十字相乘法

十字相乘法

第一篇：十字相乘法

十字相乘法分解因式

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：

1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：

1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1-2 1╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解：因为 1-3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例

4、解方程6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2-5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）

=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为

1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2-9y 7 ╳-2y 所以14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)例 6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法

一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-3 7y ╳-1 =10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）=[2x-（7y-1）][5x +（4y-3）] 2-（7y – 1）5 ╳ 4y4y ╳-3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x +4y）,再把（2x-7y）（5x +4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1] [（5x-4y）-3].例7：解关于x方程：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解解：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 x²-3ax +（2a²–ab-b²）=0 x²-3ax +（2a+b）（a-b）=0 1-b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1-（2a+b）1 ╳-（a-b）所以 x1=2a+b x2=a-b如何使用十字相乘法分解因式及练习题形如2X2表示的是2X的平方例1 把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1)=－5 1 －3 2 －1

1×(－1)+2×(－3)=－7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个

因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2 把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是1 －3 1 5 1×5+1×(－3)=2 所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x－y)(2x－2y－3)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =2(x－y)2－3(x－y)－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =(x－y－2)(2x－2y+1).1 －2 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”