从保守力概念的引入到势能公式的推导
4.4保守力与非保守力势能
v v d A = F ⋅ d x = − kx d x
xQ
总功
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ xP
1
2
2 P
1
2
弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 弹性力所作的功只与物体的始末位置有关， 只与物体的始末位置有关 与物体所经的路径无关. 与物体所经的路径无关
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第四章 动能和势能 2. 保守力与非保守力 定义：如果一个力所做的功， 定义：如果一个力所做的功，只与物体的始末位置 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 有关，而与物体所经路径无关，这类力叫保守力。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。 例如：万有引力、重力、弹力、浮力、静电力等。
v v 元功 d A = F ⋅ d x = − kx d x
2 A = ∫ dA = ∫ − kxdx = k x − kxQ 总功 xP xQ
1
2
2 P
1
2
所以
A = −( Ep Q − Ep P )
上式表明， 上式表明，弹性力所作的功等于弹簧系统弹力势能增量 的负值， 弹力势能的减少量。 的负值，即弹力势能的减少量。
b
ra
r r r r r rb r ⋅ = mg （ − j ）∫r dr = mg（− j）(rb − ra ) ⋅ ra
A = mg( ya − yb ) 重
重力所作的功只由质点的始、 重力所作的功只由质点的始、 末位置决定 决定， 末位置决定，与质点运动的路 径无关
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第四章 动能和势能 (2) 弹力的功 小球由p点移到 点 小球由 点移到Q点，弹力 点移到 做功为多少？ 做功为多少？ 元功
势能函数与保守力的关系
势能函数与保守力的关系势能函数与保守力的关系势能函数和保守力是两个重要的物理概念，它们之间有着密切的关系。
势能函数描述了物体所处的位置的势能大小，而保守力则是指一类物理力，其做功与物体所经过的路径无关。
在本文中，我们将探讨势能函数与保守力之间的关系。
首先，我们需要了解什么是势能函数。
如果一个物体在场中的位置发生了变化，那么它的势能也会发生变化。
在一定条件下，物体的势能与位置之间存在一种确定的数学关系，这种关系就是势能函数。
在物理中，势能函数常常用U(x)来表示，其中X是物体的位置。
其次，我们需要明白什么是保守力。
保守力是指其做功与路径无关的力，也就是说，无论物体经历了怎样的路径，保守力所做的功都是相同的。
在物理中，保守力常常被描述为一类势力，它们的势能变化与位置之间存在确定的数学关系。
接着，我们来看一下势能函数与保守力之间的关系。
势能函数与保守力之间存在着一种紧密的联系，也就是说，如果一个力是保守力，那么它所描述的势能函数一定存在。
反之亦然，如果一个势能函数存在，那么它所描述的力一定是保守力。
这是因为在物理中，只有保守力才能描述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势能函数的存在也必然说明描述这种情形的力是保守力。
此外，我们还需要了解，保守力的势能函数在很多方面都是唯一的。
也就是说，对于一个特定的保守力，存在着唯一一个势能函数可以描述它，并且这个势能函数的形式是确定的。
这是由保守力的基本特性所决定的。
总结一下，势能函数与保守力之间存在着密切的关系。
保守力可以描述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势能函数的存在也必然说明所描述的力是保守力。
在大多数情况下，保守力的势能函数都是唯一的，这是由保守力的基本特性所决定的。
深入了解势能函数与保守力之间的关系有助于我们更好地理解物理学的基本概念，进一步提高我们的学术水平。
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
保守力与非保守力及势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
(1) 重力势能：
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力，其势能函数为何不同？它们
有何内在关系？ 3. 若选地表为万有引力势能零点，则 引力势能表达式如何？
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能： E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能：
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则：
保守力与势能
内容摘要详细介绍保守力的特定性质证明以及常见的保守力种类。
定义势能函数，论证了几种常见势能的计算方法。
保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
关键词：保守力势能势能零点平衡AbstractDetailed introduction of specific properties conservative force proof and common conservative force types. The nature of the potential energy of physical meaning of a deep elaborated, demonstrates the potential of common calculation methodsKey words:Conservative force Potential energy Potential energy zero Balance内容摘要引言 (1)1.保守力 (2)1.1保守力的定义 (2)1.2保守力的性质 (2)1.3保守力的证明 (2)2.势能 (3)2.1势能的定义 (3)2.2势能的性质 (4)2.3势能零点 (5)2.4物体在势能场中的平衡 (7)3.几种常见势能的计算 (7)3.1引力势能 (7)3.2重力势能 (8)3.3弹性势能 (9)3.4电势能 (9)3.5分子势能 (10)4.结束语 (12)5.参考文献 (13)6.致谢 (14)引言保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
高二物理竞赛课件：保守力 成对力的功 势能
保守力 成对力的功 势能 一、 保守力
根据各种力做功的特点，可将力分为保守力和 非保守力。 保守力（conservative force）：
做功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力（non-conservative force）： 做功不仅与始末位置有关，还与路径有关的力。 如：摩擦力、回旋力等。
摩擦力所做的功：
A4 Ff l cos180 1453 435(J)
（2）合力所做的功：
A A1 A2 A3 A4 165 J
返回 退出
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车。 所用拉力 F' 至少要等于重力。这时拉力所做的功为
A Fl sin30 980 30 0.5 1.47 103(J)
重力所做的功
A2 Gl co（s 180 60） 980 3（ 0.5） 1.47 103(J)
正压力所做的功
A3 FNl cos90 0
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根据牛顿第二定律：
FN F sin10 G cos30 0
FN G cos30 F sin10 727(N) Ff μFN 0.20 727 145(N)
例 柔软均质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台 上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间
的摩擦因数为 ，且 s ＞Ｌ，求初速度v0 。
解：
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由动能定理：
返回 退出
重力的功 设物体m从a点沿任一曲线移动到b点。
在元位移 dr中，重力所做的元功为
dA mg cosds mgdh
返回 退出
弹性力的功 设光滑水平桌面一端固定 的轻弹簧(k)，另一端连接 质点 m，当质点由a点运 动到b点的过程中 ：
4保守力势能功能原理
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
dv f mg cos m dt 摩擦力的功 W阻 fdr
A
R
f N
n
d
o
B
解2：动能定理 由质点动能定理： W Ek Ek 0 Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 Ek Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 0 mg cos dr W阻 Ek 1 90 2 W阻 mv 0 mg cos Rd 2 1 2 mv mgR 2
初态机械能： 1 2 E A mvA mgh 2 h AC sin 36.9
36.9º
f
vA
h
末态机械能：
n
1 2 EC k( BC ) 2
n i 1 i 1
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
i 1
Wi外 0,
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理 利用质点系的动能定理：
i 1
Wi外 Wi内 Ek Ek 0 Ek
i 1 n i 1
n
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
i 1 n n n
Wi内 Wi内保 Wi内非
3-2 保守力做功与势能
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
三 保守力与势能的关系 1. 积分关系 2. 微分关系
v v dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
dE p = ∂E p ∂x dx + ∂E p ∂y dy + ∂E p ∂z dz
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
AACBDA =
∫ F ⋅ dr
r r
A
dr
ra
C
D
ACBDA
=
∫
ACB
r r F ⋅ dr +
∫
BDA
r r F ⋅ dr
= AACB + ABDA
=0
第3章 机械能和功
AACBDA
r r = ∫ F ⋅ dr = 0
ACBDA
3-2 保守力做功与势能
结 论 ： AACBDA
r r = ∫ F ⋅ dr = 0
r r 点为势能零点，则空间任意一点 r 势能零点， r0 点为势能零点
空间某点的势能E 空间某点的势能 p在数值上等于质点从该点移动到势 能零点时保守力作的功。 能零点时保守力作的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
轻弹簧原长l 劲度系数为k，下端悬挂质量为m的 例 轻弹簧原长 0，劲度系数为 ，下端悬挂质量为 的 重物。已知弹簧重物在O点达到平衡 点达到平衡， 重物。已知弹簧重物在 点达到平衡，此时弹簧伸长了 x0 ，现取 轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位置， 现取x 轴向下为正，原点位于： 弹簧原长位置 弹簧原长位置， (2)力的平衡位置 。 若取原点为重力势能和弹性势能的 力的平衡位置。 力的平衡位置 势能零点， 势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能 。
5第五讲功动能动能定理保守力的功势能
守 力 做
A弹
1 2
kxa2
1 2
kxb2
(1 2
kx2 )
功
A万
G
Mm
ra
G
Mm rb
G
Mm r
21
做功能量变化：A E U (r) 某种能量
又因U (r)与位置相关 势能（位能）
A保 （Ep2 Ep1) Ep A保 U (r)
保守力做功等于其相应势能增量的负值 某点势能的定义： 保守力场中某点的势能等于将质点从该点移 到势能零点（参考点）时，保守力所做的功.
3 2
g sH12
3 8
g sH 2
11
二、质点的动能和动能定理 动能定理的推导
Ek
1 2
mv2
质点由a到b，力做功为
Aab
b
a
F
ds
b
a
F
ds
b
a ma ds
b m dvds a dt
a•
va
F
•
Fn
b• F
vb
vb mvdv va
1 2
mvb2
1 2
mva2
动能定理
A EK末 EK初
一、功 1.恒力的功
定义：力所做的功等于力在物体位移方向 的分量与物体位移大小的乘积。
A
F//
r
F
cosr
A F r
F
F
r
F
F
1
2.变力的功
dA F dr
A F dr L
Y
a
ZO
F
b
L
dr
X
3.功的计算
a. 合力的功
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。
首先，我们来定义保守力。
保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。
这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。
常见的保守力有重力和弹性力。
当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。
势能是描述物体位置所具有的能量。
根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。
根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。
这个关系也可以用数学公式来表示。
假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。
需要注意的是，这个关系只适用于保守力。
非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。
非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。
总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。
势能变化等于保守力所做的功的负值。
这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。
从保守力概念的引入到势能公式的推导
从保守力概念的引入到势能公式的推导作者：刘钰来源：《管理观察》2010年第15期摘要:本文主要介绍了重力,弹性力,万有引力的做功过程,由它们做功的共同点引入了保守力的概念,再在保守力做功的基础上引入势能的概念。
关键词:重力弹性力万有引力做功保守力势能前言在物理学中,势能的概念是十分重要的。
在力学,电磁学中,它的存在使保守力做功的过程转换为某种能量的转换过程,它又与势能一起组成机械能,从而使能量这个概念在物理学中具有更加重要的意义。
甚至,在理论物理学中,人们已经习惯用相互势能来表示物体间的相互作用。
1.保守力定义的引入1.1重力做功如图1所示,质量为m的质点在重力作用下自a点经平面曲线acb运动到平面b点。
建立直角坐标系oxy,y轴竖直向上[1],考虑到Fx=0,Fy=-mg。
则重力做的功为A=Fydy=-mgdy=mg(ha-hb)分析所得结果知,重力所做的功仅取决于质点的始末高度,与质点经过的路径无关。
1.2 弹簧弹性力做功如图2所示,在(a)中,我们用x=0表示弹簧既无伸长也无压缩的平衡位置。
于是有胡克定律Fx=-kx,其中的k为弹簧的劲度系数或力常数。
当x>0时,x表示弹簧的伸长量。
如图(b)。
当x因此,弹性力所做的功为A=Fxdx=(-kx)dx=-(kx-kx)==-(k-k)分析所得结果知,弹性力所做的功只与弹簧的始末位移有关,而与中间运动过程无关。
1.3 万有引力做功在太阳参考系中,考虑地球与月亮之间的相互作用运动,地月之间的相互作用是万有引力=-,其中M,m分别为地球和月亮的质量,r为地月之间的距离。
是指地球指向月亮的单位矢量。
地球和月亮相对太阳在运动,我们选地球为原点,月亮在引力场中从初位移i经路径L到达末位移f,设月亮在初末位移时相对地球的距离分别为和。
1.4 提出保守力的概念以上几种力做功的共同点是力所做的功仅仅依赖于质点的始末位置,和质点经过的路径无关。
总结它们的共同点,我们可引入保守力的概念。
4.4 保守(内)力与势能
f =G
∞ x
m x
x
2
O
Ep = ∫
5
Mm Mm G 2 dx = G x x
第4章 功和能
(2) 质点在球内任一点 ，与球 质点在球内任一点C， 心距离为x， 心距离为 ，质点受到的万有 引力为
R
R
m
x
O ∞ 4 Mm Ep = ∫ G πρmxdx + ∫ G 2 dx x R 3 x M 2 Mm 2 2 = G πρm(R x ) G 3 R 2 2 4 3R x f = G πρmx = GMm( ) 3 2R3 在保守力场中， 到末了位置2， 在保守力场中，质点从起始位置 1 到末了位置 ，保守力的 功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值
A = (Ep2 Ep1) = Ep
由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。 由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。
6 第4章 功和能
三、 势能曲线
质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。 质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。
0
F
x
3. 万有引力势能
等势面 M m
mM Ep = ∫ (G 2 )dr r r mM 以无限远为 = G 势能零点 r
∞
r
F
例如在质量为M、半径为 、 的球体的万有引力场中： 例如在质量为 、半径为R、密度为ρ 的球体的万有引力场中： (1) 质点在球外任一点 ，与球心距离为 ，质点 质点在球外任一点C 与球心距离为x， 受到的万有引力为 M R Mm
保守(内 力与势能 §4.4 保守 内)力与势能
第三节势能与保守力
定义： 定义：引力势能 弹簧弹力作功： 弹簧弹力作功： WA→ B
1 2 1 = kx A − kxB 2 2 2
1 E p = −GMm r
定义：弹性势能（ 定义：弹性势能（满 足胡克定律的弹簧） 足胡克定律的弹簧）
Hale Waihona Puke 1 2 E p = kx 2
第三章 守恒定律
3. 势能零点选择 重力势能零点：随便选。 重力势能零点：随便选。 引力势能零点：一般选无穷远处为势能零点。 引力势能零点：一般选无穷远处为势能零点。 选无穷远处为势能零点 弹性势能零点：一般选弹簧原长处为势能零点。 弹性势能零点：一般选弹簧原长处为势能零点。 选弹簧原长处为势能零点 注意：若同时有重力、弹力， 注意：若同时有重力、弹力，一般选弹簧原长处为势 能零点。 能零点。 说明： 说明： 1. 单位：焦耳，J 单位：焦耳， 2. 势能属于系统，如说物体的势能不确切。 势能属于系统，如说物体的势能不确切。 3. 弹性势能总是大于等于 。 弹性势能总是大于等于0。 4. 势能的绝对的值没有意义，只关心势能的相对值。 势能的绝对的值没有意义，只关心势能的相对值。
第三章 守恒定律
第三节
势能与保守力
如果一块石头放在地 面你对它并不关心。 面你对它并不关心。 如果把石头放在楼顶， 如果把石头放在楼顶， 并摇摇欲坠， 并摇摇欲坠，你就不会 不关心它， 不关心它，你可能要离 它远些， 它远些，因为它对你的 生命安全造成威胁。 生命安全造成威胁。
第三章 守恒定律
一. 保守力 若力所作的功只与质点的始末位置有关， 若力所作的功只与质点的始末位置有关，而与经过 只与质点的始末位置有关 的路径无关，这种力叫保守力 反之为非保守力。 保守力， 的路径无关，这种力叫保守力，反之为非保守力。 万有引力做功: 万有引力做功 重力作功： 重力作功： 弹簧弹力作功： 弹簧弹力作功：
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】本文将探讨物理学中的保守力和势能的概念。
在我们将介绍保守力和势能的基本概念。
接着，在我们将解释保守力的定义、势能的概念、保守力和势能之间的关系、不同类型的势能以及保守力和非保守力的区别。
在我们将探讨保守力和势能的重要性，它们在物理学中的应用以及研究它们的意义。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解保守力和势能在物理学中的重要性，以及它们对于理解物体运动和相互作用的作用。
【关键词】保守力、势能、物理学、定义、关系、种类、区别、重要性、应用、研究、意义。
1. 引言1.1 物理学中的保守力和势能概念物理学中的保守力和势能概念是指在物体运动过程中存在的一种重要物理现象。
保守力是指只与路径无关的力，即在物体沿着闭合路径作用力时所做的功为零的力。
而势能则是描述物体在受到保守力作用时所具有的能量状态。
保守力和势能之间存在着密切的关系，它们是描述物体运动的重要概念。
保守力和非保守力的区别在于前者所做的功只与初末位置有关，而后者所做的功与路径有关。
保守力和势能在物理学中具有重要的作用，它们能够描述物体的运动规律，并为我们理解自然界提供了重要的依据。
在物理学中，研究保守力和势能的重要性不言而喻。
它们的应用涵盖了多个领域，如力学、热力学等。
对保守力和势能进行深入研究有助于我们更好地理解物理世界，推动科学技术的发展。
保守力和势能的研究具有重要的意义，将为我们带来更多的探索和发现。
2. 正文2.1 保守力的定义保守力是指对物体做功与物体路径无关的力，即沿任意闭合路径对物体作用的保守力所做的功为零。
这意味着保守力是一种和路径无关的力，只与物体的起始位置和终止位置有关。
在物理学中，保守力的定义是指只有静力场才是保守场，即保守力是一种具有势能的力。
势能是指物体由于位置而具有的能量，是力的势能可以表示为能够做功的能量。
保守力的一个重要特征是它可以通过梯度形式的势能函数来描述，即保守力的大小等于势能函数的负梯度。
势能的定义及公式
势能的定义及公式
在相互作用力是“耗散力”（如摩擦力）时，设物体由A点（假设它是势能零点）移到B点克服它做功为W，当物体由B点回到A点时，它并不能对物体做功，故不能说由于耗散力存在使物体具有了势能。
与此相反，如果上述过程是在保守力作用下进行的，那么物体从B回到A时，保守力对物体做的功正好等于W，这是因为保守力所做的功才只与物体的初始和最终的相对位置有关。
如果物体不受其它力的作用那么这个功W就使物体得到同样多的动能。
故我们说物体在B 点有势能W。
总之势能的大小由体系内各物体之间保守力所作的功来量度。
势能是属于物体系共有的能量，通常说一个物体的势能，实际上是一种简略的说法。
势能是一个相对量。
选择不同的势能零点，势能的数值一般是不同的。
势能分为重力势能、磁场势能、弹性势能、分子势能、电势能、引力势能等。
势能是无限能源。
重力势能的公式：Ep=mgh（Ep为重力势能，m为质量，g为地球表面重力加速度，在大多数情况下，h为物体距离参考平面的高度）。
由于万有引力和g都因距离而变化，所以Ep=mgh只能解决地球表面问题。
1-4-2 保守力的功、势 能
保守力的功势能（1）重力的功XYZOa b∙∙∙gm rd m 在重力作用下由a 运动到b ，取地面为坐标原点⎰⋅=bard g m W ⎰++⋅-=ba )k dz j dy i dx (k )mg (⎰-=b az z mgdza b mgz mgz =-=初态量-末态量（2）万有引力的功rdr rMm G Wbar r ∙-=⎰3rdrr Mm G b ar r 3⎰-=)()(ba r Mm G r Mm G ---==初态量-末态量两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M 所在处为原点, M 指向m 的方向为位矢的正方向。
m 受的引力方向与位矢方向相反。
rdr r d r r d r ==∙θcos rrMm G F3-=Mr abm（3）弹力的功∙∙∙弹簧振子ikx F-=221122()b ax x b a W kxi dxikx kx=-∙=--⎰222121b a kx kx -==初态量-末态量某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关,而与路径无关,这种力称为保守力。
典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、电场力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：摩擦力、粘滞阻力、磁力势能AB功是能的量度，给定两点A 、B ，保守力所做的功是一定的，即对应能量差是一定的，对应的这种能定义为势能，只与质点的位置有关。
)()(b E a E W P P ab -=定义了势能差保守力做正功等于相应势能的减少保守力做负功等于相应势能的增加选择b 点为势能为零,则0)(=b E P ab P W E (a)=质点在某一点a 的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点a 移动到零势能点时保守力所做的功rd F a E ar p∙=⎰零势能点保)(mgh E =重力2kx 21E =弹性rMm GE -=引力说明：（1）只有保守力的系统，才可引入相应的势能（2）计算势能必须规定零势能参考点（3）势能仅有相对意义，它与零势能点的选取有关，但两点间势能差与零势能点选取无关（4）势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有保守力与势能函数的关系一般说来，势能是位置的函数，若用E P (x,y,z)表示，那么zE F y E F x E F pz p y p x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=++=k z E j y E i x E k F j F i F F p p p z y x p E k z j yi x )( ∂∂+∂∂+∂∂-=pp E grdE -∇=-=质点所受保守力等于质点势能梯度的负值。
保守力,势能
√
C A D B
C A
D B
2-19：轻弹簧, 一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 一端为m的小球,小球穿过圆环并在 圆环上运动(无摩擦)；开始球静止于点A,弹 簧处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小 球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有 压力.求弹簧的劲度系数； P
N
drmM
drmM
drmM N
dA N drmM 0
因为两个接触物体间无相对运动， 以其中一个物体为参照系，则另一物 体的相对位移为零; 滑动摩擦力的方向总是与相对运动 方向相反，以其中任一个物体为参照 系，则另一物体的受到的滑动摩擦力 的方向一定与它相对参照系的位移方 向相反。所以，其功恒为负。
E
ki
Eki 0 EPi EPi 0 Ek EP
3
2. 保守内力作功不改变系统的机械能， 但使系统的动能与势能相互转换 3. 机械能守恒定律只在惯性参考系 下成立，其动能、势能和机械能都与 参考系的选择有关。
例题：系统中物体A、B置于光滑的桌面上， 物体A和C,B和D之间摩擦系数均不为零， 首先用外力沿水平方向相向推压A和B， 使弹簧压缩，后撤除外力，则A和B弹开 过程中，对 A、B、C、D 组成的系统 ；
1 2 2 mga sin ka T ka 2
0
C
C
mg (a sin )
A
非保守
0
1 k (a )2 2
1 2 2 A外力 AF mga sin 2 ka
ly
T
(l b)
0
y
ly
T
y
yg
b
N A非保守 0
势能机械能守恒定律
－（Ep2－Ep1）
A外＋A非保守内力+【－（Ep2－Ep1）】=Ek2－Ek1
A外＋A非保守内力=(Ek2－Ek1 ）+[（Ep2－Ep1）] “同状态旳量”合并： A外＋A非保守内力=(Ek2+ Ep2）-（Ek1 + Ep1）
令 Ek E p E 称为系统旳机械能
A外 A非保守内力 E2 E1 系统旳功能原理
式中 E1, E2 分别为作功前后系统旳机械能
功能原理:系统旳机械能旳增量等于外力及非 保守内力作功之总和.
A外 A非保守内力 E2 E1
阐明: 1）功能原理阐明只有外力及非保守内力才干 改系统旳机械能.
2）功能原理与动能原理并无本质差别 ,区别 在于功能原理引入了势能概念,而无需计算保 守力旳功.动能原理则应计算涉及保守内力在 内旳全部力旳功.
试计算链条刚巧全部离开桌面时旳速率。
T'O T
a
x
G
解：法1）利用动能定理
以链条为研究对象
Ap
Af
1 mv2 0 2
求重力旳功：
dAp ygdy ( m / l)
l
Ap
gydy
a
求重力旳功：
dAp ygdy
l
Ap
gydy
a
1 g(l 2 a2 )
2
mg (l 2 a2 ) 2l
a
3）计算势能能够任选一种你以为以便旳途径。
o
a 例：重力势能，以地面为参照点，
mg 势能：选用从a---b点旳途径，则：
参 h
b EPa F dr mgdy mgh
a
0
例：弹性势能，以弹簧旳平衡位
y
置为势能零点
势能积分公式范文
势能积分公式范文势能积分是力学中一个重要的概念，它描述了力学系统中质点由于位置变化而发生的势能的变化情况。
在物理学中，势能是指物体在特定位置上具有的能量。
势能积分可以通过对势能函数进行求积分来实现。
对于一维情况，假设有一个只沿x轴移动的质点，那么势能积分的一般公式可以写为：W = ∫(F(x)·dx)其中 W 表示势能的变化量，F(x) 表示作用在质点上的外力，dx 表示质点在 x 方向上的位移。
如果外力是保守力，根据牛顿定律，可以通过势函数确定。
假设势函数为 V(x)，则根据牛顿定律，有 F(x) = -dV(x)/dx。
代入势能积分公式可以得到：W = ∫(-dV(x)/dx·dx)化简可得：W=∫(-dV(x))根据积分的性质，上式可以写为：W=-(V(x2)-V(x1))由此可知，如果外力是保守力，质点在从位置x1移动到位置x2时的势能变化量就等于势函数在这两个位置上的差值。
对于三维情况，势能积分公式的推导类似。
假设有一个质点在三维空间中运动，那么势能积分可以写为：W = ∫(F·dr)其中 W 表示势能的变化量，F 表示作用在质点上的外力，dr 表示质点的位移矢量。
如果外力是保守力，根据牛顿定律，可以通过势函数确定。
假设势函数为V(x,y,z)，则根据牛顿定律，有F=-∇V(x,y,z)，其中∇表示梯度算子。
代入势能积分公式可以得到：W = ∫(-∇V(x, y, z)·dr)化简可得：W = -∫(∇V(x, y, z)·dr)根据矢量微积分的性质，上式可以写为：W=-(V(x2,y2,z2)-V(x1,y1,z1))由此可知，如果外力是保守力，质点在从位置(x1,y1,z1)移动到位置(x2,y2,z2)时的势能变化量就等于势函数在这两个位置上的差值。
势能积分公式的推导过程比较简单，但它在力学中有着广泛的应用。
对于多种力学系统，比如弹簧、重力场、电磁场等，势能积分公式都可以用来计算势能的变化量。
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从保守力概念的引入到势能公式的推导
存在势能的力不一定是保守力。
在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，且该作用力所做的功不因为路径的不同而改变，则称此力为保守力。
保守力判断方法
充要条件就是场矢量的旋度为零，我们也称作无旋场。
比如静电场就是无旋场，因此
就是激进场。
1、对于一维运动，凡是位置x单值函数的力都是保守力。
例如服从胡克定律的'弹性
力f=f(x)=-k(x-x0)是x的单值函数，故它是保守力。
2、对于一维以上运动，大小和方向都与边线毫无关系的力，例如重力g=mg，就是保
守力。
3、若在空间中存在某个中心o，物体（质点）p在任何位置上所受的力f都与“向量op”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量op的单值函数，则
这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力。