2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型

初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍
总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.
（一）基本图形： 1.“三垂”
例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3
例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______
解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴
AP CD
=
AE PD。

当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：
①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系
转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x
2=
2−y 3−x
, ∴y =x 2−3x +4=(x −32
)2+74
, ∴a =1>0 , ∴x =32
时，y 最小值=7
4
2.两种变化图形
（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型
A B
C D
E
F 图1
P
A B
C
D E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，
若其中有一组边相等，则证ABE ≅ECD;若没有边相等，则证ABE ~ECD;
2
1
A
B C
E
D
证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，
∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，
若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;
2
1A B
F E D
C
(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）
E
D
C
B
A
例3.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，则OC= ．
解析：求线段长，要么用勾股定理，要么用相似，不管走勾股定理，还是相似，都绕不过先求出∠DOC=90°，当把这个90°标在图形时，就出现“三垂直模型的变化图形—交叉型三垂直模型”，如图1，由于有等边（BC=CD ），先证△BCE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠CDF ，∵∠BCE +∠OCD =90°，∴∠CDF +∠OCD =90°，∴∠DOC =90°；这时图形又出现了第二个典型图形：“双垂型图形”，如图2，便易得这个典型图形的一个典型的用途----两直角边的乘积会等于斜边乘以斜边上的高。

所以易得OC =DC∙CF DF
=
125
例4. 已知A （0，4）、B （0，-6），C 为x 轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，求C 点的坐标.
解析：出现45°角，常以已知点为直角顶点构造等腰直角三角形， 利用“横平竖直辅助线”构造一线三垂直模型解题，故以已知点A 为
直角顶点构造等腰直角三角形；利用“一线三垂直”模型证△OAC ≌△FEA ， 利用“8字模型”证△OBC ∽△FBE ，即可得到C 点坐标为为（12，0）
（二） “二垂”
例5. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，AB=1，BC=2，以斜边AC 作正方形ACDE ，则边BE= ． 解析：作EF ⊥BA 于点F ，就出现典型的“三垂直模型”，先证△ABE ≌△MFA ，∴EF=AB=1，AF=BC=2，∴BF=3，∴BE=√10
C O
E
图2
D
C
A B
F
图1
M
M
作DC ⊥BE 于点C D
E
B A
A
B C
E
F
D
A B
B
图1
A
例6.如图，矩形ABCD 的两个顶点A 、B 分别落在x 、y 轴上，顶点C 、D 位于第一象限，且OA=3，OB=2，对角线AC 、BD 交于点G ，若曲线y =k
x （x ＞0）经过点C 、G ，则k = ______．
解析：要求k 值，先求C 、G 坐标，C 点坐标是关键，由“二垂模型”可得，作CE ⊥y 轴于点E ，则△AOB ∽△BEC,
则
AO
OB
=BE EC
=3
2，
设BE=3x,EC=2x,OE=3x+2,∴C(2x,3x+2)，由中点坐标公式求出G(2x+32
,
3x+22
),根据反比例函数系
数k=xy,得到2x ∙(3x +2)=
2x+32
×
3x+22
,得x=1
2
,得出C 的坐标为（1，72
），可求得k=3.5.
（三） “二垂”中例外情况（属旋转问题中的“空翻模型”，不是“三垂直模型”）
例7.如图,在正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,MN ⊥MA,CN 平分∠DCE,E 为BC 的延长线上一点.求证:MA=MN
解析：此题要注意，它不是“二垂模型”，即这样作辅助线：作NG ⊥BC 于点G ，再证△AMB ≌△GNM ，会发现找不到等边。

它是旋转问题的“空翻模型”，等边需要我们作辅助线，在AB 边上截取。

∵点M 是中点，
∴取AB 的中点H ，连接MH （如果M 是任意点，就在AD 上截取AH=AM 即可）如图1，∵∠BHM=∠ECN=45°，∴∠AHM=∠NCM=135°，AH=MC ，∠BAM=∠CMN ∴△AHM ≌△MCN ，∴AM=MN.
（四）“一垂”
例8. 如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线之间的距离为h ，面积为 25 的正方形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，那么h 的值是________________．
C
A
B
M
作AM ⊥BM 于点M
作CN ⊥BN 于点N
B A
C
N
图1
A B
C D
E
M
N N M
E
H D
C
B
A
例9．如图，Rt △ABO 中，∠AOB=90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限，且AO ：BO=1：√2，若点A （x 0，y 0）的坐标x 0，y 0满足y 0=
1x 0
，则点B （x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为 ．
解：设点B 在反比例函数y=k
x （k ＜0）上，分别过点A 、B 作AC ，BD 分别垂直y 轴于点C 、D ，∵∠ACO=∠BDO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD ，∴△AOC ∽△OBD ，∴S ∆AOC S ∆BOD
=
(
OA OB
)2=(√2
)2=12
，∵点A （x 0，y 0）的坐标x 0，y 0,满足y 0=
1x 0
，∴S △AOC =1
2
，∴S △BOD =1，∴k=﹣2，∴点B
（x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为y=−2
x ．
四.“双垂直模型”
例10.如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点，P 、Q 同时分别从A 、B 出发，点P 沿AB 向B 运动；点Q 沿BC 向C 运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t 秒． （1）连结AQ 、DP 相交于点F ，求证：AQ ⊥DP ；
N
M
解析：CDM ≅BCN,∴(2h)2+h 2=25,∴h=5
(1)求角：∠1=∠C 、∠2=∠B;(2)求边：AC •AB=BC •AD (面积法)
(3)求边成比例
①相似：ACD ~BAD ~BCA ②射影定理:AC 2=CD •CB;AB 2=BD •BC;AD 2=CD •BD 1
2A B D
C
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求FQ
DF
的值．
解析：（1）见例5.
（2）图1阴影部分，是典型的“双垂直模型”，下面分别用它的两个典型用途来解答第（2）小题 ①相似----利用△APF ∽△DAF ∽△DPA 解题
∵正方形边长为4，而t=3时，∴AD=AB=4，AP=BQ=3，∴PD=AQ=5，∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，
∴△APF∽△ADP，∴
AP PD
=
PF AP
，∴PF=95
，∴DF=165
，∵∠AFP=∠AFD=90°，∴△APF∽△ADF，∴
AF PF
=
DF AF
，
∴AF=12
5∴FQ=13
5，∴FQ DF =13
16．
②利用射影定理解题
∵正方形边长为4，而t=3时，∴AD=AB=4，AP=BQ=3，∴PD=AQ=5，∵PA ⊥DA ，AF ⊥PD ，∴根据射影定理，AP 2=PF ∙PD ，∴PF =9
5，∴DF=16
5，∵AP ∙AD =AF ∙PD ，∴AF=12
5∴FQ=13
5，∴FQ DF =13
16．
F P Q
A
B C D
图1A。