高数收敛定义
高数收敛知识点总结
高数收敛知识点总结高等数学中，收敛是指某个数列或级数在某个极限下趋于无穷大。
以下是高数中与收敛相关的重要知识点：1. 数列的极限数列的极限是指数列中的数当$n$趋近于无穷大时的极限。
如果存在这样一个数$A$，使得对于任意正数$\epsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时有$|a_n-A|<\epsilon$，则称数列$a_n$收敛于$A$。
如果不存在这样一个数$A$，则称数列$a_n$发散。
2. 级数的收敛与发散级数是无数项加和的表达式，如果一个级数的部分和数列收敛，则这个级数也收敛。
具体地，对于一个级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，其部分和数列为$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$，如果$S_n$收敛于某个数$S$，那么称级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，记为$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=S$；如果$S_n$发散，则称级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$发散。
3. 收敛级数的比较判别法对于两个级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$，如果对于充分大的$n$，有$|a_n|\leqslant kb_n$，其中$k$是某个正常数，那么有以下结论：当$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；当$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$也发散。
4. 收敛级数的比值判别法对于一个级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，如果极限$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$存在，记为$r$，则有以下结论：当$r<1$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；当$r>1$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$发散；当$r=1$时，比值判别法无法判断级数的收敛性。
高数复习笔记
第一章1、映射：Y中有唯一与x对应的元素，f为x到y的映射，y称为像，x称为原像条件：x,y均为非空集合，但是y反过来对应的x不一定是唯一的可以多个x对应一个y，不可一个x对应一个y。
y中所有元素均被对应，f称为满射。
一个x对应着一个y是单射，若即是单射又是满射则是双射。
2、函数的有界性：上有界，下有界。
恒小于一个值，恒大于一个值。
有界的充要条件是即有上界又有下界（函数绝对值恒小于一正数）数列收敛的定义1数列收敛极限唯一2数列收敛，数列一定有界3从某一项开始大于零，则其极限大于零4数列收敛，子数列收敛两函数相同的条件：定义域，表达式4、函数极限：δ，函数极限定义：定义、ε5、极限运算法则无穷小加无穷小为无穷小（零是无穷小，但是无穷小不一定为零）有界函数（常数）×无穷小也是无穷小6、重要极限7、极限存在准则：单调有界有极限夹逼准则函数的保号性常见等价无穷小1、sinx~x~tanx~ln(1+x)~arcsin(x)~arctan(x)~e x-12、1-cosx~1/2x23、(1+x)a-1函数连续间断定义某一点连续（左右极限存在且相等等于该点函数值，称之为连续1、左极限等于该点函数值——左连续，右极限等于该点函数值——右连续2、闭区间连续。
右左端点处对应左右连续，开区间上连续间断点类型1、没定义2、有定义，极限不存在3、有定义，极限存在。
但是极限不等于函数值1、第一类间断点左右极限都存在（都相等但是不等于函数值——可去间断点）（极限不相等，跳跃间断点）2、第二类间断点左右极限至少有一个不存在称为第二类间断点基本初等函数必连续（三角、反三角，幂函数，指数函数，对数函数）加减乘除（分母不为零）、复合函数只要原函数连续，则连续最值定理：闭区间连续函数一定可以取到最大最小值零点定理：端点处函数值异号，开区间内存在零点（开区间使用）介值定理：闭区间连续函数，区间内比存在一点，使其函数值取到最大值最小值之间（闭区间使用，且多个函数相加存在）第二章函数导数存在就是可导可导一定连续（可以推出极限值等于函数值）不连续一定不可导函数倒数存在——函数左右导数存在且相等验证可导与否，先看是否连续，后看左右导数是否相等Secx=1/cosx cscx=1/sinx三角函数N 阶导数——sinx 求导——sin(x+n*pai/2) cosx 同理1')(!*)1()1(++-=+n nn n b ax a n b ax 乘积函数求N 阶导数隐函数求导（两侧同时对x 求导，最后解出导数）参数方程求导)(')(')()(t t f dx dy t x t f y ϕϕ===可导《=》可微=>连续第三章三个条件拉格朗日中值定理：1、拉格朗日等价形式：)(*])([')()(a b a b a f a f b f --+=-θ2、三个点，采用两次拉格朗日定理 柯西中值定理：二阶可导——一阶可导——连续 洛必达法则：（存在局限性，如果上下求导最后极限不存在，但是其极限有可能存在，洛必达法则不适用） 1、0/0型。
高数定理定义归纳
2012年考研数学高数定理定义归纳第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f（x）在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理（极限的唯一性）数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中00（或A0（或f（x）>0），反之也成立。
函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f （x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。
一般的说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）的图形水平渐近线。
如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim（x →0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
高数：级数敛散判别法
则称无穷级数收敛;
S un 级数的和
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散 。
n1
rn S Sn
uk
级数的余项。
lim
n
rn
0
无穷级数收敛。
kn1
若un≥0 (n=1, 2, 3, …) , un 正项级数。 Sn是单调增加数列。
n1
正项级数 un 收敛
n1
部分和序列 Sn有界 。
比较判别法
1 n 1
np n1n p dx
n n1
1 xp
dx
1
Sn
1
1 2p
1 3p
1
4p
1
np
1
2nddxx 1 xxpp
231dxxp1pn p11n
dx n1x1p
1 p 1
,
因而 Sn有上界。 由基本定理可知, 当p>1时p级数收敛。
9.2.2 比较判别法
定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, 且
设 un , vn 是两个正项级数, 且存在自然数N,
n1 n1
使当 n>N 时有 un≤kvn (k>0为常数) 成立, 则
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 un 也收敛 ;
n1
n1
(2) 若弱级数 un 发散 , 则强级数 vn 也发散 。
n1
n1
比较对象
①
p级数
1 np
,
p>1收敛，p<1发散。
证: 因为
1
nn 1
1 n (n 1)
发散 。
1 1 n 1, 2,
高数上1.3数列极限与性质
所以
n2 n 4 1
lim
n
2n2
n
4
2
分析:
3 n2 nn44
22n22n2 n
n4
4
1 2
3 2
3n 22n
22n2n43nn4
1 n4
这对是任一意个不>易0,取求N解=的[1绝/对]即值可不。等式，必须使用放大法
为了去掉绝对值，不妨设n>4,则有
对 ε >0, 数列点xn落入U(1, ε ) |xn-1|<ε
对于任意给定的正数 ,(这个正数可以任意小), 一定存在某一时刻N, 距离|xN1| , 而且从N以后 的所有xn与1的距离|xn1|都小于 ,
当 越变越小时, 始终存在时刻N, 当n>N时, 都有 |xn1|< ,
当 0 时, 距离 |xn1| →0.
,只要
n
10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它 多么小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时 的一切 xn,不等式 xn a 都成立,那么就称 常数 a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛 于 a,记为
则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
高数定理定义总结
高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果l im(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
高数 数列的极限
2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f (n).
数列的极限
( 1) 观察数列 {1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
播放
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
正
比较可知
又
xn xn1 ( n 1, 2 , )
xn (1 1 ) n 1 1 n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
又
1 )n xn (1 n
11
11
3 1 2
n 1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 . 记此极限为 e , 即
n
lim (1 1 ) n e n
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为 0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q 1 ln , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ln q
高数第9章函数项级数、幂级数
中央财经大学
数学分析
说明: 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处
n
收敛于 s( x ) 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从左图可以看出:
y
y sn ( x ) x n
n1
(1,1)
注意：对于任意正数r 1， 这级数在[0, r ] 上一致收敛． o
数学分析
第九章 函数项级数
中央财经大学
数学分析
I 函数项级数的一致收敛
一、函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义在 I R 上的函数, 则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
( x )在[ a , b ]上一致收敛， u ( x )，并且级数 u n n
n 1
则级数 un ( x )在[ a , b ]上也一致收敛，且可逐
n 1
项求导，即
( x ) u s( x ) u1 ( x ) u ( x) 2 n
(5)
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所以原级数不可以逐项求导．
中央财经大学
数学分析
四、一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
n 1
如果函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
当 x x 0 时，有 s( x ) s( x0 ) .
(3)
s( x ) 在点 x0 处连续， x0 在 [ a , b ] 上是任意 所以 而
笔记整理大一高数知识点
笔记整理大一高数知识点在大一的高等数学课程中，学生们需要掌握和理解许多重要的数学知识点。
为了帮助同学们更好地学习和记忆这些知识点，本文将对大一高数的重要知识进行整理和总结。
1. 极限与连续1.1 极限的定义与性质- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 极限的性质（四则运算、复合函数）1.2 无穷大与无穷小- 无穷大的定义- 无穷小的定义- 无穷小的比较- 高阶无穷小1.3 连续性与间断点- 函数的连续性定义- 连续函数的性质- 间断点的分类和判断- 可导与连续的关系2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算- 导数的定义- 导数的四则运算法则- 高阶导数与Leibniz公式2.2 常见函数的导数- 幂函数、指数函数、对数函数的导数 - 三角函数的导数- 反三角函数的导数- 复合函数的导数2.3 微分学的应用- 极值与最值问题- 弧长与曲率- 泰勒展开式3. 不定积分与定积分3.1 不定积分与原函数- 不定积分的定义- 基本积分公式- 积分方法与换元法3.2 定积分的概念与性质- 定积分的定义- 定积分的性质（线性性、区间可加性等） - 牛顿-莱布尼茨公式3.3 定积分的计算- 分部积分法- 曲线的长度与面积- 广义积分的收敛性4. 无穷级数4.1 无穷级数的定义与收敛性 - 无穷级数的定义- 收敛级数与发散级数的判断 - 收敛级数的性质4.2 常见的数项级数- 等比级数- 幂级数- 正项级数的审敛法4.3 函数项级数- 函数项级数的收敛性- 一致收敛性与点态收敛性 - 幂级数的收敛半径5. 多元函数微分学5.1 偏导数的定义与计算- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法- 高阶偏导数5.2 全微分与导数- 全微分的定义- 导数的定义- 隐函数与显函数的导数5.3 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判断- 条件极值问题的求解通过对以上知识点的整理与总结，相信同学们可以更好地理解和记忆大一高等数学中的重要知识，为后续学习打下坚实的基础。
高数定理定义总结
任一子数列也收敛于a.假如数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}高数定理定义总结高数定理定义总结高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；假如有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)假如数列{xn}收敛，那么数列{xn}肯定有界。
假如数列{xn}无界，那么数列{xn}肯定发散；但假如数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}肯定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)假如数列{xn}收敛于a，那么它的收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
高数收敛定义
高数收敛定义高数中的收敛定义是一个重要的概念，它在数学分析中有着广泛的应用。
收敛定义是指在一定条件下，数列或函数的极限存在且唯一。
在数学中，收敛的定义有多种形式，下面将介绍几种常见的收敛定义及其应用。
一、数列的收敛定义在数学中，数列是一组按照一定规律排列的数。
数列的收敛定义是指当数列的项趋向于某个确定的值时，这个数列就是收敛的。
具体地说，对于一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正实数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，满足|an-a|<ε，那么数列{an}就是收敛的，a就是数列的极限。
数列的收敛定义在实际应用中有着广泛的应用。
例如在物理学中，当我们研究某一物理过程的变化时，可以将物理量随时间变化的数值构成一个数列，通过分析这个数列是否收敛，可以得到物理过程的稳定性和趋势。
二、函数的收敛定义除了数列，函数的收敛定义也是数学分析中常用的概念。
函数的收敛定义是指当自变量趋向于某个确定的值时，函数的极限存在且唯一。
具体地说，对于一个函数f(x)，如果存在一个实数L，对于任意给定的正实数ε，总存在正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，满足|f(x)-L|<ε，那么函数f(x)就在x趋向于a时收敛于L，L就是函数f(x)在x趋向于a时的极限。
函数的收敛定义在微积分中有着重要的应用。
例如在求导的过程中，我们通过定义导数的极限来求出函数在某一点的导数值，这就是函数的收敛定义的应用之一。
三、级数的收敛定义在数学中，级数是指无穷多个数按照一定顺序相加的结果。
级数的收敛定义是指当级数的部分和趋向于某个确定的值时，这个级数就是收敛的。
具体地说，对于一个级数∑an，如果存在一个实数S，对于任意给定的正实数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，满足|∑an-S|<ε，那么级数∑an就是收敛的，S就是级数的和。
级数的收敛定义在数学分析中有着广泛的应用。
例如在解析几何中，通过对级数的收敛性进行研究，可以得到曲线、曲面的性质和方程的解。
高数收敛和发散的判定
高数收敛和发散的判定高等数学中，收敛和发散是重要的概念。
在数学中，收敛是指数列或函数逐渐趋近于某一值的过程，而发散则表示数列或函数没有趋近于任何一个值，而是越来越远离某一值。
在本文中，我们将讨论如何判断数列和函数的收敛性和发散性。
1. 数列的收敛和发散1.1 数列极限数列的极限是数列收敛的充分必要条件。
如果一个数列a(n)有极限L，则当n趋近于无穷大时，a(n)会逐渐接近L。
数列a(n)收敛于L，记作a(n)→L。
1.2 收敛数列的性质如果一个数列收敛到L，则：- 数列a(n)的极限是唯一的。
- 如果b(n)是一个有界数列且a(n)收敛到L，则a(n)b(n)也收敛到L。
- 如果a(n)和c(n)是两个收敛数列，满足a(n)≤b(n)≤c(n)且a(n)→L，c(n)→L，则b(n)→L。
1.3 数列收敛的判定方法1.3.1 夹逼准则夹逼定理是一种常用的数列收敛性判定方法。
假设a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim a(n) = lim c(n) = L，则有lim b(n) = L。
例如，当n趋近于无穷大时，1/n²逐渐接近0，且sin n和cos n 在区间[0,π/2]内振荡，不可能收敛到任何常数，而-1≤sin n≤1，-1≤cos n≤1，则有：- -1/n²≤(sin n)/n²≤1/n²- -1/n²≤(cos n)/n²≤1/n²因此，根据夹逼定理，lim (sin n)/n² = lim (cos n)/n² = 0。
1.3.2 单调数列的收敛性如果数列a(n)是单调递增且有上界，则a(n)收敛。
如果数列a(n)是单调递减且有下界，则a(n)也收敛。
例如，数列1/2，2/3，3/4，4/5，...是单调递增的，且有上界，因此a(n)收敛。
1.3.3 Cauchy收敛准则如果数列a(n)满足对任意ε>0，都存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有|a(m)-a(n)|<ε，则a(n)收敛。
高数收敛发散的判断方法
高数收敛发散的判断方法
1、含义
数列发散和数列收敛是相对的。
收敛的意思是这样的:当数列an满足n→无穷，31-3定值。
严格定义用到了ε-语言，如果一个数列不满足这个条件，就是发散。
2、判断方法
步骤
(一)首先，拿到一个数项级数，我们先判断其是否满足收敛的必要条件:
若数项级数收敛，则n→+o时，级数的一般项收敛于零。
(该必要条件一般用于验证级数发散，即一般项不收敛于零。
)
(二)若满足其必要性。
接下来，我们判断级数是否为正项级数
若级数为正项级数，则我们可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛。
(注:这个判别法的前提必须是正项级数。
)
(三)若不是正项级数，则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数:
(四)若不是交错级数，我们可以再来判断其是否为绝对收敛的级数:
(五)如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，我们可以用
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。
三种判别法
1)比较原则;
2)比式判别法，(适用于含n!的级数);
3)根式判别法，(适用于含n次方的级数);。
高数中收敛的定义
高数中收敛的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊高数里那个挺有意思的收敛呀！
你们想想看，收敛就像是一场追逐游戏。
比如说，有个调皮的小不点一直在跑，可它跑着跑着，就慢慢靠近一个固定的地方，不再乱跑啦，这就是收敛啦！
咱就拿数列来说吧。
一个数列，如果它的项越来越靠近某个确定的值，那就像是小不点找到家啦，这数列就收敛咯。
这多神奇呀！比如说，你可以想象有一群小蜜蜂，它们一开始到处乱飞，可慢慢地，它们都聚集到了一朵花上，这不就是一种收敛嘛！
再说说函数的收敛。
这就好像是一个调皮的孩子，一开始在广阔的天地里闹腾，可后来呢，也乖乖地在一个范围内活动啦。
是不是很形象呢？
那为啥要研究收敛呀？这可重要啦！就好比你盖房子，你得知道这房子会不会稳稳地立在那儿，而不是摇摇晃晃随时要倒。
收敛就是给我们一个确定性，让我们心里有底呀。
你说要是没有收敛，那这数学世界不就乱套啦？就像没有规矩的小孩子，到处捣乱。
收敛就像是给这些数字、函数们立了规矩，让它们知道该往哪儿走，该停在哪儿。
而且呀，收敛在实际生活中也有大用处呢！比如在物理里，研究一些运动的时候，收敛就能帮我们理解物体的最终状态。
在经济里，分析一些数据的趋势，收敛也能让我们更好地把握发展方向。
所以说呀，收敛可不是什么枯燥无味的概念，它就像我们生活中的小助手，默默地发挥着大作用呢！我们可得好好了解它，和它成为好朋友呀！总之，收敛就是这么个神奇又重要的东西，大家可别小瞧它哟！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
高等数学收敛的定义
高等数学收敛的定义
收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。
收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。
一个函数收敛则该函数必定有界，而一个函数有界则不能推出该函数收敛。
要说明的是，数列有界是全域有界，而函数有界仅仅是在去心邻域内局部有界。
扩展资料：
函数项级数收敛域求解思路：
因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定。
其实对应的就是常值级数收敛性的判定，所以函数项级数的收敛域的计算一般基于常值级数判定的方法，常用的基于取项的绝对值的比值审敛法与根值判别法。
1。
高数收敛与发散的判别方法
高数收敛与发散的判别方法为人们所尊崇的高数有着深厚的文化内涵，它可以帮助人们深入理解复杂的抽象思想。
高数中有很多概念，如收敛和发散。
由于它们都有着显著的重要性，所以人们需要知道如何做出正确的判断以便使用它们进行学习和分析。
首先，在理解高数中的收敛和发散概念时，我们需要明确他们之间的区别。
高数中，收敛是指序列数列中，无论如何缩放或改变数值范围，都不会有结果变化的概念。
而发散则是指数值范围越小，序列数列的结果越大。
因此，在实际应用中，人们可以根据改变数值范围时结果的不同来判断该序列数列是收敛还是发散的。
此外，根据极限的概念，我们还可以用另一种方法来区分收敛和发散，即使用函数极限的概念。
如果我们计算某个函数的极限，需要判断该极限是否存在，以及它是否有界。
如果给定函数存在有界的极限，即表明该函数是收敛的；反之，如果该函数的极限无界，则表明该函数是发散的。
最后，我们可以使用微分的方法来判断高数中的收敛与发散，即如果我们计算出一个函数的导数，并检查其是否逐渐改变（即其斜率是否为正或负），我们可以确定该函数的收敛性或发散性。
也就是说，如果函数的导数逐渐改变，则表明该函数收敛；反之，如果函数的斜率总是和给定的数值有关，则表明该函数是发散的。
综上所述，人们可以根据改变数值范围时结果的不同、函数极限的存在性及其界限性以及函数导数的逐渐变化来判断高数中的收敛和发散概念。
虽然了解这些判断方法有一定的难度，但只有掌握了这些判断方法，才能正确使用收敛和发散概念，进而理解并攻克高数的复杂性。
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高数收敛定义
高等数学中的收敛定义是一个重要的概念，它在分析、微积分和实变函数等数学领域中都有着广泛的应用。
收敛定义是描述数列或函数趋于某个极限值的方式，它使我们能够精确地刻画数学对象的变化规律和性质。
在数列中，收敛定义描述了数列中的每一项逐渐趋近于某个极限的情况。
具体而言，对于一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意一个给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立，那么我们说数列{an}收敛到a。
其中，|an-a|表示数列中第n项与极限值a之差的绝对值。
对于函数而言，收敛定义描述了函数在某个点附近的极限情况。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果存在一个实数a，对于任意一个给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-a|<ε成立，那么我们说函数f(x)在点a处收敛到a。
收敛定义的核心思想是通过极限值的存在来描述数列或函数的趋近性。
在数学分析中，收敛定义是讨论极限存在与否、确定极限值以及证明极限性质的重要工具。
它在微积分中的应用尤为广泛。
收敛定义在数学分析中用于判断数列是否收敛。
通过给定的正数ε，我们可以找到一个正整数N，使得当数列中的项数超过N时，数列中的每一项与极限值之差的绝对值都小于ε。
这意味着数列中的项
逐渐趋近于极限值，从而我们可以确定数列的极限是否存在。
收敛定义在微积分中用于刻画函数在某点处的极限性质。
通过给定的正数ε，我们可以找到一个正数δ，使得当自变量与待求极限点的距离小于δ时，函数值与极限值之差的绝对值都小于ε。
这意味着函数在极限点附近的取值逐渐趋近于极限值，从而我们可以确定函数在该点处的极限性质。
除了判断数列和函数的收敛性外，收敛定义还在实变函数中有着重要的应用。
通过对实变函数的收敛定义的研究，我们可以得到诸如极限的唯一性、保号性、四则运算性质以及函数连续性等重要结论。
这些结论为实变函数的研究提供了基础，并在实际问题的分析和求解中发挥着重要的作用。
在数学分析和微积分的学习中，收敛定义是一个基础而重要的概念。
深入理解和掌握收敛定义，对于我们正确理解和应用数学知识具有重要意义。
只有通过准确的定义和严格的推导，我们才能建立起正确的数学思维方式，解决实际问题，为更高层次的数学学习打下坚实的基础。
收敛定义在高等数学中起着重要的作用。
它不仅帮助我们判断数列和函数的收敛性，还为数学分析和微积分等领域的研究提供了基础。
通过理解和应用收敛定义，我们能够更好地理解数学知识的本质，提高数学思维的准确性和深度，为解决实际问题提供有力支持。
因
此，对于学习和掌握高等数学的同学们来说，深入理解和运用收敛定义是至关重要的。