勾股定理能力提高训练题

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初中数学勾股定理提升训练1含答案

勾股定理提升训练1一．选择题（共16小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．9，7，12B．2，3，4C．1，2，D．5，11，12 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90度，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'，若△A'BC，△AB'C的面积分别是8和3，则△ABC'的面积是（）A．33B．43C．53D．53．如图，在直角三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，点E为AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD＝（）A．3B．4C．5D．64．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，2B．7，24，25C．D．1，，5．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2D．S2＝（S1+S3）6．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（）A．20B．10C．10D．287．在△ABC中，AB＝BC＝2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△P AB为直角三角形时，AP的长为（）A．1，，7B．1，，C．1，D．1，3，8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB ＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16B．32C．160D．12810．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（）A．3B．C．D．11．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形12．如果a，b，c是直角三角形的三边长，那么2a，2b，2c为边长的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定13．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③14．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，则CD的长为（）A．4B．12﹣4C．12﹣6D．615．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB ⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24平方米B．36平方米C．48平方米D．72平方米16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝16，AD⊥BC，垂足为D，∠ACB 的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．B．4C．D．6二．填空题（共3小题）17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C 的面积和是9，则正方形D的边长______．18．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为______．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．三．解答题（共7小题）20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AC边上的个动点，点D从点A出发，沿边AC向C运动，当运动到点C时停止，设点D运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度的．（1）当t＝2时，求CD的长；（2）求当t为何值时，线段BD最短？21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．22．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．23．如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BC＝12，CD＝x，x＞0，AB⊥AD．（1）求BD的长；（2）当x为何值时△BDC为直角三角形？（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．24．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．25．如图所示，每个小正方形的边长为1cm（1）求四边形ABCD的面积；（2）四边形ABCD中有直角吗？若有，请说明理由．26．小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理．设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2＝c2．勾股定理提升训练1参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：A、∵72+92≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项不符合题意；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵12+（）2＝22，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项符合题意；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：C．2．解：如图，设等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'的面积分别是S3，S2，S1，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2+b2＝a2，∴c2+b2＝a2．又∵S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，∴S1+S2＝S3，∵S3＝8，S2＝3，∴S1＝S3﹣S2＝8﹣3＝5，故选：D．3．解：∵点E为AC的中点，DE⊥AC于E，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠DCB＝∠B，∴CD＝BD，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CD＝AB＝5，故选：C．4．解：A、∵12+（）2＝22，∴以1、、2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵72+242＝252，∴以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵（）2+（）2≠（）2，∴以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵12+（）2＝2，∴以1、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．6．解：如图，∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2＝AD2，∴52﹣BD2＝72﹣（8﹣BD）2，解得：BD＝，∴AD＝＝，∴△ABC的面积＝10，故选：C．7．解：如图1，当∠APB＝90°时，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝2，∴AP＝AB•sin60°＝2×＝；如图2，当∠ABP＝90°时，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝＝＝，在直角三角形ABP中，AP＝＝；如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝1，故选：C．8．解：∵AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC的距离为，∴AP＝CP＝，∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC的距离为，∴当点P与点D重合时，P到AC的距离为，∴这样的点P有3个，故选：D．9．解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．10．解：∵AC＝＝，△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×2×1﹣×3×1＝，∴则AC边上的高＝＝；故选：C．11．解：∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．故选：C．12．解：∵a，b，c是直角三角形的三边长，设c为斜边，∴a2+b2＝c2，又∵（2a）2+（2b）2＝4（a2+b2），（2c）2＝4c2，∴（2a）2+（2b）2＝（2c）2，即2a，2b，2c为边长的三角形是直角三角形，故选：A．13．解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．14．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12．∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12CM＝BM＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM÷tan60°＝4，∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．故选：B．15．解：则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝AB•BC+AC•DC＝（3×4+5×12）＝36米2．故选：B．16．解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝16，∠B＝45°，∴BA＝DA＝8，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，AD＝8，∴CD＝，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝30°，∴DE＝CD•tan30°＝，∴AE＝AD﹣DE＝8﹣＝，故选：C．二．填空题（共3小题）17．解：根据勾股定理的几何意义得：S D＝S A+S B+S C＝9，可知，D的边长为＝3．故答案为：3．18．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．19．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：BC＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题）20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，当t＝2时，AD＝2，∴CD＝8；（2）当BD⊥AC时，BD最短，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ADB，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴t＝，∴当t为时，线段BD最短．21．解：（1）如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝5．（2）∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝8﹣＝．22．（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．23．解：（1）如图，∵AB＝4，AD＝3，AB⊥AD．∴BD＝＝＝5，即BD的长度是5；（2）在直角△BCD中，BD＝5，BC＝12．①当CD为斜边时，由勾股定理知：CD＝＝＝13．②当CD、BD为直角边时，由勾股定理知：BC＝，即12＝，则CD＝．综上所述，CD的长度是13或．即x为13或时△BDC为直角三角形；（3）①当CD为斜边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•BC＝+×5×12＝36．②当CD、BD为直角边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•CD＝+×5×＝6+．综上所述，四边形ABCD的面积是36或6+．24．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD＝，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．25．解：（1）如图，∵四边形ABCD的面积＝S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD＝5×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×2﹣×（1+5）×1＝14；（2）四边形ABCD中有直角．理由：连结BD，BC＝2，CD＝，CD＝5，∵CD2＝BC2+CD2，∴∠C＝90°，∴四边形ABCD中有直角．26．解：∵AE＝a，DE＝b，AD＝c，∴S正方形EFGH＝EH2＝（a+b）2，S正方形EFGH＝4S△AED+S正方形ABCD＝4×+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．。

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1(附答案详解)

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1（附答案详解）1．在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则AB等于（）A．2cm B．8cm C．10cm D．100cm2．等腰三角形底长为24，底边上的高为5，则这个三角形的周长为( )A．37 B．60 C．34 D．533．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形4．如图，等腰三角形ABC底边上的高AD为4 cm，周长为16 cm，则△ABC的面积是（）A．14 cm2B．13 cm2C．12 cm2D．8 cm25．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．35B．45C．23D．327．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m8．如图，数轴上点A，B表示的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是( )A．3B．5C．6D．79．以下各组数为边长，不能组成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．40，50，60 C．7，25，24 D．54，1，3410．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2018次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．111．在ABC ∆中，90,ACB CD ∠=︒是高，若,,BC a AC b ==,,AB c CD h ==,AD k BD p ==，且3,4a b ==，则____,____,____,____c p k h ====．12．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米．13．已知，如图，△OBC 中是直角三角形，OB 与x 轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=3，将△OBC 绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 1=OC ，得到△OB 1C 1，将△OB 1C 1绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 2=OC 1，得到△OB 2C 2，…，如此继续下去，得到△OB 2015C 2015，则点C 2015的坐标是_____．14．如图ABC 与ADE 都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交AC 于点F ，若5AB =，32=AD ，当CEF △是直角三角形时，则BD 的长为__________．15．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，2ACD ACB ∠=∠．若4DG =，1EC =，则DE 的长为__________．16．如图，在ABC 中，AB 32=，BC 1=，ABC 45∠=，以AB 为边作等腰直角ABD ，使ABD 90∠=，连接CD ，则线段CD 的长为________．17．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若正比例函数的图象过点P ，则它的表达式是y ＝_____18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC △是__________三角形．19．三角形中两条较短的边为a ＋b ，a-b(a>b),则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．20．如图，在直角三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边AB 上，以CD 为折痕将△CBD 折叠得到△CPD ，CP 与边AB 交于点E ，若△DEP 为直角三角形，则BD 的长是_____21．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =3∠CAD, BC=2．（1）求△ABC 的面积；（2）求CD 的值．22．（1）在右面的方格纸中，以线段AB为一边，画一个正方形；（2）如果图中小方格的面积为1平方厘米，你知道（1）中画出的正方形的面积是多大吗？解释你的计算方法.23．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成.△ABC中，A点坐标为（2，3）、B （-2，0）、C（0，-1）.（1）AB的长为_____，∠ACB的度数为______；（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请写出D点的坐标___________，并在图中画出平行四边形.24．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?25．小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为cm；（2）如果∠B0，则∠CAD= 度；35操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．26．如图1所示，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，则有∠BAD=30°，BD=CD=12AB ．于是可得出结论“直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为E ，当BD=5cm ，∠B=30°时，△ACD 的周长= ．（2）如图3所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ：EA= ．（3）如图4所示，在等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE=DC ，AD 、BE 交于点P ，作BQ ⊥AD 于Q ，若BP=2，求BQ 的长．27．已知四边形ABCD 中，10AB =，8BC =，26CD =，45DAC ∠=︒，15DCA =︒∠．（1）求ADC 的面积．（2）若E 为AB 中点，求线段CE 的长．28．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4．现在要将交ABC 扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．赵佳同学是这样操作的：如图 1 所示，延长BC 到点 D，使CD=BC，连接AD．所以，△ADB 为符合条件的三角形．则此时△ADB的周长为____________．请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长．图2的周长：______________；图3的周长：______________.29．如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．30．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?参考答案1．C【解析】【分析】已知直角三角形两直角边，可以直接利用勾股定理来求斜边.【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴斜边22AB=+=.6810故选C.【点睛】运用勾股定理：a，b，c是直角三角形的三条边，c为斜边，则满足c2=a2+b2是解题的关键. 2．B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得等腰三角形的腰，据此即可得解．【详解】解：如图：BC=24cm，AD=5cm，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；则BD=DC=BC=6cm；Rt△ABD中，AD=5cm，BD=12cm；由勾股定理，得：AB===13cm,∴△ABC的周长是13+13+24=60cm，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．3．D【解析】分析：根据勾股定理的逆定理即可判断．详解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选D．点睛：此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．4．C【解析】【分析】设BD=xcm，由题意表示出AB的长度，根据勾股定理列方程求出x，进而求出△ABC的面积．【详解】设BD=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=xcm，∴AB=12（16﹣2x），由勾股定理可得：[12（16﹣2x）]2=x2+42，解得x=3，∴BC=2BD=6cm，∴S△ABC=12×6×4=12cm2．故选C．【点睛】本题关键在于设未知数，根据勾股定理列方程求解．5．C【解析】试题分析：如图，设水深h尺，在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h＋3，BC＝6，由勾股定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2，即（h+3）2＝h 2＋62，∴h 2＋6h ＋9=h 2＋36，6h ＝27，解得h=4．5．故答案选C ．考点：勾股定理．6．B 【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，然后求得△BCF 是等腰直角三角形，进而求得∠B /GD=90°，CE-EF=125，ED=AE=95，从而求得B /D=1，DF=35，在Rt △B /DF 中，由勾股定理即可求得B /F 的长．【详解】解：根据首先根据折叠可得CD=AC=3，B /C=B4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，∴BD=4-3=1，∠DCE+∠B /CF=∠ACE+∠BCF ，∴∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B /FC=135°，∴∠B /FD=90°，∵S △ABC =12AC×BC=12AB×CE ， ∴AC×BC=AB×CE ，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=125，∴EF=125，22AC CE -=95∴DE=EF-ED=35， ∴B /22B D DF '-=45 故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键．7．D【解析】【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选D．【点睛】考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．8．B【解析】【分析】先依据勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，于是可得到点M对应的数．【详解】解：由题意得可知：OB=2，BC=1，依据勾股定理可知：∴故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．9．B【解析】分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．详解：A. ()()2221.52 2.5+=，是直角三角形，故此选项错误；B. 222405060，+≠不是直角三角形，故此选项正确；C. 22272425，+=是直角三角形，故此选项错误；D. 22235144⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是直角三角形，故此选项错误. 故选B.点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.10．C【解析】【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求解．【详解】设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得a 2+b 2=c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积=1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2019×1=2019．故选：C ．【点睛】此题主要是能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系．11．5，91612,,555【解析】【分析】运用勾股定理可求解c，由三角形面积公式可求解h，再利用勾股定理可分别求解出k和p. 【详解】由勾股定理得：c2=a2+b2=9+16=25，则c=5；由三角形面积公式可得：ab=ch，则3×4=5×h，则h=125；由勾股定理得：b2=k2+h2，则16= k2+(125)2，则k=165，a2=p2+h2，则9= p2+(125)2，则p=95.【点睛】本题考查了勾股定理和三角形面积公式的应用.12．2【解析】【分析】如图，先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理求出CE的长，根据BE=BC-CE即可得答案.【详解】如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°，∴BC=2222106AB AC-=-=8，CE=2222108DE DC-=-=6，∴BE=BC-CE=2（米），故答案为2.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.13．（22016，0）【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2015=22016，∵2015÷6=335…5，∴点C2015与点C5在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（22016，0）．点睛：根据直角三角形得出∠BOC=60°，然后求出OC1、OC2、OC3、…、OC n的长度，再根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C2015是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．14．113【解析】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中：AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.①如图1，当∠CFE=90°时，AF⊥DE，∴AF=EF=22AE=23232=，∴CF=AC-AF=5-3=2，∴在Rt△CEF中，223213+=∴13②如图2：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB=∠AEC=135°，∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，∴点B 、D 、F 三点共线，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则AG=DG=22AD=2323⨯=， ∴在Rt △ABG 中，BG=22534-=，∴BD=BG-DG=4-3=1.综上所述，131.1515【解析】∵AD BC ∥，DE BC ⊥．∴DAC ACB ∠=∠，90ADE DEC ∠=∠=︒．∵G 为AF 的中点．∴AG GD GF ==．∴ADG DAG ACB ∠=∠=∠．∴2DGC ADG DAG ACB ∠=∠+∠=∠．∵DG DC =．∵4DG =，1EC =．∴4DC =，∵90DEC ∠=︒． ∴222241DE DC EC =-=-15=．点睛：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出DG=DC 后利用勾股定理求DE 的长．16．13【解析】【分析】延长BC 交AD 于点E ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，再求出BE=DE=12AD 并得到BE ⊥AD ，然后求出CE ，在Rt △CDE 中，利用勾股定理列式计算即可得CD 的长．【详解】延长BC 交AD 于点E ，∵∠ABD=90°,∠ABC=45°，∴∠DBC=45°，∵AB=BD ，∴BE=DE=12AD ，BE ⊥AD ， ∵2，∴AD=6，∴DE=BE=3，∵BC=1，∴CE=2，∴CD2=DE2+CE2∴【点睛】本题考查的是等腰三角形和勾股定理，熟练掌握这两点是解题的关键.17．【解析】分析：过点P作PD⊥x轴于点D，由等边三角形的性质可知OD=12OQ=1，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出P点坐标，再利用待定系数法求出直线OP的解析式即可．详解：解：过点P作PD⊥x轴于点D，∵△OPQ是边长为2的等边三角形，∴OD=12OQ=12×2=1，在Rt△OPD中，∵OP=2，OD=1，∴PD=∴P（1，设直线OP的解析式为y=kx（k≠0），k，∴直线OP的解析式为y．．点睛：本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，先根据题意得出点P 的坐标是解答此题的关键．18．直角三角形【解析】∵2223213AB =+=，2224652BC =+=，2221865AC =+=，∴222AB BC AC +=,∴ABC △为直角三角形．点睛：本题考查了勾股定理逆定理的应用，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.192222a b +【解析】 22a b a b ++-（）（）2222a b +. 2222a b +204552．【解析】【分析】分两种情形：①如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．只要证明CH =DH ，即可解决问题；②如图2中，当∠DEF =90°时，设DE =x ，则EF =2x ，DF =BD 5，构建方程即可解决问题．【详解】解：如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．在Rt△ACB中，∵AC=2，BC=4，∴AB=2224+=25，∴CH=AC BCAB⋅=455．∵∠ACB=∠AHC=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∠BCH+∠B=90°，∴∠ACH=∠B=∠F．∵CH∥DF，∴∠F=∠HCE，∴∠ACH=∠HCE，∠DCE=∠DCB，∴∠HCD=45°，∴HC=HD=45．∵AH=22AC CH-=255，∴BD=AB﹣AH﹣DH=25﹣655=455．如图2中，当∠DEF=90°时，设DE=x，则EF=2x，DF=BD=5x．∵AE+DE+BD=25，∴255+x+5x=25，∴x=2﹣255，∴BD=5x=25﹣2．综上所述：BD的长为455或25﹣2．故答案为455或52．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．21．（1）S△ABC32）3【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，根据已知可得BM=CM=12BC=1，然后根据勾股定理求得AM的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点D作DN⊥AC于N，根据已知则可得到△ADM≌△AND，从而得DM=DN，AN=AM=3，继而得CN=AC-AB=2-3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，利用勾股定理求得x即可得.【详解】(1) 过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM=CM=12BC=1，∠BAM=∠CAM=30°，在Rt△CAM中，AM2+CM2=AC2，∴AM 2+12=22 ，∴AM=3，∴S△ABC=12BC·AM =12×2×3=3；（2）∵∠BAD=3∠CAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠CAD=14∠BAC=15°，∠MAD=∠MAC-∠DAC=15°，∴AD平分∠MAC ，过点D作DN⊥AC于N，则△ADM≌△AND，∴DM=DN，3∴3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，DN2+CN2=CD2，x232=(1-x)2 ，解得：3-3，∴3【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等，添加辅助构造直角三角形进行解题是关键.22．（1）作图见解析；（2）正方形的面积是53，解释见解析.【解析】试题分析：（1）在网格中分别过点A作AD⊥AB于点A，过点B作BC⊥AB于点B，并使AD=AB=BC，再连接CD即可得到所求正方形；（2）如图，由勾股定理易得AB=22+=，再由正方形的面积公式即可计算出正2753方形ABCD的面积了.试题解析：（1）如图，过A、B分别作AD⊥AB，BC⊥AB，并且使得AD=BC=AB，连接CD，则图中所得四边形ABCD为所求正方形；（2）如图，∵图中小方格为的面积为1cm2，∴小方格的边长为1cm，∴AB=222753+=,=AB2=53.∴S正方形ABCD23．（1）5 90°（2）（0，4）或（4，2）或（-4，-4），平行四边形如图.【解析】分析：（1）由勾股定理即可求得AB，BC，AC的值，然后由勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形；（2）首先根据题意画出图形，然后根据图可求得平行四边形中D 点的坐标．详解：（1）根据点A 和点B 的坐标可知：AB =()22223++=5；同理可得BC =()22111++=5，AC =2224+=5，所以有(5)2+(25)2=52，即222BC AC AB +=，故△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°. （2）点D 的坐标为（0，4）或（4，2）或（-4，-4），所作平行四边形如图所示.点睛：考查平行四边形的性质, 坐标与图形性质，注意数形结合思想在解题中的应用. 24．蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .【解析】试题分析：根据题意，先将图形平面展开（如图所示），根据“两点之间，线段最短”可得蚂蚁爬行的最短距离为线段AB 的长，再用勾股定理求得AB 的长即可.试题解析：如图所示,将台阶展开.∵AC=3×3+1×3=12,BC=5,∴AB 2=AC 2+BC 2=132,∴AB=13(cm).∴蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．25．操作一：（1）14 cm ；（2）∠CAD =20度；操作二：CD=4.5cm【解析】【分析】操作一：（1）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，依据△ACD 的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC 进行计算即可；（2）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，即可得出∠B=∠BAD=35°，再根据Rt △ABC中，∠BAC=90°-35°=55°，即可得到∠CAD=55°-35°=20°；操作二：设CD=DE=x ，则BD=12-x ，Rt △ABC 中，15AB ==,BE=15-9=6，依据Rt △BDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，可得方程x 2+62=（12-x ）2，即可得CD=4.5cm ．【详解】操作一：(1)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴△ACD 的周长为AD +CD +AC =BD +CD +AC =BC +AC =8+6=14(cm )故答案为14；(2)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴35B BAD ∠=∠=，又∵Rt △ABC 中,903555BAC ∠=-=，∴553520CAD ∠=-=，故答案为20；操作二：∵AC=9cm ，BC=12cm ，∴15AB ==（cm ），根据折叠性质可得AC=AE=9cm ，∴BE=AB ﹣AE=6cm ，设CD=x ，则BD=12﹣x ，DE=x ，在Rt △BDE 中，由题意可得方程x 2+62=（12﹣x ）2，解之得x=4.5，∴CD=4.5cm ．【点睛】考查线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和以及勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.26．（1）15cm ；（2）3：1；（3）【解析】整体分析：(1)由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求AC 的长；(2)连接AD ，由“三线合一”得∠BAD=60°，利用直角三角形中的30°角所对的直角边的性质，分别把BE ，EA 用BD 表示；(3)证明△BAE≌△ACD，得∠BPQ=60°，结合勾股定理求解.解：(1)∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD ．又∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=12AB ， ∴△ACD 的周长=AC+AB=3BD=15cm ．故答案为15cm ；(2)连接AD ，如图所示．∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，，EA=12AD ，AD ，∴EA=1212AD ， ∴BE:AE=3:1．故答案为3:1．(3)∵△ABC 为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE 和△ACD 中，AE=CD ，∠BAC=∠ACB，AB=AC ，∴△BAE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ 为△ABP 外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，2BP PQ -2221-3．27．（1）933-（2）5【解析】试题分析：（1）如图，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，由此可得∠CFA=90°，由已知条件可得∠CDF=60°，从而可得∠DCF=30°，即可由CD 的长度求得DF 、CF 及AF 的长度，从而可得AD 的长度，就可计算出△ADC 的面积了；（2）在Rt △ACF 中由CF 32CAF=45°可求得AC 的长，结合已知的AB=10、BC=8可的AC 2+BC 2=AB 2，从而可证得∠ACB=90°，结合点E 是AB 的中点，即可得到CE=12AB=5. 试题解析：（1）过点C 作CF AD ⊥，交AD 延长线于点F ，∵45DAC ∠=︒，15DCA ∠=︒，∴CDF DAC DCA ∠=∠+∠ 451560=︒+︒=︒，在Rt CFD 中，26CD =，∴ 162DF CD ==， ()()222226632CF CD DF =-=-=，∴ 326AD AF DF =-=-，∴ 12ADC S AD CF =⨯ ()1236322=⨯-⨯ 933=-．（2）在Rt AFC 中，∵ 45DAC ∠=︒，32CF =∴ 22326AC CF ===，在ABC 中，∵ 2222268AC BC AB +=+=∴ △ABC 是直角三角形，又∵ E 为AB 中点，∴ 1110522CE AB ==⨯=． 28．16 5 403 【解析】试题分析：利用勾股定理可求出AB 的长进而得出△ADB 的周长；再根据题目要求扩充成AC 为直角边的直角三角形，利用AB=BD ，AD=BD ，分别得出答案．试题解析：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，CD=BC ，∴5=，则AD=AB=5，故此时△ADB 的周长为：5+5+6=16；如图2所示：AD=BD 时，设DC=x ，则AD=x+3，在Rt △ADC 中，（x+3）2=x 2+42，解得：x=76，故AD=3+76=256 ，则此时△ADB 的周长为：256+256+5=403 ；如图3所示：AB=BD 时，在Rt △ADC 中，=则此时△ADB的周长为：故答案为（1）16；（2）403．【点睛】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．29．（1）OC=2，BC=2；（2）S 与t 的函数关系式是：S=22(02)4)t t ⎧<≤⎪⎪-+<≤；（3）当t 为83时，△OPM 是等腰三角形．【解析】整体分析：（1）先求出OA ，判断OC=CB ，再在Rt △AOC 中用勾股定理列方程求解；（2）分点P 在BC 上，与点C 重合，在CO 上，与点O 重合四种情况分类讨论，注意画出相应的图形，利用三角形的面积公式和三角形面积的和差关系求解；（3）因为等腰三角形的腰不确定，所以需要分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列方程求解.（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，∴∠B=30°，∴OA=12由勾股定理得：AB=3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴(3)²+（3﹣OC）2=OC2，∴OC=2=BC，答：OC=2，BC=2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP=2﹣t，CQ=t，过P作PH⊥OC于H，∴∠HCP=60°，∠HPC=30°，∴CH=12CP=12（2﹣t），HP=32（2﹣t），∴S△CPQ=12CQ×PH=12×t×3（2﹣t），即S=﹣3t2+3t；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，∴S=0，③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO=2，∠NOC=60°，∴3CP=t﹣2，OQ=t﹣2，∠NOC=60°，∴∠GPO=30°，∴OG=12OP=12（4﹣t），34﹣t），∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=12×（t﹣2）×3﹣12×（t﹣2）×34﹣t），即3233．④当t=4时，P 在O 点，Q 在ON 上，如图（3）过C 作CM ⊥OB 于M ，CK ⊥ON 于K ，∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=12BC=1，有勾股定理得：3∵3，∴333，∴S=12PQ×CK=12×2×33 综合上述：S 与t 的函数关系式是：S=2233(02)333(24)t t t ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪；（3）解：如图（2），∵ON ⊥OB ，∴∠NOB=90°，∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°， ∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°﹣30°=60°， ①OM=PM 时，∠MOP=∠MPO=30°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠MPO=90°， ∴OP=2OQ ，∴2（t ﹣2）=4﹣t ，解得：t=83， ②PM=OP 时，∠PMO=∠MOP=30°， ∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此时不存在； ③OM=OP 时，过P 作PG ⊥ON 于G ，OP=4﹣t ，∠QOP=60°， ∴∠OPG=30°，∴GO=12（4﹣t ），34﹣t ）， ∵∠AOC=30°，OM=OP ，∴∠OPM=∠OMP=75°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠QPO=45°，∴34﹣t ），∵OG+QG=OQ，∴12（4﹣t）+3（4﹣t）=t﹣2，解得：t=623+综合上述：当t为83或6233+时，△OPM是等腰三角形．30．25cm【解析】分析: 将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较.详解:将长方体沿CH,HE,BE剪开翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM,如图1,由题意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=25cm,将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折,使面ABCD和面D CH G在同一个平面内,连接AM，如图2,由题意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,在Rt△ABM中,根据勾股定理得:AM29cm,将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折,连接AM,如图3,由题意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AM37cm,∵25＜29＜37则需要爬行的最短距离是25cm.点睛:本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.。

勾股定理能力提升训练(整理4)

《勾股定理》能力提升训练一、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A ．32，42，52B ．34,5，C ．2,3,5，， D ．1，2，3 2. 下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形3、若直角三角形的三边长别离为2，4，x ，则x 的可能值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（）A ．-4和-3之间B ．3和4之间C ．-5和-4之间D ．4和5之间五、如图，小亮将升旗的绳索拉到旗杆底端，绳索结尾恰好接触到地面，然后将绳索结尾拉到距离旗杆8m 处，发觉现在绳索结尾距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部份忽略不计）为（） A ．12m B ．13m C ．16mD ．17m六、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条抵达底部的直吸管在罐内部份a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤137、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能组成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF八、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无裂缝无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，若是以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以那个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、1510. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C.a1+b1=h1D.21a+21b=21h11.已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，ACPE⊥于E，BDPF⊥于F，若是AB=3，AD=4，那么（）A.512=+PFPE； B.512＜PFPE+＜513；C. 5=+PFPE D. 3＜PFPE+＜412.已知直角三角形两边x、y的长知足｜x2－4｜＋652+-yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.13、如图，每一个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的极点，则∠ABC的度数为；14、如图，在△ABC中，∠B=45°，AB= 2，BC= 3+1，则边AC的长为；15、如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为；16、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为；17、数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为18、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积别离是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ；A DPE F第6题B A6cm 3cm 1cm19、如图，长方体的底面边长别离为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①若是用一根细线从点A 开始通过4个侧面缠绕一圈抵达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②若是从点A 开始通过4个侧面缠绕3圈抵达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ．20、一直角三角形斜边的长是2，周长是2+7，则该三角形的面积是；解答题：21、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个极点均在格点上，请证明△ABC 是直角三角形．20、在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，为了抢吃水池边A 处水果，一只猴子爬下树跑到离C 处20米远的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，若是两只猴子所通过的距离相等，求这棵树的高．21、已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4将△BCD 沿BD所在直线翻折，使点C 落在点F 上，若是BF 交AD 于E ，求AE 的长．22、如图，在△ABC 中，∠C=90°，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为s ，周长的一半为e ．（1）填写表：（2）观看表，令m=e-a ，n=e-b ，探讨m 、n 与s 之间的关系，并对你的结论给予证明．23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方式所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵依照以上规律写出n a 的表达式．24、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 别离为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。

第一章勾股定理(能力提升)(解析版)

第一章勾股定理能力提升卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：60分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题上方的答题表中。

3．回答第II卷时，将答案直接写在试卷上。

第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(本题3分)一个直角三角形的三边分别是6cm、8cm、x cm，则x=（）cmA．100cm B．10cm C．10cm 或．100cm 或28cm【答案】C【解析】试题分析：当6cm、8cm 两边是直角边时，22x=+=，当6cm、x cm 两边是直角6810边时，22x=-==，所以x="10cm" 或cm，故选C．8628272．(本题3分) 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【答案】B【解析】试题分析：观察图形根据勾股定理分别计算出a=2+42=√17、b=2+42=5、c=4，因为a、b、c大于0，所以分别求a2=17、b2=25、c2=16，比较大小即可得c2＜a2＜b2，可得a 、b 、c 的大小为c ＜a ＜b ．故选B3．(本题3分)如图，牧童家在B 处，A 、B 两处相距河岸的距离AC 、BD 分别为500m 和300m,且C 、D 两处的距离为600m ，天黑牧童从A 处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（）A ．800mB ．1000mC ．1200mD ．1500m【答案】B【解析】作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 的长即为AP +BP 的最小值，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，则CE =BD ，CD =BE ，再利用勾股定理求出A ′B 的长即可．作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 的长即为AP +BP 的最小值，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，∵CD =600m ，BD =300m ，AC =500m ，∴A ′C =AC =500m ，CE =BD =300m ，CD =BE =600m ，∴A ′E =A ′C +CE =500+300=800m ，在Rt △A ′CE 中，1000A B '==，故选B.4．(本题3分)将一根长为17cm 的筷子，置于内半径为3cm 、高为8cm 的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为cm x ，则x 的取值范围是（）A ．68x ≤≤B ．79x ≤≤C ．810x ≤≤D ．911x ≤≤【答案】B【解析】如图，当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时1789cm x =-=（）；当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短在Rt △ABD 中，6cm AD =，8cm BD =，所以2222226810AB AD BD =+=+=，则10cm AB =，此时17107cm x =-=（），所以x 的取值范围是79x ≤≤．故选B ．5．(本题3分)已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（）A ．4B ．2C ．4D ．2或【答案】C【解析】因为一个直角三角形的两边长分别为3和5，所以当5是此直角三角形的斜边长时，设另一直角边长为x ，则由勾股定理得222253416x =-==，解得4x =；当5是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为x ，则由勾股定理得2225334x =+=，解得x =选C ．6．(本题3分)如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m 处的A 点折断，树尖B 点触地，经测量BC =3m ，那么树高是（）A ．4mB C ．+1）m D ．+3）m【答案】C【解析】由题意知树枝折断部分、竖直部分和折断部分构成了直角三角形，根据题目提供数据分别求出竖直部分和折断部分，二者的和即为本题的答案．解：由题意知：AC =1，BC =3，由勾股定理得：AB ===，∴树高为：AC +AB =（+1）m ， 7．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为（）A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－5，0）D ．（5，0）【答案】B【解析】 ∵点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3），∴3BO =，4AO =，∴5AB ==．∵以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，∴541CO =-=，则点C 的坐标为（－1，0）．故选B ．8．(本题3分)如图，在△AB C 中，∠B =40°，EF ∥AB ，∠1=50°，CE =3，EF 比CF 大1，则EF 的长为（）A ．5B ．6C ．3D ．4【答案】A【解析】设EF=x，则CF=x-1，∵EF∥AB，∴∠CFE=∠B=40°，又∵∠CEF=∠1=50°，∴∠C=180°-50°-40°=90°，∴CE2+CF2=EF2，即32+（x-1）2=x2，解得：x=5，∴EF=5.故选A.9．(本题3分)如图，在Rt△中，∠°，cm，cm，则其斜边上的高为（）A．6 cm B．8.5 cm C．cm D．cm【答案】C【解析】由勾股定理可知cm，再由三角形的面积公式，有，得.10．(本题3分)小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是（）A．48 cm B．4.8 cm C．0.48 cm D．5 cm【答案】B【解析】试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．：∵AB2+AC2=62+82=100，BC2=102=100，∴三角形是直角三角形．根据面积法求解：即解得故选B.第II卷（非选择题)二、填空题(共15分)11．(本题3分)甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．【答案】50【解析】试题分析：如图所示，甲、乙两船行驶的方向正好构成直角三角形，OA＝15×2＝30海里，OB＝20×2＝40海里，由勾股定理得AB50海里．12．(本题3分)下列四组数：①4，5，8；②7，24，25；③6，8，10；，2．其中可以为直角三角形三边长的有__．（把所有你认为正确的序号都写上）【答案】②③④【解析】因为42+52≠82；72+242=252；62+82=102；2222+=，所以可以为直角三角形三边长的有②③④.故答案为②③④.13．(本题3分)一个圆锥形的漏斗，小李用三角板测得其高度的尺寸如图所示，那么漏斗的斜壁AB 的长度为 cm ．【答案】5【解析】解：根据题意知：圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，故圆锥的母线长AB =" 32+42" =5cm ．14．(本题3分)在△AB C 中，∠C = 90°，（1）若68a b ==，，则c = ；（2）若2430,a c ==，则b = ；（3）若2425b c ==，，则a = .【答案】（1）10 （2）18 （3）7【解析】试题解析：(1)在Rt △AB C 中，∠C = 90°，68a b ==，∴c 10=（2）在Rt △AB C 中，∠C = 90°，a 2430c ==，，∴b 18==(3) 在Rt △AB C 中，∠C = 90°，2425b c ==，∴a 7==15．(本题3分)如图：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA =50 m,CB =40 m ，那么A 、B 两点间的距离是_________.【答案】30米【解析】试题分析：根据勾股定理即可求得结果. 由题意得.3040502222m CB CA AB =-=-=三、解答题(共55分)16．(本题8分)如图，在△AB D 中，∠D ＝90°，C 是BD 上一点，已知BC ＝9，AB ＝17，AC ＝10，求AD 的长．【答案】8【解析】【分析】先设CD ＝x ，则BD ＝BC +CD ＝9+x ，再运用勾股定理分别在△ACD 与△AB D 中表示出AD 2，列出方程，求解即可．【详解】解：设CD ＝x ，则BD ＝BC +CD ＝9+x ．在△AC D 中，∵∠D ＝90°，∴AD 2＝AC 2﹣CD 2，在△AB D 中，∵∠D ＝90°，∴AD 2＝AB 2﹣BD 2，∴AC 2﹣CD 2＝AB 2﹣BD 2，即102﹣x 2＝172﹣（9+x ）2，解得x ＝6，∴AD 2＝102﹣62＝64，∴AD＝8．故AD的长为8．17．(本题8分)如图，在△AB C中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°,∠C=45°.(1)求∠BAC的度数。

提高题专题复习勾股定理练习题及答案

提高题专题复习勾股定理练习题及答案一、选择题1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．102．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（）A ．16B ．15C ．12D ．103．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm4．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（） A ．2 B ．13C ．5 D ．6 5．在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，则AC =（） A ．6 B ．12 C ．62D ．36．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ︒∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．22B．4 C．3 D．108．长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．17B．5C．2D．710．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A．5B7C．57D．3或4二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝13S矩形ABCD，则点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.15．如图，已知△DBC是等腰直角三角形，BE与CD交于点O，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.16．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.17．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.18．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．23．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．24．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝，BC ＝，AC ＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积．25．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.26．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.27．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段EF长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.2．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为3AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D＝32a，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，∴AP5=a+3a+a＝4+23，解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．3．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．4．D解析：D【分析】先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=43x+1上，所以当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m，4m+1)，∴令341m xm y=⎧⎨+=⎩，∴y=43x+1，∴B在直线y=43x+1上，∴当BD⊥直线y=43x+1时，BD最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．5．D解析：D【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=6，由勾股定理得，=故选：D．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．6．B解析：B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．7．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ∆≅∆，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ∆中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，则=AF FC ．AD BC ∵∥，FAO BCO ∴∠=∠．在FOA ∆与BOC ∆中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FOA BOC ASA ∴∆≅∆，3AF BC ∴==，3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．在FDC ∆中，90D ︒∠=，222CD DF FC ∴+=，22213CD ∴+=，22CD∴=．故选A．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．8．B解析：B【解析】试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，故选B．考点：勾股定理的逆定理点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．9．A解析：A【解析】试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，{BAD CBEAB BCADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得25+9=34，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得342=217.故选A．考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：2243+＝5，当斜边为4时，则第三边为：2243-＝7，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．103．【解析】试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=103，所以S 2=x+4y=103．考点：勾股定理的证明．12．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．13．2【分析】根据S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值．【详解】设△PAD 中AD 边上的高是h ．∵S △PAD ＝13S 矩形ABCD ， ∴12 AD •h ＝13AD •AB ， ∴h ＝23AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8， DE 22228882AE AD ++=即PA +PD 的最小值为2 ．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．14．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以BE=()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键. 15．10【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC =∴DC DB ===∵OD =∴OC DC OD =-=∴OB =设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+∴17OE =∴EC ==∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90°∴12FG EC ==∴BE BO OE =+=∴12GO GE OE BE OE =-=-=∴OF =【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.16【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， AD ==∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 17．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 1871【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.19．5【分析】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度．【详解】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ．∵P（1，2），G（7．﹣2），∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，∵PA∥GM，∴∠PAN＝∠GMN，∵∠ANP＝∠MNG，∴△ANP≌△MNG（AAS），∴AN＝MN＝3，PN＝NG，∵∠PAH＝45°，∴PH＝AH＝2，∴HN＝1，∴2222215PN PH NH=+=+=∴PG＝2PN＝5．故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．20．2【分析】根据三角形等面积法求出32ACBC=，在Rt△ACD中根据勾股定理得出AC2=14BC2+36，依据这两个式子求出AC、BC的值.【详解】∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴12AC•BE＝12BC•AD，∵AD＝6，BE＝4，∴ACBC＝32，∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94，整理得，BC 2＝3648⨯，解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3；（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：222∴2224+x=(8-x)，解得：x=3，故CE的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．23．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，3∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+3）2∴DE2=（EB+12AD）2+（32AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．24．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7．【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112，故答案为13，17，10，112．（2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.25．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 6092AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．26．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .②解：∵正方形ABCD 2，∴对角线AC =2.将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2，则△BAE ≌△BCP ，∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.27．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用28．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，∵CD ＝BC ，∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接BD ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，∵22EC 26210+=∴CM ＝EM ＝25【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．29．（1）46（2）（123+24+510）m2【分析】（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+-＝46故答案是：46；（2）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD＝6∴BE＝AB﹣AE＝62﹣6＝2DE2222(46)(26)62AD AE-=-=∴BD2222BE DE(42)(62)226+=+=∴S△BCD 1(57226)(57226)(22675)(22657)510 4+++-+-+-=∵S△ABD＝11642)6212324 22AB DE⋅=⨯⨯=∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝12324510+答：该块草地的面积为（12324510+m2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.。

勾股定理之专题—能力提升训练

勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.类型一、勾股定理的应用例1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．AB=，求BC的长．【变式】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，AC=，1例2、已知直角三角形斜边长为2，周长为2例3、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6类型二、利用勾股定理解决实际问题例4、如图所示，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)练习:一.选择题1．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（）A 1B ．1C 1 D2．若直角三角形的三边长分别为3，4，x ，则x 的值为( )A.5D.73. 如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，EC 的长为（）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(第3题) (第4题)4．如图，矩形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（） A. 30 B ．32 C ．34 D ．165．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是（）A ．172B ．52C ．24D ．76.在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12则, △ABC 的周长为（） A.42 B.32 C.42或32 D.37或33二.填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．8. 如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为__________cm .(第8题) (第9题)9．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，这样的点C 共个． 10.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，则线段CD 的长为__________.(第10题) (第11题)11. 已知长方形ABCD ，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．三.解答题13. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，AD ＝210，BE ＝5，求AB 的长．15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝2，P 是AC 上的一个动点．（1）当点P 在∠ABC 的平分线上时，求DP 的长；（2）当点PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数.勾股定理专题训练一、填空题（每小题3分，24分）1. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需_______米.5米3米2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第3题）（第4题）（第5题）3. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.4. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于______________.5. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.6. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2. 三、解答题（每小题8分，共40分）7. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题： “小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？8. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？9. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

人教版数学八年级下第17章《勾股定理》章节能力提升测试题

人教版数学八年级下第17章《勾股定理》章节能力提升测试题一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，边长为x 的边等于5的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ∶b ＝3∶4，c ＝10，其中a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则△ABC 的面积为（） A ．24 B ．12 C ．28 D ．303．若三角形ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=2∶1∶1,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列等式中，成立的是（）A ．222c b a =+B ．222c a =C ．222a c =D ．222b c =4．下列命题的逆命题成立的是（）A ．若a ＞b ＞0，则2a ＞2bB ．如果两个角都是直角，那么它们相等C ．如果天上下大雨，那么地上一定湿D ．如果一个三角形的三边满足2a ＋2b ＝2c ，那么这个三角形是直角三角形 5．如图，台阶（都是直角）下端点B 到上端点A 的最短距离是（）A ．8B ．15C ．17D ．25第5题第6题6．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的边长分别为6和8，则b 的面积为（） A ．4 B ．25 C ．55 D ．100 7．下列说法错误的是（）A ．△ABC 中，若∠B ＝∠C －∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．△ABC 中，若()()c b c b a -+=2，则△ABC 是直角三角形C ．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形3x x x A B2 43 536D ．△ABC 中，若c b a ::＝5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形（） 8. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边长为连续自然数，则此直角三角形的周长为( )．A. 121B. 120C. 90D. 不能确定9. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为( )．A. 2B. 2.6C. 3D. 4(第8题)10. 如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm 和3cm 的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( )．A. 85cmB. 97cmC. 109cmD. 9cmA. 2＋10B. 2＋210C. 12D. 18二、填空题(每题3分，共30分)11. 在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝________；(2)已知∠A ＝45°，c ＝18，则a ＝________.12. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶b ＝5∶12，c ＝39，则a ＋b ＝________.13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠B ＝30°，则∠BAC 的度数是________． 14. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： 15. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝60cm ，CA ＝80cm ，一只蜗牛从点C 出发，以每分钟20cm 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到点C ，需要________min.(第15题)16. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长为1，△ABC 的三个顶点在格点上，则△ABC 中AB 边上的高为17. 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.(第17题)18. 如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒，DE 垂直平分AB ，E 为垂足，交BC 于点D，若BD =，则AC 的长为______cm .19. 如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ABC 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，若BC ＝2，则BC ′＝________.20. 以直角三角形的三边a ，b ，c (c 为斜边)为直径分别向三角形外作半圆，若以a 为直径的半圆的面积为258π，以c 为直径的半圆的面积为1698π，那么以b 为直径的半圆的面积为________．ABCED三、解答题(第21～24题每题6分，第25、26题每题8分，共40分)21. 已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.22. 如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55cm、10cm、6cm，A 和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？(第22题)23. 如图所示是由边长为1的小正方形组成的网格．(1)求四边形ABCD的面积；(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？说出你的理由．(第23题)24. 如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？25. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB C D '''的位置，连结CC '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形BCC D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.26. 如图，A 、B 是公路l (l 为东西走向)两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45°方向上． (1)求出A 、B 两村之间的距离； (2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置．(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法)(第26题)参考答案：1． B 解析：第1个图和第4个图中x 的值为5．2． B 解析：设a ＝3x ，b ＝4x ，根据勾股定理可知c ＝5x ，所以5x ＝10，解得x ＝2，所以aD 'AB 'DC 'AA BC b ca ＝6，b ＝8，所以△ABC 的面积为12ab ＝12．3． B 解析：这是一个等腰直角三角形，∠A ＝90°，所以a b c ． 4． D 解析：D 项是勾股定理及其逆定理．5． C 解析：构造一个直角三角形，使得AB 是斜边，两条直角边分别长8和15． 6． D7． C 解析：若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是锐角三角形．8. C 解析：设另外两边长分别为a ，a ＋1，根据勾股定理有(a ＋1)2－a 2＝81，解得a ＝40，所以这个直角三角形的三边长分别为9,40,41.9. D 解析：先利用勾股定理求出AB 长为13，所以MN ＝AM ＋BN －AB ＝4. 10. A 解析：先设法将这个长方体展开，运用勾股定理求出最短路线． 11. (1)4 (2)9 212. 51 解析：设a ＝5k ，b ＝12k ，则c ＝13k ，解得a ＝15，b ＝36. 13. 105°或15°14. 解析：如果三角形三边长a ，b ，c ，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形15. 12 解析：先由勾股定理得出AB 的长为100cm.16. 由勾股定理得：1323222=+=AC ,211222=+=BC1323222=+=AB 所以BC 边上的高为222⎪⎭⎫ ⎝⎛-BC AB =2113-=225 设AB 边上的高为h ，在由三角形面积公式的：2252211321⨯⨯=⨯⨯=∆h S ABC 所以，可以解得13135=h 17. 2(3－2) 18. 2419. 2 解析：可先证明△BC ′D 是等腰直角三角形． 20. 18π21.证222c b a =+，用勾股定理逆定理得∠C=90°(第22题)22. 如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则最短路线就是AB 的长．在Rt △ABC 中，BC ＝48，AC ＝55，由勾股定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2＝482＋552＝5329＝732，所以AB ＝73，所以蚂蚁由点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线长为73cm.23. (1)12.5(2)连接AC ，在△ADC 中，由于AD 2＝12＋22＝5，CD 2＝22＋42＝20，AC 2＝52＝25，所以AD 2＋CD 2＝AC 2，即△ADC 是直角三角形，所以AD ⊥CD .24. 15km 25. 证明：Q 四边形BCC D ''为直角梯形,21()()22BCC D a b S BC C D BD ''+'''∴=+⋅=梯形 Q Rt ABC △≌ Rt AB C ''△,BAC BAC '∴∠=∠.90CAC CAB B AC CAB BAC '''''∴∠=∠+∠=∠+∠=︒.ABC CAC D AC BCC D S S S S '''''∴=+△△△梯形+2211122222c ab ab c ab +=++=. 22222()2.22a b c aba b c ++∴=∴+=.26. (1)设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得∠A ＝∠B ＝45°. ∴ △ACO 和△BDO 都是等腰直角三角形．∴ AO ＝2，BO ＝2 2.∴ A 、B 两村的距离为AB ＝AO ＋BO ＝2＋22＝32(km)．(2)(第26题)作法：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M 、N ，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．。

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题C(附答案详解)

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题C （附答案详解）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4.分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2的值等于( )．A ．2πB ．3πC ．4πD ．8π2．如图，已知线段AB ，过点B 作AB 的垂线，并在垂线上取BC ＝12AB ；连接AC ，以点C 为圆心，CB 为半径画弧，交AC 于点D ；再以点A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于点P ，则AP AB的值是（）A B C 35 D ．23．如图，是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm ，每个台阶的高度都是10cm ，连接AB ，则AB 等于（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm4．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为a 和b (a ＜b )，过锐角的三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有( )A ．a 2﹣2ab +b 2＝0B ．a 2﹣2ab ﹣b 2＝0C ．a 2﹣2ab ﹣b 2＝0D ．a 2+2ab ﹣b 2＝05．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a-b ）2＋|b-2|＋(c 2-8)2＝0，则下列对此三角形的形状描述最确切的是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 6．生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的蝶旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，请推断第n 个三角形的面积为（）A ．nBC ．2nD 7．如图，高速公路上有A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，已知DA ＝10km ，CB ＝15km ．DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等，则AE 的长是（）km ．A ．5B ．10C ．15D ．258．下列各组数是勾股数的一组是（）A ．6，7，8B ．1 2C ．5，12，13D ．0.3，0.4，0.5 9．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm10．有一个直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长为（）A ．13BC ．13D ．无法确定 11．如图，已知Rt ABC 的两条直角边长分别为6、8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积为______．12．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，，直线L 过AB 中点O ，过点A 、C 分别向直线L 作垂线，垂足分别为E 、F ．若CF=1，则EF=__．13．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在网格中画出一个以AB 为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数．14．如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPO 的边OM 在x 轴上，边OP 在y 轴上，点N 的坐标为（3，9），将矩形沿对角线PM 翻折，N 点落在F 点的位置，且FM 交y 轴于点E ，那么点F 的坐标为_____．15．已知Rt ABC ∆中，∠C=90°， a+b=14， c=10，则Rt ABC ∆的面积等于____. 16．如图，圆柱的底面周长是14cm ，圆柱高为24cm ，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A 爬到与之相对的上底面点B ，那么它爬行的最短路程为_________.17．如图，直线1L ，2L ，3L 分别过正方形ABCD 的三个顶点A ，D ，C ，且相互平行，若1L ，2L 的距离为2，2L ，3L 的距离为4，则正方形的对角线长为______.18．根据下图中的数据，确定A ＝_______，B ＝_______，x ＝_______.(A,B 表示面积，x 表示边长）19．如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米．20．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为，面积为．21．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．22．如图，有一圆柱油罐，已知油罐的底面圆的周长是12米，高是5米，要从点A起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正上方点B，则梯子最短需多长？（6分）23．如图，是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在(1)的前提下，在第二象限内的格点上找一点C，使点C与线段AB组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是；(3)求((2)中△ABC的周长(结果保留根号)；(4)画出((2)中△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.24．如图，在ABC ∆中，15AB =，14,13BC AC ==， AD 为BC 边上的高，点D 为垂足，求ABC ∆的面积．25．如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 和AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，给出以下几个结论：①如果AD 是BC 边中线，那么CE 是AB 边中线；②；③BD 的长度为； ④若∠BAC=90°，△ABC 的面积为S ，则S=AE•BD ．其中正确的结论是（将正确结论的序号都填上）26．如图,在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,AD ⊥DC ,AB ＝BC ,且AE ⊥BC .（1）求证：AD ＝AE ；（2）若AD ＝8，DC ＝4，求AB 的长.27．画图计算：(1)已知△ABC ，请用尺规在图1中△ABC 内确定一个点P ，使得点P 到AB 和BC 的距离相等，且满足P 到点B 和点C 的距离相等(不写作法，保留作图痕迹)．(2)如图2，如果点P 是(1)中求作的点，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且PE ＝PF ． ①若∠ABC ＝60°，求∠EPF 的度数；②若BE ＝2，BF ＝8，EP ＝5，求BP 的长．(3)如图3，如果点P 是△ABC 内一点，且点P 到点B 的距离是7，若∠ABC ＝45°，请分别在AB 、BC 上求作两个点M 、N ，使得△PMN 的周长最小(不写作法，保留作图痕迹)，则△PMN 的最小值为______.28．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙．他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA ，如果梯子的底端P 不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB .（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B 处，若 1.6MA =米， 1.2AP =米，则甲房间的宽AB =______米；（2）当盼盼在乙房间时，测得 2.4MA =米， 2.5MP =米，且90MPN ∠=︒，求乙房间的宽AB ；（3）当盼盼在丙房间时，测得 2.8MA =米，且75MPA ∠=︒，45NPB ∠=︒.①求MPN ∠的度数；②求丙房间的宽AB.参考答案1．A【解析】根据半圆面积公式结合勾股定理，可知S 1+S 2等于以斜边为直径的半圆面积．解：∵22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2218S BC π=， ∴()2221211288S S AC BCAB πππ+=+==．故选A ．“点睛”本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方是解答此题的关键．2．A【解析】【分析】由已知条件和勾股定理可知：设AB ＝2a ，BC ＝a ，则AC ，根据作图可知：AD ＝AC﹣CD 1）a ，即AP 1）a ，从而求出AP AB的值. 【详解】解：∵BC ⊥AB ，∴∠ABC ＝90°，设AB ＝2a ，BC ＝a ，则AC ，∵CD ＝BC ＝a ，∴AD ＝AC ﹣CD 1）a ，∵AP ＝AD ，∴AP 1）a ，∴AP AB ．故选：A ．【点睛】此题考查的是勾股定理及尺规作图，根据尺规作图判断图中相等的线段是解决此题的关键.3．B【解析】试题解析：如图，由题意得：AC=10×5=50cm，BC=20×6=120cm，故AB130=cm．故选B．4．D【解析】【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得a2+a2＝（b﹣a）2，整理即可求解．【详解】解：如图，a2+a2＝（b﹣a）2，2a2＝b2﹣2ab+a2，a2+2ab﹣b2＝0．故选：D．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．5．C【解析】【分析】现根据非负数的非负性质求出a =b =2,c 再根据勾股定理逆定理可得在△ABC 的三边长a,b,c 满足a 2＋b 2＝c 2,则这个三角形是直角三角形,又由于a=b ，因此可判定为等腰直角三角形.【详解】因为（a-b ）2＋|b -2|＋(c 2-8)2＝0,所以a-b=0, b -2=0, c 2-8=0,所以因为a 2=4,b 2=4,c 2=8,所以a 2＋b 2＝c 2,所以△ABC 是直角三角形,又因为a=b,所以△ABC 是等腰直角三角形,【点睛】本题主要考查非负数的非负性质和勾股定理逆定理,解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和勾股定理逆定理.6．D【解析】【分析】根据勾股定理分别求出1OA 、2OA ⋯，根据三角形的面积公式分别求出第一个、第二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：第1个三角形的面积111122=⨯⨯=，由勾股定理得，1OA ==则第2个三角形的面积112==2OA则第3个三角形的面积112=⋯则第n个三角形的面积=，故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么222a b c．+=7．C【解析】【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．所以，E应建在距A点15km处．故选：C．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．8．C【解析】【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．【详解】解：A 、∵2226+78 ，∴此选项不符合题意；BC 、∵2225+12=13，∴此选项符合题意；D 、∵0.3，0.4,0.5不是正整数，∴此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查勾股数．解题的关键是掌握勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断． 9．C【解析】【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm ，FC=18-2=16cm ，再利用勾股定理计算出SF 长即可．【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF 的长，由勾股定理，SF 2=SC 2+FC 2=122+(18-1-1)2=400，SF=20 cm ，故选C.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．10．C【解析】【分析】题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再结合勾股定理即可求得结果．【详解】当1213=，当12=，故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理，是基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理，即可完成．11．24【解析】【分析】先分别求出以6、8为直径的三个半圆的面积，再求出三角形ABC的面积，阴影部分的面积是三角形ABC的面积加以AC为直径和以BC为直径的两个半圆的面积再减去以AB为直径的半圆的面积．【详解】解：由勾股定理不难得到AB=10以AC为直径的半圆的面积：π×（6÷2）2×12=92π＝4.5π，以BC为直径的半圆的面积：π×（8÷2）2×＝8π，以AB为直径的半圆的面积：π×（10÷2）2×12＝12.5π，三角形ABC的面积：6×8×12＝24，阴影部分的面积：24＋4.5π＋8π−12.5π＝24；故答案是:24．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．12．1或3【解析】【分析】分两种情形分别求解即可解决问题：①如图1中，当点A、C在直线l的同侧时；②如图2中，当点A、C在直线l的异侧时.【详解】①如图1中，当点A、C在直线l的同侧时，连接CO．∵，∠ACB=90°，OA=OB，∴OC⊥AB，∵∠AOE+∠EAO=90°，∠AOE+∠COF=90°，∴∠EAO=∠COF，∵∠AEO=∠CFO=90°，∴△AEO≌△OFC，∴CF=OE=1，AE=OF.=，∴2∴OF=AE=2，∴EF=3．②如图2中，当点A、C在直线l的异侧时，连接CO．∵，∠ACB=90°，OA=OB.∴OC⊥AB，同法可证：△AEO≌△OFC，∴CF=OE=1，AE=OF.∴AE=()22512-=，∴OF=AE=2，∴EF=2-1=1．故答案为1或3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题13．【解析】试题分析：要想画出一个以AB 为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数．必须是边长在小正方形的对角线上，题目中已经给出了一个边，那么另外等腰三角形的边也一定是在多个小正方形的对角线上．解：∵AB=，那么以AB 为腰的等腰三角形（且另一个顶点在格点上）在此图形中没有了，只有AB 为底边才可以得到题目要求中的三角形，如下图：△ABC 、△ABD 、△ABE ．点评：此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，此题的难点“要求使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数”．这就要求边长必须在小正方形的对角线上，因此此题有一定难度，属于中档题．14．（﹣165，365）【解析】【分析】作FH⊥OP于H，FG⊥x轴于G．首先证明△PFE≌△MOE，推出OE＝FE，OM＝PF＝3，设OE＝x，那么PE＝9−x，DE＝x，在Rt△PFE中，PE2＝FE2＋PF2，构建方程求出x即可解决问题.【详解】如图，作FH⊥OP于H，FG⊥x轴于G，∵点N的坐标为（3，9），∴MO＝3，MN＝9，根据折叠可知：PF＝OM，而∠PFE＝∠MOE＝90°，∠FEP＝∠MEO，∴△PFE≌△MOE，∴OE＝FE，OM＝PF＝3，设OE＝x，那么PE＝9−x，DE＝x，∴在Rt△PFE中，PE2＝FE2＋PF2，∴（9−x）2＝x2＋32，∴x＝4，∴EF＝4，PE＝5，∴FH＝•PF EFPE＝125，∴HE165 =，∴FG＝HO＝4＋165＝365，∴F（−165，365），故答案为（−165，365）．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形，学会利用参数构建方程解决问题．15．24【解析】【分析】根据已知及勾股定理可求得直角三角形两边的长，再根据面积公式即可求得其面积.【详解】∵Rt △ABC 中,∠C=90°，a+b=14，c=10，∴由题意得2221410a b a b c c +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩把c=10代入其他方程得：2214100a b a b +=⎧⎨+=⎩，①，②由①得：a=14−b ，代入②得：()2214-100b b +=，即214480b b -+=，因式分解得：（b-6）(b-8)=0，解得b=6，b=8，把b=6代入①得a=8；把b=8代入①得a=6；∴方程的解为：6886a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，不论a 、b 取哪一组数据,Rt △ABC 的面积均是ABC S ∆=12×6×8=24. 故答案为：24.【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.16．25cm【解析】【分析】把圆柱沿母线展开，点B 展开后的对应点为B′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，再根据勾股定理计算出AB′的长度即可．【详解】把圆柱沿母线展开，点B 展开后的对应点为B′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图所示：∵AC=24，CB′=7，∴在Rt △ACB′，25=，∴最短路程为25cm ．故答案是：25cm.【点睛】考查了平面展开-最短路径问题，先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间，线段最短和勾股定理求解．17．【解析】【分析】添加垂直辅助线,通过证明三角形全等将已知线段转化到同一个直角三角形中,利用勾股定理得解.【详解】解：如图，作2⊥AE l 于点E ，2⊥CF l 于点F ，连接AC ，则2,4AE CF ==.由正方形ABCD 可得,90AD CD ADC ︒=∠=，由垂直可得90AED DFC ︒∠=∠= 90,90ADE CDF ADC DCF CDF ︒︒∴∠+∠=∠=∠+∠=ADE DCF ∴∠=∠()ADE DCF AAS ∴∆≅∆4ED CF ∴==根据勾股定理可得AD ===对角线AC ====故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的证明及勾股定理，利用全等三角形的性质及勾股定理求线段长是解题的关键.18．A=225 B=144 x=40【解析】【分析】根据勾股定理直接求解即可．【详解】根据勾股定理，求得A 的边长为=15，故A=152=225；B=169-25=144；．故答案为：(1) A=225, (2)B=144, (3) x=40.【点睛】考查了勾股定理的运用，熟记一些常用的勾股数：9，12，15；9，40，41等，在计算的时候便于节省时间．19．17【解析】【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】由勾股定理得：楼梯的水平宽度22=-=，13512∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5=17米.故答案为17.【点睛】考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.20．12cm，30cm2．【解析】试题分析：根据直角三角形的斜边上中线性质求出AB，根据三角形的面积公式求出即可．解：∵CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，∴AB=2CD=2×6cm=12cm，∴Rt△ACB的面积S=AB×CE=12cm×5cm=30cm2，故答案为：12cm，30cm2．考点：直角三角形斜边上的中线．21．(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.【解析】【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.【详解】 (1)如图所示,AQ→QG 为最短路线,(2)因为AE ＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E ＝120－40＝80(cm),因为EG ＝60cm,所以A′G 2＝A′E 2＋EG 2＝802＋602＝10000, 所以A′G ＝100cm,所以AQ ＋QG ＝A′Q ＋QG ＝A′G ＝100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.22．13m ．【解析】试题分析：求环绕油罐一周的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．试题解析：解：如图，将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，梯子最短是AB=22125 =13（m ）．答：梯子最短是13米．考点：勾股定理的应用．23．（1）详见解析；（2）(-1，1)；（3）210；（4）详见解析.【解析】【分析】（1）把点A 向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系；（2）作线段AB 的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C 即可；（3）利用格点三角形分别求出三边的长度，即可求出△ABC 的周长；（4）分别找出A 、B 、C 关于y 轴的对称点，顺次连接即可．【详解】解：(1)建立平面直角坐标系如图所示；(2)(-1，1)；,,∴△ABC 的周长=(4)画出△A 'B 'C ′如图所示.【点睛】本题考查了作图，勾股定理，熟练正确应用勾股定理是解题的关键．24．84【解析】【分析】设BD 为x ，则14CD x =-，利用勾股定理得出方程，然后进行解答即可．【详解】解：设BD =x ，则14CD x =-，在ABD ∆和ACD ∆使用勾股定理可以得到：22221513(14)x x -=--，解得：9x =，又∵222AD AB BD =-，∴12AD =，1842ABC S BC AD ∆=⋅⋅=．【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．25．②③④【解析】试题分析：当AD 是BC 边中线时，则BD=CD ，∵△ABD 与△ACD 的周长相等，∴AB=AC ，但此时，不能得出AC=BC ，即不能得出CE 是AB 的中线，故①不正确；∵△ABD 与△ACD 的周长相等，BC=a ，AC=b ，AB=c ，∴AB+BD+AD=AC+CD+AD ，∴AB+BD=AC+CD ，∵AB+BD+CD+AC=a+b+c ，∴AB+BD=AC+CD=． ∴BD=﹣c=，同理AE=，故②③都正确；当∠BAC=90°时，则b 2+c 2=a 2，∴AE•BE=×=[a ﹣（c ﹣b ）][a ﹣（c ﹣b ）]=bc=S ，故④正确；综上可知正确的结论②③④，故答案为②③④．考点：三角形综合题．26．：解：（1）连接AC ，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DCAE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC，∴AD=AE；（2）由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．【解析】：（1）连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可；（2）设AB=x，然后用x表示出BE，利用勾股定理得到有关x的方程，解得即可．27．(1)见解析；(2)①∠EPF＝120°；②BP【解析】【分析】（1）作∠ABC的平分线BM，线段BC的垂直平分线EF，直线EF交射线BM于点P，点P即为所求；（2）①由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出∠EPM=∠FPN，推出∠EPF=∠MPN，即可解决问题；②由Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），推出BM=BN，由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出EM=FN，推出BE+BF=BM-EM+BN+NF=2BN=10，推出BN=NM=5，再利用勾股定理即可解决问题；（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值；【详解】解：(1)如图，点P即为所求；(2)①连接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM＝PN，∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，∴Rt△PME≌Rt△PNF(HL)，∴∠EPM＝∠FPN，∴∠EPF＝∠MPN，∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EPF＝120°．②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°∴Rt△PMB≌Rt△PNB(HL)，∴BM＝BN，∵Rt△PME≌Rt△PNF(HL)，∴EM＝FN，∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，∴BN＝NM＝5，∵BE＝2，PE＝5，∴EM＝3，PM4，∴BP(3)分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝7．∴EF＝∴△PMN周长的最小值为故答案为【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．28．（1）3.2；（2）3.1米；（3）①60°；②2.8米．【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出MP，即可求出AB；∆≅∆，即可求出乙房间的宽AB；（2）根据勾股定理求出AP，根据等角替换证明AMP BPN（3））①根据平角的定义即可求出∠MPN=60°；②根据PM=PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用三角形全等即可求出丙房间的宽AB ．【详解】（1）∵ 1.6MA =， 1.2AP =，∴2MP ===，∴BP=MP∴2 1.2 3.2AB AP BP =+=+=米.（2）∵ 2.5MP PN ==， 2.4MA =，∴0.7AP ===. ∵180MPN ∠=︒，∴90APM BPN ∠+∠=︒，∵90APM AMP ∠+∠=︒，∴AMP BPN ∠=∠.在AMP ∆与BPN ∆中， 90AMP BPN MAP PBN MP PN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴AMP BPN ∆≅∆，∴ 2.4MA PB ==，0.7PA NB ==，∴ 2.40.7 3.1AB PA PB =+=+=米.（3）①18060MPN APM BPN ∠=︒-∠-∠=︒；②过点N 作MA 的垂线，垂足为点D ，连接MN .∵梯子的倾斜角45BPN ∠=︒，90B ∠=︒，∴BNP ∆为等腰直角三角形，∵PM PN =，180457560MPN ∠=︒-︒-︒=︒，∴PNM ∆为等边三角形，604515MND ∠=︒-︒=︒.∵75APM ∠=︒，∴15AMP ∠=︒.MN MP A MDNAMP MND =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴()AMP DNM AAS ∆≅∆，∴ 2.8MA DN AB ===米．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，根据PM=PN 以及∠MPN 的度数得到△PMN 为等边三角形是解题的关键．。

数学提高题专题复习勾股定理练习题及答案

10．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．
【详解】
16．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90º，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．
（1）求点的坐标；
（2）判断与的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出的周长.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.
【详解】
利用勾股定理可得：
，，
∴
故选B
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求解即可，注意要确认a是直角边还是斜边.
【详解】
解：当a是直角三角形的斜边时, ；
当a为直角三角形的直角边时, ．
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10,试求AB的长.

人教版小升初数学复习专项《勾股定理》能力达标卷

人教版小升初数学复习专项《勾股定理》能力达标卷一、基础题1、勾股定理的内容：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么（），即直角三角形的两条直角边的（）等于斜边的（）。

2、直角三角形的两条直角边分别是5厘米和12厘米，则这个直角三角形的面积是多少？3、如图在直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，则AC等于多少？4、如图在直角三角形ABC中，AB＝5，BC＝12，则AC等于多少？5、如图在直角三角形ABC中，AB＝8，AC＝17，则BC等于多少？二、提高题1、如图在直角三角形ABC中，AB＝6，BC＝8，那么AC上的高BD是多少？2、如图，阴影部分是一个长方形，则这个长方形的面积是多少？3、如图所示，在直角三角形ABC中，周长是24，AB：BC＝3：4，那么这个直角三角形的面积等于多少？4、如图所示，在等腰三角形ABC中，腰长AB是10厘米，底边BC是16厘米，则这个等腰三角形的面积是多少？5、如图所示，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，以AC为直径的圆恰好经过点B，若AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是多少？6、“中国号”帆船在中峡湾航行，由于风向的原因先向正东方向航行了3千米，然后向正南方向航行了4千米，这时它离出发点的距离是多少千米？7、如图所示，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是多少？8、如图所示，有两棵树，一树高是10米，另一棵树高是4米，两棵树相距8米，一只鸟从一棵树稍飞到另一棵树梢，至少要飞行多少米？三、竞赛题1、如下图所示，求出梯形ABCD的面积。

2、如图所示，在直角三角形ABC 中，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径画半圆，面积分别计为1S ，2S ，则1S ＋2S 的值是多少？3、已知某经济开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，经测量∠B＝90°，AB ＝400米，AD ＝1300米，CD ＝1200米，BC ＝300米，计算这块空地的面积是多少？4、如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE ＝3厘米，AB ＝8厘米，求图中阴影部分的面积。

八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理) 拔高练习(含答案)

八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练
习
试卷简介:本试卷为卢老师八年级线下班第一讲的测试卷，在看卢老师的课程之前，先用这套试卷来检验一下自己，共一道题，为常考题型：拱桥问题，这里的易错点有两个，一是拱桥半径找错；二是不知如何比较
学习建议:先回顾一下教材中勾股定理这一章节的知识
一、解答题(共1道，每道100分)
1.一辆卡车装满货物后，高4米，宽
2.8米，这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
答案：能通过
解题思路：解：∵卡车在隧道中间位置能通过的可能性最大
∴如图，O为EF的中点，OE=1.4m，OG为圆的半径，OG=2m
在直角△OEG中
∵（4-2.6）²=1.4²=1.96，2.04>1.96
∴在相同宽度下隧道的高度高于卡车的高度，卡车能通过该隧道
易错点：一、半径找错；二、比较完，下结论的时候出错试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。

勾股定理提高练习题精编

勾股定理练习(根据对称求最小值)基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5．（1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；（2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2，M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为．6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，则EM+BM的最小值为．7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．26C．3 D．69、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.几何体展开求最短路径1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm？2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。

第1章勾股定理北师大版八年级数学上册能力提升(含答案)

第一章勾股定理单元测试（能力提升）一、单选题1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（）A．3、4、5B．5、12 、13C．7、24、25D．7、9、13【答案】D【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：选项A：∵3²+4²=5²，∴能构成直角三角形三边，故选项A不符合题意；选项B：∵5²+12²=13²，∴能构成直角三角形三边，故选项B不符合题意；选项C：∵7²+24²=25²，∴能构成直角三角形三边，故选项C不符合题意；选项D：∵7²+9²=49+81=130≠13²，∴不能构成直角三角形三边，故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB 的长为（）．A．B．C．10D．【答案】A设，，在和中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解．设，，在中，，①在中，，②①＋②，，∴，在Rt△ABC中，，故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键．3．如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为( )A．B．5C．D．【答案】D把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．解：如图示，将正方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，．答：蚂蚁从点爬行到点的最短距离为．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．4．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c 三个正方形的面积之和为（）A．11B．15C．10D．22【答案】B【解析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.利用勾股定理可得：，，∴故选B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.5．如图1是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以【答案】A【解析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．解：如图所示：可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．故选：．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．6．下列命题①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】C【解析】分别利用勾股数的定义、勾股定理以及等腰直角三角形的边的关系分别判断得出即可．解：①如果a，b，c 为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，是真命题；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这三角形的三个内角度数为：45°，60°,75°，因此这个三角形不是直角三角形，原命题是假命题；③如果一个三角形的三边是12、25、21，因为，故此三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命题；故选：C．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题关键．7．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连接DE，证明DE=DC=5，推出AB=10，AD=6，进而求出的面积即可得出结果．如图，连接，作于F点，是边上的高线，在中，根据“斜中半”定理可知，，，，为等腰三角形，且由勾股定理知：，，，是边上的中线，，，得，，，在中，由“三线合一”性质，知G为CE的中点，，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识点，解决问题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC 中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD 即可．解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，∴△BAF≌△EAF(SAS)∴BF=EF∴AF⊥BE又∵AF＝4，AB＝5，∴在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴即∵，∴∴∴∴在Rt△BDF中，，，∴故选：A【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．连接BE，延长CD 交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=BE∵D点是AB的中点∴BD=AD，∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA∵BD=ED∴∠DEB=∠DBE∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90°在Rt△AEB中，由勾股定理得：∴∵∴∴故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．二、填空题11．如图,已知OA=AB,数轴上点C表示的实数是_____________，点E表示的实数是____________.【答案】【解析】利用勾股定理求出OB，即可得到点C表示的实数；利用勾股定理求出OD可得到点E表示的实数.解：由题意得：，∴，即点C表示的实数是，∴，∴，即点E表示的实数是，故答案为：，.【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，熟练应用勾股定理是解题关键.12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC=6, 一个边长为2的正方形DEFH沿边CA方向向下平移，平移开始时点F与点C重合，当正方形DEFH的平移距离为__________时，有DC2=AE2+BC2成立，【答案】【解析】连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,由∠A=30°，∠B=90°，BC=6,得到AC=12，AE=12-2-x=10-x,再根据DC2=AE2+BC2列出方程即可求解.连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,∵∠A=30°，∠B=90°，BC=6,∴AC=12，AE=12-2-x=10-x,∴AE2+BC2=（10-x）2+62，∵DC2=AE2+BC2∴22+(x+2)2=（10-x）2+62，解得x=【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理进行求解.13．若直角三角形的三边分别为a、a＋b、a＋2b，则的值为___【答案】3或－5【解析】若b是正数，则a、a＋b、a＋2b中a+2b最大，即a+2b是斜边，由勾股定理可得(a+2b) 2＝a2＋(a+b) 2，化简得a2－2ab－3b2＝0 ，所以(a+b)(a-3b)＝0 ，又a+b是一条直角边，因此a+b>0，所以a＝3b>0，即=3 ；若b是负数，则a、a＋b、a＋2b中a最大，即a是斜边，由勾股定理可得a2＝(a+b) 2＋(a+2b) 2，化简得a2＋6ab＋5b2＝0 ，即(a+b)(a＋5b)＝0 ，同上a+b>0，所以a＝-5b，即=-5.所以的值为3或－5.点睛：本题考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决本题的关键.14．如图，在中于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作于点E，连接PB，则的最小值为________.【解析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案∵∴点B与点C关于AD对称过点C作CE⊥AB于一点即为点P，此时最小∵∴BD=2在Rt△ABC中，∵S△ABC=∴得故此题填【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题15．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．【答案】0.5【解析】结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE===1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.【答案】21【解析】在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．如图所示，在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠EAC．在△AEC和△ADC中，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF⊥AB，∴EF=BF，设EF=BF=x．∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=102-x2，∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．17．定义：如图，点、点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点、点是线段的勾股分割点．已知点点是线段的勾股分割点，，则_____．【答案】或【解析】①当MN为最长线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最长线段时，由勾股定理求出BN即可．解：当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，；当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，．综上所述：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，注意分类思想的应用．18．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为__________海里．【答案】【解析】根据题目中的已知角度，求出，再利用勾股定理列方程计算．由题意知，，在中，，，则，解得：故答案为：15【点睛】本题考查了勾股定理的应用，突破口在于找到直接三角形．19．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和4cm，高为6cm．如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要_______________cm．（结果用含n 的代数式表示）【答案】2【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．解：将长方体展开，连接A、B．从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，则AB＝=2cm．故填：2.【点睛】本题主要考查平面展开−最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答．20．如图，已知，过作，且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么______．【答案】．【解析】利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面积公式计算三角形面积，从而发现规律．解：由题意可得在中，∴同理可得：…∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形及数字的规律探索，准确利用勾股定理及三角形面积公式进行计算是解题关键．21．如图，四边形ABCD中，点E在CD上，交AC于点F，，若，，则__________．【答案】7【解析】证明△ABF≌△DCA可得AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，可得DG=GC=3，GF=GC-FC=1，在△ADG中利用勾股定理即可求得AD，从而求得AC．解：∵BE∥AD，∴∠AFB=∠CAD，∵，∴△ABF≌△DCA（AAS），∴AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD=45°，，∴DG=GC=3，∴GF=GC-FC=3-2=1，设AD=AF=x，则AG=x-1，由勾股定理得32+（x-1）2=x2，解得x=5，∴AD=5，BF=AC=AF+CF=5+2=7，故答案为：7．【点睛】此题考查勾股定理以及全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．22．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）【答案】①②③【解析】由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA），结合可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP，可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④；解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE= ，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，，故②正确，∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△APH=S△AED，故③正确，若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题23．如图，已知与有一个公共点C，其中，若，，，，.求证：．【答案】见详解.【解析】先利用勾股定理求出AC2和CE2的值，再根据勾股定理的逆定理证明△ACE为直角三角形.证明：∵，∴在中，根据勾股定理同理可求.在中∵..∴.∴为直角三角形.【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形，本题依次可证.24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2．【答案】证明见解析．【解析】根据即可得证．如图，过点D作，交BC延长线于点F，连接BD，则，由全等三角形的性质得：，，，，即，整理得：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握“面积法”是解题关键．25．如图，某小区对位于小路AC同侧的两个喷泉A，B的管道进行铺设．供水点M在小路AC上，喷泉A，B的距离是400米，供水点M到AB的距离MN是150m，BM=250m．（1）供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？（2）改变供水M的在AC上的位置，若使管道BM最短，求出此时供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？．【答案】（1）500m；（2）560m【解析】（1）根据勾股定理依次求出BN和AM，供水管道总长即为AM+BM；（2）根据垂线段的性质可画出对应图，再根据勾股定理分别在Rt△BM M '和Rt△BAM '中表示，列出方程求解即可求得MM '，由此可求得和AM '即可求解．解：（1）由题意可得：MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90°，在Rt△MNB中，∠MNB=90°，BN＝，∵AB＝400，∴AN＝AB﹣BN＝200，在Rt△AMN中，∠MNA=90°，AM＝，∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝250+250＝500m；（2）由题意可得：BM '⊥AC，AM=BM=250，AB=400，∴∠BM 'M=90°，设MM '=x，则AM '=x+250，在Rt△BM M ' 中，∠BM 'M=90°，，在Rt△BAM ' 中，∠BM 'M=90°，，∴，∴，∴，∴，∴供水点M ' 到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝320+240＝560m.【点睛】本题考查勾股定理的应用，线段垂线段的性质．（2）中能正确作出图形，并熟练掌握方程思想是解题关键．26．如图1，在中，，，是的高，且．（1）求的长；（2）是边上的一点，作射线，分别过点，作于点，于点，如图2，若，求与的和．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）根据勾股定理可求AD，再根据勾股定理可求CD，根据BC=BD+CD即可求解；（2）根据三角形面积公式可求AF与CG的和．（1）在Rt△ABD中，ADB=90，由勾股定理得：AD=，在Rt△ACD中，ADC=90，由勾股定理得：CD=，∴BC=BD+CD=1+2=3，∴BC的长为3；（2）∵AF⊥BE，CG⊥BE，BE=，∴，=，=，而=，∴=，即AF与CG的和为．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．27．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作【解析】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算；（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可．解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km，所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18，∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时，∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．28．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．（1）如图1，已知，，，求BD的长；（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析【解析】（1）利用勾股定理运算即可；（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．解：（1）∵∴∴∴（2）∵平分∴又∵，∴∴，∴∴∵∴取的中点，连接，如图2所示：则∴∵∴∴∴∴∴【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．29．（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）．（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．【答案】（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处．【解析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可．（1）由面积相等可得，∴，∴，∴．（2），，∴．故答案为：（3）设千米，则千米．∵到A，B两个城市的距离相等，∴，即，由勾股定理，得，解得．即O应建在离C点52.5千米处．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．30．阅读下面的材料，并解决问题：数学家与勾股数组定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边的长都是正整数，且满足，那么数组称为一组勾股数．每一组勾股数都能确定一个边长都为正整数的直角三角形，研究勾股数对研究直角三角形具有重要意义，历史上很多数学家都对勾股数进行了研究：1．我国西周数学家商高在公元前年发现了“勾三，股四，弦五”，数组是世界上发现最早的一组勾股数．2．毕达哥拉斯学派提出勾股数公式为，其中为正整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)3．柏拉图提出的勾股数公式为，其中为大于的整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为，其中是互质的奇数．(注：的相同倍数组成的一组数也是勾股数) 5．国外最先给出勾股数通解公式的是希腊的丢番图，其公式为，其中是互质且为一奇一偶的任意正整数．问题解答：通过观察柏拉图提出的勾股数公式特点，可知_；直接写出一组勾股数，且这组数不能由柏拉图提出的勾股数公式得出；通过阅读可知，一组勾股数中至少有一个数是偶数，请写出一组勾股数，使其中含有数字．【答案】（1）-2；（2）答案不唯一，例如；（3）答案不唯一，例如【解析】（1）直接令b-c即可求解；（2）根据题意即可写出勾股数；（3）根据题意即可写出勾股数．解：（1）∵∴b-c=故答案为：-2．答案不唯一，例如答案不唯一，例如．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式、满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．31．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为___；位置关系为．拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD 之间的关系是否仍然成立请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AB、AE、AD，把线段AB 绕点A旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）．【解析】（1）问题发现，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，可证AE⊥BD；（2）拓展探究，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，可证AE⊥BD；（3）解决问题，由由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，由三角形的三边关系可求解．解：（1）问题发现如图①，延长BD交AE于H，∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCD＝90°，CA＝CD，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，∵∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠EAC＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；拓展探究：（2）成立．理由：如图2，设与BD相交于点G．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∵，，∴，∴，∴．拓展延伸：（3）AE的最大值为．如图3，连接BD．∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，当点在线段DA的延长线时等号成立，故AE的最大值为．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，证明△ACE≌△DCB是本题的关键．。

勾股定理大题

1、住院医师规范化培训中，以下哪项是师资培训的重要目标？A. 提高医师的数学运算能力B. 增强医师的临床诊疗技能与教学能力C. 提升医师的文学作品鉴赏力D. 加强医师的物理实验操作能力（答案：B）2、在住培师资培训中，关于临床带教方法，下列哪项描述是不正确的？A. 应注重理论与实践相结合B. 鼓励住院医师自主学习与探索C. 只需传授理论知识，无需关注实践操作D. 强调临床思维与决策能力的培养（答案：C）3、住院医师规范化培训师资应具备的核心素质不包括？A. 扎实的医学专业知识B. 良好的临床操作技能C. 精通外语，特别是医学英语D. 优秀的教学与沟通能力（答案：C）4、以下哪项不是住培师资在培训住院医师时应遵循的原则？A. 以患者为中心，确保医疗安全B. 强调团队协作，培养团队精神C. 过分依赖高科技医疗设备，忽视基本功训练D. 注重医德医风教育，培养职业素养（答案：C）5、在住培师资培训中，关于临床案例教学的说法，哪项是正确的？A. 案例应尽量选择罕见病例，以增加挑战性B. 案例应具有代表性，能够反映常见疾病的诊疗过程C. 案例分析时，只需关注诊断结果，无需讨论诊疗思路D. 案例教学不适用于住院医师的初期培训阶段（答案：B）6、住院医师规范化培训中，师资应如何指导住院医师进行临床操作？A. 直接示范，让住院医师模仿B. 先让住院医师自行操作，再给予指导C. 通过视频教学代替实际操作指导D. 在确保安全的前提下，逐步引导住院医师参与并独立完成操作（答案：D）7、关于住培师资的继续教育，以下哪项说法是不正确的？A. 师资应定期参加专业培训，更新医学知识B. 师资的继续教育应以提升临床技能为主，无需关注教学理论C. 鼓励师资参与学术交流，拓宽视野D. 师资的继续教育应涵盖医德医风、法律法规等内容（答案：B）8、在住培师资培训中，关于住院医师评估与反馈的说法，哪项是正确的？A. 评估应主要依据住院医师的理论考试成绩B. 反馈应具体、及时，并注重正面激励C. 评估与反馈只需在培训结束时进行D. 评估应侧重于住院医师的个人品质，而非专业能力（答案：B）9、住院医师规范化培训中，师资在指导住院医师进行科研活动时，应重点强调？A. 科研项目的经费申请与管理B. 科研论文的发表数量与期刊影响因子C. 科研思维的培养与科研方法的掌握D. 科研成果的商业化应用与转化（答案：C）10、以下哪项不是住培师资在培训住院医师时应关注的能力培养？A. 临床诊疗能力B. 医学人文素养C. 科研创新能力D. 高级数学运算能力（答案：D）。

(2021年整理)勾股定理拓展提高题

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B A6cm3cm1cmCBA勾股定理拓展提高题1、如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ．2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数_________图1 图2 图33、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x,则x 2-10的立方根为5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为图4 图56、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b,那么()2b a +的值为（）（A ）13 (B)19 （C)25 （D ）169• •ABADEBC7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为三角形8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄,DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b ，且32=EFGH S 正方形。

勾股定理提高训练

一、复习回顾基础知识勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.证明方法：赵爽弦图。

勾股定理的应用：勾股定理常用于直角三角形中的计算。

常用的勾股定理模型：巩固练习;在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，C＝24，求C边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．二、经典例题考点一直角三角形中的有关计算例1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，,102 BE 求AB 的长．针对训练：如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．例2、已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠A=45°，∠B=60°，求AB.CB针对训练：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°AD 平分∠BAC ， AC=6cm ，BC=8cm. （1）求线段CD 的长；（2）求△ABD 的面积.DCB A延伸训练：1、如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求AC 的长．BCDA2、在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．考点二折叠问题中的计算例3、如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．针对训练：如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．考点三直角三角形中有关的证明例4、．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．针对训练：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．延伸训练：已知：如图，△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D、E分别为斜边AB上的点，且∠DCE＝45°．求证：DE2＝AD2＋BE2．考点四：与勾股定理有关的探索规律题例5、如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……，已知正方形AB－CD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，……，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝________，S n＝__________．针对训练：细心观察图，认真分析各式，然后解答同题：(1)用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出10OA 的长； (3)求出222212310S S S S ++++的值.考点五勾股定理的实际应用例6、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．CBA 针对训练：如图，两个村子A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．总结提高：三、上次作业讲评四、课后作业1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是 A ．13 B ．26 C ．47 D ．94 2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（） A ．521．25 C ．55 D ．354．某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为． 5．已知Rt △ABC 的周长是344+，斜边上的中线长是2，则S △ABC ＝_______ 6．如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．52015 10CB 7题CABS 1S 2 ACD6题BCA30°7．如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．8.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为．ABCEH第12题图8题9．如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米． 10、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ． 11． (2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。

2021-2022学年下学期初中数学人教新版八年级同步经典题精练之勾股定理

2021-2022学年下学期初中数学人教新版八年级同步经典题精练之勾股定理一．选择题（共10小题）1．（2021秋•兴义市期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝7，b＝24，c＝252．（2021秋•顺德区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（）A．B．C．D．3．（2021秋•顺德区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．145．（2021秋•盐田区校级期末）如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（）A．B．C．D．16．（2021秋•阳信县月考）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝5，则c的长为（）A．2B．C．4D．4或7．（2021春•庐阳区期末）下列各组数据为勾股数的是（）A．5，12，13B．，，C．1，，D．2，3，4 8．（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm9．（2021秋•嵩县期末）如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m10．（2021春•新丰县月考）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km．A．5B．10C．15D．25二．填空题（共6小题）11．（2021秋•高邑县期末）如图，长为12cm的弹性皮筋直放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则弹性皮筋被拉长了．12．（2020秋•青岛期末）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是．13．（2021秋•茂名期中）如图所示，校园内有两棵树相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．14．（2021秋•即墨区期中）如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从A处先往东走9m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走6m往东拐，仅走1m就到达了B，问A、B两点之间的距离为m．15．（2021秋•徐州期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了120m，乙往南偏东45°方向走了90m，这时甲、乙相距m．16．（2021春•前郭县期末）如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是．三．解答题（共4小题）17．（2021秋•苏州期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE 垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．18．（2021秋•海州区期末）如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m，若每平方米草皮需300元，则在该空地上种植草皮共需多少元？19．（2021秋•渭滨区期末）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts．（1）出发2s后，求MN的长；（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？（3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值．20．（2021秋•麦积区期末）一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时BC为0.7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑动了多少米？2021-2022学年下学期初中数学人教新版八年级同步经典题精练之勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021秋•兴义市期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝7，b＝24，c＝25【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A．∵12+22≠32，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵22+32≠42，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵22+42≠52，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵72+242＝252，∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．2．（2021秋•顺德区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．【解答】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．3．（2021秋•顺德区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的证明．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+c c，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．4．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．14【考点】勾股定理的证明．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形．【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．5．（2021秋•盐田区校级期末）如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（）A．B．C．D．1【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，则由勾股定理知，AB＝＝＝．由AE•BC＝AB•CD知，CD＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求得AB边的长度．6．（2021秋•阳信县月考）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝5，则c的长为（）A．2B．C．4D．4或【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】分两种情况利用勾股定理解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝5，则c＝或c＝，故选：D．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据分两种情况利用勾股定理解答．7．（2021春•庐阳区期末）下列各组数据为勾股数的是（）A．5，12，13B．，，C．1，，D．2，3，4【考点】勾股数．【专题】三角形；运算能力．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、122+52＝132，能构成直角三角形，故符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形且都不是整数，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．8．（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．9．（2021秋•嵩县期末）如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB＝（m），∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′＝（m），∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB 和AB′是解题的关键．10．（2021春•新丰县月考）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km．A．5B．10C．15D．25【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15（km），所以，AE＝15km，故选：C．【点评】本题考查勾股定理的运用，能够抓住题目提供的DE＝CE信息是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2021秋•高邑县期末）如图，长为12cm的弹性皮筋直放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则弹性皮筋被拉长了8cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：根据题意得：AD＝BD，AC＝BC，AB⊥CD，则在Rt△ACD中，AC＝AB＝6cm，CD＝8cm；根据勾股定理，得：AD＝＝＝10（cm）；所以AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣12＝8（cm）；即橡皮筋被拉长了8cm；故答案为：8cm．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键．12．（2020秋•青岛期末）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是101寸．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到答案．【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴AB＝2r＝101（寸），故答案为：101寸．【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．13．（2021秋•茂名期中）如图所示，校园内有两棵树相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞10米．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树高度相差为AE＝13﹣7＝6m，之间的距离为BD＝CE＝8m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC＝＝10m，即小鸟至少要飞10m．故答案为：10．【点评】本题考查勾股定理的应用，主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可．14．（2021秋•即墨区期中）如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从A处先往东走9m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走6m往东拐，仅走1m就到达了B，问A、B两点之间的距离为13m．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过点B作A所在水平直线的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，，根据题意可得，A处与B处水平距离为8﹣4+1＝5（m），竖直距离为3+9＝12（m），∴AC＝5m，BC＝12m，∴AB＝＝13（m），故答案为13．【点评】本题主要考查勾股定理的实际应用问题，解题关键是构造直角三角形模型，分别找到对应边的长度，利用勾股定理求解．15．（2021秋•徐州期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了120m，乙往南偏东45°方向走了90m，这时甲、乙相距150m．【考点】方向角；勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】直接利用方向角画出图形，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得，∠AOB＝90°，AO＝120m，BO＝90m，则AB＝＝150（m）．故答案为：150．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键．16．（2021春•前郭县期末）如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是5m．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】设水面以下荷叶的高度为OH＝hm，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）m，在Rt△OHB中，BH＝3m，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设水面以下荷叶的高度为OH＝hm，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）m，如图所示：在Rt△OHB中，BH＝3m，由勾股定理得：OH2+BH2＝BO2，即h2+32＝（h+1）2，解得：h＝4（m），∴h+1＝5（m），∴荷叶的高度为5m，故答案为：5m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．三．解答题（共4小题）17．（2021秋•苏州期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE 垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得x＝2.5故滑道AC的长度为2.5m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．18．（2021秋•海州区期末）如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD．现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m，若每平方米草皮需300元，则在该空地上种植草皮共需多少元？【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识．【分析】连接AC，由勾股定理得AC2＝52（m2），再由勾股定理的逆定理证△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，然后求出S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝24（m2），即可求解．【解答】解：连接AC，如图：在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52（m2），在△ABC中，AB2＝132（m2），BC2＝122（m2），∵52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝•AC•BC﹣AD•CD＝×5×12﹣×3×4＝24（m2），∵每平方米草皮需300元，∴在该空地上种植草皮共需费用为：24×300＝7200（元）．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形是解题的关键．19．（2021秋•渭滨区期末）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts．（1）出发2s后，求MN的长；（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？（3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值．【考点】等腰三角形的判定；勾股定理．【专题】动点型；三角形．【分析】（1）由题意求得BQ和BP，由勾股定理可求出答案；（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）求出BQ，分两种情况可求出答案．【解答】解：（1）当t＝2时，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm．∵AB＝16cm，∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，MN＝＝＝4（cm），即MN的长为4cm．（2）由题意可知AN＝2t，BM＝4t，又∵AB＝16cm，∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm，当△PQB为等腰三角形时，则有BM＝BN，∴16﹣2t＝4t，解得t＝，∴出发s后△MNB是等腰三角形．（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm，当点M在AC上运动时，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t，∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12，∵△BCM为等腰三角形，∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况：①当BM＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC，则CE＝CM＝2t﹣6，在Rt△ABC中，可求得BE＝；在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去），②当CM＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6，③当CM＝BM时，则∠C＝∠MBC，∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA，∴∠A＝∠MBA，∴MB＝MA，∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5，综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形．【点评】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．20．（2021秋•麦积区期末）一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时BC为0.7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B在水平方向上滑动了多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据梯子的长度不变求出CB1的长，根据BB1＝B1C﹣BC即可得出结论．【解答】解：∵Rt△OAB中，AB＝2.5m，BC＝0.7m．∴AC＝＝2.4（m），同理，Rt△CA1B1中，∵A1B1＝2.5m，CA1＝2.4﹣0.4＝2（m），∴B1C＝＝1.5（m），∴BB1＝B1C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．答：梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．考点卡片1．方向角方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方向角以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．2．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．5．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．6．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…7．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．。

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勾股定理能力提高训练题
一.勾股定理中方程思想的运用
例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）
二.勾股定理中分类讨论思想的运用
例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

三.勾股定理中类比思想的运用
例题3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明
四.勾股定理中整体思想的运用
例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．
五.勾股定理中数型结合思想的运用
例题5．在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
练习题
1、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C ，的对边长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L. （1）
（2）、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么S/L= （用含m 的式子表示）（3）、请说明你写的猜想的推理过程。

2、在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=3.在Rt △ABC 外部拼接一个合适的三角形，使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。

要求画出图形并计算出边长。

3、（09.恩施）如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B 与点C 的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）
A ．5√21 B. 25 C. 10√5+5 D. 35
4. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.-n 2,b =2mn ,c =m 2+n 2（其
中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.
5、（2009•赤峰）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度．请你求出这块草地的
面积．
6、（2008•南昌）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处；（1）求证：B′E=BF ；
（2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并给予证明．
7、（2007•安徽）如图，DE 分别是△ABC 的边BC 和AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等．设 BC=a ，AC=b ，AB=c ．（1）求AE 和BD 的长；
（2）若∠BAC=90°，△ABC 的面积为S ，求证：S=AE•BD ．
8、（2010•河南）（1）操作发现：
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF=DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF ，求的值；
（3）类比探求：
保持（1）中条件不变，若DC=nDF ，求
的值．
9.（2010哈尔滨）．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为度．125
24AD DC ==，
10．（2010湖北省咸宁市）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，
90DAB ∠=︒，6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A -C -B
的交点为Q ．点
C B
A
M 运动的时间为t （秒）．
（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；
（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；
（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ
RQ 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说
明理由．
11.（2010年眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
12． (10重庆潼南县)如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）证明：△ABE ≌△DAF ；（2）若∠AGB=30°，求EF 的长．
13.（2010山西）．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则
DE 的长是______________． 14．（2010山东德州）如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互
相垂直，则树的高度为_____m.
15.（2010·浙江温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边_PQ 上，那么APQR 的周长等于． 17.（2010·绵阳）．如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB = a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为．答案：a 4
26-
A B
C
D
E （第13题）
A
C
B
D
E
F
G
1
423
题图
24 A
B
C
D
（备用图1）
A
B
C
D
（备用图2）
Q A
B C
D
l M
P （第24题）
E 45
60
A ′ B
M
A O
D
C
第14题图
A 时
B 时。