八年级 平面直角坐标系 一次函数
一次函数坐标公式
一次函数坐标公式
在数学中,一次函数是一种非常基础的函数类型,也叫做直线函数。
其定义形式为y=ax+b,其中a和b是常数,x和y分别表示平面
直角坐标系中的自变量和因变量。
一次函数的图像是一条直线,具有很多特点。
首先,当a大于0时,直线是向上倾斜的,而当a小于0时,直线是向下倾斜的。
另外,b表示截距,也就是直线与y轴交点的纵坐标。
如果b等于0,则直线
过原点,否则直线与y轴平行且纵坐标为b。
在实际应用中,一次函数的公式非常重要。
如果已知一次函数的
两个点,就可以确定这条直线的方程。
具体方法是先计算出直线的斜
率a,即y2-y1/x2-x1,然后将其中一个已知点的坐标代入y=ax+b中
进行求解,即可得到函数的完整形式。
在解决实际问题时,一次函数也具有广泛的应用。
比如,在经济
学中,企业的成本函数通常表达为一次函数;在物理学中,小球下落
的高度和时间之间的关系也可以表示为一次函数;在工程学中,油漆
的成本和涂料面积之间的关系也可以用一次函数来描述。
总之,一次函数是数学中最简单的函数类型之一,但是在实际应
用中非常重要。
通过掌握一次函数的坐标公式以及不同变量之间的关系,我们可以更好地应用它来解决实际问题,进一步提高我们的数学
素养。
一次函数总结
一次函数总结一次函数,也称一次方程,是指其最高次幂为1的方程。
一次函数的一般形式可以表示为y = kx + b,其中k和b为常数,k代表斜率,b表示截距。
一次函数是数学中最简单的函数之一。
它的图像是一条直线,因此也被称为直线函数。
一次函数是平面直角坐标系中最基本的图形,具有很多重要的性质和应用。
首先,一次函数的斜率k表示了直线的倾斜程度。
当k大于0时,直线向右上方倾斜;当k小于0时,直线向右下方倾斜;当k等于0时,直线与x轴平行。
斜率的绝对值越大,直线的倾斜程度越大。
其次,一次函数的截距b表示了直线与y轴的交点,在图像中可以看出直线在y轴上的截距。
当b大于0时,直线与y轴的交点位于y轴的上方;当b小于0时,直线与y轴的交点位于y轴的下方;当b等于0时,直线经过坐标原点。
截距的正负决定了直线在y轴上的位置。
通过斜率和截距,我们可以对一次函数的图像进行定位和研究。
例如,当斜率为正且截距为0时,直线将从原点出发,逐渐向右上方倾斜。
当斜率为负且截距为0时,直线将从原点出发,逐渐向右下方倾斜。
当斜率为0且截距为正时,直线将平行于x轴,并在y轴上方与之平行的一条水平线相交。
当斜率为0且截距为负时,直线将平行于x轴,并在y轴下方与之平行的一条水平线相交。
一次函数在实际中有许多应用。
例如,在经济学中,一次函数可以用来描述市场的供求关系。
在物理学中,一次函数可以用来描述速度与时间的关系,即速度等于斜率乘以时间加上初始速度。
在工程学中,一次函数可以用来描述物体的运动轨迹。
在统计学中,一次函数可以用来拟合数据并进行线性回归分析。
总之,一次函数作为最简单的函数之一,在数学和应用领域都有广泛的应用。
通过斜率和截距,我们可以对一次函数的图像进行定位和研究,并利用其性质进行建模和分析。
掌握一次函数的基本概念和应用,对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
人教版八年级下册19.2.2一次函数的概念(教案)
一、教学内容
人教版八年级下册19.2.2节,本节课主要围绕一次函数的概念进行讲解。内容包括:
1.一次函数的定义:形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,其中x为自变量,y为函数。
2.一次函数的图像:在平面直角坐标系中,一次函数的图像是一条直线。
学生小组讨论部分,大家围绕一次函数在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我觉得这是一个很好的现象,说明学生们开始尝试用数学的眼光看待周围的世界。但我也注意到,有些学生在讨论中显得有些拘谨,可能是因为缺乏自信。为此,我计划在接下来的课程中,多给予鼓励和肯定,提高学生们的自信心。
最后,我认识到,作为一名教师,我需要不断反思和总结自己的教学方法和策略,以便更好地服务于学生,帮助他们掌握数学知识,提高解决问题的能力。我会继续努力,为学生们提供更优质的教学体验。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论,我们加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
-运用一次函数解决实际问题:在应用一次函数解决具体问题时,如何正确设置变量、建立方程和求解,对于学生来说是挑战。
举例:针对难点,可以通过以下方式帮助学生突破:
-对于斜率k的理解,可以设计实际情境,如爬坡问题,让学生感受到斜率与倾斜程度的关系。
八下数学一次函数新定义
一次函数新定义题型1.面直角坐标系中,对于点P(x,y)和Q(x,y’),给出如下定义:如果y’= y (x≥0)-y (x<0)那么称点Q为点P的“伴随点”.例如:点(5,6)的“伴随点”为点(5,6),点(-5,6)的“伴随点”为点(-5,-6).(1)点A(2,1)的“伴随点”A’的坐标为____________(2)点B(m,m+1)在函数y=kx+3的图像上,若其“伴随点”B’的纵坐标为2,求函数y=kx+3的解析式.(3)在(2)的条件下,点C在函数y=kx+3的图像上,点D是点C’关于原点的对称点,点D的“伴随点”为D’.若点C在第一象限,且CD=DD’,直接写出此时“伴随点”D’的坐标2.定义:对于给定的一次函数y=ax+b(a≠0),把形如y= ax+b (x≥0)-ax+b(x<0)的函数称为一次函数y=ax+b (a≠0)的衍生函数.已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,0), B(1,2), C(-3,2), D(-3,0)(1)已知函数y=2x+1①若点P(-1,m)在这个一次函数的衍生函数图象上,则m=_________②这个一次函数的衍生图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为?3.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),B(6,3),连接AB,如果点P在直线y=x+1上,且点P到直线AB的距离大于或等于1,那么称点P是线段AB的“疏远点”。
(1)判断点C(52,72)是否是线段AB的“疏远点”,并说明理由;(2)若点Q(m,n)是线段AB的“疏远点”,求m的取值范围。
4.定义符号min{a,b,c}表示a、b、c三个数中的最小值,如min{1,-2,3}=-2,min{0,5,5}=0(1)根据题意填空:min{√9,3.14π}=__________(2)试求函数y=min{2,x+1,-3x+11}的解析式;(3)关于x的方程 -x+m=min{2,x+1,-3x+11}有解,试求常数m的取值范围。
初中数学苏科版八年级上册6.3 一次函数的图像 课件PPT
问题: (1)为什么要连线才能得到函数的图像?
列表时,只恰当地选取了自变量x的5个值,从而只描 出了其中的5个点;事实上,该函数的自变量x可以取任何 实数,从而满足该函数的点有无数个;根据线是由点形成 的,连线其实就是补描出无数个满足该函数的点.
(3)从表格中你能发现香的燃烧有什么规律吗? 香的长度每分钟减少0.8厘米
燃烧时间/分 香的长度/ cm
0 5 10 15 20 16 12 8 4 0
香的长度每分钟减少0.8厘米
(4)设香的长度为y (cm),燃烧时间x (分),你能 写出y与x之间的函数表达式吗?
一次函数 y=16-0.8 x
创设情境
2.点燃一支香,观察它的长度随时间的变化情况
(2)这支香没点燃前的长度是多少?点燃5分钟后 是多少?10分钟呢?…填入下表:
燃烧时间/分 香的长度/ cm
0 5 10 15 20 16 12 8 4 0
创设情境
2.点燃一支香,观察它的长度随时间的变化情况
燃烧时间/分 香的长度/ cm
0 5 10 15 20 16 12 8 4 0
x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 -1 1 3 5 … (2)描点: 以表中各对x、y的值为点的坐标,在平面
直角坐标系中描出相应的点;
(-2,-3)、(-1,-1)、(0,1)、(1,3)、(2,5)
(3)连线: 顺次连接描出的各点,即可得该函数的图像.
画法分析
按下列步骤,在平面直角坐标系中, 画一次函数 y=2x+1 的图像.
一次函数 y=16-0.8 x
香的长度 y
(7)描出点(0,16)、(5,12)、 (10,8)、(15,4)、(20,0)
平面直角坐标系以及一次函数复习
一. 选择题: 1如果A(2,m)与B(-2,-5)关于原点对称,则m=( ) A.-5 B. 1/5 C.5 D. C √5 2.点P(a, b)满足 |a|+ b = 0,则点 P ( ) 2 B A.在x轴或y轴上 B.是坐标原点 C.在x轴上 D.在y轴上 3.下列命题中正确的是( ) C A.点M(a,o)在第一或第四象 B.在坐标轴上的点的横, 纵坐标都是零 C.若点N(a,b)满足ab<0,则点N在第二或四象限 D.点P( 2,-3)到y轴的距离为3 4.下列函数中,关于x的正比例函数是 ( ) C A.y= -3x+1 B. y=-1 x C.y= -2x D. y= - x 2 5.函数 y =√4 - x 的自变量取值范围是( ) D A.x≤ 4 x 2 - 4 B.x≠±2 C.x≥2 D.x≤4且x≠±2
x
o (5)
x
解答题: 1.已知 ABC是等边三角形, 边长为2 , 求 ABC各顶 点的坐标. 解:点A 的坐标是(0,0) , 点B的坐标是(-2,0) 过C点作x轴的垂线 ,垂足为D, ∵ AD=BD= AB= 1 2 2 CD= √AC -AD 2 = √3 ∴点C的坐标是(- 1 ,√3 )
二.填空题 1. 点P( -3,4 )到x轴的距离是 4 ,到原点的距离是 5 . 2. 对于函数y=1-x, y随x的增大而 减小 . 对于 y = 3x - 2, 当x1 > x2 时,则 y1 > y2 . 3. 如果点M( 1-a ,1-b )在第二象限 , 那么N (a-1 ,b-1 )在第_____象限. 四 4. 如果直线 y = k x + b 在一,二,三象限, 那么 k > 0 , b > 0 . 5. 若把函数 y = 4 x 的图象沿x轴向左平移5个单位, 5 y=4 x+4 5 则得到的图象的函数解析式是___________. y y -5 o (4)
一次函数经过象限规律
一次函数经过象限规律一次函数是数学中最基础的函数之一,它的形式为 y = kx + b,其中 k 和 b 都是常数。
在平面直角坐标系中,一次函数的图像是一条直线,它的斜率 k 决定了这条直线的倾斜程度,而 b 决定了这条直线在 y 轴上的截距位置。
在研究一次函数的性质时,我们可以考虑它在不同象限中的表现规律。
下面我们将详细介绍一次函数在四个象限中的特点。
第一象限第一象限是平面直角坐标系中 x 和 y 坐标都为正的区域。
当一次函数的斜率 k 大于 0 时,它在第一象限中的表现规律如下:1. 当 x 增大时,y 也随之增大,即函数的图像向右上方倾斜;2. 当 x 减小时,y 也随之减小,即函数的图像向左下方倾斜;3. 当 x = 0 时,y = b,即函数的图像在 y 轴上截距为 b。
第二象限第二象限是平面直角坐标系中x 坐标为负,y 坐标为正的区域。
当一次函数的斜率 k 小于 0 时,它在第二象限中的表现规律如下:1. 当 x 增大时,y 随之减小,即函数的图像向右下方倾斜;2. 当 x 减小时,y 随之增大,即函数的图像向左上方倾斜;3. 当 x = 0 时,y = b,即函数的图像在 y 轴上截距为 b。
第三象限第三象限是平面直角坐标系中 x 和 y 坐标都为负的区域。
当一次函数的斜率 k 大于 0 时,它在第三象限中的表现规律如下:1. 当 x 增大时,y 随之减小,即函数的图像向左下方倾斜;2. 当 x 减小时,y 随之增大,即函数的图像向右上方倾斜;3. 当 x = 0 时,y = b,即函数的图像在 y 轴上截距为 b。
第四象限第四象限是平面直角坐标系中x 坐标为正,y 坐标为负的区域。
当一次函数的斜率 k 小于 0 时,它在第四象限中的表现规律如下:1. 当 x 增大时,y 随之增大,即函数的图像向右上方倾斜;2. 当 x 减小时,y 随之减小,即函数的图像向左下方倾斜;3. 当 x = 0 时,y = b,即函数的图像在 y 轴上截距为 b。
人教版初中八年级数学下册第十九章《一次函数》知识点复习(含答案解析)
一、选择题1.如图,平面直角坐标系中,一次函数333=-+y x 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点.若C 是x 轴上的动点,则2BC AC +的最小值( )A .236+B .6C .33+D .42.一次函数y=-3x-2的图象和性质,表述正确的是( ) A .y 随x 的增大而增大 B .函数图象不经过第一象限 C .在y 轴上的截距为2D .与x 轴交于点(-2,0)3.已知函数(0)y kx k =≠中y 随x 的增大而减小,则一次函数23y kx k =+的图象大致是( )A .B .C .D .4.下列图象中,不表示y 是x 的函数的是( )A .B .C.D.,两地相距240千米.早上9点甲车从A地出发去B地,20分钟后,乙车从5.已知A BB地出发去A地.两车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示,则下列描述不正确的是()A.甲车的速度是60千米/小时B.乙车的速度是90千米/小时C.甲车与乙车在早上10点相遇D.乙车在12:00到达A地6.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则函数y=bx-k的大致图像是()A.B.C.D.7.下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n为常数,且mn≠0)的图象的是()A.B.C .D .8.若关于x 、y 的二元一次方程组42313312x y a x y a +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解为非负数,且a 使得一次函数(1)3y a x a =++-图象不过第四象限,那么所有符合条件的整数a 的个数是( )A .2B .3C .4D .59.某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡,设游泳次数为x 时两种消费卡所需费用分别为y 甲,y 乙元,y 甲,y 乙与x 的函数图象如图所示,当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算( )A .甲种更合算B .乙种更合算C .两种一样合算D .无法确定10.函数211+2y x=的图象如图所示,若点()111,P x y ,()222,P x y 是该函数图象上的任意两点,下列结论中错误的是( )A .10x ≠ ,20x ≠B .112y >,212y > C .若12y y =,则12||||x x = D .若12y y <,则12x x <11.下列图象中,不可能是关于x 的一次函数y =px ﹣(p ﹣3)的图象的是( )A .B .C .D .12.某一次函数的图象经过点()1,2,且y 随x 的增大而增大,则这个函数的表达式可能是( ) A .24y x =+B .31y x =-C .31y x =-+D .24y x =-+13.A ,B 两地相距30km ,甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地.如图,反映的是两人行进路程()y km 与行进时间t(h)之间的关系,①甲始终是匀速行进,乙的行进不是匀速的;②乙用了5个小时到达目的地;③乙比甲迟出发0.5小时;④甲在出发5小时后被乙追上.以上说法正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个14.直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别相交于A ,B 两点,若点()1,2M m m +-在AOB 内部,则m 的取值范围为( )A .1433m <<B .17m -<<C .703m <<D .1123m <<15.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度y (cm )与所挂物体的质量m (kg )之间的关系如下表: 所挂物体的质量m/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 1012.51517.52022.5A .在没挂物体时,弹簧的长度为10cmB .弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,弹簧的长度是自变量,所挂物体的质量是因变量C .弹簧的长度y (cm )与所挂物体的质量m (kg )之间的关系可用关系式y =2.5m +10来表示D .在弹簧能承受的范围内,当所挂物体的质量为4kg 时,弹簧的长度为20cm参考答案二、填空题16.如图,在平面直角坐标系中,过点C (0,6)的直线AC 与直线OA 相交于点A (4,2),动点M 在直线AC 上,且△OMC 的面积是△OAC 的面积的14,则点M 的坐标为_____.17.如图1,在△ABC 中,AB >AC,D 是边BC 上一动点,设B,D 两点之间的距离为x,A,D 两点之间的距离为y ,表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示.则线段AC 的长为_____,线段AB 的长为______.18.已知一次函数y kx b =+与y mx n =+的图象如图所示.(1)写出关于x ,y 的方程组y kx by mx n=+⎧⎨=+⎩的解为________.(2)若0kx b mx n <+<+,写出x 的取值范围________.19.已知 12y y y =+,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,且当x=1时,y=-1,当x=3时,y=5,求y 与x 之间的函数关系式_______________.20.某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y (位:厘米)与观察时间x (单位:天)的关系,并画出如图所示的图象(AC 是线段,直线CD 平行x 轴)请你算一下,该植物的最大高度是________厘米.21.如图,在平面直角坐标系中,(0,2)A ,(4,2)B ,点P 是x 轴上任意一点,当PA PB 有最小值时,P 点的坐标为________.22.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…,按如图所示的方式放置.点A 1、A 2、A 3、…,和点C 1、C 2、C 3,…,分别在直线y =kx +b (k>0)和x 轴上,已知点B 1(1,1),B 2(3,2),则点B 2021的坐标是_________________.23.王阿姨从家出发,去超市交水电费.返回途中,遇到邻居交谈了一会儿再回到家,如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t (分)和离家距离S (米)的函数图像.则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分.24.在平面直角坐标系中,直线2y x =+和直线2y x b =-+的交点的横坐标为m .若13m -≤<,则实数b 的取值范围为____.25.在平面直角坐标系中,一次函数4y x =+的图象分别与x 轴,y 轴交于点A ,B ,点P 在一次函数 y x =的图象上,则当ABP ∆为直角三角形时,点P 的坐标是___________.26.如图,在ABC 中90ACB ∠=︒,AC BC =,BC 与y 轴交于D 点,点C 的坐标为()2,0-,点A 的坐标为()6,3-,则D 点的坐标是__________.三、解答题27.已知直线l 1:y =kx+b 经过点A (12,2)和点B (2,5). (1)求直线l 1的表达式;(2)求直线l 1与坐标轴的交点坐标.28.已知如图,直线113:4l y x m =-+与y 轴交于A(0,6),直线22:1l y kx =+分别与x 轴交于点B(-2,0),与y 轴交于点C .两条直线相交于点D ,连接AB .求:(1)直线12l l 、的解析式; (2)求△ABD 的面积;(3)在x 轴上是否存在一点P ,使得43ABP ABD S S =△△,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.29.已知一次函数3y kx =+与x 轴交于点()2,0A ,与y 轴交于点B .(1)求一次函数的表达式及点B 的坐标; (2)画出函数3y kx =+的图象;(3)过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ,且2OP OA =,求ABP △的面积. 30.如图,直线EF 与x 轴、y 轴分别交于点E (-8,0),F (0,6).(1)求直线EF 的函数表达式;(2)若点A 的坐标为(-6,0),点P (m ,n )在线段EF 上(不与点E 重合) ①求△OPA 的面积S 与m 的函数表达式; ②求当△OPA 的面积为9时,点P 的坐标;③求当△OPA 的面积与△OPF 的面积相等时,点P 的坐标.参考答案。
人教版八年级数学下册-考点综合专题:一次函数与几何图形的综合问题
考点综合专题:一次函数与几何图形的综合问题——代几综合,明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1.如图,把Rt△ABC放在平面直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A,B 的坐标分别为(1,0),(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为________.2.如图,直线y=-2x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.【易错7】(1)求A,B两点的坐标;(2)过B点作直线BP与x轴相交于点P,且使OP=2OA,求△ABP的面积.3.如图,直线y=-x+10与x轴、y轴分别交于点B,C,点A的坐标为(8,0),点P(x,y)是在第一象限内直线y=-x+10上的一个动点.(1)求△OPA的面积S与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)当△OPA的面积为10时,求点P的坐标.◆类型二一次函数与三角形、四边形的综合4.(2016·长春中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对称中心与原点重合,顶点A的坐标为(-1,1),顶点B在第一象限,若点B在直线y=kx+3上,则k的值为________.第4题图第5题图5.(2016·温州中考)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函数解析式是()A.y=x+5 B.y=x+10C.y=-x+5 D.y=-x+10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6.(2017·安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y 轴于点A1,点A2,A3,…在直线l上,点B1,B2,B3,…在x轴的正半轴上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形A n B n-1B n顶点B n的横坐标为________.第6题图第7题图7.★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中,直线l:y=x-1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,…,正方形A n B n C n C n-1,使得点A1,A2,A3,…在直线l上,点C1,C2,C3,…在y轴正半轴上,则点B n的坐标是________.参考答案与解析1.16解析:如图,∵点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),∴AB=3.∵∠CAB=90°,BC=5,∴在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=BC2-AB2=4,∴A′C′=4.∵点C′在直线y=2x-6上,∴2x-6=4,解得x=5.即OA′=5,∴CC′=AA′=5-1=4.∴S▱BCC′B′=CC′·CA=4×4=16.即线段BC扫过的面积为16.2.解:(1)令y =0,则-2x +3=0,解得x =32;令x =0,则y =3,∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32,0,点B 的坐标为(0,3).(2)由(1)得点A ⎝⎛⎭⎫32,0,∴OA =32,∴OP =2OA =3,∴点P 的坐标为(3,0)或(-3,0),∴AP =OP -OA =32或AP =OP +OA =92,∴S △ABP =12AP ·OB =12×92×3=274或S △ABP =12AP ·OB=12×32×3=94.综上所述,△ABP 的面积为274或94. 3.解:(1)∵点P 在直线y =-x +10上,且点P 在第一象限内,∴x >0且y >0,即-x +10>0,解得0<x <10.∵点A (8,0),∴OA =8,∴S =12OA ·|y P |=12×8×(-x +10)=-4x +40(0<x <10).(2)当S =10时,即-4x +40=10,解得x =152.当x =152时,y =-152+10=52,∴当△OP A的面积为10时,点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152,52.4.-2 5.C6.2n +1-2 解析:由题意得OA =OA 1=2,∴OB 1=OA 1=2,B 1B 2=B 1A 2=4,B 2A 3=B 2B 3=8,∴B 1(2,0),B 2(6,0),B 3(14,0)….∵2=22-2,6=23-2,14=24-2,…∴B n 的横坐标为2n +1-2.故答案为2n +1-2.7.(2n -1,2n -1) 解析:∵y =x -1与x 轴交于点A 1,∴点A 1的坐标为(1,0).∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形,∴A 1B 1=OA 1=1,∴点B 1的坐标为(1,1).∵C 1A 2∥x 轴,点A 2在直线y =x -1上,∴点A 2的坐标为(2,1).∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形,∴A 2B 2=A 2C 1=2,∴点B2的坐标为(2,3),同理可得点B3的坐标为(4,7).∵B1(20,21-1),B2(21,22-1),B3(22,23-1),…,∴点B n的坐标为(2n-1,2n-1).19.2.3 一次函数与方程、不等式一.选择题(共8小题)1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为()A.x=2B.y=2C.x=﹣1D.y=﹣12.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为()A.x=﹣1B.x=2C.x=0D.x=33.一元一次方程ax﹣b=0的解x=3,函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为()A.(3,0)B.(﹣3,0)C.(a,0)D.(﹣b,0)4.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()A.B.C.D.5.若方程x﹣3=0的解也是直线y=(4k+1)x﹣15与x轴的交点的横坐标,则k的值为()A.﹣1B.0C.1D.±16.如图,直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P,点P的横坐标为﹣1,则关于x的不等式x+b>kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.7.如图,直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于x的不等式﹣x+m >nx+4n>0的整数解为()A.﹣1B.﹣5 C.﹣4D.﹣38.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,则不等式kx+b<0的解集是()A.x<0B.0<x<1C.x<1 D.x>1二.填空题(共10小题)9.若直线y=2x+b与x轴交于点(﹣3,0),则方程2x+b=0的解是_________.10.如图是一次函数y=kx+b的图象,则方程kx+b=0的解为_________.11.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________.12.如图,已知直线y=ax﹣b,则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________.13.如图,直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B,则关于x的方程kx+b=0的解为_________.14.如图,已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________.15.如图,已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P,则不等式kx﹣3>2x+b的解集是_________.16.如图,直线y=kx+b过A(﹣1,2)、B(﹣2,0)两点,则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________.17.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是_________.18.如图,函数y=kx和的图象相交于A (a,2),则不等式的解集为_________.三.解答题(共4小题)19.如图,根据函数y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的图象,求:(1)方程kx+b=0的解;(2)式子k+b的值;(3)方程kx+b=﹣3的解.20.如图,直线l1:y=2x与直线l2:y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P.(1)写出不等式2x>kx+3的解集:_________;(2)设直线l2与x轴交于点A,求△OAP的面积.21.在平面直角坐标系x0y中,直线y=kx+b(k≠0)过(1,3)和(3,1)两点,且与x轴、y轴分别交于A、B两点,求不等式kx+b≤0的解.22.在直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)经过(﹣2,1)和(2,3)两点,且与x 轴、y轴分别交于A、B两点,求不等式kx+b≥0的解集.19.2.3 一次函数与方程、不等式一.选择题(共8小题)1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为()A.x=2B.y=2C.x=﹣1D.y=﹣12.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为()A.x=﹣1B.x=2C.x=0D.x=33.一元一次方程ax﹣b=0的解x=3,函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为()A.(3,0)B.(﹣3,0)C.(a,0)D.(﹣b,0)4.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()A.B.C.D.5.若方程x﹣3=0的解也是直线y=(4k+1)x﹣15与x轴的交点的横坐标,则k的值为()A.﹣1B.0C.1D.±16.如图,直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P,点P的横坐标为﹣1,则关于x的不等式x+b>kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.7.如图,直线y=﹣x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于x的不等式﹣x+m >nx+4n>0的整数解为()A.﹣1B.﹣5 C.﹣4D.﹣38.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,则不等式kx+b<0的解集是()A.x<0B.0<x<1C.x<1 D.x>1二.填空题(共10小题)9.若直线y=2x+b与x轴交于点(﹣3,0),则方程2x+b=0的解是_________.10.如图是一次函数y=kx+b的图象,则方程kx+b=0的解为_________.11.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________.12.如图,已知直线y=ax﹣b,则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________.13.如图,直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B,则关于x的方程kx+b=0的解为_________.14.如图,已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________.15.如图,已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P,则不等式kx﹣3>2x+b的解集是_________.16.如图,直线y=kx+b过A(﹣1,2)、B(﹣2,0)两点,则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________.17.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是_________.18.如图,函数y=kx和的图象相交于A (a,2),则不等式的解集为_________.三.解答题(共4小题)19.如图,根据函数y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的图象,求:(1)方程kx+b=0的解;(2)式子k+b的值;(3)方程kx+b=﹣3的解.20.如图,直线l1:y=2x与直线l2:y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P.(1)写出不等式2x>kx+3的解集:_________;(2)设直线l2与x轴交于点A,求△OAP的面积.21.在平面直角坐标系x0y中,直线y=kx+b(k≠0)过(1,3)和(3,1)两点,且与x轴、y轴分别交于A、B两点,求不等式kx+b≤0的解.22.在直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)经过(﹣2,1)和(2,3)两点,且与x 轴、y轴分别交于A、B两点,求不等式kx+b≥0的解集.。
基础复习 平面直角坐标系、函数、一次函数(8开)
1基础复习 一、面直角坐标系1、有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对,叫做有序数对,记作______.注:(a ,b)与(b ,a)是不同的两个有序数对. 2、平面直角坐标系⑴概念:在平面内,两条互相______、原点______的数轴组成平面直角坐标系,如图1.水平的数轴称为______轴(或______轴),习惯上取向右为______;竖直的数轴称为______轴(或______轴),习惯上取向______为正方向.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的______.注:平面直角坐标系的特点:①由两条相互垂直的数轴组成;②两条数轴有公共原点. ⑵象限建立平面直角坐标系,坐标平面被两条坐标轴分成I ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,分别叫做第一象限,第二象限,第三象限,第四象限,如图1.注:______的点不属于任何一个象限.⑶点的坐标.对于坐标平面内的任意一点A ,过A 点分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的______和______,有序实数对(a ,b)叫做点A 的坐标,记作______,如图2.注:①在表示点的坐标时,横坐标在前,纵坐标在后,中间以逗号分开;②坐标平面内的点与有序实数对之间是____________的,即平面内任意一点,都有一个有序实数对与之对应;反过来,对于任意一个有序实数对,在坐标平面内都有唯一确定的点与之对应.3、平面坐标系的一些常见规律⑴在各个象限内的点的坐标的符号规律见右表.⑵在坐标轴上的点的坐标规律.x 轴上的点的纵坐标为______,y 轴上的点的横坐标为______,原点的坐标为______ . ⑶一些特殊点之间的坐标关系.①对称点的坐标:(a)关于x 轴对称的两点,横坐标______,纵坐标__________;(b)关于y 轴对称的两点,纵坐标______,横坐标________;(c)关于原点对称的两点,横、纵坐标__________.②两坐标轴夹角平分线上的点的坐标:(a)在第一、三象限内两坐标轴夹角的角平分线上的点_____________;(b)在第二、四象限内两坐标轴夹角的角平分线上的点_________________;③与x 轴平行的直线上的点______;与y 轴平行的直线上的点__________.④P(m ,n)到x 轴的距离为______;到y 轴的距离为______;到原点的距离为______.4、用坐标表示地理位置确定位置的方法主要有两种:①横纵交错法:横纵两直线相交,由交点的唯一性确定点的位置;②方位角+距离.注:①在平面内,确定一个点的位置,一般需要两个数据;②利用横纵交错法确定点的位置(在方格纸上),要知道横向、纵向的格数;利用方位角+距离确定点的位置,需知道该点相对于参考点的方位角和距离;③确定位置的方法,除上面所说的两种方法外,还有其他方法,如区域法等.5、用坐标表示平移 ⑴点的平移.在平面直角坐标系中,将点(x ,y )向右或向左平移a 个单位长度,可以得到对应点______或______ ;将点(x ,y)向上或向下平移b 个单位长度,可以得到点______ 或______. 注:点的平移可看成上下平移和左右平移的合成. ⑵图形的平移.对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的某一点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形整体进行了怎样的平移.二、函数1、常量、变量、自变量、因变量在一个变化过程中,称数值始终不变的量为______;称数值发生变化的量为______. 如果一个变量总是随着另一个变量的变化而变化,则后一个变量叫自变量,前一个变量叫因变量.注:①常量与变量并不是绝对的,而是相对的,它是相对于某一过程而言的;②判断一个量是常量还是变量,关键要看它在过程中数值是否发生变化.第二象限第三象限第四象限2、函数⑴函数的概念,一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y 都有______的值与其对应,那么我们就说______是自变量,______是x的函数.注:判断两个变量是否有函数关系,关键是看在给定的x的取值范围内,对于每个x的值,y是否有唯一的值与之对应.⑵自变量的取值范围.函数中,自变量的取值范围要根据具体情况来分析:在初中范围内,主要研究以下几方面函数的自变量取值范围.①整式函数:其自变量取值范围是______;②含有分式的函数:其自变量的取值应使______;③有偶次根式的函数:其自变量的取值应使被开方数为______;④与实际问题有关的函数:其自变量的取值应使__________.⑶函数值的概念.对于一个函数,如果当自变量x=a时,因变量y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.3、函数的图象①概念:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每个对应值分别作为点的横坐标、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.②描点法画函数图象第一步:______(表中给出一些自变量的取值及对应的函数值).第二步:______(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点).第三步:______(按横坐标由小到大的顺序,把所描出的点用平滑的曲线连接起来).4、函数的表示通常有三种表示函数的方法:①______;②______;③______.表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法,有时为全面地认识问题,可同时使用几种方法.三、一次函数1、一次函数与正比例函数的概念一般地,形如______________________的函数,叫做一次函数.特别地,当b=O时,解析式就是______.此时的函数叫做______.注:正比例函数是一次函数的特殊形式,即正比例函数是一次函数;反之,一次函数不一定是正比例函数.2、一次函数与正比例函数的图象⑴一次函数的图象,一次函数的图象都是______,因为一次函数bkxy+=bkk,,(=/是常数)过点(O,______)和(1,______),所以过点(0,______)和(1,______)作直线,即可得一次函数bkkbkxy,,(=/+=为常数)的图象.(这就是两点法画图象)⑵正比例函数的图象.正比例函数kkkxy,(=/=为常数)的图象是一条过点(0,______)和(1,______)的直线,故过点(0,______),(1,______)作直线即可得正比例函数kxy=的图象.注:①当b>O时,将直线kxy=的图象向x轴上方平移b个单位长度,就得到bkxy+=1的图象,②当b<O时,将y=kx的图象向x轴下方平移|b|个单位长度,就得到了bkxy+=2的图象.③对于两条直线111:bxkyl+=和222:bxkyl+=:(a)2121∥kkll=⇔且21bb=/;*(b)12121-=⋅⇔⊥kkll;(c)11与2l重合21kk=⇔且21bb=.3、一次函数与正比例函数的性质⑴一次函数bkxy+=的性质:①0>k时,y随x的增大而______;0<k时,y随x的增大而______;②|k|越大,直线bkxy+=的倾斜程度______.注:一次函数)为常数,,(bkkbkxy=/+=中,k,b符号对图象的影响(如图3)①当0,0>>bk时,直线经过______象限,与y轴交点在x轴上方,如图_____;②当0,0<>bk时,直线经过______象限,与y轴交点在x轴下方,如图_____;③当0,0><bk时,直线经过______象限,与y轴交点在x轴上方,如图_____;④当0,0<<bk时,直线经过______象限,与y轴交点在x轴下方,如图_____.23⑵正比例函数的性质:①当k>O 时,直线kx y =经过一、三象限,且y 随x 的增大而增大; ②当k<O 时,直线kx y =经过二、四象限,且y 随算的增大而减小; ③|k|越大,直线kx y =的倾斜程度越大. 4、求一次函数的解析式常用待定系数法求一次函数的解析式,待定系数法的一般步骤是:①设出函数解析式;②根据已知条件求出未知的系数;③具体写出这个解析式. 注:正比例函数有一个基本量k ,需要一个条件;一次函数有两个基本量k 和b ,需两个条件.5、用函数的观点看方程(组)与不等式⑴一次函数与一元一次方程,由于任何一元一次方程都可以转化为0,ax b a b +=(为常数,a ≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某一个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.注:以上转化相当于已知直线b ax y +=,确定它与x 轴交点的横坐标的值. ⑵一次函数与一元一次不等式.由于任何一元一次不等式都可以转化为0>+b ax 或)0,为常数,(0=/<+a b a b ax 的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.⑶一次函数与二元一次方程(组)一般地,每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.所以解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.图3-1图3-2图3-3 图3-4。
八年级数学下册第十九章一次函数重点知识归纳(带答案)
八年级数学下册第十九章一次函数重点知识归纳单选题1、平面直角坐标系中,过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象限,若点(0,a),(−1,b),(c,−1)都在直线l上,则下列判断正确的是()A.a<b B.a<3C.b<3D.c<−2答案:D分析:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),根据经过一、二、三象限判断出k的符号,根据一次函数的性质即可得出结论.解:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),∵直线l经过一、二、三象限,∴k>0,∴y随x的增大而增大,∵直线l过点(﹣2,3).点(0,a),(﹣1,b),(c,﹣1),∴c<﹣2,3<b<a,故选:D.小提示:本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.2、直线y=kx+2过点(﹣1,4),则k的值是()A.﹣2B.﹣1C.﹣1D.24答案:A分析:由直线y=kx+2过点(﹣1,4),利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出k值.解:∵直线y=kx+2过点(﹣1,4),∴4=﹣k+2,∴k=﹣2.故选:A.小提示:本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键.3、如图,已知A(1,3),B(5,1),若直线y=kx+1与线段AB有公共点,则k的取值范围是()A.k≠0B.k>1C.0≤k≤1D.0≤k≤2答案:D分析:先求出直线过点A、B的k值,再结合图象即可求得k的取值范围.解:当直线y=kx+1过点A(1,3)时,则k+1=3,解得:k=2,当直线y=kx+1过点B(5,1)时,则5k+1=1,解得:k=0,当x=0时,y=1,则直线经过定点(0,1),∵直线y=kx+1与线段AB有公共点,∴0≤k≤2,故选:D.小提示:本题考查一次函数的图象与性质,熟练掌握一次函数的性质是解答的关键.4、如图,直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,关于x的方程x+5=ax+b的解是()A.x=20B.x=25C.x=20或25D.x=﹣20答案:A分析:根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解,可以得到关于x方程x+5=ax+b的解.解:∵直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P(20,25),∴x+5=ax+b的解是x=20,故选A.小提示:本题考查一次函数与一元一次方程的关系,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.5、将直线y=2x−3向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为()A.y=2x−4B.y=2x+4C.y=2x+2D.y=2x−2答案:A分析:直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可.解:由“左加右减”的原则可知,将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7,由“上加下减”原则可知,将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4,故选A.小提示:本题考查了一次函数的平移,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.6、一次函数y=−2x+1的图象不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C分析:根据一次函数的解析式,利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=−2x+1的图象经过第一、二、四象限,此题得解.解:∵k=-2<0,b=1>0,∴一次函数y=-2x+1的图象经过第一、二、四象限,∴一次函数y=-2x+1的图象不经过第三象限.故选:C.小提示:本题考查了一次函数图象与系数的关系,牢记“k<0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键.7、若一次函数y=kx+2的函数值y随x的增大而增大,则()A.k<0B.k>0C.k<﹣2D.k>﹣2答案:B分析:根据y=kx+2的函数值y随x的增大而增大,利用一次函数的性质可得k>0.解:∵一次函数y=kx+2的函数值y随x的增大而增大,∴k>0.故选:B.小提示:本题考查了一次函数的性质,解题的关键是:掌握一次函数的性质.8、某天早晨7:00,小明从家骑自行车去上学,途中因自行车发生故障,就地修车耽误了一段时间,修好车后继续骑行,7:30赶到了学校.图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程.结合图象,判断下列结论正确的是()A.小明修车花了15minB.小明家距离学校1100mC.小明修好车后花了30min到达学校D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s答案:A分析:根据函数图像进行分析计算即可判断.解:根据图像7:05-7:20为修车时间20-5=15分钟,故A正确;小明家距离学校2100m,故B错误;小明修好车后花了30-20=10分钟到达学校,故C错误;小明修好车后骑行到学校的平均速度是(2100-1000)÷600=11m/s,故D错误;6故选:A.小提示:本题考查函数图像的识别,正确理解函数图像的实际意义是解题的关键.9、为了增强抗旱能力,保证今年夏粮丰收,某村新修建了一个蓄水池,这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管(两个进水管的进水速度相同).一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示,某天0点到6点(至少打开一个水管),该蓄水池的蓄水量如图2所示,并给出以下三个论断:①0点到1点不进水,只出水;②1点到4点不进水,不出水;③4点到6点只进水,不出水.则一定正确的论断是()A.①③B.②③C.③D.①②③答案:C分析:根据图象1可知一个进水管的进水速度小于出水速度,且为出水速度的一半,再结合图2中特殊点的实际意义即可作出判断.解:①0点到1点既进水,也出水;②1点到4点同时打开两个管进水,和一只管出水;③4点到6点只进水,不出水.正确的只有③.故选:C.小提示:主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论.10、在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是( )A.B.C.D .答案:C 分析:观察一次函数解析式,确定出k 与b 的符号,利用一次函数图象及性质判断即可.解:∵一次函数y =x +1,其中k =1>0,b =1>0,∴图象过一、二、三象限,故选C .小提示:此题主要考查一次函数图象的性质,熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键.填空题11、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,若直线y =x +3分别与x 轴,直线y =-2x 交于点A ,B ,则△AOB 的面积为 _____.答案:3分析:先求得A (-3,0),B (-1,2),根据三角形的面积公式即可得到结论.解:在y =x +3中,令y =0,得x =-3,解{y =x +3y =−2x得,{x =1y =2 , ∴A (-3,0),B (-1,2),∴△AOB 的面积=12×3×2=3, 所以答案是:3.小提示:本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,求得A 、B 的坐标是解题的关键.12、某农场租用收割机收割小麦,甲收割机单独收割2天后,又调来乙收割机参与收割,直至完成800亩的收割任务,收割亩数与天数之间的关系如图所示,那么乙参与收割________天.答案:4解:由图可知,甲、乙收割机每天共收割350-200=150亩,共同收割600亩,所以,乙参与收割的天数是600÷150=4天.故答案为4.小提示:此题主要考查学生的读图获取信息的能力,要注意分析其中的“关键点”.13、若点P(a,b)在直线y=2x−1上,则代数式8−4a+2b的值为______.答案:6分析:把点P代入一次函数解析式,可得b=2a−1,化简带值可求出结论.解:∵点P(a,b)在直线y=2x−1上,∴b=2a−1,变形得:2a−b=1,代数式8−4a+2b=8−2(2a−b)=8−2×1=6;所以答案是:6.小提示:本题考查整式的化简求值,找准变量系数之间的关系是解题的关键.14、函数y=-x+3的图象上有一点P,使得P点到x轴的距离等于1,则点P的坐标为______________.答案:(-2,1)或(-4,-1)##(-4,1)或(-2,-1)分析:由P点到x轴的距离等于1,可得出点P的纵坐标为±1,再利用一次函数图象上点的坐标特征,即可求出点P的坐标.解:∵P点到x轴的距离等于1,∴点P的纵坐标为±1.当y=1时,x+3=1,解得:x=-2,∴点P的坐标为(-2,1);当y=-1时,x+3=-1,解得:x=--4,∴点P的坐标为(-4,-1).所以答案是:(-2,1)或(-4,-1).小提示:本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键.15、已知一次函数y=kx−11k,当−4≤x≤6时,3≤y≤9,则k的值为_______.##-0.6答案:−35分析:由x与y的范围,确定出点坐标,代入一次函数解析式求出k的值即可.解:当k>0时,y随x的增大而增大,∴x=−4,y=3,∴−4k−11k=3,解得:k=−1(不合题意,舍去),5当k<0时,y随x的增大而减小,∴x=−4时,y=9;x=6时,y=3,∴−4k−11k=9,∴k=−3.5所以答案是:−3.5小提示:本题主要考查了一次函数的性质,待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.解答题的值为正整数?16、(1)当x为何整数时,分式42x+1自变量取值范围为整数,求y的最大、最小值.(2)已知函数y=2x−3x−2答案:(1)x=0;(2)y最大为3,最小为1分析:(1)根据题意2x+1=1或2或4时,分式4的值为正整数,再取x为整数时即可;2x+1(2)把函数整理成y =2+1x−2的形式,要使函数y 的值为整数,则x −2=±1,据此即可求解. (1)要使分式42x+1的值为正整数,则2x +1=1或2或4,解得:x =0或12或32, ∵x 为整数,∴x =0,即x =0时,分式42x+1的值为正整数; (2)y =2x−3x−2=2(x−2)+1x−2=2+1x−2,且自变量取值范围为x −2≠0,要使函数y 的值为整数,则x −2=±1,∴当x =3时,函数y 的最大值为3,当x =1时,函数y 的最小值为1.小提示:本题考查了分式有意义的条件,求分式的值,函数自变量的取值范围问题等知识,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.17、已知,在平面直角坐标系中,直线y =x +4与x 轴的负半轴交于点A ,与y 轴的正半轴交于点B ,点C 在线段AB 上,△AOC 与△BOC 的面积相等.(1)求点C 的坐标;(2)若点D 在x 轴的正半轴上,点D 的横坐标为t ,连接CD ,△OCD 的面积为S ,求S 与t 的函数解析式;(3)在(2)的条件下,将射线CD 绕着点C 逆时针旋转45°,得到射线CE ,射线CE 交y 轴于点E ,连接DE ,若△ODE 的周长为12,求直线DE 的解析式.答案:(1)C (−2,2)(2)S =t (t >0)(3)y =−34x +3分析:(1)△AOC 与△BOC 的面积相等,而OA =OB =4,则|y C |=|x C |,则设点C 的坐标为(m ,-m ),即可求解;(2)由S =12×DO ×y C ,即可求解; (3)证明△HMC ≌△DNH (AAS ),求出点H 的坐标为(12t , 12t +2),得到直线HC 的表达式为y =t t+4(x +2)+2,求出OE =t t+4×2+2,进而求解.(1)解:对于y =x +4,令y =x +4=0,解得x =-4,令x =0,则y =4,故点A 、B 的坐标分别为(-4,0)、(0,4),∵S ΔAOC =12OA ⋅|y C |=S ΔBOC =12OB ⋅|x C |,而OA =OB =4,∴|y C |=|x C |,则设点C 的坐标为(m ,-m ),将点C 的坐标代入y =x +4得:-m =m +4,解得m =-2,∴点C 的坐标为(-2,2);(2)解:由题意得:S =12×DO ×y C =12t •2=t (t >0);(3)解:由题意得:12=OE +OD +ED ,即12=t +OE +√OE 2+t 2,设y =t +OE ,则y 2=t 2+OE 2+2t ⋅OE ,∴12=y +√y 2−2t ⋅OE ,∴144-24y +y 2=y 2-2t ⋅OE ,∴144-24(t +OE )=-2t ⋅OE整理得:t •OE -12(t +OE )+72=0,解得:OE =12t−72t−12.过点D 作DH ⊥CE 交CE 的延长线于点H ;过点H 作x 轴的平行线,交过点D 与y 轴的平行线于点N ,交过点C 与y 轴的平行线于点M ,∵∠ECD =45°,则△CHD 为等腰直角三角形,则DH =CH ,∠DHC =90°,设点H 的坐标为(a ,b ),∵∠NHD +∠MHC =90°,∠NHD +∠HDN =90°,∴∠MHC =∠HDN ,∵∠HMC =∠DNH =90°,DH =CH ,∴△HMC ≌△DNH (AAS ),∴MH =DN ,MC =HN ,即a +2=b ,b -2=t -a ,解得{a =12t b =12t +2, 即点H 的坐标为(12t ,12t +2),设直线HC 的表达式为y =kx +b ,将H ,C 的坐标代入得:{12tk +b =12t +2−2k +b =2, 解得{k =t t+4b =2t t+4+2 , ∴y =t t+4x +2t t+4+2=t t+4(x +2)+2, 当x =0时,y =t t+4×2+2, ∴OE =t t+4×2+2=12t−72t−12. 解得:t =-6(舍去)或4,故点D 的坐标为(4,0),则OE =12t−72t−12=3,故点E (0,3),设直线ED的表达式为y=sx+n,则{n=30=4s+n ,解得{s=−34n=3,故直线DE的表达式为y=-34x+3.小提示:本题考查了是一次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程组、用待定系数法求一次函数解析式、面积的计算等,综合性强,难度较大.18、学校阅览室有一种能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌按图中的方式摆放,2张方桌摆放到一起能坐6人,请你结合这个规律,回答问题:(1)写出总人数y(人)与方桌数x(张)之间的函数解析式(不要求写自变量的取值范围),并判断y是不是x的一次函数;(2)若八年级(1)班有42人去阅览室看书,则需要多少张这样的方桌?答案:(1)y=2x+2(2)20张分析:(1)根据第一张桌子可坐4人,以后每多一张桌子多2人,可列函数关系式,再判断即可;(2)将y=42代入(1)中的函数关系式即可求出.(1)解:∵一张方桌坐4人,每多一张方桌就多坐2人,∴如果是x张方桌,则所坐人数是4+2(x−1)=2x+2.∴y与x之间的函数解析式为y=2x+2,(2)解:把y=42代入y=2x+2,得2x+2=42,解得x=20.答:需要20张这们样的方桌.小提示:本题考查了根据图形求一次函数的解析式,及一次函数的判断、求自变量的取值,根据图形列出函数表达式是解题的关键.。
(完整版)平面直角坐标系与一次函数知识点归纳
平面直角坐标系与一次函数知识点归纳1. 象限内点的坐标特征第一象限(),++ 第二象限(),-+ 第三象限(),-- 第四象限(),+-2. 坐标轴上点的坐标x 轴上点的坐标为(),0a ,即x 轴上点,纵坐标为0y 轴上点的坐标为()0,b ,即y 轴上点,横坐标为03. 点的对称关于x 轴对称的两个点,它们的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y 轴对称的两个点,它们的横坐标互为相反数,纵坐标相等关于原点对称的两个点,它们的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数4. 点到坐标轴的距离点(),P a b 到x 轴的距离为b ,到y 轴的距离为a ,到原点的距离为22a b + 5. 点的平移(),P a b 向上平移m 个单位所得点的坐标为(),a b m +(),P a b 向下平移m 个单位所得点的坐标为(),a b m -(),P a b 向右平移m 个单位所得点的坐标为(),a m b +(),P a b 向左平移m 个单位所得点的坐标为(),a m b -6. 直线的平移直线(0)y kx b k =+≠向上平移m 个单位所得直线的解析式为y kx b m =++ 直线(0)y kx b k =+≠向下平移m 个单位所得直线的解析式为y kx b m =+- 直线(0)y kx b k =+≠向右平移m 个单位所得直线的解析式为()y k x m b =-+ 直线(0)y kx b k =+≠向左平移m 个单位所得直线的解析式为()y k x m b =++ (即直线平移规律:上加下减,左加右减)7. 直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行的条件是:1212k k b b =≠且8. 一次函数(0)y kx b k =+≠与轴的交点坐标是,与轴的交点坐标是,与两坐标轴围成的面积是12b S b k=-9. 正比例函数()0y kx k =≠常过点()()0,0,1,k 来画直线,10. 一次函数(0)y kx b k =+≠常通过点来画直线11. 函数的表示方法:图像法;列表法;公式法12. 作函数图像的一般步骤:①列表②描点③连线13. 一次函数的图像性质 正比例函数(时,图像过一三象限;时,图像过二四象限)口诀:。
坐标系和一次函数知识点
位置的确定一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;x 轴和y 轴统称坐标轴。
它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x 轴和y 轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线,垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ,b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a ,b )叫做点P 的坐标。
点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征 (1)、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x (2)、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ,y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上⇔x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0)即原点 (3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x )上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 (4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
初二数学期末复习《一次函数的应用—动点问题》(附练习及答案)
课 题一次函数的应用——动点问题教学目标1.学会结合几何图形的性质,在平面直角坐标系中列函数关系式。
2.通过对几何图形的探究活动和对例题的分析,感悟探究动点问题列函数关系式的方法,提高解决问题的能力。
重点、难点理解在平面直角坐标系中,动点问题列函数关系式的方法。
小结:1用函数知识求解动点问题,需要将问题给合几何图形的性质,建立函数模型求解,解要符合题意,要注意数与形结合。
2.以一次函数为背景的问题,要充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决,注意自变量的取值范围例题1:如图,直线1l 的解析表达式为33y x =-+,且1l 与x 轴交于点D ,直线2l 经过点A B ,,直线1l ,2l 交于点C .(1)求点D 的坐标;(2)求直线2l 的解析表达式;(3)求ADC △的面积;(4)在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ,使得ADP △与ADC △的面积相等,请直接..写出点P 的坐标.例题2:如图,在平面直角坐标系内,已知点A (0,6)、点B (8,0),动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒.(1) 求直线AB 的解析式;(2) 当t 为何值时,△APQ 的面积为524个平方单位?当堂巩固:如图,直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ,点E 的坐标为(-8,0),点A 的坐标为(-6,0)。
(1)求k 的值;(2)若点P (x ,y )是第二象限内的直线上的一个动点,在点P 的运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)探究:当点P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为278,并说明理由。
课后检测: 1、如果一次函数y=-x+1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 点、B 点,点M 在x 轴上,并且使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形,那么这样的点M 有( )。
24-25八年级数学第一次月考卷(安徽专用,范围:平面直角坐标系+一次函数)(全解全析)
八年级数学上学期第一次月考卷(安徽专用)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.测试范围:沪科版八上第11-12章(平面直角坐标系+一次函数)。
5.难度系数:0.6。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,满分40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)1.下列数据中不能确定物体的位置的是( )A.单县平原路461号B.单县幸福小区3号楼701号C.南偏西40°D.东经130°,北纬54°【答案】C【解析】解:单县平原路461号可以确定物体的位置,故选项A不符合题意;单县幸福小区3号楼701号可以确定物体的位置,故选项B不符合题意;南偏西40°,无法确定物体位置,故选项C符合题意;东经130°,北纬54°可以确定物体的位置,故选项D不符合题意;故选:C.2.若y=(m﹣1)x|m|+2是y关于x的一次函数,那么m的值是( )A.1B.﹣1C.±1D.0【答案】B【解析】解:由y=(m﹣1)x|m|+2是y关于x的一次函数,得,|m|=1且m﹣1≠0.解得m=﹣1.故选:B.3.在平面直角坐标系中,点P(﹣4,﹣3)到y轴的距离为( )A.﹣4B.﹣3C.4D.3【答案】C【解析】解:点P(﹣4,﹣3)到y轴的距离为|﹣4|=4,故选:C.4.已知点P(0,m)在y轴的正半轴上,则点M(m,1)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解:∵点P(0,m)在y轴的正半轴上,∴m>0,∴点M(m,1)在第一象限,故选:A.5.若M(4,y1),N(﹣1,y2)是一次函数12y x b=-+图象上的两个点,则y1与y2的大小关系是( )A.y1<y2B.y1=y2C.y1>y2D.无法确定【答案】A【解析】解:∵k=﹣<0,∴y随x的增大而减小,又∵﹣1<4,∴y1<y2.故选:A.6.已知一次函数y=kx+b(k≠0),小宇在列表、描点、连线画函数图象时,列出的表格如下:x…﹣2﹣1012…y…86420…则下列说法正确的是( )A.函数值y随着x的增大而增大B.函数图象不经过第四象限C.方程kx+b<2的解为x>1D.一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为2【答案】C【解析】解:由表格可得一次函数经过点(0,4),(2,0),将两点代入y=kx+b(k≠0)中,可得,解得,所以一次函数函数关系式为y=﹣2x+4;A、由于﹣2<0,即函数值y随着x的增大而减小,故选项错误,不符合题意;B、由于﹣2<0,4>0,故函数图象经过第四象限,故选项错误,不符合题意;C、由表格可得y=2时,x=1,故根据﹣2<0,函数值y随着x的增大而减小,可得解集为x>1,故选项正确,符合题意;D、由表格可得一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为(0,4),(2,0),即图象与两坐标轴围成的三角形的面积为,故选项不正确,不符合题意;故选:C.7.如图,一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,且与x轴交于点(﹣2,0),则不等式k (x﹣2)+b<0的解集是( )A.x>﹣2B.x>﹣1C.x>0D.x>1【答案】C【解析】解:将一次函数y=kx+b的图象向右平移2个单位得y=k(x﹣2)+b,∵一次函数y=kx+b的图象过点(﹣2,0),∴一次函数y=k(x﹣2)+b的图象过点(0,0),由图象可知,当x>0时,函数y=k(x﹣2)+b<0,∴不等式k(x﹣2)+b<0的解集是x>0.故选:C.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.例如点M的坐标是(3,2),点M就是一个整点.已知一次函数y=﹣x+b的图象与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,如果△AOB内部(不包括边上)的整点只有1个,那么b的取值范围是()A.1<b≤2B.2<b≤3C.2<b≤4D.2<b<3【答案】B【解析】解:如图,一次函数y=﹣x+b的图象过点(2,0)时,△AOB内部无整点,此时,0=﹣2+b,解得b=2,一次函数y=﹣x+b的图象过点(3,0)时,△AOB内部有一个整点,此时0=﹣3+b,解得b=3,∴如果△AOB内部(不包括边上)的整点只有1个,那么b的取值范围是2<b≤3.故选:B.9.盲道方便了盲人的通行,保持盲道畅通是我们每个人的义务.盲道一般由带有凸起的方形地砖铺设而成(图1),在部分盲道建立平面直角坐标系,如图2,每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度,则图中点P的坐标为( )A.(10,1)B.(11,1)C.(10,2)D.(11,3)【答案】B【解析】解:设正方形的边长为x个单位长度.由图可知,,解得1.6<x<2.4.∵x为整数,∴x=2,则点P的横坐标为3+4×2=11,纵坐标为5﹣2×2=1,即点P(11,1).故选:B.10.已知甲,乙两地相距480km,一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时与出租车相距120km,货车改变速度继续出发后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象,则下列说法错误的是( )A.a=120B.点F的坐标为(8,0)C.出租车从乙地返回甲地的速度为128km/hD.出租车返回的过程中,货车出发或都与出租车相距12km【答案】D【解析】解:由图象知,C(4,480),设直线OC的解析式为:y=kx,把C(4,480)代入得,480=4k,解得k=120,则直线OC的解析式为y=120x,∴把(1,a)代入y=120x,解得:a=120,故A正确;由于停下来装完货物后,发现此时与出租车相距120km,货车行驶时间为小时,∵a=120(km),∴货车卸货时与乙地相距120km,∴出租车距离乙地为120+120=240(km),∴出租车距离甲地为480﹣240=240(km),把y=240代入y=120x得240=120x,解得:x=2,∴货车装完货物时,x=2,则B(2,120)根据货车继续出发h后与出租车相遇,可得×(出租车的速度+货车的速度)=120,根据直线OC的解析式为y=120x(0<x<4),可得出租车的速度为120km/h∴相遇时,货车的速度为120÷﹣120=60(km/h),故可设直线BG的解析式为y=60x+b,将B(2,120)代入y=60x+b,可得120=120+b,解得b=0,∴直线BG的解析式为y=60x(2<x<8),故货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为y=60x,把y=480代入y=60x,可得:480=60x,解得x=8,∴G(8,480),∴F(8,0),故B正确;根据出租车到达乙地后立即按原路返回经过比货车早15分钟到达甲地,可得EF=,∴E(,0),∴出租车返回后的速度为:480÷(4)=128km/h,故C正确;设在出租车返回的行驶过程中,货车出发t小时,与出租车相距12km,此时货车距离乙地为60t km,出租车距离乙地为128(t﹣4)=(128t﹣512)km,①出租车和货车第二次相遇前,相距12km时,可得60t1﹣(128t1﹣512)=12,解得t1=;②出租车和货车第二次相遇后,相距12km时,可得(128t2﹣512)﹣60t2=12,解得t2=;故在出租车返回的行驶过程中,货车出发h或h与出租车相距12km,故D错误,故答案选:D.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.在函数中,自变量x的取值范围是 .【答案】x≥2【解析】解:由题意得,x﹣2≥0,解得x≥2.故答案为:x≥2.12.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣3,1),AB∥x轴,且AB=2,则点B的坐标为 .【答案】(﹣5,1)或(﹣1,1).【解析】解:∵点A坐标为(﹣3,1),且AB∥x轴,∴点B的纵坐标为1.又∵AB=2,∴﹣3+2=﹣1,﹣3﹣2=﹣5,即点B的横坐标为﹣1或﹣5,∴点B的坐标为(﹣5,1)或(﹣1,1).故答案为:(﹣5,1)或(﹣1,1).13.规定:[x]表示不大于x的最大整数,(x)表示不小于x的最小整数,[x)表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),例如:[1.3]=1,(1.3)=2,[1.3)=1.则下列说法正确的是 .(写出所有正确说法的序号)①当x=1.7时,[x]+(x)+[x)=6;②当x=﹣1.1时,[x]+(x)+[x)=﹣7;③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解为1<x<1.5;④当﹣1<x<1时,函数y=[x]+(x)+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点.【答案】③.【解析】解:①当x=1.7时,[x]+(x)+[x)=[1.7]+(1.7)+[1.7)=1+2+2=5,故①错误;②当x=﹣1.1时,[x]+(x)+[x)=[﹣1.1]+(﹣1.1)+[﹣1.1)=(﹣2)+(﹣1)+(﹣1)=﹣4,故②错误;③当1<x<1.5时,4[x]+3(x)+[x)=4×1+3×2+1=4+6+1=11,故③正确;④∵﹣1<x<1时,∴当﹣1<x<﹣0.5时,y=[x]+(x)+x=﹣1+0+x=x﹣1,当﹣0.5<x<0时,y=[x]+(x)+x=﹣1+0+x=x﹣1,当x=0时,y=[x]+(x)+x=0+0+0=0,当0<x<0.5时,y=[x]+(x)+x=0+1+x=x+1,当0.5<x<1时,y=[x]+(x)+x=0+1+x=x+1,∵y=4x,则x﹣1=4x时,得;x+1=4x时,得;当x=0时,y=4x=0,∴当﹣1<x<1时,函数y=[x]+(x)+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点,故④错误,故答案为:③.14.共享电动车是一种新理念下的交通工具,主要面向3~10km的出行市场,现有A、B两种品牌的共享电动车,收费与骑行时间之间的函数关系如图所示,其中A品牌的收费方式对应y1,B品牌的收费方式对应y2.(1)A品牌的函数关系式为 ;(2)当两种收费相差1.4元时,x的值为 .【答案】8或34.【解析】解:(1)设A品牌的函数关系式为y=kx∵点(20,4∴20k=4,解得k=0.2,∴A品牌的函数关系式为y=0.2x.故答案为:y=0.2x;(2)由图可知,两种收费相差1.4元时,可能在0﹣10min内或20min以后①在0﹣10min内时,3﹣0.2x=1.4,解得x=8;②在20min以后时,设B品牌的函数关系式为y=k′x+b∵点(20,4),(10,3)在该函数图象上,∴,解得:,∴B品牌的函数关系式为y=0.1x+2,∴0.2x﹣[4+0.1(x﹣20)]=1.4,解得x=34因此x的值为8或34,故答案为:8或34.三、解答题(本大题共9个小题,共90分,其中15~18题每题8分,19~20题每题10分,21~22题每题12分,第23题14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(8分)假期间,笑笑所在的学习小组组织了到方特梦幻王国的游园活动,笑笑和乐乐对着景区示意图(如图所示)讨论景点位置:(图中小正方形边长代表100m)笑笑说:“西游传说坐标(300,300)”.乐乐说:“华夏五千年坐标(﹣100,﹣400)”.若他们二人所说的位置都正确.(1)在图中建立适当的平面直角坐标系xOy;(2)用坐标描述其他地点的位置.①太空飞梭: ;②秦岭历险: ;③魔幻城堡: ;④南门: ;⑤丛林飞龙: .【解析】解:(1)如图所示:(2)太空飞梭(0,0),秦岭历险(0,400),魔幻城堡(400,﹣200),南门(0,﹣500),丛林飞龙(﹣200,﹣100).(8分))故答案为:①(0,0),②(0,400),③(400,﹣200),④(0,﹣500),⑤(﹣200,﹣100).16.(8分)已知一次函数y=kx+b,当x=﹣1时,y=﹣1;当x=2时,y=5.(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x=﹣3时,求y的值.【解析】解:(1)将x=﹣1,y=﹣1;x=2,y=5分别代入一次函数解析式得:,解得,∴这个一次函数解析式为y=2x+1;(4分))(2)把x=﹣3代入y=2x+1得,y=2×(﹣3)+1=﹣5.(8分)17.(8分)已知点P(2m﹣6,m+2)是平面直角坐标系中的点.(1)若点P在y轴上,则点P的坐标为 ;(2)若点P在第一、三象限的角平分线上,则点P的坐标为 ;(3)已知点Q(5,3),且PQ∥x轴,求点P的坐标.【解析】解:(1)因为点P在y轴上,所以2m﹣6=0,解得m=3,所以m+2=5,所以点P的坐标为(0,5).故答案为:(0,5).(2分)(2)因为点P在第一、三象限的角平分线上,所以2m﹣6=m+2,解得m=8,所以2m﹣6=10,m+2=10,所以点P的坐标为(10,10).故答案为:(10,10).(5分)(3)因为PQ∥x轴,且点Q坐标为(5,3),所以m+2=3,解得m=1,所以2m﹣6=﹣4,所以点P的坐标为(﹣4,3).(8分)18.(8分)列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=kx部分自变量与函数值的对应关系:x﹣3a12x+b a3kx7(1)求a,b的值,并补全表格;(2)结合表格,函数y=2x+b与y=kx的交点坐标是 ,当y=2x+b的图象在y=kx的图象上方时,x的取值范围是 .【解析】解:(1)当x=﹣3时,2x+b=a,即﹣6+b=a,当x=a时,2x+b=3,即2a+b=3,∴,解得:,∴一次函数为y=2x+5,当x=1时,y=7,∵当x=1时,y=kx=7,即k=7,∴正比例函数为:y=7x,当x=﹣3时,y=7×(﹣3)=﹣21,当x=﹣1时,y=7×(﹣1)=﹣7,补全表格如下:x﹣3﹣112x+b﹣117kx﹣21﹣77(4分)(2)由表格信息可得:两个函数的交点坐标分别为(1,7),(6分)∴当y=2x+b的图象在y=kx的图象上方时,x的取值范围为x<1.(8分)故答案为:(1,7),x<1.19.(10分)将若干张40cm长的长方形纸,按如图所示的方法粘合成纸条,粘合部分的宽为2cm.(1)将表格补充完整:纸的张数1234…10…纸条的长度40116154……(2)设x张纸粘合后的纸条长为y cm.①直接写出y与x间的表达式: ;②将50张纸粘合后的纸条长为 cm;③小明需要粘合长为2024cm的纸条,通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸.【解析】解:(1)根据图形可知每增加一张白纸,长度就增加38cm,40+38=78;40+(40﹣2)(10﹣1)=382.故答案为:78,382;(4分)(2)①根据题意和所给图形可得出:y=40+(40﹣2)(x﹣1)=38x+2,即y=38x+2.(6分)②令x=50,则y=38×50+2=1902 (cm);故答案为:1902;(8分)③由y=2024,可得38x+2=2024,解得x≈53.2.答:至少需要54张这样的纸.(10分)20.(10分)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x,y),给出如下定义:记a=x+y,b=﹣x+y,将点M(a,b)与点N(b,a)称为点P的一对伴随点.例如,点M(1,﹣5)与点N(﹣5,1)为点P (3,﹣2)的一对伴随点.(1)点A(4,1)的一对伴随点坐标为 ;(2)将点C(3m﹣1,m+1)(m>0)向左平移m个单位长度,得到点C′,若点C′的一对伴随点重合,求点C的坐标.【解析】解:(1)由题意得,a=x+y=4+1=5,b=﹣x+y=﹣4+1=﹣3,∴点A的一对伴随点坐标为:(,﹣3),(﹣3,5);故答案为:(5,﹣3),(﹣3,5);(4分)(2)由题意得,C′(2m﹣1,m+1),此时,a=2m﹣1+m+1=3m,b=﹣2m+1+m+1=﹣m+2,则C′点的伴随点为(﹣m+2,3m)和(3m,﹣m+2),(6分)∴这两个伴随点重合,(即两点的横、纵坐标分别相等),∴﹣m+2=3m,解得,m=,∴3m﹣1=,m+1=,∴C点坐标为(,).(10分)21.(12分)已知A、B两地相距80km,甲乙两人沿同一条道路从A地到达B地,如图,l1、l2分别表示甲乙两人离开A地的距离S(km)与时间t(h)之间的关系.(1)请求出l1、l2的函数解析式;(2)甲出发多久两人相遇?此时乙离A地多少千米?【解析】解:(1)由图可知,l1过(0,0),(6,80),设l1的解析式为s=kt(k≠0),∴80=6k,解得k=,∴l1的解析式为s=t;(3分)由图可知,l2过(2,0),(4,80),设l2的解析式为s=k1t+b(k≠0),∴,解得,∴l2的解析式为s=40t﹣80;(8分)(2)联立,解得,∴l1与l2的交点为(3,40),∴甲出发3小时两人相遇,此时乙离A地40千米.(12分)22.(12分)阅读材料:对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P(x,y),给出如下定义:将点P(x,y)平移到P′(x+t,y﹣t)称为将点P进行“t型平移”,点P′称为将点P进行“t型平移”的对应点;将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”.例如:将点P(x,y)平移到P′(x+1,y﹣1)称为将点P进行“1型平移”,将点P(x,y)平移到P′(x﹣1,y+1)称为将点P 进行“﹣1型平移”.已知点A(1,1)和点B(3,1).(1)将点A(1,1)进行“1型平移”后的对应点A′的坐标为 ;(2)将线段AB进行“﹣1型平移”后得到线段A1B1,点P1(2,3),P2(1.5,2),P3(3,0)中,在线段A1B1上的点是 ;(3)若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点,求t的取值范围.【解析】解:(1)将点A(1,1)进行“1型平移”的对应点A′的坐标为(1+1,1﹣1),即(2,0),故答案为:(2,0);(4分)(2)∵A(1,1),B(3,1),t=﹣1,∴将线段AB进行“﹣1型平移”后得到线段A1B1,A1(0,2),B1(2,2),在网格中画出线段A1B1如图所示;∴线段A1B1上的点纵坐标都为0,∵点P1(2,3),P2(1.5,2),P3(3,0),∴在线段A1B1上的点是P2(1.5,2),故答案为:P2(1.5,2).(8分)(3)∵线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点,∴分以下两种情况讨论:①当平移后与y轴相交,则10 30tt+£ìí+³î,解得:﹣3≤t≤﹣1,(10分)②当平移后与x轴相交,则1﹣t=0,解得:t=1,综上所述,t的取值范围是﹣3≤t≤﹣1或t=1 (12分)23.(14分)如图1,某高速路有一段区间测速,限速100km/h.现有一辆大货车QB经过测速区,以测速区起始线为y轴,以高速路路边的围栏为x轴,建立平面直角坐标系如图2,AC为区间测速货车行驶的笔直路线(AC∥x轴),AC=30km.(1)该货车通过测速区间的时间为18分钟(车身长忽略不计),该货车行驶的平均速度为 千米/小时,是否超速 (填“是”或“否”);(2)在测速区起始线且距车头10米的点O处有一个固定激光测速仪,激光射线OP与AC交于点P (400,10);在点M(500,0)处设置可转动的另一台测速仪,射出的激光线MQ追踪货车头点Q,当车头Q刚好在测速区起始线时.①求射线OP所在直线的函数表达式,②射线MQ、射线OP的交点坐标;(3)若车头Q刚好在测速区起始线时开始计时,请直接写出激光射线MQ与射线OP有交点的时长.【解析】解:(1)∵AC=30km18分钟∴30÷=100(千米/小时),∵限速100km/h,∴不超速;故答案为:100,否.(4分)(2)①∵P(400,10),设射线OP所在直线的函数表达式为y=kx(k为常数,且k≠0).将坐标P(400,10)代入y=kx,得400k=10,∴,∴射线OP所在直线的函数表达式为y=x;(6分)②设射线MQ所在直线的函数表达式为y=mx+n(m,n为常数,且m≠0).将坐标M(500,0)和Q(0,10)分别代入,得,解得,∴射线MQ所在直线的函数表达式为y=﹣x﹣10;当射线MQ、射线OP相交时,得,解得,∴射线MQ、射线OP的交点坐标为(,).(10分)(3)当MQ∥OP时,射线MQ与射线OP无交点,设此时Q(a,10).设当MQ∥OP时,射线MQ所在直线的函数表达式为y=x+b,将M(500,0)代入y=x+b,得0=×500+b,解得b=﹣,∴y=x﹣,将Q(a,10)代入y=x﹣,得a﹣=10,解得a=900,900÷100=9(秒),∴激光射线MQ与射线OP有交点的时长为9秒.(14分)。
安徽铜陵市八年级数学下册第十九章《一次函数》知识点(含答案解析)
一、选择题1.如图1,将正方形ABCD置于平面直角坐标系中,其中AD边在x轴上,其余各边均与坐标轴平行,直线l:y=x-3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移,在平移的过程中,该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m,平移的时间为t(秒),m与t的函数图象如图2所示,则图2中b的值为()A.52B.2C.32D.5A解析:A【分析】从图2中,判定从有截长到截长消失,用12-2=10秒,根据正方形的对称性,截长从0到最大用5秒,从而判断正方形的边长为5,对角线长即可确定.【详解】解:从图2中,判定从有截长到截长消失,用12-2=10秒,根据正方形的对称性,截长从0到最大用5秒,所以正方形的边长为5,所以对角线长为52故选A.【点睛】本题考查了坐标系中的平移问题,熟练掌握平移的规律,正方形的对称性,灵活运用数形结合的思想是解题的关键.→→→方向运2.如图①,在长方形MNPQ中,动点R从点N出发,沿着N P Q M∆的面积为y,如果y关于x的函数图象动至点M处停止.设点R运动的路程为,x MNR如图②所示,那么下列说法错误的是()A .5MN =B .长方形MNPQ 的周长是18C .当6x =时,10y =D .当8y =时,10x =D解析:D 【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长,然后选项计算,选项A 、B 、C 都可证正确,选项D ,面积为8时,对应x 值不为10,所以错误. 【详解】解:由图2可知,长方形MNPQ 的边长,MN=9-4=5,NP=4,故选项A 正确; 选项B ,长方形周长为2×(4+5)=18,正确; 选项C ,x=6时,点R 在QP 上,△MNR 的面积y=12×5×4=10,正确; 选项D ,y=8时,即1852x =⨯,解得 3.2x =, 或()185132x =⨯-,解得9.8x =, 所以,当y=8时,x=3.2或9.8,故选项D 错误; 故选:D . 【点睛】本题考查了动点问题分类讨论,对运动中的点R 的三种位置都设置了问题,是一道很好的动点问题,读懂函数图象是解题关键.3.如图,A 、M 、N 三点坐标分别为A (0,1),M (3,4),N (5,6),动点P 从点A 出发,沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动,且过点P 的直线l :y=-x+b 也随之移动,设移动时间为t 秒,若点M 、N 分别位于l 的异侧,则t 的取值范围是( )A .611t <<B .510t <<C .610t <<D .511t <<C解析:C 【分析】分别求出直线l 经过点M 、点N 时的t 值,即可得到t 的取值范围. 【详解】解:当直线y=-x+b 过点M (3,4)时,得4=-3+b ,解得:b=7, 则7=1+t ,解得t=6.当直线y=-x+b 过点N (5,6)时,得6=-5+b ,解得:b=11, 则11=1+t ,解得t=10.故若点M ,N 位于l 的异侧,t 的取值范围是:6<t <10. 故选:C . 【点睛】本题考查了坐标平面内一次函数的图象与性质,得出直线l 经过点M 、点N 时的t 值是解题关键.4.在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点,已知直线()1:20l y mx m =+<与直线2:4l y x =-,若两直线与y 轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点,则m 的取值范围是( ) A .21m -<<- B .21m -≤<- C .322m -≤<- D .322m -<≤-D 解析:D 【分析】由1l 过(1,0)时区域内由两个整点求出m=-2,由1l 过(2,-1)时区域内有三个整点求出32m =-,综合求出区域内有三个整点可求出322m -<≤-.【详解】当()1:20l y mx m =+<过(1,0)时区域内由两个整点, 此时m+2=0,m=-2,当()1:20l y mx m =+<过(2,-1)时区域内有三个整点,此时122m -=+,32m =-, 两直线与y 轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点,322m -<≤-.故选择:D .【点睛】本题考查数形结合思想求区域整点问题,掌握利用区域三角形边界整点来解决问题是关键.5.在直角坐标系中,点()2,3A -、()4,3B 、()5,C a 在同一条直线上,则a 的值是( ) A .-6 B .6C .6或3D .6或-6B解析:B 【分析】先用待定系数法求出直线AB 的解析式,然后将点C 的坐标代入即可确定a 的值. 【详解】解:设点()2,3A -、()4,3B 所在的直线解析式为y=kx+b 则3234k b k b -=+⎧⎨=+⎩,解得39k b =⎧⎨=-⎩则直线y=3x-9将点C 的坐标代入得:a=3×5-9=6. 故选:B . 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用,确定直线AB的解析式是解答本题的关键.6.如图,直线y=kx(k≠0)与y=23x+2在第二象限交于A,y=23x+2交x轴,y轴分别于B、C两点.3S△ABO=S△BOC,则方程组236kx yx y-=⎧⎨-=-⎩的解为()A.143xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩B.321xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩C.223xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩D.3432xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C解析:C 【分析】先根据223y x=+可得B、C的坐标,进而确定OB、OC的长,然后根据3S△ABO=S△BOC结合点A在第二象限确定A点的纵坐标,然后再根据点A在y=23x+2上,可确定点A的横坐标即可解答.【详解】解:由223y x=+可得B(﹣3,0),C(0,2),∴BO=3,OC=2,∵3S△ABO=S△BOC,∴3×12×3×|yA|=12×3×2,解得y A=±23,又∵点A在第二象限,∴y A=23,当y=23时,23=23x+2,解得x=﹣2,∴方程组236kx yx y-=⎧⎨-=-⎩的解为223xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为C.【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组,理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解答本题的关键.7.甲、乙两人从公司去健身房,甲先步行前往,几分钟后乙乘出租车追赶,出租车的速度是甲步行速度的5倍,乙追上甲后,立刻带上甲一同前往,结果甲比预计早到4分钟,他们距公司的路程y(米)与时间x(分)间的函数关系如图所示,则下列结论中正确的个数为()①甲步行的速度为100米/分;②乙比甲晚出发7分钟;③公司距离健身房1500米;④乙追上甲时距健身房500米.A.1个B.2个C.3个D.4个C解析:C【分析】根据一次函数的图象获取信息,可得到距公司的路程y(米)与时间x(分)间的函数关系,进而对四个结论进行判断,即可得出结果.【详解】解:观察图象,得:甲步行的速度为1000÷10=100米/分,故①正确;10−1000500=10−2=8,即乙比甲晚出发8分钟,故②错误;设公司距离健身房x米,依题意得x 100−(10+x1000500-)=4,解得x=1500,∴公司距离健身房1500米,故③正确;乙追上甲时距健身房1500−1000=500米,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查了一次函数图象的应用,熟练掌握一次函数图象与性质及利用数形结合的思想是解题的关键.8.关于x的一次二项式ax+b的值随x的变化而变化,分析下表列举的数据,若ax+b=11,则x的值是()A.3 B.﹣5 C.6 D.不存在C 解析:C【分析】设y=ax+b,把x=0,y=-1和x=1,y=1代入求出a与b的值,即可求出所求.【详解】解:设y=ax+b,把x=0,y=-1和x=1,y=1代入得:11a bb+=⎧⎨=-⎩,解得:21 ab=⎧⎨=-⎩,∴2x﹣1=11,解得:x=6.故选:C.【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及代数式求值,一次函数的解析式,熟练掌握解二元一次方程组是解本题的关键.9.对于实数a、b,我们定义max{a,b}表示a、b两数中较大的数,如max{2,5}=5,max{3,3}=3.则以x为自变量的函数y=max{-x+3,2x-1}的最小值为().A.-1 B.3 C.43D.53D解析:D 【分析】分x≤43和x>43两种情况进行讨论计算.【详解】解:当-x+3≥2x-1,∴x≤43,即-x≥-43时,y=-x+3,∴当-x=-43时,y的最小值=53,当-x+3<2x-1,∴x>43,即:x>43时,y=2x-1, ∵x>43, ∴2x >83, ∴2x-1>53, ∴y >53, ∴y 的最小值=53, 故选:D . 【点睛】此题是分段函数题,以及一次函数的性质,主要考查了新定义,解本题的关键是分段. 10.直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别相交于A ,B 两点,若点()1,2M m m +-在AOB 内部,则m 的取值范围为( )A .1433m << B .17m -<< C .703m <<D .1123m <<D 解析:D 【分析】 先求出直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别相交于A ,B 坐标,由点()1,2M m m +-在AOB 内部,列出不等式组0184201(1)22m m m m ⎧⎪<+<⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎩①②③分别解每一个不等式,在数轴上表示解集,得出不等式组的解集即可. 【详解】解:直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别相交于A ,B 两点, 当x=0,y=-4,B(0,-4),当y=0时,=-1x 402,x=8,A (8,0), 点()1,2M m m +-在AOB 内部,满足不等式组0184201(1)22m m m m ⎧⎪<+<⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎩①②③,解不等式①得:-17m <<,解不等式②得:26m <<, 解不等式③得:113m <, 在数轴上表示不等式①、②、③的解集,不等式组的解集为:1123m <<. 故选择:D . 【点睛】本题考查一次函数,不等式组的解法,掌握一次函数,不等式组的解法,关键是根据点M 在△AOB 内列出不等式组是解题关键.二、填空题11.已知点)(,A m n 在一次函数53y x =+的图像上,则53n m -+的值是______.6【分析】将点代入一次函数中得n-5m=3即可代入求值【详解】∵点在一次函数的图像上∴5m+3=n ∴n-5m=3∴=3+3=6故答案为:6【点睛】此题考查一次函数图象上点坐标特点已知式子的值求代数式解析:6 【分析】将点)(,A m n 代入一次函数53y x =+中得n-5m=3,即可代入求值. 【详解】∵点)(,A m n 在一次函数53y x =+的图像上, ∴5m+3=n , ∴n-5m=3,∴53n m -+=3+3=6, 故答案为:6. 【点睛】此题考查一次函数图象上点坐标特点,已知式子的值求代数式的值,掌握函数图象上点坐标特点是解题的关键.12.如图在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的对角线交于点E ,//CD x 轴,若AC BD =,6CD =,AED 的面积为6,点A 为(2,)n ,BD 所在直线的解析式为1(0)y kx k k =++≠,则AC 所在直线的解析式为________.y=-x+【分析】先根据对角线相等的平行四边形是矩形证明▱ABCD 是矩形计算BD 的解析式得点A 和C 的坐标从而可得结论【详解】解:在▱ABCD 中∵AC=BD ∴▱ABCD 是矩形∴∠ADC=90°∵S △A解析:y=-23x+253. 【分析】先根据对角线相等的平行四边形是矩形,证明▱ABCD 是矩形,计算BD 的解析式,得点A 和C 的坐标,从而可得结论. 【详解】解:在▱ABCD 中,∵AC=BD , ∴▱ABCD 是矩形, ∴∠ADC=90°, ∵S △AED =6,∴S ▱ABCD =AD•CD=4×6=24, ∴AD×6=24, ∴AD=4, ∵A (2,n ),∴D (2,n-4),B (8,n ),B (8,n-4) ∵BD 所在直线的解析式为1(0)y kx k k =++≠∴21=n-481k k k k n ++⎧⎨++=⎩,解得:237k n ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴BD 所在直线的解析式为y=23x+7, ∴A (2,7),C (8,3),设直线AC 的解析式为:y=mx+a ,则2783m a m a +=⎧⎨+=⎩,解得:23253m a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴AC 所在直线的解析式为:y=-23x+253. 故答案为:y=-23x+253. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式,矩形的性质和判定,坐标和图形的性质等知识,熟练掌握矩形的性质是解题的关键.13.已知一次函数(2) 3y m x m =-+-的图象经过第一、二、四象限,则化简=__________.5-2m 【分析】首先根据一次函数y=(m-2)x+3-m 的图象不经过第三象限可得m-2<0进而得到m <2再根据二次根式的性质进行计算即可【详解】方法一:一次函数的图象经过第一二四象限∴∴故答案为:方解析:5-2m【分析】首先根据一次函数y=(m-2)x+3-m 的图象不经过第三象限,可得m-2<0,30m ->,进而得到m <2,再根据二次根式的性质进行计算即可.【详解】方法一:一次函数(2)3y m x m =-+-的图象经过第一、二、四象限,∴2030m m -<⎧⎨->⎩,∴=23m m =-+-52m =-.故答案为:52m -.方法二:(2)3y m x m =-+-的图象经过第一、二、四象限,∴2030m m -<⎧⎨->⎩解得23m m <⎧⎨<⎩, ∴2m <,=|2||3|m m =-+-23m m =-+-52m =-故答案为52m -.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系,以及二次根式的化简,关键是掌握:①k >0,b>0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限;②k >0,b <0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限;③k <0,b >0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限;④k <0,b <0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限.14.如图,已知,,a b c 分别是Rt ABC △的三条边长,90C ∠=︒,我们把关于x 的形如a b y x c c =+的一次函数称为“勾股一次函数”;若点351,5P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在“勾股一次函数”的图象上,且Rt ABC △的面积是10,则c 的值是_________.【分析】依据题意得到三个关系式:a+b=cab=10a2+b2=c2运用完全平方公式即可得到c 的值【详解】解:∵点在勾股一次函数的图象上把代入得:即∵分别是的三条边长的面积为10∴故∴∴故解得:故答解析:52【分析】依据题意得到三个关系式:a+b=355c ,ab=10,a 2+b 2=c 2,运用完全平方公式即可得到c 的值.【详解】解:∵点35(15P ,在“勾股一次函数”a b y x c c =+的图象上,把35(1)5P ,代入得: 35a b c c=+,即35a b +=, ∵,,a b c 分别是Rt ABC 的三条边长,90C ∠=︒,Rt ABC 的面积为10,∴1102ab =,222+=a b c ,故20ab =, ∴22()2a b ab c +-=,∴22352205c c⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭,故24405c=,解得:52c=.故答案为:52.【点睛】此类考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用,根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键.15.若函数y=kx+b(k≠0)的图像平行于直线y=3x+2,且与直线y=-x-1交x轴于同一点,则其函数表达式是_____.y=3x+3【分析】根据平行直线的解析式求出k值再把点的坐标代入解析式求出b值即可【详解】y=-x-1当y=0时x=-1∴线y=-x -1交x轴于点(-10)∵y=kx+b的图象平行于直线y=3x+2解析:y=3x+3【分析】根据平行直线的解析式求出k值,再把点的坐标代入解析式求出b值即可.【详解】y=-x-1,当y=0时,x=-1,∴线y=-x-1交x轴于点(-1,0),∵y=kx+b的图象平行于直线y=3x+2,∴k=3,又∵函数y=kx+b(k≠0)的与直线y=-x-1交x轴于同一点,∴函数y=kx+b(k≠0)经过点(-1,0),∴-3+b=0,∴b=3,∴函数的表达式是y=3x+3,故答案为:y=3x+3.【点睛】本题考查了求一次函数解析式,涉及了两直线平行的问题,熟知两直线平行时,k值相等是解题的关键.16.正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…,按如图所示的方式放置.点A1、A2、A3、…,和点C1、C2、C3,…,分别在直线y=kx+b (k>0)和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2),则点B2021的坐标是_________________.(22021-122020)【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式然后分别求得B1B2B3…的坐标可以得到规律:Bn (2n-12n-1)据此即可求解【详解】解:∵B1的坐标为(11)点B2的坐标解析:(22021-1,22020)【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式,然后分别求得B 1,B 2,B 3…的坐标,可以得到规律:B n (2n -1,2n-1),据此即可求解.【详解】解:∵B 1的坐标为(1,1),点B 2的坐标为(3,2),∴正方形A 1B 1C 1O 1边长为1,正方形A 2B 2C 2C 1边长为2,∴A 1的坐标是(0,1),A 2的坐标是:(1,2),代入y=kx+b 得:12b k b ⎧⎨+⎩==, 解得:11k b ⎧⎨⎩==, 则直线的解析式是:y=x+1.∵A 1B 1=1,点B 2的坐标为(3,2),∴点A 3的坐标为(3,4),∴A 3C 2=A 3B 3=B 3C 3=4,∴点B 3的坐标为(7,4),∴B 1的纵坐标是:1=20,B 1的横坐标是:1=21-1,∴B 2的纵坐标是:2=21,B 2的横坐标是:3=22-1,∴B 3的纵坐标是:4=22,B 3的横坐标是:7=23-1,∴B n 的纵坐标是:2n-1,横坐标是:2n -1,则B n (2n -1,2n-1).∴B 2021的坐标是:(22021-1,22020),故答案为:(22021-1,22020).【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律.此题难度较大,注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.17.如图,直线l 是一次函数y kx b =+的图象,若点()4,A m 在直线l 上,则m 的值是____.3【分析】观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法可求出直线的函数关系式再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值【详解】解:将代入得:解得:直线的函数关系式为当时故答案为:3【点睛】本题考查了一次解析:3【分析】观察函数图象找出点的坐标,利用待定系数法可求出直线l 的函数关系式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m 的值.【详解】解:将(2,0)-,(0,1)代入y kx b =+,得:201k b b -+=⎧⎨=⎩, 解得:121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线l 的函数关系式为112y x =+. 当4x =时,14132m =⨯+=. 故答案为:3.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式,根据点的坐标,利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键.18.如图,在同一直角坐标系中作出一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象,则关于x 、y 的二元一次方程组12y k x y k x b =⎧⎨=+⎩的解是___________. 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题【详解】解:∵一次函数y1=k1x 与y=k2x+b 的图象的交点坐标为(12)∴二元一次方程组的解为故答案是:【点睛】本题考查了一次函解析:12x y =⎧⎨=⎩【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题.【详解】解:∵一次函数y 1=k 1x 与y=k 2x+b 的图象的交点坐标为(1,2),∴二元一次方程组12y k x y k x b =⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩. 故答案是:12x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程(组):方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.19.如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =x +2交x 轴于点A ,交y 轴于点A 1,点A 2,A 3...在直线l 上,点B 1,B 2,B 3..在x 轴的正半轴上,若△A 1OB 1,△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3...,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x 轴上,则第2021个等腰直角三角形A 2021B 2020B 2021顶点B 2021的横坐标为__________.【分析】先求出…的横坐标探究总结得到即可根据规律解决问题【详解】解:探究规律:令则令则∴∴…发现并总结规律:∴运用规律:当时故答案为【点睛】本题考查规律型:点的坐标等腰直角三角形的性质等知识解题的关解析:202222-【分析】先求出123,,B B B …的横坐标,探究总结得到122,n n B x +=-,即可根据规律解决问题.【详解】解:探究规律: :2,l y x =+令0,x = 则2,y =()10,2,A ∴令0,y = 则2,x =-()2,0,A ∴-12,OA OA ∴==∴11121223232,4,8,OB OA B B B A B A B B ======∴12222,B x ==- 23622,B x ==-341422,B x ==-…,发现并总结规律:∴122,n n B x +=-运用规律:当2021n =时,202120222 2.B x ∴=-故答案为20222 2.-【点睛】本题考查规律型:点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题.20.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B 的坐标为()6,8,点D 是OA 的中点,点E 在线段AB 上,当CDE ∆的周长最小时,点E 的坐标是_______.(6)【分析】如图作点D 关于直线AB 的对称点H 连接CH 与AB 的交点为E 此时△CDE 的周长最小先求出直线CH 解析式再求出直线CH 与AB 的交点即可解决问题【详解】解:如图作点D 关于直线AB 的对称点H 连接解析:(6,83) 【分析】如图,作点D 关于直线AB 的对称点H ,连接CH 与AB 的交点为E ,此时△CDE 的周长最小,先求出直线CH 解析式,再求出直线CH 与AB 的交点即可解决问题.【详解】解:如图,作点D 关于直线AB 的对称点H ,连接CH 与AB 的交点为E ,此时△CDE 的周长最小.∵D (3,0),A (6,0),B (6,8),∴H (9,0),C (0,8),设直线CH 解析式为8y kx =+,∴098k =+,∴89k =-, ∴直线CH 解析式为y =−89x +8, ∴x =6时,y =83, ∴点E 坐标(6,83). .【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称−最短问题、一次函数等知识,解题的关键是利用轴对称找到点E 位置,学会利用一次函数解决交点问题,属于中考常考题型.三、解答题21.如图,在平面直角坐标系中,过点()0,6C 的直线AC 与直线OA 相交于点()4,2A . (1)求直线AC 和OA 的函数解析式;(2)动点M 在直线AO 上运动,是否存在点M ,使OMC 的面积是OAC 的面积的14?若存在,求出此时点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解析:(1)16,2y x y x =-+=;(2)存在,11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】(1)利用待定系数法即可求出直线AC 和OA 的函数解析式;(2)根据(1)求出OAC 的面积,然后将OMC 的面积用含有M 坐标的式子表示出来,即可求出M 坐标.【详解】(1)设直线AB 的解析式是y kx b =+,根据题意得:426k b b +=⎧⎨=⎩ 解得:16k b =-⎧⎨=⎩ 则直线的解析式是:6y x =-+,设OA 的解析式是y mx =,则42m =, 解得:12m =, 则直线的解析式是:12y x =; (2)∵当OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的14时, ∴14OMC S OAC ∆=∆, 即111242M C OC x OC x ⨯⨯=⨯⨯⨯, ∴1414M x =⨯=, 当1M x =时,12M y =, 当1M x =-时,12M y =-时, ∴M 的坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题重点在于利用待定系数法求函数解析式,以及利用未知数表示三角形面积,依次求出点坐标.22.在ABC 中,已知:∠A=60度,∠B=x 度,∠C=y 度,请写出y 关于x 的函数式,并画出函数图象解析:120(0120)y x x =-+<<,图象见解析.【分析】先根据三角形的内角和定理可得y 关于x 的函数关系式,再根据0,0x y >>可得自变量x 的取值范围,然后利用描点法画出函数图象即可得.【详解】由三角形的内角和定理得:180A B C ∠+∠+∠=度,60A ∠=度,B x ∠=度,C y ∠=度,60180x y ∴++=,解得120y x =-+,又00x y >⎧⎨>⎩, 01200x x >⎧∴⎨-+>⎩, 解得0120x <<,列表如下: x40 60y80 60【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、画一次函数的图象,熟练掌握函数图象的画法是解题关键.23.甲、乙两人计划8:00一起从学校出发,乘坐班车去博物馆参观,乙乘坐班车准时出发,但甲临时有事没赶上班车,8:45甲沿相同的路线自行驾车前往,结果比乙早1小时到达.甲、乙两人离学校的距离y (千米)与甲出发时间x (小时)的函数关系如图所示.(1)求甲、乙两人的速度.(2)求OC 和BD 的函数关系式.(3)求学校和博物馆之间的距离.解析:(1)甲、乙的速度分别是80千米/小时,40千米/小时;(2)OC 的函数关系式为:80y x =,BD 的函数关系式为:4030y x =+;(3)140千米.【分析】(1)根据函数图像,甲0.75小时行驶60千米,计算得出甲的速度;结合题意,乙行驶60千米时,所用总时间为:(0.750.75)+小时,计算得出乙的速度.(2)观察函数图像,根据A 点坐标,计算得出OC 的函数解析式;根据题意得出A 、B 两点的坐标,用待定系数法求出BD 的函数解析式.(3)设甲行驶时间为x 小时,根据甲乙两人行驶路程相等,列出一元一次方程,计算得出行驶时间,根据“路程=速度×时间”计算得出学校和博物馆之间的距离.【详解】解:(1)甲的速度:600.7580÷=(千米/小时),从8:00到8:45经过0.75小时,乙的速度为:60(0.750.75)40÷+=(千米/小时),甲、乙的速度分别是80千米/小时,40千米/小时.(2)∵根据题意得:A 点坐标为(0.75,60),当乙运动了45分钟后即0.75小时,距离学校:400.7530⨯=(千米),∴B 点坐标为(0,30).∵设直线OC 的函数关系式为1y k x =,将点A 代入得:1600.75k =,解得:180k =,∴直线OC 的函数关系式为80y x =,∵设BD 的函数关系式为2y k x b =+,将A 、B 两点的坐标值代入得:220.7560030k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩,解得:24030k b =⎧⎨=⎩, ∴直线BD 的函数关系式为:4030y x =+.(3)∵设甲的行驶时间为x 小时,则乙所用的时间为:0.751 1.75x x ++=+(小时),列方程为:()8040 1.75x x =+ 解得:74x =, 7801404⨯=(千米). ∴学校和博物馆之间的距离是140千米.【点睛】本题考查一次函数的实际应用,从函数图像中获取相关信息是解题关键.24.如图,在平面直角坐标系中,直线AB 交坐标轴于点(0,6)A ,(8,0)B ,点C 为x 轴正半轴上一点,连接AC ,将ABC 沿AC 所在的直线折叠,点B 恰好与y 轴上的点D 重合.(1)求直线AB 的解析式;(2)点P 为直线AB 上的点,请求出点P 的坐标使94COP S =△. 解析:(1)364y x =-+;(2)36,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或310,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】(1)利用待定系数法设直线AB 的解析式为:y =kx +b ,把A (0,6)、B (8,0)代入解析式,求出k 、b ,即可得到结论;(2)根据勾股定理得到AB =10,由折叠性质得AD =AB =10,求出OD ,设OC =x ,则BC =CD =8−x ,根据勾股定理列方程可得OC ,再由三角形的面积公式列方程1393?6244m ⨯⨯-+=,求出m 即可得到P 点坐标. 【详解】解:(1)设直线AB 的解析式为:y kx b +=(k≠0),根据题意得:680b k b =⎧⎨+=⎩, 解得:3k 4b 6⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴直线AB 的解析式为:364y x =-+. (2)∵点(0,6) A 、(8,0)B ,∴6OA =,8OB =.∴10AB ==.由折叠性质得10AD AB ==,∴4OD AD OA =-=.设OC x =,则8BC CD x ==-,∴在OCD 中,由勾股定理得2224(8)x x +=-,解得3x =.即OC =3.∵点P 为直线AB 上的点,∴设点P 的坐标为:3,?64m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∵94COP S =△, ∴1393?6244m ⨯⨯-+=.∴364m -+=32. ∴m 6=或10m =. ∴P 点的坐标为36,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或310,2⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及其应用,熟练掌握一次函数的图象与性质,以及正确的理解题意,根据勾股定理、折叠性质与三角形的面积计算公式建立等量关系求出相应线段的长度或点的坐标是解题的关键.25.某商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品,用160元购进的A 种纪念品与用240元购进的B 种纪念品的数量相同,每件B 种纪念品的进价比A 种纪念品的进价贵10元. (1)求A 、B 两种纪念品每件的进价分别为多少元?(2)若这两种纪念品共购进1000件,由于A 种纪念品销量较好,进购时A 不少于B 种纪念品的数量,且不超过B 种纪念品的1.5倍,问共有多少种进购方案?(3)该商店A 种纪念品每件售价24元,B 种纪念品每件售价35元,在(2)的条件下求出哪种方案获利最多,并求出最大利润.解析:(1)A 、B 两种纪念品每件进价分别为20元、30元;(2)101种;(3)A 种500件,B 种中500件时,最大利润为4500元【分析】(1) 设A 种纪念品每件进价a 元,则B 种纪念品每件进价(10)x +元,根据题意列方程求解即可;(2)设A 种纪念品购进y 件,则B 种纪念品购进(1000)y -件,依据题意列不等式组,求出y 的整数取值范围,即可得出进购方案;(3)根据题意得出利润的关系式,再结合第二问y 的取值范围求出最大利润.【详解】解:(1)设A 种纪念品每件进价a 元,则B 种纪念品每件进价(10)x +元. 根据题意得16024010x x =+,去分母, 得:160(10)240x x +=,解得:20x , 经检验,20x 是原方程的解,1030x +=(元),∴A 种纪念品每件进价20元,B 种纪念品每件进价30元.(2)设A 种纪念品购进y 件,则B 种纪念品购进(1000)y -件,根据题意得:10001.5(1000)y y y y ≥-⎧⎨≤-⎩,解得:500600y ≤≤. 又y 只能取整数,500y ∴=,501, (600)则共有101种购进方案.(3)由题意得,最大利润为:(2420)(3530)(1000)5000W y y y =-+--=-+,在500600y ≤≤时,当500y =时,max 4500W =(元),∴当A 种购进500件,B 种购进500件时,利润最大为4500元.【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式组及一次函数的综合应用,解题关键在于充分理解题意,根据题意列出相关关系式进行求解.26.如图,直线1l :1y x =+与直线2l :2y x n =-+相交于点()1,P b .(1)求点P 的坐标;(2)若120y y >>,求x 的取值范围;(3)点(),0D m 为x 轴上的一个动点,过点D 作x 轴的垂线分别交1l 和2l 于点E ,F ,当3EF =时,求m 的值.解析:(1)()1,2P ;(2)12x <<;(3)2m =或0m =.【分析】(1)把()1,P b 代入1l 的解析式可求解;(2)由(1)可先求解2l 的解析式,然后根据图像可进行求解;(3)把x m =分别代入12l l 、解析式可得点E 、F 的坐标,然后根据两点距离公式可分当1m 时和当1m <时,最后求解即可.【详解】解:(1)把()1,P b 代入1l 解析式得:112b =+=,∴()1,2P .(2)把()1,2代入2l 解析式得:22n =-+,∴4n =,∴2l :24y x =-+,当0y =时,2x =,∴当120y y >>时x 的取值范围为12x <<.(3)把x m =分别代入12l l 、解析式得:1y m =+和24y m =-+,∴点()(),1,,24E m m F m m +-+,∴当1m 时,()1243m m +--+=,∴2m =,当1m <时,2413m m -+--=,∴0m =.【点睛】本题主要考查一次函数的综合,熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.27.一次函数()0y kx b k =+≠满足,当112x -≤≤,121y -≤≤,求这条直线的函数解析式.解析:1y x =-或y x =-.【分析】分点()1,2--,()2,1或()1,1-,()2,2-在直线上两种情形,分别解答即可.【详解】解:∵112x -≤≤时,121y -≤≤,∴点()1,2--,()2,1或()1,1-,()2,2-在直线上.∵点()11,x y 在直线y kx b =+上,∴221k b k b -+=-⎧⎨+=⎩或122k b k b -+=⎧⎨+=-⎩, ∴11k b =⎧⎨=-⎩或10k b =-⎧⎨=⎩ ∴1y x =-或y x =-.【点睛】本题主要考查运用待定系数法求一次函数解析式,掌握分类讨论思想是解答本题的关键. 28.甲、乙两车分别从,A B 两地同时出发,甲车匀速前往B 地,到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地;乙车匀速前往A 地,设甲、乙两车距A 地的路程为y (千米),甲车行驶的时间为x (时),y 与x 之间的函数图象如图所示.(1)求甲车从A 地到达B 地所用的时间;(2)求甲车到达B 地时乙车距A 地的路程;(3)求甲车返回前甲、乙两车相距50千米时,甲车行驶的时间.解析:(1)甲车从A 地到达B 地所用的时间为2.5小时;(2)此时乙车距A 地的路程为100 千米;(3)甲车行驶的时间为54小时或74小时. 【分析】(1)利用待定系数法求出甲车匀速前往B 地的函数表达式,再代入求值即可;(2)利用待定系数法求出乙车从B 地开往A 地的函数表达式,再将m 值代入求解即可; (3)分两种情况:甲车与乙车相遇前和甲车与乙车相遇后,根据函数关系式建立方程计算即可.【详解】解:(1)设甲车匀速前往B 地的函数表达式为1y k x =甲,把()1.5,180代入得:1180 1.5k =,解得1120k =,所以120y x =甲,把(),300m 代入得300120m =,解得 2.5m =,故甲车从A 地到达B 地所用的时间为2.5小时;(2)设乙车从B 地开往A 地的函数表达式为2y k x b =+乙,把()()0,300,1.5,180代入得:23001.5180b k b =⎧⎨+=⎩, 解得:230080b k =⎧⎨=-⎩, 所以80300y x =-+乙,由(1)知,甲车到达B 地所用时间为2.5小时,即此时乙车行驶了2.5小时,所以此时乙车距A 地的路程为:80 2.5300100-⨯+=(千米);(3)①甲,乙两车相遇前相距50千米:8030012050x x -+-=, 解得:54x =, ②甲,乙两车相遇后相距50千米:()1208030050x x --+=, 解得:74x =, 故甲车返回前甲、乙两车相距50千米时,甲车行驶的时间为54小时或74小时. 【点睛】本题考查了一次函数的应用,熟练运用待定系数法求出表达式是解题的关键.。
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平面直角坐标系 1.定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系. 要求:画平面直角坐标系时, x 轴、 y 轴上的单位长度通常应相同,但在实际应用中,有时会遇到取相同的单位长度 有困难的情况,这时可灵活规定单位长度,但必须注意的是,同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同. 2.各个象限内点的特征: 第一象限: (+,+)点 P( x , y ) ,则 x >0, y >0; 第二象限: (-,+)点 P( x , y ) ,则 x <0, y >0; 第三象限: (-,-)点 P( x , y ) ,则 x <0, y <0; 第四象限: (+,-)点 P( x , y ) ,则 x >0, y <0; 在 x 轴上: ( x ,0)点 P( x , y ) ,则 y =0; 在 x 轴的正半轴: (+,0)点 P( x , y ) ,则 x >0, y =0; 在 x 轴的负半轴: (-,0)点 P( x , y ) ,则 x <0, y =0; 在 y 轴上: (0, y )点 P( x , y ) ,则 x =0; 在 y 轴的正半轴: (0,+)点 P( x , y ) ,则 x =0, y >0; 在 y 轴的负半轴: (0,-)点 P( x , y ) ,则 x =0, y <0; 坐标原点: (0,0)点 P( x , y ) ,则 x =0, y =0. 3.点到坐标轴的距离: 点 P( x , y )到 x 轴的距离为 y ,到 y 轴的距离为 x . 4.点的对称: 点 P( m , n ) ,关于 x 轴的对称点坐标是( m , n ) ; 关于 y 轴的对称点坐标是( m , n ) ; 关于原点的对称点坐标是( m , n ) . 5.平行线: 平行于 x 轴的直线上的点的特征:纵坐标相等;如直线 PQ,P (m, n) ,Q ( p , n ) ; 平行于 y 轴的直线上的点的特征:横坐标相等;如直线 PQ,P (m, n) ,Q (m, p) . 6.象限角的平分线: 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等,可记作: P(m, m) ; 点 P ( a, b) 关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是 (b, a ) ; 第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数,可记作: P(m,m) ;
直角坐标平面内,点 A 的坐标是 ( a, b) ,若 ab 0 ,则点 A 位于__
_ 上. (★★)
直角坐标平面内,点 A 到 x 轴的距离为 2,到 y 轴的距离为 3,则点 A 为__
_ . (★★)
直角坐标平面内点 A 2 m,
1 m 关于 x 轴对称的点在第四象限,则 m 的取值范围是__ 2
1 1 x 等都是一次函数,y= x,y=-x 都是 2 2
b ,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例 k
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(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与 x 轴相交的锐角度数越大(直线陡) ,|k|越小,直线与 x 轴相交的锐角度数越小(直线缓) ; (3)b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置; ①当 b>0 时,直线与 y 轴交于正半轴上; ②当 b<0 时,直线与 y 轴交于负半轴上; ③当 b=0 时,直线经过原点,是正比例函数. (4)由于 k,b 的符号不同,直线所经过的象限也不同; ①如图 11-18(l)所示,当 k>0,b>0 时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限) ; ②如图 11-18(2)所示,当 k>0,b﹥O 时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限) ; ③如图 11-18(3)所示,当 k﹤O,b>0 时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限) ; ④如图 11-18(4)所示,当 k﹤O,b﹤O 时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限) . (5)由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小,k 相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此, 它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:直线 y=x+1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得 到的.
4、若点 P( a , a -2)在第四象限,则 a 的取值范围是( A.-2< a <0 B.0< a <2 C. a >2) . D. a <0
5.已知点 P(a,a-1)在平面直角坐标系的第一象限,则 a 的取值范围在数轴上可表示为(
)
6.如图,坐标平面上有两直线 L.M,其方程式分别为 y=9.y=-6.若 L 上有一点 P,M 上有一点 Q,PQ 与 y 轴平 行,且 PQ 上有一点 R,PR:PQ=1:2,则 R 点与 x 轴的距离为何( )
知识结构
知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变 量) ,特别地,当 b=0 时,称 y 是 x 的正比例函数.例如:y=2x+3,y=-x+2,y= 正比例函数. 知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量 x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这 些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线. 知识点 3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b. 由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选 取两个特殊点:直线与 y 轴的交点(0,b) ,直线与 x 轴的交点(函数 y=kx 的图象时,只要描出点(0,0) , (1,k)即可. 知识点 4 一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的性质 (1)k 的正负决定直线的倾斜方向; ①k>0 时,y 的值随 x 值的增大而增大; ②k﹤O 时,y 的值随 x 值的增大而减小.
平面直角坐标系中考题精选 一、 选择题 1.点(-2,1)所在的象限是( ) A.第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.在平面直角坐标系中,点 P(-3,2)所在象限为( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3.如图,在平面直角坐标系中,点 P(-1,2)向右平移 3 个单位长度后的坐标是( A. (2,2) B. (-4,2) C. (-1,5) D. (-1,-1) )
' ' ' ' ' '
将平行四边形 ABCD 平移,使得点 B 平移到 P 点,画出平移之后的平行四边形,并求其面积.
6
y P
4
A
-5
2
D O
-2 5
x
B
C
-4
-6
方法回顾
建议时间:
1.牢记坐标系各象限、坐标轴上点的特点;
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2.距离与横、纵坐标的区别的联系,注意分类讨论; 3.与几何结合时注意找出所有满足条件的点,分类讨论.
(2010· 兰州中考)函数 y A.x≤2 B.x=3
2 x
1 中,自变量 x 的取值范围是( x3
C.x<2 且 x ≠3
)
D.x ≤2 且 x≠3
(2008· 孝感中考)下列曲线中,表示 y 不是 x 的函数是(
)
1、 (2010· 上海中考)一辆汽车在行驶过程中,路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系如图所示 当 0≤x≤1 时,y 关于 x 的函数解析式为 y = 60 x,那么当 1≤x≤2 时,y 关于 x 的函数解析式为_____________.
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点 P ( a, b) 关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是 (b,a) . 7.点的平移: 在平面直角坐标系中, 将点( x , y )向右平移 a 个单位长度,可以得到对应点( x a , y ) ; 将点( x , y )向左平移 a 个单位长度,可以得到对应点( x a , y ) ; 将点( x , y )向上平移 b 个单位长度,可以得到对应点( x , y b ) ; 将点( x , y )向下平移 b 个单位长度,可以得到对应点( x , y b ) . 注意:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化, 我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移. 平移口诀:“左-右+、上+下-” .
_ . (★★)
点的运动
已知点 M 向左平移 4 个单位到达点 N ,点 N 关于原点的对称点为 P 2,3 ,则点 M 的坐标为__
_ . (★★)
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已知点 A 3, 1 ,点 C 1, 4 . 2 ,点 B 0, (1)试在平面直角坐标系中描出点 A , B , C ,并画出△ ABC ; (2)把△ ABC 先向右平移 3 个单位,再向下平移 4 个单位,得到△ A B C ,试在平面直角坐标系内画 出△ A B C 并写出各顶点的坐标. (★★)
知识点 5 正比例函数 y=kx(k≠0)的性质 (1)正比例函数 y=kx 的图象必经过原点; (2)当 k>0 时,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (3)当 k<0 时,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小.
知识点 6 点 P(x0,y0)与直线 y=kx+b 的图象的关系 (1)如果点 P(x0,y0)在直线 y=kx+b 的图象上,那么 x0,y0 的值必满足解析式 y=kx+b; (2)如果 x0,y0 是满足函数解析式的一对对应值,那么以 x0,y0 为坐标的点 P(1,2)必在函数的图象上. 例如:点 P(1,2)满足直线 y=x+1,即 x=1 时,y=2,则点 P(1,2)在直线 y=x+l 的图象上;点 P′(2,1)不 满足解析式 y=x+1,因为当 x=2 时,y=3,所以点 P′(2,1)不在直线 y=x+l 的图象上.