高中数学放缩法公式

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高中数学数列与不等式综合问题放缩法

数列与不等式综合问题一裂项放缩放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧：例1 求证（1）变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13. 二等比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....nk a a a +++<231111+++......+12222n<（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

高中数学课程数列中的放缩法

数列中的放缩法
在全国卷高考中，数列已经远远降低了难度，再也不会出现那种丧心病狂，虐死人不犯罪的压轴题了。

相应的放缩技巧，在数列考查中也几乎绝迹了，就算偶尔出现意外，也不会太难，掌握下面这几类，完全可以搞定。

一·放缩法
1·放缩法的步骤：
【注意】
放缩法在很多时候会保留第一项或前几项不放缩，这样才不至于使得结果过大或者过小。

2·放缩成等比数列模型：
3·放缩成裂项相消模型：
二·放缩法的应用 1·直接可求和放缩：
2·放缩成等比数列：
3·错位相减法放缩：
4·裂项相消放缩：。

导数大题中最常用的放缩大法

导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<，（放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。

高中数学导数放缩法

高中数学导数放缩法导数作为数学中重要的概念，是微积分中的一个基础知识。

在高中数学中，导数是一个重要的内容，学生需要掌握导数的定义、性质和计算方法。

其中，导数的放缩法是导数的一种重要应用，能够帮助我们简化复杂的导数计算，提高计算的效率。

一、导数的定义及性质回顾在学习导数的放缩法之前，我们先来回顾一下导数的定义及性质。

在数学中，函数y = f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h这个极限表示当自变量在点x处偏离x时，函数值的变化情况。

导数有一些重要的性质，比如：1.常数函数的导数为0：即对于常数k，f(x) = k的导数为f'(x) = 02.和函数的导数：(u + v)' = u' + v'3.差函数的导数：(u - v)' = u' - v'4.常数倍函数的导数：(ku)' = ku'5.积函数的导数：(uv)' = u'v + uv'6.商函数的导数：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2这些性质在导数的计算中起着非常重要的作用，能够帮助我们简化计算过程。

接下来，我们将介绍导数的放缩法，以及如何运用这一方法简化导数的计算。

二、导数的放缩法原理导数的放缩法是指根据导数的定义及性质，通过放缩函数的表达式，将复杂的导数计算化简为简单的计算。

具体来说，导数的放缩法主要有以下几种形式：1.基本放缩法：指利用导数的性质，将一个复杂函数拆分成几个简单函数的和、差、积或商，然后利用导数的性质求导，最后将得到的导数组合起来得到原函数的导数。

2.递推放缩法：指通过递推的方式，将一个复杂函数的导数化简为一个或多个简单函数的导数，然后根据导数的性质组合起来得到原函数的导数。

3.反函数放缩法：指利用反函数的性质，将一个函数的导数与其反函数的导数之间建立联系，通过求导得到原函数的导数。

高中数学复习微专题-累加不等式证明之积分放缩法

微专题：累加不等式证明——积分放缩法在有了导数这个强有力的研究函数的工具后，对于累加不等式我们又多出了一些对应招式，积分放缩法也是处理部分累加不等式问题的非常强有力的方法。

利用函数的定积分对数列级数进行有效的放缩，需要以下引理：对于函数(x)f ，若,p q 为整数，且p ＜q ，(x)f ＞0，有：引理若(x)f 单调递增，则1(x)dx p p f -⎰＜()q i p f i =∑＜1(x)dx p p f +⎰；若(x)f 单调递减，则 1(x)dx p p f +⎰＜()q i p f i =∑＜1(x)dx p p f -⎰。

由定积分表示的曲边梯形的面积可以直接得到以上引理。

下面举例看看这个引理的应用。

例1.证明：()ln 1n +＜111123n ++++＜1ln .n + 证明：考虑函数1(x)f x =，于是下图中阴影部分的面积为11123n +++，而定积分表示曲边梯形的面积，于是有11123n +++＜11dx lnx ln ,1n n n x ==⎰ 知右边的不等式成立，再证左边，如下图：于是有111123n ++++＞()1111dx lnx ln 1,1n n n x ++==+⎰ 于是不等式得证。

另证：（累加不等式证明——构造不等式法）因为有基本不等式：x ＞1-时，()ln 1.x x ≥+ 取1,1,2,,x k n k ==，则有()11ln 1ln 1ln ,k k k k ⎛⎫≥+=+- ⎪⎝⎭将这n 个不等式左右分别求和得 111123n ++++＞()ln 1,n + 再取1,2,3,,x k n k =-=，则有()11ln 1ln 1ln ,k k k k ⎛⎫-≥-+=-- ⎪⎝⎭将这1n -个不等式左右分别求和得11123n ⎛⎫-+++⎪⎝⎭＞ln ,n - 从而有111123n ++++＜1ln .n + 当1n =时取到等号。

综上，不等式得证。

高考导数解答题中常见的放缩大法

For personal use only in study and research; not forcommercial use(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<，（放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。

高中数列放缩法技巧

高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法是一种用于求解数列问题的技巧。

通过适当的方法对数列进行放缩，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。

在高中数学中，数列是一个非常重要的概念。

通过研究数列的性质和规律，可以帮助学生培养数学思维和分析问题的能力。

数列放缩法的基本思想是通过一系列变换将原始数列转化为一个更
加简单或者更加易于处理的数列，从而使问题的求解变得更加容易。

下面介绍几种常用的数列放缩方法：
1. 数列的倍数放缩：如果一个数列的每一项都乘以一个相同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有明显倍数关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等比数列，从而更加方便地求解。

2. 数列的平移放缩：如果一个数列的每一项都加上或者减去一个相
同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有明显递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等差数列，从而更加方便地求解。

3. 数列的递推放缩：如果一个数列的每一项都是前一项的某个函数，
那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有复杂递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个递推公式，从而更加方便地求解。

除了以上几种基本的放缩方法，还可以根据具体问题的特点进行其他类型的放缩。

数列放缩法在高中数学中有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种数列问题，提高数学分析和推理能力。

总之，高中数列放缩法是一种重要的解题技巧，通过适当的放缩方法可以简化数列问题的求解过程，提高解题效率。

掌握数列放缩法对于高中数学的学习和应试都具有重要的意义。

2023届高考数学二轮复习大题专讲专练：放缩法

第41讲放缩法在前面的几个章节中已经涉及了一部分放缩法的运用,在导数里放缩法具有广泛用途,比如说直接利用放缩法证明不等式,利用放缩法找零点或者隐零点区间,利用放缩法判定导函数的正负号,进而判定函数单调性等.那放缩法到底是什么?放缩法本质上是一种近似估算,利用它达到简化计算的目的,其理论依据是高等数学里面的泰勒展开,这在后面的章节会具体讲解,本节先从高中数学的视角来讲解不等式放缩.那么如何利用放缩法解决导数问题呢?放缩法的核心在于利用不等式,对函数进行放大或缩小,从而达到简化函数进而简化计算的目的.下面一些关于不等式的常用结论,请在做题过程中慢慢体会.1. 能够利用的不等式通常分为三类:(1)常用不等式,就是常用对数不等式、常用指数不等式和基本不等式,以及相关的变形.(2)已证不等式,通常就是第一小问证明出来的不等式会被用在第二小问题来进行放缩.(3)变形不等式,常用不等式的变形或者在解题过程中积累下来的不等式.2. 在利用不等式放缩的时候需要注意“一向,二等,三证明”.一向.就是不等式放缩时要注意不等号的方向要一致,需要同向才能放缩.二等.就是要注意等号成立的条件,如果多次放缩还要注意等号能否同时成立.三证明.就是在运用了不等式放缩之后,一定要对不等式进行证明,除基本不等式之外,其他必须证明,也就是我们常说的“欲用不等式,必证不等式”.3. 运用不等式放缩时通常可以分为以下几类:(1)直接放缩.就是直接利用常用不等式或者函数单调性放缩即可求解.(2)去参数放缩.利用函数的单调性和参数取值范围,把参数去掉来实现放缩.(3)去项放缩.是通过舍弃一些项来实现放缩简化.(4)系数放缩.对函数进行因式分解,在可预见不等式性质的前提下,把某一个因式作为另一个因式的系数进行放缩.基本放缩公式总结下面一些常用的不等式,可用于放缩法证明不等式或者赋值法找零点,其原理会在后面泰勒展开那里具体讲【解析】,这里不过多证明.注意:如果考试的时候使用了下面的不等式,一定要用构造函数的方式证明出来,所谓“欲用不等式,必证不等式”.第一组:对数放缩(1)放缩成一次函数()-<+.x x x x x xln1,ln,ln1(2)放缩成双撇函数1111ln (1),ln (01)22x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<->>-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(01)x <<. 11ln (1),ln (01)22x x x x <>><<.(01)x <<. (3)放缩成二次函数()()22211ln ,ln 1(10),ln 1(0)22x x x x x x x x x x x -+--<<+->. (4)放缩成类反比【例】函数()211ln 1,ln (1)1x x x x x x -->>+,()21ln (01)1x x x x -<<<+. ()()2ln 1,ln 1(11x x x x x x x ++>>++0),()2ln 1(0)1x x x x+<<+. 第二组:指数放缩(1)放缩成一次函数e 1,e ,e e x x x x x x +>.(2)放缩成类反比【例】函数()11e 0,e (0)1x x x x x x<-<-. (3)放缩成二次函数223111e 1(0),e 1226x x x x x x x x ++>+++ 第三组:指对放缩()()e ln 112x x x x -+--=.第四组:三角函数放缩 222111sin tan (0),sin ,1cos 1sin 222x x x x x x x x x x <<>---. 第五组:以直线1=-y x 为切线的函数121ln ,e 1,,1,ln x y x y y x x y y x x x-==-=-=-=.下面举例说明如何运用不等式放缩来证明不等式.【例】设()ln 1f x ax x =++,若对任意的()20,x x f x x e >⋅恒成立,求a 的取值范围. 先参变分离:()2ln 1e x x g x a x+=-. 放缩法:由e 1x x +可得()()()22ln 2e ln 1e ln 12ln 1ln 1ln 1e 2x x x x x x x x x x x x x x x+-+-+++-++-===. 这里直接利用指数不等式整体代换放缩,即可求出min ()g x ,极大地简化了计算,这也是放缩法的魅力所在,我们一定要铭记不等式放缩的“三注意”：一向,二等,三证明.常用不等式及其变形方法总结不等式一：常用指数不等式【例1】证明:指数不等式:e 1x x +.【解析】证明：令()()e 1x f x x =-+,则()e 1x f x '=-.令()0f x '<得0x <.令()0f x '>得0x >.()f x ∴在(),0∞-单调递减,在()0,∞+上单调递增.()()00e 10f x f ∴=-=,即()e 10x x -+.e 1x x ∴+.(1)记忆:可以利用图像辅助记忆,即指数函数e x y =的图像在一次函数1y x =+的上方.(2)取等条件:0x =时可以取到等号.(3)变形:对于指数不等式变形通常是利用整体代换，11e 1e .t x x x x x 令=+-−−∴−→+(4)变方向:当1x >-时要改变不等号方向通常不等号两边取倒数,1e 11x xx e x -+⇒+不等式二:常用对数不等式【例2】证明:对数不等式:ln 1x x -.【解析】证明：令()()ln 1(0)g x x x x =-->,则()11g x x'=-. 令()0g x '<得1x >,令()0g x '>得01x <<. ()g x ∴在()0,1单调递增,在()1,∞+上单调递减.()()()1ln1110g x g ∴=--=,即()ln 10x x --.ln 1x x ∴-.(1)记忆:可以利用图像辅助记忆,即指数函数ln y x =的图像在一次函数1y x =-的下方.(2)取等条件:1x =时可以取到等号.(3)变形:对于对数不等式变形通常是利用整体代换,()1ln 1ln 1t x x x x x 令=-−−→-+−.(4)变方向:通常不等号两边同时乘负号,1ln 1ln 1x x x x-⇒-.常用不等式直接放缩对于一些无参不等式的证明,特别是同时包含指数函数、对数函数的不等式,我们通常需要用常用指数不等式和常用对数不等式放缩为幂函数,从而实现函数简化,进而方便计算和求解.【例1】证明:()1e ln 1x x ->+.【解析】证明：由常用指数不等式e 1x x +,整体代换可得()1e 11x x x --+=,当且仅当1x =时,取等号.由常用对数不等式ln 1x x -,整体代换可得()()ln 111x x x ++-=,当且仅当0x =时,取等号.(1)式与(2)式取等号的条件不同,()1e ln 1x x -∴>+.【例2】证明:12e e ln 1x x x x -+>. 【解析】证明：由e 1x x +得1e x x -,即e x ex ,故1e e x x -,当且仅当1x =时,取等号. 又1ex 111ln 1ln 1lne 1ln 0e e t t t t x x t x x令=−⇒−−→---⇒+. 由于(1)(2)式等号不能同时成立,两式相加得2ln e e x x x-+>,两边同乘e x 得()1f x >.【例3】设()()ln 1f x x =+证明:当02x <<时,()96x f x x <+.【解析】证明：当0x >时，2x <+,12x <+. ()()()ln 11ln 12x f x x x ∴=+<++. 记()()9ln 126x x h x x x =++-+, 则()2115412(6)h x x x =+-=++' ()()22153621(6)x x x x x +-++.当02x <<时,()0h x '<,()h x ∴在()0,2内是减函数.又()()00h x h <=.()9ln 126x x x x ∴++<+,即()9ln 116x x x ++<+.∴当02x <<时,()96x f x x <+.去参数放缩所谓去参数放缩,就是在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数1a ,证明()0af x >恒成立,按去参数放缩可得()()0af x f x >,只需要证明()0f x >即可.【例1】已知函数()e ln 1x f x a x =--,证明:当1ea 时,()0f x . 【解析】证明:当1ea 时,()e ln 1e xf x x --. 设()e ln 1e xg x x =--,则()e 1e x g x x=-'. 当01x <<时,()0g x '<.当1x >时,()0.1g x x >∴='是()g x 的最小值点.∴当0x >时,()()10g x g =.∴当1e a 时,()0f x .【例2】已知函数()21e xax x f x +-=,证明:当1a 时,()e 0f x +. 【解析】证明；当1a 时,()()21e 1e e x x f x x x +-++-+ 令()211e x g x x x +=+-+,则()121e x g x x +=++'.当1x <-时,()()0,g x g x '<单调递减.当1x >-时,()()0,g x g x '>单调递增.()()10g x g ∴-=.因此()e 0f x +.【例3】已知函数()()ln x f x e x m =-+，当2m 时,证明:()0f x >.【解析】证明：当2m ，(),?x m ∈-+∞时，()()ln ln 2x m x ++,故只需证明当2m =时,()0f x >当2m =时,函数()1e 2x f x x =-+',在()2,∞-+上为增函数,且()10f '-<,()00f '>. 故()0f x '=在()2,∞-+上有唯一实数根0x ,且()01,0x ∈-. 当()02,x x ∈-时,()0f x '<.当()0,x x ∞∈+时,()0f x '>.从而当0x x =时,()f x 取得最小值.由()00f x '=得()00001e ,ln 22x x x x =+=-+. 故()()()20000011022x f x f x x x x +=+=>++. 综上,当2m 时,()0f x >.去项放缩所谓去项放缩,就是直接去掉不等式两边的一些不影响不等式恒成立的确定项,从而去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.说白了,就是简单粗暴地扔掉一些累赘,自然就简单了.比如要证明()()()g x f x h x +>,如果能够得到()0g x ,则把()g x 直接扔掉,若()()f x h x >成立,则不等式()()()g x f x h x +>恒成立.【例1】已知函数()()()11x f x x e =+-,若0m ,证明:()2f x mx x +.【解析】证.明：由()()()11x f x x e =+-得()()00,10f f =-=,去项放缩:根据20,0m x >,可直接放缩去掉含参项2x mx x +,令()()()11x g x x e x =+--,则()()2e 2x g x x =+-',当2x -时,()()2e 220x g x x '=+-<-<.当2x >-时,设()()()2h x g x x ='=+。

放缩法技巧全总结

高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13)3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n nn111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n n x x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ n n nn n n n n n当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<n in ABCFx S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n ni n --==<⋅--⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到: )1ln(113121+<++++n n另一方面⎰->n i n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 . 解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

高中数学讲义：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

高中数学方法讲解之放缩法

放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。

放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ⑷利用常用结论：Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+；Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大）Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ；（程度小）例1.若a , b , c , d R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d R + ∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 例3.求证：213121112222<++++n【巧证】：n n n n n111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n十二、放缩法:巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b巧练一：【巧证】：yy x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】：222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四：【巧证】：c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n 巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>nnn n n n n n巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n <c n (n ≥3, n R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a ,b ,c > 0, ∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a nn∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nnc b c a放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法等。

高中数学必会知识点：导数中的同构与放缩

高中数学必会知识点：导数中的同构与放缩
在能成立与恒成立的命题中，有很大一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如若F(x) ≥ 0能等价变形为f[g(x)] ≥f [(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x) ≥ (x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．
当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！。

高三数学放缩法大总结

黄冈中学高中数学放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k nk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)1111(1)1132132(1)n n n n +<+++++<⨯⨯-(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n (11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n (12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n k 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故若存在正整数k m≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n. 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nn n a 24-=,nnn a a a T +++=212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n nnn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n nn T T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα解析:构造函数x x x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n,求和后可以得到答案例10.1-n 所以有n n 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x xx x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x , 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2n n n a a a n n +==+++证明2n a e <解析: n n nn n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：⇒+++≤+n n n a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

[整理版]高中数学放缩法

高考专题放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2) 求证：112122n n n S S S S S +-<++⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得)1)((11=--+++n n n n a a a a01>+∴>+n n n a a a∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S（2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121nn S n n n S S S =+=+++>++2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n na a a a⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n na a a a a a⋅+≥+=--)1()1()(2．当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-．∴nn a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n nn n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….解（1）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n .（2）因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n ，所以n b b b n 221>+++ .又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .注：常用放缩的结论：（1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k kk k k k k k k k（2）．)2)(111(212112)111(2≥--=-+<<++=+-k kk k k kk k k k常见高考放缩法试题1. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.3. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(lim +-∞→n nS b n n ．4. 已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=23na +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列；(Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：S n <25．5. （1）已知：)0(∞+∈x ，求证xx x x 11ln 11<+<+；（2）已知：2≥∈n N n 且，求证：11211ln 13121-+++<<+++n n n 。

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23
3n
n1 5 k2 3
k1
1 想 1 = 4 = 2|( 1 一 1 )| n2 n2 一 1 4n2 一 1 (2n 一 1 2n + 1)
4
xn 1
k2
k=1
1 一 1 + … + 1 一 1 )| 想 1 + 2 = 5
(3 5
2n 一 1 2n + 1)
33
Sn = 1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n +1) .
n
n
n
n
n
n2+n+2
2n > C 0 + C 1 + C 2 =
n
n
n
2
2n > n(n 一 1)(n > 2)
母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
例 3、设 a
n
12 23 34 …
n(n 1) 求证：n(n 1) a (n 1)2
2
n
2
证明： ∵ n(n 1) n2 n
1 2n 1
n(n 1) (n ) 2
2
2
2n 1 ∴ n n(n 1) 2
∴1 2
3…
n
a
n
1 3 … (2n 1) n(n 1)
，∴
a
2
2
n
(n 1)2 2
本题利用 n
n(n 1) 2n 1 ，对 a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的
2
n
数列，达到化简的目的。
111
例 4、求证： 12 22 32
17
n2 4
11
11
证明： n2 n(n 1) n 1 n
111 12 22 32
1 1 1 (1 1
n2
22 2 3
1 1) 5 (1 1) 7. n1n 4 2n 4
1 (1
1 ) n
1,
aa
a 2 3 2 22
2n 2 3 2n 2 3
2
3
n1
：n
1
a 1
a2
...
an
23a a
a
2
3
n1
n (n N* ). 2
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的
值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，
例 1、已知 a 2n 1(n
N* ). 求证： n
1
a
1
a2
...
an
(n
N* ).
n
23a a
a
2
3
n1
证Байду номын сангаас：
a
2k 1 1
1
1
1
1 11
k . , k 1,2,..., n,
a
2k 1 1 2 2(2k 1 1) 2 3.2k 2k 2 2 3 2k
k 1
：a1
a 2
...
a n
n
1 ( 1 1 ... 1 ) n
2 21 2 22
2 2n
n 1(111… 1) n 1 1(n N* ) .
4 24
2n 1
2n1 2
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进
行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一
变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分
1 1… 1 1 1
23
3n 2 3
1 1 1 11 1… 456789
1 1 …1
2n 2n 1
3n
5 33
99 …
3n 1 3n 1 5n
6 6 9 18 27
2 3n 1 3n
6
ln 2 ln 3 ln 4 … ln 3n 3n 1 5n 3n 5n 6
234
3n
6
6
3n 1 (1 1 … 1 )
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根
据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
ln 2 ln3 ln 4 … ln3n 3n 5n 6 (n N* )
234
3n
6
ln x
1
ln x x 1
1
x
x
ln 2 ln 3 ln 4 … 234
S 想 xn (k +1) = (n +1)(n + 3) > (n +1)2
n k =1
2
2
n 1 + …+ 1
a +…+a
共 n a …a 共 1
1
n
n
n共
a
a
1
n
a2 + …+ a2
1
n
n
n = 2,3
ab 共 a + b 2
2 n = (1 + 1)n = C 0 + C 1 + … + C n 2 n > C 0 + C 1 = n + 1
n(n + 1) 想 S 想
2
n
ak= k(k + 1) , k = 1,2, … , n.
k 想 k(k + 1) 想 k + k + 1 = k + 1
2
2
：xn k 想 S 想 xn (k + 1 )
n
2
k =1
k =1
n(n +1)
n(n +1) n (n +1)2
想S 想
+想
.
2
n
22
2
k(k +1) 想 k +1
利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k 2 ，从而是使和式得
到化简.
例 2、函数f (x) = 4x ，求证： f (1) +f (2) +…+f (n) >n+ 1 1 (n N* ) .
14x
2n1 2
证明：由f(n)= 4 n =1- 1 1 1
14n
14n
2 2n
得f (1) +f (2) +…+f (n) > 1 1 1 1 … 1 1