模糊数学的应用

本科生论文

模糊数学的应用

指导老师:

作者:

中国矿业大学

二零一一年六月

模糊数学的应用摘要：二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。模糊数学作为一个新兴的数学分支，使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而显示了强大的生命力和渗透力，使数学的应用范围大大扩展。模糊数学自身的理论研究进展迅速；模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，并在

计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展；模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学以及医药、生物、农业、文体等领域，并取得很好效果。

关键字：模糊数学；应用；模糊评判；

一、模糊数学的简介

（一）发展历史

模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合”论为基础。它提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。

模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。

他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而

宣告模糊数学的诞生。L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。在此基础上，

现在已形成一个模糊数学体系。模糊数学产生的直接动力，与系统科学的

发展有着密切的关系。在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾，它给描述模糊系统提供了有力的工具。L.A.扎德教

授于1975年所发表的长篇连载论著《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。

模糊数学诞生至今仅有22年历史，然而它发展迅速、应用广泛。它涉

及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面。在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中，都得到广泛应用。把模糊数学理论应用于决策研究，形成了模糊决策技术。只要经过仔细深入研究就会发现，在多数情况下，决策目标与约束条件均带有一定的模糊性，对复杂大系统的决策过程尤其是如此。在这种情况下，运用模糊决策技术，

会显得更加自然，也将会获得更加良好的效果。

（二）应用前景

模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。模式识别是计算机应用的重要领域之一。人脑能在很低的准确性下有效地处

理复杂问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模

拟人类神经系统的活动。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为

合理，洗衣机可节电、节水、提高效率。在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。模糊数学

这种相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。二、模糊数学内容简介

(一)模糊数学的基本概念

1. 模糊集(Fuzzy set )

定义1设X是论域，称映射A: X^[0,1]为X上的模糊集合(Fuzzy set ) 简称F集，记为A。称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。称A( •)为F集A的隶属函数。

(1)模糊集合的表示：^｛U!，U2,.•…,U n｝，A(U)称为元素U 属于模糊集A的隶属度；则模糊集可以表示为：A = A(U1). A(U2)...... A(U n)，或

U1 U2 U n

A 二｛A(U1),A(U2),.....,A(U n)｝，A =｛(U1,A(Uj),(U2,A(U2)),.....,(U n,A(U n))｝。

(2)模糊集合的运算：

A 二｛A(uJ,A(U2),.....,A(U n)｝，

B 二｛B(uJ,B(U2),.....B(U n)｝，

并集：A_. B 二｛A(uJ B(uJ,A(U2)B(U2),.....A(U n) B(U n)｝，

交集：A B=｛A(u J B(uJ,A(U2)B(U2),.....A(U n) B(U n)｝，

补集：A c二｛1 -A(uJ,1 -AU),.....1 -A(U n)｝，

包含：若-u U,有A(u) EB(u),则有A B。

2. 幕集

定义2称论域X上的F集的全体集合F(X)J.A|A:X > [0,1F 为X上的

F-幕集。

3. 模糊集的■-截集

定义3 已知U上模糊子集A : U > [0,1], u》A(u)(-u・U)对■ [0,1]，则称

Ah = ｛u|u€U,A(u)沙｝为模糊集A的丸-截集；称Ah = ｛u|u€U,A(u)>&｝为模

*

糊集A的■-强截集；■称为A .、A .的置信水平或阈值。

■

4. 三角范数、反三角范数

定义4称二元函数T：[0,1]*[0,1] [0,1]为三角模或三角范数，简称T-

范数，满足以下条件：若a，b，c，d€ [0,1]，有：

交换律：T(a , b)=T(b , a)

结合律：T(T(a , b), c)=T(a , T(b, c))

单调性：a< c, b< d 时，T(a , b) < T(c , d) 边界条件：T(a , 1)=a , T(0 , a)=0 定义5称二元函数S：[0,1]*[0,1] [0,1]为反三角范数，简称S-范数，

满足以下条件：若a，b，c，d€ [0,1]，有：