实振型与复振型分解反应谱法
复振型分解反应谱法
复振型分解反应谱法复振型分解反应谱法（Multiple Degree of Freedom Modal Analysis Method）是一种结构动力学分析方法，适用于多自由度体系的振动问题。
它通过将结构系统划分为多个振型，从而简化振动问题的求解过程，提供了一种有效的分析工具。
对于一个多自由度体系，其振动方程可以表示为：[M]{u}''+[C]{u}'+[K]{u}={F}其中[M]、[C]和[K]分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，{u}是位移向量，{F}是外力向量。
复振型分解反应谱法的基本思想是通过将位移向量{u}分解为一系列振型分量的叠加，使得振动方程能够化简为多个单自由度振动方程。
为了实现这个目标，首先需要进行模态分析，确定结构的固有振型和固有频率。
模态分析的过程中，需要求解下面的特征值问题：[K]{\phi}=-\lambda[M]{\phi}其中[K]是结构的刚度矩阵，[M]是质量矩阵，{\phi}是由模态向量组成的矩阵，{\lambda}是由模态频率的平方组成的对角矩阵。
通过解特征值问题，可以得到特征频率和特征向量。
根据特征频率，可以计算结构的固有周期，根据特征向量，可以得到结构的模态形式。
接下来，将位移向量{u}按照模态形式进行分解：{u}=\sum_{i=1}^{N}q_i{\phi}_i其中，{q}是由模态振幅组成的位移向量，{q_i}是第i个模态的振幅。
将位移向量{u}的分解形式代入振动方程，可以得到每个模态的单自由度振动方程：m_i{q_i}''+c_i{q_i}'+k_i{q_i}=f_i其中，m_i、c_i和k_i是第i个模态的质量、阻尼和刚度，f_i 是每个模态对应的外力分量。
对于每个单自由度振动方程，可以采用反应谱法进行求解。
反应谱是结构对地震激励的响应的频率特性分析结果，表示结构的响应在不同频率下的幅值。
通过分析反应谱，可以评估结构对地震的响应程度。
振型分解反应谱法 21页
c 1.5 n1 2n1
n 1 c 1 n c 0.75
抗震规范规定 c0.85
FEK1Geq （底部剪力作用的标准值）
1 基本周期的水平地震影响系数
由T1查设计反应谱
G eq 结构等效重力荷载代表值
结构总的重力荷载代表值的85%
F EK 总的水平地震作用标准值
S
S2j
例 3—4 三层结构，80，北京 Ⅲ类场地。
多遇地震的层间地震剪力,ζ=0.05
m1 27t0 m1 27t0
解：（1）求T1,T2,T3(方法后面要讲实用方法）
T1 0 .467 s T 2 0 .208 s T3 0 .134 s
X1T 0.334 0.6671.000 XT2 0.667 0.6661.000 XT3 4.019 3.0351.000
总的水平地震作用
n
n
FEK Fl 11 HlGl
F F 于是 i
l1
HiGi
n
EK
l1
HlGl
三、顶部附加地震作用l1的计算
经过计算发现底部剪力法对于层数比较多的结构（自振周期长 T总1≽的1地.4T震g）作，用顶拿部出水一平部地分震，作作用为计集算中结力果作偏用小在，顶所部以。规范规定：将
2 T2 2 0 .156 s
⒉用振型分解反应谱法计算
X X1 12 1 1 0..0 40 8 0 8 X X2 22 1 11 .7 .010 00
第一振型
F1i 11x1iGi
1T T1 g0.9ma x00.3 .255 0.9 80.1 60.1158
x1,x2,....x..j, 1,2,......j,
国家标准《建筑隔震设计标准》编制与说明
了新的发展要求。
3 内容总述
目前，国内各地的隔震设计方法没有统一的标准，
多是借鉴国内外抗震规范，从设计中积累经验，再根据
《隔 标 》主要内容包括：1 总 则 ；2 术语及符号；
经验进行设计。因 此，规范隔震设计方法成为迫切需要 3 隔 震 结 构 基 本 要 求 （一 般 要 求 、场 地 及 地 基 、试验
Keywords! seismic isolation design; standard; building structure
基 金 项 目 ： 国 家 重 点 研 发 计 划 （2017YFC0703600 )
22 工 程 建 设 标 准 化 •2 0 2 1 年 第 5 期
防灾减灾专题
1 引言
司 牵 头 共 同 制 订 国 家 标 准 《隔 标 》，以进一步完善隔震
结构设计方法及相关规定。这是世界上首部有关建筑隔
隔震结构具有减震效果好、震后损伤小以及易修复 震设计的国家标准，制订过程充分参考，但不局限于现
等优点。由于地震的不可预测性和人们对建筑抗震安全 行 《抗 规 》第 1 2 章 “隔震与消能减震设计” ，以及现
《隔 标 》中代表性的创新点包括：在 原 有 “底部剪 删除抗震设计反应谱的直线下降段，甶第三段的曲线下
力法” “振型分解反应谱法” “时程分析法”基础上， 降段直接延伸至6 S 区段，提出了新的隔震设计反应谱，
为更加充分地体现隔震结构原有动力特性，将 “振型分 更加符合隔震结构此类长周期结构的地震动动力响应特
解反应谱法”扩 展 为 “复振型分解反应谱法”，由包含 征 ，反应谱的变化，如 图 1 所示。
隔 震 层 的 “一体化直接设计法”代 替 “分部设计” ，用
振型分解反应谱法
解 ⒈自振特性
k1 = 5 ×10 4 kn / m
k12 = k 21 = k 2 = 3 ×10 4 kn / m k 22 = k 2 = 3 ×10 4 kn / m
刚度矩阵 k11 = k1 + k 2 = 5 ×104 kn / m + 3 ×104 kn / m = 8 ×10 4 kn / m
{X }1T = (0.334 0.667 1.000) {X }T = ( 0.667 0.666 1.000) 2 {X }T = (4.019 3.035 1.000) 3
α max = 0.16,η 2 = 1.0 α1 = α
T g 0 .9 max T1
（2）求 ）
α1 , α 2 , α 3
j =1 2 jo
n
(∑ α1j γ j x ji ∑
j =1 i =1
n
n
α
Gi 2 G
)
其中
c=
α (∑ α1i γ ji ∑
j =1 i =1
n
n
Gi 2 G
)
等效系数 (高振型影响系数 ) 当结构各质点的质量相等，并在高度上均匀分布时， 当结构各质点的质量相等，并在高度上均匀分布时，
c
n +1 c = 1.5 2n + 1
惯性力） 最大Fji（惯性力）
&& F ji = miγ j x ji [ j (t ) + &&0 (t )] x
max
&& 单自由度体系， 在x j (t ) 单自由度体系，自振频率为 ω j , ζ j ，在 &&0 (t ) 的作
&& j (t ) + &&0 (t ) x
复振型分解反应谱法
复振型分解反应谱法
复振型分解反应谱法（Complex Modulus Decomposition Method，CMDM）是一种用于分析材料动态响应的方法，它可以对材料在不同频率下的动态响应进行分解，从而得到材料的动态特性。
该方法基于复振型分解原理，将材料的动态响应分解为多个模态的贡献，每个模态代表了不同频率范围内的动态响应。
这些模态可以通过实测或者计算得到，并且可以用于分析材料的动态响应特性。
复振型分解反应谱法的主要优点是可以对材料的动态响应响应进行全面的分析，包括动态响应的频率响应、相位响应、振幅响应等，可以为材料设计和优化提供重要的参考。
此外，该方法还可以用于分析材料的疲劳寿命、耐久性等方面的问题。
然而，复振型分解反应谱法也存在一些局限性，例如需要准确测量材料的动态响应，需要对材料的结构和材料特性进行深入的研究，以及需要对材料的动态响应进行长时间的监测等。
复振型分解反应谱法是一种非常有用的材料动态响应分析方法，可以为材料设计和优化提供重要的参考，但需要在实验和理论方面进行深入的研究和探索。
振型分解反应谱法
n
j
ij 1 ，下面证明它是成立的：
1 as is (i 1, 2,3, , n)
即：
s 1
(1)
式中： ij
1 a111 a212 an 1n 1 a2 21 a2 22 an 2 n (2) 1 a1 n1 a2 n 2 an nn 为振型矩阵的元素：a j 为常系数，由式（1）可唯一确定。
多质点弹性体系在地面水平运动影响下，质点 i 上的总惯性力是：
Fi (t ) mi [ xg (t ) xi (t )]
为了推导简便，将 xg (t) 写成如下形式：
xg (t ) xg (t ) j ij
j 1
n
振型分解反应谱法
使上式成立的唯一可能是 将1按振型展开：
n
sin j (t )d
第 i 质点相对于结构底部的位移可求出如下：
xi (t ) T i ,:q q j . ij j . j (t ). ij
j 1 j 1
n
n
振型分解反应谱法
利用振型矩阵关于刚度矩阵和质量矩阵的正交性将多质点体系分解为 一个一个单质点体系来考虑，从而使问题得以简化。下面说明如何利 用单质点弹性体系水平地震作用的反应谱来确定多质点弹性体系的地 震作用问题，即所谓的振型分解反应谱法。
振型分解反应谱法
广义模态位移可用杜哈美积分写出：
j qj j
或
t
0
xg ( )e
j j ( t )
sin j (t )d
q j (t ) j . j (t )
j (t ) 1
振型分解反应谱法
振型分解反应谱法振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
适用条件（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
（此为底部剪力法的适用范围）（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比是指结构的侧向刚度和重力荷载设计值之比，是影响重力二阶效应的主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi-第i楼层的弹性等效刚度，可取该层剪力与层间位移的比值Hi-第i楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构的侧移刚度成正比关系；周期比的调整将导致结构侧移刚度的变化，从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意，当某主轴方向的刚重比小于或接近规范限值时，应采用加强刚度的方法；当某主轴方向刚重比大于规范限值较多时，可采用削弱刚度的方法。
同样，对刚重比的调整也可能影响周期比。
特别是当结构的周期比接近规范限值时，应采用加强结构外围刚度的方法规范上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应是否可以忽略不计。
见高规5.4.1和5.4.2及相应的条文说明。
刚重比不满足规范上限要求，说明重力二阶效应的影响较大，应该予以考虑。
规范下限主要是控制重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应不致过大，避免结构的失稳倒塌。
见高规5.4.4及相应的条文说明。
刚重比不满足规范下限要求，说明结构的刚度相对于重力荷载过小。
但刚重比过分大，则说明结构的经济技术指标较差，宜适当减少墙、柱等竖向构件的截面面积。
振型分解反应谱法求结构的最大位移和底部最大剪力_概述说明以及解释
振型分解反应谱法求结构的最大位移和底部最大剪力概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文讨论的是振型分解反应谱法在求解结构的最大位移和底部最大剪力方面的应用。
在工程设计和结构分析中，了解结构的抗震性能是至关重要的，因为地震荷载可能会对结构造成巨大影响。
因此，准确估计结构在地震作用下的位移和剪力变化对于设计可靠、安全稳定的建筑物至关重要。
1.2 文章结构本文共分为五个部分进行详细介绍。
首先，在引言部分我们将概述本文的主题和研究目的。
然后，我们将详细讨论振型分解反应谱法的理论基础、求解过程以及其应用范围与限制。
接着，在第三部分中，我们将探讨如何使用等效静力法原理来求解结构的最大位移，并给出相应的求解步骤和计算公式。
第四部分将重点研究底部最大剪力的求解，包括底部剪力分布特点、剪力计算方法及公式导出过程，并通过数值模拟和实验验证结果对比来进行进一步分析。
最后，我们将在结论与展望部分总结主要研究结论，并对存在问题提出改进方向的展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍和解释振型分解反应谱法在求解结构最大位移和底部最大剪力中的应用。
通过阐述相关理论基础、求解过程以及实例分析，旨在为工程师和研究人员提供一种有效的方法来评估建筑物在地震作用下的抗震性能。
此外，本文还将探讨该方法存在的限制，并提出改进方向，以促进该领域未来的研究和应用发展。
2. 振型分解反应谱法2.1 理论基础振型分解反应谱法是结构动力学中常用的一种分析方法，通过将结构的地震作用响应按照不同振型进行分解，进而求解结构在各个振型下的最大位移和底部最大剪力。
该方法基于以下两个理论基础：首先是振型理论。
振型是描述结构在地震激励下的运动状态的数学函数形式。
结构可通过特征向量与自由振荡频率确定其对应的振型形态。
其次是反应谱理论。
反应谱是一种表征动力响应强度与频率关系的曲线。
通过将地震输入转化为加速度-频率坐标系上的曲线，可以获取到某个特定周期（频率）下结构对地震作用响应的峰值。
振型分解反应谱法具体解释
振型分解反应谱法
制作人 路建波
振型分解反应谱法
什么是振型分解反应谱法 振型分解反应谱法的基本假设 振型分解反应谱法的理论依据 计算过程 振型分解反应谱法的不足
什么是振型分解反应谱法
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系， 利用振型分解和振型正交性的原理，将 求解n个自由度弹性体系的地震反应分解 为求解n个独立的等效单自由度弹性体系 的最大地震反应，进而求得对应于每一 个振型的作用效应(弯矩、剪力、 轴向 力)，再按一定法则将每个振型的作用效 应组合成总的地震作用效应进行截面抗 震验算。
补充
振型分解反应谱法常用于计算水平地震 作用，且前面所讲的是未考虑扭转振动 的影响，同志们可以参考相关资料得到 相应考虑扭转振动影响的计算过程。
参考文献
东南大学，建筑结构抗震设计 胡聿贤，地震工程学 卢存恕等，建筑抗震设计实例 王焕定,结构力学 朱伯龙等，建筑结构抗震设计原理
The End
计算第j振型第i个质点的水平作用
Fji i i X jiGi
然后将各个质点处的作用力叠加
计算过程
计算各振型层间剪力，因为各个振型求出的是
最大的反应，需将其组合
n
Fi
Fi 2
j 1
最后求出结构的反应
振型分解反应谱法的不足
该方法只能是在结构弹性范围内计算， 未考虑结构的塑性状态，并且该方法也 没有考虑时间因素，只是计算了过程中 最大的加速度作为控制因素。
振型分解反应谱法的基本假设
结构物的反应是弹性的，可以采用叠家 加原理进行振型组合。
反应谱的假定，现有的反应谱是在结构 的所有支撑处的地震动完全相同，基础 与土壤无相互作用，即标准反应谱。
结构物最不利的地震反应为最大的地震 反应，而与其他的动力反应参数无关。
振型分解反应谱法
3104
50
2
0
0.00003 4 0.058 2 15 0
12 307.6 1 17.54rad / s
22 1625.8 2 40.32rad / s
X12 X11
m112 k11
k12
60307.6 8104 3104
n i 1
j 1
j x ji
Gi G
n
式中 G Gi （结构总重量）
i 1
FEK 则结构总的水平地震作用（底部剪力）
n
nn
FEK
V
2 jo
1G
(
x ) j
Gi 2
1 j ji G
j 1
j1 i1
1cG
其中
nn
c
(
) i
Gi 2
0
0 m2
x1 x2
0 0
k11 k21
k12 k22
2
m1
0
0
m2
0
k11
k21
2m1
k22
k12
2
m2
0
8104 60 2 3104
3104
m1 270t m1 270t
解：（1）求T1,T2,T3(方法后面要讲实用方法）
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s
X
T 1
0.334
0.667
实振型与复振型分解反应谱法
实振型与复振型分解反应谱法
首先，我们来看实振型分解反应谱法。
实振型分解反应谱法是一种基于结构固有振动模式进行地震响应分析的方法。
在这种方法中，结构的地震响应被分解为各个振动模式的响应之和。
每个振动模式对应结构的一个固有振动频率和振型，通过对结构的所有振动模式进行叠加，可以得到结构在地震作用下的总响应。
这种方法的优点是能够直观地展示结构在不同振动模式下的响应特性，有利于工程师对结构的地震响应进行分析和评估。
而复振型分解反应谱法则是一种将结构地震响应分解为实部和虚部的方法。
在这种方法中，结构的地震响应被分解为实部和虚部的反应谱，实部反映了结构的动态特性，而虚部则反映了结构的耗能特性。
通过对实部和虚部的分析，可以更全面地了解结构在地震作用下的响应情况，有利于工程师进行结构的抗震设计和评估。
从工程实践的角度来看，实振型与复振型分解反应谱法都是有效的工具，可以帮助工程师更好地理解结构在地震作用下的响应情况。
在实际工程中，工程师可以根据具体的结构特点和设计要求选择合适的分解反应谱方法，以便更准确地评估结构的抗震性能并进行合理的设计优化。
总的来说，实振型与复振型分解反应谱法都是结构地震响应分析中重要的方法，它们各自具有独特的优势，可以帮助工程师更全面地理解和分析结构在地震作用下的响应情况，从而为结构的抗震设计和评估提供重要的参考依据。
建筑钢结构工程技术 振型分解反应谱法
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建筑钢结构工程技术 振型分解 反应谱法
4 振型分解反应谱法
多自由度弹性体系的地震反应分析要比单自由度弹性体系 复杂得多。采用振型分解法可求得体系各质点的位移、速度 和绝对加速度时程曲线，但对于工程实践而言，振型分解法 还是较为复杂，且运用不便。
由于工程抗震设计时仅关心各质点反应的最大值，因此 给合单自由度体系的反应谱理论，可导出更实振型分解法。 振型分解反应谱法是求解多自由度弹性体系地震反应的基本 方法。
4 振型分解反应谱法 ➢ 适用范围
适用于可沿两个主轴分别计算的一般结构，其变形可 以是剪切型、弯剪型和弯曲型。
4 振型分解反应谱法 ➢ 各振型的地震作用标准值的计算
4 振型分解反应谱法 ➢ 水平地震作用效应
式中， SE—水平地震作用标准值的效应； Sj—j振型水平地震作用标准值的效应。
Hale Waihona Puke 一般可取2~3个振型, 当基本自振周期 T1>1.5s 或房屋高宽 比大于5时，振型个 数可适当增加。
4 振型分解反应谱法
基本思路
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系 利用振型
分解和振型正交性原理，将求解n个自由度弹性体系的
地震反应分解为求解n个独立的等效单自由度弹性体系
的最大地震反应
求出仅对应于每个振型的作用效
应。（弯矩、剪力、轴向力和变形）
4 振型分解反应谱法
第一振型
第二振型
第三振型
通常，n层结构可看成n个自由度，有n个振型。
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实振型与复振型分解反应谱法
首先，让我们来谈谈实振型。
实振型是指结构在地震作用下以单一频率和振型进行振动的情况。
实振型分解反应谱法将结构的地震反应通过一系列实振型进行分解，每一个实振型对应着结构在某一特定频率下的振动情况。
这种分解方法能够帮助工程师更好地理解结构在地震下的振动特性。
其次，复振型是指结构在地震作用下以多个频率和振型进行振动的情况。
复振型分解反应谱法考虑了结构在地震作用下多个频率和振型的贡献，从而更全面地描述了结构的地震反应。
通过考虑复振型，工程师可以更准确地评估结构在地震下的振动响应，特别是对于那些具有多模态振动特性的结构。
实振型与复振型分解反应谱法的应用可以帮助工程师更准确地评估结构在地震作用下的性能，从而指导结构的设计和加固工作。
这种方法的优点在于能够考虑结构的多模态振动特性，从而更全面地描述结构的地震反应。
然而，该方法也需要结构的模态参数以及地震动的频谱信息，因此在实际应用中需要充分考虑这些因素。
总的来说，实振型与复振型分解反应谱法是一种在地震工程领
域中应用广泛的方法，通过分解结构的地震反应为一系列实振型和复振型的贡献，来更准确地评估结构在地震作用下的性能。
这种方法的应用需要充分考虑结构的振动特性和地震动的特性，从而得出准确的分析结果，指导工程实践中的设计和加固工作。