高中数学放缩法公式

n(n + 1) 想 S 想
2
n
ak= k(k + 1) , k = 1,2, … , n.
k 想 k(k + 1) 想 k + k + 1 = k + 1
2
2
：xn k 想 S 想 xn (k + 1 )
n
2
k =1
k =1
n(n +1)
n(n +1) n (n +1)2
想S 想
+想
.
2
n
22
2
k(k +1) 想 k +1
利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k 2 ，从而是使和式得
到化简.
例 2、函数f (x) = 4x ，求证： f (1) +f (2) +…+f (n) >n+ 1 1 (n N* ) .
14x
2n1 2
证明：由f(n)= 4 n =1- 1 1 1
14n
14n
2 2n
得f (1) +f (2) +…+f (n) > 1 1 1 1 … 1 1
1 (1
1 ) n
1,
aa
a 2 3 2 22
2n 2 3 2n 2 3
2
3
n1
：n
1
a 1
a2
...
an
23a a
a
2
3
n1
n (n N* ). 2
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的
值变小。 由于证明不等式的需要， 有时需要舍去或添加一些项， 使不等式一边放大或缩小，
母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
例 3、设 a
n
12 23 34 …
n(n 1) 求证 ：n(n 1) a (n 1)2
2
n
2
证明： ∵ n(n 1) n2 nBaidu Nhomakorabea
1 2n 1
n(n 1) (n ) 2
2
2
2n 1 ∴ n n(n 1) 2
∴1 2
3…
n
a
n
1 3 … (2n 1) n(n 1)
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根
据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
ln 2 ln3 ln 4 … ln3n 3n 5n 6 (n N* )
234
3n
6
ln x
1
ln x x 1
1
x
x
ln 2 ln 3 ln 4 … 234
23
3n
n1 5 k2 3
k1
1 想 1 = 4 = 2|( 1 一 1 )| n2 n2 一 1 4n2 一 1 (2n 一 1 2n + 1)
4
xn 1
k2
k=1
1 一 1 + … + 1 一 1 )| 想 1 + 2 = 5
(3 5
2n 一 1 2n + 1)
33
Sn = 1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n +1) .
1 1… 1 1 1
23
3n 2 3
1 1 1 11 1… 456789
1 1 …1
2n 2n 1
3n
5 33
99 …
3n 1 3n 1 5n
6 6 9 18 27
2 3n 1 3n
6
ln 2 ln 3 ln 4 … ln 3n 3n 1 5n 3n 5n 6
234
3n
6
6
3n 1 (1 1 … 1 )
，∴
a
2
2
n
(n 1)2 2
本题利用 n
n(n 1) 2n 1 ，对 a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的
2
n
数列，达到化简的目的。
111
例 4、求证： 12 22 32
17
n2 4
11
11
证明： n2 n(n 1) n 1 n
111 12 22 32
1 1 1 (1 1
n2
22 2 3
1 1) 5 (1 1) 7. n1n 4 2n 4
n
n
n
n
n
n2+n+2
2n > C 0 + C 1 + C 2 =
n
n
n
2
2n > n(n 一 1)(n > 2)
例 1、已知 a 2n 1(n
N* ). 求证： n
1
a
1
a2
...
an
(n
N* ).
n
23a a
a
2
3
n1
证明：
a
2k 1 1
1
1
1
1 11
k . , k 1,2,..., n,
a
2k 1 1 2 2(2k 1 1) 2 3.2k 2k 2 2 3 2k
k 1
：a1
a 2
...
a n
n
1 ( 1 1 ... 1 ) n
S 想 xn (k +1) = (n +1)(n + 3) > (n +1)2
n k =1
2
2
n 1 + …+ 1
a +…+a
共 n a …a 共 1
1
n
n
n共
a
a
1
n
a2 + …+ a2
1
n
n
n = 2,3
ab 共 a + b 2
2 n = (1 + 1)n = C 0 + C 1 + … + C n 2 n > C 0 + C 1 = n + 1
2 21 2 22
2 2n
n 1(111… 1) n 1 1(n N* ) .
4 24
2n 1
2n1 2
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进
行放缩， 从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一
变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分