数学小论文 配对求和更简便
配对求和
等差数列
若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中 第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第 二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项 与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项 数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 实质思路：求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2，在这里首项 +末项相当于配对和，项数÷2相当于配对的对数，关键是项数的确定 是难点！ 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项 数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项
提示 仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这 是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即 可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=
(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考
虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利 解决。
例题1 小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2 页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？
四则运算及简便计算的教学论文(数学论文)
四则运算及简便计算的教学论文学生掌握了整数的口算和笔算方法之后，将继续学习四则混合运算的简便运算。
教学中要注重遵循规律，综合发挥学生已掌握的口算、笔算技能，使计算能力和思维的灵活性得到进一步提高。
整数四则混合运算的顺序以及简便运算的方法，以后还要迁移到小数、分数的运算范畴。
因此，整数四则混合运算和简便运算是很重要的教学内容。
1、充分利用学生已有的感性认识，促进学习的迁移。
对于小学生来说，运算定律的概括具有一定的抽象性。
好在学生通过第一学段的学习，对加法和乘法的一些运算规律已经有所了解，这是搞好本单元教学的有利条件。
在此基础上，本单元的教学应着重帮助学生把这些零散的感性认识上升为规律性的理性认识。
2、加强数学与现实世界的联系，促进知识的理解与应用。
如前分析，本单元教材最明显的特点之一就是关注数学的现实背景，从社会生活中来，到社会生活中去，体现了数学教学回归社会、回归生活的愿望。
因此，领会教材的这一意图，用好教材，借助数学知识的现实原型，可以调动学生的生活经验，帮助学生理解所学运算定律，构建个性化的知识意义。
进而，凭借知识意义的理解，也有利于所学运算定律的运用。
3、注意体现算法多样化、个性化的数学课程改革精神，培养学生灵活、合理选择算法的能力。
对于小学生来说，运算定律的运用具有一定的灵活性，对数学能力的要求较高，这是问题的一个方面。
另一方面，运算定律的运用也为培养和发展学生思维的灵活性，提供了极好的机会。
教学时，要注意让学生探究、尝试，让学生交流、质疑。
相应地，教师也应发挥主导作用，当学生探究时，仔细观察，认真揣摩学生的思路，酌情因势利导，不失时机地给予适度启发；当学生交流时，耐心倾听，洞悉学生的真实想法，加以必要的点拨，帮助学生讲清自己的算法，让其他同学也能明白。
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三年级配对求和
A、400 B、200 C、210
正确答案：C
练习一
2、你能迅速算出结果吗？ 1＋2＋3＋4＋…＋100；
A、5000 B、5050 C、5500
正确答案：B
【例题】2、你能迅速算出下列算式的 结果吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（ ）
思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如 果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出 来，那怎样做呢？ 我们可以这样想：
思路导航：通过观察，我们可以发现每两个减数相加的 和是100 我们可以把81和19，82和18，83和17，84和16，85和15， 86和14，87和13，88和12，89和11这几组数先加起来
和为9个100即900 最后我们得到：1000-900=100
练习四
1、计算：
1000―71―29―72―28―73―27―74―26―75―25―7 6―24―77―23―78―22―79―21=（ ）
【例题】1 你有好办法算一算吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（ ）
思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8 、9、10共10个数，我们可以把10个数 分成5组： 1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6 每组两个数的和是11，它们的和就有5 个11即11×5=55。
练习一
1、计算： 1＋2＋3＋4＋…＋20
= 6972
练习三
1、1997＋1998＋1999=（ ）
A、5993
B、5994
C、5995
正确答案 B
2、9997＋9998＋9999=（ ）
A、19994
B、29994 C、39994
正确答案 B
【例题】4、计算：
数列求和问题的探讨 毕业论文
数列求和问题的探讨【摘要】数列求和问题是数列的基本内容之一，由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧逐一探讨。
本文将用一些较为简单和具代表性的例子，探讨将数列求和的方法和技巧渗透、融合，实现方法与内容的整合实践，阐述数列求和中一些具体方法与思想。
【关键词】数列求和通项公式方法一、数列求和的思路数列是数学的重点内容之一，而数列求和是数列中较难的一个问题，技巧性强，覆盖面广，而且能有效地测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题的能力。
数列求和是一个较复杂的数学问题，因此必须挖掘题设条件，从中发现规律，顺利完成求和问题。
等比、等差数列前n 项和可以直接用通项公式求和；非等比、等差数列前n项求和的关键是从通项出发，分析其结构特征，若问题能转化为等差数列或等比数列求和的问题，则有基本求和公式可用，或变换通项，经过裂相等方法消去中间相，达到求和的目的；若通项是项数n 的一次、二次、三次多项式的形式，则可以转化为正整数平方数列、立方数列进行求和。
二、探究数列求和的方法1. 公式求和法如果给定的数列是由等差数列、等比数列、一些已知求和公式的特殊数列或这些数列通过和的形式组成，其前n 项和可用已知公式直接求得。
1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn 3、)1(211+==∑=n n k S nk n4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1、已知{}n a 是一个首项为a ，公比为(01)q q <≤的等比数列，求2222*123()n n S a a a a n N =++++∈解：由已知得1n n a aq-=，222(1)2212222n n n n a a q q a a q+-+-∴==∴{}2n a 是首项为2a ，公比为2q 的等比数列。
配对求和
配对求和专题简析：被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2末项=首项＋公差×（项数－1）项数=（末项－首项）÷公差＋1例题1 你有好办法算一算吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。
例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想：9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。
当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。
例题3 计算：（1）32＋34＋36＋38＋40＋42（2）203＋207＋211＋215＋219思路导航：（1）32、34、36、38、40、42共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，我们可以把它们分为3组，每组的和都是74，那么几个数的和就是3个74即74×3=222；（2）203＋207＋211＋215＋219共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，我们也可以仿照例2的方法进行计算，用第一个数和最后一个数相加203＋219=422，乘上数的个数5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。
求和问题的解决论文
求和问题的解决1. 概述在计算机科学领域中，我们经常遇到需要对一组数进行求和的情况。
虽然这似乎是一个简单的问题，但在处理大量数据时，求和的效率对计算性能的影响非常大。
为了解决这个问题，许多算法和技术已经被开发出来。
在本文中，我们将探讨一些常见的求和算法，以及它们的优缺点和适用场景。
2. 常规求和算法首先，我们来了解一下传统的求和算法。
对于一个包含n个元素的数组，我们可以通过以下代码来求和：sum = 0for i = 1 to n dosum = sum + a[i]end for这个算法的复杂度为O(n)，正比于数组元素的数量。
这是一种通用方法，可以处理任何类型的数据，但是由于它的时间复杂度较高，对于大型数据集或需要快速计算的应用程序来说，它可能并不是最优的选择。
3. 分治求和算法分治算法是一种将问题分解成更小的子问题来解决的方法。
对于数组求和问题，我们可以采用分治策略来求解。
具体而言，我们可以将数组分成两个或更多的子数组，并递归地进行求和操作。
每个子数组的求和结果最终被组合成整个数组的求和结果。
以下是一个示例代码：function sum(array, start, end)if start == end thenreturn array[start]end ifmid = (start + end) / 2return sum(array, start, mid) + sum(array, mid+1, end)end function这个算法的时间复杂度为O(nlog n)，比传统算法更优。
但是，它需要更多的内存来存储递归调用的堆栈和中间结果。
此外，有些计算机架构中，递归调用的开销比循环更高。
因此，分治算法并不总是最适合求和问题的方法。
4. 并行求和算法并行计算是一种将任务分解成许多子任务并同时执行它们的策略。
对于求和问题，我们可以采用并行算法来提高计算性能。
具体而言，我们可以将数组分成多个部分，并使用多个线程或进程来同时计算每个部分的求和。
配对求和
答案：第285个数是1994。
配对求和
典型例题 例【1】 计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 分析1 在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数一一配
小朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家 高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师 给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8 岁的高斯很快报出了得数：5050。这个答案完全正确！最让老 师吃惊的是，小高斯计算的速度如此快捷！那么，小高斯是用 什么办法算得这么快的呢？原来，根据所给算式的特点，他用 了一种巧妙的方法——配对求和。采用这种方法，很多整数数 列求和的问题都能迎刃而解了。
提示 仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这 是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即 可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=
(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
解:如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个 三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图 中一共有10层三角形。
不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次 为:3,6,9,…,3×10。
它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。 求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。 即: 3+6+9+…+30
配对求和
第八讲配对求和内容提要德国数学家卡尔·弗里得利希·高斯在很小的时候，就表现出非凡的数学才能。
在他只有10岁还是一个小学生的时候，一次算术课上，老师出了一个题目：１＋２＋３＋４＋５＋……＋100等于多少？老师刚把题目说完，小卡尔就举起了小手，很快地答道：这100个数的和是5050．小卡尔这么快就得出结果，同学们都带着惊讶与怀疑的目光看着他，只有老师心中明白，这个答案是对的。
小卡尔是怎样算出来的呢？为什么算得这么快？原来他用了一种非常巧妙的方法。
这种巧妙的方法就是配对求和。
下面我们就来介绍这种求和的方法。
典例评析例１：计算：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10分析：当加数个数较少的时候，可以用依次相加的方法进行计算。
可是，当我们遇到数的个数比较多的时候，就应该考虑该如何计算才能既简单，速度又快！算式中一共有10个数，我们把它们分为５组，第一个数和最后一个数为一组，第二个数和倒数第二个数为一组，依次类推。
即：每一组两个数的和都是11，求它们的和就等于求５个11是多少，即和是：（1＋10）＋（２＋９）＋（３＋８）＋（４＋７）＋（５＋６）＝11×5＝55，这就是两两配对求和。
当然，在配对时，方法不是唯一的。
还可以这样也配对：上面的是用凑10法配对，即：（１＋９）＋（２＋８）＋（３＋７）＋（４＋６），每对的和是10，共配成了４个10。
求这10个数的和是10×４＋10＋5＝55。
这道题的计算还可以这样来理解：列出两组１～10这10个数，使它们的顺序相反，把竖着的两个数配成１对，共有10对，且每对的和都相等，都等于11。
１２３４５６７８９10 １０９８７６５４３２１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１这样就得到了10个11，它是２个１～10的和，所以，要求１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10，只要将10个11的和除以２就行了。
解：方法一：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝（１＋10）＋（２＋９）＋（３＋８）＋（４＋７）＋（５＋６）＝11×５＝55方法二：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10＝（１＋９）＋（２＋８）＋（３＋７）＋（４＋６）＋10＋５＝10×５＋５＝55方法三：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10＝【（１＋10）＋（２＋９）＋（３＋８）＋（４＋７）＋（５＋６）＋（６＋５）＋（７＋４）＋（８＋３）＋（９＋２）＋（10＋１）】÷２＝11×10÷２＝110÷２＝55说明一列差相等的数求和，计算中简洁而快速的方法是将这列数的最大数与最小数配成一对，第二个小的数与倒数第二个大的数配成一对，依次类推，分成若干对，每对的和都相等。
数学论文_浅谈数列求和的若干方法
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ABSTRACT (1)1．引言 (2)2．公式法 (2)3．错项相消法 (3)4．倒序相加法 (4)5．通项分析法 (5)6．待定归纳法 (6)7．裂项法 (7)8. 逐差法 (8)9. 组合数法 (9)10．导数求和法 (10)11．数学归纳法 (11)12．递推数列求和法 (12)13．无穷递缩等比数列求和法 (12)小结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)摘要:初学者对这部分的内容有畏难情绪，以至没有学好此内容.关于数列求和前人也作过不少文章，但随着数学的发展，数列求和出现了新题型，数列求和的若干方法不但解决了数列的一般求和也很好的处理了递推问题.要解决一类问题，数列求和是从它们的本质特点出发，去寻找最一般的方法，从而得出的结论比较具有针对性，可以普遍推广.本章的内容规律性比较强，只要抓住它们的不同特点，相应的归类就比较容易地解答.根据数列的不同特点，给出了数列通项与求和的一般形式，很好地解决了数列求和的若干问题，为学好本章起到很大的帮助作用.关键词：数列；前n项和；通项公式；递推求和ABSTRACTSeries summation series are the focus of this chapter , but also difficult . Sometimes such problems is to much trouble , if not impossible to do this , this part of the contents of beginners have fear of difficulty , emotional , and so has failed to learn this content . Summation series about it for a number of previous article , but with the development of math , sum series of new questions have also emerged , a number of series summation of the series will not only solve the general sum is also a very good deal with the delivery pushing problem . One type of problem to solve , a number of series summation are from their nature , characteristics , the go looking for the most general way to compare the conclusions thus targeted to the general promotion . Regularty of the contents of this chapter are relatively strong , as long as they grasp the different characteristics ,the corresponding classification can easily answer . According to the general form , a very good solution to a series summation of a number of issues , in order to learn to play a great help in this chapter .Key words : series ；pre-n and ; formula ; recursive summation1．引言数列是高中代数的重要内容，是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列外，大部分求和都需要技巧，下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.2．公式法对于以下数列可利用公式直接求和.（1）等差数列： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （其中：n S ：前n 项和，1a ：首项，：n a 末项，d ：公差，n ：项数，下同）（2）等比数列：()111,11,1n n n a q S q qS na q ⎧-⎪=≠⎨-⎪==⎩ (3) 自然数的和1(1)2ni n n i =+=∑ （4）自然数的平方和)12)(1(6112++=∑=n n n i ni （5）自然数的立方和2213)1(41+=∑=n n i ni 例1 求和2222123n S n =++++分析：由332(1)331k k k k +=+++得 ()3321331k k k k +-=++，令k =1、2、3、n 得3322131311-=⋅+⋅+ 3323232321-=⋅+⋅+3324333331-=⋅+⋅+……()3321331n n n n +-=++把以上各式两边相加得：()()()3322211312312n n n n +-=++++++++∴ ()()3131132n n n S n n +=+--- 因此，()()11216n S n n n =++例2 求和：ααααααααcos sin cos sin cos sin cos sin 1253-++++n 解：设所求之和为n S ，则)sin sin sin (sin cos 1253ααααα-++++=n n S ，这是公比为α2sin 的等比数列前n 项之和.（1）、若,1sin 2≠=αq 即,,2Z ∈=≠n n ππα则有),sin 1(sin 1)sin 1(sin cos 222αααααα-=--=tg S n n （2）、若,1sin 2==αq 即,,2Z ∈+=n n ππα则有0=n S3．错项相消法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应之积形成，那么此数列可采用错项相减消法.例3 求和211323212222n n n n n S ---=++++解：由原式乘以公比12得：231113232122222n n n n n S +--=++++ 原式与上式相减，得∴ 2111111121222222n n n n n S S -+--=++++-∴ 2332n n n S +=-例4 设0≠a 求数列a 、22a 、33a …n na …的前n 项和分析：这个数列的每一项都含有a ，而a =1或不等于1，对数列求和方法上有本质的不同，所以解题时需要进行讨论.解：若1=a ，2)1(321+=++++=n n n S n若1≠a ，n n na a a a S ++++= 3232，此时，该数列可以看成等差数列1、2、3…n 与等比数列a 、2a 、3a …n a 的积构成的数列，且公比a q =，在上述等号两边同时乘a ，有133232+++++=n n na a a a aS两式相减得132)1(+-++++=-n n na a a a a S a所以，11)1()1(+---=-n n n na aa a S a 从而得21212)1()1(1)1()1(a aa n na a na a a a S n n n n n -++-=----=+++4．倒序相加法如果一个数列与首末两项等距的 两项之和等于两项之和，可采用正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和. 例5 已知{}n a 为等差数列，求123n a a a a ++++解：令123n n S a a a a =++++将上式中各项的次序反过来就得到：121n n n n S a a a a --=+++上两式相加的()()()12112n n n n S a a a a a a -=+++++由等差数列性质得：1211n n n a a a a a a -+=+==+所以得()12n n S n a a =+ 所以()12n n n a a S +=例6 求和：n n n n nC C C 36321+++ .解：令.396303210n n n n n nn nC C C C C S +++++= 将上式中各项的次序反过来，得：.03)2(3)1(330121n n n n n n n n n C C C n C n nC S +++-+-+=-- 上述2式左右两边分别相加，并利用kn n k n C C -=，得 .23)(321210n nn n n n n n n n C C C C C n S ⨯=+++++=-所以123-⨯=n n n S5．通项分析法对数列的通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和.例7 求数列1，2a a +，432a a a ++，++43a a 65a a +，…的前n 项和n S ，（0≠a ）解：当a =1时，.k a k = 则)1(21+=n n S n 当1-=a 时，0=k a ，（k 为偶数）和1=k a ，（k 为奇数）可见]2)1(1[21n S nn +--= 当|a |1≠时，aa a a k k k --=--1121 ，所以)]()()()1[(11121523---++-+-+--=n n n a a a a a a a aS =)]()1[(11125312--++++-++++-n n a a a a a a a a=)]1)(1[()1()1(11)1(11[111222+--+-=------n n n n a a a a a a a a a a6．待定归纳法解决与自然数有关的某一问题，首先应对结论的代数形式做一个正确推测，并将结论用待定系数设出来，随之令其满足数学归纳法的各个步骤，从中得到得到待定系数的方程，求出待定系数，即可使问题得解. 例8 求数列221⨯，243⨯，265⨯，，()2221n n -的前n 项和n S因为数列()232221882n a n n n n n =-=-+它是关于n 的多项式，与之类似的数列求和问题我们熟悉的有⑴ ()213521n n ++++-=⑵ ()()()112231123n n n n n ⨯+⨯+++=++ ⑶ ()233332112314n n n ++++=+ 以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于n 的多项式，对其次数进行比较便可得到这样的结论：若数列{}n a 的通项公式是关于n 的多项式，则其前n 项和是比通项公式高一次的多项式，对本题而言，因为通项公式()232221882n a n n n n n =-=-+是关于n 的三次多项式，所以我们猜想该数列的前n 项和n S 是关于n 的四次多项式，故可设432n S An Bn Cn Dn E =++++ 即1n =，n k =，1n k =+时上式均成立，有12S A B C D E =++++= 432k S Ak Bk Ck Dk E =++++()()()()43211111k S A k B k C k D k E +=++++++++ 即()()()4321463432k S Ak A B k A B C k A B C D k A B C D E+=++++++++++++++又因为11k k k S S a ++=+所以()()()4321816102k S Ak B k C k D k E +=++++++++ 比较上两式同类项系数可得 486316432102A AA B B A B C C A B C D D A B C D E E =⎧⎪+=+⎪⎪++=+⎨⎪+++=+⎪++++=+⎪⎩ 解方程得 2A =,43B =,1C =-,13D =-,0E =故43241233n S n n n n =+--7．裂项法顾名思义，裂项法就是把数列的项拆成几项，然后相加时各项相消，达到求和目的的一种方法.通项分解如：⑴ ()()1n a f n f n =+- ⑵ ()11111n a n n n n ==-++⑶()()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+-⎪-+-+⎝⎭ ⑷ ()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥-++++⎣⎦例9 求数列)12)(12()2(,,756,534,3122222+-⨯⨯⨯n n n 的前n 项和n S 分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积，用分子凑分母的方法，化简分式，然后再拆项，有解：nn n n n n S n =+--+++-++-+=+-++⨯+⨯=)]121121(211[)]5131(211[)]3111(211[)12)(12()2(534312222 ).121121(211)12)(12(11)12)12(11)2()12)(12()2(22+---=+--=+-+-=+-n n n n n n n n n n+ 12)1(2)1211(21++=+-n n n n 例10 求和个n n S 333333333++++= 解：个n n 333333333S ++++= =）（个n 99999999993++++ =)]110110110110[9332-++-+-+-n （）（）（）（ =3)110(2710]10101010[9332n n n n --=-++++ 8逐差法针对一类高阶等差数列求和的问题.某些数列的构成规律不十分明显.我们可以逐次求出它的各阶差数列，如果某一阶差数列正好是等差数列或者为等比数列，那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式，然后再求出其前n 项和n S .例11 求数列5,6,9,16,31,62的前n 项和n S考虑数列的各差数列： 原数列：5,6,9,16,31,62 一阶差数列：1,3,7,15,31二阶差数列：2,4,8,16由于二阶差数列是等比数列，可用逐差法求数列的通项，然后再求出其前n 项和n S .解：设原数列为{}n a ，一阶差数列为{}n b ，二阶差数列为{}n c 那么211b b c -= 322b b c -= 433b b c -=11n n n b b c ---=以上1n -个式子相加，有11231n n b b c c c c --=++++1248162n -=+++++()12122212n n --==--因为11b =，所以22121n n n b =-+=- 又 211a a b -= 322a a b -= 433a a b -=11n n n a a b ---=所以 ()1111231112121n n m n n n m m m a a b b b b b n ---==-=++++==-=--∑∑21524n n n a n n =--+=-+ 数列{}n a 的前n 项和为()1112424nnnmmn m m m S m m n ====-+=-+∑∑∑()()21214122nn n n -+=-+- ()17222n n n +-=--9．组合数法原数列各项可写成组合数的形式，然后再利用公式11m m mn n m C C C -++=求解.例12 求1，12+，123++，，123n ++++ 由()21112312n n n n C +++++=+=知可以利用“组合数法”求和 解 ()()()112123123n S n =++++++++++ ()11362n n +=++++ 22222341n C C C C +=++++ 32223341n C C C C +=++++ =32n C +=()()1126n n n =++10．导数求和法通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式1/)(-=n n nx x ，可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的结构特征. 例13 求和：)0(32112≠++++=-x nx x x S n n解：当x =1时，S n =1+2+3+…+n=2n)n(1+ 当≠x 1时，,1132x x x x x x x n n--=+++++ 两边都是关于x 的函数，求导得（,)1()/1/32x x x x x x x n n --=+++++ 即 .)1()1(13212112x nx x n nxx x S n n n n -++-=++++=+-11．数学归纳法有些题目通过求出的{}n a 的前n 项之和，猜想出n S ，然后用数学归纳法证明. 例14 设数列{}n b 的前n 项之和为n S ，满足3()*12(),n n n S nb b n +=+∈N 求.n S 解：因为,11b S =由，3()12n n n S nb b +=+，得3（111)12S S S +=+所以 411=S 而221b S S =-所以 3()22121212()S S S S S +-=+-⎡⎤⎣⎦得 227S = 同理 求 得3310S =推测).(13*N ∈+=n n n S n 下面用数学归纳法加以证明（1）、当n =1时，结论显然成立（2）、假设k n =时结论成立，即31k k S k =+ 由题设有1113[(1)]12k n k S k b b +++++=+知又因为11k k k S S b ++=+所以 13311311+-++=++k S k k S k k 有 113(1)1k k S k ++=++ 则k n =时结论亦成立.由（1）（2）知，对于13,*+=N ∈n n S n n 总成立. 111331k k S b k ++-=+12．递推数列求和法递推数列求和是较难的一类，针对这类题，一般先要研究通项公式，而求通项公式又往往是难点，通项求出就可以从本质上去求和，下面介绍地推数列通项的方法.例15 已知数列{}n a 中,23,2,11121-+-===n n n a a a a a 求n S解：要求n S ，首先寻找n a因02311=+--+n n n a a a 故)(211--+-=n n a n a a a n所以{}n n a a -+1是以2为公比，12a a -为首项的等比数列.所以112-+=-n n n a a所以112211)()()(a a a a a a a a n n n n +-++-+-=---=10132212222---=+++++n n n所以.12222112-=++++=-n n n S13．极限求和当数列为无穷数列，这就是我们高等数学要学的一个重要组成部分——级数，那它的和怎么求啦？有些我们可以直接运用公式，有些我们还是可以裂项，然后再求极限.例16 求数列11111,,,,,,2482n 的前n 项和 解：由题设可知此数列为递缩等比数列，公比121 =q ，故前n 项和 1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 故 lim 2n n S →∞=例17 求数列()1111,,,,1324352n n ⨯⨯⨯+解：因为()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭所以111111123242S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =111112212n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭所以11113lim lim 122124n n n S S n n →∞→∞⎛⎫==+--= ⎪++⎝⎭数列求和问题虽然很难，但我总可以通过找出共同的特点和规律或进行恒等变换得到解决的途径.以上几种方法是求数列较适用的方法，是从根本上去认识数列求和.类型较全，公式简单易懂，对学好数列的求和有很大的帮助.参考文献[M.北京人民教育出版社；]1[人民教育出版社中学数学室，高一数学上册][M.北京：中国青年出版社；]2[泸海运、付延卫、田春林等.创新方案][J.成都教育出版社2006.6；]3[叶锋，浅谈数列的求和][J.数理化学习（高中版）；]4[广冬雁、李居强、刘利琴，数列求和十法][M.北京：人民日报出版社；]5[李增旺、宋胜利.名师一号][6] 刘玉琏、数学分析讲义（下册）[M]，北京：高考教育出版社，2003；[7] 陈传璋，数学分析讲义下册[J],北京：高考教育出版社，2004.经过几个月的奋斗，我的学年论文终于完成了，在此我要感谢我的指导老师曾德强老师，没有他就没有我这篇论文的一些思想，没有他我很多地方的数学思维是不可能有的，他使我的数学水平提过了一个档次，明白了如何写数学论文，如何查找文献等等，也感谢他在每周星期六上午对我们的辅导，在这些时间里我学会了很多利用数学建模的思想去解决实际问题，如何把实际中的问题与数学联系起来，使我数学有了长足的进步，他也对我大四写毕业论文做了很多指导，使我对以后有了信心，我也可以写出好的论文.另外，在论文资料的收集上，我要谢谢我们学校的图书馆，在上面我找到了很多有用资料，对我论文的书写有了很大的帮助.但由于初次尝试写论文，有很多地方想的并不是很周到，如有不足之处，希望大家批评指正.。
等差数列前n项和论文
等差数列前n项和论文摘要：布置弹性作业以使各个层次的学生都有所收获和发展，考虑到学生的实际情况设计一个思考题，使学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥；并设置研究性课题，鼓励学生积极参与、自主探究生活中的数学问题及应用，培养学生的应用意识和大胆实践的科学精神。
一、教学目标1.学生通过几个具体的数列求和的例子，描述出数列的前n项和的定义；并能解释数列的前n项和的判定功能和性质功能；2.学生通过观察几个特殊数列的求和过程，对项数n的奇偶进行分类讨论，利用“配对”进行求和；3.学生通过比较与奇偶有关的“配对求和”，探究推导等差数列前n项和公式的一般方法，并得出等差数列前n项和公式；4.学生能根据具体问题的特点，正确选择公式，解决一类“知三求二”的等差数列问题；5.学生能利用Sn的判定功能，解决一类“已知Sn求an”的数列问题，并能选择方法解决等差数列前n项和的最值问题；6.学生能运用等差数列前n项和的有关知识解决一些简单的实际应用问题。
二、重、难点分析重点：等差数列前n项和公式的推导。
难点：等差数列前n项和公式的推导过程及综合应用。
三、教学方法：在教学策略上采用：以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用评价样题的形式加强公式的掌握运用。
四、教学流程设计1.双基回顾，温故导新【问题1】等差数列的定义：____________________________ 【问题2】等差数列的通项公式： _______________【问题3】（1）等差数列中中，若，则__________（2）上面的问题用的是等差数列的哪条性质？设计意图：复习巩固有关等差数列的知识，为下面的学习打好基础。
2.创设情境，尝试探究【问题1】你能写出吗？它们各表示什么？【问题2】Sn表示什么？它的表达式是什么？【问题3】（1）若，，则可以表示为_______（2）=？an与Sn、Sn-1什么关系？【评价样题1】已知数列的前n项和为，求.设计意图：设计问题组，层层推进，引导学生自主探究数列前n 项和的判定功能和性质功能：，为下面的学习做好铺垫。
三年级奥数：第03讲 配对求和
第4講配對求和一、知識要點被人稱為“數學王子”的高斯在年僅8歲時，就以一種非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的結果。
小高斯是用什麼辦法算得這麼快呢？原來，他用了一種簡便的方法：先配對再求和。
數列的第一個數（第一項）叫首項，最後一個數（最後一項）叫末項，如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差是一個不變的數，這樣的數列叫做等差數列，這個不變的數則稱為這個數列的公差。
計算等差數列的和，可以用以下關係式：等差數列的和＝（首項＋末項）×項數÷2末項＝首項＋公差×（項數－1）項數＝（末項－首項）÷公差＋1二、精講精練【例題1】你有好辦法算一算嗎？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）練習1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例題2】計算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324練習2：計算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例題3】有一堆木材疊堆在一起，一共是10層，第1層有16根，第2層有17根，……下麵每層比上層多一根，這堆木材共有多少根？練習3：(1)體育館的東區共有30排座位，呈梯形，第1排有10個座位，第2排有11個座位，……這個體育館東區共有多少個座位？(2)有一串數，第1個數是10，以後每個數比前一個數大4,最後一個數是90，這串數連加的和是多少？(3)有一個鐘，一點鐘敲1下，兩點鐘敲2下，……十二點鐘敲12下，分鐘指向6敲1下，這個鐘一晝夜敲多少下？【例題4】計算992+993+994+995+996+997+998+999。
練習4：計算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19例5：1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81練習5：計算。
关于搭配问题的数学作文
关于搭配问题的数学作文When it comes to the topic of pairing in mathematics, one cannot help but think of the concept of functions. Functions are a fundamental part of mathematics that describe the relationship between two sets of numbers, often through equations or graphs. 谈到数学中的配对问题，人们不由得会想到函数的概念。
函数是数学的基本组成部分，描述了两组数字之间的关系，通常通过方程式或图表来表示。
In mathematics, pairing can also refer to the process of matching elements from two different sets based on certain criteria. This can be seen in various mathematical fields, such as combinatorics, statistics, and optimization. 在数学中，配对还可以指根据一定的标准匹配来自两个不同集合的元素的过程。
这可以在各种数学领域中看到，比如组合数学、统计学和优化。
Pairing in mathematics plays a crucial role in not only solving equations and problems but also in understanding the relationship between different mathematical concepts. By pairing elements and establishing connections, mathematicians are able to unlock new insights and develop innovative solutions. 在数学中的配对既在解决方程和问题中起着至关重要的作用，也有助于理解不同数学概念之间的关系。
小学一年级综合算式数字配对挑战通过配对发现数字的关系
小学一年级综合算式数字配对挑战通过配对发现数字的关系在小学一年级的数学学习中，综合算式数字配对挑战是一种常见的练习，帮助学生进一步理解数字之间的关系。
通过配对，学生可以通过观察和比较数字的大小、形状和其他属性，发现数字之间的规律和关联。
本文将介绍小学一年级综合算式数字配对挑战的方法和意义。
一、数字配对的意义数字配对挑战是培养学生观察力、逻辑思维和数学能力的有效方法。
通过配对，学生能够更加准确地认识和理解数字的概念，同时提高他们的数学推理能力和问题解决能力。
此外，数字配对还能培养学生的合作精神和集体意识，促进他们在小组活动中的积极参与和互动。
二、数字配对的方法1. 形状配对形状是数字的一个重要属性，通过观察和比较数字的形状，在数字配对中寻找相似之处是一种常见的方法。
例如，学生可以将所有圆形的数字配对在一起，将所有方形的数字配对在一起，以此类推。
这样，学生可以通过比较形状来寻找数字之间的关系。
2. 大小配对数字的大小也是数字配对中的一个重要属性。
学生可以将数字按照从小到大或从大到小的顺序进行配对，通过比较数字的大小来寻找它们之间的关系。
这种方法可以帮助学生理解数字的大小概念，提高他们的数值比较能力。
3. 加减配对在综合算式数字配对挑战中，学生需要将数字按照加法或减法的关系进行配对。
例如，学生可以将所有可以相加得到10的数字配对在一起，将所有可以相减得到5的数字配对在一起。
这种方法可以帮助学生理解加法和减法之间的关系，提高他们的运算能力。
4. 奇偶配对奇偶是数字的一个重要特征，学生可以将数字按照奇偶性进行配对。
例如，学生可以将所有奇数进行配对，将所有偶数进行配对。
通过比较奇数和偶数，学生可以发现它们之间的规律和关系。
三、数字配对的练习小学一年级的综合算式数字配对挑战可以通过各种练习来进行。
例如，老师可以准备一组数字卡片，让学生根据不同的关系进行配对。
学生可以在小组活动中相互配对，或者在个人练习中进行数字配对。
小升初数学数论的方法技巧4
小升初数学数论的方法技巧2.34.3 配对法配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。
传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。
像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。
例7 求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。
解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。
将这10 00万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，…，4999999与5 000000各对的数码和都是9×7=63。
这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。
例8 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。
若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。
例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。
试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。
由于9 999是奇数，所以m≠n。
由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。
因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。
试说明分子m是质数89的倍数。
解法：作配对处理将括号内的分数进行通分，其公分母为1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，从而m×88！=89×k（k=n×q）。
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配对求和更简便
同学们，你听过德国著名数学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的高斯很快报出了得数：5050。
这个答案完全正确！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种巧妙的方法——配对求和。
什么是配对求和呢？下面老师向小朋友介绍一下！
题目：计算5+7+9+11+13+15=？
分析：这道加法算式的加数个数有6个，如果从左往右依次计算，也能正确得出计算结果，但速度比较慢，计算也比较烦。
有没有好方法呢？仔细观察上面加法算式中的几个加数，我们可以采用凑整的思路来计算：5+15=20，9+11=20，7+13=20，正好有3个20，所以结果是60。
（用线将每两个数连起来）
5+7+9+11+13+15
=（5+15）+（7+13）+（9+11）
=20+20+20
=20×3
=60。
凑整是我们计算问题常用的一种简便思路。
对几个数连加时进行两两凑整，就是一种基本的配对求和方法。
题目：计算12+13+14+15+16+17+18=？
分析：这道加法算式的加数有7个，还用上面的凑整思路试试看！12+18=30，13+17=30，14+16=30，还剩15。
这样3个30加15，得105。
（用线将每两个数连起来）
12+13+14+15+16+17+18
=（12+18）+（13+17）+（14+16）+15
=31×4=124。
采用这种配对方法，要弄清加数的个数是不是双数，如果是双数，
说明正好可以全部配对；如果是单数，就不能全部配对，留下的正好是中间数。
同学们，现在你明白小高斯是怎样算得快又对的了吗？你也算算看吧！。