
模型中的α、β分别为劳动、资本的产出弹性：
L dL Q dQ L d Q d //)(ln )(ln ==
α；K
dK Q dQ K d Q d //)(ln )(ln ==β 3．半对数模型 在对经济变量的变动规律研究中，测定其增长率或衰减率是一个重要方面。
在回归分析中，我们可以用半对数模型来测度这些增长率。
模型形式：
u x b b y ++=ln 10 (对数--线性模型) （3.4.5）
u x b b y ++=10ln (线性--对数模型) （3.4.6）
模型特点：半对数模型中的回归系数也有很直观的含义：对数--线性模型中，
x
dx dy x d dy b /)(ln 1== （3.4.7） 表示x 每变动1%时，y 将变动的绝对量，即变动b%个单位。
线性——对数模型中，
dx
y dy dx y d b /)(ln 1== （3.4.8） 它表示x 每变动1个单位时，y 将变动的百分比，即变动100b ％。
特别地，若x 为时间变量（年份），则系数1b 衡量了y 的年均增长速度。
正因为如此，所以半对数模型又称为增长模型。
模型适用范围：当x 变动一个相对量时，y 以一个固定的绝对量随之变动，可用（3.4.7）式来描述；当x 变动一个绝对量时，y 以一个固定的相对量随之变动，适宜用（3.4.8）式来描述。
例如，我们可以通过估计下面的半对数模型：
t t u t b b GDP ++=10)ln(
得到我国GDP 的年增长率的估计值，这里t 为时间趋势变量。
4．多项式模型
多项式回归模型在生产与成本函数这个领域中被广泛地使用。
多项式回归模型可表示为
u x b x b x b b y k k +++++= 2210 （3.4.9）
设：),2,1(k t x x t t ==，则
u x b x b x b b y k k +++++= 22110 （3.4.10）
模型转化成多元线性回归模型
例：为了分析某行业的生产成本情况，从该行业中选取了10家企业，下表中列出了这些企业总产量y(吨)和总成本x (万元)的有关资料，试建立该行业的总成本函数和边际成本函数。
某行业产量与总成本统计资料 总成本y 总产量x
19.3
10 22.6
20 24.0
30 24.4
40 25.7
50 26.0 60
27.4 70
29.7 80
35.0 90
42.0 100
根据边际成本的U 型曲线理论，总成本函数可以用产量的三次多项式近似表示，即
u x b x b x b b y ++++=332210
设：)3,2,1(==t x x t t ，则将其转化为三元线性回归模型。
在EViews 软件的命令窗口，
依次键入：
GENR X1=X
GENR 22∧=X X
GENR 33∧=X X
LS Y C X1 X2 X3
回归结果如下：
回归结果
得到总成本函数的估计式为
32000094.0012962.0634777.017667.14ˆx x x y
+-+= s = (0.637532) (0.047786) (0.000986) (0.00000591)
t = (22.23678) (13.28372) (-13.15005) (15.89677)
998339.02=R 997509.02=R 328491.0.=E S 00212.2=DW 220
.1202=F
对总成本函数求导数，得到边际成本函数的估计式为
2000272.0025934.0634777.0ˆx x dx
y d +-= 因此，当产量低于0.025934／(2⨯0.000272)=47.673(吨)时，边际成本是递减的；而产量超过这个水平时，边际成本又呈上升趋势。
二、 非线性化模型的处理方法
无论通过什么变换都不可能实现线性化，这样的模型称为非线性化模型。
对于非线性化模型，一般采用高斯——牛顿迭代法进行估计，即将其展开成泰勒级数之后，再利用迭代估计方法进行估计。
三、 回归模型的比较
当经济变量之间呈现非线性关系时，如何选择一个比较合适的模型，比较模型的优劣？这就是回归模型的比较问题。
1．图形观察分析
(1)观察被解释变量和解释变量的趋势图。
(2)观察被解释变量与解释变量的相关图。
2．模型估计结果观察分析
对于每个模型的估计结果，可以依次观察以下内容：
(1)回归系数的符号和值的大小是否符合经济意义，这是对所估计模型的最基本要求。
(2)改变模型形式之后是否使判定系数的值明显提高。
(3)各个解释变量t 检验的显著性。
(4)系数的估计误差较小。
3．残差分布观察分析
模型的残差反映了模型未能解释部分的变化情况，可以观察分析以下内容：
(1)残差分布表中，各期残差是否大都落在±σ
ˆ的虚线框内，这直观地反映了模型拟合误差的大小及变化情况。
(2)残差分布是否具有某种规律性，即是否存在着系统误差（模型形式有误或漏掉了重要的解释变量）
(3)近期残差的分布情况：近期误差越小越好。
4．利用判定系数比较模型的拟合优度时，如果两个模型包含的解释变量个数不同，则应采用“调整的判定系数”。
5．人们还使用另外两个指标SC （Schwarz Criterion ，施瓦兹准则）和AIC(Akaike lnformation Criterion ，赤池信息准则)来比较含有不同解释变量个数模型的拟合优度。
)ln(1]ln[2n n
k n e SC t ++∑= （3.4.11） n
k n e AIC t )1(2]ln[2++∑= （3.4.12） 显然，其值越小，表明模型的的拟合优度越高。
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