最大似然估计法
简述最大似然估计的原理
简述最大似然估计的原理最大似然估计是一种常见的参数估计方法，它的基本思想是在给定一组观测数据的情况下，通过选择最能解释这些数据的参数值来确定模型中未知参数的值。
在统计学中，最大似然估计被广泛应用于各种领域，如生物统计学、医学研究、金融分析等。
一、最大似然估计的基本思想最大似然估计是一种基于概率论的统计方法。
假设我们有一个样本集合X={x1,x2,…,xn}，其中每个样本都是从某个未知分布中独立地抽取而来。
我们希望通过这些样本来推断出该分布的参数θ。
因此，我们需要找到一个函数L(θ|X)，它能够给出在给定参数θ下观测到样本X 的概率密度函数（或概率质量函数）。
具体地说，对于连续型变量，L(θ|X)可以表示为：L(θ|X)=f(x1;θ)f(x2;θ)…f(xn;θ)其中f(xi;θ)表示在给定参数θ下观测到xi的概率密度函数；对于离散型变量，L(θ|X)可以表示为：L(θ|X)=f(x1;θ)f(x2;θ)…f(xn;θ)其中f(xi;θ)表示在给定参数θ下观测到xi的概率质量函数。
最大似然估计的基本思想是选择能够最大化L(θ|X)的参数值作为估计值。
也就是说，我们希望找到一个参数向量θ*，使得：L(θ*|X)=max{L(θ|X)}二、最大似然估计的实现方法在实际应用中，我们通常采用对数似然函数来简化计算。
因为对数函数是单调递增的，所以它可以保持最大值不变。
因此，我们可以将对数似然函数表示为：l(θ|X)=lnL(θ|X)=∑i=1nlnf(xi;θ)接着，我们需要求解使得l(θ|X)最大化的参数值。
这可以通过求解方程∂l(θ|X)/∂θ=0来实现。
由于这个方程通常很难直接求解，所以我们需要采用一些优化算法来近似地求解。
常见的优化算法包括牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等。
其中，梯度下降法是一种简单而有效的方法，在实际应用中被广泛采用。
梯度下降法的基本思想是通过迭代更新参数值，使得目标函数逐渐趋于最优解。
最大似然估计李子奈高级应用计量经济学
假设检验
最大似然估计法也可用于假设检 验。通过构造似然比统计量，可 以检验关于模型参数的假设。
时间序列分析应用
01 02
模型设定
在时间序列分析中，最大似然估计法常用于估计自回归模 型（AR）、移动平均模型（MA）和自回归移动平均模型 （ARMA）等模型的参数。这些模型用于描述时间序列数 据之间的依赖关系和随机扰动。
因果推断
研究如何从数据中推断因果关系， 而非单纯的关联关系。
03
02
时间序列分析
针对时间序列数据，研究更为精确 的预测方法和模型。
非线性模型
研究非线性模型的理论基础、模型 选择和估计方法。
04
感谢您的观看
THANKS
通过构造似然比统计量，可以 检验关于面板数据模型的假设 ，例如是否存在个体效应或时 点固定效应。
相对于其他估计方法，最大似 然估计法在面板数据分析中能 够提供更精确的参数估计，并 且具有较高的计算效率。
05
案例分析
美国失业率时间序列分析
描述美国失业率时间序列数 据的特征和问题
介绍和应用最大似然估计方 法进行模型参数估计
置信区间的概念
置信区间是在一定置信水平下，样本数据的分布范 围，它反映了参数的不确定性程度。
假设检验与置信区间的关 系
假设检验和置信区间是密切相关的，它们都 是基于样本数据对未知参数进行推断的方法 。
03
李子奈的高级计量经济学 理论
时间序列分析
01
02
03
时间序列分析是一种统计学方法，用 于研究时间序列数据的变化趋势和规 律。它可以帮助我们理解数据的长期 行为和预测未来的发展趋势。
稳定性
通过保证模型参数的稳定性，最大似然估计法有助于避免 时间序列数据的过度拟合和欠拟合问题。
最大似然估计法
P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1.
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为：
L( p)
i 1
n
P ( x i , p)
i 1
n
p x i (1 p)1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
x
i 1
i
0
得，
1 n 1 ˆ n
x x
i i 1 n
n
④所以θ的最大似然估计值为:
x x
i i 1
练习1 : 设总体X的分布律为：
P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1.
0<p<1, p未知 , 求参数p 的最大似然估计量. 解:总体X的分布律为：
1 n
ˆ使 得 ： 即 取
ˆ ) max L( x , , x ; ) L( x1 , , x n ; 1 n
ˆ与x ,, x 有关，记为 ˆ ( x ,, x ); 1 n 1 n 称其为参数 的最大似然估计值 。 ˆ( X ,, X )称为参数 的最大似然估计量 。
1 ˆ p n
x
i 1
n
i
练习2：设(X1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本
x 1 , X ~ f ( x) 0,
解： θ的似然函数为：
L( )
0 x 1 其它
其中 >0,
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 L( )称为样本的 似然函数 。
概率论与数理统计-第6章-第2讲-最大似然估计法
P(X1 1)P(X2 0)P(X3 1)
3
本讲内容
01 求最大似然估计的一般步骤 02 典型例题
01 求最大似然估计的一般步骤
(1) 构造似然函数 L(θ)
设X1, , X n是来自X 的样本, x1, , xn是其一组样本值，
若总体X 属离散型,其分布律 P( X x) p(x; ),
概率论与数理统计
第6章 参数估计
第2讲 最大似然估计法
主讲教师 |
第2讲 最大似然估计法
上一讲介绍了矩估计，这一讲介绍点估计的另外一种方法— —最大似然估计法，它是在总体类型已知条件下使用的一种参数 估计方法 .
它首先是由数学家高斯在1821年提出的，费歇在1922年重 新发现了这一方法，并研究了它的一些性质 ，从而得到广泛应 用.
即
L(
x1
,,
xn
;ˆ)
max
L(
x1,,
xn
;
)
ˆ(x1, , xn )称为参数的最大似然估计值.
ˆ( X1, , X n )称为参数的最大似然估计量.
一般， 可由下式求得：
dL( ) 0或 d ln L( ) 0.
d
d
似然方程
6
01 求最大似然估计的一般步骤
注1
未知参数可以不止一个, 如1,…, k
ln
L
n
i1
(xi )2 2 2
n 2
ln(2
)
n 2
ln(
2)
似然 方程 组为
ln
L
1
2
n
(xi
i1
)
0
(
2 ) ln
L
1
最大似然估计计算公式
最大似然估计计算公式
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化给定数据集的概率来估计参数的值。
在统计学中，我们经常面对未知参数的情况，而最大似然估计提供了一种有效的方法来估计这些参数。
在最大似然估计中，我们假设数据是从一个特定的概率分布中抽取的，并且我们希望找到使得这个数据集出现的概率最大的参数值。
换句话说，最大似然估计就是在给定数据集的情况下，寻找最有可能产生这个数据集的参数值。
举个例子来说，假设我们有一个硬币，我们不知道它是正面朝上的概率是多少。
我们可以进行一系列的抛硬币实验，然后利用这些实验的结果来估计这个概率。
最大似然估计就是通过最大化观测到的数据集出现的概率，来估计这个硬币正面朝上的概率。
在实际应用中，最大似然估计通常会涉及到一些复杂的数学计算，但是其基本思想是非常直观的。
通过找到使得观测数据出现概率最大的参数值，我们可以得到对未知参数的估计，从而对数据进行分析和预测。
最大似然估计在统计学中有着广泛的应用，比如在线性回归、逻辑回归、朴素贝叶斯分类器等模型中都会用到最大似然估计来估计参数。
它不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也被广泛采用。
总的来说，最大似然估计是一种重要的参数估计方法，通过最大化观测数据的出现概率来估计参数的值。
它在统计学中有着广泛的应用，是数据分析和模型建立中不可或缺的一部分。
通过深入理解最大似然估计的原理和应用，我们可以更好地理解数据背后的规律，从而做出更准确的预测和决策。
最大似然估计及三大检验(WaldLMLR)讲解
第二章 线性回归模型回顾与拓展 （12-15学时）第四节 三大检验（LR Wald LM ） 一、极大似然估计法（ML ）（一）极大似然原理假设对于给定样本{},Y X ,其联合概率分布存在，(),;f Y X ξ。
将该联合概率密度函数视为未知参数ξ的函数，则(),;f Y X ξ称为似然函数（Likelihood Function ）。
极大似然原理就是寻找未知参数ξ的估计ˆξ，使得似然函数达到最大，或者说寻找使得样本{},Y X 出现的概率最大ˆξ。
（二）条件似然函数VS 无条件似然函数()()(),;;;f Y X f Y X f X ξθϕ=若θ与ϕ没有关系，则最大化无条件似然函数(),;f Y X ξ等价于分别最大化条件似然函数();f Y X θ和边际似然函数();f X ϕ，从而θ的最大似然估计就是最大化条件似然函数();f Y X θ。
（三）线性回归模型最大似然估计Y X u β=+，2(0,)u N I σ→2222()()(,;,)(2)exp{}2nY X Y X L Y X βββσπσσ-'--=-对数似然函数：22()()2222n n Y X Y X l LnL Ln Ln ββπσσ'--==---于是 22241ˆ(22)0ˆˆ21ˆˆ()()0ˆˆˆ22l X Y X X l n Y X Y X βσβββσσσ∂⎧''=--+=⎪⎪∂⎨∂⎪'=-+--=⎪∂⎩得到 12ˆ()1ˆMLML X X X Y e e n βσ-⎧''=⎪⎨'=⎪⎩（三）得分（Score ）和信息矩阵（Information Matrix ）(;,)lf Y X θθ∂=∂称为得分； 12...k l l l l θθθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦得分向量；（Gradient ） 海瑟矩阵（Hessian Matrix ）:2l H θθ∂='∂∂信息矩阵：三*、带约束条件的最小二乘估计（拉格朗日估计）在计量经济分析中，通常是通过样本信息对未知参数进行估计。
最大似然估计与中心极限定理
最大似然估计与中心极限定理引言:最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化给定数据的似然函数来确定参数的最优值。
而中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了独立同分布随机变量和的分布会趋近于正态分布。
本文将结合最大似然估计和中心极限定理，探讨它们在统计学中的应用和相关性。
一、最大似然估计最大似然估计是一种通过观察到的样本数据来估计参数的方法。
假设有一组样本数据X={x₁, x₂, ..., xn}，其概率密度函数为f(x|θ)，其中θ是待估参数。
最大似然估计的目标是找到最优的参数估计值θ̂，使得样本数据出现的概率最大。
具体来说，最大似然估计的步骤如下：1. 建立似然函数L(θ|X)，表示给定参数θ下样本数据出现的概率；2. 对似然函数取对数，得到对数似然函数lnL(θ|X)，方便计算和优化；3. 对对数似然函数求导，令导数等于0，求解参数的最优值；4. 检验最优值是否为全局最优，可以通过二阶导数的符号判断。
最大似然估计的优点是简单易懂，而且在大样本条件下具有较好的渐近性质。
然而，它也有一些局限性，比如对于小样本数据或参数空间复杂的情况，可能会存在估计偏差和方差较大的问题。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明当独立同分布随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理为统计学提供了一种重要的近似方法。
中心极限定理的形式有多种，其中最著名的是切比雪夫形式和林德伯格-列维形式。
切比雪夫形式是对于任意分布的随机变量，当样本容量足够大时，其标准化和服从标准正态分布。
而林德伯格-列维形式则是对于独立同分布随机变量和，当样本容量足够大时，的标准化和服从标准正态分布。
中心极限定理的应用非常广泛，特别是在统计推断和假设检验中。
通过中心极限定理，我们可以基于正态分布的性质进行参数估计、置信区间的构造以及假设检验的推断。
这使得我们能够利用正态分布的统计方法来处理各种类型的数据，从而简化了统计分析的过程。
最大似然估计法
最大似然估计最大似然估计（Maximum Likelihood，ML）最大似然估计概述最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。
这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。
“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。
故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。
最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。
最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。
该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。
例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。
在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。
由于被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的计算变得复杂；又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换，并且不是所有的位点都是相互独立，概率计算的复杂度进一步加大。
尽管如此，还是能用客观标准来计算每个位点的概率，计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。
然后，根据定义，概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。
[编辑]最大似然估计的原理给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为f D，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样，通过利用f D，我们就能计算出其概率：但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。
那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,...,X n，然后用这些采样数据来估计θ.一旦我们获得，我们就能从中找到一个关于θ的估计。
最大似然估计会寻找关于θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。
说明最大似然估计的原理,并推导证明正态分布下的似然估计的计算公式
说明最大似然估计的原理,并推导证明正态分布下的似然估
计的计算公式
摘要：
1.最大似然估计的原理
2.正态分布下的似然函数
3.求导得到最大似然估计的计算公式
正文：
一、最大似然估计的原理
最大似然估计是一种统计推断方法，它的基本思想是寻找一个最有可能产生给定样本的数据生成过程。
假设我们有一组给定的样本数据X，我们的目标是找到一个概率密度函数p(x)，使得这个概率密度函数产生的样本数据X 的概率最大。
用数学语言描述，就是求解如下最优化问题：
arg max p(x) * ∏(x_i)
其中，x_i 表示样本数据中的每一个观测值。
二、正态分布下的似然函数
正态分布，也称为高斯分布，是一种常见的概率分布。
它的概率密度函数具有一个特殊的钟形曲线。
正态分布的似然函数可以表示为：
L(x; μ, σ^2) = (1 / (√(2π) * σ)) * exp(-(x - μ)^2 / 2σ^2)
其中，x 表示样本数据中的每一个观测值，μ表示正态分布的均值，σ^2 表示正态分布的方差。
三、求导得到最大似然估计的计算公式
为了找到正态分布下产生给定样本数据的最大似然估计，我们需要对似然函数L(x; μ, σ^2) 求导。
最大似然估计算法
最大似然估计算法最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)是一种常用的参数估计方法，广泛应用于统计学和机器学习领域。
它基于概率论的理论基础，通过寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值，来估计未知的参数。
1.定义似然函数：假设观测数据是从一个概率分布中生成的，我们需要定义一个参数化的概率分布，并将数据带入概率分布中。
这个概率分布通常是一个概率密度函数(对连续变量)或概率质量函数(对离散变量)。
2.建立似然函数：将观测数据的概率密度函数(或概率质量函数)表达式，带入参数化概率分布中，得到关于参数的函数。
这个函数称为似然函数。
3.计算似然函数的对数：为了方便计算和分析，通常会计算似然函数的对数，这样可以将乘积转化为求和，且便于计算导数。
4.极大化似然函数：通过求解似然函数的极值问题，找到使得似然函数取得最大值时的参数值，这个参数值称为最大似然估计量，通常用θ^表示。
5.参数估计：得到最大似然估计量后，我们就可以用它来估计未知参数的值。
最大似然估计的重要性在于它具有很好的统计性质，例如一致性和渐近正态性。
一致性指的是当样本量趋近于无穷时，最大似然估计量会以概率1收敛到真实参数值。
渐近正态性则是指当样本量足够大时，最大似然估计量的分布近似服从高斯分布。
这些性质使得最大似然估计成为了一种广泛使用的参数估计方法。
最大似然估计在实际应用中有很多应用，例如线性回归、逻辑回归和混合高斯模型等。
最大似然估计也可以通过解析解或者数值优化的方法来求解。
对于简单的问题，通常可以通过求导数等条件来解析求解，而对于复杂的问题，通常需要借助数值优化算法。
总结起来，最大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过最大化观测数据出现的概率来估计未知参数。
它具有良好的统计性质并广泛应用于统计学和机器学习领域。
最大似然估计原理
最大似然估计原理
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）
是一种参数估计方法，常用于统计学和机器学习领域。
它的基本原理是在给定观测数据的情况下，找到使得观测数据出现的概率最大的参数值。
具体而言，最大似然估计的步骤如下：
1. 建立概率模型：首先根据问题的特点和假设，建立合适的概率模型。
常见的概率分布模型包括正态分布、泊松分布、伯努利分布等。
2. 构造似然函数：利用建立的概率模型，将观测数据代入，并将数据看作是从该概率模型中独立、同分布地产生的。
然后，构造似然函数，即将多个样本数据发生的概率乘起来，形成一个参数的函数。
3. 最大化似然函数：为了找到参数的最优解，我们需要通过最大化似然函数来确定参数值。
通常使用对数似然函数进行运算，因为对数函数具有单调性，可以简化计算。
4. 计算估计值：通过求解对数似然函数的导数为0的方程，或通过优化算法（如牛顿法、梯度下降法），找到似然函数的最大值点。
该点的参数值即为最大似然估计值。
最大似然估计在实际应用中具有广泛的应用，例如用于线性回归、逻辑回归、马尔可夫链蒙特卡洛等模型的参数估计。
它的
核心思想是基于样本数据出现的概率最大化，通过最大似然估计可以获得参数的合理估计值，从而实现对未知参数的估计。
最大似然估计法
n
i
例
设总体 X ~N( μ , σ 2 , μ , σ 2未知 . x1 , , xn )
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
f ( x) 1 2
( x )2 2 2
e
, x
似然函数为
L( μ, σ )
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为：
L( p)
i 1
n
P ( x i , p)
i 1
n
p x i (1 p )1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
n i
n
l n L( p) (
x ) l n p (n x ) l n (1 p)
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 ( )称为样本的 L 似然函数 。
由 极 大 似 然 估 计 法 ： 固 x1 , , x n ; 挑 选 使 概 率 定 ˆ L( x , , x ; )达 到 最 大 的 参 数， 作 为 的 估 计 值 ，
取对数
ln L( ) n ln ( 1)
ln x
i 1
n
i
求导并令其为0
d ln L( ) n d
ln x
i 1
n
i
=0
从中解得
n
n
ln x
i 1
n
i
, ,
最大似然估计与贝叶斯估计
最大似然估计与贝叶斯估计估计是统计学中非常重要的概念，通过估计可以得到未知参数的近似值，从而进行推断和预测。
最大似然估计和贝叶斯估计是常见的估计方法，本文将对这两种方法进行介绍和比较。
一、最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是基于数据的频率分布来估计未知参数的方法。
它的核心思想是选择使得给定数据样本的概率最大化的参数值。
通过最大化似然函数来寻找最优解。
假设我们有一个样本数据集X={x1,x2,...,xn}，而我们的目标是估计参数θ。
假设样本数据来自于某个概率分布P(x|θ)，我们可以写出似然函数L(θ|x)。
最大似然估计的思路是找到一个使得似然函数取得最大值的参数值θ_hat，即L(θ_hat|x)=max L(θ|x)。
通过一些数学方法，我们可以求解出最大似然估计的解析解或者使用优化算法来找到最优解。
最大似然估计具有良好的性质，例如，当样本数量趋于无穷大时，估计值的偏差趋近于零，估计值的方差趋近于Cramér-Rao下界。
二、贝叶斯估计（Bayesian Estimation）贝叶斯估计是一种利用贝叶斯定理来估计未知参数的方法。
它将参数视为一个随机变量，通过先验分布和似然函数相结合来计算后验分布，从而得到参数的估计。
假设我们有一个样本数据集X={x1,x2,...,xn}。
贝叶斯估计的核心思想是通过贝叶斯定理来计算参数θ的后验概率分布P(θ|X)，即已知数据样本的条件下，参数θ的概率分布。
具体来说，我们需要选择一个先验分布P(θ)来表示参数的先验知识或者假设。
然后通过似然函数L(X|θ)计算参数的似然度。
利用贝叶斯定理，我们可以根据先验分布和似然度计算出后验分布，即P(θ|X)。
而贝叶斯估计的目标就是通过后验分布来计算参数的估计。
贝叶斯估计可以灵活地结合先验知识和数据样本，更加全面地反映参数的不确定性。
此外，还可以通过后验分布进行预测和决策，并且可以通过贝叶斯定理进行后续的更新。
用最大似然法估计点频信号的的幅度频率和相位
最大似然法是一种常用的参数估计方法，它可以用来估计信号的幅度、频率和相位等参数。
在信号处理领域，我们经常需要对收集到的信号进行分析和估计，以获取其中包含的有用信息。
而最大似然估计方法可以帮助我们从观测到的数据中找到最符合实际情况的参数值，从而准确地估计信号的幅度、频率和相位。
1. 最大似然估计方法的基本原理最大似然估计方法是一种通过观测数据来估计参数的统计方法，它的基本原理是寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值。
假设我们观测到了一组数据，我们要估计其中的某些参数，使得这组数据出现的概率最大。
最大似然估计方法通过最大化观测数据出现的概率来确定参数的值，使得观测到的数据在给定参数下出现的可能性最大。
2. 用最大似然法估计点频信号的幅度频率和相位在信号处理中，我们经常需要对收集到的信号进行参数估计。
最大似然估计方法可以应用于估计点频信号的幅度、频率和相位等参数。
假设我们观测到一组包含了点频信号的数据，请问如何使用最大似然估计方法来准确地估计信号的幅度、频率和相位呢？3. 估计点频信号的幅度我们可以通过最大似然估计方法来估计点频信号的幅度。
假设我们观测到的信号为s(t)，其中包含了一个点频信号Acos(2πft+φ)，我们可以构建似然函数L(A,f,φ)来描述这组数据在不同参数下出现的可能性。
通过最大化似然函数，我们可以得到使这组数据出现概率最大的参数值，从而准确地估计信号的幅度A。
4. 估计点频信号的频率除了幅度外，我们还可以使用最大似然估计方法来估计点频信号的频率。
通过构建似然函数，并最大化观测数据出现的概率，我们可以得到最符合实际情况的频率值，从而准确地估计信号的频率。
5. 估计点频信号的相位最大似然估计方法也可以用来估计点频信号的相位。
通过构建似然函数，并最大化观测数据出现的概率，我们可以得到最符合实际情况的相位值，从而准确地估计信号的相位。
6. 如何实际应用最大似然估计方法在实际应用中，我们需要将观测到的信号数据代入似然函数中，并利用数值优化算法来求取似然函数的最大值点，从而得到最大似然估计的幅度、频率和相位等参数值。
最大似然估计及三大检验（WaldLMLR）解读
第二章 线性回归模型回顾与拓展 （12-15学时）第四节 三大检验（LR Wald LM ） 一、极大似然估计法（ML ）（一）极大似然原理假设对于给定样本{},Y X ,其联合概率分布存在，(),;f Y X ξ。
将该联合概率密度函数视为未知参数ξ的函数，则(),;f Y X ξ称为似然函数（Likelihood Function ）。
极大似然原理就是寻找未知参数ξ的估计ˆξ，使得似然函数达到最大，或者说寻找使得样本{},Y X 出现的概率最大ˆξ。
（二）条件似然函数VS 无条件似然函数()()(),;;;f Y X f Y X f X ξθϕ=若θ与ϕ没有关系，则最大化无条件似然函数(),;f Y X ξ等价于分别最大化条件似然函数();f Y X θ和边际似然函数();f X ϕ，从而θ的最大似然估计就是最大化条件似然函数();f Y X θ。
（三）线性回归模型最大似然估计Y X u β=+，2(0,)u N I σ→2222()()(,;,)(2)exp{}2nY X Y X L Y X βββσπσσ-'--=-对数似然函数：22()()2222n n Y X Y X l LnL Ln Ln ββπσσ'--==---于是 22241ˆ(22)0ˆˆ21ˆˆ()()0ˆˆˆ22l X Y X X l n Y X Y X βσβββσσσ∂⎧''=--+=⎪⎪∂⎨∂⎪'=-+--=⎪∂⎩得到 12ˆ()1ˆMLML X X X Y e e n βσ-⎧''=⎪⎨'=⎪⎩（三）得分（Score ）和信息矩阵（Information Matrix ）(;,)lf Y X θθ∂=∂称为得分； 12...k l l l l θθθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥=∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦得分向量；（Gradient ） 海瑟矩阵（Hessian Matrix ）:2l H θθ∂='∂∂信息矩阵：三*、带约束条件的最小二乘估计（拉格朗日估计）在计量经济分析中，通常是通过样本信息对未知参数进行估计。
最大似然估计法
四、小结
对于一个未知参数可以提出不同的估计量 , 因此自然提出比较估计量的好坏的问题 ，这就需 要给出评定估计量好坏的标准 .
在本节中, 介绍了评定估计量好坏的三个标 准 :无偏性、有效性、和相合性 .
•
感 谢 阅
读感 谢 阅
读
i 1
xi ) 0
解得p的最大似然估计量为：
pˆ
1 n
n i 1
Xi
p的最大似然估计值为：
pˆ 1 n n i1
xi
练习2：设(X1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本
求θ的最大似然估计量． 解： θ的似然函数为：
其中 >0,
取对数
求导并令其为0
从中解得
=0
即为θ的最大似然估计值。 即为θ的最大似然估计量。
似然函数为：
n
n
L( p) P(xi , p)
p xi (1 p)1 xi
i 1
i 1
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1
n
n
ln L( p) ( xi ) ln p (n xi ) ln(1 p)
i 1
i 1
d
1n
1
n
ln L( p) dp
p
i 1
xi 1 p (n
例 设总体 X ~N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 .
解 X 的概率密度为
似然函数为
2
n/ 2 (
) e 2 2 / n
1
2 2
n
xi
i 1
2
于是
ln L
7.2 最大似然估计方法
最大似然估计方法最（极）大似然估计（Maximum Likelihood Estimator(MLE)）首先是由德国数学家高斯在1821年提出.然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了该方法的一些性质.Gauss(1777-1855)Fisher(1890-1962)一、最大似然估计的基本思想例1.某位同学与一位猎人一起外出打猎一只野兔从前方窜过只听一声枪响，野兔应声倒下如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢？因为只发一枪便打中，猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的.其数学模型为令X为打一枪的中弹数，则X~b(1,p)，p未知. 设p有两种可能：p=0.9或p=0.1p的取值范围两人中有一人打枪，估计这一枪是谁打的，即估计参数p的值是0.9还是0.1？选择是猎人打的，相当于选择p 的值，使得样本观测值1出现的可能性最大.若p=0.9，则P {X 1=1}=0.9若p=0.1，则P {X 1=1}=0.1兔子中弹，相当于样本观测值为1，即{X 1=1}发生了打了1枪，相当于得到一个样本，记为X 1考虑此样本观测值出现的概率，有最大似然估计法的基本思想：根据样本观测值，选择参数p的值，使得该样本值出现的可能性最大.例2.从某厂生产的自行车头盔中抽取10件进行检测，结果是前三件为不合格品，后面的7件为合格品，依此对不合格品率p进行估计.例2.从某厂生产的自行车头盔中抽取10件进行检测，结果是前三件为次品，后面的7件为合格品，依据该信息对次品率p进行估计.分析：总体为X~b(1,p),0<p<1样本为X,X2,…,X101样本值为x=x2=x3=1,x4=…=x10=01样本取样本值的概率为：P(X1=1,X2=1,X3=1,X4=0,…,X10=0)=p3(1−p)7=L(p)P (X 1=1,X 2=1,X 3=1,X 4=0,…,X 10=0)=p 3(1−p )7当p =0.25时，L (0.25)=0.2530.757当p =0.5时，L (0.5)=0.5100.25比0.5更有可能导致该样本值的出现.L (0.25)>L (0.5)使L (p )达到最大的p ，最有可能导致该样本值的出现.00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.511.522.5×10-31.似然函数：设总体X 的概率密度（或分布律）为f (x ;θ)，θ∈Θ，X 1,⋯,X n为来自该总体的样本，则(X 1,⋯,X n )的密度函数（或分布律）为若已知样本观测值(x 1,⋯, x n )，则是θ的函数，称其为样本(x 1,⋯, x n )的似然函数.11(;)(;)(;)nn i i f x f x f x θθθ==∏121()(;,,,)(;)nn i i L L x x x f x θθθ===∏二、几个定义注意：a .作为样本(X 1,⋯, X n )的密度函数（或分布律）若大1(;)ni i f x θ=∏1(;)ni i f x θ=∏说明样本(X 1,⋯,X n )在(x 1,⋯,x n )附近取值的概率大；若小1(;)ni i f x θ=∏说明样本(X 1,⋯,X n )在(x 1,⋯,x n )附近取值的概率小.b .当已得样本(X 1,⋯,X n )的观测值为(x 1,⋯,x n )时，若则在第一个参数下，样本(X 1,⋯, X n )在(x 1,⋯, x n )附近取值的概率较大，即在参数下更有可能发生结果(x 1,⋯, x n ).因此，是比更能导致结果(x 1,⋯, x n )发生的参数.11(;,,)(;,,)n n L x x L x x θθ'''>θ'θ'θ''θ'c .若已知观测值(x 1,⋯, x n )，那么哪一个参数最能导致结果(x 1,⋯, x n )的发生呢？1max (;,,)n L x x θθ∈Θ2.最大似然估计：如果似然函数L (θ;x 1,⋯,x n )，在达到最大值，即则称为θ的最大似然估计值.它一般是x 1,⋯,x n 的函数，也常记为ˆθ1ˆ(;,,)n L x x θ1=max (;,,)n L x x θθ∈Θˆθ1ˆ(,...,)nx x θ1ˆ(,...,)nX X θ称为最大似然估计量.3.未知参数的函数的最大似然估计设总体X 的分布类型已知，其概率密度（或分布律）为f (x ;θ)，未知参数θ的已知函数为g (θ).若为θ的最大似然估计，则规定为g (θ)的最大似然估计.ˆθˆ()g θ三、最大似然估计的求法求似然函数L (θ; x 1,⋯,x n )在θ∈Θ内关于θ的最大值点.若f (x,θ)关于θ可微，则θ的MLE 可由下式得到0dL d θ=似然方程（组）又因为L (θ)和ln L (θ)在同一θ处取得极值，因此MLE 也可由下述方程得到ln ()0d L d θθ=对数似然方程（组）当似然函数L (θ)有不连续点时，似然方程一般没有意义不能采用上述极值方法必须直接从定义出发求参数的最大似然估计求最大似然估计（MLE）的一般步骤是：（1）由总体X的分布写出似然函数L(θ)；（2）求对数似然函数ln L(θ)；（3）对ln L(θ)关于θ求（偏）导数，并令（偏）导函数为0；（4）解方程（组），得到未知参数的最大似然估计.。
最大似然估计与贝叶斯估计
最大似然估计与贝叶斯估计统计学中的最大似然估计与贝叶斯估计是两种常见的参数估计方法。
最大似然估计是在给定数据的情况下，通过找到使得似然函数取最大值的参数估计方法。
而贝叶斯估计则是基于贝叶斯定理，结合先验概率和似然函数进行参数估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常见的参数估计方法，通过最大化似然函数来估计参数。
在给定观测数据的情况下，估计参数的值使得这组数据的出现概率最大，即找到一个参数估计值，使得数据的似然函数取得最大值。
具体来说，如果我们有一个随机变量X，其分布为P(X|θ)，其中θ是待估计的参数，那么似然函数可以表示为L(θ|X) = ∏P(Xi|θ)，其中Xi表示观测到的数据点。
最大似然估计的目标就是找到一个最优参数θ，使得似然函数取最大值。
以一个简单的例子来说明最大似然估计的计算过程。
假设我们有一组服从正态分布N(μ,σ^2)的数据，其中μ和σ是待估计的参数。
我们观测到的数据为{X1,X2,...,Xn}，我们可以写出这组数据的似然函数：L(μ,σ|X) = ∏(1/√2πσ)e^(-(Xi-μ)^2/(2σ^2))对数似然函数为：l(μ,σ|X) = ∑(-ln(√2πσ)-(Xi-μ)^2/(2σ^2))为了求解最大似然估计，我们需要对上式求偏导，分别令偏导数为0，得到参数的估计值。
与最大似然估计不同，贝叶斯估计（Bayesian Estimation）引入了先验概率分布来辅助参数的估计。
在贝叶斯估计中，我们不仅考虑观测数据的似然性，还考虑了参数的先验概率分布。
通过贝叶斯定理，我们可以将先验分布和似然函数相结合，得到后验分布，进而得到参数的估计。
假设我们有观测数据X和参数θ，先验概率分布为P(θ)，似然函数为P(X|θ)，那么参数θ的后验概率分布可以表示为：P(θ|X) = P(X|θ)P(θ) / ∫P(X|θ)P(θ)dθ其中后验概率P(θ|X)可以作为参数θ的估计值。
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最大似然估计法的根本思想
最大似然估计法的思想很简单：在已经得到试验结果的情况下，我们应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个作为真的估计。
我们分两种情进行分析：
1．离散型总体
设为离散型随机变量，其概率分布的形式为，那么样
本的概率分布为，
在固定时，上式表示取值的概率；
当固定时，它是的函数，我们把它记为并称
为似然函数。
似然函数的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小。
既然已经得到了样本值，那它出现的可能性应该是大的，
即似然函数的值应该是大的。
因而我们选择使到达最大值的那个作为真的估计。
2．连续型总体
设为连续型随机变量，其概率密度函数为那么为从该总体抽出的样本。
因为相互独立且同分布，于是，样本的联合概率密度函数为
，在是固定时，它
是在处的密度，它的大小与落
在附近的概率的大小成正比，而当样本值固定时，它是的函数。
我们仍把它记为并称为似然函数。
类似于刚刚的讨论，我们选择使最大的那个作为真的估计。
总之，在有了试验结果即样本值时，似然函数反映了的各个不同值导出这个结果的可能性的大小。
我们选择使到达最大值的那个作为
真的估计。
这种求点估计的方法就叫作最大似然法。
最大似然估计的求法
假定现在我们已经观测到一组样本要去估计未知参数。
一种直观的想法是，哪一组能数值使现在的样本出现的可能性最大，哪一组参数可能就是真正的
参数，我们就要用它作为参数的估计值。
这里，假定我们有一组样本. 如果对参数的两组不同的值和，似然函数有如下关系
,
那么，从又是概率密度函数的角度来看，上式的意义就是参
数使出现的可能性比参数使出现的可能性大，当然参数比更像是真正的参数. 这样的分析就导致了参数估计的一种方法，即用使似然函数到达最大值的点, 作为未知参数的估计，这就是所谓的最大似然估计。
现在我们讨论求最大似然估计的具体方法. 为简单起见，以下记, 求θ的极大似然估计就归结为求的最大值点 . 由于对数函数是单调增函数，所以
(7.2.1)
与有相同的最大值点。
而在许多情况下，求的最大值点比拟简单，于是，我们就
将求的最大值点改为求的最大值点.对关于求导数，并命其等于零，得到方程组
,(7.2.2)称为似然方程组。
解这个方程组，又能验证它是一个极大值点，那么它必是，也就
是的最大值点，即为所求的最大似然估计。
大多常用的重要例子多属于这种情况。
然而在一些情况下，问题比拟复杂，似然方程组的解可能不唯一，这时就需要进一步判定哪一个是最大值点。
还需要指出，假设函数关于的导数不存在时，我们就无法得到似然方
程组 (7.2.2)，这时就必须根据最大似然估计的定义直接去的最大值点。
在一些情况下，我们需要估计。
如果分别是的最大似然估
计，那么称为的最大似然估计。
下面我们举一些例子来说明求最大似然估计的方法。
例设从正态总体抽出样本，这里未知参数为
mm和〔注意我们把看作一个参数〕。
似然函数为
=
它的对数为
，
似然方程组为
由第一式解得
，(7.2.3)
代入第二式得
.(7.2.4)
似然方程组有唯一解(，) ，而且它一定是最大值点，这是因为
当或或∞时，非负函数。
于是和的最大似然估计为
.
，.(7.2.5)
这里，我们用大写字母表示所有涉及的样本，因为最大似然估计和都是统计量，离开了
具体的一次试验或观测，它们都是随机的。
例设总体服从参数为的泊松分布，它的分布律为
，
有了样本之后，参数λ的似然函数为
，
似然方程为
，
解得
.
因为的二阶导数总是负值，可见，似然函数在处到达最大值。
所以，是λ的最大似然估计。
例设总体为上的均匀分布，求的最大似然估计。
的概率密度函数为
对样本，
很显然， L(a ，b) 作为 a 和 b 的二元函数是不连续的。
这时我们不能用似然方程组(7.2.2)来求最大似然估计，而必须从最大似然估计的定义出发，求L(a ，b) 的最大值。
为使L(a ，b) 到达最大， b－a 应该
.尽量地小，但 b 又不能小于，否那么，L(a，b)=0。
类似地， a 不能大过。
因此，a和b的最大似然估计为
，
.
现在为止，我们以正态分布，泊松分布，均匀分布的参数以及事件发生的概率的估计为例子讨论了
矩估计和最大似然估计。
在我们所举的例子中，除了均匀分布外，两种估计都是一致的。
矩估计的优点是
简单，只需知道总体的矩，总体的分布形式不必知道。
而最大似然估计那么必须知道总体分布形式，并且在
一般情况下，似然方程组的求解较复杂，往往需要在计算机上通过迭代运算才能计算出其近似解。