八年级数学梯形概念及等腰梯形的特征及识别学案华东师大版

初二数学梯形概念及等腰梯形的特征及识别学案华东师大版【本讲教育信息】

一. 教学内容：

梯形概念及等腰梯形的特征及识别

二. 重点：

把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决的转化思想及方法。

三. 难点：转化方法。

四. 知识精讲及例题分析

（一）知识梳理。

1. 梯形的定义，只有一组对边平行的四边形叫梯形。

2. 梯形的表示：梯形ABCD，AD∥BC。

3. 特殊的梯形：

①等腰梯形：两腰相等的梯形。

②直角梯形：有一个角是直角的梯形。

等腰梯形、直角梯形、梯形的关系。如下图。

4. 等腰梯形的特征

①等腰梯形两腰相等，两底平行。

②等腰梯形在同一底上的两个内角相等。

③等腰梯形的两条对角线相等。

④等腰梯形是轴对称图形，对称轴为底的垂直平分线。

5. 等腰梯形的识别方法。

①两腰相等的梯形是等腰梯形。

②同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

③对角线相等的梯形是等腰梯形。

6. 梯形中常用的辅助线。

①平移一腰：

②作高：

③延长两腰：

④平移对角线：

【典型例题】

例1. 已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=7，求：∠B的度数。

分析：将等腰梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，然后通过平行四边形和三角形的知识来解决问题。

解：过点A作AE∥CD，交BC于E。

又∵AD∥BC

∴四边形AECD是平行四边形。

∴EC=AD=3，AE=DC

∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，

∴DC=AB

∴AE=AB=4

又∵BE=BC－EC=7－3=4

∴AB=AE=BE

即△ABE为等边三角形

∴∠B=60°

例2. 已知等腰梯形的高为3cm，它的上底为3cm，一个底角为45°，则这个梯形的下底长为__________cm。

分析：作梯形的高将梯形转化为直角三角形和矩形。从而解决问题。

解得：9cm

例3. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=9，∠B=80°，∠C=50°，求AB的长。

分析：延长梯形的两腰，将梯形问题转化到两个三角形中去解决。

解法一：延长BA、CD交于点E。

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠C=50°

在△ECB中，∠B=80°，∠C=50°

∴∠E=180°－∠B－∠C=50°

∴∠E=∠ADE

∴AD=AE=5

又∵∠E=∠C

∴BE=BC=9

∴AB=BE－AE=9－5=4

答：AB的长为4。

注：解法二自己试证一下。此题还有其它作法

例4. 已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC⊥BD，AD=4，BC=10，求梯形面积。

分析：本例是平移对角线将梯形转化为平行四边形和三角形来解决问题。

解：过A作AE∥BD交CB的延长线于E，作AF⊥BC于F。

∵AD∥BE，AE∥BD

∴四边形AEBD是平行四边形。

∴AE=BD，AD=BE=4

又∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD

∴AE=AC

∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°

又∵BD∥AE，∴∠EAC=90°

∴△AEC为等腰直角三角形。

∵AF⊥EC

∴F为EC中点。

答：梯形面积为49。

例5. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AM=DM，BN=CN，且∠B+∠C=90°

分析：通过平移两腰将分散的条件转移到△PMQ中，使问题得到解决。证明：过M分别作AB、CD的平行线交BC于P、Q，

∵AD∥BC

∴四边形ABPM和四边形CDMQ是平行四边形

∴AM=BP，DM=CQ，∠MPN=∠B，∠MQN=∠C

∴BC－AD=PQ

∵AM=DM，BN=CN

∴PN=QN

∵∠B+∠C=90°

∴∠PMQ=90°

MN

例6. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB至E使EB=AD，连结AE。

求证：AE=CA

分析：要证AE=CA，只须证AE=BD，

从而只须证四边形AEBD是平行四边形即可

证明：连结BD

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD

∵AD∥BC

∴AD∥BE

又∵AD=BE

∴四边形AEBD是平行四边形

∴AE=BD

∴AE=AC

例7. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t。

（1）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形。

（2）当t为何值时，四边形PDCQ是等腰梯形。

分析：本题是一道几何运动的计算题，在解题中，只要抓住平行四边形的性质和等腰梯形的性质，将几何问题转化为代数中的方程去解即可。

解：（1）因为AD∥BC，当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，

∴t=6

答：当t=6s时，四边形PDCQ是平行四边形。

（2）设P、Q运动到如图位置，梯形PDCQ是等腰梯形，

分别过P、Q作高PN、DM，此时NQ=MC=BC－AD=3cm，

答：当t=8s时，四边形PDCQ是等腰梯形。

例8. 若以14cm，9cm为底，13cm，7cm为腰画梯形，这个梯形能不能画出来，为什么？

分析：此题实质是考察梯形四边间的关系问题，梯形四边关系为：

梯形的两底之差（下底－上底）大于两腰差的绝对值小于两腰和。

解：两底的差为14－9=5

两腰的差为13－7=6

∴两底差小于两腰差，不符合梯形四边之间关系

∴这个梯形不能画出来。

例9. 等分梯形面积（2003年福建南平中考试题）

图1是一个上底等于2，下底等于4的等腰梯形纸片，裁成面积相等的三块的一种方案，请再用三种不同方法进行裁剪。（必要时标明相关数量或辅助线）