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2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

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2019年高考数学试题分项版—解析几何(原卷版)

2019年高考数学试题分项版—解析几何(原卷版)

2019年高考数学试题分项版——解析几何（原卷版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝13．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．84．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．29．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝110．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆＋ ＝1的一个焦点，则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．811．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．313．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③15．(2019·天津理，5)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. B. C ．2 D. 二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________．6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C ：y ＝，D 为直线y ＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．。

2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何

2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何

又 y1 x1 a, y2 x2 a, 所以
2x1 x2 a(x1 x2 ) a2 0.
②
由①，②得 a 1，满足
0, 故 a 1.
5. （辽宁文） 21．（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 C1 旳中心在原点 O，长轴左、右端点 M， N在 x 轴上，椭圆 C2旳短
轴为 MN，且 C1， C2 旳离心率都为 e，直线 l ⊥ MN， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这 四点按纵坐标从大到小依次为 A， B， C， D．
旳方程为 y 3( x c).
A， B 两点旳坐标满足方程组
3 x2 4 y2 12c2 , 消去 y 并整理，得 5 x2 8cx 0 . 解 y 3( x c).
得
x1
0, x2
8 ，得方程组旳解 c
5
x1 0,
x2
y1
3c, y2
不妨设 8 3 3 ， B (0, A c, c 55
3c) ，
3) 2 16 相
交于 M， N两点，且
5
，求椭圆旳方程 .
| MN | | AB |
8
【解析】（ 18）本小题主要考查椭圆旳标准方程和几何性质、直线旳方程、两点间旳距离公
式、点到直线旳距离公式、 直线与圆旳位置关系等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥
曲线旳性质及数形结合旳数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分
t 9k2 1
3k2
, 1
由
| OG
2
|
| OD |
|OE | 得 t
k,
因此，直线 l 旳方程为 y k (x 1).
x2 y2 1
12 4 4x2 6mx 3m2 12 0.

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---解析几何

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---解析几何

2019年全国高考理科数学分类汇编——解析几何1.（2019北京理科）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.2.（2019北京理科）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y+=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.3.（2019北京理科）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =；(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.（2019全国1卷理科）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足.的，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262611052x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.（2019全国1卷理科）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,A F F B F F ∠∠互补，2121c o s c o s 0A F F B F F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．6.（2019全国1卷理科）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==可求离心率. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．7.（2019全国1卷理科）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【解析】 【分析】（1）设直线l ：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得121x x =+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.8.（2019全国2卷理科）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p = A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.（2019全国2卷理科）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．10.（2019全国2卷理科）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM 与BM 的斜率，由已知直线AM 与BM 的斜率之积为−12，可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与BM 有斜率的条件；（2）（i ）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，求出P ，Q 两点的坐标，进而求出点E 的坐标，求出直线QE 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G 的坐标，再求出直线PG 的斜率，计算PQ PG k k 的值，就可以证明出PQG 是直角三角形；（ii ）由（i ）可知,,P Q G 三点坐标，PQG 是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出PQG 的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2y x x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x yx +=≠±；（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,点P 在第一象限，所以P Q ，因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE k k =，可得直线QE方程：2k y x =2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，消去y得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得31y =G的坐标为23，直线PG 的斜率为; 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+, 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形； （ii ）由（i）可知：P Q ，G的坐标为23，PQ ==，PG ==,34218()2252PQGk k S k k ∆+==++ 42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16 (1)9 S=.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.11.（2019全国3卷理科）双曲线C：22 42x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A.B. C. 12xxD.【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．详解】由2,,a b c===．,2PPO PF x=∴=，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．12.（2019全国3卷理科）设12F F，为椭圆22:+13620x yC=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MF F△为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．13.（2019全国3卷理科）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或. 【解析】 【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d t d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =。

2019高考数学真题(文)分类汇编-平面解析几何含答案解析

2019高考数学真题(文)分类汇编-平面解析几何含答案解析

平面解析几何专题1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=O P O F ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =AB ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c∴a=12a =，故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ,b ,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=.【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.10．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.11．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 12．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.14．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁. 15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）M 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（11；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ． 所以4b =，a的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.18．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t ktk k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已|2||OA OB =（O 为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得2222a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为1+G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，122122213434S m S m m m m =-=-=++++…当m =时，12S S取得最小值1+G （2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.。

2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒答案：C解析：由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ，即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ，︒=50cos 12e ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科10，文科12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B解析：设x B F =||2，则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+，故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中，由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-，解得32=a ，22=b ，方程为12322=+y x 。

故选B 3、（2019年高考全国II 卷理科8，文科9）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D解析：易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上 由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。

专题07 解析几何-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析(解析版)

专题07 解析几何-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析(解析版)

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析7．解析几何一、考试大纲1．直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2．圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.3．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.4．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.二、新课标全国卷命题分析解析几何部分一般是2小1大，小题一般考查圆、圆锥曲线的性质，如离心率、渐近线，与圆、圆锥曲线有关的最值、取值范围问题，解答题一般考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系，充分地考查了考生的逻辑思维能力、应用解析几何思想解决问题的能力和进行代数运算的能力．突出考查了用解析几何方法解决几何问题的能力，试题计算量较大，在计算的过程中，无论是公式记错了，用错了，还是算错了，都会由于一步的计算错误而导致整道试题的解答错误，因此，强调运算的准确性对于解析几何是十分必要的，充分应用解析几何基本知识与基本思想的通性通法．二、考点讲评与真题分析题型一 圆的标准方程例1 （2018·新课标1，理14）一个圆经过椭圆221164x y +=错误!未找到引用源。

2019届高考数学总复习分类试卷 平面解析几何

2019届高考数学总复习分类试卷 平面解析几何

2019届高考数学总复习分类试卷平面解析几何(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l的斜率为k(k≠0),它在x轴,y轴上的截距分别为k,2k,则直线l的方程为( )A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0D.2x+y+4=02.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,√5为半径的圆的方程为( )A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=03.已知双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=54,且其右焦点为F(5,0),则双曲线C的方程为( )A.x 24-y23=1 B.x29-y216=1 C.x216-y29=1 D.x23-y24=14.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )A.k=12,b=-4 B.k=-12,b=4 C.k=12,b=4 D.k=-12,b=-45.已知直线x+y-2=0经过椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆C的离心率为( )A.12B.√2-1 C.√22D.√2-126.若双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,则其渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±4xC.y=±12x D.y=±14x7.过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一象限交于点A,则|AF|=( )A.5B.4C.3D.28.设F是双曲线x 24-y212=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动点,则|PF|+|PA|的最小值为( )A.5B.5+4√3C.7D.99.设椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是椭圆上的一点,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3B.3或32C.32D.6或310.已知抛物线C:y 2=8x,过点P(2,0)的直线与抛物线交于A,B 两点,O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-16B.-12C.4D.211.点F 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形,那么椭圆的离心率为( ) A.√22B.√32C.√3-12D.√3-112.已知双曲线C:x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H,若FH 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为( ) A.√62B.2C.√3D.√21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程为 .14.已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x 215+y 26=1有共同的焦点,且一条渐近线方程为√3x+y=0,则双曲线的顶点坐标为 .15.设F 1、F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是线段F 1P 的中点,|OM|=3(O 为坐标原点),则|PF 1|= .16.已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,M 为抛物线C 上一点,若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点),且外接圆的面积为9π,则p= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4√3,半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程;(2)若直线l∥PQ,l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.18.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.19.(本小题满分12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),e=12,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,点A,B的中点横坐标为14,且AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB⃗⃗⃗⃗⃗ (其中λ>1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数λ的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的顶点到直线l 1:y=x 的距离分别为√2,√22.(1)求C 的标准方程;(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A,B 两点,若以AB 为直径的圆恰过坐标原点,求直线l 的方程.21.(本小题满分12分)已知抛物线C 的方程为y 2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C 上. (1)求抛物线C 的方程;(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A,B,若直线AR,BR 分别交直线l:y=2x+2于M,N 两点,求|MN|最小时直线AB 的方程.22.(本小题满分12分)椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,且离心率为12,点P 为椭圆上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为√3. (1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左顶点为A 1,过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A,B 两点,连接A 1A,A 1B 并延长分别交直线x=4于R,Q 两点,问F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.平面解析几何一、选择题1.D 依题意得直线l 过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率k=2k -00−k=-2,由点斜式得直线l 的方程为y=-2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.2.C 由(a-1)x-y+a+1=0得(x+1)a-(x+y-1)=0,由x+1=0且x+y-1=0,解得x=-1,y=2,即该直线恒过点 (-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x 2+y 2+2x-4y=0. 3.C ∵e=c a =54,F(5,0), ∴c=5,a=4,则b 2=c 2-a 2=9, ∴双曲线C 的方程为x 216-y 29=1.4.A 因为直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx 与直线2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,所以{k =12,2×2+0+b =0.即k=12,b=-4.5.C 由已知可得F(c,0),B(0,b),因为直线x+y-2=0经过点F 和点B,所以b=c=2.又a 2=b 2+c 2,故a=2√2,所以椭圆C 的离心率为e=c a =√22,选C. 6.C 因为e=ca =√1+b 2a 2=√52,所以b a =12,所以双曲线的渐近线方程为y=±12x.故选C.7.B 由题意知,F(1,0),因为直线l 过焦点F 且倾斜角为60°,所以直线l 的方程为y=√3(x-1),与抛物线方程联立,可得直线l 与抛物线交点的坐标为(13,-2√33),(3,2√3),又点A 在第一象限,故A(3,2√3),所以|AF|=√(3-1)2+(2√3-0)2=4.8.D 因为F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,所以F(-4,0),设其右焦点为H(4,0),则由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+√(4-1)2+(0−4)2=4+5=9.故选D.9.C 由题意可得该椭圆短轴端点与两焦点的连线的夹角是60°,所以点P 不可能是直角顶点,只能是焦点为直角顶点,则P (±c,b 2a ),故△PF 1F 2的面积为12×2c×b 2a =32.10.B 当直线AB 的斜率不存在时,直线方程为x=2,不妨设A(2,4),B(2,-4),则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4-16=-12;当直线AB 的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),代入抛物线方程得k 2(x-2)2=8x,即k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 2+8k 2,x 1x 2=4,故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2[x 1x 2-2(x 1+x 2)+4]=(1+k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)+4k 2=(1+k 2)×4-2k 2×4k 2+8k 2+4k 2=-12,综上,OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,故选B. 11.D 不妨设F 为椭圆的右焦点,A 在第一象限,则点A 的坐标为(12c,√32c),代入椭圆方程得c 24a 2+3c 24b 2=1,即b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2,再将b 2=a 2-c 2代入上式得c 4-8a 2c 2+4a 4=0,又e=ca ,得e 4-8e 2+4=0,解得e 2=4±2√3=(1±√3)2,注意到椭圆的离心率范围为(0,1),故e=√3-1.故选D. 12.D 由题意可知,双曲线C 的一条渐近线的方程为y=ba x,则FH 的方程为y-0=-ab (x-c),即y=-ab(x-c),联立{y =bax,y =−a b (x -c),可得点H 的坐标为(a 2c ,ab c ),故FH 的中点M 的坐标为(c 2+a 22c,ab 2c ),又点M 在双曲线C 上,所以(c 2+a 2)24a 2c 2-a 2b 24b 2c 2=1,整理得c 2a 2=2,故e=ca =√2.故选D.二、填空题13.答案 (x-2)2+(y-1)2=1解析 ∵圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,∴圆心的纵坐标是1,设圆心坐标为(a,1)(a>0),则1=|4a -3|5,∴a=2(舍负),故该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.14.答案 (±32,0)解析 因为椭圆x 215+y 26=1的焦点为(±3,0),所以双曲线x 2a 2-y 2b 2=1中,c=3,a 2+b 2=9,又双曲线的一条渐近线方程为√3x+y=0,所以ba =√3,所以a=32,所以双曲线的顶点坐标为(±32,0).15.答案 4解析 因为椭圆方程为x 225+y 216=1,所以a 2=25,故2a=10.又P 为椭圆上一点,M 是线段F 1P 的中点,|OM|=3,所以|PF 2|=6,故|PF 1|=4. 16.答案 4解析 因为△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切,所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,由外接圆的面积为9π,得外接圆半径为3,又圆心在线段OF 的垂直平分线上,|OF|=p2,所以p 2+p4=3,解得p=4.三、解答题17.解析 (1)设圆心C(a,b),半径为r.易知直线PQ 的方程为x+y-2=0, 则线段PQ 的垂直平分线的方程是y-12=x-32,即y=x-1, 易知圆心在线段PQ 的垂直平分线上, 所以b=a-1.①由圆C 在y 轴上截得的线段长为4√3, 知(a+1)2+(b-3)2=12+a 2.② 由①②得a=1,b=0或a=5,b=4. 当a=1,b=0时,r 2=13,满足题意, 当a=5,b=4时,r 2=37,不满足题意, 故圆C 的方程为(x-1)2+y 2=13. (2)设直线l 的方程为y=-x+m(m ≠2), A(x 1,m-x 1),B(x 2,m-x 2), 将y=-x+m 代入(x-1)2+y 2=13, 可得2x 2-2(m+1)x+m 2-12=0,∴x 1+x 2=1+m,x 1x 2=m 2-122,Δ=-4(m 2-2m-25)>0,由题意可知OA ⊥OB,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以x 1x 2+(m-x 1)(m-x 2)=0, 整理得m 2-m(x 1+x 2)+2x 1x 2=0, 即m 2-m ·(1+m)+m 2-12=0, ∴m=4或m=-3,满足Δ>0,∴直线l 的方程为y=-x+4或y=-x-3.18.解析 (1)由题意可得,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1,所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=4-2=2,故a=2,c=√2, 故椭圆C 的离心率为√22.(2)设点A,B 的坐标分别为(t,2),(x 0,y 0),其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,则t=-2y 0x 0. 又x 02+2y 02=4,所以|AB|2=(x 0-t)2+(y 0-2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0-2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4 =x 02+4−x 022+2(4−x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4).因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4),当且仅当x 02=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB 长度的最小值为2√2.19.解析 (1)由条件可知c=1,a=2,故b 2=a 2-c 2=3, 则椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1.(2)由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗ ,可知A,B,F 三点共线,设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 若直线AB ⊥x 轴,则λ=1,不合题意.当直线l 的斜率k 存在时,设其方程为y=k(x-1). 由{y =k(x -1),x 24+y 23=1消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.①Δ=(-8k 2)2-4(4k 2+3)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0, x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3,因为点A 、B 的中点横坐标为14,所以x 1+x 2=8k 24k 2+3=12,所以k 2=14.将k 2=14代入方程①,得4x 2-2x-11=0, 解得x=1±3√54. 又因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 1,-y 1),FB ⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗ (其中λ>1),所以λ=1−x 1x 2-1=3+√52(λ=3−√52舍去). 综上,λ=3+√52.20.解析 (1)由直线l 1的方程知,直线l 1与两坐标轴的夹角均为45°, 故长轴端点到直线l 1的距离为√2a 2,短轴端点到直线l 1的距离为√2b2, 可求得a=2,b=1.所以C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)依题意设直线l:y=x+t(t ≠0). 由{y =x +t,x 24+y 2=1得5x 2+8tx+4t 2-4=0, 由Δ=64t 2-80(t 2-1)>0,解得-√5<t<√5. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则{x 1+x 2=−8t5,x 1x 2=4t 2-45,故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=x 1x 2+(x 1+x 2)t+t 2=t 2-45.因为以AB 为直径的圆恰过坐标原点,故OA ⊥OB, 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=4t 2-45+t 2-45=0, 解得t=±2√105,满足-√5<t<√5且t ≠0,故所求直线l 的方程为y=x+2√105或y=x-2√105. 21.解析 (1)∵点R(1,2)在抛物线C:y 2=2px(p>0)上, ∴4=2p,解得p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为x=m(y-1)+1,m ≠0,且易知m ≠1,由{x =m(y -1)+1,y 2=4x 消去x 并整理得y 2-4my+4(m-1)=0, ∴y 1+y 2=4m,y 1·y 2=4(m-1), 设直线AR 的方程为y=k 1(x-1)+2,由{y =k 1(x -1)+2,y =2x +2解得点M 的横坐标x M =k 1k 1-2,又k 1=y 1-2x 1-1=y 1-2y 124-1=4y1+2,∴x M =k 1k 1-2=-2y1,同理,点N 的横坐标x N =-2y 2,|y 2-y 1|=√(y 2+y 1)2-4y 1y 2=4√m 2-m +1,∴|MN|=√5·|x M -x N |=√5·|-2y 1+2y 2|=2√5·|y 2-y 1y 1y2|=8√5·√m 2-m+14|m -1|=2√5·√m 2-m+1|m -1|,令m-1=t,t ≠0,则m=t+1,∴|MN|=2√5·√(1t +12)2+34≥√15,当t=-2,即m=-1时,|MN|取得最小值√15,此时直线AB 的方程为x+y-2=0.22.解析 (1)已知椭圆的离心率为12,不妨设c=t,a=2t,则b=√3t,其中t>0,当△F 1PF 2面积取最大值√3时,点P 为短轴端点,因此12·2t ·√3t=√3,解得t=1(舍负),则椭圆的方程为x 24+y 23=1.第 11 页 共 11 页 (2)是.设直线AB 的方程为x=my+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =my +1,x 24+y 23=1可得(3m 2+4)y 2+6my-9=0, 则y 1+y 2=-6m 4+3m 2,y 1y 2=-94+3m 2,直线AA 1的方程为y=y 1x 1+2(x+2),直线BA 1的方程为y=y 2x 2+2(x+2),则R (4,6y 1x 1+2),Q (4,6y 2x 2+2),所以F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 1x 1+2),F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6y 2x 2+2),则F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9+6y 1x 1+2·6y 2x 2+2=36y 1y 2m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9+9=0,即F 2R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值0.。

2019年高考数学文真题分项解析：专题10 立体几何

2019年高考数学文真题分项解析：专题10 立体几何

第十章 立体几何1.【2019高考新课标Ⅱ，文7】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．2.【2019高考新课标Ⅲ，文8】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A. BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B. BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C. BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D. BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCE ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。

3.【2019高考浙江卷，4】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B【解析】【分析】 本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.4.【2019高考浙江卷，8】设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<【答案】B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PD ED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin 33α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.5.【2019高考新课标Ⅰ，文16】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC ，那么P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P I ，CD \^平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥PD PE ==∵2PC =．sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=， PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =，PO ∴==．【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．6.【2019高考新课标Ⅱ，文16】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印.信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1.【解析】【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)1BG GE CH x GH x x x ∴===∴=+==，1x ∴==1．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．7.【2019高考新课标Ⅲ，文17】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .【答案】118．8【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得， 2146423122EFGH S cm =⨯-⨯⨯⨯=，四棱锥O −EFG 的高3cm ， ∴31123123O EFGH V cm -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144V cm =⨯⨯=，所以该模型体积22114412132V V V cm =-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．8.【2019高考北京卷，文12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】【分析】本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.【详解】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.【2019高考北京卷，文13】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.10.【2019高考天津卷，文12的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。

全国卷历年高考解析几何解答题真题分类解析2019

全国卷历年高考解析几何解答题真题分类解析2019
（1）当 ， 时，求△AMN的面积；
（2）当 时，求k的取值范围.
【解析】⑴当 时，椭圆E的方程为 ，A点坐标为 ，则直线AM的方程为 ．联立 并整理得，
解得 或 ，则
因为 ，所以
因为 ， ，所以 ，
整理得 ， 无实根，所以 ．
所以 的面积为 ．
⑵直线AM的方程为 ，联立 并整理得，
，解得 或 ，
所以 ，所以
(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线 交C1于M,N两点,过B且与 垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【解析】(1)圆A整理为(x+1)2+y2=16,点A坐标为(-1,0),如图,∵BE∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|,
= ,∴S四边形MPNQ= |MN|·|PQ|= · = =24
∈[12,8 ).
【小结】这类题所解决的问题不需要对交点坐标进行转换，主要考查弦长公式的应用，圆锥曲线的统一弦长公式是：斜率为k的直线与圆锥曲线交于 两点，联立直线与圆锥曲线方程消元后得关于x或y的一元二次方程的二次项系数为a，判别式为△，则
因此，四边形ADBE的面积 .
设M为线段AB的中点，则 ，
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 ，解得 或 .
当 时， ；当 时
因此，四边形 的面积为3或 .
【小结】这类题将所要证的结论（或给的条件）转化为交点坐标关系时候，经过变形化简没能完全化为韦达定理中的两根之和与两根之积的结构，此时，必需将x转化为y（或y转化为x），这在高考中是比较常见的。多数情况下用直线方程转换，此时，影响到运算处理难度关键在于直线方程的假设与消去x还是消去y的选择。一般来说，假设直线方程时首先考虑直线过的定点是x轴上的点还是y轴上的点，若过定点（t，0），则设为 运算较简便，若过定点（0，t），则设为 运算较简便。此外，还需要注意对特殊情形进行讨论，直线系 不包平行x轴的直线，直线系 不包垂直x轴的直线，对特殊情况讨论往往能帮助我们找到解题的突破口。直线圆锥曲线有两个交点时，把直线方程和圆锥曲线方程联立后是消去x还是消去y，关键在于将所要证的结论（或给的条件）转化为交点坐标关系经过变形化简的结果来定。

高中数学 解析几何(解析版)

高中数学 解析几何(解析版)

热点07 解析几何解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道填空，一道选择，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用. 【满分技巧】定点问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题 【限时检测】（建议用时：120分钟） 一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三一模）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有12123IPF IPF IF F S S -=△△△，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x = 【答案】D【分析】根据三角形的面积关系寻求,a c 等量关系，再推导出,a b 关系即可.【详解】1212IPF IPF IF F S S -=△△△，且I 是12PF F △的内心，设内切圆的半径为r ，则121112222PF r PF r c r ⋅-⋅=⨯⨯，∴12PF PF -=，即2a =，2222213b c a a a -∴==，即b a =，∴渐近线方程是3y x =±.故选：D.【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2．（2020·上海嘉定区·高三一模）过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】2FO =，故2c =，不妨设渐近线方程为by x a=，则(),A a b ，根据2AF =，计算得到答案. 【详解】连接AF ，2FO =，故2c =，不妨设渐近线方程为by x a=，则(),A a b .故()22222b a =+-，解得1,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=故选：B3．（2020·上海高三一模）抛物线28y x =的准线方程是（ ）A ．4x =B ．2x =C ．2x =-D ．4x =-【答案】C【分析】由抛物线的知识直接可得答案. 【详解】抛物线28y x =的准线方程是2x =- 故选：C4．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．151533⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．150,3⎛ ⎝⎭C ．15,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．151⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据题意，得到22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，联立直线与曲线方程，设两交点为()11,x y ，()22,x y ，结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果.【详解】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=， 设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k∆=+->，解得33k -<<，综上，13k -<<-.故选：D. 【点睛】本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，属于常考题型.5．（2020·上海市新场中学高三月考）若直线()10a x y a ---=不通过第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(1,)+∞C ．()[),01,-∞+∞D ．0,1【答案】A【分析】由直线不过第二象限，讨论10a -=、10a ->、10a -<求a 的取值范围即可. 【详解】由直线()10a x y a ---=不通过第二象限，知： 当10a -=，1a =时，1y =-符合题意；当10a ->，1a >时，直线上的点(0,)a -一定不在y 轴上半部分，所以0a ≥，即1a >； 当10a -<时，直线定过第二象限，不合题意； ∴综上有：[1,)a ∈+∞故选：A【点睛】本题考查了由直线方程求参数范围，理解辨析直线不过某个象限时需要满足的条件，应用了分类讨论，属于简单题.6．（2020·上海市七宝中学高三月考）椭圆221168x y +=上有10个不同的点1210,,,P P P ，若点T 坐标为(1,0)，数列{}(1,2,,10)=n TP n 是公差为d 的等差数列，则d 的最大值为（ ）A ．29B ．89C．59- D．59+ 【答案】C【分析】设椭圆上一点(,)P x y ，可知[4,4]x ∈-，则可求出||∈TP ，即可求出d 的最大值为max min||||101TP TP --.【详解】设椭圆上一点(,)P x y ，其中221168x y +=且[4,4]x ∈-，则2222221||(1)(1)81(2)7[7,25]162⎛⎫=-+=-+-=-+∈ ⎪⎝⎭x TP x y x x ，∴||∈TP ，∴max min max ||||101-==-TP TP d .故选：C . 【点睛】本题考查椭圆上点到定点距离的取值范围，考查等差数列的性质，属于中档题.7．（2020·上海市七宝中学高三月考）若动点A ､B 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．2【答案】C【分析】M 点的轨迹是两直线1l 与2l 之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得． 【详解】∵A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，M 是AB 中点，∴M 点在到两直线1l 与2l 距离相等的平行线上， 直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=，因此M 点所在直线为60x y +-=，则MO 的最小值为d ==故选：C ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点M 的轨迹． 二、填空题8．（2020·上海市松江二中高三期中）已知点1,0A ，直线l ：1x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为______. 【答案】221y x =-【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，根据22122C M C C C A =+可得21a x =-，2b y =，利用24b a =可求得结果.【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以1,0A 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，其方程为24y x =，设()1,C a b ，()2,C m n ，(),M x y ，因为动点M 满足22122C M C C C A =+， 所以()()()2,,1,x m y n a m b n m n --=--+--，即21x a =+，2y b =， 所以21a x =-，2b y =，因为24b a =，所以()()22421y x =-， 所以221y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-. 故答案为：221y x =-【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程24y x =是解题关键.9．（2020·上海市松江二中高三期中）双曲线221169x y -=的左､右焦点为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，120PF PF ⋅=，则12PF PF +=______.【答案】10【分析】连接PO ，则可得1222PF PF PO c +==，从而可得正确的答案.【详解】连接PO ，因为O 为12,F F 的中点，故12=2PF PF PO +，所以122PF PF PO +=， 而120PF PF ⋅=，故21PF F 是以P 为直角顶点的直角三角形，故1212210PF PF PO FO +===， 故答案为：10.10．（2020·上海高三专题练习）已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =________． 【答案】3【分析】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义得到122r r a +=，根据12PF PF ⊥，得到222124r r c +=， 进而求得2122r r b =，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义可得12122PF PF r r a +=+=，又由12PF PF ⊥，可得222124r r c +=，可得2222221212122()()444r r r r r r a c b =+-+=-=，即2122r r b =，所以12PF F △的面积为12221211222PF F Sr r b b ==⨯=， 又因为12PF F △的面积为9，即29b =，解得3b =.故答案为：311．（2020·上海虹口区·高三一模）设1F ､2F 分别是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦点，点P 在双曲线右支上且满足212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠=___________. 【答案】45【分析】设双曲线的半焦距为c ，求得双曲线的渐近线方程可得a ，b ，c 的关系，求出12PF F 的三条边，运用余弦定理可求12cos PF F ∠值． 【详解】设双曲线的半焦距为c ， 由双曲线的渐近线方程，可得43b a =，则53c a ===，在12PF F 中，212||||2PF F F c ==，1||22PF c a =+，由余弦定理可得22212(2)(22)(2)cos 22(22)c c a c PF F c c a ++-∠=⨯+54310253a aa c c a ++===．故答案为：45． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.12．（2020·上海虹口区·高三一模）过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________. 【答案】2【分析】根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值. 【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =， 故答案为：2.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.13．（2020·上海青浦区·高三一模）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点12,F F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF ⋅的值为___________.【答案】21【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设12||,||AF m AF n ==，不妨设0n m <<，利用椭圆与双曲线的定义，求出,m n 即可.【详解】对于椭圆1C ：焦点在x 轴上，22225169c a b =-=-=； 对于双曲线2C ：焦点在x 轴上，222459c a b =+=+=；则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设12||,||AF m AF n ==，不妨设0n m <<，利用椭圆与双曲线的定义，得到104m n m n +=⎧⎨-=⎩，则73m n =⎧⎨=⎩，所以21mn =，则12||||AF AF ⋅的值为21；故答案为：21.14．（2020·上海高三一模）若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)16x y -+=【分析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612a b ==，则24c =，所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4. 根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径.则圆的方程为()22216x y -+=.故答案为：()22216x y -+=.15．（2020·上海长宁区·高三一模）设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P ､Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点.若PQ OF =，则b =___________. 【答案】1【分析】由已知得出点p 坐标，代入渐近线方程即可． 【详解】由已知PQ OF =可得(,)22c cp ，又点p 在渐近线b y x a = 上，22c b ca b a ∴=⋅⇒= 又1a = ，1b ∴=16．（2020·上海长宁区·高三一模）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =___________.【答案】1-【分析】写出直线的法向量和方向向量，由向量垂直的坐标运算求出k ． 【详解】直线方程1201x y k-+=即为(1)(2)0k x y --+=，其法向量为(,1)k -，直线10x y +-=的方向向量为(1,1)-， 由题意(,1)(1,1)10k k -⋅-=+=，解得1k =-． 故答案为：1-．17．（2020·上海市七宝中学高三期中）函数211()1,22f x x x =--≤≤的图象绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图象仍是函数图象，则θ可取值的集合为_________.【答案】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】先画出211()1,22f x x x =--≤≤的图象，在旋转过程依据函数的定义可得θ可取值的集合. 【详解】()f x 的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：221x y +=，其中1,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,22B ⎛ ⎝⎭.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（1）的位置旋转到()1,0，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故03πθ≤≤.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（2）的()1,0位置旋转到x 轴下方，而A 在x 轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象， 故233ππθ<<不符合. 在图象绕原点旋转的过程中， A 在x 轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故23πθπ≤≤符合. 故答案为：20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：在图象旋转的过程中，依据函数的定义来判断是关键.三、解答题18．（2020·上海市松江二中高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1C 的方程(),0F x y =中，以(),x y λλ（λ为非零的正实数）代替(),x y 得到曲线2C 的方程(),0F x y λλ=，则称曲线1C 、2C 关于原点“伸缩”，变换()(),,x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.（1）已知1C 的方程为22194x y -=，伸缩比2λ=，求1C 关于原点“伸缩变换”所得曲线2C 的方程；（2）射线l 的方程2y x =（0x ≥），如果椭圆1C ：221164x y +=经“伸缩变换”后得到椭圆2C ，若射线l 与椭圆1C 、2C 分别交于两点A ､B ，且AB =2C 的方程；（3）对抛物线1C ：212y p x =，作变换()()11,,x y x y λλ→，得抛物线2C ：222y p x =；对2C 作变换()()22,,x y x y λλ→得抛物线3C ：232y p x =，如此进行下去，对抛物线n C ：22n y p x =作变换()(),,n n x y x y λλ→，得1n C +：212n y p x +=⋅⋅⋅若11p =，12nn λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n p 的通项公式n p .【答案】（1）22194x y -=；（2）2214x y +=或221369x y +=；（3）()1122n n np -=. 【分析】（1）根据伸缩变换的定义将22194x y -=的,x y 分别变为2,2x y 后可得所求的曲线方程.（2）设伸缩变换比为λ，则可得曲线2C 的方程，联立直线方程和1C 的方程可求A 的坐标，同理可求B 的坐标，结合AB 的长度可得λ的值. （3）根据伸缩变换的定义可得12n n np p +=，利用累乘法可求{}n p 的通项公式. 【详解】（1）由条件得()()2222194x y -=，得2C ：22194x y -=； （2）∵2C 、1C 关于原点“伸缩变换”，对1C 作变换()(),,x y x y λλ→（0λ>），得到222221164x y C λλ+=，解方程组()22021164y x x x y ⎧=≥⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得点A的坐标为⎝⎭；解方程组()2222021164y x x x y λλ⎧=≥⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得B点的坐标为⎝⎭；AB ===， 化简后得23840λλ-+=，解得12λ=，223λ=，因此椭圆2C 的方程为2214x y +=或221369x y +=. （3）对n C ：22n y p x =作变换()(),,n n x y x y λλ→得抛物线1n C +：()22n n n y p x λλ=，得22nnp y x λ=，又∵212n y p x +=，∴1nn np p λ+=，即112n n n np p λ+==， 2313124123212222n n n n n p p p p p p p p p p ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则()()1112312122n n n n p p -+++⋅⋅⋅+-==，∵11p =，∴()1122n n np -=.【点睛】关键点点睛：（1）依据定义求出变换后的曲线方程，再结合题设条件从而可得参数的大小或关系；（2）数列通项的求法应依据递推关系的形式，如对形如()1nn a f n a -=这样的递推关系，可用累乘法. 19．（2020·上海市松江二中高三期中）已知向量()21,a x x =+-，(21,2b n =（n 为正整数），函数()f x a b =⋅，设()f x 在()0,∞+上取最小值时的自变量x 取值为n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，都有()2451n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞； （3）在点列()111,A a ，()222,A a ，()333,A a ，⋅⋅⋅()1,nnA a ⋅⋅⋅一中是否存在两点iA ，jA （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(),i j ；若不存在，请你写出理由.【答案】（1）n a =（2）12；（3）不存在；答案见解析. 【分析】（1）由题得()f x =21x-+，当x时函数取得最小值，所以n a =（2）利用裂项相消法求出11(1)221n S n =-+，即得lim n n S →∞； （3）任取i A 、j A （i 、j *∈N ，i j ≠），设i j A A 所在直线的斜率为ij k ，则ij k=1<，即得解.【详解】（1）()()(21,f x a b x x =⋅=+-⋅21x =-+，抛物线的顶点横坐标为0x =>，开口向上，在()0,∞+上， 当x时函数取得最小值，所以n a =（2）()()()2211111141212122121415n b n n n n n n ⎡⎤====-⎢⎥-+--++-⎣⎦.111111111(1)23352121221n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以111lim lim12212n n n S n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. （3）任取i A 、j A （i 、j *∈N ，i j ≠），设i j A A 所在直线的斜率为ij k ，则2211i jij a a i j k i j i j-+-+==--()()22222211111i j i j i j i j i j -+==<+++-+++，∴不存在两点i A ，j A （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，灵活选择合适的方法求和.20．（2020·上海市三林中学高三期中）已知倾斜角为45︒的直线l 过点()1,2A -和点B ，B 在第一象限，32AB =.（1）求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线C ：2221(0)x y a a-=>相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为()4,1，求a 的值；（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离，已知点P 在x 轴上运动，写出点(),0P t 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.【答案】（1）()4,1；（2）2a =；（3）()()()221413152415t t t h t t t t -+<--⎪=-≤≤⎨-+>. 【分析】（1）由题意可得直线AB 方程为3y x =-，由32AB =，列方程组可求出点B 的坐标； （2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y 后，再利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可求出a 的值；（3）设线段AB 上任意一点Q 坐标为(),3Q x x -，则22()(3)PQ t x x =-+-()4)f x t==≤≤，然后分3142t+≤≤，342t+>，312t+<讨论可求得结果，或过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于()'1,0A-，()'5,0B，然后分点P在线段''A B上，点P在点'A的左边，点P在点'B的右边三种情况利用距离公式求解【详解】解：（1）直线AB方程为3y x=-，设点(),B x y，由223(1)(2)18y xx y=-⎧⎨-++=⎩及0x>，0y>得4x=，1y=，点B的坐标为()4,1.（2）由22231y xxya=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22116100x xa⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，设()11,E x y，()22,F x y，则2122641ax xa+=-=-，得2a=.（3）（解法一）设线段AB上任意一点Q坐标为(),3Q x x-，PQ=记()4)f x t==≤≤.当3142t+≤≤时，即15t-≤≤时，min3322ttQ fP-+⎛⎫==⎪⎝⎭，当342t+>，即5t>时，()f x在[]1,4上单调递减，()min4PQ f==当312t+<，即1t<-时，()f x在[]1,4上单调递增，()min1PQ f==.综上所述，()131525tth t tt<-⎪-⎪=-≤≤⎨>.（解法二）过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于()'1,0A-，()'5,0B，当点P在线段''A B上，即15t-≤≤时，由点到直线的距离公式得：minPQ=；当点P在点'A的左边，1t<-时，minPQ PA==当点P在点'B的右边，5t>时，minPQ PB==综上所述，()()()221413152415t t t h t t t t ⎧-+<-⎪⎪-⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系、中点坐标公式、两点间的距离公式，在第（3）问的解答中关键是将PQ 表示出来，即22()(3)PQ t x x =-+-，然后构造关于x 的函数22223(3)()()(3)2(14)22t t f x t x x x t +-⎛⎫=-+-=-+≤≤ ⎪⎝⎭，再利用二次函数支轴定区间进行讨论即可，考查分类讨论思想，属于中档题21．（2020·上海虹口区·高三一模）已知点(1,0)A -､(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=(其中,,a b c ∈R )，点P 在直线l 上.（1）若a ､b ､c 是常数列，求||PB 的最小值；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围. 【答案】（12；（2）22（3）(1,)+∞.【分析】（1）若a ､b ､c 是常数列，直线:10l x y ++=，PB 的最小值即为点()10B ,到10x y ++=的距离；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，()():220l x y a y c +++=直线恒过点()1,2M -，PA PM ⊥，点P 在以AM 为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，即0a c x y b b ++=，设0b c q a b==≠，则20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ，利用PA l ⊥，00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+，点P 在l 上可得2000x qy q ++=，联立两式可得20221q x q =-+，()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++将20221q x q=-+代入整理求最值即可. 【详解】（1）若a ､b ､c 是常数列，则a b c ==,且不等于0， 此时直线:0l ax by c ++=即10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，min PB ==（2）若a ､b ､c 是成等差数列，则2b a c =+，所以直线:0l ax by c ++=即():220l ax a c y c +++=， 整理得：()():220l x y a y c +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩ 可得12x y =⎧⎨=-⎩，此时直线恒过点()1,2M -，又因为PA l ⊥即PA PM ⊥， 所以点P 在以AM 为直径的圆上，因为(1,0)A -，()1,2M -，所以圆心为()0,1-，半径r ==圆的方程为()2212x y ++=，PB 最大值即为点(1,0)B 到圆心()0,1-的距离再加半径，所以max PB =（3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，且0a ≠，0b ≠，0c ≠， 将0ax by c两边同时除以b 得：0a cx y b b++=，设0b cq a b==≠，所以10x y q q ++=，所以20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ， (1,0)A -､(1,0)B ，001AP y k x =+，1l k q=-，因为PA l ⊥，所以00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+①， 又因为点P 在l 上，所以2000x qy q ++=②，将①代入②可得()220010q x x q +++=，即()202120q x q ++=，所以20221q x q =-+，所以()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++2222222222222222311111111q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=------+ ⎪+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令211q t +=>，21q t =-，所以()22322232244414t t t t t PB t t t t t t --+-⎛⎫⎛⎫=+-==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为44y t t =-+在()1,+∞上单调递增，所以4441411y t t =-+>-+=，所以1PB >， 所以||PB 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】关键点点睛：若a ､b ､c 是常数列，则10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，若a ､b ､c 是成等差数列可得直线l 恒过点()1,2M -，可得PA PM ⊥，点P 在以AM为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设0b cq a b==≠，已知方程可化为20x qy q ++=，0q ≠，点P 在l 上可得2000x qy q ++=利用PA l ⊥，斜率成积为1-，可得()001y q x =+，联立两式可得20221q x q =-+，将20221q x q=-+代入()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++可得 222222231111q q q q q ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎝+⎪⎝⎭⎭，令211q t +=>，21q t =-，将2PB 用t 表示，求最值即可.22．（2020·上海虹口区·高三一模）如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？ 【答案】（1）5arccos27；（2）534PA =，334PB =【分析】（1）根据已知条件先计算出BP 的长度，然后利用余弦定理求解出cos APB ∠的值，从而APB ∠的值可求；（2）建立平面直角坐标系，根据条件分析得到P 的轨迹，由此确定出PAB △的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离.【详解】（1）根据条件可知：3050AP BP ⋅=⋅，所以9BP km =，所以222225812565cos 2215927AP BP AB APB AP BP +-+-∠===⋅⨯⨯，所以5arccos 27APB ∠=； （2）以AB 中点为坐标原点，垂直于AB 方向为y 轴，建立坐标系如图所示： 设(),P x y ，()()8,0,8,0A B -，因为3050AP BP ⋅=⋅，所以53AP BP =， ()()22225883x y x y ++=-+22165441024160x x y -++=，所以2234640x x y -++=，所以()2217225x y -+=， 所以P 的轨迹是圆心为()17,0，半径为15的位于x 轴上方的圆， 所以当PAB △的面积最大时，此时P 的坐标为()17,15， 所以()()2217815534AP =--+=()2217815334BP =-+=【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点,A B ，设P 点在同一平面上且满足()0,1PAPBλλλ=>≠，则P 的轨迹是个圆.23．（2020·上海闵行区·高三一模）已知椭圆2222 1(0)x y a b a b Γ+=>>：过点(0 2)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、，与椭圆Γ相交于两点 M N 、，各点互不重合，且满足12 PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x xx x λλ==--，，得到121212112x x x x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解； （3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c += 又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =+，可得而(01)(10)P Q ，，，， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，， 于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，， 可得(0,)(,0)P km Q m -，， 由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.24．（2020·上海青浦区·高三一模）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1， 等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -， 则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=， 即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--： 两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.25．（2020·徐汇区·上海中学高三期中）设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线与x 轴的交点是(),0c ，则称c 为a 、b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b . （1）若()()10f x x =>，求(),f M a b 的表达式；（2）若(),f M a b =()f x 的解析式；（3）若对任意0a >，0b >，且a b ，都有()2,f abM a b a b<+成立，求证：()()()f a b f a f b +>+. 【答案】（1）(),2f a bM a b +=；（2）()f x =（0x >，k 为常数且0k >）；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用(),1a 、(),1b -、(),0c 三点共线，结合斜率公式可求得c 的表达式，即为所求； （2）利用点()(),a f a 、()(),b f b -、)=，进而可得出函数()f x 的解析式；（3）利用点斜式可求得经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线方程，可求得()()()()b a f ac af a f b -=++，由()2,f abM a b a b <+可推导出函数()f x y x =在()0,∞+上为增函数，进而可得出()()af a b f a a b+<+，()()bf a b f b a b+<+，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】 （1）()()10f x x =>，由于点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c 三点共线，即点(),1A a 、(),1B b -、(),0C c 三点共线，由斜率公式可得10012a bc a c c b --+=⇒=--， 因此，(),2f a bM a b +=；（2）(),f c M a b ==，由已知，()(),a f a 、()(),b f b -、)三点共线，00f a f b-+=f a f b -=，f a f b=，对任意的正实数a 、b 且ab f a f b=成立，即对任意的0x >f x由于()0f x >f x k=（其中k 为常数且0k >），所以，()f x =0x >，k 为常数且0k >）； （3）记点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c ， 直线AB 的方程为()()()()()0f a f b y f a x a x a b+-=->-，直线AB 与x 轴的交点是(),0c ，可得()()()()f a f b f a c a a b+-=--，所以，()()()()b a f ac af a f b -=++，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abc M a b a b=<+. 则()()()()2b a f a aba f a fb a b -+<++，即()()()()2bf a af b ab f a f b a b+<++，整理可得()()()()220a f b abf a abf b b f a --+<，即()()()0a b bf a af b -->⎡⎤⎣⎦，则()()()0f a f b ab a b a b ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，设a b >，则()()f a f b a b>，所以，函数()f x y x =在()0,∞+上为增函数， 所以，()()f a b f a a b a +>+，可得()()af a b f a a b +<+，同理可得()()bf a b f b a b+<+， 由不等式的基本性质可得()()()()()af a b bf a b f a f b f a b a b a b+++<+=+++.因此，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abM a b a b<+成立，()()()f a b f a f b +>+. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解本题的关键在于利用三点共线结合斜率公式求出c 关于a 、b 的表达式，在求解本题的第（3）问，要充分结合条件()2,f abM a b a b <+推导出函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数，进而结合函数的单调性与不等式的基本性质来证明结论.26.（2020•上海卷）椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】10x y +-=27.（2020•上海卷）双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。

2019年高考理科数学真题分类汇编立体几何、平面解析几何

2019年高考理科数学真题分类汇编立体几何、平面解析几何

2019年高考理科数学真题分类汇编立体几何、平面解析几何第一节立体几何全国Ⅰ卷已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，P A=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即，故选D．解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，为的中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．全国Ⅱ卷设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．全国Ⅲ卷如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过作于，连接，平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．浙江卷祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.浙江卷设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，为中点，连接VG，在底面的投影为，则在底面的投影在线段上，过作垂直于于E，连接PE，BD，易得，过作交于，连接BF，过作，交于，则，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得，即；在Rt△PED中，，即，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.全国Ⅲ卷学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，，∵四棱锥O−EFGH的高为3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.北京卷某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体，则几何体的体积.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．北京卷已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.天津卷已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.江苏卷如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是▲ .【答案】10【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.全国Ⅰ卷如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC 1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则，A1(2，0，4)，，，，，，．设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．设为平面A1MN的法向量，则所以可取．于是，所以二面角的正弦值为．【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.全国Ⅱ卷如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由题设知≌，所以，故，．以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则即所以可取n=.设平面的法向量为m=（x，y，z），则即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值为．【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.全国Ⅲ卷图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB BE，AB BC，故AB平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EH BC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小为30°．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.北京卷如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（2）过A作AD的垂线交BC于点M．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图建立空间直角坐标系A−xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．所以．所以.设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，则．于是．又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.由题知，二面角F−AE−P为锐角，所以其余弦值为．（3）直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直线AG在平面AEF内.【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F−AE−P的余弦值；（3）首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量即可判断直线是否在平面内.天津卷如图，平面，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值为，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．（1）依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面．（2）依题意，．设为平面的法向量，则即不妨令，可得．因此有．所以，直线与平面所成角的正弦值为．（3）设为平面的法向量，则即不妨令，可得．由题意，有，解得．经检验，符合题意．所以，线段的长为．【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．江苏卷如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC 1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.浙江卷如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．由（1）可得．设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为．【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.第二节平面解析几何全国Ⅰ卷已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．全国Ⅱ卷若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．全国Ⅱ卷设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为A．B．C．2 D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，∴，，又点在圆上，，即．，故选A．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．全国Ⅲ卷双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，，故选A．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．北京卷已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2b D．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.北京卷数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【解析】由得，，，所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)，(−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示，易知，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.天津卷已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.浙江卷渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A． B．1C．D．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.浙江卷已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．【答案】，【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.浙江卷已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.全国Ⅲ卷设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.全国Ⅰ卷已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，又OA与OB都是渐近线，得又，∴又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.江苏卷在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.江苏卷在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲ .【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线x+y=0的距离为，故答案为．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.全国Ⅰ卷已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【解析】设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.全国Ⅱ卷已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由得．记，则．于是直线的斜率为，方程为．由得．①设，则和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．因此，△PQG面积的最大值为．【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.全国Ⅲ卷已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.。

2019届高考数学浙江省新高考第九章解析几何测试卷(解析版)

2019届高考数学浙江省新高考第九章解析几何测试卷(解析版)

2019届高考数学浙江省新高考第九章解析几何测试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【四川省2019届高三第一次诊断】抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），则抛物线y2=4x的2p=4，解得 p=2，则焦点坐标为（1，0），故选：C2．【江西省新余市第四中学2018届适应性】已知为实数,直线,,则“”是“”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3．【陕西省西安市长安区第五中学2019届高三上期中】已知抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（）A． B． C． 1 D． 2【答案】D【解析】4．【2018届广西南宁市马山县金伦中学高三上开学】若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，则，选C.5．【河北省唐山市2018届三模】已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】设点的坐标为，由圆的方程可得圆心坐标，，，是圆上任意一点，的最小值为，故选D.6．【河北省衡水中学2019届高三上期中】已知是椭圆的左、右焦点，点M（2，3），则∠的角平分线的斜率为（）A． 1 B． C． 2 D．【答案】C【解析】7．【四川省成都市双流中学2018届考前模拟】若F（c，0）是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率e=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：设，，所以，所以的面积为，解得，所以该双曲线的离心率 .故选C8．【河北省石家庄2018届检测（二）】倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】9．【安徽省淮南市2018届第一次（2月）模拟】设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于,A B 两点， O 为坐标原点，则OAB 的面积为( )A ．． 94 C ．． 6332【答案】B10．【江西省南昌市2018届二轮测试（七）】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，又，所以，解得，从而离心率故选D.二、填空题（本大题共7小题，共36分.把答案填在题中的横线上.）11．经过点，且与椭圆有相同的离心率的椭圆的标准方程为______________．【答案】或【解析】12．【湖北省荆州市荆州中学2018届统一考试】已知双曲线的渐近线方程为0x，焦±y3=4点坐标为）±，则双曲线的方程为_________.（0,5【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为可得，解得双曲线的方程为13. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知椭圆的右焦点为，其关于直线的对称点在椭圆上，则离心率__________，__________．【答案】. .【解析】设Q（m，n），由题意可得，14.【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知，直线与曲线和直线分别交于两点，若恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】分析：由关于直线对称，可得它们的交点为，而当经过点时，取得最小值，由题意可得的不等式，解不等式求得实数的取值范围.详解：15．【福建省厦门市2018届三模】若双曲线的渐近线与圆无交点，则的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】曲线的渐近线与圆无交点，圆心到直线的距离大于半径，即，，，，即的离心率的取值范围为，故答案为.16．【黑龙江省2018年仿真模拟(一)】椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是椭圆和抛物线的一个公共点，点满足，则的离心率为__________．【答案】.【解析】如图，17.【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，则满足的点的轨迹的圆心为____________，面积为____________.【答案】【解析】设，即化简可得故圆心坐标为面积为三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．【广东省化州市2019届一模】已知椭圆右焦点坐标为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点的直线与椭圆分别交于两点，若（为直角坐标原点）的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】原点到直线的距离，∴三角形的面积, 由得，故,∴直线的方程为，或, 即或.19．【广东省化州市2019届一模】已知抛物线的焦点为，是上关于焦点对称的两点，在点、点处的切线相交于点.（1）求的方程；（2）直线交于、两点，且的面积为16，求的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】∴4k2+32=64，即k2=8，∴所以直线方程为：20．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】如图，直线22y x =-与抛物线22(0)x py p =>交于12,M M 两点，直线2p y =与y 轴交于点F ，且直线2p y =恰好平分12M FM ∠.（1）求p 的值；（2）设A 是直线2p y =上一点，直线2AM 交抛物线于另一点3M ，直线13M M 交直线2p y =于点B ，求OA OB ⋅的值.【答案】（1）4p =；（2）20OA OB ⋅=.【解析】（1）由2222y x x py=-⎧⎨=⎩，整理得2440x px p -+=， 设111(,)M x y ，222(,)M x y ，则212121616044p p x x p x x p ⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩， 因为直线2p y =平分12M FM ∠，∴120M F M F k k +=， 所以1212220p p y y x x --+=，即12122222220p p x x x x ----+=， 所以12124(2)02p x x x x +-+⋅=，得4p =，满足0∆>，所以4p =.21．【广东省珠海市2019届9月摸底】设椭圆，离心率，短轴（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为，为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有，当线段的中点在轴上时，求直线的方程．【答案】(1)，(2)【解析】(1) 由得，又有，代入，解得所以椭圆方程为由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在的参数轴，且，22．【湖南省长沙市雅礼中学2019届月考二】已知椭圆的离心率为为左焦点，过点作轴的垂线，交椭圆于两点，．（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线交椭圆于两点，为坐标原点，问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）0.【解析】（1）∵离心率为，则．∴．∵，∴．∴，．则椭圆E的标准方程为．（2）当切线斜率不存在时，取切线为时，代入椭圆方程是，，或，．∴，同理，取切线为时，．当切线斜率存在时，设切线，则，∴．①联立．设，，则，④把①②③代入④得，∴．综合以上，为定值0．。

2019全国二卷解析几何

2019全国二卷解析几何

2019全国二卷解析几何
对于2019年全国二卷的解析几何题目，可以通过以下方式解答：
首先，对于第一小问，需要求出M的轨迹方程。

由于动点M(x, y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1/2，根据椭圆的第三定义，即斜率乘积为定值，可以推导出M的轨迹是一个椭圆。

进一步利用椭圆的性质和几何关系，可以求出椭圆的方程。

其次，对于第二小问的第一部分，需要证明一个给定的结论。

可以通过代入法将已知条件代入到需要证明的结论中，然后进行化简和推导，最终得出证明结果。

最后，对于第二小问的第二部分，需要求出最值。

可以通过观察和利用已知条件，发现最值出现在某个特定的点上。

然后通过代入法将该点的坐标代入到需要求最值的表达式中，得出最值的结果。

总的来说，对于2019年全国二卷的解析几何题目，需要熟练掌握椭圆的性质和几何关系，以及灵活运用代入法和推导法进行求解。

同时，还需要具备一定的观察能力和运算能力。

2019年高中数学(理)高考真题和模拟题分项汇编专题05 平面解析几何(解析版)

2019年高中数学(理)高考真题和模拟题分项汇编专题05 平面解析几何(解析版)

专题05 平面解析几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n = 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A 2B 3C ．2D 5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32【答案】A【解析】由222,2,6a b c a b ==+=6,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2632P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离2. 结论②正确.如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2 B 3C ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =， ∴225c a b e a a+===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A ．22B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则222c a b a =+=，所以双曲线的离心率2ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-5【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m代入后求得m，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是___________．15【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y，可得22(2)16x y-+=，与方程22195x y+=联立，可解得321,22x x=-=（舍），又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-，从而可求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又12220148241544152MF F S y =⨯-=∴=△015y =， 2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M \的坐标为(15．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2【解析】如图，由1,F A AB=得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60b a =︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由tan 603ba=︒=. 13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 【答案】2y x =【解析】由已知得222431b-=，解得2b =2b =-因为0b >，所以2b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小.由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |． 【答案】（1）3728y x =-；（2413【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．323AP PB =代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系. 16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212x k =+ 记212u k=+，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ k =+2221||2k PG k+=+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】（1）见详解；（2）3或42【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x t x x x x t =+-=++-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+因此，四边形ADBE 的面积()(22121||312S AB d d t t =+=++. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±. 当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =因此，四边形ADBE 的面积为3或42【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】（1）抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为45（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【答案】（1）22154x y +=；（2230或230．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意，524,c b a ==222a b c =+，可得5a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=． （2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -．由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =±所以，直线PB 或． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为312+，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t=-，则m>0，122122213434S mS m m mm=-=-=++++…当3m=时，12SS取得最小值31+G（2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.22．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学（二）】经过点(3,0)M作圆22243x y x y+---0=的切线l，则l的方程为A．30x y+-=B．30x y+-=或3x=C．30x y--=D．30x y--=或3x=【答案】C【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y+---=⇒-+-=，所以圆心坐标为(1,2)，半径为22当过点()3,0M的切线存在斜率k，切线方程为(3)30y k x kx y k=-⇒--=，圆心到它的距离为2 21232211k kkk⨯--==+，即切线方程为30x y--=，当过点()3,0M的切线不存在斜率时，即3x=，显然圆心到它的距离为222≠，所以3x=不是圆的切线.因此切线方程为30x y--=，故本题选C.【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.解答本题时，设直线l存在斜率k，点斜式设出方程，利用圆心到直线l的距离等于半径求出斜率k，再讨论直线l不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写出直线方程，综合求出切线方程.23．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆22221x ya b+=(0)a b>>P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：53c e a ==，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即212a =，可得：6a =，25c =，2236204b a c ∴-=-=，则椭圆短轴长为28b =. 本题正确选项为A.【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．解答本题时，利用椭圆的定义以及离心率，求出,a c ，然后求解椭圆短轴长即可．24．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为 A ．3y x = B ．3y x =C ．22y x =± D ．2y x =±【答案】A【解析】依题意椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)2x y a b a b -=>>即22221(0,0)22x y a b a b-=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+，即223a b =， ∴3b a =32=∴双曲线的渐近线方程为：x y x ==，故选A ．【名师点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解答本题时，由题意可得22221122a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.25．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为A ．94B ．92C ．9D ．18【答案】B【解析】设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H .由4BC BF =，得：45BH BC PF CF ==， 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 的倾斜角为θ，由抛物线焦半径公式可得：41cos 5pBF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4θ=， 46131cos 3144p p p AF p θ∴=====--，解得：92p =， 本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用焦半径公式中的倾斜角构造出方程，从而使问题得以解决.26．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为2π3的等腰三角形，则M 的离心率是______. 31+ 【解析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ， 不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限， 故2||2PF c =，等腰12PF F △有一内角为2π3，即212π3PF F ∠=， 由余弦定理可得，122PF c c c c c =+-⋅⋅⋅=2π||(2)(2)222cos233， 由双曲线的定义可得，1PF PF c c a -=-=2||||2322，即31)c a -=， 解得：312e =. 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.解答本题时，根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为2π3，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.27．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左顶点为(20)M -，，离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB ⋅取得最大值时，求MAB △的面积． 【答案】（1）22142x y +=；（2）362. 【解析】（1）由题意可得：2a =，22c a =，得2c =2222b a c =-=. 所以椭圆22:142x y C +=.（2）当直线l 与x 轴重合时，不妨取(2,0),(2,0)A B -，此时0MA MB ⋅=； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为：1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230t y ty ++-=，显然>0∆，12222t y y t -+=+，21232y y t -⋅=+. 所以1212(2)(2)MA MB x x y y ⋅=+++1212(3)(3)ty ty y y =+++ 21212(1)3()9t y y t y y =++++22232(1)3922t t t t t --=+++++ 22233692t t t ---=++229392t t --=++2152t =+.当0t =时，MA MB ⋅取最大值152.此时直线l 方程为1x =，不妨取(1,A B，所以AB =又3MN =，所以MAB △的面积1366322S ==. 【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.（1）由左顶点M 坐标可得a =2，再由ce a=可得c ，进而求得椭圆方程. （2）设l 的直线方程为1x ty =+，和椭圆方程联立221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(2)230t y ty ++-=，由于>0∆，可用t 表示出两个交点的纵坐标12y y +和12y y ⋅，进而得到MA MB ⋅关于t 的一元二次方程，得到MA MB ⋅取最大值时t 的值，求出直线方程，而后计算出MAB △的面积.28．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知抛物线()2:20C y px p >＝的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且2QF PQ ＝.（1）求p 的值；（2）已知点(),2T t -为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为83-，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线MN 恒过定点()1,1--. 【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线定义知02QF p x =+， 又2QF PQ ＝，0PQ x =， 所以0022p x x =+，解得02p x =， 将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =.（2）由（1）知，C 的方程为28y x =，所以点T 坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线MN 的方程为x my n =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，由28x my ny x=+⎧⎨=⎩ 得2880y my n --=，264320m n +=>∆. 所以128y y m +=，128y y n =-， 所以121222121222221111228282MT NT k k y y y y y y x x +++++=+=+----()()1212121288228+3224y y y y y y y y -=-++--+= 6432881643m n m -==---+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为1(1)x m y +=+，恒过定点()1,1--．【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题. （1）设Q 点坐标，根据抛物线的定义得到Q 点横坐标，然后代入抛物线方程，得到p 的值； （2）()11,M x y ，()22,N x y ，直线和曲线联立，得到1212,y y y y +，然后表示出MT NT k k +，化简整理，得到m 和n 的关系，从而得到直线MN 恒过的定点.。

2017-2019高考文数真题分项解析-平面解析几何

2017-2019高考文数真题分项解析-平面解析几何

专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心||AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1 (3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F-，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,A B两点．若OAB△的面积为26，求直线l的方程．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．P MBAOyx（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B为曲线C：y=24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上， （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．1．【答案】（1）M e 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.2．【答案】（11；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF ，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ． 所以4b =，a的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.3．【答案】（1）见解析；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k -+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-．又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得2222a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =. 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.6．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x xy ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 7．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为31+G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =时，12S S取得最小值1+G （2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力. 8．【答案】（1）y =112x +或112y x =--；（2）见解析. 【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1）求出直线l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线BM 的方程;（2）由（1）知，当直线l 与x 轴垂直时，结论显然成立，当直线l 与x 轴不垂直时，设出斜率k ，联立直线l 与C 的方程，求出M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出BM 与BN 的斜率，得其和为0，从而说明BM 与BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.9．【答案】（1）y =x –1；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.10．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP u u u r ． 于是1||22x FA ===-u u u r ．同理2||=22x FB -u u u r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u u r u u u r u u u r ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.11．【答案】（1）2213x y +=；（2；（3）1. 【解析】（1）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.12．【答案】（1）22194x y +=；（2）12-． 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==，从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=， 由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =，可得5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.13．【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，圆O 的方程为223x y +=；（2）①；②y =+． 【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -， 可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()xy x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此点P 的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB 26，所以21 26AB OP ⋅=，从而27AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =， 因此P 的坐标为102(22． 综上，直线l 的方程为532y x =+．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力. （1）利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程. （2）①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解； ②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解. 14．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. （1）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是． 【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容，需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高. 15．【答案】（1）1；（2）7y x =+．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2x y'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24xy =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±．从而12||AB x x -=由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． （1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由两点斜率公式求AB 的斜率；（2）联立直线与抛物线方程，消y ，得12||AB x x -=m 即可．16．【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ），则N （0,0x ），00(,),(0,)NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r，由NP =u u u ru u u r 得002x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.（2）由题意知F （−1,0），设Q （−3，t ），P （m ，n ），则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r.由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r可得2231m m tn n --+-=，而222m n +=，代入即得330m tn +-=.17．【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-. 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立22(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【名师点睛】解答本题时，设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=，由根与系数的关系得122x x =-，矛盾，所以不存在；求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12|||AB x x =-= （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．18．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意得2,2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-. 所以直线DE 的方程为2()m y x m n+=--.直线BN 的方程为(2)2ny x m=--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. （1）根据条件可知2,c a a ==，以及222b a c =-，从而求得椭圆方程； （2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示出直线BN 的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据1212E BDEBDNN BD y S S BD y ⋅⋅=⋅⋅△△即可求出面积比值. 19．【答案】（1）12；（2）（ⅰ）34；（ⅱ）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=． 又因为01e <<，解得12e =． 所以，椭圆的离心率为12． （2）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m．由（1）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c +=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++． 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =， 故直线FP 的斜率为34．（ii ）由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c，进而可得5|2|c FP ==， 所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==． 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题，重点考查了运算求解能力以及转化与化归的能力．求解此类问题时，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）的方程，根据根与系数的关系进行解题，但本题需求解交点坐标，在求解过程要善于发现四边形PQNM 中的几何关系，从而易求其面积，进而使问题获解．（1）先根据题意得出21()22b c a c +=，然后结合222b a c =-，即可求得离心率；（2）（ⅰ）首先设直线FP 的方程为x my c =-，再写出直线AE 的方程，两方程联立得到点Q 的坐标，根据32FQ c =求得m 的值，即得直线FP 的斜率；（ⅱ）将直线FP 的方程和椭圆方程联立，可得点P 的坐标，再求,FP FQ ，确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ，根据平面几何关系求面积，从而可求得c 的值，进而得椭圆的方程．20．【答案】（1）22142x y +=；（2）EDF ∠的最小值为π3.【解析】（1）由椭圆的离心率为2，得2222()a a b =-， 又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆>得2242m k <+.（*）且122421kmx x k +=+，因此122221my y k +=+，所以222(,)2121km mD k k -++，又(0,)N m -， 所以222222()()2121km m ND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++.令283,3t k t =+≥， 故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t '=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =， 所以22134ND NF≤+=，由（*）得m <<且0m ≠.故12NF ND ≥， 设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥ ， 所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当0k =，(m ∈U 时，EDF ∠取到最小值π3. 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 解答本题时，（1）由2c a =得a =，由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为=22142x y +=；（2）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，解得22(21)4k x kmx +++ 2240m -=，确定222(,)2121km m D k k -++，||DN =22ND NF的单调性求EDF ∠的最小值.21．【答案】（1）(1,1)-；（2）2716. 【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. （1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． （2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A 1)2x +1)k +，|PQ |=2)Q x x -= 所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围； （2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而通过表达||PA 与||PQ 的长度，利用函数3()(1)(1)f k k k =--+的单调性求解||||PA PQ ⋅的最大值．22．【答案】（1）22143x y +=；（2）(77． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=． （2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F ．。

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2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin 40°B．2cos 40° C. D.答案 D解析由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为() A. B.C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e ＝，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A. B. C. D.答案 B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4 C．2 D.答案 D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p 等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. B. C ．2 D. 答案 A 解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为2＋y 2＝①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝ ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝，所以|PQ |＝2.由|PQ |＝|OF |，得2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e＝ ，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C ：－＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.B.C ．2D ．3答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ .又tan ∠POF ＝＝，所以等腰△POF 的高h ＝ ×＝，所以S △PFO ＝× ×＝. 13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．【解析】：由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．故选：B ．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=…，（当x y =时取等），222x y ∴+…，∴C 上y ，根据对称性可得：曲线C在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C．2 D.答案 D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x ＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝ ＝ .方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝ ＝ .4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心 ，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 答案解析 依题意，设点P (m ，n )(n ＞0)，由题意知F (－2,0)，|OF |＝2，所以线段FP 的中点M在圆x 2＋y 2＝4上，所以2＋2＝4，又点P (m ，n )在椭圆 ＋＝1上，所以＋＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－或m ＝(舍去)，当m ＝－时，n ＝，所以k PF ＝＝ .5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________． 答案 y ＝± x解析 因为双曲线x 2－＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b ＝ ，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±bx ＝± x .6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 设P，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝≥＝4，当且仅当2x ＝，即x ＝ 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若 ＝ ， · ＝0，则C 的离心率为________． 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2019·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则＝，＝，，，得所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(x1，y1)，则＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0，于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋2＝4；当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋2＝2.4．(2019·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标x M＝－.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|x M|＝.同理，|ON|＝.由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|OM|·|ON|＝·＝＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2019·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(x＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x1＝c，x2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在x轴上方，所以P.由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2019·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2019·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x＝1代入圆F2方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.由得5x2＋6x－11＝0，解得x＝1或x＝－.将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2019·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1B sin∠P1BD＝P1B cos∠EBA ＝15×＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－x－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2019·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2019·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE 并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(x G，y G)，则－u和x G是方程①的解，故x G＝，由此得y G＝.从而直线PG的斜率为＝－，因为k PQ·k PG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为. 因此，△PQG面积的最大值为.11．(2019·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D，A (x 1，y 1)，则＝2y 1.由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点.(2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋. 由可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0， 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2 ＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝ |x 1－x 2|＝ ＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝ ，d 2＝，因此，四边形ADBE 的面积S ＝|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3) .设M 为线段AB 的中点，则M. 由于⊥ ，而 ＝(t ，t 2－2)，与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .12．(2019·北京理，18)（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 可得124x x k +=-，124x x =-， 直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-， 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2019·天津理，18)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(x P，y P)(x P≠0)，M(x M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB 的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得x P＝－，代入y＝kx＋2得y P＝.所以直线OP的斜率为＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.所以直线PB的斜率为或－.。

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