离散数学及应用配套网站
离散数学及应用
强连通与弱连通
在有向图中，如果任意两个节点 之间都有路径，则称图是强连通 的；在无向图中，如果任意两个 节点之间都有路径，则称图是弱 连通的。
最短路径问题
问题描述
Dijkstra算法
在一个图中，找到两个节点之间的最短路 径。
用于在有向图中找到单源最短路径。
Bellman-Ford算法
Floyd-Warshall算法
离散数学中的图论、集合论等在土木工程中用于描述和分析建
筑结构、道路网络等。
经济学中的应用
决策分析
离散数学中的概率论、统计决策理论等在经济学中用于决策分析，如风险评估、效用函数等。
博弈论
离散数学中的博弈论在经济学中用于研究竞争和策略行为，如寡头竞争、拍卖理论等。
THANKS
感谢观看
归纳推理
从特殊到一般的推理 方式，即从个别性前 提推出一般性结论的 推理。
推理规则
在逻辑推理中需要遵 循的规则，如“假言 推理”、“拒取式” 、“析取三段论”等 。
逻辑谬误
在逻辑推理中需要避 免的错误，如“偷换 概念”、“循环论证 ”等。
05
离散概率论
离散随机事件
01
定义
离散随机事件是样本空间中有限 或可数的子集，通常表示为E、F 、G等。
03
图论
图的基本概念
01 节点
图中的顶点称为节点。
03 边
连接两个节点的线段称为
边。
02 定向图与无向图
边是否有方向决定了图的
定向或无向性。
04 权重
某些边可以带有数值，表
示某种度量或权重。
图的连通性
连通性
如果图中的任意两个节点之间都 存在路径，则称图是连通的。
离散数学及其应用集合论部分课后习题答案
作业答案：集合论部分P90:习题六5、确定下列命题是否为真。
（2）ÆÎÆ（4）{}ÆÎÆ（6）{,}{,,,{,}}a b a b c a b Î解答：（2）假（4）真（6）真8、求下列集合的幂集。
（5）{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}（6）{{,2},{2}}Æ解答：（5）集合的元素彼此互不相同，所以{2,1,1,2}{1,2}=，所以该题的结论应该为{,{{1,2}},{{2,1,2}},{{2,1,1,1}},{{1,2},{2,1,2},{2,1,1,1}}}Æ（6）{,{{,2}},2,{{,2},{2}}}ÆÆÆ9、设{1,2,3,4,5,6}E =，{1,4}A =，{1,2,5}B =,{2,4}C =,求下列集合。
（1）A B（2）()A B 解答：（1）{1,4}{3,4,6}{4}A B ==（2）(){1}{2,3,4,5,6}A B ==31、设A,B,C 为任意集合，证明()()()()A B B A A B A B --=-证明：()(){|}{|()()}{|()()()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()(A B B A x x A B x B A x x A x B x B x A x x A x B x B x B x A x A x B x A x x A x B x B x A x x A B x A x B x x A B x A x B x x A B x A B x x AB x A--=Î-ÚÎ-=ÎÙÏÚÎÙÏ=ÎÚÎÙÏÚÎÙÎÚÏÙÏÚÏ=ÎÚÎÙÏÚÏ=ÎÙÏÚÏ=ÎÙÎÚÎ=ÎÙÎ=ÎÙÎ)}B A B AB=-34、设A,B 为集合，证明：如果()()A B B A AB --=，则AB =Æ。
数学网站
/Mathematics/index.htm麻省理工学院开放式课程网页，很多视频资料/courses/index.html富有特色的数学网站大观/ide/index.html这是美国Addison Wesley Longman出版公司属下的一个网站，提供了该公司出版的大量微分方程教材的实时模拟实验。
对于一些常见的常微分方程，你可以在这个网站看到物理实验的网上模拟和相应动力系统的相图变化。
类似这样的网上模拟在美国许多大学甚至中学已经成为多媒体教学的一部分进入课堂，深受学生欢迎。
这里的实验包括各种振动模型(二次常微分方程)，生态方程组和混沌模型等。
网站的程序是由Java语言编成的，虽然它也在市场上定价出售，但是你可以在网站上免费欣赏所有精彩的动态模拟。
/mathserv/index.html这是美国Vanderbilit大学数学系和商学院联合建立的一个网站。
在这个网站上，你可以运行各种微积分和常微分方程的基本运算：你输入所有必要信息后几秒钟内，不管多复杂的运行结果和图象都会马上显示在计算机屏幕上。
网站的数学运算功能是建立在著名数学软件Mathematica基础上的，可以说这是一个简单的网上Mathematica计算机器(它并不是一般意义下的计算器，它的功能比计算器强得多)，但是你不需要花天文数字的价钱购买Mathematica，甚至不用懂得Mathematica的编程方式，所以对于数学或者各种理工科工作者来说，这是一个好极了的工具。
它的功能包括定积分和不定积分，微分，极限，因式分解，牛顿法，二维和三维函数绘图，解各类基本常微分方程等等。
/在一些国家，许多家谱的数据库已经上网，人们可以在网上查到他们的祖宗八代。
而数学家常常也把自己的博士导师称为他们的“数学父亲”，这样自然也就有了数学家的家谱。
一个可搜索的数学家家谱已经开始在美国明尼苏达州立大学建立起来了，一半以上的美国大学数学系为它的建立提供了它们的博士毕业生的历史资料，现在这一网站已经搜集了历史上48294位数学家的“出生身世”。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案1. 引言《离散数学及其应用》是一本经典的离散数学教材，是计算机科学和数学专业的必修课程。
本文将为读者提供《离散数学及其应用》第2版课后练习题的答案，并希望能够帮助读者加深对离散数学的理解。
2. 答案解析第一章习题 1.11.给定一组七个数字 {1, 3, 3, 4, 6, 9, 12}，请给出这组数字的中位数。
答案：中位数为 4。
2.给出两个整数 a 和 b 的三进制表示： a = 111011，b = 101101。
求 a + b。
答案：a + b = 1011000。
3.证明奇奇数的积为奇数。
答案：令两个奇数分别为 2n + 1 和 2m +1，则有：(2n + 1) × (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1，即奇奇数的积还是一个奇数。
习题 1.21.证明：如果一个整数 n 能同时被 2 和 3 整除，则它也能被 6 整除。
答案：首先，n 能同时被 2 和 3 整除，则分别有 n = 2k 和 n = 3m。
联立方程组 2k = 3m，得 k = (3/2)m。
因此，n = 2k = (3m/2) × 2 = 3m× (2/2) = 6m，可以被 6 整除。
2.求 10010 的八进制表示。
答案：将 10010 转换为四位一组的二进制数，得 0010 0100。
将 0010 和 0100 分别转换为八进制数，得 2 和 4。
因此，10010 的八进制表示为 24。
3.已知 547a5 是 11 的倍数，求 a 的值。
答案：根据 11 的倍数的规律，将 547a5 中的奇数位数字相加，再将偶数位数字相加，然后将两个和的差求出来： (5 + 7 + a) - (4 + 5) = 13 + a - 9 = a + 4。
因为547a5 是 11 的倍数，所以 a + 4 也必须是 11 的倍数。
离散数学及应用PPT课件
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
离散数学及其应用(课后习题)
离散数学及其应用（课后习题）习题1.12. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若224+>，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令P ：天气好。
Q ：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）P Q →。
（3）Q P →。
（6）P Q ↔。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。
（3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。
（6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。
（10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）P Q →。
（3）P Q →。
（6）Q P ⌝→。
（10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。
习题1.41. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。
证明：()(()()) ()()) ()() ()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧（4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。
证明：()()()() () ()P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
好用的高等数学教材网站
好用的高等数学教材网站一、简介如今，在互联网的发展下，越来越多的教育资源网站涌现出来，为学生和教师提供了更丰富、更便捷的学习和教学方式。
本文将介绍几个好用的高等数学教材网站，为学习高等数学的人士带来更好的学习体验。
二、MathwayMathway是一个功能强大的数学问题解答工具。
无论是代数、几何、微积分还是其他高等数学领域，Mathway都能为用户提供详细的解题步骤和答案。
在Mathway上，用户可以输入待解决的数学问题或方程式，系统会自动计算并给出解答，帮助用户更好地理解数学知识。
此外，Mathway还提供了应用程序，方便用户随时随地解决数学问题。
三、Khan AcademyKhan Academy是一个颇具声誉的在线教育平台，涵盖了各个学科的教学资源。
在高等数学领域，Khan Academy提供了一系列系统化的数学课程和视频教学，涵盖了从基础概念到高级应用的内容。
学生可以根据自己的学习进度和需求，选择相应的课程进行学习。
Khan Academy的视频教学通俗易懂，配以详细解说和示例演示，能够帮助学生深入理解高等数学的各个概念和技巧。
四、CourseraCoursera是一个知名的在线教育平台，提供了来自世界各地高校和名师的数百门在线课程。
其中，有许多高等数学相关的课程可供选择。
通过Coursera的平台，学生可以免费或付费参与这些课程，获得来自优秀大学的高等数学教育资源，与来自世界各地的学员共同学习和交流。
此外，Coursera还提供了丰富的练习和测验，帮助学生巩固所学知识。
五、Wolfram AlphaWolfram Alpha是一个多功能的计算引擎，它不仅可以进行数学问题的求解，还能提供综合性的数学知识和数据。
在高等数学领域，Wolfram Alpha能够根据用户输入的数学问题，给出详细的解答和计算过程。
同时，它还提供了丰富的数学概念、公式和图表，方便学生深入学习和探索高等数学的各个方面。
离散数学及应用
2020/1/26
计算机科学与技术学院
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing机的产生，十年后，第一台电子计算 机问世。
从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算— —即集合论、模型论、递归论、证明论和命 题演算、谓词演算，但现在提到数理逻辑， 一般是指命题演算和谓词演算。本书课程只 研究这两个演算。
计算机科学与技术学院
引 言（续）
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
2020/1/26
计算机科学与技术学院
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
2020/1/26
计算机科学与技术学院
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
种数据的结构，就需要适宜的数学工具。
推荐8个完全免费的中小学课件网站,就连教师也在用
推荐8个完全免费的中小学课件网站，就连教师也在用分享8个完全免费的中小学课件资源网站，涵盖小学、初中、高中的课件。
几乎每一门学科的课件都可以在这里找到，甚至老师都在用，不用登录就可以免费获得。
1、PPT课件网一个覆盖从小学到大学的课件网站，也是老师们的首选。
打开页面，可以从最新排行榜、最近更新、电子课件导航栏或详细年级导航栏中找到需要的学科课件，比如数学课件。
这里可以找到从小学到大学的数学课件。
每个课件都代表了一个章节单元，可以根据课本上正在学习的章节选择对应的课件进行选择，下载后都会保存为PPT格式。
2、课件站一个完全免费的课件资源下载网站，覆盖中小学教材资源，包括语文、数学、英语、生物、物理、历史等不同学科的课件。
它的每个课件都提供了多种下载格式，可以选择选择PPT版课件、音频版、Word版、并且还支持下载不用地区版本的课件，包括外研版、北师大版、苏教版等，大家可以根据自己的需求进行下载。
3、新课标第一网一个免费的课件，试题和教案网站，页面干净，没有广告。
提供的所有课件都支持免费下载。
网站按照不同的年级和学科进行了详细分类，每个板块对应一个年级和一个学科，包括语文、数学、化学、英语、物理、生物等。
可以快速找到相应的版块下载。
每个课件都直接为大家提供了下载地址，点击对应的课件后查看详情就可以看到专属的下载地址，可以直接下载整套的课件内容，有音频课件、PPT课件、视频课件，可以任意选择一种打开学习。
4、第一PPT课件下载一个可以直接免费下载PPT版课件的网站，不需要登录就可以直接获取学习课件。
网页按照不同学科对课件进行了详细分类，包括语文、数学、生物、科学、地理、化学等。
从小学到高中使用的教材和课件都可以在这里免费下载。
它还支持输入学科以及章节关键词快速查找你需要的课件资源，所有的课件都提供了PPT下载格式，下载后可以直接打开学习。
5、免费的课件网站这是一个PPT模板资源网站，它涵盖的范围非常广泛，不仅有各式各样的PPT模板，还包含了各个年级的PPT教学课件，包括小学、初中、高中。
清华用的离散数学教材
清华用的离散数学教材
清华大学使用的离散数学教材可能会有多种选择，这取决于具体的课程安排和教师的个人喜好。
以下列出几本可能被采用的离散数学教材：
1. 《离散数学及其应用（原书第7版）》（Discrete Mathematics and its Applications, 7th Edition），作者：肯尼斯·罗森（Kenneth H. Rosen）。
这是一个广受欢迎的离散数学教材，在全球范围内被广泛使用。
2. 《离散数学及其应用（原书第5版）》（Discrete Mathematics and its Applications, 5th Edition），作者：肯尼斯·罗森（Kenneth H. Rosen）。
这是前述书籍的较早版本，也被广泛采用。
3. 《离散数学导论（原书第3版）》（Introduction to Discrete Mathematics, 3rd Edition），作者：Richard Johnsonbaugh。
这是一本介绍离散数学基本概念和应用的教材，也是一门非常经典的教材。
4. 《离散数学导论（修订版）》（Discrete Mathematics: An Introduction），作者：Susanna S. Epp。
这本教材也是一本常用的离散数学教材，适合初学者。
这些教材通常涵盖离散数学的基本原理、逻辑、集合论、代数结构、图论、计算理论等内容。
请注意，具体使用哪本教材可
能因课程和教师的不同而有所变化，学生们可以根据教学大纲和教师的要求来确定使用哪本教材。
离散数学及其应用：群与编码课件
Unit of information
Message(消息) is a finite sequence of characters from a finite alphabet B = {0, l } Word(字) is a sequence of m 0's and l s.
Groups
The set B is a group under the binary operation + (mod 2 addition ) It follows that Bm = B × B × … × B (n factors) is a group under the operator ⊕ defined by
(1,0)
• (1,1)
• (0,0)
• (0,1)
Bm(0,1)->Bn(000,111)
• (0,0,1) (0,1,1)
• (1,0,1)
• (1,1,1) • (0,0,0) • (1,0,0)
• (0,1,0)
• (1,1,0)
Hamming distance – 海明距离
Let x and y be words in Bm. The Hamming distance δ(x, y) between x and y is the weight, |x⊕y|, of x ⊕ y. The distance between x = x1x2…xm and y = y1y2…ym is the number of various of i such that xi ≠ yi, that is, the number of positions in which x and y differ. Using the weight of x ⊕ y is a convenient way to count the number of different positions.
离散数学及其应用(徐凤生版)数学习题答案
习题一1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。
(2)李梅能歌善舞。
(3)这朵花真美丽！(4)３＋２＞６。
(5)只要我有时间，我就来看你。
(6)x＝５。
(7)尽管他有病，但他仍坚持工作。
(8)太阳系外有宇宙人。
(9)小王和小张是同桌。
(10)不存在最大的素数。
解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。
(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。
其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。
其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。
2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？(1)(P→(P∨Q))。
(2)(⌝P→Q)→(Q→P)))。
(3)((⌝P→Q)→(Q→P))。
(4)(Q→R∧S)。
(5)(P∨QR)→S。
(6)((R→(Q→R)→(P→Q))。
解 (1)是命题公式。
(2)不是命题公式，因为括号不配对。
(3)是命题公式。
(4)是命题公式。
(5)不是命题公式，因为QR没有意义。
(6)不是命题公式，因为R→(Q→R)→(P→Q) 没有意义。
3.将下列命题符号化：(1)我们不能既划船又跑步。
(2)我去新华书店，仅当我有时间。
(3)如果天下雨，我就不去新华书店。
(4)除非天不下雨，我将去新华书店。
(5)张明或王平都可以做这件事。
(6)“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
(7)只有休息好，才能工作好。
(8)只要努力学习，成绩就会好的。
(9)大雁北回，春天来了。
(10)小张是山东人或河北人。
解 (1)符号化为⌝(P ∧Q )，其中，P ：我们划船，Q ：我们跑步。
(2)符号化为Q →R ，其中，R ：我有时间，Q ：我去新华书店。
(3)符号化为P →⌝Q ，其中，P ：天下雨，Q ：我去新华书店。
(4)符号化为⌝P →Q ，其中，P ：天下雨，Q ：我去新华书店。
离散数学及应用习题及答案1-6
§1.6 逻辑门电路习题1.61．用非门、与门和或门构造产生下列输出的电路。
（1）y x +（2）x y x )(+ （3）z y x xyz +（4）))((z y z x ++解： （1）（2）x（3）（4）y x + x y x )(+ z y x xyz + ))((z y z x ++2．试设计一个电路来实现五个人的少数服从多数的表决系统。
解：设A、B、C、D、E分别表示五个人表决，S表示表决结果，根据少数服从多数的原则，得S=（⌝A∧⌝B∧C∧D∧E）∨（⌝A∧B∧⌝C∧D∧E）∨（⌝A∧B∧C∧⌝D∧E）∨（⌝A ∧B∧C∧D∧⌝E）∨（A∧⌝B∧⌝C∧D∧E）∨（A∧⌝B∧C∧⌝D∧E）∨（A∧⌝B∧C∧D ∧⌝E）∨∨（A∧B∧⌝C∧⌝D∧E）∨（A∧B∧⌝C∧D∧⌝E）∨（A∧B∧C∧⌝D∧⌝E）∨（⌝A∧B∧C∧D∧E）∨（A∧⌝B∧C∧D∧E）∨（A∧B∧⌝C∧D∧E）∨（A∧B∧C∧⌝D ∧E）∨（A∧B∧C∧D∧⌝E）∨（A∧B∧C∧D∧E）=（A∧B∧（C∨D∨E））∨（（（⌝A∧B）∨（A∧⌝B））∧（E∧（（⌝C∧D）∨（C∧⌝D）））∨（（（⌝A∧B）∨（A∧⌝B））∧（C∧D））=（A∧B∧（C∨D∨E））∨（（（⌝A∧B）∨（A ∧⌝B））∧(（E∧（（⌝C∧D）∨（C∧⌝D））∨（C∧D））=（A∧B∧（C∨D∨E））∨（（⌝A ∨⌝B）∧（A∨B）∧（C∨D）∧（C∨E）∧（D∨E））据此得到组合逻辑电路图如下：3．试设计一个由四个开关控制的电灯混合控制器，使得当电灯在打开时，按动任意一个开关都可关闭它，在电灯关闭时，按动任意一个开关都可打开它。
解：设灯L 亮为1，灭为0；开关A 、B 、C 、D 拨向上为1，拨向下为0，（1）不必关心L 与A 、B 、C 、D 初始的状态对应关系，只需关心A 、B 、C 的变化对L 的影响；（2）我们对A 、B 、C 、D 变化的要求是：A 、B 、C 、D 中，只有奇数个（1个或3个）发生变化，L 值会发生变化，如果是偶数个发生变化，则L 值不会发生变化。
离散数学及应用书籍
离散数学及应用书籍离散数学是计算机科学中非常重要的一门基础课程，它研究的是离散对象及其关系和性质。
离散数学可以帮助我们理解和应用许多计算机科学的概念和原理，如逻辑、集合、图论、关系等等。
下面我将推荐几本优秀的离散数学及应用的书籍。
1. 《离散数学及其应用》（Discrete Mathematics and its Applications）- Kenneth H. Rosen这本书是离散数学领域的经典教材之一，讲解了离散数学的基本概念和方法，并通过大量的例子和习题帮助读者理解和应用这些概念和方法。
这本书内容全面，适合初学者从入门到提高。
2. 《离散数学及其应用导论》（Introduction to Discrete Mathematics）- Susanna S. Epp这本书是一本适合初学者的离散数学入门教材。
它讲解了离散数学的基本概念、定理和证明方法，并提供了大量的实例和习题，帮助读者掌握离散数学的基本技巧和方法。
3. 《离散数学导引》（Discrete Mathematics: Introduction to Mathematical Reasoning）- Susanna S. Epp这本书是一本注重数学推理和证明的离散数学教材。
它讲解了离散数学中的逻辑和证明方法，包括命题逻辑、一阶逻辑等内容，并通过丰富的习题提供了大量实践的机会。
4. 《离散数学及其应用教程》（Discrete Mathematics and Its Applications Tutorial）- William Imrich, Sandi Klavžar这本书是一本面向高级学习者的离散数学教程。
它讲解了离散数学的高级概念和方法，如图论、组合数学、代数结构等等，并提供了大量的实例和习题用于练习。
除了上面推荐的教材，以下是一些延伸阅读的离散数学参考书籍：1. 《离散数学》（Discrete Mathematics）- Richard Johnsonbaugh这本书是一本较为深入的离散数学参考书籍。
[汇总]离散数学及其应用
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离散数学与其他学科之间的联系摘要：离散数学，又称为组合数学。
离散数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。
离散数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
关键词：离散数学电路设计软件技术人工智能应用等1、离散数学的相关介绍1.1离散数学的简介离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机类专业的重要课程。
它以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此离散数学可以充分描述计算机学科离散性的特点。
由于离散数学在计算机科学中的重要作用，国内外几乎所有大学的计算机类专业的教学计划中都将其列为核心课程进行重点建设，它是其他骨干课程，如数据结构、操作系统、人工智能、计算机网络、软件工程、编译原理等的先修课程，国内许多大学将其作为计算机专业类研究生入学考试的内容。
1.2离散数学的发展20世纪的计算机出现，带动了世界性的信息革命的伟大进程。
计算机科学在信息革命中的学科地位有如牛顿力学在工业革命中的学科地位一样，由计算机出现带动的信息革命当然计算机科学将起着主导的作用。
随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
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离散数学及应用配套网站
离散数学及应用是一门重要的数学学科，它研究的是离散的对象和离散的结构。
离散数学的应用广泛，包括计算机科学、信息技术、电子工程和通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，配套的网站是不可或缺的学习资源。
以下是几个优秀的离散数学及应用配套网站：
1. Mathstackexchange
Mathstackexchange是一个在线的数学交流社区，在这里你可以向其他的数学爱好者和专家提问并获得解答。
它提供了很多离散数学的问题和答案，并且有关于离散数学的标签进行分类。
这个网站功能强大，对于学习离散数学非常有帮助。
2. Brilliant
Brilliant是一个在线学习平台，它提供了很多离散数学的课程和问题。
这些问题涵盖了离散数学的各个方面，包括集合论、逻辑、图论、代数等。
通过解决这些问题，你可以提高自己的离散数学技能，并且学习如何将离散数学应用到实际问题中去。
3. MIT OpenCourseWare
MIT OpenCourseWare是麻省理工学院开放教育资源项目，它提供了很多麻省理工学院的课程资料和讲义。
其中包括了一些离散数学的课程，如《离散数学导论》和《离散数学和概率》等。
这些课程资料和讲义可以免费下载和学习，对于深入理解离散数学的概念和技巧非常有帮助。
4. Coursera
Coursera是一个知名的在线教育平台，它合作了很多世界级大学和教育机构，提供了很多高质量的课程。
在Coursera上，你可以找到一些离散数学的课程，如《离散数学》和《应用离散数学》等。
这些课程由专业的教师讲授，并且配有视频讲解、练习题和作业等学习资源，非常适合离散数学的学习和应用。
5. Wolfram Alpha
Wolfram Alpha是一个计算知识引擎，它可以对数学问题进行求解和计算。
在学习离散数学中，你经常会遇到一些复杂的计算问题，如组合数学、概率和逻辑等。
Wolfram Alpha可以帮助你解决这些问题，并且提供详细的计算过程和结论，对于巩固离散数学的计算技巧非常有帮助。
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通过利用这些网站，学生可以提高自己的离散数学技能，并且将离散数学知识应用到实际问题中去。
所以，我强烈推荐学习离散数学的同学们使用这些网站，加强自己的学习效果。