2006年复旦大学自主招生数学试题(精校word版,无答案)-历年自主招生考试数学试题大全

2006年复旦大学自主招生考试
数学试题
选择题（共150分，每题5分，答对得5分，答错倒扣2分，不答得0分）
1．在（x2−1
x
）10的展开式中系数最大的项是_____．
A．第4、6项B．第5、6项C．第5、7项D．第6、7项
2．设函数y=ƒ （x）对一切实数x均满足ƒ （5+x）=ƒ（5−x），且方程ƒ （x）=0恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为____．学科网
A．10 B．12 C．18 D．30
3．若非空集合X=｛x｜a+1≤x≤3a−5｝，Y=｛x｜1≤x≤16｝，则使得X⊆X∪Y成立的所有a的集合是_____．A．｛a｜0≤a≤7｝B．｛a｜3≤a≤7｝C．｛a｜a≤7｝D．空集
4．设z为复数，E=｛z｜（z−1）2=|z−1|2｝，则下列_ __是正确的
A．E={纯虚数} B．E={实数}
C．{实数}⊆E⊆{复数} D．E={复数}
5．把圆x2+（y−1）2=1与椭圆x2+
2
(1)
9
y+
=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_____．
A．线段B．等边三角形C．不等边三角形D．四边形
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小是___．
A．60°B．75°C．90°D．105°
7．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示：
货物
体积
每箱（米3）重量
每箱（吨）
利润
每箱（百元）
甲20 10 8
乙10 20 10
托运限制110 100
在最合理的安排下，获得的最大利润是______百元．
A．58 B．60 C．62 D．64
8．若向量a+3b垂直于向量7a−5b，并且向量a−4b垂直于向量7a−2b，则向量a与b的夹角为___ ．
A ．
2π； B ．3π； C ．4π； D ．6
π． 9．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其它班有五位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连．问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____．
A ．
120 B ．140 C ．160 D ．190
10．已知sin α，cos α是关于x 的方程x 2−αx +α=0的两个根，这里α∈R ．则3sin α+3cos α=___． A ．−1−2； B ．1+2； C ．−2+2 D ．2−2 11．设z 1，z 2为一对共轭复数，如果|z 1−z 2|=6且
1
22
z z 为实数，那么|z 1|=|z 2|=____． A ．2 B ．2 C ．3 D ．6
12．若四面体的一条棱长是x ，其余棱长都是1，体积是V （x ），则函数V （x ）在其定义域上为____． A ．增函数但无最大值 B ．增函数且有最大值 C ．不是增函数且无最大值 D ．不是增函数但有最大值 13．下列正确的不等式是____． A ．16<
120
1
1k k =∑
<17； B ．18<120
11k k =∑<19； C ．20<
120
1
1k k =∑
<21； D ．22<1201
1k k =∑<23． 14．设{αn }是正数列，其前n 项和为S n ，满足：对一切n ∈Z +，αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项，则lim
n
x n
→∞α=______．
A ．0
B ．4
C ．12
D ．100
15．已知x 1，x 2是方程x 2−（α−2）x +（α2+3α+5）=0（α为实数）的两个实根，则x 12+x 22的最大值为______． A ．18 B ．19 C ．20 D ．不存在 16．条件甲：1sin θ+=α．条件乙：sin
2θ+cos 2
θ
=α．则下列________是正确的． A ．甲是乙的充分必要条件 B ．甲是乙的必要条件
C ．甲是乙的充分条件
D ．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 17．已知函数ƒ（x ）的定义域为（0，1），则函数g （x ）= ƒ（x +c ）+ƒ（x −c ）在0<c<
1
2
时的定义域为
____．
A．（−c，1+c）; B．（1−c，c）; C．（1+c，−c）; D．（c，1−c）;
18．函数y=2x+12x
-的最值为____．
A．y min=
5
4
-，y ma x=
5
4
；B．无最小值，y ma x=
5
4
；
C．y min=
5
4
-，无最大值D．既无最小值也无最大值
19．等差数列{αn}中，α5<0，α6>0且α6>|α5|，S n是前n项之和，则下列___是正确的．
A．S1，S2，S3均小于0，而S4，S5，…均大于0
B．S1，S2，…，S5均小于0，而S6，S7，…均大于0
C．S1，S2，…，S9均小于0，而S10，S11，…均大于0
D．S1，S2，…，S10均小于0，而S11，S12，…均大于0
20．已知角θ的顶点在原点，始边为x轴正半轴，而终边经过点Q（3
-，y），（y≠0），则角θ的终边所在的象限为___．
A．第一象限或第二象限B．第二象限或第三象限
C．第三象限或第四象限D．第四象限或第一象限
21．在平面直角坐标系中，三角形△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（−5，−2），则∠A的平分线所在直线的方程为_____．
A．7x−y−17=0; B．2x+y+3=0; C．5x+y−6=0; D．x−6y=0．
22．对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程
1
1cos
n
m
Cθ
ρ=
-
表示的不同双曲线条数为_____．
A．6 B．9 C．12 D．15
23．设有三个函数，第一个是y=ƒ（x），它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，则第三个函数是______．
A．y=−ƒ（x）；B．y=−ƒ（−x）；
C．y=−ƒ−1（x）；D．y=−ƒ−1（−x）；
24．设ƒ（x）是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数．已知当x∈[2，3]时，ƒ（x）=x，则当x∈[−2，0]时，ƒ（x）的解析式为_____．
A．x+4; B．2−x; C．3−|x+1|; D．2+|x+1|．
25．已知α，b为实数，满足（α+b）59=−1，（α−b）60=1，则α59+α60+b59+b60=_____．
A ．−2
B ．−1
C ．0
D ．1
26．设αn 是（2−x ）n
的展开式中x 项的系数（n=2，3，4，…），则极限2323222lim()n
x n
→∞+++ααα…=________．
A ．15
B ．6
C ．17
D ．8
27．设x 1，x 2∈（0，
2
π
），且x 1≠x 2，不等式成立的有 （1）12（tan x 1+tan x 2）>tan 122x x +; （2） 1
2（tan x 1+tan x 2）<tan 122
x x +;
（3）12（sin x 1+sin x 2）>sin 122x x +; （4） 1
2（sin x 1+sin x 2）>sin 122
x x +
A ．（1），（3）
B ．（1），（4）
C ．（2），（3）
D ．（2），（4）
28．方程ƒ（x ）=2
13
22
2123333235
x x x x x x x x x ---------=0的实根的个数为_______．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无实根
29．如图所示，半径为r 的四分之一的圆ABC 上，分别以AB 和AC 为直径作两个半圆，分别标有α的阴影部分面积和标有b 的阴影部分面积，则这两部分面积α和b 有_____．
C
B
A
b
a
A ．α>b
B ．α<b
C ．α=b
D ．无法确定
30．设a ，b 是不共线的两个向量．已知PQ =2a +k b ，QR =a +b ，RS =2a −3b ．若P ，Q ，S 三点共线，则k 的值为_____．
A ．−1；
B ．−3；
C ．43-
； D ．3
5
-；
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