十字相乘法
十字相乘法的运算技巧
十字相乘法的运算技巧十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。
“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
对于某些首项系数是1的二次三项式2x Px q++【2()x a b x ab+++】的因式分解：即：一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab++=+++，∴2()()()x a b x ab x a x b+++=++．这就是说，对于二次三项式2x Px q++，若能找到两个数a、b，使,, a b p a b q+=⎧⎨⋅=⎩则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b++=+++=++．（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个．．．．．．．．数的积，且其和等于一次项系数，．．．．．．．．．．．．．．．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。
）对于首项系数不是1的二次三项式：十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。
一、十字相乘法的特点：1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。
②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
二、十字相乘法的应用举例：例1. 十字相乘法的图解及待定系数已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：8-5=3=-m解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20∴-m=3m=-3（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西——像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？)再如例2：把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）请观察比较例题中的各题，你能发现把常数q分解成两个整数a、b之积时的符号规律吗？⑴若q＞0，则a、b同号．当p＞0时a、b同为正，当p＜0时a、b同为负．⑵若q＜0，则a、b异号．当p＞0时a、b中的正数绝对值较大，当p＜0时a、b中的负数绝对值较大．⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解．例3、因式分解与系数的关系若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( )A.5个B.6个C.8个D.4个分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n 为整数)因为16=2×8，16=(-2)×(-8)16=4×4，16=(-4)×(-4)16=1×16，16=(-1)×(-16)所以k=±10，±8，±16答案：B(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大) 例4.分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例5.换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C.再如、例6、把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳ -1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1）5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]=（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].(试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)例6.因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12求：x2+y2的值解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。
十字相乘法的方法(青龙333333)
十字相乘法的解法1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
十字相乘法_非常非常好用
步骤：
x
x
x 6 x 5 ( x 1)( x 5) ①竖分二次项与常数项
2
1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
5
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 5x 6 x
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
小结：
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
十字相乘法
高一数学组
一、复习回顾
( x a)(x b) x (a b) x ab
2
x (a b) x ab
2
？
二、十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
小结: 由多项式乘法法则
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来用就得到一个因式分解的方法
2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) ∴x
x x
a b
这个方法也称为十字相乘法
特别注意：验证一次项！
今日作业：
把下列各式分解因式： (1) x2-4xy-5y2 (2) m2+5mn-6n2 (3) y2-8xy+12x2 2-12ab+36b2 (4) a
(5) b2-7bx2-18x4 2-4(x+y)-5 （6）(x+y)
（7）2x2-3x-2
2
十字相乘法完整版
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十字相乘法完整版
目录
01
添加目录标题
02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
添加章节标题
02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
相乘法十字相乘法
相乘法十字相乘法
（原创实用版）
目录
1.相乘法和十字相乘法的概念
2.相乘法的运算规则
3.十字相乘法的运算规则
4.相乘法和十字相乘法的应用
5.结论
正文
相乘法和十字相乘法是数学中常用的两种乘法方法。
相乘法是指两个数相乘得到一个积，而十字相乘法则是一种特殊的乘法运算，主要用于解线性方程组。
相乘法的运算规则比较简单，就是将两个数相乘得到一个积。
例如，2 乘以 3 等于 6，这就是一个相乘法的运算。
在数学中，相乘法被广泛应用于各种计算和公式中。
十字相乘法则是一种特殊的乘法运算，它主要用于解线性方程组。
十字相乘法的运算规则是，将一个数分成两个数，然后将这两个数分别与另一个数相乘，最后将四个积相加得到一个和。
例如，解方程组 x+3y=6 和2x+4y=10，我们可以使用十字相乘法。
首先，将第一个方程中的 x 分成 2 和 1，然后将 3y 分成 4y 和 y，得到 2y+4y=6，解得 y=1。
接着，将第二个方程中的 2x 分成 x 和 x，将 4y 分成 3y 和 y，得到 x+3y=10，代入 y=1，解得 x=7。
这样，我们就解出了方程组的解。
相乘法和十字相乘法在实际应用中都有广泛的应用。
相乘法被广泛应用于各种计算和公式中，而十字相乘法则主要用于解线性方程组，是数学中的一种重要方法。
完整版)十字相乘法
完整版)十字相乘法在进行因式分解时，首先要考虑能否提取公因式，然后再考虑运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。
对于还能继续分解的多项式因式，仍然要用这一步骤反复进行。
以上步骤可以用口诀来概括：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”。
二次三项式是指多项式ax+bx+c，其中a为二次项，b为一次项，c为常数项。
例如，x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式。
在多项式x-6xy+8y中，如果把x看作常数，它就是关于y的二次三项式；如果把y看作常数，它就是关于x 的二次三项式。
同样地，在多项式2ab-7ab+3中，如果把ab 看作一个整体，它就是关于ab的二次三项式。
还有多项式(x+y)+7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式。
十字相乘法是一种分解二次三项式的方法。
对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例如，对于7x+(-8x)，我们可以得到原式=(x+7)(x-8)。
另外，对于x^2-10x+16，我们可以将其分解为(x-2)(x-8)。
对于二次项系数不是1的二次三项式ax^2+bx+c=a1x^2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，它的特征是“拆两头，凑中间”。
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。
例如，对于-2x+(-8x)，我们可以得到原式=-10x，而对于2x^2-11x-6，我们可以将其分解为(2x+1)(x-6)。
十字相乘法完整版
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7x 10 x2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7x 18
例2 分解因式： x2 6x 16
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：3aa23bb
14 3
解得：ab
4 5
，∴原式
=
(2x–3y+4)(x+3y+5)
= (a + d) (b – c)
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
分组分解法
十字相乘法
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多 项式再因式分解。 问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作 一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字分解法分解因式了。 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 = 2 ( x - y ) ²- 3 ( x - y ) - 2 1 -2 ╳ 21
十字相乘法
因式分解方法
01 原理
03 运算举例
目录
02 判定 04 分解因式
05 例题解析
07 注意事项
பைடு நூலகம்目录
06 重难点
基本信息
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等 于一次项。原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
例题解析
例3 例1
例2
例4
例1
把 2 x ²- 7 x + 3 分 解 因 式 . 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同。）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 13 ╳ 21
十字相乘法解题格式
十字相乘法解题格式摘要：1.十字相乘法简介2.十字相乘法的基本原理3.十字相乘法的解题步骤4.十字相乘法的应用实例5.总结正文：【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种常用的数学解题方法，尤其在代数运算中具有很高的实用价值。
它主要通过将两个多项式的系数进行交叉相乘，再相加，从而得出两个多项式相等或者某一多项式的值。
这种方法因为运算简单且易于理解，所以在学生中广受欢迎。
【2.十字相乘法的基本原理】十字相乘法的基本原理是将两个多项式的系数进行交叉相乘，再相加。
具体来说，就是将多项式A(x) 和B(x) 的系数分别按行和列排列，然后进行交叉相乘并相加，得出结果C(x)。
如果C(x) 等于多项式A(x)B(x)，则说明两个多项式相等；如果C(x) 等于多项式A(x) 或者B(x)，则说明多项式A(x) 或者B(x) 的值可以通过十字相乘法求出。
【3.十字相乘法的解题步骤】十字相乘法的解题步骤主要分为三步：（1）将两个多项式的系数分别按行和列排列；（2）进行交叉相乘并相加，得出结果；（3）判断结果是否等于多项式A(x)B(x)，或者等于多项式A(x) 或者B(x)，从而得出结论。
【4.十字相乘法的应用实例】例如，我们要求解多项式A(x)=2x^2+3x 和B(x)=x+4 的乘积，可以通过十字相乘法来进行。
首先，将两个多项式的系数按行和列排列：2 3x 4然后，进行交叉相乘并相加：2x 6x+ 3x 12-------2x^2 6x+ 3x 12-------2x^2 + 3x可以看出，结果正好等于多项式A(x)B(x)，即2x^2+3x。
【5.总结】十字相乘法是一种简单实用的数学解题方法，尤其适用于代数运算。
通过将两个多项式的系数进行交叉相乘并相加，可以快速求出两个多项式相等或者某一多项式的值。
十字相乘法顺口溜
十字相乘法顺口溜
1. 十字相乘法呀，真神奇，算起来那叫一个快！就像孙悟空的七十二变，看我给你变一变，比如分解x²+5x+6，一下子就能变成(x+2)(x+3)啦！
2. 嘿，十字相乘法顺口溜，那可是解题的好帮手！好比一把钥匙开一把锁，遇到x²+3x-4，咱就能轻松搞定，变成(x-1)(x+4)呀！
3. 哇塞，十字相乘法顺口溜太好用啦！就像有了魔法棒一样，看分解x²-2x-3，轻松变成(x-3)(x+1)，厉害吧！
4. 十字相乘法顺口溜，这可不得了！如同给你装上了翅膀，比如算x²+6x+8，马上得出(x+2)(x+4)，是不是很牛！
5. 哎呀呀，十字相乘法顺口溜，简直妙不可言！就像找到了宝藏的地图，碰到x²-5x+6，一下子就知道是(x-2)(x-3)啦！
6. 嘿嘿，十字相乘法顺口溜，可太有意思啦！好像给你指引方向的明灯，算x²-3x+2，马上变成(x-1)(x-2)咯！
7. 哇哦，十字相乘法顺口溜，这也太好用了吧！就像拥有了超能力，看分解x²+4x-5，轻松变成(x-1)(x+5)，牛不牛！
8. 十字相乘法顺口溜，那真是绝了！如同给你开了外挂，比如算x²-4x-12，迅速得出(x-6)(x+2)，厉害吧！
9. 哟呵，十字相乘法顺口溜，真的超厉害！就像有了秘密武器，分解
x²+7x+10，一下子就是(x+2)(x+5)啦！
10. 哈哈，十字相乘法顺口溜，简直太棒啦！好像是解题的神器，算x²-7x+12，轻松得出(x-3)(x-4)呀！
我的观点结论：十字相乘法顺口溜真的是非常实用的工具，能让我们在数学计算中事半功倍，大家一定要好好掌握呀！。
【数学知识点】十字相乘法顺口溜
【数学知识点】十字相乘法顺口溜一、十字相乘法的口诀是:竖分常数交叉验,横写因式不能乱。
1、口诀第一句:竖分常数交叉验,这里包含了三个步骤,1)竖分二次项和常数项,即把二次项和常数项的系数竖向写出来,2)交叉相乘,和相加,即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,3)检验确定,检验一次项系数是否正确。
2、口诀第二句:横写因式不能乱即把因式横向写,而不是交叉写,这里不能搞乱。
二、十字相乘法顺口溜：分解二次三项式，尝试十字相乘法。
分解二次常数项，交叉相乘做加法；叉乘和是一次项，十字相乘分解它。
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
十字相乘法能把二次三项式分解因式（不一定在整数范围内）。
对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:a x²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
十字相乘法
十字相乘法分解因式1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 1╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x 的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -3 1 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x ²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
十字相乘法知识点总结
十字相乘法知识点总结1. “哎呀，十字相乘法就是把二次项系数分解成两个数相乘，常数项也分解成两个数相乘，然后交叉相乘再相加，看是不是等于一次项系数呀！”就像妈妈切菜一样，把一个大的任务分成小块来处理。
比如算2x^2+5x+3，2 可以分成 1 和 2，3 可以分成 1 和 3，交叉相乘1×3+2×1 不就正好等于 5 嘛！2. “嘿，用十字相乘法可得细心点哟！要像找宝藏一样仔细去找那些能凑对的数！”就好像在一堆玩具里找自己最喜欢的那个。
比如3x^2+7x+2，3 只能分成 1 和 3，2 只能分成 1 和 2，很快就能发现1×2+3×1 等于 5 啦！3. “你们知道吗，十字相乘法可有意思啦！就像是拼图游戏，要把合适的部分拼在一起。
”比如解 4x^2+8x-5，4 可以分成 2 和 2，-5 可以分成1 和-5，试试就知道怎么组合啦！4. “哇塞，十字相乘法不难呀，就是找对搭配嘛！这多像我们搭配衣服呀，要好看就得搭对。
”像算 5x^2-6x+1，5 分成 1 和 5，1 还是 1，找找就能发现搭配的窍门啦！5. “哈哈，十字相乘法其实很简单呀，只要多试试就能掌握啦，就像骑自行车一样，一开始难，后来就熟练啦！”比如面对 6x^2+5x-6，6 可以有很多分法，慢慢试就找到合适的啦！6. “哎呀呀，十字相乘法不就是那么回事嘛，把数字拆来拆去，总能找到合适的组合呀！”就好像搭积木，要找到合适的那块放上去。
比如算3x^2-4x-4，3 分成 1 和 3，-4 可以分成 2 和-2，找找规律呀！7. “十字相乘法呀，可别小瞧它哦，这可是解决好多问题的好办法呢！就像我们的秘密武器！”就像碰到 2x^2+3x-2，2 分成 1 和 2，-2 分成 1 和-2，动动脑筋就能搞定啦！8. “嘿，学十字相乘法得有点耐心哦，就像钓鱼一样，得等鱼儿上钩。
”比如解 6x^2-7x+2，6 有多种分法，耐心点就能找到啦！9. “哇，十字相乘法可神奇啦，能让那些复杂的式子变简单呢，就像魔法一样！”比如算 4x^2-9x+2，4 分成 2 和 2，2 还是 2，是不是很神奇呀！10. “十字相乘法真的很有用呀，学会了它就像有了一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！”就像面对 5x^2+6x-8，5 分成 1 和 5，-8 分成 2 和-4，用十字相乘法不就解开啦！。
十字相乘法
一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式方法叫做十字相乘法。
即对于二次三项式x²+bx+c，若存在p+q=b，pq=c ，则x²+bx+c=(x+p)(x+q)
1.在对x²+bx+c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c>0，则p、q同号，若c<0，则p、q异号，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号。
2.若x²+bx+c中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止。
二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax²+bx+c (a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a₁a₂，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c₁c₂，
把a₁，a₂，c₁，c₂排列如下：
若a₁c₂+a₂c₁=b，即ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
（1）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”。
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分组处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解即先对题目进行分组，然后再分解因式。
十字相乘法——精选推荐
⼗字相乘法⼗字相乘法是运⽤完全平⽅公式不能因式分解时需要优先考虑的⼜⼀种基本⽅法，其依据是根据由乘法恒等式——(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab演变过来的公式——x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．从某种意义上来说，⼗字相乘法也是运⽤公式法，它是针对⼆次项系数为1的⼆次三项式x^2+px+q进⾏分解的第三种基本⽅法．运⽤这种⽅法的思路是寻找两个数a，b，使得它们的积ab等于常数项q，和等于⼀次项系数p．⼀旦找到了这样的两个数，那么就可以把多项式x^2+px+q分解为(x+a)(x+b)．例如，分解x^2+10x+16因式时，由于它是⼆次三项式，所以我们⾸先想到的是能否运⽤完全平⽅公式？经过验证可知这种⽅法是不能的，因此考虑⼗字相乘法，寻找两个数，使得它们的积等于16，且和等于10．要寻找这样的两个数，我们⼀般只需要先考虑正整数就可以．由于乘积等于16的两个正整数只有1和16，2和8，4和4这三组，所以接下来只需要验证哪⼀组的和等于10即可．显然，在这三组数中，只有2+8=10，所以2和8就是我们寻找的两个数．因此，x^2+10x+16可分解为(x+2)(x+8)．为什么把这种因式分解的⽅法叫做⼗字相乘法呢？这是因为在寻找这样两个数时，为了⽅便与直观，我们⼀般通过画如下简易的交叉“⼗字”图，把⼆次项x^2分解为x乘以x，把常数项16分解为所有可能两个整数的相乘，然后再寻找和等于⼀次项系数10的⼀组．由于这个“⼗字图”的缘故才把这种因式分解的⽅法叫做⼗字相乘法．例如，⽤⼗字相乘法分解x^2+7x-18因式时，通过画“⼗字图”可以较快地找到我们想找的两个数．由于常数项是负数，所以分解为乘积的两个整数是⼀正、⼀负，验证⼀次项系数时要注意符号．经过⼏次尝试与验证，我们寻找的两个数是9和-2.所以x^2+7x-18=(x+9)(x-2)．再如，因式分解：x^2-18x+56．见到常数项56，我们马上想到的是“七⼋五⼗六”，由于⼀次项系数是负数，于是⾃然会想到乘积等于56的两数是-7和-8,．但是，-7与-8的和是-15，不等于⼀次项系数-18，告这⼀⽅案失败．再对乘积等于56的两个数继续尝试，⼀定会找到-4和-14，满⾜乘积等于56，和等于-18，所以x^2-18x+56=(x-4)(x-14).显然，运⽤⼗字相乘法进⾏多项式x^2+px+q因式分解的关键是找到两个数a与b，使得a+b=p，ab=q．⽽能否快速找到这两个数，虽然是“三分靠运⽓”，但⼤多还是靠实⼒，经过不断尝试总能成功的．运⽤⼗字相乘法因式分解时需要注意以下⼏点：（1）上述⽅法针对的是⼆次项系数为1的⼆次三项式，如果⼆次项系数不是1，其分解思路也是⼀样的．⽐如，因式分解：3x^2-7x-6．把3x^2分解为x与3x的积，-6分解为1与-6，-1与6，2与-3，-2与3，然后验证交叉乘积的和是否等于⼀次项-7x?易知，在这些⽅案中，只有x·2+3x·(-3)=-7x，然后把同⾏的x与-3相加，得(x-3)，3x与2相加，得(3x+2)，再把(x-3)与(3x+2)相乘即可．即：3x^2-7x-6=(x-3)(3x+2)．（2）⼆次项带负号“-”时，先提取负号“-”再分解．例如，因式分解：-x^2+3x-2．解：原式=-(x^2-3x+2)=-(x-1)(x-2)．（3）如果多项式有公因式仍然需要先提取．例如，分解因式：3ax^3-39ax^2x-42ax．解：原式=3ax(x^2-13x-14)=3ax(x-14)(x+1).（4）别忘了完全平⽅公式．对于⼆次三项式的分解因式，不要因为有了⼗字相乘法⽽忘了完全平⽅公式．例如，分解因式：x^2-6x+9．解析：该多项式满⾜完全平⽅公式条件，可⽤公式法直接得到：原式=(x-3)^2．如果⽤⼗字相乘法，则容易写成(x-3)(x-3)，此时应再化为(x-3)^2，否则就不够完美了．（5）要有整体思想的意识．例如，因式分解：(a-b)^2+5(a-b)-50.解析：把(a-b)作为整体，则易得：原式=(a-b+10)(a-b-5)．（6）双字母的⼆次三项式仍可运⽤⼗字相乘法．例如，分解因式：x^2-3xy-4y^2．解析：视y为1，分解x^2-3x-4=(x-4)(x+1)，然后将因式中的-4，1作为原式分解因式中y的系数，得：原式=(x-4y)(x+y).（7）分解后因式要计算、化简与整理，之后能继续分解的要继续分解．例如，分解因式：(2x+3)^2-12(2x+3)+35.解析：把2x+3作为整体，⽤⼗字相乘法分解后会出现2x+3与35分解出来的数相加减，此时需要计算化简，整理后还要看看能否继续分解？原式=[(2x+3)-5][(2x+3)-7]=(2x-2)(2x-4)=4(x-1)(x-2).（8）运⽤⼗字相乘法分解后仍然需要再考虑每个因式是否能继续分解？例如，分解因式：x^4+5x^2-6.解析：把x^2作为整体，原式可视为关于x^2的⼆次三项式，运⽤⼗字相乘法分解后，每个因式都是⼆次式，应再考虑能否继续分解？原式=(x^2)^2+5x^2-6=(x^2-1)(x^2+6)=(x+1)(x-1)(x^2+6)．（9）有时需要先计算再分解．例如，分解因式：(x-1)^2-3(x+1)-4.解析：如果不先计算、化简，显然是⽆法分解的．因此，只能是先计算，再看看能⽤什么⽅法分解？原式=x^2-2x+1-3x-3-4=x^2-5x-6=(x-6)(x+1)．练习：把下列多项式因式分解：（1）x^2-12x+32．（2）4m3+12mn+8mn^2.（3）x^4+2x^2-3．（4）(x-1) ^2+4(1-x)+3.（5）a^4-5a^2+4.（6）(a+1)^2-4(a-1)-8.（未完待续）。
十字相乘法
在数学其他领域的应用
线性代数：用于求解线性方程组 概率论与数理统计：用于求解概率分布 微积分：用于求解极限和导数 几何学：用于求解几何图形的面积和体积
十字相乘法的原理
第三章
十字相乘法的数学原理
原理：通过将方程组中的两 个方程相乘，得到新的方程 组
十字相乘法是一种解二元一 次方程组的方法
新的方程组可以通过十字相 乘法进行求解
几何学：十字相 乘法可以用于解 决几何问题，如 解三角形、解四
边形等。
概率论与数理统 计：十字相乘法 可以用于解决概 率论与数理统计 问题，如计算概
率、期望等。
微积分：十字相 乘法可以用于解 决微积分问题， 如求导、积分等。
十字相乘法的实际应用
第六章
在日常生活中的应用
Байду номын сангаас
解决二元一次方程组
解决线性规划问题
简化计算过程
观察题目，找出两个因数 找出两个因数的公因数 利用公因数进行分解 利用分解后的结果进行计算 得出答案
注意事项和常见错误
注意事项： a. 确保两个因式的符号相同 b. 确保两个因式的系数相同 c. 确 保两个因式的常数项相同
a. 确保两个因式的符号相同 b. 确保两个因式的系数相同 c. 确保两个因式的常数项相同
常见错误： a. 混淆因式的符号 b. 混淆因式的系数 c. 混淆因式的常 数项 d. 混淆十字相乘法的步骤和顺序 e. 混淆十字相乘法的应用范围
a. 混淆因式的符号 b. 混淆因式的系数 c. 混淆因式的常数项 d. 混淆十字相乘法的步骤和顺序 e. 混淆十字相乘法的应用范围
十字相乘法的扩展
第五章
十字相乘法可以快速、准确 地求解二元一次方程组
数学的十字相乘法
数学的十字相乘法
十字相乘法是一种用于快速计算两个多项式乘积的方法。
其基本原理是将两个多项式的每一项相乘，并按照指数从高到低的顺序排列。
例如，考虑计算 $(3x^2+4x+1)(2x+1)$。
首先将两个多项式每一项相乘：
$$begin{aligned}
& 3x^2cdot 2x=6x^3
& 3x^2cdot 1=3x^2
& 4xcdot 2x=8x^2
& 4xcdot 1=4x
& 1cdot 2x=2x
& 1cdot 1=1
end{aligned}$$
然后将这些项按照指数从高到低的顺序排列：
$$6x^3+8x^2+3x^2+4x+2x+1$$
最后将同类项合并，得到结果：
$$6x^3+11x^2+6x+1$$
十字相乘法的优点在于它可以避免漏项和重复计算，同时计算过程也比传统的竖式乘法更简便。
在解决实际问题时，十字相乘法也可以用于计算复杂的多项式乘积，提高计算效率和准确度。
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十字相乘法第一篇：十字相乘法十字相乘法分解因式1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1-2 1╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1-3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解：因为 2-5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2-9y 7 ╳-2y 所以14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)例 6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-3 7y ╳-1 =10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）=[2x-（7y-1）][5x +（4y-3）] 2-（7y – 1）5 ╳ 4y4y ╳-3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x +4y）,再把（2x-7y）（5x +4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1] [（5x-4y）-3].例7：解关于x方程：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解解：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 x²-3ax +（2a²–ab-b²）=0 x²-3ax +（2a+b）（a-b）=0 1-b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1-（2a+b）1 ╳-（a-b）所以 x1=2a+b x2=a-b如何使用十字相乘法分解因式及练习题形如2X2表示的是2X的平方例1 把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1)=－5 1 －3 2 －11×(－1)+2×(－3)=－7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2 把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是1 －3 1 5 1×5+1×(－3)=2 所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x－y)(2x－2y－3)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =2(x－y)2－3(x－y)－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =(x－y－2)(2x－2y+1).1 －2 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.三、课堂练习1.用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.2.把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)四、小结1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：a1 c1 在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的 a2 c2 两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.五、作业 1.用十字相乘法分解因式：(1)2x2+3x+1；(2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6；(4)3a2－7a－6；(5)6x2－11xy+3y2；(6)4m2+8mn+3n2；(7)10x2－21xy+2y2；(8)8m2－22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：(1)4n2+4n－15；(2)6a2+a－35；(3)5x213；(4)4x2+15x+9(5)15x2+x－2；(6)6y2+19y+10；－20y2；(8)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)－8x－－9y(7)20第二篇：9.15十字相乘法教案9.15十字相乘法（1）西南位育单萍【教学目标】1.通过学生自己探究、小组讨论，探索形如x2+px+q的二次三项式的因式分解的基本方法（十字相乘法）；2.通过学生自行尝试和小组互助的形式，探究非标准形式的十字相乘法因式分解的步骤和注意要点；3.进一步培养学生的观察力、解决数学问题的能力、以及培养小组合作的能力。
【教学重难点】正确使用十字相乘法进行因式分解【教学过程】一、游戏时间（随机抽查学生回答）口答计算结果：(x+1)(x+2)(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)(x-1)(x+3)(x-2)(x+5)(x-1)(x-2)(x-1)(x-3)(x-3)(x-5)二、探究时间我们已经学习过提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法对多项式进行因式分解成几个整式乘积的形式。